REVISION MPSI Ce polycopié est constitué d un grand nombre de notions vu en Terminale et en MPSI et absolument indispensable aux concours : les examinateurs prennent mal de ne pas connaitre le théorème de Cayley- Hamilton (programme de MP) ; par contre ils prennent très très très mal de ne pas connaitre le DL de ln(1 + x) en zéro et encore plus mal de ne pas connaitre la formule d addition cos(a + b). Ce polycopié ne saurait en aucun cas remplacer le riche (et célèbre!) cours de votre professeur de MPSI. Notamment, il n y a aucune démonstration (qui sont pourtant à savoir) ni toutes les définitions, propriétés dessins et autres. C est à vous pour chaque chapitre de ce polycopié, selon le degré de mémorisation (ou d oubli), d aller revoir avec plus ou moins de temps, votre cours de MPSI sur le sujet. LETTRES GRECS α : alpha β : béta γ : gamma δ : délta ε : epsilon ζ : dzéta η : éta θ : théta ι : iota κ : kappa λ : lambda µ : mu ν : nu ξ : xi o : omicron π : pi ρ : rhô σ : sigma τ : tau ϕ : phi χ : ki ψ : psi ω : oméga MAJUSCULES Γ : Gamma Λ : Lambda Σ : Sigma Ψ : Psi : Délta Ω : Oméga Π : Pi Φ : Phi 1
TRIGONOMETRIE 1. Formule fondamentale : cos 2 x + sin 2 x = 2. sin 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 π cos tan 3. Parité - Périodicité - Symétries (a) cos( x) = sin( x) = tan( x) = (b) cos(x+2π) = sin(x+2π) = tan(x+π) = (c) cos(x + π) = sin(x + π) = (d) cos(x + π 2 ) = sin(x + π 2 ) = (e) cos( π 2 x) = sin(π 2 x) = 4. Formules d Euler cos θ = eiθ + e iθ 2 Formules d Euler généralisées e ia + e ib = 2 cos( a b a + b 2 )ei 2 et e ia e ib = et sin θ = 2
5. Formules d addition (Elles sont basées sur la formule e i(a+b) = e ia e ib ) cos(a + b) = sin(a + b) = tan(a + b) = tan a + tan b On en déduit : cos(a b) = et sin(a b) = 6. Formules du double-angle cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a sin(2a) = 2 sin a cos a On en déduit la linéarisation de cos 2 a et de sin 2 a : cos 2 a = 1 + cos(2a) et de sin 2 a = 1 cos(2a) 2 2 On en déduit aussi : 1 + cos t = ( 2 cos t 2 )2 et 1 cos t = ( 2 sin t 2 )2 7. Formules de transformation (On les retrouvent à l aide des formules d addition) cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 2 sin a cos b = cos p + cos q = cos p cos q = sin p + sin q = sin p sin q = 8. Formules de parmétrisation : Si t = tan θ 2 alors on a : tan θ = 2t 1 t2 2t 2dt, cos θ =, sin θ =, dθ = 1 t2 1 + t2 1 + t2 1 + t 2 3
RELATIONS BINAIRES Relation d équivalence, relation d ordre 1. Relation binaire : Définition : Soit E un ensemble non vide. On appelle relation binaire notée R sur E, la donnée d un sous-ensemble G de E E. Notation : Si (x, y) G, on note alors xry. 2. Qualité d une relation binaire : Soit R une relation binaire sur E (non vide). (a) R est dit réflexive si : x E, xrx. (b) R est dit symétrique si : (x, y) E 2, xry yrx. (c) R est dit antisymétrique si : (x, y) E 2, xry et yrx x = y. (d) R est dit transitive si : (x, y, z) E 3, xry et yrz xrz. 3. Relation d équivalence : (a) Définition : R est une relation d équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. (b) Classe d équivalence : Soit a un élément de E. On appelle classe d équivalence de a pour R : l ensemble des éléments de E qui sont en relation avec a, on la note cl(a). On a donc : cl(a) = {x E / xra}. Remarque : cl(a) = cl(b) arb. (c) Partition : On appelle partition d un ensemble E, non vide, toute famille (A i ) i I de sousensemble de E tels que : i. i I, A i ii. (i, j) I 2, i j A i Aj = iii. i I A i = E. Théorème : Les classes d équivalence d une relation d équivalence sur E forment une partition de E. 4. Relation d ordre : (a) Définition : Soit une relation binaire sur un ensemble E, non vide. On dit que est une relation d ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On dit que cette relation d ordre est totale si tous les éléments de E sont comparables (c està-dire (x, y) E, x y ou y x). Si la relation n est pas totale on dit qu elle est partielle (c est-à-dire (x, y) E, x y et y x). (b) Exemples : Pour chacun des exemples suivant dire si l ordre est total ou partiel. i. IN, ZZ, lq, IR avec l ordre usuel : ii. P(X) (ensemble des sous-ensembles de X) avec l inclusion iii. Soit I un intervalle de IR. On définit la realtion d ordre sur F(I, IR) par : (f, g) F(I, IR) 2 f g si x I, f(x) g(x). (c) Majorant-Minorant : Soit E un ensemble munit d un ordre. Soit A un sous-ensemble, non vide, de E. On dit que M est un majorant de A si : x A, x M. On dit que A est majoré s il possède un majorant : M E / x A, x M. On dit que m est un minorant de A si : x A, x m. On dit que A est minoré s il possède un minorant : m E / x A, x m. 4
(d) Plus grand/ plus petit élément : Soit E un ensemble munit d un ordre. Soit A un sousensemble, non vide, de E. On dit que A possède un plus grand élément si : M A / x A, x M. On dit que A possède un plus petit élément si : m A / x A, x m. Remarque : A possède un plus grand élément s il existe un majorant de A qui appartienne à A. (e) Borne supérieure/ inférieure : i. Définition : Soit E un ensemble munit d un ordre. Soit A un sous-ensemble, non vide, de E. On dit que A possède une borne supérieure si : A est majorée et si l ensemble des majorants de A possède un plus petit élément α. On note α = sup A ou α = sup A. On dit alors que α est le plus petit des majorants de A. On dit que A possède une borne inférieure si : A est minorée et si l ensemble des minorants de A possède un plus grand élément β. On note β = inf A ou β = infa. On dit alors que β est le plus grand des minorants de A. ii. Cas de IR : Théorème fondamental : Tous sous-ensemble, non vide et majoré, de IR possède une borne supérieure, tous sous-ensemble, non vide et minoré, de IR possède une borne inférieure. Caractérisation : Soit A un sous-ensemble non vide de IR. { x A : x α (α majore A) α = sup A ε > 0, a A tel que a > α ε β = inf A { x A : x β (β minore A) ε > 0, a A tel que a < β + ε Propriété1 : Si sup A appartient à A, sup A est donc le plus grand élément de A. Idem pour inf A. Notation : Si sup A appartient à A, sup A est alors noté MaxA. Idem si inf A appartient à A, inf A est alors noté mina. Caractérisation séquentielle (avec les suites) α = sup A β = inf A { x A x α (α majore A) (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = α n + { x A x β (β minore A) (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = β n + Démonstration : Le faire en exercice en s aidant d un petit dessin. Méthode pour montrer que α est la borne supérieure de A. On montre en premier que α majore A. Si α A alors sup A =MaxA = α. Si α / A alors il faut soit utiliser les epsilons : ε > 0, a A / a > α ε soit les suites : (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = α. n + Exercice : Soient A et B deux ensemble non vides et bornés de IR. On suppose que x A et y B : x y. Montrer que sup A inf B. 5
IN, ZZ, lq, IR I. IN, ZZ, lq 1. Définition de IN et ZZ IN = {0, 1, 2, 3, 4, } et ZZ = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, }. Propriété caractéristique de IN : (a) Toute partie non vide de IN possède un plus petit élément (c est-à dire : A IN, A, Remarque : Si a = mina 1 alors a 1 / A. Conséquence : (b) Toute partie non vide et majorée de IN possède un plus grand élément (c est-à dire : A IN, A, Remarque : Si a = MaxA alors a + 1 / A. 2. Division euclidienne Théorème : (a, b) IN IN,!(q, r) IN 2 / a = bq + r et. Remarques : q est le plus grand entier n tel que nb a. On a aussi q =. 3. Récurrence Lemme : Soit A IN tel que : (a) 0 A (b) n IN : n A = n + 1 A. Alors A =. démonstration : (Par l absurde). Supposons que A IN. Posons B = C IN A = IN\A. On a B et donc possède un plus petit élément : n 0. Comme 0 A, 0 / B et donc n 0 0. On en déduit que n 0 1. Considérons p = n 0 1. On a p / B (car strictement plus petit que n 0 ), donc p A. La deuxième hypothèse sur A donne : p + 1 = n 0 A : Absurde car n 0 B et A B =. Raisonement par récurrence : Soit H n une assertion dépendant de n (exemple : H n : la n-ième fleur est plus grande que 2 n ). Pour montrer que H n est vraie pour tout entier n de IN, on peut raisonner par récurrence : On montre que H 0 est vraie (c est l amorce) et pour tout entier n de IN on montre que si H n est vraie alors H n+1 est également vraie (c est l hérédité). Remarque : Si pour montrer H n+1 on a besoin de H n, H n 1..., on fait alors une récurrence avec prédecesseurs. On rédige : Supposons que H p soit vraie jusqu au rang n. Exemple : Soit (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et n IN, u n+2 = u n+1 + u n. Montrer que n IN : u n IN. (Attention à l amorce!) 4. Ensembles finis, cardinaux, cardinaux remarquables (a) Définition : On dit qu un ensemble E est fini s il existe un entier n et une bijection de E sur {1, 2,..., n}. On note alors CardE = n (convention : Card = 0). Toute partie E de E, fini, est finie et CardE CardE, avec égalité si et seulement si E = E. Etant donnés deux ensembles finis E et F de même cardinal, et une application f de E dans F, f est bijective si et seulement si f est injective ou surjective. (b) Opération sur les ensembles finis : Soient E et F deux ensembles finis. 6
i. Si E F = alors : Card(E F ) =. ii. Card(E F ) =. iii. Card(E F ) =. iv. CardP(E) =. (P(E) est l ensemble des parties de E) v. On note F(E, F ) l ensemble des applications de E dans F. Card(F(E, F )) =. (c) Arrangements : Soient deux ensembles finis E et F tels que CardE = p et CardF = n. L ensemble des applications injectives de E dans F est un ensemble fini. On note A p n son cardinal. Sa valeur est : A p n = n(n 1) (n p + 1) = Arrangements : On appelle arangement de p éléments d un ensemble E de n éléments, tout p uplet (l ordre compte) d éléments deux à deux distincts de E. Le nombre de ces arrangements est A p n. (d) Permutations : On appelle permutation de n éléments toute bijection de l ensemble de ces n éléments sur lui-même. Le nombre de permutations de n éléments est n!. (e) Coefficient binômial : ( n p) : i. Définition : On appelle ( n p) le nombre de parties (sous-ensemble) à p éléments d un ensemble à n éléments. ii. Calcul : ( ) n = p iii. Remarque : On le note parfois Cn p = ( ) ( ) ( ) n n n = = = 0 n 1 iv. ( Formules ) : n = n p ( ) n = p p=0 ( ) ( ) n n 1 = p p 1 Formule de Pascal : n(n 1) (n p + 1) = p! ( n. p) ( ) n = 2 n! (n p)!p! ( ) n = 3 v. Formule du binôme de Newton : (a, b) lc 2, n IN, alors : (a + b) n = a n + ( ) n a n 1 b 1 + 1 ( ) n a n 2 b 2 + + b n = 2 k=0 = k=0. 5. Définition de lq lq = { p / p ZZ, q IN {0}} q Ecriture d un rationnel : r lq,!(p, q) ZZ (IN {0}) / r = p q. Propriété de lq : (lq, +,, ) est un corps totalement ordonné. Remarque : 7
(a) Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est périodique (ex : 12, 2373737 ). (b) lq est un corps totalement ordonné qui contient des trous (par exemple une suite peut être croissante et majorée sans être convergente ou un ensemble peut être non vide et majoré sans avoir de borne supérieure ; ces lacunes conduiront à IR). II. IR 1. Définition de IR On admet qu il existe un unique ensemble noté : IR tel que : (a) (IR, +,, ) est un corps totalement ordonné. (b) lq IR. (c) Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. (d) Toute partie non vide minorée de IR possède une borne inférieure. Détail (a) Dès que l on a dans un problème : Soit x 0, alors on est sûr qu il faudra considérer 1 (qui existe car IR est un corps). x Les seules règles qui manipulent l ordre et les opérations sont : i. (x, y, a) IR 3, x y = x + a y + a. ii. (x, y) IR 2, x y = y x. iii. (x, y, a) IR 3, x y et a 0 = xa ya. iv. (x, y) IR 2, 0 x y = 1 y 1 x. Attention aux soustractions et aux divisions qui provoquent des CATA avec (b) L inclusion réciproque est fausse (ex : 2, π, e). (c) Caractérisation : Soit A un sous-ensemble non vide de IR. { x A : x α (α majore A) α = sup A ε > 0, a A tel que a > α ε β = inf A { x A : x β (β minore A) ε > 0, a A tel que a < β + ε Propriété : Si sup A appartient à A, sup A est donc le plus grand élément de A. Idem pour inf A. Notation : Si sup A appartient à A, sup A est alors noté MaxA. Idem si inf A appartient à A, inf A est alors noté mina. Caractérisation séquentielle (avec les suites) α = sup A { x A x α (α majore A) (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = α n + { x A x β (β minore A) β = inf A (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = β n + Démonstration : Le faire en exercice en s aidant d un petit dessin. 8
Méthode pour montrer que α est la borne supérieure de A. On montre en premier que α majore A. Si α A alors sup A =MaxA = α. Si α / A alors il faut soit utiliser les epsilons : ε > 0, a A / a > α ε soit les suites : (a n ) suite d éléments de A tel que lim a n = α. n + Exemple : A = [0, 1[ et A = { 1 / n 1} (déterminer inf, sup, Max, min). n 2. Valeur absolue, encadrement Définition : x = Max{x, x}. Propriétés : (a) x 0. (b) x = (c) x = 0 (d) xy = (e) x + y Conséquence : x i (f) x y Encadrement : (a) x α (b) x a α x (c) x a α = x (d) I n + 1 n + 1 S n < I n+1. Donner un encadrement de I n : 3. Partie entière Définition : x IR! n ZZ / n x < n + 1. Notation : n = x = E(x). Exemples : π =, π =. Caractérisation : { n ZZ n = x n x < n + 1 i=1 Exercice : Montrer que x IR, x + 1 = x + 1. 4. Densité Définition : A IR est dit dense dans IR si : (x, y) IR 2 / x < y, a A tel que x < a < y. Exemples : lq, IR\lQ, ID. Remarque : La densité de A exprime que l on peut toujours glisser un élément de A entre deux réels quelconques. 5. Sommation (a) x i = (b) (c) (d) (e) i=1 1 i<n x i = x i+1 = i=1 i+j=n n x i = i=1 x i y j = 9
(f) (g) (h) (i) (j) 1 i<j n a = i=1 n a = i=1 i=1 p j=1 x i,j = p x i,j = j=1 x i,j = i=1 NOMBRES COMPLEXES-GEOMETRIE I Définitions - EcritureS 1. Définition-Structure lc = {a + ib tels que }. Si z = a + ib, (a, b) IR 2, on a a = et b = Remarque : Soient z = a + ib et z = a + ib, avec a, b, a, b : réels, on a z = z Théorème : ( lc, +, ) est un. ( lc, +,, ) est une Soient z = a + ib et z = a + ib, avec a, b, a, b : réels. z + z =, zz =, z = et si z 0, 1 z = 2. Module-Argument Soit z = a + ib avec a, b : réels. z = et z = = Définition : On note lu = {z lc tel que z = 1}. On a (lu, ) qui est un Thèorème-définition : z lc,!ρ > 0 et θ (unique à 2π-près) tels que z = ρe iθ = ρ(cos θ + i sin θ) (écriture On a : ρ = et θ est appelé et noté Théorème :Soient { z = ρe iθ et z = ρ e iθ, avec ρ, ρ > 0 et θ, θ : réels. On a z = z Formules : ρe iθ.ρ e iθ =. Soit n ZZ, (e iθ ) n = (cos θ + i sin θ) n = Passage cartésien-trigonométrique : d un nombre complexe) (formule de Soit z = ρe iθ. On a alors z = +i Soit z = a + ib 0 avec a, b : réels. On a alors z = ρe iθ avec ρ = = et θ défini par cos θ = sin θ = Conséquence : Posons α 0 = arccos( ), on a : 10
Exemple : Donner l écriture trigonométrique de z = 4 3i 3. Interprétation gémométrique II Pratiques des nombres complexes 1. Formules d EULER cos θ = et sin θ = e iθ + e iθ = e iθ e iθ = 1 + e iθ = 1 e iθ = e iα + e iβ = e iα e iβ = : Formules d Euler généralisées Application : Calculer sin kx. k=0 2. Linéarisation-Délinéarisation (a) Linéarisation : C est écrire un polynôme en cos et sin comme combinaison linéaire des cos kx et sin kx. On utilise les formules d Euler, on développe et on regroupe les termes deux par deux. exemple : cos 7 x = cos 2 x sin 3 x = (b) Délinéarisation : c est le contraire de la linéarisation. On utilise la formule de Moivre : cos kx =Re(cos x + i sin x) k et sin kx =Im(cos x + i sin x) k. Exemple : cos 8x = 3. Racine n-ième de l unité Définition : Soit n IN. On appelle racine n-ième de l unité tout complexe racine de : Soit k ZZ, on note ω k = on a ω 0 =, ω n = et ω k = ω 1. Proposition : ω k = ω k Conséquence : ω k = Définition : On appelle lu n l ensemble des racines n-ième de l unité. lu n = Proposition : La somme des racines n-ième de l unité vaut. C est-à-dire : 11
Interprétation géométrique : L ensemble des points d affixes les racines n-ième de l unité forme un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique : Exemple : Donner les racines n-ième de l unité et tracer le polygone correspondant pour n = 2, 3, 4, 5 et 6 2iπ (pour n = 5 on calculera α = e 5 à l aide de la formule 1 + ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0). Utilisation des racines n-ième de l unité Résolution de l équation z n = a avec a lc. Posons a= d où les solutions sont : Factorisations : X n 1 = k= et X n 1 + X n 2 + + X 2 + X + 1 = 4. Racine carré-equation de second degré Soit Z 0 = a + ib lc. On cherche z lc tels que z 2 = Z 0. On a z 2 = Z 0 D où les solutions sont : z = et z = Exemple : Déterminer les racines carrées de 33 56i. Conséquence : Soit az 2 + bz + c = 0 avec (a, b, c) lc 3 et a 0. Les solutions de cette équation sont : z = et z = avec δ 2 = Exemple : Factoriser le polynôme : iz 2 + ( 1 + i)z + 7 + 4i = 5. Géométrie des nombres complexes Soit A d affixe a lc, B d affixe b et C d affixe c. Alors l affixe de AB est, AB =, ( AB, AC) = (A, B, C) alignés si et seulement si z = z = Similitudes directes : On appelle similitude directe de centre Ω de rapport λ > 0 et { d angle θ, l application s du plan ΩM = λωm dans le plan qui à tout point M associe le point M tel que : ( ΩM, ΩM ) = θ 12
Dessin : Proposition : s est une similitude directe de centre Ω de rapport λ > 0 et d angle θ si et seulement si il existe (a, b) lc 2 (a 1) tels que s associe à tout point M d affixe z le point M d affixe az + b. De plus : le centre Ω a pour affixe : le rapport λ = l angle θ = Remarque : Soit s : z az + b avec (a, b) lc 2. On a s est une translation ssi s est une homothétie ssi s est une symétrie ssi s est une rotation ssi 6. Exponentielle complexe Définition : Si z = a + ib lc, on note e z = Proposition : e z = arg(e z ) = Re(e z ) = Im(e z ) = Définitions : Soit z lc. cos z = sin z = tan z = cotan z = chz = shz = thz = cos 2 z + sin 2 z = ch 2 z sh 2 z = 13
ENSEMBLES - APPLICATIONS - DENOMBREMENT 1. Soit E un ensemble non vide. Compléter : P(E) = E\A = A = A E = A\B = 2. Pour montrer que 2 ensembles sont égaux, on utilise : A=B A B et B A Remarque : si A et B sont des ensembles finis, on peut aussi utiliser le cardinal : { { A B B A A = B 3. Vocabulaire : Soit f : E F et A E et B F. Le graphe de f c est La restriction de f à A notée f/a c est La fonction 1 A c est 4. Pour montrer que 2 applications sont égales : Soient 2 applications f et g ayant même ensemble de départ E et même ensemble d arrivée F. Par définition, f = g On commence la démonstration par : Soit x E alors f(x) =...... = g(x). 5. Soient E et F 2 ensembles et soit une application f : E F. Définition 1 :f est injective si tout élément de F a au plus un antécédent. Caractérisation 1 : f est injective [ (x, x ) E 2, f(x) = f(x ) = ] Définition 2 : f est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent. Caractérisation 2 : f est surjective [ y F, ] Dessin n 1 Dessin n 2 f est injective (non surjective) Définition 3 : image directe et image indirecte Soit A E, alors f(a) = {y Soit B F, alors f 1 (B) = {x 6. N oubliez pas vos parenthèses : n + 1! = n + 1 (n + 1)!. 7. Si n IN, 0 n = 0, mais par convention : 0 0 = 1. 3 exemple : 0 k = k=0 f est surjective (non injective) } = {f(x)/x A} (image directe) } (image réciproque). 8. Définition en probabilités : au moins : (supérieur ou égal) au plus : (inférieur ou égal) moins de : < plus de : > exercice 5 : L élève le plus grand de la classe mesure : t = Combien y a-t-il d élèves dans la classe qui mesure plus de t? Combien y a-t-il d élèves dans la classe qui mesure au moins t? 14
9. Cardinal d un ensemble fini Définition : Soit E un ensemble non vide. On dit que E est fini s il existe un entier n et une de E dans [1, n](= {1, 2,..., n}) : n est appelé le cardinal de E. On note alors CardE = n. Autre notation : E ou #E. Convention : Card = Propriétés : a) Soit E un ensemble fini, et A une partie de E ( :A E), alors A est un ensemble fini et CardA CardE. b) Soient 2 ensembles finis E et F de même cardinal, et une application f de E dans F, alors [f est bijective] [f est injective] [f est surjective]. Opération sur les ensembles finis : Soient E et F deux ensembles finis. (a) Si E F = (on dit que E et F sont disjoints) alors : Card(E F ) =CardE CardF. Généralisation : si A 1, A 2,..., A p sont des parties de E, 2 à 2 disjointes, alors Card(A 1 A 2 A p ) =CardA 1 CardA 2 CardA p. (b) Card(E F ) = (c) Définition : E F = E F = Généralisation : si E 1, E 2,..., E p sont des ensembles finis, alors E 1 E 2... E p = 10. p-listes : Soit E un ensemble fini, et p IN. Définition : Une p-liste de E (ou un p-uplet) est un élément de E p Théorème 1 : Si CardE = n, le nombre de p-listes de E est conséquence : Si on note F(E, F ) l ensemble des applications de E dans F, alors Card(F(E, F )) = (Card ) Card. Autre notation : F(E, F ) est aussi notée F E. Corollaire : Si E est un ensemble fini, alors P(E) = Démonstration : On utilise les fonctions. Théorème 2 : Si CardE = n, et p n le nombre de p-listes d éléments distincts de E est (On note parfois ce nombre A p n et on parle d arrangements de E). conséquence : Le nombre d applications injectives de X p à p éléments dans Y n à n éléments est A savoir : pour n 1, A p n = n(n 1) ( Permutations : On appelle permutation de n éléments toute bijection de l ensemble de ces n éléments sur lui-même. Le nombre de permutations de n éléments est. 11. Combinaisons : (a) Théorème 3 : Si CardE = n, le nombre de parties à p éléments (distincts) de E est noté (On appelle ce nombre coefficient binomial) ( ) n Si p n, = et si p > n, p ( ) n = p ( ) n. p 15
(b) Calcul : ( ) n = 0 (c) Formules : ( ) n = n p ( ) n = n Formule de Pascal : ( ) n = p ( ) n = 1 ( ) n = p ( ) n = 2 ( ) n 1 p 1 ( ) n = 3 12. Applications Formule du binôme de Newton : (a, b) lc 2, n IN, on a : (a + b) n = Formule de Vandermonde : (a, b, n) IN 3 : k=0 ( ) a + b n = k=0 = k=0 ( )( a b ) k n k (a) Si X p a p éléments et Y n n éléments, alors l ensemble des applications strictement croissantes de X p dans Y n est (b) Si X p a p éléments et Y n n éléments, alors l ensemble des applications croissantes de X p dans Y n est (c) Soit S = {(x 1,..., x p ) IN p tel que x 1 + + x p = n}. Alors S = En déduire le nombre de façons de ranger k boules indiscernables dans b boites discernables : 13. Ordre et répétition Dans les 3 cas, précisez s il y a un ordre et s il y a (ou non) répétition des éléments : Le nombre de p-listes (x 1, x 2,..., x p ) d un ensemble à n éléments est n p : Le nombre de p-listes (x 1, x 2,..., x p ) d éléments distincts d un ensemble à n éléments est ( ) n Le nombre de parties {x 1, x 2,..., x p } à p éléments d un ensemble à n éléments est : p n! (n p)! :. 16
LogiquE 1. Assertion : c est une phrase (généralement mathématique) vraie ou fausse. Axiome : c est une phrase qui est décrété vraie ; il fait partie d un groupe d axiomes appelé théorie axiomatique. La plus connue, et celle avec laquelle on travaille tous les jours s appelle la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF). Théorème : c est une assertion vraie que l on démontre par déduction logique grâce aux axiomes. Proposition : c est un petit théorème. Lemme : c est un tout petit théorème! Conjecture : c est une assertion qu une personne dit être vraie mais non encore démontrée. Tout théorème a d abord été une conjecture. Exemples : Dire si ces phrases sont des assertions (et leur valeur), des axiomes, des théorèmes, des propositions, des lemmes, des conjectures. (1 = 2) (x > 2) (la 10 10000000000000000000000000000000000000 -ième décimale de π est un 7). ( la 20-ième décimale de π est un 6). ( la 3-ième décimale de π est un 9). (le carré de l hypothénuse d un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des autres côtés) ( x, y tel que z : [z y z x]) (3) 2. Enoncer clairement la négation des assertions suivantes : (a) Tout triangle posséde un angle droit. (b) Dans toutes les prisons, tous les détenus détestent tous les gardiens. (c) Pour tout entier n il existe un entier p tel que pour tout entier q la relation q < p implique la relation q < n + 1 3. Est-ce vrai est-ce faux?? (1 = 2) = (2 = 3) (1 = 2) = (2 = 2) (1 = 1) = (2 = 3) 4. Montrer que ( p = q ) est identique à ( non(p) ou q ) 5. Soit le Théorème : Si f est croissante et majorée sur ]a, b[ alors elle admet une limite finie en b. Questions : (a) f est croissante et majorée sur ]a, b[ est une condition...pour qu elle admette une limite finie en b. (b) Pour que f admette une limite finie en b il... que f soit croissante et majorée sur ]a, b[. 6. Pour intégrer une bonne Grande école il... suffit d / faut... être bon dans les matières scientifiques. 7. Donner une condition neccéssaire (et non suffisante) pour qu un réel x soit entre 0 et 1. Donner une condition suffisante (et non neccéssaire) pour qu un réel x soit entre 0 et 1. 8. Compléter les phrases suivantes par le mot nécessaire ou suffisant Pour gagner au loto il est... de jouer. Pour ne pas perdre au loto il est... de ne pas jouer. Pour qu il n y ait pas de nuages il est... qu il ne pleuve pas. 17
Pour qu un réel soit positif il est... qu il soit le carré d un autre réel. Pour qu une suite soit majorée il est... qu elle soit convergente. Pour qu une suite soit convergente il est... qu elle soit croissante et majorée. 9. Que penser de quelqu un qui vous dis : Je mens.? 10. Donner un voeu irréalisable. 11. Les cannibales d une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie? 12. Que penser de la phrase : La phrase que vous lisez contient huit mots.? 13. Faites l exercice 14. 14. Ne faites pas l exercice 13. LES STRUCTURES ALGEBRIQUES I. Loi de composition interne 1. Loi de composition interne : Soit G un ensemble non vide. Définition : On appelle loi de composition interne (L.C.I.) toute application : : G G G (x, y) x y Notation des L.C.I. :, +,,,, etc... 2. Qualités des L.C.I. : Soit G un ensemble muni d une L.C.I., notée (a) Associativité : (x, y, z) G 3 : (x y) z = x (y z) (b) Commutativité : (c) Elément neutre : (x, y) G 2 : x y = y x e G, x G : x e = e x = x Remarque : l élément neutre est noté 0 ou 0 G pour une loi +, 1 ou 1 G pour une loi, Id G pour une loi. (d) Elément symétrique (ou inversible) : Soit e un élément neutre pour. On dit que x possède un symétrique (ou un inverse) pour si : x G tel que x x = x x = e Notation : x pour une loi +, x 1 ou 1 x pour une loi, f 1 pour une loi et x 1 pour une loi. II. Groupes 1. Groupe - Groupe abélien : Soit G un ensemble non vide, muni d une L.C.I notée. Définition 1 : On dit que (G, ) est un groupe si : (a) est associative. (b) G possède un élément neutre (noté e). 18
(c) Tout élément x de G possède un élément symétrique x 1 pour. Définition 2 : On dit que (G, ) est un groupe commutatif ou abèlien si : (G, ) est un groupe et la loi est commutative. Exercice : Traduire a) b) c) avec des quantificateurs : a) : b) : c) : Exemples : Rayer les intrus : (IN, +) ; (IN, ) ; (ZZ, +) ; (ZZ, ) ; (lq, +) ; (lq, +) ; (lq, ) ; (IR, ) ; ( lc, +) ; (IR n, +) ; ( lc n, ) ; (lk[x], +) ; (lk(x), +) ; (ID, ) ; (L(E), +) ; (L(E), ) ; (GL(E), +) ; (GL(E), ) ; (F(I, IR), +) ; (IR IR, +) ; (IR IR, ) ; (IR IR, ) ; (IR IN, +). 2. Sous-groupes : Soit (G, ) un groupe et soit H G. Définition : On dit que H est un sous-groupe de (G, ) si : (a) H est non vide (on montre en général que e G H). (b) H est stable pour la loi : (x, y) H 2 : x y H. (c) H est stable pour le symétrique : x H : x 1 H. Théorème Fondamental : Si H est un sous-groupe de (G, ) alors (H, ) est lui-même un groupe. Conséquence : Pour montrer qu un Truc H est un groupe avec une loi, on démontre que c est un sous-groupe d un groupe connut (G, ). Exemples : (a) Montrer que l ensemble des suites complexes qui convergent vers 0 est un groupe avec +. (b) Donner 5 exemples de sous-groupe de ( lc, ). 3. Morphismes de Groupes : Soit (G, ) et (G, ) 2 groupes et soit f : G G. Définition : On dit que f est un morphisme de groupes si : (x, y) G 2 f(x y) = f(x) f(y). Propriétés : f(e G ) = e G et f(x 1 ) = f(x) 1. Définitions : f est dit isomorphisme si : f est dit endomorphisme si : f est dit automorphisme si : Définitions : Noyau de f : Kerf = {x G / f(x) = e G } (Sous-groupe de (G, )). Image de f : Imf = {y G / x G, y = f(x)} (Sous-groupe de (G, )). Exemples : (a) Donner un morphisme de (IR, +) vers (IR +, ) : (b) Donner un morphisme de (IR 2, +) vers (IR 3, +) : (c) Donner un morphisme f de (ZZ, +) vers ( lc, ) tel que f(3) = i : 19
Remarques ou commentaires sur les groupes : (x y) 1 =... III. Anneaux 1. Définition : Soit A un ensemble non vide muni de 2 L.C.I. notées + et (dans la pratique = ou = ). On dit que (A, +, ) est un anneau si : (a) (A, +) est un groupe abèlien. (b) est associative et A possède un élément neutre pour la loi (noté e). (c) est distributive par rapport à + : (x, y, z) A 3 : (x + y) z = x z + y z et z (x + y) = z x + z y. Si de plus est commutative alors l anneau est dit commutatif. Exemples : (ZZ, +, ) ; (lq, +, ) ; (IR, +, ) ; ( lc, +, ) ; (lk[x], +, ) ; (L(E), +, ) (M n (IR), +, ) ; (F(I, IR), +, ). 2. Propriétés : (a) x A : x 0 = 0 x = 0 (0 : élément absorbant). (b) (x, y) A 2 : (x y) = ( x) y = x ( y). (c) (x, y, z, t) A 4 : (x + y) (z + t) = x z + x t + y z + y t. Attention : On peut avoir x y = 0 avec x 0 et y 0. (Exemple : dans M n (IR)). 3. Eléments inversibles : Soit (A, +, ) un anneau et a un élément de A. On dit que a est un élément inversible de A, s il existe un élément b de A tel que a b = b a = e (e : élement neutre pour ). Notation : a 1. Définition : On appelle groupe des éléments inversibles de A, noté : A, l ensemble des éléments inversibles de (A, +, ). Ecrire avec des quantificateurs : A = {a A tel que : Proposition : (A, ) est un groupe. En effet e A, si x et y sont dans A, alors x y et x 1 aussi ((x y) 1 = y 1 x 1 ). Exemples : Déterminer ZZ = { IR = { L(E) = { 4. Newton : Notation : Soit (A, +, ) un anneau et a élément de A, on note : n IN : na = } a + a + {{ + a }, ( n)a = (na) et 0a = 0. n fois n IN : a n = } a a {{ a}, a 0 = e et si a est inversible a n = (a n ) 1 = (a 1 ) n. n fois Théorème : (a, b) A 2, n IN, si a b = b a, alors : ( ) ( ) n n (a + b) n = a n + a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + + b n = 1 2 k=0 ( ) n a n k b k. k Remarque : Ne pas oublier de verifier que a b = b a. Dans le cas contraire, on développe par distributivité, exemple : (a + b) 2 = a 2 + b 2 + a b + b a. 20
5. Morphisme d anneaux : Soit (A, +, ) et (B, +, ) deux anneaux et soit f une application de A dans B. Définition : On dit que f est un morphisme d anneau de A dans B si : (a) (x, y) A 2 f(x + y) = f(x) + f(y) (b) (x, y) A 2 f(x y) = f(x) f(y) (c) f(e A ) = e B. IV. Corps 1. Définition : Soit K un ensemble non vide munit de 2 L.C.I. notées + et. On dit que (K, +, ) est un corps si : (a) (K, +, ) est un anneau commutatif. (b) Tout les éléments non nul de K sont inversibles (c est à dire : a K {0}, b K tel que a b = e (e : élement neutre pour ). 2. Exemples : (lq, +, ) (IR, +, ) ( lc, +, ) ESPACES VECTORIELS : début Soit (lk, +, ) un corps quelconque (qui sera souvent IR ou lc) et soit E un ensemble non vide. 1. L.C.E. : On appelle loi de composition externe (L.C.E.), toute application : :lk E E (λ, x ) λ x (notée aussi λ x ) 2. lk-ev : On dit que (E, +, ) est un lk-ev si : (a) (E, +) est un groupe abèlien (b) x E, 1 x = x (N ) (c) (λ, µ, x ) lk 2 E, λ (µ x ) = (λµ) x (d) (λ, µ, x ) lk 2 E, (λ + µ) x = λ x + µ x (A) (D) (e) (λ, x, y ) lk E 2, λ ( x + y ) = λ x + λ y (D ) 3. Exemples : a) On munit IR n des 2 lois usuelles suivantes + et : (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) et λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ) Thèorème : (IR n, +, ) est un IR-ev. De même ( lc n, +, ) est un lc-ev. b) (lk[x], +, ) est un lk-ev. c) lc est un lc-ev et aussi un IR-ev. Généraliser. d) Si X est un ensemble quelconque non vide alors E = F(X, lk) est un lk-ev muni des 2 lois usuelles suivantes + et : f + g : x f(x) + g(x) et λf : x λf(x) Conséquence : Si X = IN alors E est l ensemble des suites réelles ou complexes qui est donc un lk-ev. Si X = [a, b] IR alors E est l ensemble des fonctions de [a, b] dans lk qui est donc un lk-ev. e) Si E et E sont des lk-ev alors E E est un lk-ev avec les lois usuelles suivantes + et : ( x, x ) + ( y, y ) = ( x + y, x + y ) et λ( x, x ) = ( λx, λx ). 4. Sous-espaces vectoriels : Soit E un lk-ev et soit F E. Définition : On dit que F est un Sous-Espace Vectoriel (SEV) de E si : 21
(a) F est non vide (on montre en général que 0 E F ). (b) F est stable pour la loi + : ( x, y ) F 2 : x + y F. (c) F est stable pour la loi : x F et λ lk : λ x F. Théorème Fondamental : Si F est un Sous-Espace Vectoriel de E alors F est lui-même un lk-ev. Conséquence : Pour montrer qu un Truc F est un lk-ev, on démontre que c est un SEV d un lk-ev connut. Théorème : Toute intersection de SEV est un SEV. 5. K-Algèbre : On dit que (E, +,, ) est une lk-algèbre si : (a) (E, +, ) est un lk-ev (b) (E, +, ) est un anneau (pas forcément commutatif). (c) (λ, x, y ) K E 2, λ ( x y ) = (λ x ) y = x (λ y ) Remarque : x y est souvent noté xy (même avec la loi : x y = xy) Les 3 lk-algèbres fondamentales sont : (lk[x], +,, ) (L(E), +,, ) et (M n (lk), +,, ). 6. Sous-Algèbre : On dit que F est une Sous-Algèbre de (E, +,, ) si : (a) F est un sev (b) F est stable pour la loi (c) l élément neutre e pour la loi appartient à F 7. Familles de vecteurs : (a) Combinaison Linéaire : Toute expression du type α x + β y et plus généralement : α 1 x1 + + α p xp où α, β, α i sont des scalaires et x, y, x i des vecteurs. (b) SEV engendré par... : Soit u 1,..., u p des vecteurs de E, un lk-ev alors on appelle SEV engendré par u 1,..., u p l ensemble des Combinaisons Linéaires de u 1,..., u p, que l on note vect( u 1,..., u p ). Donc x vect( u 1,..., u p ) (λ 1,..., λ p ) lk n tels que x = λ 1 u1 + + λ p up. Proposition : vect( u 1,..., u p ) est un SEV de E. Généralisation : Si X E quelconque, on définit vect(x) comme le SEV de toutes les Combinaisons Linéaires (d un nombre fini) d éléments de X. (c) Famille libre ( u 1,..., u p ) est dite Libre si : (λ 1,..., λ p ) lk p, l égalité : λ 1 u1 + λ p up = 0 E entraine automatiquement que : λ 1 = = λ p = 0 Une famille non Libre est dite Liée. Propriétés : Toute sous famille d une famille libre est libre, tout les vecteurs d une famille libre sont 2 à 2 distincts et non nuls. Généralisation : Soit ( u i ) i I où I est un ensemble infini, on dit que ( u i ) i I est une Famille Libre si toutes ses sous-familles finies sont Libres : ( u i ) i J libre avec J I et J fini. (d) Famille Génératrice ( u 1,..., u p ) est une Famille Génératrice de E si vect( u 1,..., u p ) = E. Généralisation : Si X E quelconque, on dit que X est une famille génératrice si vect(x) = E. 22
(e) Base ( u 1,..., u p ) est une Base de E si elle est Libre et Génératrice. Conséquence : Si ( u 1,..., u p ) est une Base de E alors x E!(x 1,..., x p ) lk p tels que x = x 1 u1 + + x p up. Définition : (x 1,..., x p ) s appelle les coordonnées de x dans la base ( u 1,..., u p ). Généralisation : Soit ( u i ) i I où I est un ensemble infini, on dit que ( u i ) i I est une Base si elle est Libre et Génératrice. (f) Espace vectoriel de dimension finie : Tout lk-ev E qui possède au moins une famille génératrice ayant un nombre fini d éléments. Exemples : lk n, lk n [X] Contre-exemple : lk[x] 8. Dimension Espace vectoriel de dimension finie : (a) Théorème Fondamental : Théorème de la Base Incomplète (TBI) Théorème : Soit E un lk-ev de dimension finie. Soit ( u 1,..., u p ) une famille libre de E et soit ( u 1,..., u p, f 1,..., f q ) une famille génératrice de E. Alors il existe une sous-famille ( f i1,..., f ik ) de ( f 1,..., f q ) telle que ( u 1,..., u p, f i1,..., f ik ) soit une base de E. (On a donc complété la famille libre ( u 1,..., u p ) en une base de E). Démonstration : On considère X l ensemble des entiers naturels n IN tel qu il existe une sous famille ayant n éléments : ( f i1,..., f in ) de ( f 1,..., f q ) tel que ( u 1,..., u p, f i1,..., f in ) soit encore libre. On a X IN, X (0 X) et X est majoré par q. X possède donc un plus grand élément que l on note k et donc il existe une sous-famille ( f i1,..., f ik ) de ( f 1,..., f q ) telle que ( u 1,..., u p, f i1,..., f ik ) soit libre. On montre alors que cette famille est également génératrice : un vecteur f j de ( f 1,..., f q ) autre que ceux de ( f i1,..., f ik ) est combinaison linéaire de ( u 1,..., u p, f i1,..., f ik ) sinon ( u 1,..., u p, f i1,..., f ik, f j ) serait aussi libre ce qui contredirait la maximalité de k. Corollaire : Existence de bases : Théorème : Tout lk-ev E {0 E }, de dimension finie possède au moins une base. Démonstration : Soit u un vecteur non nul de E. ( u ) est donc libre soit ( f 1,..., f q ) une famille génératrice de E. Alors ( u, f 1,..., f q ) est encore une famille génératrice de E. Par TBI il existe une sous-famille ( f i1,..., f ik ) de ( f 1,..., f q ) telle que ( u, f i1,..., f ik ) soit une base de E. (b) Dimension : Théorème-Démonstration : Soit E {0 E } un lk-ev de dimension finie. Alors toutes les bases de E ont un nombre fini d éléments et elles ont toutes le même nombre d éléments. Ce nombre est appelé la Dimension de E. On le note dim lk E ou dime. Démonstration : Voir l excellent cours de M. Richard R. Remarque pratique : Pour déterminer la dimension d un espace E, un des moyens est d exiber une base de E et de compter le nombre d éléments de cette base. Ce nombre est la dimension de E. Convention : dim{0 E } = 0. (c) Exemples canoniques : i. lk n On appelle base Canonique de lk n la base B 0 = (e 1,, e n ) avec 23
e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),..., e n = (0, 0,, 0, 1). On a donc l égalité : x = (x 1, x 2,, x n ) lk n : x = (x 1, x 2,, x n ) = ii. lk n [X] x i e i. On appelle base Canonique de lk n [X] l une des 2 bases suivantes : (1, X,, X n ) et (X n, X n 1,, X, 1). iii. M n (lk) et M n,p (lk) iv. On appelle base Canonique de M n,p (lk) la base des matrices élémentaires B 0 = (E i,j ) 1 i n,1 j p. lc (1) est la base canonique de lc vu comme lc-ev et (1, i) est la base canonique de lc vu comme IR-ev. v. Caractérisation des bases Théorème1 : Soit E un lk-ev de dimension n et soit ( u 1,..., u p ) une famille de E. On a : ( u 1,..., u p ) est libre alors p n et p > n alors ( u 1,..., u p ) est liée ( u 1,..., u p ) est génératrice alors p n et p < n alors ( u 1,..., u p ) n est pas génératrice. Démonstration : Tout repose sur TBI, à faire en exercice. Théorème2 : Soit E un lk-ev de dimension n et soit ( u 1,..., u n ) une famille de E. ( u 1,..., u n ) est une base SSI ( u 1,..., u n ) est libre SSI ( u 1,..., u n ) est génératrice. Démonstration : Encore TBI, à faire en exercice. vi. Dimension d un SEV Théorème : Soit E un lk-ev de dimension n et soit F un SEV de E. Alors F est aussi de dimension finie et on a : dimf dime. Démonstration : Soit ( u 1,..., u p ) une famille libre de vecteurs de F, alors ( u 1,..., u p ) est une famille libre de vecteurs de E et donc p n. On considère X l ensemble des entiers naturels p IN tel qu il existe une famille libre de vecteurs de F ayant p éléments. On a X IN, X (0 X) et X est majoré par n. X possède donc un plus grand élément que l on note k et donc il existe une famille libre de F : ( f 1,..., f k ). Cette famille est aussi génératrice de F sinon il existerait un vecteur u de F qui ne soit pas combinaison linéaire de ( f 1,..., f k ) et on aurait ( u, f 1,..., f k ) qui serait encore une famille libre de F ce qui contredirait la maximalité de k. Conclusion : ( f 1,..., f k ) est une base de F qui est donc de dimension finie et k =dimf n =dime. Théorème Fondamental : Soit E un lk-ev de dimension n et soit F et G, 2 SEV de E. { F G Alors : F = G dim F = dim G Démonstration : Soit ( u 1,..., u p ) une base de F, ( u 1,..., u p ) est donc libre dans G comme dimg =dimf = p on a ( u 1,..., u p ) base de G. D où F =vect( u 1,..., u p ) = G. vii. Rang d une famille de vecteurs Voir page 26 i=1 24
9. Applications Linéaires : (a) Soit E et E 2 lk-ev et soit f : E E. Définition : On dit que f est une Application Linéaire si : ( x, y ) E 2 f( x + y ) = f( x ) + f( y ) et x E et λ lk f(λ x ) = λf( x ). Propriétés : f(0 E ) = 0 E (savoir le démontrer) Définitions : f est dit isomorphisme si : f est dit endomorphisme si : f est dit automorphisme si : Définition : On dit que f est une Forme Linéaire si f est linéaire et si l espace d arrivée est le corps lk (f : E lk). Remarque : L application nulle f : E E, x 0 E est généralement notée 0 ou θ. (b) Structures Définition : L(E, E ) est l ensemble des Applications Linéaires de E dans E. Définition : L(E) = L(E, E) Définition : E = L(E, lk), on l appelle le Dual de E. On définit sur L(E, E ) les 2 lois usuelles suivantes + et : f + g : x f( x ) + g( x ) et λf : x λf( x ) Théorème1 : (L(E, E ), +, ) est un lk-ev. Théorème2 : (L(E), +,, ) est une lk-algèbre. Définition : On appelle groupe linéaire de E l ensemble des endomorphisme de L(E) qui sont bijective ; c est-à-dire l ensemble des automorphismes de L(E). On le note GL(E). Théorème3 : (GL(E), ) est un groupe (non abèlien dès que dime 2). (c) Noyau - Image Définitions : Soit f une Application Linéaire de E dans E. Noyau de f : Kerf = { x E / f( x ) = 0 E } : c est un SEV de E Image de f : Imf = { y E / x E, y = f( x )} : c est un SEV de E. Théorème Fondamental : Soit f une Application Linéaire de E dans E, alors : Démonstration : a) f est injective SSI ker f = {0 E } b) f est surjective SSI imf = E 25
GEOMETRIE AFFINE 1 ) Notion affine : règles du jeu On se donne un IR-espace vectoriel E (en général E est de dimension 2 ou 3). Faire de la géométrie affine sur E, c est faire un jeu sur E : on manipule les éléments de E en les considérant soit comme des points soit comme des vecteurs. La différence est donc purement psychologique. Les points sont en général notés avec des grandes lettres (A, B, M, Ω...) et les vecteurs avec des petites lettres ( u, v, n...) ou avec des bipoints ( AB, GM...). Remarque : Un élément de E, donc un vecteur (puisqu élément d un espace vectoriel) est en géométrie affine soit un point soit...un vecteur. Exemple : Soit E = IR 2 et soit le couple de E : (3, 7). En géométrie ce couple pourra être un point et l on notera par exemple A = (3, 7) ou un vecteur et l on notera u = (3, 7). Représentation graphique de la géométrie affine : Les points seront représentés par des croix et les vecteurs par des flèches : Les règles de la géométrie sont : On peut additionner un point et un vecteur et le résultat donne un point : A + u = B (et u se note AB). On peut soustraire deux points et le résultat donne un vecteur : B A = AB = u Attention : En géométrie affine il est interdit d additionner deux points (bien qu on puisse le faire avec deux éléments de l espace vectoriel E). Propriétés P 1 (A + u ) + v = A + ( u + v ) c est la P 2 P 3 Si on note B = A + u et C = B + v, alors la relation s écrit : AA = A A = 0 et AB = 0 SSI A = B A(A + u ) = A + u A = u et (A + u )(B + v ) = v u 2 ) Repère affine Définition : On appelle repère affine ou repère cartésien d un espace vectoriel E de dimension n, la donné d un point de E : Ω et d une base de E : B = ( e 1, e 2,, e n ). On le note R = (Ω, B) ou plus simplement R = (Ω, e 1, e 2,, e n ). Exemple : Si R = (Ω, e 1, e 2 ) est un repère de E = IR 2, alors dire que le point M de E a pour coordonnées (x, y) signifie que ΩM = x e 1 + y ( x e 2 et on note M. De même dire que le vecteur y) R u de E a pour coordonnées (x, y) signifie que u = x e1 + y e 2 et on note ( x u. y) ( ( ) R x x Si A et B y) y, alors ( ) x AB = (B A) x y. y R R R 3 ) Barycentre Soient A 1, A 2,...,A p, p points d un espace vectoriel E. Soient α 1, α 2,...,α p, p réels de IR tels que α 1 + α 2 + + α p 0. On appelle barycentre des points A 1, A 2,...,A p affectés des poids (ou coefficients) α 1, α 2,...,α p, l unique point G tel que α 1 GA1 + α 2 GA2 + + α p GAp = 0 26
Proposition : Soit Ω E (par exemple un centre d un repère) on a grâce à la relation de Chasles, ΩG = 1 ( ) α 1ΩA1 + α 2ΩA2 + + α pωap α 1 + α 2 + + α p Exemple : Soit R = (Ω, e 1, ( ( ) x x e 2 ) est un repère de E = IR 2. Si A et B y) y R R alors le barycentre G de (A, α) et (B, β) a pour coordonnées dans le repère R : G 4 ) Sous-espace affine (SEA) et si α+β 0, αx + βx α + β αy + βy α + β Soit E un IR-espace vectoriel et soit F un sous-espace vectoriel (SEV) de E (la flèche sur le F signifie que F est un ensemble de vecteurs (au sens géométrique du terme)). Soit A 0 un point de E. On appelle Sous-espace affine (SEA) de E passant par A 0 et de direction F, l ensemble des points M tels que AM F : Propriétés P 1 F = {M = A 0 + u, u F } F = {M E tel que A 0 M F } et noté F = A 0 + F R P 2 Lorsque le SEA F est fixé, alors F est unique et pour tout point A F, on a F = A + F Conséquence-définition : F s appelle la direction de F. Définition : On appelle dimension de F, la dimension de F. Proposition : Equation d un plan affine de E = IR 3 rapporté à un repère R = (Ω, e 1, e 2, e 3 ) Si F est un plan vectoriel de E d équation dans le repère R : ax+by+cz = 0 avec (a, b, c) (0, 0, 0) et si A 0 est un point de E, alors il existe d IR tel que le SEA : F = A 0 + F ait pour équation dans le repère R : F/ax + by + cz + d = 0. La réciproque est vraie. Exemple : Dans E = IR 2 rapporté à son repère canonique R = (,, ), déterminer et ( ) 1 tracer le SEA passant par le point A 0 et de direction 3 u (1, 2) R R Exercice : Montrer que tout barycentre de points d un SEA F est encore élément de F. Etudier la réciproque. 27
RANG D UNE FAMILLE DE VECTEURS Définition : Soient (x 1, x 2,..., x p ) E p (E lk-ev) on définit : rg(x 1, x 2,..., x p )= dim( vect(x 1, x 2,..., x p ) ). A. Propriétés du rang Prop. 1 rg(x 1, x 2,..., x p ) dime. Prop. 2 rg(x 1, x 2,..., x p ) p. Corollaire : rg(x 1, x 2,..., x p ) M (p, dime) Prop. 3 rg(x 1, x 2,..., x p ) = p (x 1, x 2,..., x p ) est une famille Prop. 4 Pour toute permutation σ de [1, n] : rg(x σ(1), x σ(2),..., x σ(p) ) = rg Prop. 5 Pour tout λ 0 : rg(x 1, x 2,..., λx i,..., x p ) = rg Prop. 6 λ K i j : rg(x 1, x 2,..., x i + λx j,..., x p ) = rg ( Corollaire : rg(x 1, x 2,..., x i,..., x p ) = rg x 1, x 2,..., x i + j i λ j x j,..., x p ) Prop. 7 rg(x 1, x 2,..., x p, 0) = rg(x 1, x 2,..., x p ) Prop. 8 Le rang est invariant si l on change de base. α 1 0. Prop. 9 (α 1... α q ) (K ) q : rg α 2..... 0. α q = q.... Demonstration : On montre que ces q vecteurs forment une famille libre et on utilise Prop. 3 Remarque pratique importante : Si rg(x 1, x 2,..., x p ) = q, alors il existe q vecteurs de la famille (x 1, x 2,..., x p ) qui forment une base de vect(x 1, x 2,..., x p ) (Théorème de la base incomplète). B. Détermination pratique : On dispose le tableau des coefficients (sans parenthèses). On utilise la méthode du pivot de Gauss en faisant apparaitre des zéros (grâce à prop.??), eventuellement on effectue des permutations de colonnes et de lignes pour arriver à un système : α 1 0... 0...... 0 α 2... 0...... 0......... 0...... 0 rg(x 1, x 2,..., x p ) = rg avec (α......... α q 0... 0 1... α q ) (K ) q Et donc..... 0......... 0... 0 rg(x 1, x 2,..., x p ) = Exemple : rg u 1 2, v 4 5, w 7 8 = rg 1 4 7 2 5 8 = rg 1 0 0 2 3 0 = 3 6 9 3 6 9 3 6 0 MATRICES 28
Notations : On notera lk pour IR ou lc. 1. Définitions Soit n IN et p IN. (a) On appelle matrice de type (n, p) à coefficients dans lk : A = On la notera également : A = (a i,j ) 1 i n. 1 j p (b) Si n = p on dit que la matrice est (c) On note M n,p (lk) l ensemble des matrice de type n, p. et M n (lk) l ensemble des matrice carrées de type n, n. (d) Si n = 1 on dit que A est une matrice... (e) Si p = 1 on dit que A est une matrice... (f) I n = (g) Soit A = (a i,j ) 1 i,j n. On dit que : ( ) i. A est triangulaire supérieure si : A = ( ) ii. A est triangulaire inférieure si : A = ( ) iii. A est diagonale si : A = iv. A est symétrique si : v. A est antisymétrique si : (h) Soit 1 k n et 1 l p. On appelle matrice élémentaire E k,l = 2. Opérations sur les matrices (a) + et Soit A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n et λ lk. 1 j p 1 j p On définit A + B = et λa = (b) Soit A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i p. 1 j p 1 j q On définit la matrice A B = (c i,j ) 1 i n 1 j q par c i,j = α=1 29
Exemples : A = ( ) ( 1 4 x, X = et B = 2 5 y) ( 9 7 ). AX = XB = BX = AB = Résultat important : Soit (k, l, k, l ) [1, n] 4. On a, dans M n (lk), Si l k : E k,l E k,l = et si l = k : E k,l E k,l = (c) Transposée Soit A = (a i,j ) 1 i n. On définit la matrice transposée t A = 1 j p Propriétés : t A t (A + B) = t (λa) = t (AB) = t ( t (A)) = 3. Structures (a) Théorème 1 (M n,p (lk), +, ) est un de dimension De plus est une base de M n,p (lk) (appelée base canonique). Conséquence : Soit A = (a i,j ) 1 i n 1 j p (b) Théorème 2 (M n (lk), +,, ) est une de dimension on a l écriture vectorielle : A =. De plus I n est est une base de M n (lk) (appelée base canonique). Remarque 1 : On a Newton c est-à-dire si AB = BA alors (A + B) N = ( ) ( ) 1 0 0 0 Remarque 1 : Soit A = et B =. On a AB = 0 0 1 0 Conséquence : Définition : Soit A M n (lk) on dit que A est inversible si Dans ce cas est unique et on note A 1 = Définition : L ensemble des éléments inversibles de M n (lk) est noté GL n (lk) et est appelé le groupe linéaire. On a (GL n (lk), ) est un (c) Soit T n + (resp. Tn ) l ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures), soit D n l ensembles des matrices diagonales, soit S n (resp. A n ) l ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) le tout dans M n (lk). i. T + n est un(e) de dimension... 30
ii. Tn est un de dimension... iii. D n est un de dimension... iv. S n est un de dimension... v. A n est un de dimension... vi. S n et A n sont... 4. Matrice d une application linéaire, d un endomorphisme (a) Matrice d une application linéaire Soit E un lk-ev et B = ( e 1,..., e p ) une base de E. Soit F un lk-ev et C = ( f 1,..., f n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. On appelle matrice de f dans les bases B et C : M B,C (f) = On a donc les relations pour tout indice.. : f( e ) = Réciproquement : Soit A M n,p (lk). Soit E un lk-ev et B = ( e 1,..., e p ) une base de E, soit F un lk-ev et C = ( f 1,..., f n ) une base de F. Alors il existe une unique application linéaire f telle que M B,C (f) = A. Si E = lk p et F = lk n rapportés à leurs bases canoniques on dit que f est l application linéaire canoniquement associé à A. Conséquence : ϕ : L(E, F ) M n,p (lk), f M B,C (f) est un (b) Matrice d un endomorphisme Soit E un lk-ev et B = ( e 1,..., e n ) une base de E. Soit f un endomorphisme de E dans E. On appelle matrice de f dans la base B : M B (f) = = (c) Ecriture matricielle de y = f(x) Proposition : Soit E un lk-ev et B = ( e 1,..., e p ) une base de E. Soit F un lk-ev et C = ( f 1,..., f n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F et soit A = M B,C (f). Soit x E de matrice colonne X dans la base B. Alors le vecteur f(x) a pour matrice : Exemple : Soit A = 1 4 7 2 5 8 et f canoniquement associée. 3 6 9 Définir f analytiquement : (x, y, z) IR 3 : f(x, y, z) = (d) Produit Proposition : Soit E un lk-ev de base B, soit F un lk-ev de base C et soit G un lk-ev de base D. Soit f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G. Alors M B,D (g f) = 31