Esemble C des ombres complexes 4 ème mth HHmmoud Feth )Forme lgébrque d u ombre complexe : Il exste u esemble oté C, de ombres ppelés ombre complexe, tel que : C cotet IR ; C est mu d ue ddto et d ue multplcto pour lesquelles les règles de clcul sot les même que ds IR Il exste ds C u ombre o réel, oté, vérft 1 ; Tout ombre complexe s écrt de fço uque sous l forme dte lgébrque ou crtésee b où et b sot des réels Déftos : -Le réel est ppelé prte réelle de et est oté e -Le réel b est ppelé prte mgre de et est oté - S b 0 lors et est réel Im - S 0 lors b et est ppelé mgre pur Coséquece : S, b, et b sot des réels : b ' b' ' et b b' b 0 0 et b 0 Opposé d u ombre complexe : S b vec et b réels lors o ppelle opposé de le complexe oté - tel que : b )Représetto géométrque d u ombre complexe : Le pl est rpporté à u repère orthoormé drect o, u, v Déftos Sot le complexe b, et b deux réels M, b est ppelé le pot mge de - Le pot - Le vecteur V, best le vecteur mge de - Le complexe est l ffxe du pot M oté ffxe d u vecteur ff ff ff o ote souvet : M et l ffxe du vecteur V oté V ff
Proprétés : Pour tous vecteurs U et V et tout réel, ff u v ff u ff v, ff u ff u Coséquece : ff U * Deux vecteurs o uls U et V sot colére ss ff V pots (dstcts) sot lgées ss IR C ff U * Deux vecteurs o uls U et V sot orthogoux ss ff IR e prtculer, et C tros V IR e prtculer, et C tros pots (dstcts), C ss IR C pplcto1 : Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que IR 1 ffxe du mleu d u segmet : S I est le mleu du segmet, lors I C) Cojugué d u ombre complexe : Défto : O ppelle cojugué du ombre complexe b, et b deux réels, le complexe oté et déft pr : b Iterprétto géométrque : Les pots mge de deux complexes cojuguées sot symétrques pr rpport à l xe des bscsses Remrque : e et Im Sot u ombre complexe 1) est réel s et seulemet s ) est mgre pur s et seulemet s Proprété : Pour tout complexes et : 1 1) ) ' ' et ' ' 3) Pour tout eter turel o ul : 1 1 ' ' 4) S 0 et 5) S b où et b sot des réels lors b b b b b doc pour 0, o c est l méthode utlsée pour écrre sous forme lgébrque u quotet
pplcto : 1 3 Ecrre sous forme lgébrque les complexe : et 1 D) Module et rgumet d u ombre complexe o ul : Défto : Sot b u ombre complexe o ul d mge M ds le pl mu d u repère orthoormé drect o, u, v, sot r, u couple de coordoée polre du pot M : - Le réel r est ppelé module de oté ; - Le réel est ppelé rgumet de et oté rg O doc : r OM b, et rg u, OM Remrques : - Le ombre complexe 0 pour module 0 ms ps d rgumet - Tout complexe o ul ue fté d rgumets S l u d eux, tout utre rgumet de est de forme k où k O écrt lors : rg pplcto : Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que : 1 Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que : 1 Coséqueces : 1) S b où et b sot des réels lors b ) Le module d u ombre réel x est l vleur bsolue de x 3) est réel o ul ss rg 0 ou rg 4) est mgre pur ss rg ou rg 5) Sot u complexe o ul équvut à rg rg et rg rg E) Forme trgoométrque d u ombre complexe o ul : Sot b où et b sot des réels, u complexe o ul S r rg lors r cos et s et b r s Défto : Sot u complexe o ul de module r et dot l rgumet est l écrture rcos s est
ppelée forme trgoométrque oté uss r, vec r b, cos b pplcto3 : 1 Ecrre sous forme trgoométrque : -1, 3,, 3,, 1, 3, 1 3 Eglté de deux ombre complexe : Sot r, et ' r', ' ; ' équvux à r r' et ' vec S rcos s r 0 lors r et rg F) Proprétés des modules et des rgumets : Proprétés des modules : Pour tout complexes et : 1) 0 0 ) ets b b 3) ou 4) ' ' 5) ' ' 6) s 0 lors 1 1 ' ', et pour tout Proprétés des rgumets : Pour tout complexes o ul et : rg ' rg rg ' 1) 1 ' ) rg rg et rg rg' rg 3) rg rg 4) pour tout, rg rg pplcto4 : Ecrre sous forme trgoométrque : ( 3 )( 1 3 ), ( 1 3 ) 1 3, ( 3 ) 3 ( 1 3 )
G) Forme expoetelle d u ombre complexe o ul Défto : Pour tout réel o pose : e cos s lors, s est u ombre complexe o ul de module r et dot u rgumet est, o ppelle forme expoetelle de l écrture : re Coséqueces : 0 e 1, e, e, e 1, et pour tout eter k, k e e Règle de clcule sur les formes expoetelles : et ' sot deux réels quelcoques, r et r sot des réels strctemet postfs ' re r ' e r r ' et ' 1) ) re re 3) ( ) re re 4) ' re r ' e ' rr ' e 1 1 5) e re r 6) ' r ' e r ' ' e re r 7) ( re ) r e, pour tout Formule d Euler : e e e e Pour tout réel : cos et s pplcto5 : 3 ( 3 ) 1 Ecrre sous forme expoetelle : ( 3 )( 1 3 ),, ( 3 ) 3 ( 1 3 ) 4, e 1 3 cos s cos s, s cos, s cos,1cos s et 1cos s 0,, ds le cs où pus s Formule de Movre : Pour tout réel et pour tout IN, cos s e cos s H) gles oretés et ombres complexes : Le pl est rpporté à u repère orthoormé drect o, u, v Sot,, C et D les pots d ffxes respectves,, C et D tel que 0 et CD 0 lors u, rg et, rg D C CD
pplcto6 : 4 rg 1 rg 1 3 Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que rg Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que Détermer et costrure l esemble des pts M d ffxe tel que pplcto7: **** O cosdère le ombre complexe 1 e où 0, des pts M d ffxe lorsque vre ds 0, I)Rces crrées d u ombre complexe : ctvté : * Détermer tel que 1 3 (o pose re ) * Détermer tel que 8 6 D ue fço géérle l résoluto d ue équto de type résoudre le système suvt :, Détermer et costrure l esemble u x y e u xy Im x y u u où u et x y revet à L équto u possède deux soluto opposées pplcto8: Détermer les rces crrée du ombre complexe 3 4 J) Résoluto ds de l équto b c 0 où 0 : Sot = b 4 c est le dscrmt de l équto, posos ue rce crrée de : l équto b c 0 dmet ds ue solutos : b b et 1 Coséqueces : b c * Ds tous les cs : b c ( 1)( ) ; 1 et 1 c * S b c 0 lors 1 et 1 c * S b c 0 lors 1 et 1 * S,b et sot des réelles et s 0 est ue soluto lors 0 est l utre soluto pplcto9: Résoudre ds les équtos suvtes : 1 0
cos 0 où 4 1 K) Rces ème d u ombre complexe : ctvté : 4 * Détermer tel que 3 (o pose re ) * Détermer tel que u où u O pose re ' et u Re ' l équto devet ( re ) Re lors r R ' k k k r re où k0,1,,, 1 R ' k k0,1,,, 1 Théorème et défto : * Sot u u ombre complexe o ul d rgumet et L équto u dmet ds, solutos dstctes défes pr k k re Re ' re, k0,1,,, 1,où r est le réel strctemet postf tel quelque Ces solutos sot ppelées les rces ème du ombre complexe u pplcto10: Détermer les rces cubques de l uté Détermer les rces sxème de -1 r u L) Exemples d équto de degré supéreur ou égl à 3 : ctvté : 3 14 73 6 0 O cosdère, ds,l équto (E) : 1) Motrer que l équto (E) dmet ue soluto mgre et l détermer ) Résoudre l équto (E)