élec PÉDAGOGIE Concours Cenrale-Supélec 2003 Filière TSI Sciences indusrielles Éude d un chario de golf élecrique (corrigé) La prédéerminaion des caracérisiques élecriques d une machine ournane débue oujours nécessairemen par l éude mécanique, saique e dynamique, de la charge qu elle enraîne. C es une fois seulemen que les paramères caracérisan la charge son parfaiemen idenifiés qu il es possible de choisir e de dimensionner élecriquemen la machine, puis l élecronique de puissance qui l alimene en énergie, pour remoner enfin à la parie commande, mêlan éroiemen l élecronique des peis signaux à l auomaique du sysème. Dans le cas d un sysème asservi, on peu alors réellemen reboucler sur la parie mécanique afin de conclure quand aux performances globales du sysème. On rerouve bien cee démarche dans le suje de l École cenrale - Supélec de l an passé, don nous avons publié l énoncé dans le précéden numéro e don nous vous livrons ici une proposiion de corrigé. MOTS-CLÉS I. L ANALYSE DU SYSTÈME EXISTANT I.A. L éude des soluions consrucives adopées I.A.1. Le réduceur à roue e vis Les grandeurs sur lesquelles il fau inervenir (figure 1) :, l angle d hélice de la vis ou pas de la vis ; ', l angle de froemen de glissemen, apparen, au conac de la roue avec la vis. Pour qu un sysème vis/écrou soi réversible, il fau que l angle d hélice soi supérieur à l angle de froemen, soi une relaion à vérifier : > '. Couple de maériaux : il fau un maériau «dur» (la vis) sur un maériau «moins dur» (la roue). On peu proposer deux soluions : vis en acier (E335 ou C40 ou C35 ou 35 CrMo4 ) sur roue en bronze (Cu Sn9 P ou Cu Sn12 ) ; vis en acier (E335 ) sur roue en nylon (PA 6/6) sur-moulée sur un inser en acier pour la liaison avec l arbre de roue. I.A.2. L orienaion du chario Les liaisons souhaiées enre l arbre e la roue : en A, pivo d axe (O, y ) ; en B, encasremen (ou liaison complèe). Figure 2. La soluion consrucive Le dessin de concepion de la soluion consrucive pour la liaison de la roue avec l arbre es donné en figure 2. Figure 1. Le conac dans le sysème vis-écrou I.B. La déerminaion des paramères du moeur I.B.1. La résisance e le coefficien de fém Pour chaque poin du ableau ci-après, on a : lw l p - JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE 129 69
Tableau de déerminaion des paramères du moeur N (en r/min) I (en A) En prenan, par exemple, les poins correspondan à la première e à la dizième ligne du ableau, on obien le sysème d équaions p l - p l - don la résoluion donne : - - l - p Cu (en mn. m) λ (en Vs) R (en Ω) Applicaion numérique : R 0,22 e 0,028 Vs. On peu égalemen mener le même calcul successivemen enre deux lignes consécuives, puis en déduire une valeur moyenne de R e de. I.B.2. Le couple de peres On calcule le couple de peres par : C rp C em C u I C u. Pour ous les poins du ableau, on rouve C rp 0,022 Nm. On peu obenir ce couple de peres par un essai à vide à ension d indui variable. Pour chaque poin de mesure, on relève U, I e la viesse angulaire Ω. On en dédui : - ª W W I.C. La déerminaion des paramères du variaeur de viesse I.C.1. L éude de la commande de grille Les ransisors uilisés ici son des ransisors Mosfe à canal N. Pour créer un canal de ype N (les poreurs de charges majoriaires son donc des élecrons), il fau porer la grille à un poeniel posiif par rappor à la source (broche de référence). Il s agi donc d une commande en ension : la grille ne reçoi du couran que pendan les phases de commuaion où il es nécessaire de charger le condensaeur grille-source. La fréquence de foncionnemen es assez élevée, jusqu à quelques cenaines de kiloherz. Le TC 428 perme de fournir pendan les commuaions le couran nécessaire à une commuaion rapide. R dson : résisance vue enre drain e source pendan la phase de conducion ransisor à l éa on, c es-à-dire passan e quasi équivalen à un inerrupeur fermé. I.C.2. La déerminaion du couple de charge I.C.2.a. La diode es idéale, les chues de ension aux bornes des ransisors son négligeables. Cp (en Nm) 3 976 1,6 21 0,028 0,230 0,023 7 3 858 3,1 66 0,028 0,211 0,021 1 3 736 4,8 111 0,028 0,229 0,022 8 3 595 6,6 164 0,028 0,219 0,021 0 3 483 8,1 205 0,028 0,215 0,022 8 3 366 9,7 249 0,028 0,221 0,022 1 3 245 11,3 294 0,028 0,217 0,023 6 3 105 13,2 347 0,028 0,221 0,021 6 2 984 14,8 392 0,028 0,219 0,022 7 2 857 16,5 439 Moyenne 0,028 0,220 0,022 4 Pour a 0,2, on a : < u > au b R a I (car au démarrage E 0), aub d où I R puis C I aub λ em λ Cr 0. R Applicaion numérique : C r0 0,336 Nm. I.C.2.b. La diode présene une chue de ension de 0,9 V en conducion. On ien compe du paramère R dson donné précédemmen. Pendan la phase de conducion, la ension aux bornes du moeur es : - Pendan la phase de roue libre, la ension aux bornes du moeur es la ension aux bornes de la diode : u V d 0,9 V. La ension moyenne es donc : Ê < > Á - - - Ë Comme précédemmen, < u > R a I, d où : Ê Á - - - Ë Ce qui perme de déerminer I : - - - - l l L applicaion numérique donne C r0 0,231 Nm. Pour la suie de l éude, ce couple résisan sera considéré indépendan de la viesse de roaion, e on prendra C r0 0,22 Nm. I.C.3. La déerminaion de l inducance L a de l indui du moeur I.C.3.a. L expression de la fém E du moeur u E R a i u L, or < u L > 0 en régime permanen (voir à ce suje le corrigé du concours de l École cenrale dans le numéro 123), donc : < u > E R a < i > < u L > E R a < i > au b V CT (1 a), d où E au b V CT (1 a) R a < i >. I.C.3.b. L expression de l ondulaion du couran d indui Pendan la phase de conducion des ransisors, on a : La soluion de cee équaion compore un erme en - Pour que la soluion de cee équaion différenielle soi assimilable à une droie, il fau pouvoir uiliser le développemen limié au premier ordre de l exponenielle : - ª - Il fau donc L a /R a >> T h, d où : - En inégran cee expression pendan la durée d une phase de conducion des ransisors, on rouve Ú - Ú Ú ( ) - - 70 TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004
Le couran es riangulaire (hypohèse) ; on peu dire que Ú < > En remplaçan E par l expression obenue ci-dessus, on obien (U b E) at h (U b au b V CT (1 a) R a < i >) at h R a at h < i > L a. I, soi, après simplificaion e facorisaion : (1 a) (U b V CT ) at h L a. I. On en dédui l expression de l ondulaion de couran - - D e donc I max, obenu pour a 0,5 : D I.C.3.c. Exploiaion m D L a /R a 2100 10 6 >> T h 130 10 6. Quand à R dson, elle inervien en majoran le erme R a, or R a n inervien pas dans le résula final. II. L ÉTUDE DU CAPTEUR DE VITESSE II.A. La mise en forme du signal e () es une ension recangulaire de valeur maximale V cc e de valeur minimale V cesa. La fréquence F es liée à la viesse du moeur par : où k es le rappor de réducion du réduceur. Or 200 r/min < N moeur < 4000 r/min, donc 9,6 Hz < F < 192 Hz. La viesse linéaire du chario es liée à la viesse du moeur par p où d es le diamère des roues, d où : 0,126 m. s 1 < V < 2,51 m. s 1 ou encore 0,452 km. h 1 < V < 9,05 km. h 1. II.B. L éude du converisseur fréquence-ension II.B.1. La déerminaion de la ension inerne d alimenaion En appliquan le héorème de superposiion, on peu calculer le poeniel aux bornes de la diode de régulaion : II.B.2. Le comparaeur à hysérésis II.B.2.a. Ce monage perme de fixer le poeniel de la borne 11 de LM2917 à 4,5 V grâce au pon diviseur par 2 réalisé avec les deux résisances R7. II.B.2.b. Un comparaeur à hysérésis en enrée perme une meilleure immunié au brui. II.B.2.c. L allure de e () e celle de E() son données sur les schémas de la figure 3. II.B.3. La charge e la décharge de C 2 à durée consane II.B.3.a. C K1 E ; C K2 E. H E. B. 9 0 1 0 1 Figure 3. Le foncionnemen du comparaeur à hysérésis II.B.3.b. Pour que u 2 croisse, il fau K1 en 1 e K2 en 1, donc C K1 1 e C K2 1, donc E 1 e H 0. Pour avoir H 0, il fau u 2 < U 2max 3 4 U Z 6 V. II.B.3.c. 0 < < T'. On a E 1 e H 0, donc C K1 1 e C K2 1 (première ligne de la able de vérié), donc charge de C 2 à couran consan I. Fin de la charge lorsque à T', on a - À T', H passe à 1 avec E 1, C K2 passe à 0 (dernière ligne de la able), i 2 0. La ension u 2 n évolue plus. II.B.3.d. 1 < < 1 T". On a E 0 e B 0, donc C K1 0 e C K2 1 (deuxième ligne de la able de vérié), donc décharge de C 2 à couran consan I. - - - - Fin de la charge lorsque à 1 T", on a - d où - À 1 T", B passe à 1 avec E 0, C K2 passe à 0 (roisième ligne de la able), i 2 0. La ension u 2 n évolue plus. II.B.3.e. Les allures de E(), i 2 (), u 2 () e i 3 () sur deux périodes de E() son données en figure 4. II.B.3.f. Il fau 2 T < T, donc < ou encore < Applicaion numérique : C max 112,5 nf. II.B.4. La charge e la décharge de C 3 II.B.4.a. D aure par, d après le graphe précéden de i 3 (), < > JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE 129 71
E i 2 I 0 I u 2 6 V 2 V 1 T 2T II.B.4.d. L ensemble {R 3, C 3 } consiue un filre passe-bas du premier ordre. Son rôle es de bloquer la composane alernaive de i 3 () e de ransmere sa composane coninue. La ension u 3 obenue en sorie es donc quasi coninue lorsque la viesse du chario es consane. II.B.5. L éude dynamique du capeur Si la viesse du chario es consane, i 3e < i 3 > 2 IT'F C 2 U Z F. Si cee viesse varie de manière sinusoïdale, Ê Á Ë On en ire : Ê Á Ë avec B v10 C 2 U z R 3 e v R 3 C 3. Applicaion numérique : B v10 0,03 Vs e v 0,375 s. i 3 I T' T Figure 4. La charge e la décharge des condensaeurs Donc En calculan la valeur moyenne de i 3 (), on a alors : < > < > < > or < > Ú - car T es la période de i 3 (). On a donc < u 3 > R 3 < i 3 > 2 R 3 IT'F, d où : 2 R 3 IT'. Or, d après la quesion précédene, 2 IT' C 2 U Z, d où : 2 R 3 IT' R 3 C 2 U Z 30 10 3 V. s. II.B.4.b. < > < > W II.B.4.c. La fréquence de i 3 () e donc de u 3 () es 2 F (voir figure 4). < > < > ( p ) où I 31eff e U 31eff représenen les valeurs efficaces des fondamenaux de i 3 () e de u 3 (). En divisan la deuxième expression par la première, il vien : W p W La condiion imposée par l énoncé implique p > d où (4 FR 3 C 3 ) 2 > 1 599 pour ou F, donc : > m p II.B.6. L éage de sorie II.B.6.a. Il y a bouclage sur enrée inverseuse, donc l ALI foncionne en régime linéaire. e e u 5 u 3 F. Amplificaion en couran. II.B.6.b. F nv/ d u 5 / (n 72 : nombre d encoches), d où b p b p - Applicaion numérique : p II.B.6.c. avec B v 0 k T 2,29 Vm 1 s e v 0,375 s. III. L ASSERVISSEMENT III.A. La déerminaion des foncions de ransfer liées au moeur III.A.1. Le momen d inerie équivalen ramené à l axe du moeur Ê Ë Á - W III.A.2 La déerminaion de H mi (jω) À parir des équaions aux variaions, on écri en uilisan la ransformaion complexe : l W l W (Pour cee dernière relaion, le couple résisan n inervien pas car, éan consan, ses variaions son nulles.) l Applicaion numérique : m 0,638 s e e 2 ms. (1 j m ) (1 j e ) 1 j ( e m ) (j )2. e. m 1 j m (j )2. e. m 72 TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004
car e <<. m e m m III.A.3. La déerminaion de H mv (jω) En éliminan le couple moeur enre (c) e (d), on dédui : W l d l d III.B. L éude de la boucle de couran III.B.1. La réalisaion du capeur de couran moyen III.B.1.a. Le capeur de couran insanané On propose un capeur à effe Hall (qui fourni, après adapaion, une ension de 400 mv par ampère). III.B.1.b. Le filre passe-bas Soi V(j ) la ension enre le poin siué enre les deux résisances R 5 e la masse. Le héorème de Millman nous perme d écrire : La ension sur l enrée non inverseuse de l ALI es donc : Ê Á Ë Ê Á Ë La ension sur l enrée inverseuse de l ALI es : - Le foncionnemen du monage es linéaire, donc : - D où : - p - Le sysème es sable si z > 0, donc si k < 3 ; or ici 1 < k < 1,46. III.B.1.c. La foncion de ransfer du capeur Ê Ë Á Il fau k 0,4 8/16, d où k 1,25, puis z 0,875. Il s agi d un sysème du deuxième ordre, donc la pene es de 40 db/dec. Pour que la condiion soi vérifiée, il fau que p < Ê Ë Á > Ê - Ê Ë Á Á Ë Ê Ë Á > En posan Ê Ë Á on en dédui l inéquaion u 2 2(2 z 2 1)u 99 > 0. u éan oujours posiif, la soluion de cee inéquaion es u > 9,43, soi < - > p III.B.2. Le réglage du correceur il s agi donc d un correceur PI. La FTBO de cee boucle es : m BO Arg(FTBO(j )) Arc an e 2 Arc an i. Pour avoir une phase de 125 (il y avai apparemmen une erreur dans l énoncé : on ne peu jamais obenir 125 ), par dichoomie : ω 1 000 10 000 5 000 6 000 5 600 5 610 φ BO 70,9 153,2 120,3 127,8 124,9 125 D où 5610 rad. s 1. Une calcularice programmable avec solver donnera direcemen le résula. Pour avoir une marge de phase de 55, il fau alors pour cee pulsaion FTBO 1. m j j m Erreur saique : m j j JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE 129 73 III.B.3. La déerminaion d un premier ordre équivalen Les élémens ideniques à ceux du premier ordre son : la courbe de gain (pene à 20 db/dec en HF) ; la pene horizonale en BF ; la phase varian de 0 à 90. Þ Pulsaion pour laquelle la phase es de 45 : 7700 rad. s 1. m Þ m III.C. L éude de la boucle principale (boucle de viesse) W Þ - Applicaion numérique : d
Figure 5. Schéma foncionnel prenan en compe l influence de C r ω d ª Déerminons la foncion de ransfer en boucle fermée d d d d d d Ê Á Ë d Applicaion numérique : A v 4,2. d d Les avanages de ce réglage : dépassemen rès faible, emps de réponse minimal. L erreur saique es nulle car il s agi d un syème de classe 1. III.D. L influence d une variaion du couple résisan La modificaion du schéma foncionnel es proposée en figure 5, avec l Une variaion de la pene occasionnera une variaion de viesse. En effe, si on éudie la réponse du sysème à un échelon de couple résisan, à consigne viesse consane, cela revien à faire, dans le schéma foncionnel précéden, W v 0. La réducion du schéma foncionnel mène à : m Ê Á d Ë d Quand end vers 0, H cf (j ) end vers l m Un échelon d ampliude C r0 sur le couple occasionnera donc une variaion l m de la viesse du chario. Il faudra donc remplacer le correceur C v (j ) proporionnel par un correceur PI. 74 TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004