Le tenseur des contraintes de Cauchy

Plan 1 Lois d Euler du mouvement 2 Représentation des efforts intérieurs Le postulat de Cauchy Le lemme d imparité Le théorème de Cauchy 3 Equations locales de la dynamique Première loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement 4 Equations aux discontinuités 5 Bilan : équations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus 6 Etats de contraintes remarquables

Lois d Euler du mouvement d ρv dv = R dt Ω t d OP ρv dv = M dt 0 Ω t Lois d Euler du mouvement 3/60

Lois d Euler du mouvement d ρv dv = dt Ω t d OP ρv dv = dt Ω t + ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, Ω t, t) ds Ω t Ω t OP ρ(x, t)f (x, t) dv Ω t OP t (x, Ω t, t) ds Ω t Elles s appliquent à tout sous domaine D Ω t. On a besoin des deux équations! Référentiel non galiléen : mettre les forces d inertie dans f Lois d Euler du mouvement 4/60

La controverse des élasticiens du XIXème siècle Côté français : Navier, Cauchy, Saint Venant l hypothèse moléculaire Côté anglais : Young, Green l approche phénoménologique Représentation des efforts intérieurs 6/60

Description des efforts intérieurs Ω t D le vecteur contrainte R surf = t (x, D, t) ds D D Représentation des efforts intérieurs 8/60

Description des efforts intérieurs Ω t t n D D le vecteur contrainte R surf = t (x, D, t) ds D le postulat de Cauchy : t (x, D, t) := t (x, n, t) normale sortante Représentation des efforts intérieurs 9/60

Description des efforts intérieurs t le vecteur contrainte R surf = t (x, D, t) ds D le postulat de Cauchy : Ω D 2 D 1 D 2 D 1 n t (x, D, t) = t (x, n, t) normale sortante une conséquence t (x, D 1, t) = t (x, D 2, t) Représentation des efforts intérieurs 10/60

D 2 n 1 D 2 n 2 Ω D 1 D 1 Représentation des efforts intérieurs 11/60

L argument du cachet d aspirine Ω t S D n D x D ε n ε S = S D ε D ε = D + D H ε f, a bornées t continu (pas d efforts surfaciques concentrés) première loi d Euler t (x, n, t) ds = D ɛ ρ(x, t)(a f ) dv D ɛ Représentation des efforts intérieurs 13/60

L argument du cachet d aspirine Ω t S D n D x D ε n ε S = S D ε D ε = D + D H ε f, a bornées t continu (pas d efforts surfaciques concentrés) première loi d Euler t (x, n, t) ds = D ɛ ρ(x, t)(a f ) dv D ɛ Représentation des efforts intérieurs 14/60

L argument du cachet d aspirine Ω t S D n D x D ε n ε S = S D ε D ε = D + D H ε f, a bornées t continu (pas d efforts surfaciques concentrés) Lemme d imparité t (x, n, t) = t (x, n, t) actio = reactio Représentation des efforts intérieurs 15/60

L argument du cachet d aspirine Ω t S D n D x D ε n ε S = S D ε D ε = D + D H ε f, a bornées t continu (pas d efforts surfaciques concentrés) Lemme d imparité t (x, n, t) = t (x, n, t) actio = reactio Exemple de représentation de t (n ) remplissant cette condition? Représentation des efforts intérieurs 16/60

Insuffisance de la représentation pression représentation des efforts surfaciques par un champ de pression : t = p n Représentation des efforts intérieurs 17/60

Insuffisance de la représentation pression représentation des efforts surfaciques par un champ de pression : t = p n Représentation des efforts intérieurs 18/60

Une remarque... première loi d Euler t (x, n, t) ds = D D ρ(x, t)(a f ) dv Quelles sont les conditions sur t pour qu une intégrale de volume se réduise à une intégrale de surface? Représentation des efforts intérieurs 19/60

Le théorème de la divergence et autres formes div v dv = Ω Ω v.n ds Représentation des efforts intérieurs 20/60

Le théorème de la divergence et autres formes plus généralement, div v dv = Ω,i dv = Ω f dv = Ω div v dv = Ω div T dv = Ω Ω Ω Ω Ω Ω v.n ds n i ds f n ds v.n ds T.n ds Représentation des efforts intérieurs 21/60

Une remarque... première loi d Euler t (x, n, t) ds = D D ρ(x, t)(a f ) dv Quelles sont les conditions sur t pour que l on puisse passer ainsi du volume à la surface? Si t est un flux t linéaire en n t =.n, alors le passage surface volume est possible. La réciproque constitue le théorème de Cauchy. Représentation des efforts intérieurs 22/60

1 P 1 L argument du tétraèdre de Cauchy 3 P 3 M n P 2 2 n = [n 1 n 2 n 3 ] T tétraèdre h = MP 1 P 2 P 3 passant par le point P(hn 1, hn 2, hn 3 ) hauteur h surfaces S 1, S 2, S 3, S ρ(x, t)(a f ) dv = t (x, n, t) ds h h Représentation des efforts intérieurs 24/60

L argument du tétraèdre de Cauchy 3 1 P 1 P 3 M n P 2 2 n = [n 1 n 2 n 3 ] T tétraèdre h = MP 1 P 2 P 3 passant par le point P(hn 1, hn 2, hn 3 ) surfaces S 1, S 2, S 3, S 3 t 1 (M, n ) = t 1 (M, n i e i ) = i=1 3 n i t 1 (M, e i ) i=1 Représentation des efforts intérieurs 25/60

L argument du tétraèdre de Cauchy 3 1 P 1 P 3 M n P 2 2 n = [n 1 n 2 n 3 ] T tétraèdre h = MP 1 P 2 P 3 passant par le point P(hn 1, hn 2, hn 3 ) surfaces S 1, S 2, S 3, S t 1 (M, n ) = t 1 (M, t 2 (M, n ) = t 2 (M, 3 n i e i ) = i=1 3 n i e i ) = i=1 3 n i t 1 (M, e i ) i=1 3 n i t 2 (M, e i ) i=1 3 3 t 3 (M, n ) = t 3 (M, ni e i ) = ni t 3 (M, e i ) Représentation des efforts intérieurs 26/60

L argument du tétraèdre de Cauchy 3 1 P 1 P 3 M n P 2 2 n = [n 1 n 2 n 3 ] T tétraèdre h = MP 1 P 2 P 3 passant par le point P(hn 1, hn 2, hn 3 ) surfaces S 1, S 2, S 3, S 3 t i (M, n ) = t i (M, e j )n j j=1 t i = σ ij n j, σ ij (M) := t i (M, e j ) Représentation des efforts intérieurs 27/60

Le théorème de Cauchy Il existe un champ de tenseurs du second ordre σ (x, t) tel que, en tout point régulier de Ω t (t continu, f, a finis), t 1 t 2 t 3 = t = σ.n σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 n 1 n 2 n 3 Représentation des efforts intérieurs 28/60

Le tenseur des contraintes Le tenseur des contraintes est la machine à produire les efforts s exerçant sur les éléments de surface en M : t ds = σ.n ds = σ.ds x 3 t σ 33 σ 23 τ n σ n σ 31 σ 13 σ 32 σ 11 σ 21 σ 22 σ 12 x 2 x 1 Représentation des efforts intérieurs 29/60

Première loi de Cauchy Efforts surfaciques t (x, n, t) ds = D D t i (x, n, t) ds = D D σ (x, t).n ds σ ij (x, t)n j ds Equations locales de la dynamique 32/60

Première loi de Cauchy Efforts surfaciques t (x, n, t) ds = D D t i (x, n, t) ds = (théorème de la divergence) D D σ (x, t).n ds σ ij (x, t)n j ds = D σ ij x j dv Equations locales de la dynamique 33/60

Première loi de Cauchy Efforts surfaciques t (x, n, t) ds = D D t i (x, n, t) ds = (théorème de la divergence) D D σ (x, t).n ds σ ij (x, t)n j ds = Application à la première loi d Euler ( ρ(a i f i ) σ ) ij dv = 0 x j D En tout point régulier σ ij x j + ρ(f i a i ) = 0 div σ + ρ(f a ) = 0 D σ ij x j dv Equations locales de la dynamique 34/60

Seconde loi de Cauchy Seconde loi d Euler (x x 0 ) ρ(a f ) dv = D D (x x 0 ) (σ.n ) ds Dans une base cartésienne orthonormée directe d origine x 0, la première composante vaut (x 2 ρ(a 3 f 3 ) x 3 ρ(a 2 f 2 )) dv = (x 2 σ 3j x 3 σ 2j )n j ds D D Equations locales de la dynamique 36/60

Seconde loi de Cauchy Seconde loi d Euler (x x 0 ) ρ(a f ) dv = D D D (x x 0 ) (σ.n ) ds Dans une base cartésienne orthonormée directe d origine x 0, la première composante vaut (x 2 ρ(a 3 f 3 ) x 3 ρ(a 2 f 2 )) dv = (x 2 σ 3j x 3 σ 2j )n j ds D D σ 3j σ 2j = (x 2 x 3 + δ 2j σ 3j δ 3j σ 2j ) dv x j x j Equations locales de la dynamique 37/60

Seconde loi de Cauchy Seconde loi d Euler (x x 0 ) ρ(a f ) dv = D D D (x x 0 ) (σ.n ) ds Dans une base cartésienne orthonormée directe d origine x 0, la première composante vaut (x 2 ρ(a 3 f 3 ) x 3 ρ(a 2 f 2 )) dv = (x 2 σ 3j x 3 σ 2j )n j ds D D σ 3j σ 2j = (x 2 x 3 + δ 2j σ 3j δ 3j σ 2j ) dv x j x j Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires) (σ 32 σ 23 ) dv = 0 D σ 23 σ 32 = 0 σ 31 σ 13 = 0 σ 12 σ 21 = 0 Equations locales de la dynamique 38/60

Seconde loi de Cauchy Le tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d ordre 2 symétrique : c est une forme bilinéaire symétrique... n 1.σ.n 2 = n 2.σ.n 1... ou un endomorphisme auto adjoint σ T = σ, σ ij = σ ji n.σ = σ.n Conséquence? Equations locales de la dynamique 39/60

Seconde loi de Cauchy Le tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d ordre 2 symétrique : c est une forme bilinéaire symétrique... n 1.σ.n 2 = n 2.σ.n 1... ou un endomorphisme auto adjoint σ T = σ, n.σ = σ.n σ ij = σ ji Conséquence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles 3 σ = σ i n i n i, avec σ.n i = σ i n i (no sum) i=1 σ i : contraintes principales n i : directions principales des contraintes Equations locales de la dynamique 40/60

Surface de discontinuité mobile cas de champs continus par morceaux vitesse de propagation D D M t M t+ t w = lim t 0 t vitesse relative de la matière / S = w n n U = v.n w n w n n saut de f à travers S D [[f ]] := f + f D D S conservation de la masse [[ρu]] = 0 cas S matérielle Equations aux discontinuités 42/60

Première loi d Euler avec discontinuités D D w n n D D D S d ρv dv = ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, n, t) ds dt D D D Equations aux discontinuités 43/60

Première loi d Euler avec discontinuités D D w n n D D D S un théorème de transport d ρv dv = dt D D ρa dv + [[v ]]ρu ds S Equations aux discontinuités 44/60

s Equations aux discontinuités n D D x D S domaine S D, S S ρa dv + [[v ]]ρu ds = ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, n, t) ds S D D Equations aux discontinuités 45/60

s Equations aux discontinuités n D x D S domaine S D, S S ρa dv + [[v ]]ρu ds = ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, n, t) ds D S D D à la limite D S, [[v ]]ρu ds = [[σ ]].n ds S S Equations aux discontinuités 46/60

Equations aux discontinuités cas général ondes de choc [[σ ]].n ρu[[v ]] = 0 cas d une surface de discontinuité S matérielle (ou cas statique) [[σ ]].n = 0 le vecteur contrainte est continu au travers de toute surface matérielle le tenseur des contraintes n est pas nécessairement continu! Equations aux discontinuités 47/60

Bilan : cas général t = σ.n vecteur contrainte Equations de champ : div σ + ρf = ρa quantité de mouvement (Cauchy 1) σ T = σ moment cinétique (Cauchy 2) Equations aux discontinuités : [[ρu]] = 0 [[σ ]].n ρu[[v ]] = 0 Bilan : équations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus

Bilan : cas statique t = σ.n vecteur contrainte div σ + ρf = 0 σ T = σ [[σ ]].n = 0 quantité de mouvement moment cinétique continuité du vecteur contrainte Bilan : équations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus

Traction simple σ = σ d d σ 0 0 [σ ] = 0 0 0 0 0 0 (e 1 =d,e 2,e 3 ) σ 2 σ 1 machine de traction hydraulique (capacité 10t) Etats de contraintes remarquables 52/60

Etat de contraintes biaxial σ = σ 1 d 1 d 1 + σ 2 d 2 d 2 avec d 1.d 2 = 0 σ 1 0 0 [σ ] = 0 σ 2 0 0 0 0 (e 1 =d 1,e 2 =d 2,e 3 ) contraintes planes σ 2 σ 1 2 σ 1 1 machine de traction biaxiale pour éprouvettes cruciformes σ 2 (laboratoire 3S-INPG) Etats de contraintes remarquables 53/60

Etat de contraintes triaxial une compression de Ce sar Etats de contraintes remarquables 54/60

Etat de contraintes triaxial [σ ] = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 mécanique des roches et des sols machine de compression plane sous pression de confinement (bain d huile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG) Etats de contraintes remarquables 55/60

Etat de contraintes triaxial [σ ] = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 mécanique des roches et des sols machine triaxiale, échantillon cubique (150x150x150mm 3 ) (bain d huile, 2-60MPa, vérins 10t, laboratoire 3S-INPG) Etats de contraintes remarquables 56/60

Etat de contraintes triaxial [σ ] = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 machine triaxiale, LMT-Cachan Etats de contraintes remarquables 57/60

Essai de cisaillement Etats de contraintes remarquables 58/60

Etat de cisaillement simple σ = τ (d 1 d 2 + d 2 d 1 ) 0 τ 0 avec d 1.d 2 = 0 [σ ] = τ 0 0 0 0 0 (e 1 =d 1,e 2 =d 2,e 3 ) τ τ 2 τ τ 1 τ τ τ τ Etats de contraintes remarquables 59/60

Champ de contraintes non homoge ne Essais sur structures : flexion 4 et 3 points Etats de contraintes remarquables 60/60