Yves Debard. Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique

Élasticité Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique e-mail : yves.debard@univ-lemans.fr http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 006 15 décembre 009

Table des matières 1 Contraintes autour d un point 1 1.1 Coupure, facette et vecteur contrainte........................... 1 1. Formule de Cauchy : tenseur des contraintes........................ 1.3 Équations d équilibre..................................... 5 1.3.1 Équilibre en translation............................... 5 1.3. Équilibre en rotation................................. 6 1.4 Directions et contraintes principales............................ 6 1.5 Cercles de Mohr des contraintes............................... 8 1.5.1 Cercle de Mohr des contraintes........................... 8 1.5. Cercles de Mohr des contraintes.......................... 9 1.6 États de contraintes particuliers............................... 10 1.6.1 État de contrainte uniaxial : traction ou compression simple........... 10 1.6. État de cisaillement simple............................. 10 1.6.3 État de contrainte isotrope............................. 11 1.6.4 État de contrainte plan............................... 11 Déformations 14.1 Configuration, vecteur déplacement............................. 14. Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation.......... 15.3 Tenseur des dilatations.................................... 16.4 Tenseur des déformations de Green-Lagrange....................... 17.5 Transformation des longueurs et des angles........................ 18.5.1 Dilatation....................................... 18.5. Déformation de Green-Lagrange.......................... 18.5.3 Allongement unitaire (déformation de l ingénieur)................ 18.5.4 Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales..... 19.5.5 Transformation des volumes et des surfaces.................... 19.6 Repère principal, dilatations et déformations principales................. 0.7 Décomposition polaire.....................................8 Petits déplacements et petites déformations : élasticité linéaire............. 3.8.1 Tenseur des déformations linéarisé......................... 4.8. Transformation des longueurs et des angles.................... 4.8.3 Directions et valeurs principales........................... 5.8.4 Décomposition polaire................................ 5.8.5 Cercle de Mohr des déformations.......................... 6 3 Loi de comportement ou loi constitutive 7 4 Critères de limite élastique 9 4.1 Problème........................................... 9 4. Critère de Rankine ou de la contrainte normale maximale................ 9 4..1 Énoncé........................................ 9 4.. Validité........................................ 30 4..3 État plan de contraintes (σ 3 = 0).......................... 30 4.3 Critère de Tresca ou du cisaillement maximal....................... 30 4.3.1 Énoncé........................................ 30 4.3. Validité........................................ 30 4.3.3 État plan de contraintes (σ 3 = 0).......................... 31 4.4 Critère de Von Mises..................................... 31 4.4.1 Énoncé........................................ 31

4.4. Validité........................................ 31 4.4.3 État plan de contraintes (σ 3 = 0).......................... 31 5 Problèmes particuliers d élasticité 3 5.1 Contraintes planes...................................... 3 5. Déformations planes..................................... 33 5.3 Problème axisymétrique................................... 34 5.4 Flexion des plaques...................................... 34 5.4.1 Définitions...................................... 34 5.4. Champ de déplacements : modèle de Reissner/Mindlin.............. 35 5.4.3 Déformations et contraintes............................. 36 5.4.4 Forces et moments résultants............................ 37 5.4.5 Énergie de déformation et énergie cinétique.................... 38 5.4.6 Équations d équilibre................................. 38 5.4.7 Modèle de Kirchhoff................................. 39 5.5 Torsion d une poutre cylindrique : théorie de Saint-Venant................ 39 5.6 Contraintes dans une poutre................................. 41 6 Dépouillement des rosettes d extensométrie 4 6.1 Principe............................................ 4 6. Rosette à 45 degrés...................................... 44 6.3 Rosette à 10 degrés..................................... 45 6.4 Remarque : utilisation du cercle de Mohr des déformations................ 45 A Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte 46 A.1 Produit scalaire........................................ 46 A. Produit vectoriel....................................... 47 A.3 Produit mixte......................................... 48 B Valeurs propres et vecteurs propres d une matrice symétrique à coefficients réels 49 B.1 Définitions........................................... 49 B. Propriétés........................................... 49 B.3 Décomposition spectrale................................... 50 B.4 Valeurs et vecteurs propres d une matrice symétrique de dimension deux........ 51 C Dépouillement des rosettes d extensométrie : programme Maple 5 Références 56

Élasticité 1 Présentation La théorie de l élasticité étudie les déplacements, les déformations et les contraintes dans un solide soumis à des forces extérieures. Nous adopterons les hypothèses suivantes : Le matériau est homogène (il a les mêmes propriétés en tout point) et isotrope (en un point donné, il a les mêmes propriétés dans toutes les directions). Le comportement du matériau est linéaire (les relations entre les contraintes et les déformations sont linéaires) et élastique (le solide reprend sa forme initiale dès que les forces appliquées sont supprimées). Le repère {O; x, y, z} est un repère orthonormé. ı, j et k sont les vecteurs unitaires des axes. 1 Contraintes autour d un point 1.1 Coupure, facette et vecteur contrainte En chaque point M d un solide, il existe des forces intérieures que l on met en évidence en effectuant une coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B (figure 1). Figure 1 Coupure et facette n en M La partie A, par exemple, est en équilibre sous l action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la coupure. Considérons un point M de S. Soit ds un élément infinitésimal de la surface S entourant M et n le vecteur unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l extérieur de la partie A. Nous appellerons cet ensemble facette n en M. Soit df la force qui s exerce sur cette facette. On appelle vecteur contrainte sur la facette n en M, la quantité : T (M, n) = d F (1.1) ds Une contrainte s exprime en Pascal (1 Pa = 1 N/m ).

Élasticité Considérons, en un point M, le cylindre infiniment petit d axe n, de hauteur h et de section ds (figure ). Figure Efforts sur les facettes n et n Quand h tend vers 0, le cylindre est en équilibre sous l action des forces ds T (M, n) et ds T (M, n) d où : T (M, n) = T (M, n) Le vecteur contrainte peut être décomposé en sa composante suivant n et sa projection sur la facette (figure 3) : T (M, n) = σ n n + τ n (1.) avec σ n = n T (M, n) (1.3) σ n est la contrainte normale et τ n est le vecteur cisaillement ou contrainte tangentielle. σ n est une valeur algébrique positive (traction) ou négative (compression). Figure 3 Vecteur contrainte sur la facette n en M Remarque : on a la relation (théorème de Pythagore) : 1. Formule de Cauchy : tenseur des contraintes T = σ n + τ n (1.4) Considérons le tétraèdre infiniment petit MABC construit sur les axes x, y et z (figure 4). Soient n de composantes (n x, n y, n z ) la normale unitaire au plan ABC dirigée vers l extérieur du tétraèdre et ds l aire du triangle ABC. Figure 4 Équilibre du tétraèdre (Cauchy)

Élasticité 3 On a : ds n = ds n x ı + ds n y j + ds n z k = AB AC ( ) ( ) = MB MA MC MA = MB MC + MC MA + MA MB (1.5) = aire (MBC) ı + aire (MAC) j + aire (MAB) k On en déduit par identification : aire (MBC) = n x ds, aire (MAC) = n y ds, aire (MAB) = n z ds (1.6) Le tétraèdre est en équilibre sous l action des forces appliquées sur ses faces (les forces de volume sont des infiniment petits d ordre supérieur) : ds T (M, n) + n x ds T (M, ı ) + n y ds T (M, j ) + n z ds T (M, k ) = 0 (1.7) Il vient après simplification : T (M, n) = n x T (M, ı ) + ny T (M, j ) + nz T (M, k) (1.8) Cette équation s écrit sous forme matricielle : {T (M, n)} = [ {T (M, ı )} {T (M, j )} {T (M, ] k)} {n} (1.9) soit : {T (M, n)} = [σ(m)] {n} (formule de Cauchy) (1.10) où [σ(m)] est le tenseur des contraintes de Cauchy 1 en M. Figure 5 Vecteur contrainte sur les facettes ı, j et k en M Les composantes du tenseur des contraintes (figure 5) dans le repère { ı, j, k} sont : composantes sur ı j k T (M, ı ) T (M, j ) T (M, k) σ xx σ xy σ xz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz (1.11) 1. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

4 Élasticité Remarques : Figure 6 Vecteur contrainte sur la facette ı en M En fait, [σ(m)] est la représentation matricielle dans le repère { ı, j, k} du tenseur des contraintes en M. Sur la facette ı (figure 6), la contrainte normale et le vecteur cisaillement sont : σ x = ı T (M, ı ) = σ xx, τ x = σ yx j + σ zx k (1.1) La contrainte normale sur la facette n en M est égale à : σ n = n T (M, n) = {n} T [σ(m)] {n} (1.13) Changement de repère : considérons le repère orthonormé { ı, j, k } avec : [ ı j ] ] ı k = [ ı. ı j. ı k. ı j k ı. j j. j k. j ı. k j. k k. k }{{} [R] (1.14) et ] [ ı j k = Soit V un vecteur de composantes : {V } = et : On a les relations : On en déduit : [ ı j k ] [R] 1 avec [R] 1 = [R] T, det[r] = 1 (1.15) {V } = V = V x ı + V y j + V z k = V x V y V z V x V y V z dans le repère { ı, j, k} (1.16) dans le repère { ı, j, k } (1.17) [ ı j ] ] ] k {V } = [ ı j k [R] {V } = [ ı j k {V } (1.18) {V } = [R] {V }, {V } = [R] 1 {V } = [R] T {V } (1.19) De la formule de Cauchy (1.10) et des relations : {T } = [R] {T }, {n} = [R] {n } (1.0) on déduit : [R] {T } = [σ] [R] {n } (1.1)

Élasticité 5 d où : {T } = [R] T [σ] [R] {n } (1.) et la formule de transformation pour la matrice des contraintes : [σ ] = [R] T [σ] [R] (1.3) 1.3 Équations d équilibre Soit f la force par unité de volume appliquée au point de coordonnées (x, y, z) du solide. Soient γ l accélération du point de coordonées (x, y, z) et ρ la masse volumique du matériau. 1.3.1 Équilibre en translation Écrivons que la projection sur x de la somme des forces appliquées au parallélépipède rectangle infiniment petit, de centre M et de côtés dx, dy et dz, est nulle (les contraintes qui interviennent sont représentées sur la figure (7)) : σ xx (x, y, z) dy dz + σ xx (x + dx, y, z) dy dz σ xy (x, y, z) dx dz + σ xy (x, y + dy, z) dx dz σ xz (x, y, z) dx dy + σ xz (x, y, z + dz) dx dy + f x dx dy dz (1.4) = σ xx x dv + σ xy y dv + σ xz z dv + f x dv = ρ dv γ x où dv = dx dy dz. Il vient après simplification : σ xx x + σ xy y + σ xz z + f x = ρ γ x (1.5a) Figure 7 Équilibre du parallélépipède suivant x De même : σ yx x + σ yy y + σ yz z + f y = ρ γ y (1.5b) et σ zx x + σ zy y + σ zz z + f z = ρ γ z (1.5c)

6 Élasticité 1.3. Équilibre en rotation Figure 8 Équilibre du parallélépipède en rotation suivant z Écrivons que la projection sur M z de la somme des moments des forces appliquées au parallélépipède est nulle (les contraintes qui interviennent sont représentées sur la figure (8). Il vient, en négligeant les infiniments petits d ordre supérieurs à 3 : dx (dy dz σ yx ) dy (dx dz σ xy ) = 0 (1.6) soit : De même : σ xy = σ yx (1.7) σ xz = σ zx, σ yz = σ zy (1.8) Le tenseur des contraintes est donc symétrique : [σ] = [σ] T (1.9) Soient n a et n b deux facettes en M. On déduit de l équation (1.9) : n a T (M, n b ) = {n a } T [σ(m)] {n b } = {n b } T [σ(m)] {n a } = n b T (M, n a ) n a, n b (1.30) 1.4 Directions et contraintes principales Existe t-il en M une facette n telle que le vecteur contrainte soit colinéaire avec n (figure 9)? Dans ce cas, le vecteur cisaillement est nul sur cette facette et le vecteur contrainte T (M, n) satisfait la relation : T (M, n) = σ n n (1.31) soit : [σ(m)]{n} = σ n {n} (1.3) σ n est alors valeur propre du tenseur des contraintes et n est le vecteur propre associé. Figure 9 Face et contrainte principale en M

Élasticité 7 [σ(m)] est une matrice symétrique à coefficients réels. Elle a trois valeurs propres réelles (distinctes ou confondues). Si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres associés sont perpendiculaires entre eux. Il existe donc en M un repère orthonormé {M; n 1, n, n 3 } tel que sur les facettes n 1, n et n 3 le vecteur cisaillement soit nul (figure 10). Les directions n 1, n et n 3 sont les directions principales. Dans le repère principal {M; n 1, n, n 3 }, le tenseur des contraintes s écrit : σ 1 0 0 [σ] {M; n1, n, n 3 } = 0 σ 0 (1.33) 0 0 σ 3 où les contraintes normales σ 1, σ et σ 3 sont les contraintes principales. Figure 10 Faces et contraintes principales en M Les trois contraintes principales sont les racines de l équation caractéristique ( B) : P (σ n ) = det ( [σ(m)] σ n [ I ] ) = 0 où [ I ] est la matrice unité de dimension 3 (1.34) soit σ xx σ n σ xy σ xz det σ xy σ yy σ n σ yz = σn 3 + I 1 σn I σ n + I 3 = 0 (1.35) σ xz σ yz σ zz σ n Les contraintes principales sont indépendantes du repère { ı, j, k}. I 1, I et I 3 sont des invariants : I 1 = tr [σ] = σ xx + σ yy + σ zz = σ 1 + σ + σ 3 (1.36a) I = 1 ( (tr [σ]) tr [σ] ) = σ xx σ yy + σ xx σ zz + σ yy σ zz σ xy σ xz σ yz = σ 1 σ + σ 1 σ 3 + σ σ 3 (1.36b) I 3 = det[σ] = σ xx σ yy σ zz + σ xy σ xz σ yz σ xx σ yz σ yy σ xz σ zz σ xy = σ 1 σ σ 3 (1.36c) Dans le repère principal {M; n 1, n, n 3 }, les composantes du vecteur contrainte sur la facette n sont : σ 1 0 0 = 0 σ 0 0 0 σ 3 T 1 T T 3 n 1 n n 3 σ 1 n 1 = σ n σ 3 n 3 (1.37)

8 Élasticité où n 1, n et n 3 sont les composantes de n. Compte-tenu de la relation : on en déduit : n 1 + n + n 3 = 1 T 1 σ 1 + T σ + T 3 σ 3 = 1 (1.38) Quand n varie, l extrémité du vecteur T (M, n) se déplace sur l ellipsoïde de Lamé dont les axes sont les directions principales et les demi axes sont σ 1, σ et σ 3. 1.5 Cercles de Mohr des contraintes 1.5.1 Cercle de Mohr des contraintes En M, prenons comme repère le repère principal {M; n 1, n, n 3 }. Considérons la famille de facettes passant par la direction principale n 3 (figure 11). Soit n(cos θ, sin θ, 0), une de ces facettes. Sur cette facette, les composantes du vecteur contrainte sont : σ 1 cos θ {T } = σ sin θ (1.39) 0 Le vecteur contrainte T (M, n) est donc situé dans le plan {M; n 1, n }. Soit t le vecteur unitaire, situé dans le plan {M; n 1, n } et faisant avec n un angle égal à π : sin θ {t} = cos θ 0 Projetons le vecteur contrainte sur les axes n et t : T (M, n) = σ n n + τ n t (1.40) avec { σ n = n T (M, n) = {n} T [σ(m)] {n} = σ 1 cos θ + σ sin θ τ n = t T (M, n) = {t} T [σ(m)] {n} = σ 1 cos θ sin θ + σ cos θ sin θ (1.41) soit { σn = d + r cos( θ) avec d = 1 τ n = r sin( θ) (σ 1 + σ ) et r = 1 (σ 1 σ ) (1.4) À chaque facette n, nous pouvons donc associer un point P n de coordonnées (σ n, τ n ) dans le repère {σ n, τ n } orthonormé. Lorsque l angle θ varie, ce point décrit le cercle de centre (d, 0) et de rayon r (figure 11). Figure 11 Cercle de Mohr des contraintes

Élasticité 9 Remarques : Les points représentatifs des directions principales n 1 et n sont les intersections (σ 1, 0) et (σ, 0) du cercle avec l axe σ n. Si la facette n fait un angle θ avec la facette n 1, son point représentatif sur le cercle de Mohr fait un angle θ avec le point représentatif de la facette n 1. 1.5. Cercles de Mohr des contraintes Soit T (M, n) = σ n n + τ n le vecteur contrainte sur la facette n quelconque en M. Les relations : σ n = {n} T [σ(m)] {n}, T = σ n + τ n, {n} T {n} = 1 (1.43) où τ n = τ n s écrivent dans le repère principal {M; n 1, n, n 3 } : σ 1 n 1 + σ n + σ 3 n 3 = σ n σ1 n 1 + σ n + σ 3 n 3 = σ n + τn (1.44) n 1 + n + n 3 = 1 Si les trois contraintes principales sont distinctes, on en déduit : n 1 = τ n + (σ n σ ) (σ n σ 3 ) (σ 1 σ ) (σ 1 σ 3 ) n = τ n + (σ n σ 3 ) (σ n σ 1 ) (σ σ 3 ) (σ σ 1 ) n 3 = τ n + (σ n σ 1 ) (σ n σ ) (σ 3 σ 1 ) (σ 3 σ ) Si on suppose σ 1 > σ > σ 3, les inégalités : (1.45) n 1 0, n 0, n 3 0 (1.46) s écrivent : soit : σ n + τ n (σ + σ 3 ) σ n + σ σ 3 0 σ n + τ n (σ 3 + σ 1 ) σ n + σ 3 σ 1 0 σ n + τ n (σ 1 + σ ) σ n + σ 1 σ 0 (1.47) ( σ n σ ) + σ ( ) 3 + τn σ σ 3 ( σ n σ ) 3 + σ ( ) 1 + τn σ3 σ 1 (1.48) ( σ n σ ) 1 + σ ( ) + τn σ1 σ Figure 1 Cercles de Mohr des contraintes. Otto Mohr (1835-1918)

10 Élasticité Le point de coordonnées (σ n, τ n = τ n ) se trouve (figure 1) : ( ) σ + σ 3 à l extérieur du demi-cercle de centre, 0 ( ) σ1 + σ 3 à l intérieur du demi-cercle de centre, 0 ( ) σ1 + σ à l extérieur du demi-cercle de centre, 0 et de rayon σ σ 3. et de rayon σ 1 σ 3. et de rayon σ 1 σ. Remarque : de cette étude, on déduit la valeur maximale en M de la contrainte normale : σ max = max( σ 1, σ, σ 3 ) (1.49) et du cisaillement : τ max = max ( σ 1, σ, σ 3 ) min ( σ 1, σ, σ 3 ) (1.50) 1.6 États de contraintes particuliers 1.6.1 État de contrainte uniaxial : traction ou compression simple L état de contrainte en un point M est uniaxial (figure 13) s il existe un repère {M; x, y, z} dans lequel le tenseur des contraintes se réduit à : σ 0 0 [σ(m)] = 0 0 0 (1.51) 0 0 0 Figure 13 État de contrainte uniaxial Cet état de contraintes est appelé état de traction simple si σ est positif et état de compression simple si σ est négatif. Le repère {M; x, y, z} est le repère principal. 1.6. État de cisaillement simple L état de contraintes en M est un état de cisaillement simple par rapport aux deux directions x et y (figure 14), si le tenseur des contraintes se réduit à : 0 τ 0 [σ(m)] = τ 0 0 (1.5) 0 0 0

Élasticité 11 Figure 14 État de cisaillement simple Les contraintes principales et les directions principales sont : σ 1 = τ, σ = τ, σ 3 = 0 (1.53) {n 1 } = 1 1, {n } = 0 1 0 1, {n 3} = 0 0 1 (1.54) 1.6.3 État de contrainte isotrope L état de contraintes en un point M est isotrope si : T (M, n) = σ n n (1.55) Les trois contraintes principales sont alors égales à σ et le tenseur des contraintes en M a pour expression (quelque soit le repère) : σ 0 0 [σ(m)] = 0 σ 0 (1.56) 0 0 σ Figure 15 État de contrainte isotrope Toute facette n en M est face principale : les trois cercles de Mohr des contraintes se réduisent à un point (figure 15). 1.6.4 État de contrainte plan En un point M, l état de contrainte est dit plan s il existe un repère orthonormé {M; x, y, z} tel que le tenseur des contraintes soit de la forme (figure 16) : σ xx σ xy 0 [σ(m)] = σ xy σ yy 0 (1.57) 0 0 0

1 Élasticité Figure 16 État de contrainte plan : composantes du tenseur des contraintes Le vecteur contrainte sur la facette k est nul : T (M, k) = 0 (1.58) La direction k est donc direction principale et la contrainte principale associée est nulle : n 3 = k, σ 3 = 0 (1.59) Les deux autres directions principales sont les solutions de l équation : [ ] { } { } σxx σ xy nx nx = σ σ xy σ yy n n avec n x + n y = 1 (1.60) y n y soit : [ ] { } σxx σ n σ xy nx = σ xy σ yy σ n n y { } 0 0 (1.61) Cette équation n a de solution autre que la solution triviale n x = n y = 0 que si et seulement si : [ ] σxx σ det n σ xy = 0 (1.6) σ xy σ yy σ n d où l équation polynomiale en σ n : les contraintes principales : σ 1 σ σ n (σ xx + σ yy ) }{{} tr [σ]=σ 1 +σ } = σ xx + σ yy σ n + σ xx σ yy σxy }{{} = 0 (1.63) det[σ]=σ 1 σ ± 1 (σ xx σ yy ) + 4 σ xy (1.64) et les directions principales associées : cos θ 1 sin θ 1 {n 1 } = sin θ 1, {n } = cos θ 1 avec tan θ 1 = σ 1 σ xx = σ xy (1.65) σ 0 0 xy σ 1 σ yy où θ 1 est la position angulaire de la direction principale n 1 par rapport à l axe x (figure 16). Les cercles de Mohr des contraintes sont représentés sur la figure 17. Figure 17 État de contrainte plan : cercles de Mohr des contraintes

Élasticité 13 Construction du cercle de Mohr de la famille de facettes passant par z : les facettes ı et j sont deux facettes orthogonales de cette famille. Les points représentatifs P i et P j de ces facettes dans le plan de Mohr sont donc deux points diamétralement opposés du cercle (figure 19). Les coordonnées de ces points sont (figure 18) : ( facette ı : P i = σ n = n T (M, ı ) = σ xx, τ n = t T ) (M, ı ) = σ xy ( facette j : P j = σ n = n T (M, j ) = σ yy, τ n = t T ) (M, j ) = σ xy Figure 18 État de contrainte plan : facettes ı et j On en déduit la construction du cercle de Mohr (figure 19) : dans le repère orthonormé {σ n, τ n }, on trace le cercle de diamètre P i (σ xx, σ xy ) P j (σ yy, σ xy ). À l aide d une règle, on mesure les contraintes principales σ 1 et σ, puis à l aide d un rapporteur l angle θ 1. Figure 19 Cercle de Mohr Changement de repère : dans le repère orthonormé {M; n, t, k} (figure 0) avec : n x n y {n} = n y, {t} = n x 0 0 (1.66) le tenseur des contraintes a pour expression (équation 1.3) : [σ] {M; n, t, k} = [R]T [σ] {M; ı, j, k} [R] (1.67) où la matrice de transformation [R] est égale à : [R] = [ {n} {t} {0} ] = n x n y 0 n y n x 0 (1.68) 0 0 0

14 Élasticité Figure 0 Composantes du tenseur des contraintes dans le repère {M; n, t, k} On en déduit : [σ] {M; n, t, k} = σ nn σ nt 0 σ nt σ tt 0 (1.69) 0 0 0 avec : σ nn = n x σ xx + n y σ yy + n x n y σ xy, σ tt = n y σ xx + n x σ yy n x n y σ xy σ nt = n x n y (σ yy σ xx ) + (n x n y) σ xy Remarque : on a les relations : σ nn = n. T (M, n) = {n} T [σ(m)] {n} σ nt = t. T (M, n) = {t} T [σ(m)] {n} = {n} T [σ(m)] {t} σ tt = t. T (M, t) = {t} T [σ(m)] {t} Déformations Sous l action des forces appliquées, les points d un solide se déplacent. Il en résulte, pour des fibres infinitésimales de matière, des variations de longueur et des variations d angle appelées déformations (figure 1). Figure 1 Déformations dans un solide.1 Configuration, vecteur déplacement Le volume occupé par le solide à l instant t est noté C t et appelé configuration courante. La configuration initiale C 0 est la configuration de référence. Le point M 0 de la configuration initiale devient le point M de la configuration courante (figure ) : OM 0 = x 0 = x 0 ı + y 0 j + z 0 k, OM = x = x ı + y j + z k (.1)

Élasticité 15 Figure Transformation d un point et d un vecteur On appelle vecteur déplacement du point M 0 le vecteur : u(m 0 ; t) = M 0 M = OM OM 0 = u ı + v j + w k (.) où u, v et w sont des fonctions continues et dérivables de x 0, y 0 et z 0, d où : x(m 0 ; t) = x 0 + u(m 0 ; t) (.3) Les coordonnées du point M s écrivent sous forme matricielle : x(x 0, y 0, z 0 ; t) x 0 u(x 0, y 0, z 0 ; t) y(x 0, y 0, z 0 ; t) = y 0 + v(x 0, y 0, z 0 ; t) z(x 0, y 0, z 0 ; t) w(x 0, y 0, z 0 ; t) x 0, y 0 et z 0 sont les coordonnées de Lagrange et la description est dite lagrangienne. z 0 L équation (.4) définit la transformation qui fait passer le solide de la configuration initiale C 0 à la configuration C t.. Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation Le vecteur infiniment petit d x 0 en M 0 devient d x en M dans la configuration C t (figures et 3) : soit sous forme matricielle : (.4) d x = d x 0 + d u (.5) {dx} = {dx 0 } + {du} = ( [ I ] + [L] ) {dx 0 } = [F ] {dx 0 } (.6) où : 1 + u u u u u u x 0 y 0 z 0 x [F ] = v 1 + v 0 y 0 z 0 v x 0 y 0 z 0, [L] = v v v x 0 y 0 z 0 (.7) w w 1 + w w w w x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 z 0 [F ] est le tenseur gradient de la transformation (ou tenseur gradient de la déformation). Figure 3 Transformation du vecteur d x 0

16 Élasticité Nous admettrons que la transformation est biunivoque : 0 < det[f ] <, {dx 0 } = [F ] 1 {dx} (.8) Deux points voisins dans la configuration C 0 sont voisins dans la configuration C t. La figure (4) montre, dans le cas d un problème plan, la signification physique des composantes du tenseur gradient de la transformation. Figure 4 Problème plan : transformation d un vecteur [L] peut être décomposé en sa partie symétrique [ε] et sa partie antisymétrique [Ω] : [L] = [Ω] + [ε] (.9) avec : et On en déduit : [Ω] = 1 ( [L] [L] T ), [Ω] = [Ω] T (.10) [ε] = 1 ( [L] + [L] T ), [ε] = [ε] T (.11) [F ] = [ I ] + [ε] + [Ω] (.1).3 Tenseur des dilatations Considérons en M 0 deux vecteurs infiniment petits d x 0 et d x 0 (figure 5). Ces vecteurs deviennent d x et d x dans la configuration C t : {dx} = [F ] {dx 0 }, {dx } = [F ] {dx 0} (.13) Figure 5 Transformation des vecteurs d x 0 et d x 0 Le produit scalaire des deux vecteurs d x et d x s écrit : d x d x = {dx} T {dx } = {dx 0 } T [F ] T [F ] {dx 0} = {dx 0 } T [C] {dx 0} (.14)

Élasticité 17 où [C] = [F ] T [F ] = ([ I ] + [L] T ) ([ I ] + [L]) = [ I ] + [L] T + [L] + [L] T [L] (.15) est le tenseur des dilatations. Si d x 0 = d x 0, il vient : ds = d x d x = {dx 0 } T [C] {dx 0 } > 0 d x 0 <> 0 (.16) où ds est la longueur du vecteur d x. La matrice [C] est définie positive..4 Tenseur des déformations de Green-Lagrange Soit ds 0 la longueur du vecteur d x 0 et ds celle du vecteur d x. La différence ds ds 0 s écrit : ds ds 0 = d x d x d x 0 d x 0 = {dx} T {dx} {dx 0 } T {dx 0 } = {dx 0 } T ( [C] [ I ] ) {dx 0 } = {dx 0 } T [E] {dx 0 } où : [E] = 1 ([C] [ I ]) = 1 ( 1 [L]T + [L] ) + }{{} [L]T [L] }{{} termes linéaires termes non linéaires est le tenseur des déformations de Green-Lagrange 3. (.17) (.18) Remarque : si [E] = [ 0 ], on a : ds = ds 0 d x 0 (.19) Le voisinage du point M 0 subit un mouvement de corps rigide entre les configurations C 0 et C t. La condition [E] = [ 0 ] implique pour le tenseur des dilatations : [C] = [F ] T [F ] = [ I ] d où [F ] T = [F ] 1 (.0) Dans le repère {O; ı, j, k}, les composantes du tenseur des déformations de Green-Lagrange sont : E xx E xy E xz [E] = E yy E yz (.1) sym. avec ( notation de Voigt ) : ( ) u u ( ) v ( ) w + + E x 0 x 0 x 0 x 0 xx v ( ) u ( ) v ( ) w E yy y + + 0 y 0 y 0 y 0 w ( ) E zz u ( ) v ( ) w z 0 = ( E xy = E yx 1 u + v ) + 1 + + z 0 z 0 z 0 u u y 0 x 0 + v v + w w E xz = E ( zx 1 u + w ) x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 u u E yz = E z zy 0 x ( 0 + v v + w w 1 v + w ) x 0 z 0 x 0 z 0 x 0 z 0 u u z 0 y 0 + v v + w w y 0 z 0 y 0 z 0 y 0 z 0 }{{}}{{} termes linéaires termes non linéaires 3. George Green (1793-1841), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) E zz (.)

18 Élasticité Remarque : le tenseur des dilatations s écrit en fonction du tenseur des déformations : [C] = [ I ] + [E] (.3).5 Transformation des longueurs et des angles.5.1 Dilatation Considérons en M 0 le vecteur infiniment petit d x 0 de longueur ds 0 porté par le vecteur unitaire n 0 : d x 0 = ds 0 n 0 (.4) Ce vecteur devient d x de longueur ds dans la configuration C t (figure 6). On appelle dilatation en M 0 dans la direction n 0 la quantité : Remarque : si n 0 = ı, il vient : λ(m 0, n 0 ) = ds = {n 0 } ds T [C] {n 0 } = {n 0 } T [E] {n 0 } + 1 (.5) 0 λ(m 0, ı ) = C xx = E xx + 1 (.6) Figure 6 Dilatation en M 0 dans la direction n 0.5. Déformation de Green-Lagrange On appelle déformation de Green-Lagrange en M 0 dans la direction n 0 la quantité : ε GL (M 0, n 0 ) = ds ds 0 ds 0 = {n 0 } T [E] {n 0 } (.7) Remarque : si n 0 = ı, il vient : ε GL (M 0, ı ) = E xx (.8).5.3 Allongement unitaire (déformation de l ingénieur) On appelle allongement unitaire en M 0 dans la direction n 0 la quantité : Remarque : si n 0 = ı, on obtient : ε(m 0, n 0 ) = ds ds 0 ds 0 = λ(m 0, n 0 ) 1 (.9) ε(m 0, ı ) = C xx 1 = E xx + 1 1 (.30)

Élasticité 19.5.4 Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales Considérons en M 0 deux vecteurs infiniment petits d x 0 et d x 0 portés par les deux directions orthogonales n 0 et n 0 (figure 7) : d x 0 = ds 0 n 0, d x 0 = ds 0 n 0, n 0 n 0 = 0 (.31) Ces vecteurs deviennent d x et d x de longueur ds et ds dans la configuration C t. Soit ϕ l angle que font entre eux les vecteurs d x et d x. Figure 7 Glissement en M 0 dans les directions orthogonales n 0 et n 0 On appelle glissement en M 0 dans les directions orthogonales n 0 et n 0 la quantité : γ(m 0, n 0, n 0) = π ϕ (.3) Le produit scalaire des deux vecteurs d x et d x s écrit (équation.14) : ( π ) d x. d x = ds 0 ds 0 {n 0 } T [C]{n 0} = ds ds cos ϕ = ds ds cos γ = ds ds sin γ (.33) d où l expression du glissement en M 0 des deux directions orthogonales n 0 et n 0 : γ(m 0, n 0, n 0) = arcsin Remarque : si n 0 = ı et n 0 = j, il vient : {n 0 } T [C] {n 0 } λ(m 0, n 0 ) λ(m 0, n 0 ) = arcsin {n 0 } T [E] {n 0 } λ(m 0, n 0 ) λ(m 0, n 0 ) (.34) γ(m 0, ı, j ) = arcsin E xy Exx + 1 E yy + 1 (.35).5.5 Transformation des volumes et des surfaces Le parallélépipède de volume infiniment petit dv 0 construit en M 0 sur les vecteurs a 0, b 0 et c 0 (le trièdre { a 0, b 0, c 0 } est direct) devient le parallélépipède de volume dv construit en M sur les vecteurs a, b et c (figure 8). Figure 8 Transformation d un volume infinitésimal On a les relations : dv 0 = ( a 0 b 0 ) c 0 = det [{a 0 } {b 0 } {c 0 }] (.36)

0 Élasticité d où : dv = ( a b) c = det [{a} {b} {c}] On appelle dilatation volumique en M 0, la quantité : = det ([F ] [{a 0 } {b 0 } {c 0 }]) = det[f ] det [{a 0 } {b 0 } {c 0 }] On appelle déformation volumique en M 0, la quantité : (.37) dv = det[f ] dv 0 (.38) λ V (M 0 ) = dv dv 0 = det[f ] (.39) ε V (M 0 ) = dv dv 0 dv 0 = det[f ] 1 (.40) La surface da 0 construite sur les vecteurs a 0 et b 0 devient la surface da construite sur les vecteurs a et b (figure 9). Des relations : où les vecteurs n 0 et n sont unitaires, on déduit : d où : a 0 b 0 = n 0 da 0, a b = n da (.41) dv 0 = c 0 n 0 da 0 = {c 0 } T {n 0 } da 0, dv = c n da = {c} T {n} da (.4) dv = {c 0 } T [F ] T {n} da = det[f ] dv 0 = det[f ] {c 0 } T {n 0 } da 0 (.43) Cette relation est vérifiée pour tout vecteur c 0, d où : [F ] T {n} da = det[f ] {n 0 } da 0 (.44) On en déduit : Figure 9 Transformation d une surface infinitésimale {n} da = det[f ] [F ] T {n 0 } da 0, [F ] T = ( [F ] 1 ) T = ( [F ] T ) 1 (.45).6 Repère principal, dilatations et déformations principales La matrice [C] est symétrique, à coefficients réels et définie positive (équation.16). Ses valeurs propres (ou valeurs principales) sont positives. Il existe en M 0 un repère orthonormé (ou repère principal) {M 0 ; n 01, n 0, n 03 } tel que : [C]{n 0i } = λ i {n 0i } i = 1,, 3 (.46) où λ i est la dilatation principale en M 0 dans la direction principale n 0i.

Élasticité 1 De l expression du glissement de deux directions orthogonales (équation.34), on déduit que le glissement de deux directions principales est nul (figure 3). De la relation : det[c] = λ 1 λ λ 3 = det([f ] T [F ]) = (det[f ]) (.47) on déduit l expression de la dilatation volumique (équation.39) en fonction des dilatations principales : λ V (M 0 ) = det[f ] = λ 1 λ λ 3 (.48) Le tenseur des déformations [E] a les mêmes directions principales que [C]. En effet, des équations (.3) et (.46) on déduit : d où : ([ I ] + [E]) {n 0i } = λ i {n 0i } (.49) [E]{n 0i } = E i {n 0i } avec E i = 1 (λ i 1) (.50) Soit {dx 0 } un vecteur infiniment petit porté par la direction principale {n 0i } : On en déduit : [C]{dx 0 } = [F ] T [F ]{dx 0 } = λ i {dx 0 } (.51) [F ] T {dx} = λ i {dx 0 } (.5) où {dx} = [F ]{dx 0 }, puis en multipliant les deux membres de cette équation par [F ] : et : où {n i } est le vecteur unitaire porté par le vecteur {dx} : [F ] [F ] T {dx} = λ i [F ] {dx 0 } = λ i {dx} (.53) [F ] [F ] T {n i } = λ i {n i } (.54) {n i } = 1 λ i [F ] {n 0i } i = 1,, 3 (.55) Le repère {M 0 ; n 01, n 0, n 03 } est le repère principal de la transformation en M 0. Le repère {M; n 1, n, n 3 } est le repère principal de la transformation en M. Transformation d une sphère : l extrémité du vecteur d x 0 en M 0 décrit la sphère infiniment petite de rayon dr 0 : {dx 0 } T {dx 0 } = dr 0 (.56) d x 0 devient d x en M. L extrémité du vecteur d x décrit la surface d équation : {dx} T [F ] T [F ] 1 {dx} = {dx} T ([F ][F ] T ) 1 {dx} = dr 0 (.57) Si on prend comme repère en M, le repère principal du tenseur [F ] [F ] T (équation.54), cette équation s écrit : ( ) ( ) ( ) dx dy dz + + = 1 (.58) λ 1 dr 0 λ dr 0 λ 3 dr 0 Figure 30 Transformation d un cercle : ellipse des dilatations (problème plan)

Élasticité La sphère de rayon dr 0 en M 0 devient en M l ellipsoïde dont les axes sont les transformés des directions principales de [C] et les demi-axes sont λ 1 dr 0, λ dr 0 et λ 3 dr 0 (figure 30)..7 Décomposition polaire Le déterminant de [F ] étant différent de 0, [F ] peut être décomposé de façon unique sous les deux formes : [F ] = [R][U] = [V ][R] (.59) où : [R] est une matrice orthonormale : [R] T [R] = [R][R] T = [ I ], det[r] = 1 (.60) et représente un mouvement de corps rigide (rotation). [U] et [V ] sont deux matrices symétriques définies positives et représentent un mouvement de déformation pure. Remarque : les matrices [U] et [V ] sont liées par les relations : De la relation [C] = [F ] T [F ] on déduit : [V ] = [R][U][R] T, [U] = [R] T [V ][R] (.61) [C] = [U] (.6) La matrice des dilatations [C] et la matrice [U] ont les mêmes directions principales {n 0i }. Les valeurs principales de [U] sont les dilatations principales λ i : On en déduit l expression de [U] (décomposition spectrale) : [U] {n 0i } = λ i {n 0i } i = 1,, 3 (.63) [U] = 3 λ i {n 0i }{n 0i } T, i=1 3 {n 0i }{n 0i } T = [ I ] (.64) i=1 La matrice de rotation s écrit : De même, de l équation (.54) et de la relation : on déduit : et [V ] = [R] = [F ] [U] 1 (.65) [F ][F ] T = [V ] (.66) [V ] {n i } = λ i {n i } i = 1,, 3 (.67) 3 λ i {n i }{n i } T, Les vecteurs unitaires {n 0i } et {n i } sont liés par la relation : i=1 3 {n i }{n i } T = [ I ] (.68) i=1 {n i } = [R] {n 0i } i = 1,, 3 (.69) La figure (31) montre la transformation par [F ], [U], [V ] et [R] d un cercle infiniment petit de centre M 0, de rayon dr 0 et situé dans le plan {M 0 ; n 01, n 0 }.

Élasticité 3 Figure 31 Décomposition polaire : transformation d un cercle (problème plan) La figure (3) montre la transformation par [F ], [U], [V ] et [R] d un rectangle infiniment petit construit sur les directions principales n 01 et n 0 de la déformation en M 0. Figure 3 Décomposition polaire : transformation de deux vecteurs orthogonaux portés par les directions principales (problème plan) Remarque : si les côtés du rectangle ne sont pas deux directions principales du tenseur [C] en M 0, les arêtes du rectangle subissent une rotation lors de la transformation [U] ou [V ] (figure 33). Figure 33 Décomposition polaire : transformation de deux vecteurs orthogonaux (problème plan).8 Petits déplacements et petites déformations : élasticité linéaire On admettra les hypothèses suivantes : Les déplacements sont petits par rapport aux dimensions du solide.

4 Élasticité Les dérivées des déplacements par rapport à x 0, y 0, z 0 sont petites devant l unité : u x 0 1, u y 0 1... (.70) Si f une fonction de x 0, y 0, z 0, on en déduit : f = f x 0 x x + f x 0 y y + f x 0 z z = f x 0 x ( 1 + u ) + f x 0 y v + f x 0 z w f x 0 x (.71) De même : f f y 0 y, f f z 0 z (.7) Rappels : si x et y sont petits devant l unité ( x 1, y 1), on a les relations : 1 + x 1 + x, 1 1 x, (1 + x)(1 + y) 1 + x + y, sin x x (.73) 1 + x.8.1 Tenseur des déformations linéarisé Le tenseur des déformations (équation.18) se réduit à : 1 [E] 1 ε xx ε xy ε xz ε xx ( [L]T + [L] ) = [ε] = ε yy ε yz γ xy = sym. ε zz sym. 1 γ xz 1 ε yy γ yz ε zz (.74) où : ε xx = u x, ε yy = v y, ε zz = w z ε xy = γ xy = u y + v x, ε xz = γ xz = u z + w x, ε yz = γ yz = w y + v z (.75) Le tenseur [ε] est appelé tenseur des déformations linéarisé. Le tenseur des dilatations (équation.3) se réduit à :.8. Transformation des longueurs et des angles [C] [ I ] + [ε] (.76) L allongement unitaire et la dilatation en M et dans la direction n (équations.9 et.5) s écrivent : ε(m, n) {n} T [ε]{n} Si n est l un des axes ı, j ou k, on obtient : = ε xx n x + ε yy n y + ε zz n z + γ xy n x n y + γ xz n x n z + γ yz n y n z (.77) λ(m, n) 1 + {n} T [ε]{n} (.78) ε(m, ı ) = ε xx, ε(m, j ) = ε yy, ε(m, k) = ε zz (.79) λ(m, ı ) = 1 + ε xx, λ(m, j ) = 1 + ε yy, λ(m, k) = 1 + ε zz (.80)

Élasticité 5 Remarque : ε GL (M, n) ε(m, n) (.81) Le glissement en M dans les directions orthogonales n et n (équation.34) s écrit : Si n et n sont l un des axes ı, j ou k, on obtient : γ(m, n, n ) = {n } T [ε]{n} (.8) γ(m, ı, j ) = γ xy, γ(m, ı, k) = γ xz, γ(m, j, k) = γ yz (.83) La figure (34) montre la signification physique des composantes du tenseur des déformations dans le cas d un problème plan. Figure 34 Déformation plane : transformation d un rectangle construit sur les axes ı et j Le volume infiniment petit dv 0 en M 0 devient dv en M : dv = det([f ]) dv 0 (1 + ε xx + ε yy + ε zz ) dv 0 = (1 + tr ([ε])) dv 0 (.84) La déformation volumique (équation.40) en M se réduit à :.8.3 Directions et valeurs principales ε V (M) = ε xx + ε yy + ε zz = tr ([ε]) (.85) En M, dans le repère principal {M; n 1, n, n 3 }, le tenseur des déformations se réduit à : ε 1 0 0 [ε] {M; n1, n, n 3 } = 0 ε 0 (.86) 0 0 ε 3 Les quantités ε 1, ε et ε 3 sont les déformations principales..8.4 Décomposition polaire Les tenseurs [R], [U] et [V ] (.7) sont voisins de l unité. Posons : La condition [R] T [R] = [ I ] s écrit : [R] = [ I ] + [r] [U] = [ I ] + [u], [V ] = [ I ] + [v] (.87) ([ I ] + [r]) T ([ I ] + [r]) [ I ] + [r] + [r] T = [ I ] (.88) d où La matrice [r] est antisymétrique. [r] = [r] T (.89)

6 Élasticité La condition : [C] = [F ] T [F ] = [U] soit ([ I ] + [ε] + [Ω]) T ([ I ] + [ε] + [Ω]) = ([ I ] + [u]) (.90) s écrit au premier ordre près : De même, la relation [F ][F ] T = [V ] implique : La relation : s écrit au premier ordre près : d où : [ I ] + [ε] [ I ] + [u] d où [u] [ε] (.91) [v] [ε] (.9) [F ] = [ I ] + [Ω] + [ε] = [R][U] = ([ I ] + [r]) ([ I ] + [u]) (.93) [F ] = [ I ] + [Ω] + [ε] [ I ] + [r] + [u] (.94) [r] [Ω] (.95) La matrice de rotation [R] et les matrices de déformation pure [U] et [V ] se réduisent à : Les composantes de [Ω] sont : où les composantes du vecteur ω sont : [R] [ I ] + [Ω], [U] [V ] [ I ] + [ε] (.96) 0 ω z ω y [Ω] = ω z 0 ω x (.97) ω y ω x 0 ω x = w y v z, ω y = u z w x, ω z = v x u y (.98) La contribution de [Ω] à la transformation du vecteur d x 0 en M 0 s écrit : {dx} = [Ω]{dx 0 } soit d x = ω d x 0 = 1 rot u d x 0 (.99) et représente une rotation infiniment petite du vecteur d x 0 autour de l axe ω en M..8.5 Cercle de Mohr des déformations En M, prenons comme repère, le repère principal {M; n 1, n, n 3 }. Considérons la famille de facettes passant par la direction principale n 3. Soit n (cos θ, sin θ, 0), une facette appartenant à cette famille et t ( sin θ, cos θ, 0) le vecteur unitaire, situé dans le plan {M; n 1, n } et faisant avec n un angle égal à π/. A chaque facette n, nous pouvons associer les deux quantités ε n et γ nt définies par les équations (.77) et (.8) : { εn = ε(m, n) = {n} T [ε(m)] {n} = ε 1 cos θ + ε sin θ γ nt = γ(m, n, t ) = {t} T [ε(m)] {n} = ε 1 cos θ sin θ + ε cos θ sin θ (.100) soit { εn = d + r cos( θ) 1 γ nt = r sin( θ) avec d = 1 (ε 1 + ε ), r = 1 (ε 1 ε ) (.101)

Élasticité 7 À chaque facette n, nous pouvons associer un point (ε n, γ nt /) dans un repère orthonormé. Lorsque θ varie, ce point décrit le cercle de centre (d, 0) et de rayon r (figure 35). Figure 35 Cercle de Mohr des déformations 3 Loi de comportement ou loi constitutive L état de contrainte et l état de déformation en un point seront représentés par un vecteur à six composantes ( notation de Voigt 4 ) : σ {σ} = zz σ xy σ xx σ yy σ xz σ yz ε, {ε} = zz γ xy Pour un matériau isotrope (en un point donné du solide, le matériau a les mêmes propriétés dans toutes les directions), les déformations et les contraintes sont liées par la relation (loi de comportement) : ε xx = 1 E (σ xx ν (σ yy + σ zz )) + α T ε xx ε yy γ xz γ yz (3.1) ε yy = 1 E (σ yy ν (σ xx + σ zz )) + α T ε zz = 1 E (σ zz ν (σ xx + σ yy )) + α T (3.) où γ xy = σ xy G, γ xz = σ xz G, γ yz = σ yz G E, ν et α sont respectivement le module de Young 5, le coefficient de Poisson 6 et le coefficient de dilatation du matériau. G = E (1 + ν) 4. Woldemar Voigt (1850-1919) 5. Thomas Young (1773-189) 6. Siméon-Denis Poisson (1781-1840) est le module d élasticité transversal.

8 Élasticité T est la variation de température. Remarque : ν est compris entre 0 et 1/. Avec ces notations la loi de comportement s écrit : {σ} = [D] {ε} + {σ th } où la matrice [D] des coefficients élastiques est égale à : λ + µ λ λ 0 0 0 λ λ + µ λ 0 0 0 [D] = λ λ λ + µ 0 0 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ (3.3a) (3.3b) où : λ = Eν (1 + ν)(1 ν) sont les coefficients de Lamé 7. Inversement, on a :, µ = E (1 + ν) = G (3.3c) E = µ (3 λ + µ) (λ + µ), ν = λ (λ + µ) (3.4) {σ th } représente les contraintes d origine thermique et est égal à : {σ th } = E α T 1 ν 1 1 1 0 0 0 (3.5) Caractéristiques de quelques matériaux [4] : E : module de Young ν : coefficient de Poisson (0 ν 1/) σ E : limite élastique α : coefficient de dilatation ρ : masse volumique Remarques : Matériau E ν σ E α ρ MPa MPa 10 6 K 1 kg/m 3 Acier inox 03 000 0.9 00 15 7850 Aluminium 67 500 0.34 30 4 700 Cuivre 100 000 0.34 40 16.5 8930 Plexiglas 900 0.4 80 85 1800 7. Gabriel Lamé (1795-1870)

Élasticité 9 Les relations (3.) et (3.3a) s écrivent à l aide du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations : [ε] = 1 + ν E [σ] ν (tr [σ]) [ I ] + α T [ I ] (3.6a) E [σ] = λ (tr [ε]) [ I ] + µ [ε] Eα T 1 ν [ I ] (3.6b) La déformation volumique (équation.40) s écrit en fonction des contraintes : (1 ν) ε V (M) = (σ xx + σ yy + σ zz ) + 3 α T = E La densité d énergie de déformation est égale à : (1 ν) E tr [σ] + 3 α T (3.7) de def dv =1 ( {ε} T {ε th } T) {σ} = 1 ( {ε} T {ε th } T) [D] ({ε} {ε th }) = 1 {ε}t [D] {ε} {ε} T [D] {ε th } + 1 {ε th} T [D] {ε th } (3.8) L énergie de déformation s exprime en Joule (1 Joule = 1 N.m = 1 kg.m.s ). 4 Critères de limite élastique 4.1 Problème Soient σ 1, σ et σ 3 les trois contraintes principales en un point M d un solide. Nous supposerons que la limite élastique en traction simple est égale à la limite élastique en compression simple. Soit σ E cette limite élastique. Comment vérifier, dans un état de contrainte complexe, que la limite élastique n est pas dépassée? On admet que la limite élastique est atteinte lorsqu une certaine fonction f des contraintes principales est égale à limite élastique du matériau en traction simple : f(σ 1, σ, σ 3 ) = σ E (4.1) Le domaine élastique en un point du solide est donc défini par la relation : f(σ 1, σ, σ 3 ) σ E (4.) Nous examinons dans ce chapitre plusieurs critères de limite élastique. Rappels : état de traction simple ( 1.6.1) : σ 1 = σ, σ = σ 3 = 0. état de cisaillement pur ( 1.6.) : σ 1 = τ, σ = τ, σ 3 = 0. 4. Critère de Rankine ou de la contrainte normale maximale 4..1 Énoncé Le domaine élastique est défini par la relation : σ R = f(σ 1, σ, σ 3 ) = max( σ 1, σ, σ 3 ) σ E (4.3) La quantité σ R est appelée contrainte équivalente de Rankine 8 ou de la contrainte normale maximale. 8. William Rankine (180-187)

30 Élasticité 4.. Validité Le critère s écrit : pour un état de traction simple et σ σ E (4.4) τ σ E (4.5) pour un état de cisaillement pur, ce qui impose τ E = σ E où τ E est la limite élastique au cisaillement pur. 4..3 État plan de contraintes (σ 3 = 0) La contrainte équivalente de Rankine se réduit à : σ R = max( σ 1, σ ) (4.6) Le domaine élastique est représenté sur la figure (36). Figure 36 Critère de Rankine : domaine élastique 4.3 Critère de Tresca ou du cisaillement maximal 4.3.1 Énoncé Le domaine élastique est défini par la relation : σ T = f(σ 1, σ, σ 3 ) = τ max = max ( σ 1, σ, σ 3 ) min ( σ 1, σ, σ 3 ) σ E (4.7) La quantité σ T est appelée contrainte équivalente de Tresca 9. 4.3. Validité Le critère s écrit : pour un état de traction simple et σ σ E (4.8) τ σ E (4.9) pour un état de cisaillement pur, ce qui impose τ E = σ E /. 9. Henri Tresca (1814-1885)

Élasticité 31 4.3.3 État plan de contraintes (σ 3 = 0) La contrainte équivalente de Tresca se réduit à : σ T = max( σ 1 σ, σ 1, σ ) (4.10) Le domaine élastique est représenté sur la figure (37). Figure 37 Critère de Tresca : domaine élastique 4.4 Critère de Von Mises 4.4.1 Énoncé Le domaine élastique est défini par la relation : σ VM = f(σ 1, σ, σ 3 ) = 1 ((σ 1 σ ) + (σ 1 σ 3 ) + (σ 3 σ ) ) σ E (4.11) La quantité σ VM est appelée contrainte équivalente de Von Mises 10. 4.4. Validité Le critère s écrit : pour un état de traction simple et σ σ E (4.1) 3 τ σe (4.13) pour un état de cisaillement pur, ce qui impose τ E = 1/ 3 σ E = 0.58 σ E. 4.4.3 État plan de contraintes (σ 3 = 0) La contrainte équivalente de Von Mises se réduit à : σ VM = Le domaine élastique est représenté sur la figure (38). σ 1 + σ σ 1 σ (4.14) 10. Richard Von Mises (1883-1953)

3 Élasticité Figure 38 Critère de Von Mises : domaine élastique 5 Problèmes particuliers d élasticité 5.1 Contraintes planes Définition : un solide est en état de contraintes planes par rapport au plan {O; x, y}, s il existe un repère {O; x, y, z}, tel qu en tout point M du solide, le tenseur des contraintes soit de la forme : σ xx σ xy 0 [σ(m)] = σ xy σ yy 0 (5.1) 0 0 0 où σ xx, σ yy et σ xy sont indépendants de z. L axe z est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principale associée est nulle. La loi de comportement se réduit à : σ xx σ yy σ xy = E 1 ν 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 ν ε xx ε yy γ xy E α T 1 ν 1 1 0 (5.a) avec ε zz = ν E (σ xx + σ yy ) + α T (5.b) d où la forme du tenseur des déformations : 1 ε xx γ xy 0 [ε(m)] = 1 γ xy ε yy 0 (5.3) 0 0 ε zz Les déformations et les contraintes ne dépendent que des déplacements u(x, y) et v(x, y) parallèles aux axes x et y. Les équations d équilibre (1.5) se réduisent à : σ xx x σ xy x + σ xy y + σ yy y + f x = ρ u t + f y = ρ v t (5.4)

Élasticité 33 Figure 39 Plaque sollicitée dans son plan Domaine d application : l approximation contraintes planes convient aux plaques minces sollicitées dans leur plan (figure 39). Le plan {O; x, y} est alors le plan moyen de la plaque. 5. Déformations planes Définition : un solide est en état de déformations planes par rapport au plan {O; x, y} s il existe un repère {O; x, y, z} tel qu en tout point M du solide, le champ de déplacement soit de la forme : u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0 On en déduit le tenseur des déformations : 1 ε xx γ xy 0 [ε(m)] = 1 γ xy ε yy 0 0 0 0 avec ε xx = u x, ε yy = v y, γ xy = u y + v x (5.5) (5.6a) (5.6b) En tout point du solide, la direction z est donc direction principale. Les déformations et les contraintes sont indépendantes de z. La loi de comportement se réduit à : σ xx λ + µ λ 0 σ yy = λ λ + µ 0 0 0 µ avec σ xy ε xx ε yy γ xy σ zz = ν(σ xx + σ yy ) E α T E α T 1 ν 1 1 0 (5.7a) (5.7b) d où la forme du tenseur des contraintes : σ xx σ xy 0 [σ(m)] = σ xy σ yy 0 (5.8) 0 0 σ zz Domaine d application : l état de déformations planes se présente lorsqu on a affaire à un cylindre d axe Oz très long satisfaisant aux conditions suivantes : les bases du cylindre sont fixes. les forces appliquées au solide sont normales à l axe Oz et indépendantes de z.

34 Élasticité 5.3 Problème axisymétrique Le solide considéré est de révolution. Il en va de même du chargement et des conditions aux limites. Soit z l axe de révolution. Un point du solide est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z). La solution est axisymétrique. Chaque point du solide se déplace dans son plan méridien (r, z). De plus le champ de déplacement est indépendant de la coordonnée θ. Le champ de déplacements se réduit à : u = u(r, z) v = 0 w = w(r, z) On en déduit les déformations : ε rr = u r La direction θ est direction principale., ε θθ = u r γ rz = u z + w r (déplacement radial) (déplacement orthoradial) (déplacement axial), ε zz = w z, γ rθ = 0, γ zθ = 0 (5.9) (5.10) La loi de comportement se réduit à : σ rr λ + µ λ λ 0 σ θθ = λ λ + µ λ 0 σ zz λ λ λ + µ 0 0 0 0 µ σ rz ε rr ε θθ ε zz γ rz E α T 1 ν 1 1 1 0 (5.11) d où la forme du tenseur des contraintes : σ rr 0 σ rz [σ(m)] = 0 σ θθ 0 (5.1) σ rz 0 σ zz Les équations d équilibre (1.5) s écrivent : σ rr r σ rz r + σ rz z + σ zz z + σ rr σ θθ r + σ rz r + f r = ρ u t + f z = ρ w t (5.13) 5.4 Flexion des plaques 5.4.1 Définitions Une plaque est un corps solide limité par deux faces planes parallèles et par une surface cylindrique perpendiculaire à celles-ci (figure 40).

Élasticité 35 Figure 40 Plaque L épaisseur h de la plaque est la distance entre les deux faces. Le plan équidistant des deux faces est le plan médiant ou surface moyenne. Soit {O; x, y, z} un repère orthonormé tel que le plan {O; x, y} soit le plan moyen. Le plan situé à z = h/ est la peau supérieure de la plaque. Le plan situé à z = h/ est la peau inférieure de la plaque. Une fibre normale est l ensemble des points du solide situés sur une normale au plan médiant. Elle est caractérisée par la donnée de ses coordonnées (x, y). Une plaque est dite mince si son épaisseur est petite par rapport aux autres dimensions. On adoptera les hypothèses suivantes : La plaque est sollicitée par des forces de composantes (0, 0, f z ) et des couples de composantes (m x, m y, 0). La contrainte normale σ zz est négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes. Les phénomènes de membrane et de flexion sont découplés. Compte-tenu des conditions de chargement, les phénomènes de membrane sont nuls. σ zx (x, y, ±h/) = σ zy (x, y, ±h/) = 0. 5.4. Champ de déplacements : modèle de Reissner/Mindlin Au cours de la mise en charge, une fibre normale reste droite mais ne reste pas nécessairement perpendiculaire au plan moyen. Le champ déplacements du point de coordonnées (x, y, z) à l instant t est (figure 41) : u(x, y, z; t) = z θ y (x, y; t) = z β x (x, y; t) v(x, y, z; t) = z θ x (x, y; t) = z β y (x, y; t) w(x, y, z; t) = w(x, y; t) (5.14) où : w est le déplacement transverse. θ x = β y est la rotation de la fibre normale suivant x.

36 Élasticité θ y = β x est la rotation de la fibre normale suivant y. Figure 41 Flexion des plaques : champ de déplacements 5.4.3 Déformations et contraintes Le champ de déplacements dans le solide est donc défini par la connaissance de w, β x et β y en tout point (x, y) du plan moyen. De l expression du champ de déplacements, on déduit les déformations : ε xx = z β x, ε yy = z β y, ε zz = 0 γ xy = z La loi de comportement s écrit : x ( βx y + β y x ) y, γ xz = β x + w x, γ yz = β y + w y (5.15) où : pour la flexion et où : {σ f } = {σ c } = σ xx σ yy σ xy { σxz σ yz {σ f } = [D m ] {ε f } = z [D m ] {χ} (5.16a), {ε f } = } pour le cisaillement transverse. {χ} est le vecteur des courbures. ε xx ε yy γ xy [D m ] = E 1 ν, {ε c } = β x x β y = z {χ}, {χ} = y β x y + β y x 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 ν (5.16b) (5.16c) {σ c } = G k c [ I ] {ε c } (5.16d) { γxz γ yz }, [ I ] = [ ] 1 0 0 1, G = E (1 + ν) (5.16e) k c est le coefficient de cisaillement transverse. Ce coefficient est calculé par identification statique ou dynamique entre une grandeur évaluée avec le modèle de Reissner-Mindlin et cette même grandeur évaluée avec un modèle plus riche du point de vue de la théorie de l élasticité. On adopte souvent k c = 5 6 (5.17)