C10 - L espace Cours Secone 10.1 erspective cavalière 10.1.1 rincipe Dans ce capitre, nous allons travailler sur es objets en trois imensions qui seront représentés, la plupart u temps, sur es feuilles e papier qui, elles, n ont que eux imensions et sur lesquelles il faura onner l illusion e la profoneur. C est le but e la perspective. La représentation que nous utiliserons s appelle la perspective cavalière. Le principe e la perspective cavalière est le suivant : Vous faites face à un écran. Le soleil éclaire la scène (il est ans votre os). Un cube est placé evant l écran et il projette son ombre sur cet écran. Il est placé e telle façon que eux e ses faces sont parallèles à l écran et eux autres orizontales. Si les rayons u soleil ne sont pas perpeniculaires à l écran, l ombre u cube sur l écran est une représentation en perspective cavalière u cube. REMARQUES Il arrivera parfois que le cube soit représenté sans faces parallèles à l écran. Si les rayons sont perpeniculaires à l écran, on parle e perspective ortogonale. Dans toute la suite, on exclura ce cas. On parle une représentation en perspective cavalière, car la forme e l ombre épen e la irection es rayons u soleil. On appelle fuyante une roite perpeniculaire à l écran. Les ombres e toutes les fuyantes sont parallèles et leur irection commune épen e celle es rayons u soleil. 10.1.2 Construction et propriétés Construction L angle α es fuyantes (roites perpeniculaires au plan e projection) vaut abituellement 30, 45 ou 60. Toutes les imensions qui sont ans es plans parallèles au plan e projection sont représentées en vraie graneur. Les imensions qui sont portées par les fuyantes sont multipliées par un coefficient e réuction, en général compris entre 0,5 et 0,8. α N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin
C10 - L espace Cours Secone ropriétés Des roites parallèles sont représentées sur le essin par es roites Des roites sécantes sont représentées sur le essin par es roites sécantes. Les rapports e longueur sur une roite sont conservés sur le essin. Ainsi, par exemple, le milieu un segment est représenté sur le essin par le milieu u segment obtenu. REMARQUES Attention, les réciproques ne sont pas vraies. Ainsi : Deux roites qui semblent parallèles sur le essin ne le sont pas toujours ans la réalité. Deux roites qui semblent sécantes sur le essin ne le sont pas toujours ans la réalité. Un point qui semble être au milieu un segment ans la représentation en perspective cavalière n est pas toujours le milieu u segment ans la réalité : il peut ne pas être sur le segment ans la réalité. 10.2 Solies usuels et volumes 10.2.1 Famille es prismes roits risme roit avé Cylinre Toutes les faces sont es rectangles risme roit ont les s sont eut être consiéré comme un sauf (éventuellement) les eux s. es rectangles. prisme roit ont les s sont es isques. RORIÉTÉ 1 Le volume e ces solies est onné par la formule suivante : Volume=Aire e la auteur 10.2.2 Famille es pyramies yramie Tétraère Cône e révolution Constituée une e forme yramie ont la est un triangle. eut être consiéré comme une quelconque et un sommet. Des pyramie ont la est un arêtes joignent ce sommet à cacun es sommets e la. isque. RORIÉTÉ 2 Le volume e ces solies est onné par la formule suivante : Volume= 1 Aire e la auteur 3 On peut ainsi mettre trois fois le volume un cône e révolution ans un cylinre e révolution ayant même et même auteur, ou trois fois le volume un tétraère ans un prisme roit ayant même et même auteur. N. SANS page 2 Lycée Jean Giono Turin
C10 - L espace Cours Secone 10.2.3 Spère RORIÉTÉ 3 Le volume une spère e rayon r est onné par la formule : Volume= 4 3 πr 3 L aire e la surface une spère e rayon r est onnée par la formule : Aire=4πr 2 O r 10.3 ositions relatives e roites et e plans 10.3.1 Règles incience RÈGLE 1 ar eux points istincts e l espace A et B, il passe une unique roite, notée (AB). RÈGLE 2 ar trois points non alignés e l espace A, B et C, il passe un unique plan, noté (ABC). RÈGLE 3 Si eux points istincts A et B e l espace appartiennent à un plan, alors la roite (AB) est contenue ans le plan, c est-à-ire que tout point M appartenant à la roite (AB) appartient aussi au plan. RÈGLE 4 Dans caque plan e l espace, on peut appliquer tous les téorèmes e géométrie plane (YTHAGORE, THALÈS, etc.). 10.3.2 ositions relatives e eux roites RÈGLE 5 Deux roites e l espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. et sécantes A Coplanaires (ans un même plan) et parallèles Non coplanaires et ont un point et sont strictement ues et Aucun plan ne sont confon- contient à la fois intersection A. et. = {A} = = = = REMARQUES Contrairement au plan, eux roites e l espace n ayant pas e point en commun ne sont pas forcément Des roites strictement parallèles sont es roites coplanaires et qui n ont aucun point en commun. On peut éfinir un plan e plusieurs manières : par la onnée e trois points ; par la onné e eux roites sécantes ; par la onnée e eux roites strictement parallèles ; par la onnée une roite et un point n appartenant par à cette roite. N. SANS page 3 Lycée Jean Giono Turin
C10 - L espace Cours Secone 10.3.3 ositions relatives une roite et un plan RÈGLE 6 Une roite et un plan e l espace sont soit sécants, soit Sécants arallèles B et ont un point intersection B. rallèles. et sont strictement pa- est contenue ans = {B} = = REMARQUE Une roite et un plan sont parallèles s ils ne sont pas sécants. On note alors ou. 10.3.4 ositions relatives e eux plans RÈGLE 7 Deux plans e l espace sont soit sécants, soit Sécants arallèles et ont une roite intersection. et sont strictement et sont confonus = = = = REMARQUE Deux plans et sont parallèles lorsqu ils ne sont pas sécants. On note. REMARQUES our émontrer que trois points sont alignés, il suffit e montrer que les trois points appartiennent à eux plans sécants : comme l intersection e eux plans sécants est une roite, cela implique que les points sont tous les trois sur cette roite. our trouver la roite intersection e eux plans, il suffit e trouver eux points istincts qui appartiennent aux eux plans : la roite intersection est alors celle qui passe par ces eux points. Ces points sont en général es points intersection e roites sécantes, l une contenue ans l un es plans, l autre ans l autre plan. 10.4 arallélisme ans l espace 10.4.1 arallélisme entre roites RORIÉTÉ 4 Deux roites parallèles à une même roite sont parallèles entre elles. Si et alors RORIÉTÉ 5 Si eux roites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une, coupe l autre. N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin
C10 - L espace Cours Secone 10.4.2 arallélisme entre plans RORIÉTÉ 6 Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. Si et alors RORIÉTÉ 7 Si eux roites sécantes et un plan sont parallèles à eux roites sécanteset un plan Q, alors et Q sont Q RORIÉTÉ 8 Si eux plans et sont parallèles, alors tout plan sécant à est aussi sécant à et leurs roites intersection et sont Q 10.4.3 arallélisme entre roite et plan RORIÉTÉ 9 Si eux plans et sont parallèles et si une roite est parallèle à, alors est parallèle à. Si et alors RORIÉTÉ 10 Si eux roites etsont parallèles, et si est contenue ans un plan, alorsest parallèle à. N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin
C10 - L espace Cours Secone RORIÉTÉ 11 Si eux plans et sont sécants selon une roiteet si est une roite parallèle à et alors etsont THÉORÈME 12 (Téorème u toit) Si : et sont parallèles ; est un plan qui contient et est un plan qui contient ; et sont sécants selon une roite alorsest parallèle à et à. N. SANS page 6 Lycée Jean Giono Turin