Chapitre 13 Comportemet d ue suite TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 13 Comportemet d ue suite Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................ I-1 3................................................ I-1 4 Méthode de Héro..................................... I-1 5................................................ I-2 6................................................ I-2 7................................................ I-2 8................................................ I-3 9................................................ I-3 10................................................ I-4 11................................................ I-4 12................................................ I-5 13................................................ I-5 14................................................ I-5 15................................................ I-5 16................................................ I-6 17................................................ I-7 18................................................ I-7 II Cours II-1 1 Ses de variatio d ue suite umérique.......................... II-1 1a Défiitio...................................... II-1 1b Méthodes pour détermier le ses de variatio d ue suite........... II-1 1c Exemple....................................... II-1 2 Limite d ue suite Exemples............................... II-1
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 La suite (u ) est défiie par u = 2 + Comportemet d ue suite Exemples 1. Utiliser u tableur pour obteir la liste des termes de u 0 à u 25 2. Faire esuite tracer par le tableur la représetatio graphique de la suite (u ). 3. La suite (u ) semble-t-elle croissate? décroissate? i l ue i l autre? 4. Les valeurs de u semblet-elles tedre vers + (deveir extrêmemet grades?) 5. Les valeurs de u semblet-elles s approcher d u ombre? Rappels pour la représetatio graphique Sélectioer le tableau, meu «Isertio», cliquer sur «Diagramme...». Type de diagramme : cliquer sur «Liges» puis sur «Poits seuls», (ou sur «Poits et liges» selo les cas) puis sur «Suivat» Plage de doées : Cocher «Série de doées e coloes», «1ère lige comme étiquette», «1ère coloe comme étiquette» Cliquer sur «Termier» 2 Meme exercice que le précédet avec les suites défiies par (1) u = 0, 6 (2) u = 20 1 pour 1 (3) u = ( 1) (4) u = ( 1, 1) 3 La suite (u ) est la suite défiie par u 0 = 4 et pour tout etier aturel par u +1 = u + 4 ( 1)+1 2 + 3 1. Écrire u 1, u 2, u 3 sous forme de somme de fractios sas réduire au même déomiateur. 2. Utiliser u tableur pour obteir la liste des termes de u 0 à u 1000 3. Faire esuite tracer par le tableur la représetatio graphique de la suite (u ), e preat seulemet les termes de u 0 à u 30. 4. Les termes de cette suite s approchet très letemet d u ombre bie cou. Lequel? 4 Méthode de Héro Héro d Alexadrie est u igéieur, u mécaicie et u mathématicie grec du Ier siècle après J.-C. La méthode de Héro cosiste à calculer les termes successifs de la suite défiie ci-dessous pour obteir des valeurs approchées de 2. La suite (u ) est la suite défiie par u 0 = 1, 5 et pour tout etier aturel par u +1 = 1 (u + 2 ) 2 u 1. Écrire la valeur approchée de 2 doée par la calculatrice : 2......................... 2. Utiliser le tableur pour afficher les termes successifs de cette suite. 3. E combie d étapes obtiet-o la valeur doée par la calculatrice?
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-2 5 Les suites (u ) et (v ) sot défiies par u = 5 000 + 1000 et v = 5000 1, 05 Utiliser le tableur et ue représetatio graphique pour comparer les comportemets de ces deux suites. À partir de quel rag l ue dépasse-t-elle l autre? 6 1. Voici u algorithme : Etrée : lire a Traitemet pred la valeur 0 u pred la valeur 1 Tat que u > a pred la valeur + 1 u pred la valeur 0, 6 Fi du Tat que Sortie : afficher. (a) Exécuter cet algorithme pour a = 0, 1 e complétat le tableau ci-dessous. u > a? 0 u 1 (b) Quel ombre est affiché e sortie? (c) Que sigifie ce ombre exactemet? (d) Programmer cet algorithme das AlgoBox ou à la calculatrice, puis le tester avec a = 0, 1. (e) À partir de quel rag a-t-o 0, 6 < 0,000 000 1? (f) Commet évolue la valeur de 0, 6 lorsque deviet aussi grad qu o veut? 7 1. Écrire u algorithme qui permettet de détermier das l exercice sur fiche o 5 à partir de quel rag ue suite dépasse l autre. O pourra s ispirer de l exercice précédet. 2. Das AlgoBox ou à la calculatrice, programmer cet algorithme puis l exécuter.
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-3 8 Ses de variatio d ue suite O reviet sur la suite (u ) défiie par u = 2 + de l exercice sur fiche o 1. Nous allos démotrer le ses de variatio de cette suite de deux maières différetes. 1. Première méthode : sige de u +1 u Dire qu ue suite u est croissate sigifie que pour tout etier aturel, u +1 u autremet dit que u +1 u 0 (a) Écrire u +1 u e foctio de, puis développe et réduire l expressio sous la forme a + b (b) Étudier le sige de u +1 u selo les valeurs de, et justifier que la suite (u ) est croissate. 2. Deuxième méthode : ses de variatio de la foctio f telle que u = f() La suite (u ) état défiie par u = 2 + la foctio f est la foctio défiie par f(x) = x 2 +x Si la foctio f est croissate sur [0 ; + [, alors la suite u est croissate. Si la foctio f est décroissate sur [0 ; + [, alors la suite u est décroissate. (a) Justifier d abord le ses de variatio de la foctio f sur [0 ; + [. (b) E déduire le ses de variatio de la suite (u ). Rappels pour la représetatio graphique sur calculatrice Le mode suite : touche mode, 4 e lige, Suit au lieu de Fct. Défiitio de la suite : touche f(x), et compléter aisi Mi=0 u()= 2 + umi= Réglage du tableau de valeurs : 2de [déftable], DébTable=0 et PasTable=1 Tableau de valeurs : 2de [table] Représetatio graphique : Appuyer sur 2de [format], et sélectioer f() e haut à gauche. Appuyer sur feêtre et compléter O pourra predre Mi=0 et Max=25, mêmes valeurs pour Xmi et Xmax, utiliser le tableau de valeurs (table) pour détermier Ymi et Ymax Touche graphe 9 Das l exercice sur fiche o 2, les représetatios graphiques de plusieurs suites ot été obteue à l aide d u tableur. Nous allos maiteat démotrer leur ses de variatio comme das l exercice précédet. 1. Démotrer le ses de variatio suite défiie par u = 0, 6 e étudiat le sige de u +1 u, pour cela, (a) écrire u +1 u e foctio de, puis factoriser l expressio ; (b) justifier le sige de u +1 u ; (c) e déduire le ses de variatio de la suite (u ).
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-4 2. Démotrer le ses de variatio suite défiie par u = 20 1 u +1 u, pour cela, ( 1) e étudiat le sige de 10 (a) justifier d abord que u = 20 1 (b) écrire u +1 u e foctio de, puis réduire au même déomiateur, (c) justifier le sige de u +1 u ; (d) e déduire le ses de variatio de la suite (u ). 3. Démotrer le ses de variatio suite défiie par u = 20 1 e étudiat le ses de variatio de la foctio défiie par f(x) = 20x 1 sur [1 ; + [. x 4. Pour chacue des suites défiies par u = ( 1) et u = ( 1, 1), rappeler la répose doée das l exercice sur fiche o 2, puis justifier. Justifier le ses de variatio de chacue des suites défiies ci-dessous, par la méthode de so choix. (1) u = 3 1, 05 (2) u = 1 (3) u = 4 + 7 (4) u = 5 + 6 11 Limite d ue suite Exemples La suite (u ) défiie par u = 2 +, étudiée das l exercice sur fiche o 1 semblait tedre vers +. La défiitio de l expressio «tedre vers +» est pas doée au lycée, mais o peut doer l idée suivate : si je choisis u ombre positif a aussi grad que je veux, je pourrai toujours trouver u rag, tel que à partir de ce rag o a u a. Nous allos voir quelques exemples ci-dessous. 1. Répodre aux questios suivates à l aide de la calculatrice, sas justifier. (a) À partir de quel rag a-t-o 2 + 1 000? (b) À partir de quel rag a-t-o 2 + 100 000? (c) À partir de quel rag a-t-o 2 + 10 000 000? 2. À partir de quel rag a-t-o 2 + 10 9? Répodre e résolvat l iéquatio 2 + 10 9. Idicatio : 2 + 10 9 2 + 10 9 0. 3. O peut aussi résoudre le problème à l aide d u algorithme. Etrée : lire a Traitemet pred la valeur 0 u pred la valeur 0 Tat que u < a pred la valeur + 1 u pred la valeur 2 + Fi du Tat que Sortie : afficher.
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-5 12 (a) Exécuter d abord cet algorithme pour a = 25 e complétat le tableau ci-dessous. u < a? 0 u 0 (b) Quelle est le ombre affiché e sortie? (c) Que sigifie ce ombre exactemet? (d) Programmer cet algorithme à la calculatrice ou sur AlgoBox, puis le tester pour a = 25, a = 100 000 (ue dizaie de secodes de calcul), a = 10 000 000 (u peu plus d ue miute de calcul). La suite (u ) est défiie par u = 3 2 + 12 + 16. 13 1. Observer la représetatio graphique de cette suite à la calculatrice. 2. Cette suite semble-t-elle tedre vers +? 3. À partir de quel rag a-t-o 3 2 + 12 + 16 10 6? O utilisera u algorithme pour répodre. (a) Écrire cet algorithme sur le cahier e modifiat l algorithme de l exercice précédet. (b) Utiliser la calculatrice ou AlgoBox pour obteir le résultat. Pour chacue des suites défiies ci-dessous idiquer sa limite (+, ou u ombre) ou idiquer qu il y pas de limite. O utilisera le tableur (de préférece) ou la calculatrice. (1) u = 5 + 4 (2) u = 4 + 7 (3) u = 1, 3 (4) u = 3+2 ( 1) (5) u = 3 14 Même exercice que le précédet avec la suite défiie par u 0 = 1 et u +1 = 0, 7u + 5. 15 Nous allos étudier la suite de l exercice précédet par u procédé graphique. Explicatios Das le repère page suivate la foctio défiie par f(x) = 0, 7x + 5 est représetée par la courbe D f et (d) est la droite d équatio y = x. Le ombre u 0 est représeté par le poit A sur l axe des abscisses. Les segmets [AB] et [BC] permettet de costruire l image de u 0 par la foctio f, or f(u 0 ) = u 1, doc le poit C représete u 1 sur l axe des ordoées. O trace le segmet [CD]. Le poit D état sur la droite (d) d équatio y = x o sait que ses coordoées sot (u 1 ; u 1 ). O trace le segmet [DE], et le poit E représete doc u 1 sur l axe des abscisses. De maière aalogue f(u 1 ) = u 2, et, les segmet [EF] et [EG] permettet d obteir le poit G qui représete u 2 sur l axe des ordoées ; les segmet [GH] et [HK] permettet d obteir le poit K qui représete u 2 sur l axe des abscisses.
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-6 Cosiges : 1. Poursuivre cette costructio le plus loi possible, pour obteir graphiquemet les termes suivats u 3, u 4, u 5,... sur l axe des abscisses. 2. Que costate-t-o? D f (d) u 2 G F H u 1 C B D 16 A E K u 0 u 1 u 2 La costructio de l exercice précédet peut être faite à la calculatrice. Il s agit toujours de la suite défiie par u 0 = 1 et u +1 = 0, 7u + 5. Régler la calculatrice e mode suite. Défiir la suite Mi=0 u()=0.7u(-1)+5 u(mi)=1
Chapitre 13 Comportemet d ue suite I EXERCICES page I-7 Touche 2de [format], et sélectioer Esc e haut. Touche feêtre, compléter : Mi=0 Max=50, et pour les autres valeurs, voir exercice précédet. Appuyer sur graphe O voit alors se tracer la droite d équatio y = x et la courbe représetative de la foctio f. Appuyer sur trace, puis plusieurs fois sur, ce qui trace u escalier ou ue spirale. 17 La suite (u ) est défiie par u 0 = 1 et u +1 = 0, 6u + 3. 18 1. Tracer u repère e prévoyat des abscisses et des ordoées etre 0 et 16. 2. Tracer la droite d équatio y = x et la représetatio graphique de la foctio défiie par f(x) = 0, 6x + 3. 3. (a) Étudier graphiquemet cette suite e utilisat la méthode décrite das l exercice sur fiche o 15. (b) Cette suite a-t-elle ue limite (+, ou u ombre)? Si cette suite a ue limite qui est u ombre, doer u arrodi au millième de ce ombre, e utilisat u tableur ou la calculatrice. 4. Repredre la costructio avec cette fois-ci u 0 = 15. Même questio pour la limite évetuelle. 1. La suite (u ) est défiie par u 0 = 1 et u +1 = 0, 7u + 14. (a) Étudier graphiquemet la suite à l aide d ue figure sur le cahier ou à la calculatrice. (b) Cette suite a-t-elle ue limite (+, ou u ombre)? Si cette suite a ue limite qui est u ombre, doer u arrodi au millième de ce ombre, e utilisat u tableur ou la calculatrice. 2. Mêmes cosiges (a) et (b) pour la suite (u ) défiie par u 0 = 3, 5 et u +1 = 1, 4u 1. 3. Mêmes cosiges (a) et (b) pour la suite (u ) défiie par u 0 = 4 et u +1 = 1, 1u + 10.
Chapitre 13 Comportemet d ue suite II COURS page II-1 II Cours 1 Ses de variatio d ue suite umérique. 1a Défiitio Dire qu ue suite u est croissate sigifie que pour tout etier aturel, u +1 u ; Dire qu ue suite u est décroissate sigifie que pour tout etier aturel, u +1 u ; Dire qu ue suite u est costate sigifie que pour tout etier aturel, u +1 = u ; 1b Méthodes pour détermier le ses de variatio d ue suite Étudier le sige de u +1 u C est la méthode la plus géérale, elle peut s appliquer à tous les types de suites. Si pour tout etier aturel, u +1 u 0, alors la suite u est croissate. Si pour tout etier aturel, u +1 u 0, alors la suite u est décroissate. Étudier le ses de variatio d ue foctio Cette méthode est valable que pour les suites où u est défii e foctio de (u = f()). Ue foctio f est défiie sur [0 ; + [ et pour pour tout etier aturel u = f(). Si la foctio f est croissate sur [0 ; + [, alors la suite u est croissate. Si la foctio f est décroissate sur [0 ; + [, alors la suite u est décroissate. 1c Exemple Ses de variatio de la suite défiie pour tout etier aturel par u = 2 + Première méthode : sige de u +1 u u +1 u = ( + 1) 2 + ( + 1) ( 2 + ) = 2 + 2 + 1 + + 1 2 = 2 + 2 2 + 2 0 2 2 1 Or est etier aturel doc 0, doc 1 doc u +1 u 0, doc la suite (u ) est croissate. Deuxième méthode : ses de variatio de f telle u = f() u = 2 + doc f(x) = x 2 + x f (x) = 2x + 1 2x + 1 0 x 1 2 doc la foctio f est croissate sur doc la suite (u ) est croissate. [ 1 2 ; + [, doc la foctio f est croissate sur [0 ; + [, 2 Limite d ue suite Exemples. Voir les exercices sur fiche o 11 à 18.