Exercices corrigés de sttistiques iféretielles. Exercice 1 Iductio Ue etreprise fbrique des scs e plstique pour les eseiges de distributio. Elle s'itéresse u poids mximl que ces scs peuvet supporter ss se déchirer. O suppose ici que le poids mximl que ces scs peuvet supporter suit ue loi ormle d'espérce mthémtique 58 Kg et d'écrttype 3 Kg. 1. Sur 200 scs reçus, ue grde eseige de distributio costte u poids moye de 57,7 Kg. 1.1. Doer u itervlle de cofice biltérl de l moyee des poids sur u échtillo de tille 200, u seuil de risque 1 %. 1.2. Quelle est votre coclusio sur le poids moye costté? 2. Doer le poids moye dépssé ds 97 % des cs, sur u échtillo de tille 200. Solutio 1. Ici o trville sur u échtillo de tille 200 (l tille de l popultio étt cosidérée comme ifiie). 1.1. L vrible létoire X égle à l moyee des poids mximux sur tout échtillo de tille 200 suit l loi ormle 3 N(58 ; ) = N(58 ; 0,212). 200 O cherche P(58 X 58 + ) = 0,99. X 58 Après voir posé T = et lu sur l tble de l loi ormle cetrée réduite, o obtiet = 0,55. 0,212 Doc l'itervlle de cofice sur tout échtillo de tille 200, de l moyee des poids, est [57,45 ; 58,55]. 1.2. Le poids moye costté sur l'échtillo ci-dessus est coforme ux ttetes (57,7 Kg pprtiet à l'itervlle). 2. O cherche P( X > b) = 0,97 doc près clculs o obtiet b = 57,6. Doc le poids moye dépssé ds 97 % des cs est 57,6 Kg.
Exercice 2 Iductio Les résultts d ue equête, effectuée sur ue popultio de 1500 slriés d ue etreprise, motré que ds 65% des cs les idividus viet u mois u crédit e cours. Trouver l probbilité pour que deux échtillos de 200 persoes chcu, idiquet plus de 10 poits d'écrt etre les proportios de persoes yt u mois u crédit e cours. Solutio Ici il s git bie d ue iductio puisque le résultt de l equête est cou. De plus, l tille de l popultio (N = 1500) étt ps plus de 10 fois supérieure à l tille de l échtillo ( = 200), il fut utiliser le coefficiet d exhustivité. Soit F l vrible létoire égle à l proportio de persoes de l etreprise yt u mois u crédit e cours sur tout échtillo de 0,65 0,35 1500 200 tille 200. Comme 30, F suit pproximtivemet l loi ormle N(0,65 ; ) = N(0,65 ; 0,0314). 200 1500 1 O cosidère F 1 et F 2 les vribles létoires idépedtes, de même loi que F, dot l proportio de persoes yt u mois u crédit e cours sur les échtillos 1 et 2 de 200 persoes. O sit, pr des propriétés clssiques des vribles létoires, que F 1 F 2 suit ue loi ormle telle que : E(F 1 F 2 ) = 0 et V(F 1 F 2 ) = 2V(F) = 0,00197 = 0,044². O cherche l probbilité P( F 1 F 2 > 0,1). Or P(-0,1 < F 1 F 2 < 0,1) = P(- 0,1 0,044 < T < 0,1 0,044 P(-0,1 < F 1 F 2 < 0,1) = P(-2,27 < T < 2,27) P(-0,1 < F 1 F 2 < 0,1) = 2 P(T < 2,27) 1 = 2 0,9884 1 = 0,9768. ) Doc l probbilité que deux échtillos de 200 persoes chcu, idiquet plus de 10 poits d'écrt etre les proportios de persoes yt u mois u crédit e cours, est 2,32%.
Exercice 3 Estimtio Afi de mieux gérer les demdes de crédits de ses cliets, u directeur d'gece bcire rélise ue étude reltive à l durée de tritemet des dossiers, supposée suivre ue distributio ormle. U échtillo o exhustif de 30 dossiers doé : Durée m 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 Effectif 3 6 10 7 3 1 1. Clculer l moyee et l'écrt type des durées de tritemet des dossiers de cet échtillo. 2. E déduire les estimtios poctuelles de l moyee m et de l'écrt type σ de l popultio des dossiers. 3. Doer ue estimtio de m pr itervlle de cofice u seuil de risque 5 %. Solutio 1. O me = 26,3 et σe = 12,3. 2. L'estimtio poctuelle de l moyee est doc mˆ = 26,3 et l'estimtio poctuelle de l'écrt type vut σˆ = σe = 12,5. 1 σ 3. L vrible létoire X suit l loi ormle N(m ; ). Or ici σ est icou doc il fut utiliser l tble de l loi de Studet. O cherche l vleur du réel tel que : P( X m X + ) = 0,95. X m O pose l vrible létoire S = qui suit l loi de Studet à 29 ddl. σˆ O P( S ) = 0,95 doc pr lecture sur l tble de l loi de Studet à 29 ddl o obtiet = 2,0452 x 2,282 2,282 2,282 = 4,67. O obtiet filemet l'itervlle de cofice [21,63 ; 30,97]. Remrque : L'utilistio de l tble de l loi ormle, possible cr 30, coduit à l'itervlle [21,83 ; 30,77].
Exercice 4 Estimtio L société G@E mis u poit u logiciel de gestio destié essetiellemet ux PME. Après ue equête, ds l régio Aquitie, uprès de 100 etreprises déjà équipées d'u mtériel iformtique (micro-orditeur) pte à recevoir ce logiciel, l société G@E décide de fixer le prix de vete à 200. Elle espère diffuser so produit uprès de 68% des PME de l régio (cette vleur costituer l proportio de vetes sur l'échtillo). O peut dmettre que les 100 PME iterrogées costituet u échtillo représettif des 4 500 PME formt le mrché potetiel. 1. Détermier l'itervlle de cofice de l proportio p des etreprises itéressées pr le logiciel, u seuil de risque 1%. 2. Quelle urit dû être l tille de l'échtillo pour que l'mplitude de l'itervlle de cofice soit de 20 poits (erreur de 0,1). Solutio 1. L vrible létoire F égle à l proportio d'etreprises itéressées pr le logiciel sur tout échtillo de tille 100 suit 0,68 0,32 pproximtivemet l loi ormle N(p ; ) = N(p ; 0,0469). 100 1 O cherche l vleur du réel tel que : P(F p F + ) = 0,99. F p O pose T = et T suit l loi ormle cetrée réduite. 0,0469 O lors : P( T ) = 0,99 doc pr lecture sur l tble 2 o : 0, 0469 0,0469 = 0,0469 2,576 = 0,12. Doc l'itervlle de cofice de l proportio p des etreprises itéressées pr le logiciel, u seuil de risque 1%, est [56% ; 80%]. Remrques : 1. Ici l'échtilloge est exhustif mis le coefficiet d'exhustivité été égligé cr l tille de l popultio est grde pr rpport à l tille de l'échtillo. 2. O peut ussi utiliser les bques dispoibles sur le formulire. O obtiet lors le résultt pr lecture directe sur l tble.
2. L vrible létoire F égle à l proportio d'etreprises itéressées pr le logiciel sur tout échtillo de tille suit p(1 pproximtivemet l loi N(p ; σ*) où σ* =. Comme précédemmet, o cherche tel que P( σ T ) = 0,99 et doc pr lecture sur l tble de l loi ormle * σ * cetrée réduite = d'où = σ*. σ * p(1 Or σ* = où p est icoue. O démotre 1 que l grdeur p(1 p) est mximle pour p = ½ doc quelle que soit l vleur de p p(1 ½, doc σ* et doc σ*. 21 2 Il suffit lors de choisir tel que 0,1 doc 2 0,2 doc 165,77. E coclusio, si o pred = 166 o est sûr que l'mplitude de l'itervlle de cofice ser iférieure ou égle à 0,2. Cette vleur e déped ps de l'échtillo choisi. 1 O peut pr exemple étudier l foctio x x(1 x).