MAT 1720 A : et intégrl I Pul-Eugène Prent Déprtement de mthémtiques et de sttistique Université d Ottw le 14 octobre 2015
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Le théorème de Stokes Voici le contenu d un peu plus de deux cours de mthémtiques (beucoup plus si vous comptez vos cours de physique et de génie) résumé en une ligne... Théorème O f = O df. L prochine nnée ser conscrée à l compréhension de l nottion et de l significtion de cette ligne.
MAT 1720 : notre cs prticulier Dns notre cs on étudier le cs prticulier suivnt : f : D R R differentible ; df = f ; O = [, b] D ; O = {} {b} ; et f = f b = f (b) f (). O
The théorème fundmentl du clcul intégrl Donc nous tenterons de comprendre Théorème f (b) f () = [,b] f. L objet d étude devient donc [,b] f, qui devrit être un nombre! si l on croit le théorème...
Dns l littérture, ce nombre est noté clssiquement b f (x)dx, Peut-on donner une interpréttion à ce nombre?!? Réécrivons celui-ci d une fçon plus clssique...
Primitives Supposons qu ils existent deux fonctions F, f : [, b] R telles que 1 F soit continue sur [, b] et différentible sur ], b[ ; et 2 F (x) = f (x) sur ], b[. Définition On dit lors que F est une primitive de f. On peut donc réécrire le théorème fondmentl de l fçon suivnte
Théorème Soient F, f : [, b] R deux fonctions telles que F soit une primitive de f. Alors F (b) F () = b F (x)dx = b f (x)dx. Deux questions nturelles surgissent à ce moment-ci : l première, qu est-ce que signifie le nombre b f (x)dx?
Exemples élémentires... et l deuxième, sous quelles conditions une fonction f dmet-elle une primitive? Voici quelques exemples de primitives : 1) Si y = x n, n = 0, 1, 2,... lors une primitive nous est donnée pr F (x) = 1 n + 1 x n+1. 2) Si y = sin(x) lors une primitive est G(x) = cos(x). 3) Si y = 1 x 2 lors une primitive est H(x) = 1 x. On reviendr u clcul de primitive un peu plus trd.
b f (x)dx Ce nombre est lié intimement à un très vieux problème : comment estimer l ire d une surfce? Pour de simples objets géométriques tels les rectngles ou les trpèzes, il est isé de définir l ire de leur surfce. Pr exemple Arec = b h.
A Trp = (L + l) b. 2
Mis que fire dns l sitution suivnte?
L idée Tentons d pproximer l surfce à l ide de rectngles de l fçon suivnte : On considère l fonction y = x 2 sur l intervlle [0, 1]. Puis on subdivise l intervlle en qutre sous-intervlles de longueur x = 1/4 et on trce les rectngles suivnts tel qu indiqué sur l figure ci-dessous
Une sous-estimtion Soit A l ire de l surfce sous l du grphe de l fonction y = x 2 lorsque x [0, 1]. Nous vons lors A R1 + A R2 + A R3 A, où A R1 = x ( 1 4 )2 ; A R2 = x ( 2 4 )2 ; A R3 = x ( 3 4 )2. Alors ( ) 1 2 x (1 2 + 2 2 + 3 2 ) A, c est-à-dire 4 ( ) 1 3 (1 2 + 2 2 + 3 2 ) est une sous-estimtion de A. 4
Une surestimtion On peut mintennt procéder de l-même fçon à l ide d une surestimtion A A R1 + A R2 + A R3 + A R4, où A R1 = x ( 1 4 )2 ; A R2 = x ( 2 4 )2 ; A R3 = x ( 3 4 )2 ; A R4 = x ( 4 4 )2.
Nous vons donc ( ) 1 2 A x (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ), c est-à-dire, 4 ( ) 1 3 (1 2 + 2 2 + 3 2 ) A 4 ( ) 1 3 (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ). 4 Intuitivement si l on ugmente le nombre de rectngles les deux pproximtions s pprochent de plus en plus de A. Donc u lieu de diviser [0, 1] en qutre sous-intervlles, on divise [0, 1] en n sous-intervlles de longueur x = 1. Alors... n
On obtient l sous-estimtion ( ) 1 2 x (1 2 + 2 2 + 3 2... + (n 1) 2 ) A, n et l surestimtion A x ( ) 1 2 (1 2 + 2 2 + 3 2... + n 2 ). n
En prennt l limite n On se rppelle de l formule Alors 1 2 + 2 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 ( ) 1 3 n (n 1)n(2n 1) 6 A ( ) 1 3 n n(n + 1)(2n + 1). 6 En prennt l limite n nous obtenons d une prt 1 3n + 2n 2 lim n 6n 2 1 = lim n 3 1 2n + 1 6n 2 = 1 3 ;
...et d utre prt 1 + 3n + 2n 2 lim n 6n 2 1 = lim n 3 + 1 2n + 1 6n 2 = 1 3. Conclusion : On réussit à mettre en sndwich l vleur A, c est-à-dire, les deux pproximtions tendnt vers l-même vleur, forcent A vers cette vleur : A = 1 3. Le nombre A est notre cndidt pour représenter 1 0 x 2 dx!
TFCI Si ce nombre est l bonne interpréttion lors the Théorème Fondmentl du Clcul Intégrl devrit prédire ce nombre. Vérifions : Une primitive de l fonctions y = x 2 est F (x) = x3 3. Selon le TFCI nous vons 1 0 x 2 dx = F (1) F (0) = 13 3 03 3 = 1 3. Nous sommes sur l bonne voie!!
Soit I = [, b] un intervlle fermé et f : [, b] R une fonction. Posons x = b pour un n = 1, 2, 3,... n Alors considérons les points de l intervlle [, b] suivnts x 0 = ; x 1 = + 1 x ; x 2 = + 2 x ; x 3 = + 3 x ;... ; x n = + n x = b.
Dns chcun des sous-intervlles [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n, on choisit un point c i, et on forme l somme f (c 1 ) x + f (c 2 ) x +... + f (c n ) x, que l on écrir sous l forme plus compcte n f (c i ) x. i=1 Définition On ppelle une telle somme, une somme de.
Géométrie On peut visuliser une somme de sur le dessin suivnt :
Définition Si l limite lim n n f (c i ) x existe (est un nombre) et est i=1 indépendnte des différents choix des c i lors on dir que f est intégrble sur l intervlle [, b] et on écrir b f (x)dx := lim n n f (c i ) x. i=1 Remrque : Si f : [, b] R est intégrble et positive lors b f (x)dx est exctement l ire sous l du grphe de f entre et b et l xe des x.
Toujours intégrble? Il est donc nturel de poser l question : est-ce que toute fonction f : [, b] R est intégrble? Réponse : Non, pr exemple l fonction f : [0, 1] R telle que f (x) = 1/x si x 0 et f (0) = 0. Supposons que l on joute l condition que f doit être bornée, c est-à-dire, qu il existe un nombre M > 0 tel que f (x) M pour tout x [, b]. Les fonctions de ce type sont-elles intégrbles? Réponse : Non, mis elles sont plus difficiles à trouver. Afin d en construire une, il fut ller u coeur de l nture des nombres réels!
Les nombres réels R Un fit importnt à propos des nombres réels est le suivnt : Si l on choisit deux nombres réels et b tel que < b lors on peut toujours trouver deux nombres réels x, y ], b[ tels que x Q et y R Q. A présent considérons l fonction suivnte f : [0, 1] R { 0 si x Q x 1 sinon Alors f n est ps intégrble!
L fonction de Dirichlet En effet si l on forme une somme de pour l fonction de Dirichlet f (c 1 ) x + f (c 2 ) x +... + f (c n ) x, lors les c i [x i 1, x i ] sont des choix rbitrires. Si d une prt, on choisit tous les c i tels que c i Q lors toute somme de serit nulle, c est-à-dire lim n n f (c i ) x = 0. i=1 Mis si d utre prt on choisit tous les c i tels que c i R Q lors toute somme de sum serit égle à 1, c est-à-dire lim n n f (c i ) x = 1. i=1
En d utres mots l limite dépend du choix des c i. Conclusion : L fonction de Dirichlet n est ps intégrble. Question : Comment peut-on grntir qu une fonction soit intégrble?
Critères Théorème Soit f : [, b] R une fonction. Si f est continue, croissnte ou décroissnte sur [, b] lors f est intégrble. Théorème Soit f : [, b] R une fonction bornée. Si f est continue sur [, b] à l exception d un nombre fini de points lors f est intégrble.
l intégrle Soit f : [, b] R une fonction intégrble. 1) Supposons que f (x) = c, pour tout x [, b]. Alors quelque soit l somme de considérée, nous vons f (c 1 ) x + f (c 2 ) x+... +f (c n ) x = c } x + {{... + c x } = n-times n c b n = c (b ). En d utres mots b c dx = c (b ).
2) Si f (x) 0 pour tout x [, b], lors effet, toute somme de b f (x)dx 0. En f (c 1 ) x + f (c 2 ) x +... + f (c n ) x 0. On conclut donc que l limite doit être plus grnde ou égle à 0. 3) Plus générlement, si g(x) f (x) pour tout x [, b] (et g est intégrble), lors b g(x)dx b f (x)dx.
Linérité 4) Si g : [, b] R est intégrble et α, β R, lors b b b αf (x) + βg(x)dx = α f (x)dx + β g(x)dx. A nouveu ce résultt est obtenu suite à une nlyse minutieuse des sommes de correspondntes.
5) Soit b ], c[. Alors c f (x)dx = b c f (x)dx + f (x)dx. b Le résultt se déduit intuitivement du dessin suivnt :
Conventions 1) On poser que f (x)dx = 0. 2) Si on inverse les rôles de et b lors on introduit un signe moins de l fçon suivnte : b f (x)dx = b f (x)dx.