Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Chapitre2 : Rappels de géométrie, courbes et surfaces Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mars 2011

suivant Chapitre II Rappels de géométrie, courbes et surfaces II.1 Produit scalaire, produit vectoriel,produit mixte.......... 3 II.2 Droites et plans............................. 10 II.3 Courbes du plan xoy.......................... 20 II.4 Surfaces-Courbes dans l espace-equations.............. 32 II.5 Surfaces particulières.......................... 39 II.6 Plan tangent à une surface, droite tangente à une courbe de l espace 46 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2

chapitre section suivante II.1 Produit scalaire, produit vectoriel,produit mixte II.1.1 Produit scalaire.......................... 4 II.1.2 Produit vectoriel.......................... 6 II.1.3 Produit mixte............................ 8 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3

section suivant II.1.1 Produit scalaire Exercices : Exercice A.1.1 Sauf mention contraire on se place dans IR 3 muni d un repère orthonormé (O, ı, j, k) Soient U 1, U 2 et U des vecteurs de IR 3, a 1 U 1 = b 1, a 2 U 2 = b 2 a U = b. c 1 c 2 c Le produit scalaire de U 1 par U 2 est le réel défini par : U 1 U 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2. La norme (euclidienne) de U est définie par : U U =. U = a 2 + b 2 + c 2. On a la relation qui lie le produit scalaire et les normes : U 1 U 2 = U 1 U 2 cosθ, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4

section suivant où θ est l angle des vecteurs U 1 et U 2. Propriétés du produit scalaire U 1 U 2 = U 2 U 1, (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) Produit scalaire U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3, ( U 1 U 2 ) 2 ( U 1 U 1 )( U 2 U 2 ) Proposition II.1.1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Traiter l exercice de TD A.2.1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 5

précédent section suivant II.1.2 Produit vectoriel Exercices : Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 Soient U 1 et U 2 deux vecteurs de IR 3, le produit vectoriel de U 1 par U 2 est le vecteur défini par : a 1 U 1 = b 1, a 2 U 2 = b 2, U 1 b 1 c 2 c 1 b 2 U 2 = c 1 a 2 a 1 c 2. c 1 c 2 a 1 b 2 b 1 a 2 On admet les résultats suivants concernant la norme, la direction et l orientation du produit vectoriel : U 1 U 2 = U 1 U 2 sinθ où θ est l angle entre les vecteurs U 1 et U 2. Le vecteur U 1 U 2 est orthogonal à U 1 et U 2. L orientation de U 1 U 2 est telle que le trièdre ( U 1, U 2, U 1 U 2 ) soit direct. Il résulte de la propriété sur la norme du produit vectoriel que : Proposition II.1.2. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Propriétés du produit vectoriel U 1 U 2 = U 2 U 1, (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 6

précédent section suivant U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 U 1 ( U 2 U 3 ) = ( U 1 U 3 ) U 2 ( U 1 U 2 ) U 3 Produit vectoriel Proposition II.1.3. La norme du produit vectoriel de U par V est égale à l aire du parallélogramme construit sur U et V. La proposition précédente est à démontrer en exercice. Traiter l exercice de TD A.2.2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 7

précédent section II.1.3 Produit mixte Soient U, V et W trois vecteurs de IR 3. Le produit mixte de U, V, W est le scalaire défini par : ( U, V, W ) = ( U V ) W. U V W α h V U On démontre facilement que la valeur absolue du produit mixte est égale au volume du parallépipède construit sur U, V, W. En effet ce volume est égal à l aire d une base multipliée par la hauteur correspondante : v = a h On utilise les propriétés du produit vectoriel. L aire a de la base construite sur U et V, vaut a = U V. La hauteur h vaut W cosα, où α est l angle entre W et un Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 8

précédent section vecteur normal à la base, on peut choisir comme vecteur normal U V. On a donc obtenu : v = U V W cosα = ( U V ) W. Produit mixte Proposition II.1.4. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. En effet dans ce cas le parallépipède est "dégénéré", son volume est nul. Une autre propriété immédiate est que : ) ( ) ( ) U V W (, V, W =, W, U =, U, V = = ( V, U, W ) = ( U, W, V ) = ( W, V, U ) En effet le volume du parallépipède ne dépend pas de l ordre dans lequel on cite les vecteurs! En revanche les 6 produits mixtes ne sont pas égaux, en effet le signe de ( U, V, W ) est positif si le trièdre U, V, W est direct, il est négatif sinon. On obtient donc les égalités suivantes : ( ) ( ) ( ) U V W, V, W =, W, U =, U, V = Traiter l exercice de TD A.2.3. ( ) ( ) ( ) V U W =, U, W =, W, V =, V, U Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 9

section précédente chapitre section suivante II.2 Droites et plans II.2.1 Equation cartésienne des droites du plan xoy......... 11 II.2.2 Intersection de droites du plan xoy............... 12 II.2.3 Equations d un plan dans l espace................ 13 II.2.4 Distance à un plan - Projection sur un plan.......... 15 II.2.5 Droites dans l espace....................... 16 II.2.6 Intersection d une droite et d un plan.............. 18 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 10

section suivant II.2.1 Equation cartésienne des droites du plan xoy Exercices : Exercice A.1.4 Dans tout ce qui suit le plan est muni d un repère orthonormé (O, ı, j) L équation générale d une droite du plan peut se mettre sous la forme ax + by = c. Les coefficients a, b, c sont définis à une constante multiplicative près, mais on a toujours (a, b) (0, 0). Si b 0 on retrouve l équation des droites du plan xoy non parallèles à l axe Oy y = αx + β. Si b = 0, on retrouve l équation des droites du plan xoy parallèles à l axe Oy est x = γ. Un vecteur directeur de la droite d équation ax + by = c V = ( b, a). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 11

précédent section suivant II.2.2 Intersection de droites du plan xoy Pour étudier l intersection de deux droites D et D d équations respectives { ax + by = c a x + b y = c (II.2.1) il suffit de résoudre le système de deux équations (II.2.1), ce système a une solution unique si et seulement si ab a b 0. La solution unique donne alors les coordonnées de l unique point d intersection de D et D. Si ab a b = 0, les vecteurs directeurs V = ( b, a) et V = ( b, a ) sont colinéaires. On peut utiliser le produit vectoriel pour le vérifier, les vecteurs V et V sont dans le plan xoy, leur troisième composante est donc nulle, le produit vectoriel (orthogonal à xoy) a alors pour composantes (0, 0, a b + ab ). Lorsque V et V sont colinéaires, deux cas sont possibles pour les droites D et D : - D et D sont confondues, le système ( II.2.1) admet une infinité de solutions. - D et D sont parallèles non confondues le système ( II.2.1) n admet pas de solution. Traiter l exercice de TD A.2.4. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 12

précédent section suivant II.2.3 Equations d un plan dans l espace Dans tout ce qui suit l espace est muni d un repère orthonormé (O, ı, j, k) Un plan Π dans l espace Oxyz peut être défini de plusieurs façons : 1. Π est défini par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et un vecteur normal (non nul) N de composantes (a, b, c). On a donc M Π M 0 M. N = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. On obtient une équation cartésienne de Π. Si on pose d = ax 0 + by 0 + cz 0, on retrouve l équation cartésienne générale d un plan (revoir l exercice A.2.1). : ax + by + cz = d. 2. Π est défini par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et deux vecteurs du plan non colinéaires U = (α, β, γ), U = (α, β, γ ), On a donc : M Π M 0 M = t U + t U x x 0 = tα + t α y y 0 = tβ + t β z z 0 = tγ + t γ x = x 0 + tα + t α y = y 0 + tβ + t β z = z 0 + tγ + t γ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13

précédent section suivant On obtient ainsi des équations paramétriques du plan Π, x 0, y 0, z 0, α, β, γ, α, β, γ sont des constantes caractéristiques du plan Π, t et t sont les deux paramètres qui varient quand le point M décrit le plan. On aurait pu également obtenir une équation cartésienne de Π en se ramenant au cas 1. Il suffisait de choisir N = U U. M Π M 0 M. N = 0 ( M 0 M, U, U ) = 0. Revoir le produit mixte, on traduit alors que les trois vecteurs M 0 M, U, U sont coplanaires. 3. Π est défini par trois points non alignés M 1, M 2, M 3. On peut se ramener au cas 1 en choisissant par exemple M 0 = M 1 et N = M 1 M 2 M 1 M 3, on traduit alors que les vecteurs M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 sont coplanaires. On obtient une équation cartésienne de Π ( revoir l exercice A.2.3). On peut se ramener au cas 2 en choisissant par exemple M 0 = M 1, U = M 1 M 2, U = M 1 M 3, on obtiendrait des équations paramétriques de Π. Equations d un plan dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 14

précédent section suivant II.2.4 Distance à un plan - Projection sur un plan Proposition II.2.1. Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit M 1, un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), la distance de M 1 à Π est égale à ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 Lorsque M 1 appartient au plan Π, ses coordonnées vérifient l équation du plan et on retrouve bien sûr que la distance de M 1 au plan est nulle. Proposition II.2.2. Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit M 1, un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), on note M 2 le point projection orthogonale de M 1 sur Π. Les coordonnées de M 2 sont données par les relations : x 2 = x 1 + λa y 2 = y 1 + λb z 2 = z 1 + λc avec λ = ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 En utilisant la proposition précédente on retrouve la distance de M 1 au plan Π, il suffit de calculer la norme de M 1 M 2. Démontrer les propositions précédentes en traitant les exercices de TD A.2.5 et A.2.6. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 15

précédent section suivant II.2.5 Droites dans l espace Exercices : Exercice A.1.5 Une droite D dans l espace Oxyz peut être définie de plusieurs façons : 1. D est définie par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et un vecteur directeur (non nul) V = (α, β, γ). On a alors les équations paramétriques de D : M D M 0 M = t V x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. x 0, y 0, z 0, α, β, γ sont des constantes caractéristiques de D, t est le paramètre qui varie quans le point M décrit D. 2. D est définie comme intersection de deux plans non parallèles Π et Π d équations cartésiennes : { ax + by + cz = d a x + b y + c z = d avec, non colinéaires. On obtient naturellement les équations cartésiennes de D. Ces équations ne sont pas uniques, une droite est intersection d une infinité de plans, il suffit de choisir les équations de deux d entre eux. a b c a b c Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 16

précédent section suivant Attention, dans l espace y = αx+β n est pas l équation d une droite, c est l équation d un plan. De même x = γ est l équation d un plan. y = 2x dans l espace est l équation d un plan. y = 2x, z = 0 sont les équations d une droite qui appartient au plan précédent. Droites dans l espace Proposition II.2.3. Soit D la droite passant par le point M 0 et de vecteur directeur (non nul) V. La distance d un point M 1 à D vaut M 0 M 1 V V La proposition précédente est à démontrer en exercice. Traiter les exercices de TD A.2.7, A.2.8 et A.2.9. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 17

précédent section II.2.6 Intersection d une droite et d un plan Exercices : Exercice A.1.6 Si Π a pour équation ax + by + cz = d, si D a pour équations paramétriques x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt, t IR. On note N un vecteur normal à Π, V un vecteur directeur de D. Pour déterminer l intersection de D et Π, on remplace x, y et z, dans l équation de Π, par leur expression en fonction de t. L équation en t obtenue, admet une solution unique si V. N 0. On retrouve bien que si D n est pas parrallèle à (ni incluse dans) Π, la droite et le plan admettent un point d intersection unique. Si Π a pour équation ax + by + cz = d, si D a pour équations cartésiennes a x + b y + c z = d et a x + b y + c z = d, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 18

précédent section l intersection de Π et D sera donnée par les équations ax + by + cz = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d Intersection d une droite et d un plan Lorsque ce système de trois équations à 3 inconnues (x, y, z) admet une infinité de solutions, la droite D est incluse dans le plan Π, lorsque le système n admet pas de solution, la droite D est parallèle à (non incluse dans) Π, lorsque le système admet une solution unique, cette solution fournit les coordonnées de l unique point d intersection de D et Π. Traiter l exercice de TD A.2.10. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 19

section précédente chapitre section suivante II.3 Courbes du plan xoy II.3.1 Equation d une courbe du plan xoy............... 21 II.3.2 Coniques.............................. 23 II.3.3 Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy.... 24 II.3.4 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite................................ 26 II.3.5 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation explicite................................ 28 II.3.6 Etude des courbes paramétrées du plan xoy.......... 29 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 20

section suivant II.3.1 Equation d une courbe du plan xoy Exercices : Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 1. Equations paramétriques d une courbe du plan xoy. Les équations paramétriques d une courbe du plan xoy sont données par : { x = α(t), t I IR. y = β(t) Par abus de notation on notera x(t), y(t) 2. Equation cartésienne implicite d une courbe du plan xoy. On dit qu une courbe C du plan xoy est définie par une équation cartésienne implicite s il existe une fonction f de IR 2 dans IR telle que : C = {(x, y) IR 2, f(x, y) = 0}. 3. Equation cartésienne explicite d une courbe du plan xoy. On dit qu une courbe C du plan xoy est définie par une équation cartésienne explicite s il existe une fonction φ de IR dans IR telle que : C = {(x, y), y = φ(x)}. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 21

section suivant Vous avez étudié un grand nombre de courbes données par leur équation cartésienne explicite, par exemple y = e x, y = 3x 2 + 5x + 6... Equation d une courbe du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 22

précédent section suivant II.3.2 Coniques Exercices : Exercice A.1.9 Le cercle fait partie de la famille des coniques. Ces courbes sont les différentes intersections possibles d un cône avec un plan. Plusieurs cas sont possibles : Ellipse d équation implicite x 2 a 2 + y2 = 1 où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 Hyperbole d équation implicite : ou x2 x 2 a 2 y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls, b2 (II.3.1) a 2 + y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 (II.3.2) Ces hyperboles ont pour asymptotes les droites d équation x 2 a 2 y2 b 2 = 0. Parabole d équation y = ax 2 + bx + c, a 0. Traiter l exercice de TD A.2.11. (II.3.3) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23

précédent section suivant II.3.3 Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy { x(t) Soit la courbe C dont les équations paramétriques sont : y(t). On veut étudier cette courbe localement au voisinage du point M 0. On rappelle que la droite tangente à C en M 0 est la position limite de la droite de vecteur directeur M 0 M quand M tend vers M 0 sur C. Or M 0 M a pour composantes (x(t) x(t 0 ), y(t) y(t 0 )). Ce vecteur est colinéaire au vecteur V de composantes ( (x(t) x(t0 ), (y(t) y(t ) 0). t t 0 t t 0 La limite du vecteur V quand t tend vers t 0 est donc le vecteur T de composantes (x (t 0 ), y (t 0 )). { x(t) Proposition II.3.1. Soit C la courbe dont les équations paramétriques sont : le vecteur T = ( x (t 0 ) y (t 0 ) ), s il n est pas nul, est tangent en M 0 à la courbe C. y(t), Par exemple le cercle du plan xoy de centre Ω = (a, b) et de rayon R a pour équations paramétriques : { x = a + R cos t, y = b + R sin t. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 24

précédent section suivant Un vecteur tangent T 0 en M 0 a pour composantes x (t 0 ) = R sin(t 0 ) = (y 0 b), y (t 0 ) = R cos(t 0 ) = (x 0 a). On retrouve la propriété bien connue : T 0 est orthogonal à ΩM 0. Il suffit d effectuer le produit scalaire pour s en convaincre. Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 25

précédent section suivant II.3.4 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite Théorème II.3.1. Soit la courbe C caractérisée par une équation cartésienne implicite : f(x, y) = 0. On suppose que f est différentiable en M 0. On note ( f N 0 = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ). On suppose que N 0 0, alors N 0 est un vecteur orthogonal à C en M 0, d où l équation de la droite tangente à C en M 0 : (x x 0 ) f x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0 (II.3.4) Démonstration. Un vecteur orthogonal à une courbe C en un point M 0 est un vecteur orthogonal au vecteur tangent à la { courbe en ce point. x = α(t) Si C a des équations paramétriques t I, on a donc y = β(t) α(t 0 ) = x 0, β(t 0 ) = y 0, f(α(t), β(t)) = 0 t I. On suppose que les fonctions α, β sont dérivables, donc la courbe C admet un vecteur tangent en M 0 qui est T 0 = ( α (t 0 ), β (t 0 ) ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 26

précédent section suivant Appelons g la fonction d une variable définie par g(t) = f(α(t), β(t)). Les résultats sur les dérivées des fonctions composées permettent de calculer la dérivée de g : g (t) = f x (α(t), β(t))α (t) + f y (α(t), β(t))β (t) Donc en particulier g (t 0 ) = T 0 N 0. Or f(α(t), β(t)) = 0 t g(t) = 0 t = g (t 0 ) = 0 T 0 N 0 = 0 On en déduit que le vecteur N 0 est orthogonal à T 0, c est à dire le vecteur N 0 est orthogonal au vecteur tangent à C au point M 0. Si on note D 0 la droite tangente à C au point M 0, on a donc : Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite M D 0 M 0 M. N 0 = 0 (x x 0 ) f x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 27

précédent section suivant II.3.5 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation explicite Soit C une courbe du plan xoy dont l équation explicite est y = φ(x). On suppose que φ est dérivable. Soit M 0 un point de C. On sait que l équation de la droite D 0 tangente à C au point M 0 est : On peut redémontrer ce résultat : Si l on note y = φ (x 0 )(x x 0 ) + y 0. y = φ(x) y φ(x) = 0. f(x, y) = y φ(x), on a f x (x, y) = φ (x), f (x, y) = 1. y On utilise le résultat II.3.4 et on obtient l équation de la droite tangente. On aurait pu également utiliser les propriétés de la dérivée vues dans le chapitre "fonctions d une variable réelle". On sait que φ (x 0 ) est la pente de D 0, tangente à C au point M 0 = (x 0, y 0 ). On peut donc écrire M = (x, y) D 0 y y 0 = φ (x 0 ) y = φ (x 0 )(x x 0 ) + y 0. x x 0 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 28

précédent section II.3.6 Etude des courbes paramétrées du plan xoy On veut étudier et représenter { graphiquement une courbe du plan xoy dont les x(t) équations paramétriques sont : y(t). L étude se décompose en plusieurs étapes : 1. Etude des domaines de définition des fonction x et y : la courbe est alors définie sur l intersection de ces 2 domaines. 2. Etude des symétries éventuelles : Si la fonction x est paire et la fonction y est impaire, la courbe est symétrique par rapport à l axe Ox. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Si la fonction x est impaire et la fonction y est paire, la courbe est symétrique par rapport à l axe Oy. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Si la fonction x est paire et la fonction y est paire, l étude sur l intervalle [0, + [ permet d obtenir toute la courbe. Si la fonction x est impaire et la fonction y est impaire, la courbe est symétrique par rapport à O. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Pour illustrer les propriétés précédentes faites une figure sur laquelle vous représenterez les points M(t) et M( t) dans chacun des cas cités. 3. Etude des variations : Si les fonctions x et y sont dérivables, on calcule leurs dérivées. On dresse un tableau de variation où figurent les signes de x, y et les Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 29

précédent section variations de x, y en fonction de t. 4. Etude des branches infinies : si lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x ou y tend vers l infini, on a une branche infinie. Plusieurs cas peuvent se présenter : Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers l infini et y tend vers y 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y = y 0. La position de la courbe par rapport à l asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation. Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers x 0 et y tend vers l infini. On a alors une asymptote verticale d équation x = x 0. La position de la courbe par rapport à l asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation. Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers l infini et y tend vers l infini. Il n est pas possible alors de conclure immédiatement. On doit effectuer une étude supplémentaire : Si y(t) tend vers l infini, on est dans le cas d une branche parabolique d axe x(t) Oy ou, ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe Oy. Si y(t) tend vers 0, on est dans le cas d une branche parabolique d axe Ox ou, x(t) ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe Ox. Si y(t) tend vers a réel non nul, on effectue une étude supplémentaire : x(t) Si y(t) ax(t) tend vers l infini et si on appelle la droite d équation y = ax, on est dans le cas d une branche parabolique d axe ou, ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe. Si y(t) ax(t) tend vers b, on a une asymptote d équation y = ax + b. Cette fois-ci la position de la courbe par rapport à l asymptote n est plus immédiate, il faut étudier le signe de y(t) ax(t) b. Etude des courbes paramétrées du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 30

précédent section 5. Tracé de la courbe : on utilise toutes les informations recueillies précédemment. On peut également tracer les vecteurs tangents en certains points remarquables. Traiter l exercice de TD A.2.12. Etude des courbes paramétrées du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 31

section précédente chapitre section suivante II.4 Surfaces-Courbes dans l espace-equations II.4.1 Equation paramétrique d une surface.............. 33 II.4.2 Equation cartésienne d une surface............... 35 II.4.3 Equation d une courbe dans l espace.............. 37 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 32

section suivant II.4.1 Equation paramétrique d une surface Exercices : Exercice A.1.10 La position d un point sur la sphère de centre O et de rayon R est caractérisée par la donnée des 2 paramètres : θ la longitude et φ la latitude. x = R cos φ cos θ y = R cos φ sin θ z = R sin φ, (θ, φ) = [0, 2π[ [ π 2, π 2 ]. z. M θ φ y Sommaire Concepts x Exemples Exercices Documents 33

section suivant De façon générale une surface peut être décrite par ses équations paramétriques. Définition II.4.1. Les équations paramétriques d une surface S sont de la forme : x = a(u, v) y = b(u, v), (u, v) IR 2. z = c(u, v) Equation paramétrique d une surface Dans tous les cas, la surface est décrite par 2 paramètres. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34

précédent section suivant II.4.2 Equation cartésienne d une surface Exercices : Exercice A.1.11 Exercice A.1.12 On distingue 2 types d équation cartésienne, les équations implicites et les équations explicites. Définition II.4.2. On dit qu une surface S est définie par une équation cartésienne implicite s il existe une fonction f de IR 3 dans IR telle que : S = {(x, y, z) IR 3, f(x, y, z) = 0} Par exemple la sphère de centre Ω de coordonnées (a, b, c) et de rayon R a pour équation implicite (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2. En effet cette équation traduit la propriété : le carré de la distance de M à Ω est égal au carré du rayon R. Définition II.4.3. On dit qu une surface S est définie par une équation cartésienne explicite s il existe une fonction φ de IR 2 dans IR telle que : S = {(x, y, z) IR 3, z = φ(x, y), (x, y) D IR 2 }. Dans la définition précédente on a exprimé explicitement z en fonction de x, y. On aurait des définitions similaires en privilégiant x ou y. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 35

précédent section suivant L équation explicite d une surface n est en fait qu un cas particulier d équation implicite ou d équation paramétrique : A partir d une équation explicite il est toujours possible de construire une équation implicite : z = φ(x, y) z φ(x, y) = 0. Equation cartésienne d une surface Une équation explicite est un cas particulier d équations paramétriques : x = u z = φ(x, y), (x, y) D y = v, (u, v) D. z = φ(u, v) Très souvent on ne change pas le nom et les 2 paramètres continuent de s appeler x, y. En revanche, le passage d équation implicite à équations paramétriques ou équation explicite est quelquefois difficile voire impossible. Il en est de même pour le passage d équations paramétriques à équation implicite ou équation explicite. Traiter l exercice de TD A.2.13. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36

précédent section II.4.3 Equation d une courbe dans l espace Exercices : Exercice A.1.13 Exercice A.1.14 Là encore, plusieurs types d équation pour ces courbes : 1. Equations paramétriques d une courbe de l espace : Les équations paramétriques d une courbe de l espace sont données par : x = α(t) y = β(t) z = γ(t), t I IR. Par abus de notation on note (x(t), y(t), z(t)). Par exemple la courbe dont les équations paramétriques sont : x = a cos ωt y = a sin ωt z = ct où a, c, ω sont des réels fixés, est une hélice circulaire. 2. Equations cartésiennes d une courbe de l espace. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37

précédent section Une courbe de l espace est l intersection de 2 surfaces. Donc une courbe de l espace est caractérisée par 2 équations de surfaces (implicites par exemple) : { f1 (x, y, z) = 0 f 2 (x, y, z) = 0 Equation d une courbe dans l espace { x + y + z = 1 Par exemple est l intersection de 2 plans, ce sont donc les équations cartésiennes d une droite. Le passage entre les équations cartésiennes et les x y + z = 1 équations paramétriques d une courbe n est pas toujours évident. Dans le cas d une courbe paramétrée on pourrait faire une démonstration similaire à celle effectuée pour les courbes paramétrées du plan xoy et on obtiendrait un vecteur tangent à la courbe C au point M 0 : T 0 = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) Traiter les exercices de TD A.2.14, A.2.15.. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38

section précédente chapitre section suivante II.5 Surfaces particulières II.5.1 Quelques surfaces classiques................... 40 II.5.2 Surfaces de révolution....................... 44 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 39

section suivant II.5.1 Quelques surfaces classiques Cours : Surfaces de révolution Documents : Document B.1.1 Rappelons l équation cartésienne de quelques surfaces connues : Si (a, b, c) (0, 0, 0), ax + by + cz = d est l équation d un plan dont un vecteur normal est le vecteur N = (a, b, c) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d une sphère de centre Ω = (x 0, y 0, z 0 ) et de rayon R. En effet l équation précédente traduit la propriété : "la distance du point M de coordonnées (x, y, z) au point Ω est constante et égale à R", ce qui est bien la propriété caractéristique d une sphère. Dans l espace (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d un cylindre de révolution de rayon R, dont l axe a pour équations {x = x 0, y = y 0 }. En effet on a la propriété : "la distance du point M de coordonnées (x, y, z) à l axe est constante et égale à R", ce qui est bien la propriété caractéristique d un cylindre. Bien sûr, si le contexte indique que l on se trouve dans le plan xoy, l équation (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d un cercle. Les quadriques sont des surfaces dont l équation cartésienne est obtenue à partir d un polynôme de degré 2 (les variables sont x, y, z). On retrouve dans cette famille les surfaces classiques : sphères, cylindres, cônes et les surfaces un peu moins Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40

section suivant classiques : paraboloïdes, hyperboloïdes, ellipsoïdes. (Voir les figures qui suivent et celles qui se trouvent dans le document référencé.) Pour l étude de certaines de ces surfaces voir le paragraphe de cours référencé. z z Quelques surfaces classiques y x y x x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 ellipsoïde cylindre Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41

section suivant z z Quelques surfaces classiques y x y x x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 hyperboloïde à une nappe hyperboloïde à 2 nappes Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 42

section suivant z Quelques surfaces classiques z y y x x x 2 a 2 + y2 b 2 z = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 paraboloïde cône Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43

précédent section II.5.2 Surfaces de révolution Définition II.5.1. Une surface est dite de révolution autour d un axe si son intersection avec un plan quelconque perpendiculaire à est vide ou constituée d un ou plusieurs cercles centrés sur (un cercle peut être réduit à un point). Citons par exemple les sphères, les cônes, les cylindres, les tores. Nous allons retrouver ces surfaces et quelques autres maintenant. L étude d une surface S de révolution se fait en 2 étapes : On détecte que la surface est de révolution autour de en étudiant l intersection de S avec un plan quelconque perpendiculaire à, on doit trouver l ensemble vide, ou un (ou plusieurs) cercle(s) centré(s) sur. On détermine la nature de S en étudiant la courbe intersection de S avec un plan particulier contenant. Par exemple, étudions la surface S qui a pour équation x 2 +y 2 z 2 = 0. Cette surface est une quadrique. L intersection de S avec un plan quelconque perpendiculaire à Oz d équation z = c, est un cercle situé dans le plan z = c, de centre (0, 0, c) et de rayon c. Donc la surface est de révolution autour de Oz. On détermine l intersection de S avec un plan particulier contenant Oz : le plan yoz par exemple, on a donc x = 0, y 2 = z 2. On obtient ainsi 2 droites du plan yoz qui ont pour équation y = z et y = z. Donc la surface S est un cône d axe Oz et de sommet O Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44

précédent section Traiter les exercices de TD A.2.16, A.2.17, A.2.18. Surfaces de révolution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 45

section précédente chapitre II.6 Plan tangent à une surface, droite tangente à une courbe de l espace II.6.1 Plan tangent à une surface paramétrée............. 47 II.6.2 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne 49 II.6.3 Vecteur tangent à une courbe dans l espace.......... 52 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46

section suivant II.6.1 Plan tangent à une surface paramétrée Exercices : Exercice A.1.15 La surface S est caractérisée par ses équations paramétriques : x = a(u, v) y = b(u, v) (u, v) D IR 2. z = c(u, v) On suppose que les fonctions a, b, c sont différentiables en (u 0, v 0 ), la surface est alors dite différentiable en M 0. Théorème II.6.1. Si la surface S est différentiable en M 0, si les vecteurs a u (u a 0, v 0 ) T 1 (M 0 ) = b u (u 0, v 0 ) c, v (u 0, v 0 ) T 2 (M 0 ) = b v (u 0, v 0 ) u (u c 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) ne sont pas colinéaires, il existe un plan P tangent à S en M 0. Ce plan contient M 0 et les vecteurs T 1 (M 0 ), T 2 (M 0 ). Si les composantes de N = T 1 (M 0 ) T 2 (M 0 ) sont (α, β, γ), l équation de P est α(x x 0 ) + β(y y 0 ) + γ(z z 0 ) = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 47

section suivant Démonstration. Le plan tangent à une surface S en M 0 s il existe, est un plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes tracées sur S et passant par M 0. Admettons que, sous les hypothèses du théorème, ce plan tangent existe, il suffit maintenant de 2 vecteurs pour le caractériser. On définit les courbes C 1 et C 2 paramétrées par : C 1 : x 1 (u) = a(u, v 0 ) y 1 (u) = b(u, v 0 ) z 1 (u) = c(u, v 0 ), C 2 : x 2 (v) = a(u 0, v) y 2 (v) = b(u 0, v) z 2 (v) = c(u 0, v) Ces courbes sont tracées sur la surface S et elles passent par M 0. Un vecteur tangent à C 1 en M 0 est le vecteur de composantes (x 1 (u 0), y 1 (u 0), z 1 (u 0)), or ce vecteur est le vecteur T 1 (M 0 ). De même un vecteur tangent à C 2 en M 0 est le vecteur T 2 (M 0 ). Donc les vecteurs T 1 (M 0 ) et T 2 (M 0 ) sont deux vecteurs non colinéaires du plan tangent, ce qui définit complètement ce plan.. Plan tangent à une surface paramétrée Traiter l exercice de TD A.2.19. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48

précédent section suivant II.6.2 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Exercices : Exercice A.1.16 Théorème II.6.2. La surface S est caractérisée par une équation cartésienne implicite : f(x, y, z) = 0. On suppose que f est différentiable en M 0. On note ( f N 0 = x (x 0, y 0, z 0 ), f y (x 0, y 0, z 0 ), f ) z (x 0, y 0, z 0 ). On suppose que N 0 0, alors N 0 est un vecteur normal à S en M 0, d où l équation du plan tangent à S en M 0 : (x x 0 ) f x (x 0, y 0, z 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0, z 0 ) + (z z 0 ) f z (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Démonstration. Un vecteur normal à une surface en un point est un vecteur normal au plan tangent à la surface en ce point. Soit C une courbe tracée sur la surface S et qui passe par M 0. Si les équations x = α(t) paramétriques de C sont : y = β(t) t I, on a donc z = γ(t) α(t 0 ) = x 0, β(t 0 ) = y 0, γ(t 0 ) = z 0, f(α(t), β(t), γ(t)) = 0 t I. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49

précédent section suivant On suppose que les fonctions α, β, γ sont dérivables, donc la courbe C admet un vecteur tangent en M 0 qui est α (t 0 ) T 0 = β (t 0 ) γ (t 0 ) Appelons g la fonction d une variable définie par g(t) = f(α(t), β(t), γ(t)). Puisque f est différentiable et que α, β, γ sont dérivables, la fonction g est dérivable. Les résultats sur les dérivées des fonctions composées permettent de calculer la dérivée de g : g (t) = f x (α(t), β(t), γ(t))α (t) + f y (α(t), β(t), γ(t))β (t) + f z (α(t), β(t), γ(t))γ (t) Donc en particulier g (t 0 ) = T 0 N 0. Or f(α(t), β(t), γ(t)) = 0 t g(t) = 0 t = g (t 0 ) = 0 T 0 N 0 = 0 On en déduit que le vecteur N 0 est orthogonal à T 0, c est à dire le vecteur N 0 est orthogonal au vecteur tangent à une courbe quelconque tracée sur S et passant par M 0. Ce vecteur N 0 est donc orthogonal au plan tangent à S en M 0, ce qui termine la démonstration. Théorème II.6.3. La surface S est caractérisée par une équation cartésienne explicite : z = φ(x, y), on suppose que φ est différentiable en (x 0, y 0 ) alors l équation du plan tangent à S en M 0 est : (x x 0 ) φ x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) φ y (x 0, y 0 ) (z z 0 ) = 0 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50

précédent section suivant Traiter les exercices de TD A.2.20, A.2.21. Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 51

précédent section II.6.3 Vecteur tangent à une courbe dans l espace Cours : Equation d une courbe dans l espace Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne On a déjà vu dans le paragraphe référencé que, dans le cas d une courbe paramétrée, on obtient facilement un vecteur tangent à C en M 0 : T 0 = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) Comment obtenir un vecteur tangent lorsque C est définie par deux équations cartésiennes : { f1 (x, y, z) = 0. f 2 (x, y, z) = 0 C est alors définie comme l intersection de deux surfaces S 1 et S 2, la droite D 0, tangente à C en M 0 est alors l intersection des plans tangents (quand ils ne sont pas confondus). Un vecteur directeur de cette droite tangente est en particulier orthogonal à chacun des vecteurs normaux, on peut donc obtenir T 0 = N 1 N 2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 52

précédent section Lorsque les plans tangents ne sont pas confondus, les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et le vecteur T 0 n est pas nul. Traiter l exercice de TD A.2.22. Vecteur tangent à une courbe dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 53

précédent suivant Annexe A Exercices A.1 Exercices du chapitre II......................... 55 A.2 Exercices de TD............................. 72 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 54

chapitre section suivante A.1 Exercices du chapitre II A.1.1 Ch2-Exercice1........................... 56 A.1.2 Ch2-Exercice2........................... 57 A.1.3 Ch2-Exercice3........................... 58 A.1.4 Ch2-Exercice4........................... 59 A.1.5 Ch2-Exercice5........................... 60 A.1.6 Ch2-Exercice6........................... 61 A.1.7 Ch2-Exercice7........................... 62 A.1.8 Ch2-Exercice8........................... 63 A.1.9 Ch2-Exercice9........................... 64 A.1.10 Ch2-Exercice10........................... 65 A.1.11 Ch2-Exercice11........................... 66 A.1.12 Ch2-Exercice12........................... 67 A.1.13 Ch2-Exercice11........................... 68 A.1.14 Ch2-Exercice14........................... 69 A.1.15 Ch2-Exercice15........................... 70 A.1.16 Ch2-Exercice16........................... 71 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55

section suivant Exercice A.1.1 Ch2-Exercice1 Démontrer les propriétés du produit scalaire : 1. U 1 U 2 = U 2 U 1 2. 3. 4. (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 ( U 1 U 2 ) 2 ( U 1 U 1 )( U 2 U 2 ) retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56

précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch2-Exercice2 Démontrer les propriétés du produit vectoriel : 1. U 1 U 2 = U 2 U 1, 2. 3. (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57

précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch2-Exercice3 Montrer que U V est égal à l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs U et V, on pourra s aider d une figure. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58

précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch2-Exercice4 Soit D la droite du plan xoy d équation ax + by = c avec (a, b) (0, 0). Soient M 1 et M 2 deux points distincts de D. On note U = (a, b). 1. Montrer que U. M 1 M 2 = 0. 2. En déduire que V = ( b, a) est un vecteur directeur de D. retour au cours Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59

précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch2-Exercice5 Soit D la droite qui passe par le point M 0 et qui a pour vecteur directeur non nul V, montrer que la distance d un point M 1 à D est égale à M 0 M 1 V V Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 60

précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch2-Exercice6 Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit D la droite dont les équations paramétriques sont : x = x 0 + αt y = y 0 + βt, t IR. z = z 0 + γt Montrer que D et Π admettent un point d intersection unique si V. N 0, où N est un vecteur normal à Π, V un vecteur directeur de D. Que se passe-t-il si V. N = 0? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 61

précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch2-Exercice7 Donner les équations paramétriques d un cercle du plan xoy de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 62

précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch2-Exercice8 Donner une équation cartésienne implicite d un cercle du plan xoy de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 63

précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch2-Exercice9 Tracer l ellipse d équation x2 se passe-t-il quand a = b? + y2 a 2 b 2 = 1 où a, b sont deux réels positifs non nuls. Que retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 64

précédent section suivant Exercice A.1.10 Ch2-Exercice10 Donner des équations paramétriques de la demi-sphère définie par : (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z + 1) 2 = 5, y 2. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 65

précédent section suivant Exercice A.1.11 Ch2-Exercice11 1. Donner une équation cartésienne implicite de la sphère de centre (3, 6, 1) et de rayon 6. 2. Donner l équation cartésienne implicite d un plan quelconque. 3. Donner une équation cartésienne implicite du cylindre d axe Oz et de rayon 5. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 66

précédent section suivant Exercice A.1.12 Ch2-Exercice12 Quelle est la surface dont l équation explicite est z = 4x + 3y 8? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 67

précédent section suivant Exercice A.1.13 Ch2-Exercice11 Tracer la courbe dont les équations paramétriques sont : x = a cos ωt y = a sin ωt où a, c, ω sont des réels fixés, 0 t 2π ω z = ct Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 68

précédent section suivant Exercice A.1.14 Ch2-Exercice14 x = a cos ωt Déterminer un vecteur tangent en M 0 à l hélice d équation : y = a sin ωt z = ct Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 69

précédent section suivant Exercice A.1.15 Ch2-Exercice15 Ecrire les équations paramétriques d une sphère de centre O et de rayon R à l aide x = a(θ, φ) de la longitude θ et de la latitude φ sous la forme y = b(θ, φ). Soit M 0 un point de la z = c(θ, φ) sphère de latitude φ 0 et de longitude θ 0, on définit les courbes C 1, C 2 paramétrées par : x 1 (θ) = a(θ, φ 0 ) x 2 (φ) = a(θ 0, φ) C 1 : y 1 (θ) = b(θ, φ 0 ), C 2 : y 2 (φ) = b(θ 0, φ). Tracer les courbes C 1 et C 2 z 1 (θ) = c(θ, φ 0 ) z 2 (φ) = c(θ 0, φ) Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 70

précédent section Exercice A.1.16 Ch2-Exercice16 S est la sphére d équation implicite (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 R 2 = 0. Déterminer un vecteur normal à la sphère en M 0. On note Ω le point de coordonnées (a, b, c), retrouver le résultat bien connu : ΩM 0 est orthogonal à la sphère en M 0. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 71

section précédente chapitre A.2 Exercices de TD A.2.1 TD2-Exercice1........................... 73 A.2.2 TD2-Exercice2........................... 74 A.2.3 TD2-Exercice3........................... 75 A.2.4 TD2-Exercice4........................... 76 A.2.5 TD2-Exercice5........................... 77 A.2.6 TD2-Exercice6........................... 78 A.2.7 TD2-Exercice7........................... 79 A.2.8 TD2-Exercice8........................... 80 A.2.9 TD2-Exercice9........................... 81 A.2.10 TD2-Exercice10.......................... 82 A.2.11 TD2-Exercice11.......................... 83 A.2.12 TD2-Exercice12.......................... 84 A.2.13 TD2-Exercice13.......................... 85 A.2.14 TD2-Exercice14.......................... 86 A.2.15 TD2-Exercice15.......................... 87 A.2.16 TD2-Exercice16.......................... 88 A.2.17 TD2-Exercice17.......................... 89 A.2.18 TD2-Exercice18.......................... 90 A.2.19 TD2-Exercice19.......................... 91 A.2.20 TD2-Exercice20.......................... 92 A.2.21 TD2-Exercice21.......................... 93 A.2.22 TD2-Exercice22.......................... 94 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 72

section suivant Exercice A.2.1 TD2-Exercice1 Déterminer une équation du plan Π passant par le point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et perpendiculaire au vecteur N de composantes (a, b, c). Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 73

précédent section suivant Exercice A.2.2 TD2-Exercice2 1. Montrer que : U ( V W ) = α V + β W 2. Effectuer le produit scalaire avec U et en déduire que α = λ U W, β = λ U V 3. Calculer la première composante de U ( V W ) et en déduire λ. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 74

précédent section suivant Exercice A.2.3 TD2-Exercice3 1. Soient M 1, M 2, M 3 3 points non alignés de coordonnées respectives (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ), déterminer une équation du plan passant par ces 3 points. 2. Application : (x 1, y 1, z 1 ) = (0, 2, 1), (x 2, y 2, z 2 ) = (1, 0, 1), (x 3, y 3, z 3 ) = (0, 0, 1) Réponse : 2x + y z 1 = 0. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 75

précédent section suivant Exercice A.2.4 TD2-Exercice4 1. Tracer la droite D du plan xoy qui a pour équation 2x + 3y = 12. 2. Soit D la droite du plan xoy ayant pour équation 4x + by = c. Existe-t-il un (des) point(s) d intersection entre D et D? Quand il(s) existe(nt), caractériser leurs coordonnées. Discuter en fonction des paramètres b et c. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 76

précédent section suivant Exercice A.2.5 TD2-Exercice5 1. On définit le plan Π passant par le point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et perpendiculaire au vecteur N. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) Montrer que la distance de M 1 à Π vaut M 0 M 1 N N 2. On définit le plan Π d équation ax + by + cz = d. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) Montrer que la distance de M 1 à Π vaut ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 77

précédent section suivant Exercice A.2.6 TD2-Exercice6 Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d. 1. Déterminer un vecteur N normal au plan Π. 2. Soit M 1 le point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), on appelle M 2 la projection orthogonale de M 1 sur Π, déterminer les coordonnées de M 2. 3. En déduire la distance de M 1 à Π.Comparer avec le résultat obtenu dans l exercice A.2.5. 4. Déterminer les coordonnées de M 3 symétrique de M 1 par rapport à Π. Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 78

précédent section suivant Exercice A.2.7 TD2-Exercice7 Soit M 0 un point de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ), V un vecteur non nul de composantes (α, β, γ), on appelle la droite passant par M 0 et de vecteur directeur V. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ). On appelle M 2 la projection orthogonale de M 1 sur. On a alors M 0 M 2 = λ V, déterminer λ. En déduire les coordonnées de M 2. Réponse : M 0 M 2 = ( V V M 0 M 1 ) V. 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 79

précédent section suivant Exercice A.2.8 TD2-Exercice8 On définit les plans Π 1 d équation 3x+4y z = 8, Π 2 d équation x y+2z = 2. Montrer que ces plans ne sont pas parallèles. Utiliser le produit vectoriel pour déterminer un vecteur directeur V de la droite D intersection de Π 1 et Π 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 80

précédent section suivant Exercice A.2.9 TD2-Exercice9 1. Déterminer { un vecteur directeur de la droite D dont les équations cartésiennes x + y + z = 1 sont : x y + 2z = 1. 2. Trouver les coordonnées d un point particulier de D. 3. En déduire des équations paramétriques de D Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 81

précédent section suivant Exercice A.2.10 TD2-Exercice10 1. Soit Π un plan qui contient le point M 1 = (1, 1, 1) et dont un vecteur normal est N = (3, 4, 5). Soit D une droite passant par le point M 0 = (2, 4, 2) et dont un vecteur directeur est V = ( 1, 2, 1). Montrer que Π et D admettent un point d intersection unique dont on déterminera les coordonnées. 2. On suppose maintenant que N = ( 1, 2, 5). Etudier l intersection de D et Π. 3. On suppose maintenant que N = (1, 1, 1). Etudier l intersection de D et Π. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 82

précédent section suivant Exercice A.2.11 TD2-Exercice11 1. Tracer les droites d équation x 2 a 2 y2 b 2 = 0. 2. Tracer les hyperboles d équation x 2 a 2 y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 On pourra en particulier déterminer leurs points d intersection avec les axes. 3. Tracer les hyperboles d équation x2 a 2 + y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 On pourra en particulier déterminer leurs points d intersection avec les axes. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 83

précédent section suivant Exercice A.2.12 TD2-Exercice12 x(t) = Etudier la courbe dont les équations paramétriques sont : 3 t(t 2) y(t) = t2 3 t Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 84

précédent section suivant Exercice A.2.13 TD2-Exercice13 1. Est-ce que tout plan a une équation explicite de la forme z = φ(x, y)? Si oui, montrez le, si non donnez un contre-exemple. 2. Est-ce qu une sphère a une équation explicite de la forme z = φ(x, y)? 3. Donner une équation cartésienne explicite de la demi-sphère définie par : (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z + 1) 2 = 5, y 2 Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 85

précédent section suivant Exercice A.2.14 TD2-Exercice14 On considère la courbe C intersection des 2 surfaces : S 1 = {(x, y, z) IR 3, x = u + v + 1 3, y = u 2v + 1 3, z = 2u + v + 1 3, (u, v) IR2 } S 2 = {(x, y, z) IR 3, x = u cos v, y = u sin v, z = u 2, u IR, v [0, 2π[} 1. Montrer que S 1 est un plan dont on déterminera un point et 2 vecteurs, en déduire l équation implicite de S 1. 2. Déterminer une équation implicite de S 2. 3. En utilisant les équations implicites précédentes, montrer que C est également l intersection d un cylindre et d un plan. 4. Utiliser la question précédente pour obtenir des équations paramétriques de C. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Question 3 Aide 1 Aide 2 Question 4 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 86