Espaces probablsés Chaptre 6 : cours complet Itroducto Défto : Défto 2 : Défto 3 : uvers évèemet aléatore évèemets mpossbles, certas, compatbles 2 Espaces probablsés fs Défto 2 : Défto 22 : Théorème 2 : Théorème 22 : Défto 23 : Théorème 23 : Théorème 24 : probablté sur u esemble f Ω, mesure de probablté, espace probablsé évèemet élémetare ou atomque expresso d ue probablté à l ade d évèemets élémetares défto d ue probablté à l ade des évéemets élémetares probablté uforme sur u esemble f coséqueces de la défto d ue probablté probablté d ue réuo d évèemets 3 robabltés codtoelles, dépedace Théorème 3 et défto 3 : probablté codtoelle Théorème 32 : formule des probabltés composées Défto 32 : dépedace d évèemets Théorème 33 : caractérsato de l dépedace de deux évèemets Théorème 34 : les etre les otos d dépedace Théorème 35 : dépedace et passage au complémetare Défto 33 : système complet d évèemets Théorème 36 : formule des probabltés totales Théorème 37 : formule de ayes 4 Esembles déombrables Défto 4 : esemble f Défto 42 : hors programme esemble f Défto 43 : esemble déombrable Théorème 4 : éumérato des élémets d u esemble f ou déombrable Théorème 42 : hors programme partes de Théorème 43 : hors programme caractérsato des esembles fs ou déombrables Théorème 44 : produt cartése d esembles déombrables Théorème 45 : hors programme réuo déombrable d esembles au plus déombrables 5 Espaces probablsés Défto 5 : Théorème 5 : Défto 52 : Théorème 52 : Théorème 53 : Rappel : Théorème 54 : Théorème 55 : trbu proprétés élémetares d ue trbu probablté sur Ω,, espace probablsé coséqueces de la défto d ue probablté probablté d ue parte fe correspodace de vocabulare cotuté crossate et décrossate d ue probablté probablté d ue réuo d évèemets 6 robabltés codtoelles Théorème 6 et Défto 6 : probablté codtoelle Théorème 62 : formule des probabltés composées Théorème 63 : gééralsato de la formule des probabltés composées Défto 62 : dépedace d évèemets et dépedace mutuelle Théorème 64 : caractérsato de l dépedace de deux évèemets Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - -
Théorème 65 : Défto 63 : Théorème 66 : Défto 64 : Théorème 67 : Théorème 68 : les etre les otos d dépedace système complet déombrable d évèemets formule des probabltés totales évéemet presque sûr, évéemet églgeable gééralsato système quas complet d évéemets formule de ayes Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 2 -
Espaces probablsés Chaptre 6 : cours complet Itroducto La théore des probabltés a pour ambto de décrre des phéomèes aléatores ou soums au hasard e expérece das le cotexte qu sut est ue stuato reouvelable qu doe leu à l obteto d u résultat quatfable e expérece ou phéomèe aléatore est ue stuato reouvelable dot le résultat est susceptble de varer à chaque essa de faço o prévsble Etuder u phéomèe aléatore suppose doc : d soler et de défr tout d abord ue expérece aléatore précse, de costrure u modèle probablste de cette expérece, de valder ce modèle e cofrotat les résultats auxquels l codut aux doées recuelles lors de l expérece e questo Ce derer pot est l objet de la statstque S le modèle est valdé à supposer qu o compree claremet ce que cela sgfe, o pourra cosdérer le modèle comme valable, et doc pertet pour fare des prédctos sur l expérece et d e proposer ue explcato exemple : le lacer d u dé à 6 faces Ic, l expérece est smple, pusque c est le lacer de dé Le résultat de cette expérece est le ombre de pots obteus sur la face supéreure du dé Das l acceptato tutve que l o a des choses, o cosdèrera que chaque valeur etre et 6 a autat de «chaces» de sortr L observato de cette expérece sur u grad ombre de cas étude statstque devrat permettre de valder cette hypothèse ou de mettre e évdece par exemple u déséqulbre du dé, et de fat, de modfer la modélsato autat de chaces pour chaque résultat qu o avat fate de cette expérece Défto : uvers Etat doé ue expérece aléatore, o appelle uvers de cette expérece l esemble gééralemet oté Ω des résultats possbles de cette expérece ou esemble des «évetualtés», des «réalsatos», des «ssues» de cette expérece remarques : e pratque, cet esemble Ω est pas toujours précsé l esemble Ω dot être chos pour être adapté à l expérece étudée l esemble Ω déped de l expérece et de ce que l o veut étuder sur l expérece l exste souvet pluseurs chox possbles pour Ω et l est dffcle de justfer que ces dfférets chox codurot à des résultats detquemet e accord avec l expérece C est par le bas des statstques qu a posteror o peut justfer de la pertece du chox de Ω et de so adéquato avec l expérece exemples le lacer d u dé à sx faces et l exame du résultat : Ω {, 2, 3, 4, 5, 6}, sot 6 élémets, le lacer d ue pèce : Ω {,F}, sot 2 élémets, le lacer smultaé de deux dés dscerables et l exame des ombres apparassat sur les dés : Ω {, 2, 3, 4, 5, 6} {, 2, 3, 4, 5, 6}, sot 36 élémets, das ue ure avec boule blache et deux boules ores, le trage d ue boule : Ω {,N}, le trage successf de deux boules avec remse : Ω {,,,N, N,, N,N}, le trage successf de deux boules sas remse : Ω {,N, N,, N,N}, le trage smultaé de deux boules : Ω {{,N}, {N,N}}, e otat l ambguïté de la Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 3 -
otato {N,N} pusque das la descrpto d u esemble, o e répète pas u élémet, ue dstrbuto de cartes etre 4 joueurs de brdge : Ω est l esemble des réparttos possbles de 52 cartes e ue partto de ces 52 cartes e 4 sous-partes de 3 cartes chacue sot u esemble de 53 644 737 765 488 792 839 237 44 élémets, la déstégrato d u oyau d uraum 238 : Ω ],, sot l esemble des stats possbles où le oyau se déstègre, après le début de l observato, ou : Ω *, s o dscrétse l échelle des temps Défto 2 : évèemet aléatore Etat doé ue expérece, o appelle évèemet aléatore ou évèemet u état pouvat être observé ou pas suvat le résultat de cette expérece E termes de logque, cela correspod à ue proposto portat sur le résultat de l expérece, qu pourra être vrae ou fausse suvat le résultat obteu exemples 2 e repreat les tems de l exemple das le lacer d u seul dé : évéemet : «le dé doe u ombre par», {2,4,6}, das le lacer d ue pèce : évéemet : «la pèce doe le», {}, das le lacer smultaé de deux dés dscerables : évéemet : «la somme des dés est plus grade que», {6,4, 5,5, 4,6, 6,5, 5,6, 6,6}, avec ue ure coteat boule blache et 2 boules ores : trage d ue boule : évéemet : «la boule trée est blache» {}, trage successf de deux boules avec remse : évéemet : «l ue des boules trées est ore», {,N, N,, N,N}, trage successf de deux boules sas remse : évéemet : «l ue des boules trées est ore», Ω, trage smultaé de deux boules : évéemet : «l ue des boules trées est blache», {{,N}}, das la dstrbuto de cartes etre 4 joueurs de brdge : évéemet : «chaque joueur a qu ue seule couleur das so jeu», est formé de 24 élémets, chaque élémet est ue répartto {{3 trèfles}, {3 cœurs}, {3 carreaux}, {3 pques}} e permutat les jeux attrbués à chaque joueur, das la déstégrato d u oyau d uraum 238 : évéemet : «au bout d ue heure, le oyau s est déstégré», ],36] avec le temps exprmé e secodes, cas cotu, {, 2,, 36} cas dscret Défto 3 : évèemets mpossbles, certas, compatbles Etat doé ue expérece, o dt qu u évèemet est mpossble s l e se réalse jamas, autremet dt : ω Ω, ω, sot ecore : De même, u évèemet est dt certa s l se réalse toujours, autremet dt : ω Ω, ω, sot ecore : Ω Ef, deux évèemets et sot dts compatbles s ls e peuvet jamas se réalser e même temps, sot : ω Ω, ω, ou ecore : remarques : O cosdère que s est u évèemet, so cotrare sot est auss u évèemet, Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 4 -
S o cosdère deux évèemets et, o mage que leur cojocto et est ecore u évèemet, De même, pour deux évèemets et, leur dsjocto ou est ecore u évèemet correspodace de vocabulare : probablste esemblste résultat possble de l expérece ω, élémet de Ω évèemet, sous-esemble de Ω est réalsé ω mplque ou et cotrare de e se produt pas complémetare de das Ω évèemet mpossble évèemet certa Ω et sot compatbles exemples 3 : le lacer smultaé de deux dés dscerables das ce cas, l peut être utle de supposer les dés dscerables par exemple de couleurs dfféretes pus oubler cette caractérstque das les coclusos par exemple s o veut examer : évéemet : «la somme des ombres affchés est supéreure à 9», o pourrat evsager : Ω {2,3,4,5,6,7,8,9,,,2} tous les résultats possbles, {9,,,2}, mas o verra qu l est alors dffcle d évaluer avec quelle fréquece o obtedra tel ou tel résultat ou quelle probablté affecter à tel ou tel évéemet Il peut alors être plus judceux de redre les dés artfcellemet dscerables et : Ω {,2,3,4,5,6} {,2,3,4,5,6} tous les couples possbles de résultats, et devet : {3,6,4,5,5,4,6,3,4,6,5,5,6,4,5,6,6,5,6,6} Il sera alors plus facle d évaluer les fréqueces d occurrece et les probabltés sur Ω s o cosdère l évèemet «obter ue somme supéreure ou égale à 9», l est légtme d evsager l évèemet «obter ue somme strctemet féreure à 9» les évéemets suvats sot compatbles : «obter ue somme pare», «obter ue somme mpare», et les partes correspodates de Ω sot dsjotes s o peut cosdérer : évéemet : «obter ue somme supéreure ou égale à», représeté par {5,6,6,5,6,6} évéemet : «obter au mos u 5», représeté par : {5,,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,,5,2,5,3,5,4,5,6,5} o peut cosdérer leur cojocto ou leur dsjocto : évéemet et : «obter ue somme supéreure ou égale à avec au mos u 5», {5,6,6,5}, évéemet ou : «obter ue somme supéreure ou égale à ou au mos u 5», {5,,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,,5,2,5,3,5,4,5,6,5,6,6} 2 Espaces probablsés fs Défto 2 : probablté sur u esemble f Ω, mesure de probablté, espace probablsé Sot Ω u esemble f O appelle probablté sur Ω ou mesure de probablté sur Ω ue applcato de Ω das [,] telle que : Ω, pour tout couple d évèemets dsjots et et doc tels que :, o a : Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 5 -
+ tel couple Ω, est alors appelé espace probablsé Défto 22 : évèemet élémetare ou atomque, évéemet églgeable, presque sûr Sot Ω,, e espace probablsé f Tout sgleto {ω} de Ω est appelé évèemet élémetare ou atomque O dra qu u évéemet de Ω est églgeable lorsque : O dra qu u évéemet de est presque sûr lorsque : remarques : Ω est appelé comme dqué das la parte uvers de l expérece Cet uvers dot doc être chos pour être e adéquato avec l expérece, e partculer pour que toute parte de Ω représete be u évéemet Lorsque ça est pas le cas, l exste ue oto plus géérale les trbus, vor cours de spé qu permet de cotourer cette dffculté ar exemple lorsque l o lace deux dés dscerables, l arrve courammet qu o rede les dés artfcellemet dscerables umérotés et 2, mas alors la parte {5,6} de l uvers «aturel» : Ω {, 2, 3, 4, 5, 6} {, 2, 3, 4, 5, 6}, e représete pas u évèemet de l expérece «réelle» alors que {5,6,6,5} le pourrat Das le cas de certaes partcules quatques, s o cherche le ombre de possbltés par exemple pour deux bosos d occuper u certa ombre d états quatques dfférets deux états et par exemple, l est plus possbles de les cosdérer comme deux partcules dscerables E effet les partcules sot effectvemet modélsées par des élémets dscerables Evsager par exemple les états, 2,, 2,, 2 et, 2 avec ue probablté detque pour chaque état est pas correct et o retedrat alors,,, et, avec ue probablté uforme cotraremet à ce qu o ferat classquemet avec deux pèces Théorème 2 : expresso d ue probablté à l ade d évèemets élémetares Sot Ω, u espace probablsé f lors : Ω, ω, où o a oté : ω { ω} ω démostrato : ar récurrece sur le ombre d élémets de S est u sgleto c est mmédat S o admet le résultat pour toute parte de Ω comportat k élémets avec : k, alors sot ue parte de Ω comportat k+ élémets et otos : { ω } ', avec : ' k, et doc tel que : {ω} ω + ' ω + ω ω lors : { k+ } k+ ω ' ω Théorème 22 : défto d ue probablté à l ade des évéemets élémetares Sot Ω u esemble f de cardal Soet p,, p des réels postfs de somme S o ote a,, a les élémets de Ω, alors l applcato défe sur Ω par : a p,, { } Ω, { a}, a déft sur Ω ue probablté vec le théorème 2, o e dédut que toute probablté sur u esemble f est détermée de faço uque par sa valeur sur les évéemets élémetares démostrato : as défe est claremet à valeurs das + o a : Ω { a} { a } p a Ω Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 6 -
, Ω 2, tel que :, o a : a a + a + a { } { } { } a a Défto 23 : probablté uforme sur u esemble f Sot Ω u esemble f de cardal O appelle probablté uforme sur Ω l applcato défe par : ω Ω, { ω } ω card Ω card O a alors : Ω, card Ω exemples 2 le résultat du lacer d u dé équlbré codura à chosr : Ω {,2,3,4,5,6}, et la probablté uforme sur Ω, défe par : 6, 6 le résultat du lacer d u dé ppé doat plus souvet 6 codura à chosr : Ω {,2,3,4,5,6}, et telle que : 2 6 par exemple, et : 5,, 3 3 5 5 de telle sorte que la somme des probabltés fasse be la somme des faces pour le lacer de deux dés dscerables o ppés : o pourrat chosr : Ω {2,3,4,5,6,7,8,9,,,2}, mas la lo de probablté est pas smple à détermer, o chosra : Ω {,2,3,4,5,6} {,2,3,4,5,6}, e redat les dés artfcellemet dscerables parce qu as o mut Ω de la probablté uforme Théorème 23 : coséqueces de la défto d ue probablté Sot Ω, u espace probablsé f, Ω,,, Ω 2,, Ω 2, + e partculer :, Ω 2, + démostrato : usque :, o a : +, et : usque :, o a : Ω +, sot : our :, o peut écrre : \, avec : \ Doc : + \, et état à valeurs postves, o dédut : O part esute de : \, uo dsjote, et : \ +, \, uo dsjote, et : \ +, \ \, et : \ + + \, et e soustrayat les deux premères égaltés à la trosème, o obtet le résultat pusque est postve, o e dédut le derère résultat remarque : O peut égalemet établr ces résultats e examat tous les élémets des esembles cosdérés et e utlsat le théorème 2 exemple 22 O cosdère le lacer de tros dés dscerables et équlbrés et o cherche la probablté que deux au mos des tros dés présetet des résultats égaux Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 7 -
O utlse c l uvers : Ω {,2,3,4,5,6} 3, e redat les tros dés artfcellemet dscerables et la probablté uforme sur Ω Il est plus facle de chercher la probablté que les tros dés doet des résultats dfférets 654 5 Il y a : 654 2 cas où cela arrve et ue probablté égale à : p 3 6 9 5 4 Doc la probablté cherchée est : p ' 9 9 Théorème 24 : probablté d ue réuo d évèemets Sot Ω, u espace probablsé f S est ue famlle fe d évèemets de Ω, alors : + + E partculer s les évéemets sot compatbles deux à deux, alors : + + démostrato : O le démotre par récurrece sur le ombre de partes de Ω our ue seule parte, c est mmédat S o suppose le résultat établ pour partes de Ω avec :, o peut alors cosdérer + partes de Ω et écrre : + + + + + + + e utlsat le théorème 23 pour la premère égalté our le deuxème résultat, o peut égalemet le démotrer par récurrece, e remarquat que das la phase d hérédté, l égalté obteue est ue égalté pusque : + + + exemple 23 Das le lacer d u dé équlbré à 6 faces, o ote les évéemets : k «obter le ombre k», pour : k 6 O chost l uvers : Ω {,2,3,4,5,6}, mu de la probablté uforme Les évéemets et 2 sot compatbles et doc : 2 + 2 2 + 2 + 6 6 3 remarque : L égalté obteue das le théorème 23 pour ue uo de deux partes de Ω est gééralsée das le théorème 24 das le cas de partes dsjotes 2 à 2 Le formule doat la probablté d ue réuo das le cas gééral de partes quelcoques est appelée formule du crble ou formule de ocaré et est hors programme vor exercces 3 robabltés codtoelles, dépedace Théorème 3 et défto 3 : probablté codtoelle Sot Ω, u espace probablsé f S est u évèemet tel que : >, alors l applcato défe par : Ω,, est ue probablté sur Ω, appelée probablté codtoelle sachat O otera égalemet :, et o lra «probablté de sachat» démostrato : est correctemet défe sur Ω et à valeurs das [,] car : Ω,, et :, pusque :, Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 8 -
Ω Ω C,D Ω 2, s : C D, alors : C D, et : C D C D C + D C D C + D coveto : S Ω, est u espace probablsé f et s : Ω, avec :, alors o covet de oter : Théorème 32 : formule des probabltés composées Sot Ω, u espace probablsé f Soet et deux évèemets de Ω, tels que :, lors : démostrato : Il sufft de repredre la défto des probabltés codtoelles e échageat les rôles de et de exemple 3 Das u chapeau l y a tckets umérotés de à O tre successvemet tros tckets du chapeau Quelle est la probablté de e trer que des uméros pars? Notos l évéemet : «le ème tcket tré est par» L évéemet dot o cherche la probablté est doc : 2 3 5 lors : 2 4 De même : 2, qu correspod à trer u deuxème tcket par sachat que le premer l est 9 3 Ef : 3, qu correspod à trer u trosème tcket par sachat que les deux premers 2 8 sot pars Falemet, la probablté cherchée est : 2 3 3 2 3 2 2 2 remarque : O pourra chercher à précser l uvers Ω utlsé c et décrre les évéemets précédets comme des partes de Ω O pourra oter que pour u chox «aturel» de Ω, la probablté utlsée est la probablté uforme remarque : gééralsato de la formule précédete S pour : 2,,, sot des évéemets de Ω tels que : I, alors : I 2 2 3 O dédut ce résultat mmédat par récurrece à partr du théorème 32, e remarquat au préalable j que pusque : j, I I, o a : I j Défto 32 : dépedace d évèemets Sot Ω,, u espace probablsé f Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 9-2 4 9 3 8 2
Deux évèemets et de Ω sot dts dépedats s et seulemet s : Des évèemets d ue famlle j de partes de Ω sot dts dépedats das leur esemble ou mutuellemet dépedats s et seulemet s : J, o a : I J J Théorème 33 : caractérsato de l dépedace de deux évèemets Sot Ω, u espace probablsé f et sot :, Ω 2 S : >, alors et sot dépedats s et seulemet s : démostrato : Ce résultat est mmédat car s :, alors : Doc et sot dépedats s et seulemet s :, d où le résultat remarque : La lecture de la derère égalté sgfe que la probablté d obter sas autre dcato supplémetare est la même que celle d obter sachat, autremet dt, la coassace de la réalsato ou o de flue e re sur la coassace de la réalsato de remarque : Il e faut pas cofodre dépedace et compatblté Des évéemets compatbles sot très raremet dépedats E effet, deux évéemets et sot compatbles s et seulemet s o a : Ils e peuvet alors être dépedats que s :, ou : ar exemple das le lacer d ue pèce équlbrée, obter le ou Face sot deux évéemets compatbles mas pas dépedats E effet : { Face} { le}, alors que : { Face} { le} 2 2 2 4 Itutvemet, s o obtet pas le o a de fortes chaces! d obter Face exemple 32 O repred l exemple 3 u chapeau et tckets umérotés de à S o tre deux tckets successvemet avec remse, obter u tcket uméroté par au 2 ème trage e déped pas de ce qu o a obteu au premer trage E effet, e otat l évéemet «le ème tcket tré porte u uméro par», alors : 5 55, et : 2 2 2 2 4 La deuxème probablté est obteue avec ue probablté uforme sur l esemble des couples de ombres de à, modélsat as les deux trages successfs avec remse Il y a be dépedace «mathématque» des évéemets, cofrmat l dépedace «tutve» qu o peut mager Théorème 34 : les etre les otos d dépedace Sot Ω, u espace probablsé f la codto d dépedace pour ue famlle de évèemets correspod e fat à satsfare 2 égaltés s : 2, das la défto précédete, o retrouve la premère défto s des évèemets sot mutuellemet dépedats, ls sot dépedats deux à deux, mas la récproque est fausse démostrato : s l esemble d dces J cosdéré comporte dce J ou dce u sgleto, la codto d dépedace est toujours satsfate sot e tout égalté Doc l dépedace de évéemets correspod be à 2 ombre de famlles d dces possbles Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - -
mos + famlles d dces et doc 2 codtos à satsfare pour u esemble J d dces avec : 2, élémets, et doc :, 2, l y a ue seule codto à satsfare correspodat à : 2 2 supposos que sot ue famlle de évéemets mutuellemet dépedats lors pour tout couple, j, avec : j, o utlse l esemble d dces : J {,j}, et o réécrt l égalté pour cet esemble J qu doe : j j, sot be l égalté qu motre l dépedace de et de j s o cosdère u esemble : Ω {a,b,c,d}, mu de la probablté uforme et les évéemets : {a,d}, {b,d}, et : C {c,d}, alors : C, avec le théorème 2 2 us : { d}, de même pour C et C 4 Mas : C { d}, alors que : C 4 8 Ils sot doc dépedats deux à deux sas être mutuellemet dépedats remarque : Ces codtos correspodet be à l dée «tutve» qu o peut se fare de l dépedace Cosdéros e effet u lacer smultaé de deux dés à sx faces, et les évéemets : : «le premer dé doe u résultat par», : «le secod dé doe u résultat par», C : «la somme des deux dés est pare» lors : 2 ar exemple, pour l y a 3 cas favorables 2, 4, 6 sur 6 cas au total,2,3,4,5,6 De même e examat tous les cas 36 possbltés e tout : C, C C 2 4 our C par exemple, cela correspod aux 8 sommes favorables : 2 couple :,, 4 3 couples :,3, 2,2, 3,, 6 5 couples :,5, 2,4, 3,3, 4,2, 5,, 8 5 couples : 2,6, 3,5, 4,4, 5,3, 6,2, 3 couples : 4,6, 5,5, 6,4 et 2 couple : 6,6 sur 36 cas au total possbles utremet dt les évéemets, et C sot deux à deux dépedats Mas, toujours avec l exame de tous les cas : C C 4 8 C est assez cohéret avec l approche «tutve» qu o a des choses E effet, s et sot réalsés les deux dés doet chacu u résultat par, la somme a de très fortes chaces! d être pare égalemet Théorème 35 : dépedace et passage au complémetare Sot Ω, u esemble probablsé f Soet et deux évéemets de Ω dépedats lors et, sot dépedats as que et, ou ecore et démostrato : O commece par calculer : \, pusque [ \ ] et sot dsjots Doc : [ ] Les autres résultats s obteet par passage au complémetare Défto 33 : système complet d évèemets Sot Ω, u espace probablsé f O dt que est u système complet d évèemets s et seulemet s : Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - -
,j 2, j j, compatbles deux à deux, Ω La famlle forme ue partto de l esemble Ω exemples 33 das u lacer uque de pèce, les évéemets «obter le» et «obter Face» formet u système complet d évéemets das ue ure se trouvet 3 boules Rouges et boule Nore cas : o tre ue boule de l ure successvemet et sas remse 4 fos de sute Les évéemets : «o tre ue boule Nore au ème trage», 4, formet u système complet d évéemets E effet, le fat qu l y at qu ue seule boule Nore fat que ces évéemets sot compatbles et pusqu o tre 4 boules e tout et que l ure cotet auss 4 boules, la réuo de ces évéemets doe be l uvers de l expérece cas 2 : s e revache o e procède qu à 3 trages das la même cofgurato, les évéemets : «o tre ue boule Nore au ème trage», 3, e formet plus u système complet d évéemets E effet ces évéemets sot toujours compatbles, mas leur réuo e doe plus l uvers de l expérece car le cas où l o tre 3 fos ue boule Rouge est pas obteu à l ade des évéemets précédets Théorème 36 : formule des probabltés totales Sot Ω, u espace probablsé f et u système complet d évèemets tel que :, lors pour tout : Ω, o a : démostrato : Il sufft d écrre : Ω, us : j, Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 2 - Ω j j Les évéemets sot doc deux à deux compatbles et par récurrece sur le ombre d évéemets du système complet, o obtet : exemples 34 Das u chapeau se trouvet tckets umérotés de à, et o tre deux tckets de sute sas remse Quelle est la probablté qu au deuxème trage, le uméro tré sot par? O cosdère les évéemets : k «le uméro obteu au k ème trage est par», pour : k 2, I k «le uméro obteu au k ème trage est mpar», pour : k 2 {, I } costtue alors u système complet d évéemets O cherche la probablté 2, qu s obtet doc avec : 4 5 + I + 2 2 I 2 9 2 9 2 2 Etat doé deux ures dscerables, das la premère ure u se trouvet 3 boules Rouges et 2 boules Nores et das la secode u 2 se trouvet 3 boules Rouges et 5 boules Nores O chost au hasard ue ure, pus o tre ue boule de cette ure Quelle est la probablté que la boule trée sot Nore? O suppose tout d abord que l ure chose l est de faço équprobable pus que les boules das les deux ures sot dscerables et doc que la probablté modélsat l extracto d ue boule est
uforme O utlse alors le système complet d évéemets : «l ure chose pour le trage est l ure uméro», pour : 2 lors l évéemet : N «la boule trée est Nore», a pour probablté : 2 5 4 N N + N + 5 2 8 2 8 Théorème 37 : formule de ayes Sot Ω, u espace probablsé f S et sot évéemets de probablté o ulle, alors : S de plus u système complet d évèemets tel que :,, alors : j j Ω, tel que : >, o a : j, j démostrato : La démostrato est mmédate, pusque par défto, pour :, o a :, et doc : De même pour :, o a : D où le résultat avec l égalté qu e découle Le deuxème pot s obtet e remarquat smplemet que : des probabltés totales Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 3 -, par la formule exemple 35 e grad-mère surpred so pett fls à metr et lu dt alors : «o commece par metr et o ft crmel!», car elle a lu u joural affrmat que 9% des crmels ot met durat leur eface alors que seulemet 2% des ges hoêtes l ot fat ar alleurs, la populato compte % de crmels Le pett-fls fra-t-l vramet sa ve comme u crmel? Notos tout d abord ue erreur classque de logque cofodre ue mplcato et sa récproque : Crmel souvet Metr, le pett-fls met doc l fra crmel Modélsos éamos cette stuato statstque e magat qu elle codut à évaluer des probabltés pour le dever des efats O pose doc les évéemets : C «être crmel», M «metr durat so eface» l ade des costatatos statstques précédetes, o peut alors supposer que pour u dvdu prs au hasard : C M 9, et : C M 2 C C M 9 O veut alors évaluer : M C 43 C M + C M 9 + 992 C utremet dt, l efat a das cette stuato 43% de «chaces» de dever crmel remarque : La formule de ayes est souvet appelée formule des probabltés des causes pusqu elle semble doer des formatos sur ue étape tale d ue expérece, coassat le résultat de cette expérece C est ue formulato ambguë car elle suppose ue chroologe ou au mos ue atérorté causale Das l exemple précédet, elle correspod smplemet à ue évaluato d ue proporto comme les C
probabltés qu ot serv à costrure la modélsato mas rapportée à ue populato dfférete de la populato totale evsagée talemet lus précsémet pour la probablté cherchée, c est la proporto de crmels parm les meteurs et o plus parm la populato totale ce ttre et malgré les appareces, elle est e fat complètemet symétrque vs-à-vs des deux évéemets qu elle met e jeu exemple 36 : Cosdéros deux ures dscerables au toucher telles que u cotet 97 boules laches et 3 boules Nores, et u 2 cotet 98 boules Nores et 2 boules laches O tre les yeux fermés ue boule das ue ure chose au hasard et o costate qu elle est Nore Quelle est la probablté que l ure das laquelle la boule a été trée sot l ure u 2? La répose tutve est que cette probablté est mportate pusque s o a tré la boule de l ure u, l y a peu de «chaces» qu o at tré ue boule Nore Là ecore la formule de ayes doe la répose : 3 98 2, et : N, N 2 2 98 98 Doc : 2 N 2 97 98 2 4 Esembles déombrables + 3 2 Défto 4 : esemble f Sot E u esemble O dt que E est f s et seulemet s l exste u eter :, tel que E sot e bjecto avec : {,, } S :,, et cet esemble caractérse l esemble vde Remarques : O admet que l eter précédet est uque o motre que s l exste ue jecto de N das N p, alors : p, et doc s l exste ue bjecto de N das p par l termédare d u esemble f E, alors : p est évdemmet le cardal de E e défto équvalete est de dre qu l exste :, tel que E sot e bjecto avec {,, } E effet, l applcato f de das {,, }, qu à k fat correspodre k, est bjectve Défto 42 : hors programme esemble f Sot E u esemble O dt que E est f s et seulemet s E est pas f Remarque : e autre défto du fat que E est f est de dre qu l exste ue bjecto etre E et ue de ses partes strctes ou propres E, c'est-à-dre telle que : E E, E E Exemples 42 : toute parte o majorée de est fe est f car est e bjecto avec + * par l expoetelle, et : + *, avec : + * Défto 43 : esemble déombrable Sot E u esemble O dt que E est déombrable s l exste ue bjecto de E das Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 4 -
Théorème 4 : éumérato des élémets d u esemble f ou déombrable Sot E u esemble S E est f, alors :, E {x,, x }, où les x sot dstcts deux à deux S E est f, alors : E {x k, k }, où les x k sot dstcts deux à deux démostrato : S E est f, sot ϕ ue bjecto de E das, alors e otat : k, x k ϕ - k, o costate que les x k sot dstcts deux à deux pusque ϕ et ϕ - sot jectves et que : E {x,, x } {ϕ -,, ϕ - }, pusque ϕ et ϕ - sot surjectves S E est déombrable, o cosdère de même ue bjecto ϕ de E das, et o ote alors :, x ϕ - Comme das le premer pot, les x sot dstcts deux à deux et : E {ϕ -, } {x, }, pusque ϕ et ϕ - sot surjectves Remarques : Toute parte d u esemble f est fe S E et F sot fs, alors E F, E F, E \ F et E F sot fs Théorème 42 : hors programme partes de Sot ue parte de lors est fe ou déombrable o dt alors que est «au plus déombrable» démostrato : Sot doc ue parte de, qu o va supposer fe O déft par récurrece l applcato ϕ de la faço suvate : ϕ m, qu exste pusque est ue parte o vde de, o pose : ϕ m \ {ϕ,, ϕ }, autremet dt le plus pett élémet de ue fos élmés les premers plus petts Remarquos que ϕ exste pour tout so serat f L applcato ϕ est ue bjecto de das E effet : elle est jectve, car s : p q par exemple : p > q, alors : ϕp {ϕ,, ϕq}, et doc : ϕp ϕq elle est surjectve our cela sot : a Supposos que :, ϕ a O aurat alors : *, a \ {ϕ,, ϕ }, et par défto de ϕ : ϕ a O a de plus par défto de ϕ : ϕ a Doc a serat u eter majorat ue parte fe de ce qu est mpossble Doc ϕ est jectve et surjectve et elle déft ue bjecto de das E E est doc alors déombrable Remarque : De même, toute parte d u esemble déombrable est fe ou déombrable au plus déombrable Théorème 43 : hors programme caractérsato des esembles fs ou déombrables Sot E u esemble E est f ou déombrable s et seulemet s l exste ue surjecto de das E démostrato : La codto est écessare E effet, s E est déombrable alors l exste ue bjecto de E das et doc ue bjecto de das E, par exemple la récproque de la précédete qu o peut oter ϕ ϕ est doc ue applcato surjectve de das E S E est f, l exste ue bjecto de E das {,, } doc e otat f sa récproque, o peut alors costrure ϕ de das E par : k, ϕk fk, pus : k, ϕk f L applcato ϕ as costrute est claremet surjectve de das E La codto est suffsate Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 5 -
E effet, s f est ue surjecto de das E, alors : x E, f - x est ue parte o vde de E pusque f est surjectve O pose alors : x E, mx m{, f x} O dspose as d ue applcato m de E das, et par costructo : fom d E Doc m est jectve m est doc bjectve de E das : me E est doc e bjecto avec ue parte de et E est doc fe ou déombrable Théorème 44 : produt cartése d esembles déombrables Soet E et F deux esembles déombrables lors E F, esemble des couples formés d u élémet de E et d u élémet de F, est déombrable démostrato : Commeços avec : E F 2, et motros qu l exste ue bjecto de 2 das O utlse pour cela ce que l o appelle l éumérato dagoale O pose pour cela : a,b 2, f a, b b + + + + a + b O pourra essayer de représeter 2 sur des axes Ox et Oy d u repère orthoormé et dquer e chaque pot a,b l mage fa,b pour compredre l orge de «éumérato dagoale» f as costrute est bjectve our cela :, o ote : u + + +, et o remarque que u est strctemet crossate Sot mateat : p - S l exste u couple : a,b 2, tel que : p f a, b + + + a + b + b u b, a + b + um + a + b um + m < um + m + um+ alors avec : m a + b, o a : u m um + b p D autre part : b p u, et : a m b m - Récproquemet, u état strctemet crossate, o sat que :! m, tel que : u m p < um+ osos alors : b p u, et : a m b uque possblté m O costate esute que : b par défto de m, pus : b p um < um+ um m +, autremet dt : b m, et doc : a utremet dt, l uque couple a,b as trouvé est u élémet de 2 et par costructo, o a be : f a, b b + u b + u p a + b m f état bjectve de 2 das, 2 est doc déombrable Cosdéros mateat E et F deux esembles déombrables Sot f ue bjecto de E das, et g ue bjecto de F das lors l applcato h défe par : x,y E F, hx,y fx,gy, est ue bjecto de E F das 2, et par composto, o e dédut qu l exste ue bjecto de E F das E F est doc déombrable Théorème 45 : hors programme réuo déombrable d esembles au plus déombrables Sot E ue famlle déombrable d esembles fs ou déombrables lors la réuo : E E, est fe ou déombrable Démostrato : Chaque esemble E état f ou déombrable, l exste ue bjecto f de das E Cosdéros alors l applcato ϕ de das E défe par :,p, ϕ,p f p ϕ est surjectve E effet : a E,, a E, et : p, a f p, autremet dt : a ϕ,p Notos ef ψ ue bjecto de das L applcato ϕoψ est alors surjectve de das E et E est f ou déombrable 5 Espaces probablsés Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 6 -
Défto 5 : trbu Sot Ω u esemble e famlle de partes de Ω sot u sous-esemble de Ω est appelée trbu sur Ω s et seulemet s elle vérfe les proprétés suvates : Ω,,,, N Théorème 5 : proprétés élémetares d ue trbu S est ue trbu sur Ω, alors :,,, N, I, I,,, 2, démostrato : Ω est das et est stable par passage au complémetare et : Ω, doc : S est ue famlle fe d élémets de, l sufft de poser :,, et : +, Ω, pour avor :, et comme tous les sot das, o a doc : Il sufft de remarquer que :, De même :, I N I, et : I N N N, et : I Ce derer pot est u cas partculer du pot 3 pour deux élémets de Remarques : La oto de trbu permet d étedre le cadre Ω utlsé pour défr des probabltés sur les esembles fs L esemble Ω est toujours cesé servr de cadre à la modélsato d ue expérece aléatore et représete l esemble des évéemets evsagés pour le résultat de cette expérece Défto 52 : probablté sur Ω,, espace probablsé Sot Ω u esemble et ue trbu sur Ω O appelle probablté sur Ω, ue applcato de das [,] telle que : Ω, pour toute sute d élémets de dsjots deux à deux évéemets deux à deux compatbles, la sére est covergete et : N Cette derère proprété est appelée σ-addtvté de tel trplet Ω,, est appelé espace probablsé et les élémets de sot appelés évéemets Théorème 52 : coséqueces de la défto d ue probablté Sot Ω,, u espace probablsé, Sot :, tel que les élémets sot deux à deux dsjots Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 7 -
lors :,, 2,, 2, + e partculer :, 2, +, 2, +, 2, \ démostrato : O pose :,, et la famlle est ue famlle d élémets de deux à deux dsjots Doc la sére coverge, mas tous les termes état égaux, cette sére est la sére ulle d où o dédut que :, Il sufft de costrure :,, et : +, La famlle est ue famlle d élémets de deux à deux dsjots doc la sére coverge et : N * usque :, o a : Ω +, sot : our :, o peut écrre : \, avec : \ Doc : + \, et état à valeurs postves, o dédut : O part esute de : \, uo dsjote, et : \ +, \, uo dsjote, et : \ +, \ \, et : \ + + \, et e soustrayat les deux premères égaltés à la trosème, o obtet :, d où le résultat usque est postve, o e dédut le derère résultat O retrouve avec :, le deuxème pot das le cas de deux esembles dsjots l sufft de remarquer que : \, et : \, et doc : + \ Remarque : Ces résultats sot detques à ceux obteus das le cadre des espaces probablsés fs Théorème 53 : probablté d ue parte fe Sot Ω, Ω, u espace probablsé S : Ω, et est ue parte fe de Ω, alors : ω démostrato : S est f, otos : {ω,, ω } Il sufft alors de cosdérer la famlle fe d esembles dsjots : k, k {ω k }, et : { ω k } { ωk } ω k k ω Théorème 54 : cotuté crossate et décrossate d ue probablté Sot Ω,, u espace probablsé et sot : S :, +, alors la sute coverge et : lm ω S :, +, alors la sute coverge et : lm N I N Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 8 -
démostrato : our le premer pot, o remarque tout d abord que :, +, o a :, et doc la sute est crossate Etat de plus majorée par, elle coverge Notos mateat :, et : *, \ - lors la famlle est ue famlle d esembles deux à deux dsjots De plus :,, et :, us par double cluso, o a : E effet : ω ω, j, ω j j, et : ω j, sot : m{, ω } S :, ω, et : ω, S : >, ω, et : ω -, doc : ω, et : ω + Ef la défto d ue probablté permet d écrre : lm lm our le deuxème pot, o peut rasoer par complémetares lus précsémet o ote :, ', la sute est alors ue sute crossate d élémets de au ses de l cluso et : I N ' N O utlse alors le pot et les proprétés d ue probablté pour écrre : la sute coverge doc la sute auss pusque :,, lm lm [ ] lm ' ', d où le résultat voulu Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 9 - N Théorème 55 : probablté d ue réuo d évèemets Sot Ω,, u espace probablsé S est ue famlle fe de d élémets de, alors : + + S de plus :, et s la sére coverge, alors : démostrato : O démotre évdemmet le premer résultat par récurrece sur our ue seule parte, c est mmédat S o suppose le résultat établ pour partes de Ω avec :, o peut alors cosdérer + partes de Ω et écrre : + + + + + + + e utlsat le théorème 22 pour la premère égalté our le deuxème résultat, o peut poser :, k I N N k, et o a : k k k k La sute est crossate doc la sute coverge et : lm N N,
Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 2 - De plus :, k k + + S mateat, o fat tedre vers, o coclut que : lm N 6 robabltés codtoelles Théorème 6 et défto 6 : probablté codtoelle Sot Ω,, u espace probablsé S est u évèemet tel que : >, alors l applcato défe par :,, est ue probablté sur Ω,, appelée probablté codtoelle sachat O otera égalemet :, et o lra «probablté de sachat» démostrato : est correctemet défe sur et à valeurs das [,] car :,, et :, pusque : Ω Ω, famlle d évéemets deux à deux dsjots, otos :, lors la famlle est ue famlle d évéemets de deux à deux dsjots, car :,p 2, p p p p Doc la sére : ', coverge tout comme, et : ' ' N N N O e dédut que : N N Coveto : S Ω,, est u espace probablsé et s :, avec :, alors o covet de oter :, Théorème 62 : formule des probabltés composées Sot Ω,, u espace probablsé Soet et deux évèemets de lors : démostrato : Supposos das u premer temps que : >, et : > Il sufft alors de repredre la défto des probabltés codtoelles e échageat les rôles de et de, ce qu doe :, doc :, et de faço symétrque : S mateat :, et : >, alors : par coveto et :
, car :, doc :, d où à ouveau l égalté Ef s et sot ulles, la coveto précédete vaut pour les deux termes et codut ue fos de plus à l égalté voulue Théorème 63 : gééralsato de la formule des probabltés composées Sot Ω,, u espace probablsé Sot : 2, et,, des évéemets de tels que : I, alors : j, I j, et : I 2 2 3 démostrato : j O commece par remarquer que : j, I I, o a : I j us o obtet l égalté voulue par récurrece à partr du théorème 32 Défto 62 : dépedace d évèemets et dépedace mutuelle Sot Ω,,, u espace probablsé Deux évèemets et de sot dts dépedats s et seulemet s : Les évèemets d ue famlle j j J quelcoque de sot dts dépedats das leur esemble ou mutuellemet dépedats s et seulemet s, pour toute parte fe : J I, o a : I J J E partculer, s est ue famlle fe d évèemets, ls sot dépedats s et seulemet s : j < < j k, o a : j jk j jk Théorème 64 : caractérsato de l dépedace de deux évèemets Sot Ω,, u espace probablsé et sot :, 2 S : >, et sot dépedats s et seulemet s : démostrato : Ce résultat est mmédat car s :, alors : Doc et sot dépedats s et seulemet s :, sot le résultat Remarque : La lecture «aïve» de cette proprété tradut l dée «tutve» qu o se fat de l dépedace : s et sot dépedats, la probablté de vor se produre est la même que celle de vor se produre coassat la réalsato ou pas de, autremet dt flue pas sur la probablté de vor se produre Théorème 65 : les etre les otos d dépedace Sot Ω,, u espace probablsé s : 2, das la défto précédete, o retrouve la premère défto la codto d dépedace pour ue famlle fe d évèemets correspod à 2 égaltés s des évèemets sot mutuellemet dépedats, ls sot dépedats deux à deux, mas la récproque est fausse Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 2 -
démostrato : s l esemble d dces J cosdéré comporte dce u esemble : J ou dce u sgleto, la codto d dépedace est toujours satsfate sot e tout égaltés Doc l dépedace de évéemets correspod be à 2 ombre de famlles d dces possbles mos + famlles d dces et doc 2 codtos à satsfare pour : 2, et doc :, 2, l y a ue seule codto à satsfare correspodat à : 2 2 supposos que sot ue famlle de évéemets mutuellemet dépedats lors pour tout couple, j, avec : j, o utlse l esemble d dces : J {,j}, et o réécrt l égalté pour cet esemble J qu doe : j j, sot be l égalté qu motre l dépedace de et de j s o cosdère u esemble : Ω {a,b,c,d}, mu de la probablté uforme et les évéemets : {a,d}, {b,d}, et : C {c,d}, alors : C 2 us : {d} 4, de même pour C et C Remarque : O motre vor exercces que s et sot dépedats alors et le sot auss, tout comme et Défto 63 : système complet déombrable d évèemets Sot Ω,, u espace probablsé O dt que est u système complet déombrable d évèemets s et seulemet s :,j 2, j j, compatbles deux à deux, Ω N Cela correspod à ue partto de l esemble Ω Remarques : Cela vet e complémet des systèmes complets fs d évéemets Das le cas d u système complet déombrable d évéemets, o peut oter :, Doc :, et la sute est crossate N lm Ω lm, pusque les sot dsjots deux à deux utremet dt la sére coverge et sa somme vaut Théorème 66 : formule des probabltés totales Sot Ω,, u espace probablsé et u système complet d évèemets telle que :, > lors pour tout :, la sére coverge et : démostrato : O commece par remarquer que :,p 2, p p p Doc les évéemets sot deux à deux dsjots et :, qu o écrt parfos ecore : Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 22 -
Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 23 - Ω La derère égalté correspod smplemet à ue réécrture de la quatté précédete Défto 64 : évéemet presque sûr, évéemet églgeable Sot Ω,, u espace probablsé O dt qu u évéemet de est presque sûr lorsque : O dt à l verse qu u évéemet de est églgeable lorsque : Le complémetare d u évéemet presque sûr est doc u évéemet églgeable Théorème 67 : gééralsato système quas complet d évéemets Sot Ω,, u espace probablsé et, ue famlle d évèemets deux à deux compatbles, telle que : lors le résultat précédet reste valable, autremet dt pour :, la sére coverge et : démostrato : O repred la démostrato du théorème précédet, mas o ote : lors : O remarque esute que, forme u système complet d évéemets et : + Or :, et :, doc :, et : Cec permet de coclure à l égalté voulue Remarque : La stuato précédete correspod au cas où est u évéemet certa, so complémetare état u évéemet églgeable Théorème 68 : formule de ayes Sot Ω,, u espace probablsé S et sot des évéemets de probablté o ulle, alors : S de plus u système complet ou quas complet d évèemets tel que :, >, alors :, tel que : >, o a :, + démostrato : La démostrato du premer pot est mmédate, pusque par défto, pour :, o a :, et doc : De même pour :, o a : D où le résultat avec l égalté qu e découle
Le deuxème pot s obtet e remarquat smplemet que : formule des probabltés totales, par la Chaptre 6 : Espaces probablsés Cours complet - 24 -