LSMarsa Elradh 1) Esemble des ombres complexes : Actvté 1: Résoudre das IN pus das Z l équato 5+x=1 ; résoudre das Z pus das Q l équato 3x=2 ; résoudre das Q pus das IR l équato : x²=2 Résoudre das IR l équato x²+1=0 Défto : L esemble des ombres complexes est oté C et vérfat les proprétés suvates : L esemble C cotet l esemble des ombres réels IR Le ombre de C est tel que ²=-1 C est mu d ue addto et d ue multplcato qu vérfet les mêmes proprétés de l addto et multplcato das IR Tout élémet z de C s écrt de faço uque de la forme z=x+y ou x et y sot das IR (appelé forme cartésee) Applcato 1: Détermer la forme cartésee des ombres complexes suvats : u=(1-2)(1+3)-(1+2)² ; v= (1-) 2014 ; 5(2-5)(2+5) Cosequeces: Sot z=x+y et z =x +y ; x, x y et y des réels z=z s et seulemet s x=x et y=y z=0 s et seulemet s x=0 et y=0 z est réel s et seulemet s y=0 z est magare s et seulemet s x=0 Applcato 2: Sot f l applcato de C das C qu à tout z assoce z =z² 1) Résoudre das C l équato f(z)=z 2) Détermer l mage par f de u= 1+ 3 3) Détermer l atécédet par f de v=-5 wwwzrbmathsjmdocom 1
LSMarsa Elradh 2) Cojugué d u ombre complexe : Défto : sot z=x+y, x et y deux réels Le cojugué de z est le ombre complexe z =x-y Proprétés : Pour tous ombres complexes z et z z + z ' = z + z ' ; z z ' = z z ' ; z = z IN * ( ) ( ) 1 1 z z z o ul ; = ; = z ' z ' z ' z ' z + z = 2 Re( z) ; z z = 2 Im( z) ; z z = (Re( z))² + (Im( z))² z z Applcato 3: = z s et seulemet s z est réel = z s et seulemet s z est magare 1) Détermer la forme cartésee des ombres complexes suvats : 2 1 2 v = ; u = 3 3 + 5 2) a)détermer l esemble E des ombres complexes tels que z + z = 0 2 + z z b) z E ; o cosdère le ombre complexe Z = ; prouver que Z est réel z + z z + 1 3) Résoudre dasc l équato = 2 + z + * 4) Sot z C motrer que 2 z 1 est réel s et seulemet s z = z ou 2zz = z + z z² 3) Affxe d u pot affxe d u vecteur : Défto : Le ombre complexe z=x+y est appelé affxe du pot M(x,y) et oté aff(m) ou z M Le pot M(x,y) est appelé mage du ombre complexe z=x+y Sot w u vecteur, A et B deux pots tel que w = AB le ombre complexe z B -z A est appelé affxe de w et oté aff( w ) ou zw Pour tous vecteurs w et k et tous réels a et b aff ( aw + bk) = a aff ( w) + b aff ( k) wwwzrbmathsjmdocom 2
LSMarsa Elradh Applcato 4: Das la fgure c-cotre ; le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, et F d affxes respectves a, b, c, e et f ; A, B, C, E 1) Détermer l affxe d du pot D tel que ABCD est u parallélogramme Placer le pot D 2) Détermer l affxe k du pot K cetre de ABCD 3) Placer le pot G d affxe g tel que e+f=g 4) Placer le pot T d affxe t tel que e-f=t Actvté 2: Le pla est mue d u repère orthoormé drect ( O, u, w et k deux vecteurs et k 0 z 1) Motrer que w et k sot coléares s et seulemet s w z z 2) Motrer que w et k sot orthogoaux s et seulemet s w z k est réel k est magare Théorème : Le pla est mue d u repère orthoormé drect ( O, u, w et k deux vecteurs et k 0 z Motrer que w et k sot coléares s et seulemet s w z z Motrer que w et k sot orthogoaux s et seulemet s w z k est réel k est magare wwwzrbmathsjmdocom 3
LSMarsa Elradh Applcato 5: Das la fgure c-cotre ; le pla est mu d u O, u, v repère orthoormé drect ( ) 1) Motrer que la quadrlatère ABCD est u trapèze rectagle 2) Détermer et costrure l esemble des z 5 pots M d affxe z tel que est z + 1+ 2 magare 3) Détermer et costrure l esemble ses z pots M d affxe z tel que est magare z 5 4) Module d u ombre complexe : Défto : le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, Le module d u ombre complexe z d mage M est la dstace OM O ote z S z=x+y alors z = x² + y² Coséquece : = OM M et N deux pots d affxes respectves z M et z N MN= zn z M Applcato 6: 1) a) Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, ; o cosdères les pots A, b, C et I d affxes respectves 5 +, 4 + (1 5), 2 2 2 et 2 + motrer que les pots A, B et C sot sur u même cercle de cetre I b) Placer les pots B et C 1 2) Motrer que pour tout ombre complexe z o ul z = 1 s et seulemet s z = z 3) Détermer l esemble des pots M d affxe z tels que 1 z = = z 1 z wwwzrbmathsjmdocom 4
LSMarsa Elradh Proprétés : Pour tous ombre complexes z et z : 2 = 0 = 0; = ; = z s et seulemet s z z z z z z * ' ' ; ( ) ; ' ' z z = z z z = z IN z + z z + z 1 1 z z 1 1 z ' 0 ; = ; = ; = ( Z ) z ' z ' z ' z ' z ' z ' Applcato :7 1 3 1) Calculer le module de u = 2 + 2 2) Détermer l esemble des pots M d affxe z tel que z + z = z ² 3) Détermer l esemble des pots M d affxe z tels que (1 + ) z + 1 = 2 z 4 Exercce 1: Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O, u, ; o cosdère les pots A, B, C et E d affxes respectves a=2,b=3, c = 2 + 2 et e = 2 2 c 3 1) a) détermer la forme algébrque de c b) e dédure que OBC est u tragle rectagle c) motrer que E appartet au cercle de damètre [OB] 2) sot f l applcato du pla das lu-même qu à tout pot M d affxe z assoce le pot M d affxe z tel que z =z²-4z+6 a) vérfer que z -2=(z-2)² b) e dédure que s M appartet au cercle (C) de cetre A et de rayo 2 alors M appartet à u cercle (C ) que l o précsera Exercce 2: Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O, u, C d affxes respectves 1, - et -3 ; o cosdère les pots A, B et Atout pot M d affxes z dfféret de 1 o assoce le pot M d affxe z tel que wwwzrbmathsjmdocom 5 z 3 z ' = z 1
LSMarsa Elradh 1) Détermer et costrure l esemble (E)des pots M tels que le ombre complexe z est u réel 3 2) Vérfer que z ' + = ; pour tout z 1 z 1 3) Motrer, que pour tout M dstct de A ; AM BM ' = 10 4) E dédure que s appartet au cercle (C) de cetre A et passat par B alors M appartet à u cercle que l e précsera Exercce 3: Das le pla complexe, rapporté à u repère orthoormal drect ( O ; u, v) o appelle A et B les pots d affxes respectves 2 et 2 À tout pot M d affxe z, z dfféret de 2, o assoce le pot N d affxe z et M d affxe z tel que 2z 4 z ' = z 2 1) Calculer z et z ' lorsque z = 5 pus lorsque z = 1 + 2) a) Iterpréter géométrquemet z 2 et z 2 posto de M b) Motrer que, pour tout z dstct de 2, z ' = 2 E dédure ue formato sur la 3) Détermer l esemble E des pots M d affxe z (z 2) tels que M = B 4) Motrer que, pour tout pot M dstct de A et apparteat pas E, le quotet Z Z AM BM ' est u ombre réel Iterpréter géométrquemet ce résultat 5) U pot M dstct de A, apparteat pas E, état doé, proposer ue méthode géométrque pour costrure le pot M O llustrera par ue fgure 5) Argumet d u ombre complexe o ul : Défto : Le pla est mu d u repère orthoormé drect O, u, v z u ombre complexe o ul et M so ( ) mage, o appelle argumet de z et o ote arg(z) u, OM toute mesure de l agle ( ) arg(z)) arg wwwzrbmathsjmdocom 6
LSMarsa Elradh Coséqueces : z u ombre complexe o ul arg( z) arg( z) [ 2π ] arg( z) π arg( z) [ 2π ] + K u réel strctemet postve, arg( kz) arg( z) [ 2π ] K u réel strctemet égatve, arg( kz) π + arg( z) [ 2π ] Applcato 8: Le pla est mu d u repère orthoormé drect O, u, v ( ) Le tragle OAB est équlatéral et le tragle OBC est rectagle et socèle o désge par z B et z C les affxes respectves de B et C a) Détermer le module et u argumet de z B et z C b) Sot D le mleu du segmet [CD] et z D so affxe détermer le module et u argumet de z D Défto : Sot z u ombre complexe o ul de module r et d argumet θ La forme trgoométrque de z est z=r(cosθ+sθ) Coséquece : Sot z le ombre complexe o ul x+y ( x et y des réels) Alors arg( z) θ [ 2π ] Applcato 9: x y s et seulemet s cosθ = et sθ = x² + y² x² + y² 1) Doer la forme trgoométrque de chacu des ombres complexes suvats : * * 1 3 ; 3 ; 2 2 ; 3 ; 5, x ( x IR ) ; y ( y IR ) + 2) O cosdère le ombre complexe z= a(sθ+cosθ) ou a u réel o ul et θ u réel Détermer la forme trgoométrque dz z wwwzrbmathsjmdocom 7
LSMarsa Elradh Proprétés : Pour tous ombres complexes o uls z et z [ π ] [ π ] arg( zz ') arg( z) + arg( z ') 2 ; arg( z ) arg( z) 2 ; Z 1 z z z ' arg( ) arg( z) [ 2 π ] ; arg( ) arg( z) arg( z ')[ 2π ] cosθ + sθ = cos( θ ) + s( θ ) Z dte formule de Movre ( ) Applcato 10: 1) Calculer le module et u argumet de chacu des ombres complexes suvats : u = 1+ 3 ; v = 2 2 ; u 7 v 1 2) Sot les ombres complexes z = 1+ 3 et z ' = (1 ) et Z=zz 2 a) Ecrre z, z et Z sous forme trgoométrque π π b) Détermer la forme cartésee de Z E dédure cos et s 12 12 3) Léarser s 3 x 5 Actvté 3: Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, d affxes respectves a et b A et B deux pot dstcts 1) Motrer que ( ) u, AB arg( b a) [ 2π ] 2) C et D deux pots dstcts d affxes respectves c et d d c Motrer que ( AB, CD) arg( ) [ 2π ] b a Théorème : Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, d affxes respectves a et b A et B deux pot dstcts u, AB arg( b a) [ 2π ] ( ) C et D deux pots dstcts d affxes respectves c et d ( AB CD) d c, arg( ) [ 2π ] b a wwwzrbmathsjmdocom 8
LSMarsa Elradh Applcato 11 : 1) Le pla est mue d u repère orthoormé drect ( O, u, A, B et C tros pots 1 3 d affxes respectves a=, b=1+ et c = + (1 ) 2 2 a) Calculer le module et u argumet de b a c a b) Iterpréter géométrquemet ces résultats c) Quelle est la ature du tragle ABC d) Placer alors le pot C 2) Détermer et costrure l esemble des pots M d affxe z tels que π arg( z ) [ 2π ] 3 3) Détermer et costrure l esemble des pots M d affxe z tels que z π arg( ) [ 2π ] z 1 2 4) Détermer et costrure l esemble des pots M d affxe z tels que z π arg( ) [ 2π ] z 1 3 Théorème : Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, respectves a, b, c, d tels que A B et C D A, B, C et D quatre pots d affxes d c CD = (cosθ + s θ ) ou θ ( AB, CD) [ 2π ] b a AB Applcato 12: Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, respectves 2+, 3-2 A et B les pots d affxes Détermer l affxe du pot C tel que le tragle ABC est équlatéral drect 6) Ecrture expoetelle d u ombre complexe o ul Défto : θ Pour tout réel θ, o pose e = cosθ + sθ wwwzrbmathsjmdocom 9
LSMarsa Elradh Coséqueces : π π o π 2 2 e = 1; e = 1 ; e = ; e = Pour tout réel θ ; θ θ ( ) ( 2 k ) e 1 ; e e θ θ θ ; e e + π θ θ π ; e e + k = = = = Z Actvté 4: Sot deux réels θ et θ ; motrer que θ ' ( ') 1 θ θ θ + θ θ e ( θ θ ') θ θ e e = e ; = e ; = e ; ' ( e ) = e Z θ θ e e Proprétés : 1 θ θ θ θ θ e θ θ θ θ e e = e = e = e e = e Z e e θ ' ( + ') ( ') Sot deux réels θ et θ ; ; ; θ θ ' ( ) Applcato 13: 1) Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, placer, sas fare de π π π 6 3 3 calculs préalables, les pot A et B d affxes respectves : a = 1+ e et b = e + e 2) Détermer et costrure l esemble des pots M d affxe z 1 e θ ; θ [ 0, π ] Défto : = + Tout ombre complexe o ul z de module r et d argumet θ, s écrt sous la forme cette forme est la forme expoetelle de z Applcato 14: 1) Détermer la forme expoetelle de chacu des ombres complexes suvats : ( 3 ) 9 3π + 3 4 5 2013 u = ( 1 + ) e ; v = 2 ( 3 + 3) ; z = (1 + ) 2) Le pla est mu d u repère orthoormé drect ( O, u, o cosdère la re θ, trasformato f du pla das lu-même qu à tout pot M d affxe z assoce le pot M d affxe 1 3 z ' = ( + ) z o cosdère les pots A et B d affxes respectves 2 2 π π 6 6 a = 3 e ; b = 3e et A, B leurs mages par f wwwzrbmathsjmdocom 10
LSMarsa Elradh a) Détermer sous forme expoetelle, les affxes a et b des pots A et B b) Prouver que les pots A, A, B et B sot sur u même cercle de cetre O a ' c) Détermer la forme expoetelle de et motrer que B et A sot symétrque par b rapport à O d) E dédure que AA B est u tragle rectagle Actvté 5: θ θ θ θ e + e e e Motrer que, pour tout réel θ, cosθ = et sθ = 2 2 Théorème : (formules d Euler) θ θ θ θ e + e e e Pour tout réel θ, cosθ = et sθ = 2 2 Applcato 15: 1) a) Pour α ]0,2π[, détermer le module et u argumet de 1 e α α + et 1 e b) E dédure le module et u argumet de α 1 e α α u = ; v = (1 e )(1 + e ) α 1+ e 2) a) Vérfer que π 2π 3π 4π 5 5 5 5 1+ e + e + e + e = 2 1 e π 5 b) E dédure que π 2π 3π 4π π s + s + s + s = cot a 5 5 5 5 10 α 2 3) a) factorser le ombre complexe 1 e par e pus smplfer b) pour tout réel x 2kπ et tout eter 1 ; o pose S=1+cosx+cos2x+ +cosx et S =sx+s2x+ +s x + 1 s x 2 motrer que S+S = e x s 2 c) E dédure S et S 4) Léarser s 3 x x 2 wwwzrbmathsjmdocom 11 α
LSMarsa Elradh Exercce 4: Le pla P est mu d'u repère orthoormé ( O,, j ) o cosdère l'applcato f P O P : \{ } 2 M ( z ) M '( z ') tel que : z ' = z 1) a) sot A(1-) calculer l'affxe du pot A' mage de A par f b) sot B'(2+) calculer l'affxe du pot B atécédet de B' par f 2) o pose z= e θ ; θ IR Doer la forme expoetelle de z' 3) a) motrer que OM'= b) e dédure que s M appartet au cercle ζ de cetre O et de rayo 1 alors M' appartet à u cercle ζ ' que l'o précsera π c) motrer que (, OM ') = + (, OM ) + 2 k π ; k Z 2 d) e dédure ue costructo du pot M' à partr d'u pot M de ζ Exercce 5: Das le pla P mue d'u repère orthoormé ( O,, j ) o doe A(-) et B() sot l'applcato : f P Z P : \{ } z M ( z ) M '( z ') tel que : z ' = z + 1) détermer l'esemble des pots M(z) tels que z' est réel 2) Détermer l'esemble des pots M(z) tels que z' =1 3) a) vérfer que (z'-1)(z+)=-2 b) motrer que s M ζ (A,1) alors M' appartet à u cercle ζ' que l'o caractérsera 4) o pose z=e θ π π avec θ, 2 2 θ θ π a) vérfer que e = 2 s e 2 4 θ π 2 4 θ θ π et que e + = 2cos e 2 4 θ π 2 4 b) e dédure la forme expoetelle de z' wwwzrbmathsjmdocom 12
LSMarsa Elradh Exercce 6: I) 1) o pose z'=1+e θ et z''= -1+e θ ; écrre z' et z'' sous forme expoetelle et motrer que z'' θ π = tg( + ) z' 2 4 2) Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormé drect ( O,, j ) ; o cosdère les pots M' et M'' d'affxes respectves z' et z'' détermer θ pour que le tragle OM'M'' sot rectagle e O II) 1) le pla P est mue d'u repère orthoormé ( O,, j ), o désge par M 1 et M 2 les pots d'affxes respectves θ 1 2 l'esemble des pots M 1 et M 2 lorsque θ décrt ]0,π [ θ z = 1+ e et z = ( 1+ e ) Détermer et costrure 2) a) motrer que OM 1 M 2 est u tragle rectagle et socèle e O b) sot B le pot d'affxe 2 Détermer le réel θ pour que OM 1 BM 2 sot u carré Exercce 7: le pla complexe P est rapporté à u repère orthoormé ( O,, j ) d'affxe z=-e θ ; ou θ ]0,π [ o cosdère le pot A 1) détermer l'esemble des pot A lorsque θ décrt ]0,π[ z² 2) Soet B et C les pots d'affxes z1 = z et z2 = z a) écrre z 1 et z 2 sous forme expoetelle b) Vérfer que A et B sot dstcts c) Motrer que AC=AB d) Détermer e focto de θ ue mesure de l'agle ( AB,AC ) e) Détermer θ pour que le tragle ABC sot équlatéral 7) races -ème d u ombre complexe : Actvté 6: A) Il s agt de résoudre das C l équato (E) : z 3 =1 1) Motrer que z est soluto de (E) s et seulemet s wwwzrbmathsjmdocom 13 2kπ 3 z = e ;k Z 2) E dédure que l équato (E) admet dasc tros solutos dstctes 3) O désge par M 0, M 1, et M 3 les mages des solutos de (E) ; motrer que M 0,M 1 M 3 est u tragle équlatéral
LSMarsa Elradh B) Sot u eter aturel o ul ; justfer que l équato z =1 admet das solutos dstctes Théorème : L équato z =1, u eter aturel o ul, admet das C solutos dstctes défes 2kπ par z e ; k { 0,1,2,, 1} k = ; appelés race èmes de l uté Représetato géométrque : Le pla est mu d u repère orthoormé O, u, v drect ( ) >2 ; les pots mages des races èmes de l uté sot les sommets d u polygoe réguler scrt das le cercle trgoométrque Les mages des races cquèmes de l uté sot représetées sur la fgure c-cotre Applcato 16: 1) Détermer les races cquèmes de l uté 2) Vérfer que, pour 3) Résoudre das C 5 3 4 z 1 z 1; 1 + z + z² + z + z = 3 4 1 z z² z z 0 + + + + = z 1 4) Justfer que la somme des races cquèmes de l uté est ulle Actvté 7: 1) a) Sot l équato (E) :z 3 =8 motrer que z est soluto de (E)s et seulemet s est race cubque de l uté b) e dédure les solutos de (E) c) placer les mages des solutos de (E) et vérfer qu ls costtuet u polygoe réguler 2) l s agt de résoudre das C l équato (E) : z =a ou a u ombre complexe o ul et u eter aturel o ul z 2 wwwzrbmathsjmdocom 14
LSMarsa Elradh Théorème : θ O pose a = a e o cosdère le rél r > 0 tel que r = a a) motrer que z est soluto de (E) s et seulemet s z θ est race ème de re l uté b) E dédure que z =a, a C * admet das C exactemet solutos dstctes Sot a u ombre complexe o ul d argumet θ et u eter aturel o ul L équato z =a admet das C solutos dstctes défes par k θ 2kπ + { 0,1, 2, 1} z = re k ou r est le réel strctemet postve tel que r Ces solutos sot appelées les races èmes de a Représetato géométrque : = a Le pla est mu d u repère O, u, v orthoormé drect ( ) M 2 M1 >2 ; les pots mages des races èmes d u ombre complexe o ul a sot les sommets d u polygoe réguler scrt das le cercle de cetre O et de rayo r tel que r = a 2π θ M 0 Applcato 17: Sot u=1-1) Calculer u 3 2) Détermer les races cubques de -2(1+) 3) Résoudre das C l équato z + + 2 + 2 = 0 z 3 wwwzrbmathsjmdocom 15
LSMarsa Elradh 8) Equato de secod degré à coeffcets complexes : Actvté 8: Sot le ombre complexe u= -3+4 ; l s agt de détermer les races carrées de u O pose z=x+y x² y² = 3 1) Motrer que z²=u s et seulemet s xy = 2 x² + y² = 5 2) E dédure les races carrées de u 3) Détermer les races carrées de 5-12 ; -8+15 Actvté 9: a, b et c tros ombre complexes tel que a 0 Il s agt de résoudre das C l équato (E) : az²+bz+c=0 1) Posos f(z)=az²+bz+c ; justfer que ² b 4 ac b² f ( z) = a z + + 2a 4 a² 2) Posos =b²-4ac ( appelé dscrmat de (E)); a) Motrer que s =0 ;(E) admet ue uque soluto que l o précsera b) O suppose que 0 ; sot δ ue race carrée de Motrer que b + δ b + δ f ( z) = a( z z ')( z z '') avec z ' = et z '' = 2a 2a 3) E dédure les solutos de (E) das C Théorème : a, b et c tros ombre complexes tel que a 0 L équato az²+bz+c=0 admet das C deux solutos (évetuellemet cofodues) : b + δ b + δ z ' = et z '' = δ ue race carrée de =b²-4ac 2a 2a wwwzrbmathsjmdocom 16
LSMarsa Elradh Coséqueces S z et z sot les solutos de l équato az²+bz+c=0 (a 0) alors az²+bz+c=a(z-z )(z-z ) ' '' c b z z = et z ' + z '' = a a Applcatos 19: Résoudre das C chacue des équatos suvates : 1) z²+z+1=0 2) z² (1 + 2) z + 2 = 0 3) z²-(1-)z+2-2=0 4) z²+(3+)z+2-3=0 5) z²-2zcosθ+1=0 ; θ u réel 9) Exemples d équatos de degré supéreur ou égal à3 : Actvté 10: >2 ; a 0, a 1, a 2,,a des ombres complexes et a 0 P( z) = a z + a z + + a z + a ( u polyôme à coeffcets complexes de degré ) 1 1 1 0 1) Motrer que z 0 est u zéro de P s et seulemet s P( z) = a ( z z ) + a ( z z ) + + a ( z z ) 1 1 0 1 0 1 0 2) E dédure que z 0 est u zéro de P s et seulemet s P(z)=(z-z 0 )Q(z) et d (Q(z))=-1 Théorème : Sot P(z) u polyôme à coeffcets complexes de degré >1 z 0 ue race de P(z) s et seulemet s, l exste u polyôme Q(z) de degré (-1) tel que P(z)=(z-z 0 )Q(z) wwwzrbmathsjmdocom 17
LSMarsa Elradh Exemple 1 : Sot P(z) =z 3 -(2+)z²+(1+9)z+10+2 1) Motrer que P(z)=0 admet ue soluto magare que l o détermera 2) Factorser P(z) 3) Résoudre alors P(z)=0 Exemple 2 : Sot f(z)=z 4-2z 3 +3z²-2z+2 1) Motrer que s z est soluto de l équato f(z)=0 alors z auss est soluto de cette équato 2) Calculer f() 3) Résoudre das C l équato f(z)=0 Exercce 8: I/ sot l'équato (E): z²-(2+)z+1+=0; o désge par z et z' les solutos de(e) 1/ sas calculer z' et z'': a) mettre a= 1 + 1 sous forme cartésee z ' z '' b) Détermer Arg(z'z'') 2/ résoudre l'équato (E) π II/ sot θ [0, ] et sot l'équato (Eθ ): z²-(+2cosθ)z+1+e -θ =0 2 1/ a) vérfer que e -θ est ue soluto de (E θ ) b) e dédure l'autre soluto de (E θ ) et la mettre sous la forme expoetelle 2/ das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé( O,, j ), o cosdère les pot A() et B(+e θ ) a) détermer AB b) Détermer et costrure F={B(+e θ π ); θ [0, ] } 2 Exercce 9: o cosdère l équato (E) : z 3 +( 3-)z²+(1-3)z-=0 wwwzrbmathsjmdocom 18
LSMarsa Elradh 1) a) motrer que l équato (E) admet ue race magare pure z 0 que l o détermera b) résoudre alors l équato (E) ; o ote z 1 et z 2 les deux autres races ; Im(z 1 )>0 c) écrre z 0, z 1, z 2 sous forme trgoométrque 2) le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé drect ( O, u, O désge par A, B, C les pots d affxes respectves z 0, z 1, z 2 a) motrer que OB et AC sot orthogoaux b) e dédure que le quadrlatère OABC est u losage c) placer les pots A, B, C das le pla complexe et détermer ue mesure de ( OA,OB) d) vérfer que z 0, z 1, z 2 sot les races sxème de 1 et détermer les autres races de l équato z 6 =-1 Exercce 10: Pour tout ombre complexe z, o pose f(z)=z 3 -(5+6)z²+(18-5)z+13 1) a) motrer que l'équato f(z)=0 possède ue race magare pur que l'o détermera b) résoudre das C l'équato f(z)=0 2) das le pla complexe rapporté à u repère orthoormé drect ( O, u, O cosdère les pots A, B et C d'affxes respectve z 0 =, z 1 =2+3 et z 2 =3+2 a) motrer que z 2 z 1 1 = z 0 z 1 2 b) E dédure la ature du tragle ABC 3) a) résoudre das C l'équato z 3 =1 b) calculer (2+) 3 ; e dédure les solutos das C de l'équato z 3 =2+11 Exercce 11: 1) résoudre das C l'équato z²+6z+12=0 2) das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé drect ( O, u, pot A et B d'affxes respectves z A = -3-3 et z B = -3+ 3 a) mettre z A et z B sous forme expoetelle b) Détermer ue mesure de l'agle ( OA,OB ) c) Motrer que le tragle OAB est équlatéral π 3) sot z'= e 4 z A a) écrre z' sous forme trgoométrque et sous forme algébrque 11 11 b) E dédure cos π et s π 12 12 o cosdère les wwwzrbmathsjmdocom 19