Limites de suites, cours, termiale S Covergece de suites Déitio : Soit (u ) ue suite. O dit que (u ) coverge vers u réel l ou a pour limite l lorsque tout itervalle ouvert A coteat l, cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d'u certai rag N c'est à dire que pour tout N, u A. O dit alors que la suite est covergete et que l est sa limite. O ote.... Si (u ) coverge vers ue limite l, alors celle-ci est.... E eet, supposos que (u ) coverge vers ue limite l et soit l u réel diéret de l. O supposera ici que l < l, le cas l > l se traitat de la même maière. Il existe doc u ombre réel e positif tel que l + e < l e. Comme (u ) coverge vers l, à partir d'u certai rag N, tous les termes de la suite sot das l'itervalle ]l e; l + e[ et par coséquet les termes de la suite suivat ce rag 'appartieet pas à l'itervalle ]l e; l + e[, qui est u itervalle ouvert coteat l. O a trouvé u itervalle ouvert tel que pour 'importe quel rag les termes suivats N e sot pas tous das l'itervalle ce qui motre que la suite e coverge pas vers l. 2 Covergece de suites de référece Propriété (limites ies de suites de référece) : Les suites ( ), ) et où p est u etier aturel o ul sot covergetes et o a : p lim + =... lim + =... lim + =... p O cosidère u itervalle ouvert coteat 0. soit a u réel positif strictemet de cet itervalle. Alors il existe u ombre etier N tel que < N a. Comme ( ) est décroissate, pour tout rag > N, o a < a doc qui appartiet à l'itervalle. Par coséquet, la suite coverge vers 0. O cosidère u itervalle ouvert coteat 0. Soit a u réel positif strictemet de cet itervalle. O cherche u etier N tel que N a ce qui équivaut à N a doc à N. Soit doc N a 2 tel que N, le calcul précédet motre que a 2 N a et, la suite ( ) état décroissate, pour tout N, a. Ceci prouve que la suite a pour limite 0. Démarche idetique aux précédetes. http: // mathsfg. et. free. fr
3 Divergece de suites Déitio : O dit qu'ue suite est divergete si....... O dit que la suite (u ) diverge vers + ou a pour limite + (resp. ) lorsque tout itervalle de la forme [a; + [ où a est u réel (resp. ] ; a]), cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. O ote lim + u =... (resp. lim + u =...) Remarque : Ue suite peut être divergete et e pas admettre de limite, par exemple.... Propriété (limites iies de suites de référece) : O a : lim + =... ; lim + =... ; lim + p =... avec p etier aturel o ul ; Pour tous les réels m et p, lim + mx + p =... ; Pour tout itervalle ]a; + [, soit N etier aturel tel que N > a, alors pour tout rag tel que N, est das l'itervalle ]a; + [ doc la suite diverge vers +. Pour tout itervalle ]a; + [, O cherche N etier aturel tel que N > a c'est à dire N > a 2. Soit doc N tel que N > a 2. Alors N > a et pour tout rag N, o a > a doc la suite ( ) est divergete vers +. Même démarche. 4 Opératios sur les limites de suites Soit (u ) ue suite. si k est u réel et si (u ) coverge vers u réel l, alors la suite (ku ) est covergete vers... ; si k est u réel et (u ) diverge vers + (resp. ) alors ku diverge vers... (resp...) ; http: // mathsfg. et. free. fr 2
Soit A u itervalle ouvert coteat kl. Il existe doc u réel a > 0 tel que ]kl a; kl + a[ est iclus das A. Comme (u ) est covergete vers l, il existe u rag N tel que pour tout rag N, u ]l a; l + a [ qui est u itervalle ouvert coteat kl. D'où pour tout N, k k ku ]kl a; kl + a[ ce qui assure que la suite coverge vers kl. Soit a > 0 u réel. Alors, puisque (u ) diverge vers +, il existe u rag N tel que pour tous les rags N, u > a k. D'où pour tout N, ku > a. lim u l + + l l lim v l + + lim u + v.................. lim u v.................. lim u v si l 0,.................. Preuves : Admises Exemples : Soit u déie par u = 34 + pour tout. O a alors u 3 = 3 +. Comme lim + 3 =... et lim + =..., la suite (u )... doc vers... Soit v déie par v = 5 2 6 pour tout 0. O a alors v = (5 6). Or lim + =... et lim + 5 6 =... doc (v )... vers... 5 Iégalités et limites de suites Propriété (théorème de...) : Soit (u ) ue suite divergete vers + et (v ) ue suite telle qu'à partir d'u certai rag v u. Alors (v ) est... vers... Soit (u ) ue suite divergete vers et (v ) ue suite telle qu'à partir d'u certai rag v u. Alors (v )... vers... O cosidère u itervalle de la forme ]a; + [ où a est u réel. (u )... vers... doc à partir d'u certai rag N les termes de la suite (u ) sot das l'itervalle.... A partir d'u certai rag N,... doc à partir du plus grad des rag N et N, les termes de la suite (v ) sot das... ce qui démotre que la suite (v ) est divergete vers +. Théorème (dit théorème des gedarmes ) : Soiet u, v et w des suites avec v et w covergetes vers ue même limite l. Si, à partir d'u certai rag, v u w, alors la suite u est...... http: // mathsfg. et. free. fr 3
O cosidère u itervalle ouvert coteat l. Il existe doc u ombre réel e strictemet positif tel sue ]l e; l + e[ est iclus das cet itervalle. La suite (v ) coverge vers l doc à partir d'u certai rag N, v est supérieur à l e. La suite (w ) est covergete doc à partir à partir d'u certai rag N, w < l + e. E outre, à partir d'u certai rag N, o a v u w, doc à partir du plus grad des trois rags N, N et N, o a u v > l e et u w l + e doc w est das l'itervalle cosidéré. Ceci motre que la suite coverge vers l. Théorème : Soit (u ) ue suite croissate et covergete vers u réel l. Alors tous les termes de la suite (u ) sot....... Démotros ce résultat par l'absurde. Pour cela, o suppose qu'il existe u terme de la suite, appelos le (u N ), qui est supérieur strictemet à l. Soit d = u N l. O a doc d > 0. O cosidère l'itervalle ]l d; l + d[. u N 'appartiet doc pas à cet itervalle. (u ) état ue suite croissate, pour tout etier aturel N, u > u N > l + d et doc u / ]l d; l + d[. O viet doc de trouver u itervalle pour lequel quelque soit le rag p choisi, il existe des termes de la suite plus grad que p (les termes de rag supérieur au maximum de p et N) qui 'appartieet pas à cet itervalle : cela cotredit la déitio de la covergece de la suite vers l. Cette cotradictio motre que la suppositio faite au départ est absurde, o e peut doc pas trouver de terme de la suite qui soit supérieur strictemet à l. D'où le résultat. 6 Covergece des suites mootoes Théorème (théorème de la limite mootoe) : Toute suite mootoe et borée est.... Admise coséquece : Soit (u ) ue suite croissate. Si (u ) 'est pas majorée alors elle est....... Si (u ) est majorée, alors elle est.... Soit (u ) ue suite croissate et o majorée. Soit M u réel. Il s'agit de motrer qu'à partir d'u certai rag, tous les termes de la suite sot das l'itervalle ]M : + [. La suite 'est pas majorée par M doc il existe u rag N tel que u N soit supérieure strictemet à M, c'est à dire u N ]M; + [. Puisque la suite est croissate, pour tout N, u u N > M doc u ]M; + [. Cela sigie que la suite admet pour limite +. Applicatio du théorème précédet. http: // mathsfg. et. free. fr 4
7 Limite de suites géométriques Propriété (limite des suites géométriques) : Soit q u réel. Alors : Si..., alors la suite (q ) a pour limite... ; si..., alors la suite (q ) a pour limite... ; si..., alors la suite (q )....... Si q > alors q =... avec x >... Cosidéros la foctio h déie par h(x) =... La foctio h est déie et dérivable sur [0; + [ et h (x) =.... Pour tout x 0, o a h (x)... doc h est... et de h(0) =... o déduit doc ( + x)... + x. Puisque lim + ( + x) = +, o a doc q = ( + x) qui ted vers +. Si < q <, alors q < doc q >... et d'après le cas précédet lim + q =... d'où ( q ) ted vers.... Par suite, q = q si q > 0 ou si est pair et q = q sio, d'où q q q et par le théorème des gedarmes (q ) ted vers 0. Si q =, la suite des termes impaires est das ]...[ et la suite des termes paires est das [...[ doc la suite (q ) e peut pas coverger. http: // mathsfg. et. free. fr 5