BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba, M. Fructus, B. Harigto, J.-P. Keller, M.-F. Lallemad, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moiier, P.-L. Morie, S. Pelleri, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbro et A. Wari 4, CC BY-NC-SA 3. FR Derière mise à jour : le 6/8/4

Itroductio L épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la maière suivate : 5 miutes de préparatio sur table. 5 miutes de passage à l oral. Chaque sujet proposé est costitué de deux exercices : u exercice sur 8 poits issu de la baque publique accessible sur le site http://ccp.scei-cocours.fr u exercice sur poits. Les deux exercices proposés portet sur des domaies différets. Ce documet cotiet les 3 exercices de la baque pour la sessio 5 : 58 exercices d aalyse ( exercice à exercice 58). 37 exercices d algèbre (exercice 59 à exercice 95). 8 exercices de probabilités (exercice 96 à exercice 3). Das l optique d aider les futurs cadidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la baque est proposé, das ce documet, avec u corrigé. Il se peut que des mises à jour aiet lieu e cours d aée scolaire. Cela dit, il e s agira, si tel est le cas, que de mises à jour mieures : reformulatio de certaies questios pour plus de clarté, relevé d évetuelles erreurs, suppressio évetuelle de questios ou d exercices. Nous vous coseillos doc de vérifier, e cours d aée, e vous coectat sur le site : http://ccp.scei-cocours.fr si ue ouvelle versio a été mise e lige, la date de la derière mise à jour figurat e haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices cocerés serot sigalés das le préset documet. Remerciemets à David DELAUNAY pour l autorisatio de libre utilisatio du fichier source de ses corrigés des exercices de l aciee baque, diffusés sur so site http://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présete baque itègre des élémets issus des publicatios suivates : A. Atibi, L. d Estampes et iterrogateurs, Baque d exercices de mathématiques pour le programme 3-4 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 7 (3) exercices. http://pedagotech.ip-toulouse.fr/37 D. Delauay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 4. http://mp.cpgedupuydelome.fr L équipe des examiateurs de l oral de mathématiques des CCP, filière MP. Cotact : Valérie BELLECAVE, coordoatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3. FR Page

BANQUE ANALYSE EXERCICE aalyse Éocé exercice. O cosidère deux suites umériques (u ) N et (v ) N telles que u v. + Démotrer que u et v sot de même sige à partir d u certai rag.. Détermier le sige, au voisiage de l ifii, de : u = sh Corrigé exercice ( ) ta. Puisque u v, o peut écrire, au voisiage de +, u = v + o(v ). + o(v ) = ε v avec lim ε =. + ( lim ε = doc il existe etier N tel que : N, N ε +. Et doc N, o(v ) = ε v v O e déduit que N, v + v u v + v. (*) Soit N tel que N. Premier cas : Si v Alors d après (*), u v et doc u. Deuxième cas cas : Si v Alors d après (*), u v et doc u. O e déduit qu à partir du rag N, u et v sot de même sige. Autre méthode : u v + (ε ) / u v = ε v avec lim = + (ε ) / u = ( + ε )v avec lim = + ). c est à dire N, v o(v ) v. lim ε = doc il existe u etier tel que : N, = ε +. Doc, N, = ε. O e déduit que N, = + ε >. (**) D après (*) et (**), pour, u et v sot de même sige.. Au voisiage de +, sh( ) = + ( ) 6 3 + o 3 et ta = + O e déduit, d après., qu à partir d u certai rag, u est égatif. ( ) ( 3 3 + o 3 ). Doc u + 6 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. Décomposer f(x) e élémets simples et e déduire la primitive G de f défiie sur l itervalle ] ; 3[ telle que G() =.. Détermier le développemet e série etière e de la foctio f et précisez le rayo de covergece. 3. Déduire de ce développemet la valeur de G (3) (). Corrigé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. E utilisat les méthodes habituelles de décompositio e élémets simples, o trouve : f(x) = 6 x + + 4 (x + ) + 6 3 x. Les primitives de f sur ] ; +3[ sot doc les foctios F défiies par : F (x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 + C avec C R. (x + ) De plus, F () = C = 8. Doc, x ] ; 3[, G(x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 (x + ) + 8.. D après le cours, x et x sot développables e série etière à l origie. x + (x + ) Le rayo de covergece de ces deux développemets e série etière vaut. () O a x ], [, + x = ( ) x. = Et, x ], [, ( + x) = ( ) + x ( obteu par dérivatio du développemet précédet). = Efi, 3 x = ( 3 x ). 3 Doc x est développable e série etière à l origie. 3 x Le rayo de so développemet e série etière vaut 3. () Et, o a x ] 3; 3[, 3 x = x 3 3 = O e déduit que f est développable e série etière. O ote R le rayo de covergece de ce développemet e série etière. D après () et (), R. Or lim x Doc R =. f(x) = + doc R. Et x ] ; [, f(x) = 6 =( ) x + 4 =( ) ( + )x + 6 3 ( ( ) C est-à-dire x ] ; [, f(x) = + ( ) ( + ) + 6 4 6 3 + = = x 3. ) x. 3. D après le cours, les coefficiets d u développemet e série etière sot ceux de la série de Taylor associée. Doc, si o pose N, a = ( ) + ( ) ( + ) + 6 4 6 3 +, alors, N, a = f ().! ( Aisi, G (3) () = f () () =!a = 6 + 3 ) 4 + = 44 6 7 7. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. O pose g(x) = e x et h(x) = + x. Calculer, pour tout etier aturel k, la dérivée d ordre k des foctios g et h sur leurs esembles de défiitios respectifs.. O pose f(x) = ex + x. E utilisat la formule de Leibiz, cocerat la dérivée ème d u produit de foctios, détermier, pour tout etier aturel et pour x R\ { }, la valeur de f (x). 3. Démotrer, das le cas gééral, la formule de Leibiz, utilisée das la questio précédete. Corrigé exercice 3. g est de classe C sur R et h est de classe C sur R\ { }. O prouve, par récurrece, que : x R, g (k) (x) = k e x et x R\ { }, h (k) (x) = ( )k k! ( + x) k+.. g et h sot de classe C sur R\ { } doc, d après la formule de Leibiz, f est de classe C sur R\ { } et x R\ { } : f () (x) = k= ( k ) g ( k) (x)h (k) (x) = k= ( ) k k e x ( )k k! ( + x) k+ =!ex k= ( ) k k ( k)!( + x) k+. 3. Notos (P ) la propriété : Si f : I R et g : I R sot fois dérivables sur I alors, fg est fois dérivable sur I et : ( ) x I, (fg) () (x) = f ( k) g (k) (x). k k= Prouvos que (P ) est vraie par récurrece sur. La propriété est vraie pour = et pour = (dérivée d u produit). Supposos la propriété vraie au rag. Soit f : I R et g : I R deux foctios + fois dérivables sur I. Les foctios f et g sot, e particulier, fois dérivables sur I et doc par hypothèse de récurrece la foctio fg l est aussi avec x I, (fg) () (x) = k= ( k ) f ( k) g (k) (x). Pour tout k {,..., }, les foctios f ( k) et g (k) sot dérivables sur I doc par opératio sur les foctios dérivables, la foctio (fg) () est ecore dérivable sur I. Aisi la foctio fg est ( + ) fois dérivable et : x I,(fg) (+) (x) = k= ( k ) ( f (+ k) (x)g (k) (x) + f ( k) (x)g (k+) (x)). E décomposat la somme e deux et e procédat à u décalage d idice sur la deuxième somme, o ( ) + ( ) obtiet : x I, (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+ k) (x)g (k) (x). k k k= C est à dire (( ) ( )) ( ) (fg) (+) (x) = + f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+) (x)g () (x) + k k k= ( ) ( ) ( ) + Or, e utilisat le triagle de Pascal, o a + =. ( ) ( k ) k ( ) ( k ) + + O remarque égalemet que = = et = =. + + ( ) + O e déduit que (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x). k Doc (P + ) est vraie. k= k= ( ) f () (x)f (+) (x). CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Éocer le théorème des accroissemets fiis.. Soit f : [a; b] R et soit x ]a, b[. O suppose que f est cotiue sur [a; b] et que f est dérivable sur ]a; x [ et sur ]x ; b[ Démotrer que, si f admet ue limite e x, alors f est dérivable e x et f (x ) = lim x x f (x). 3. Prouver que l implicatio : ( f est dérivable e x ) = (f admet ue limite fiie e x ) est fausse. Idicatio : o pourra cosidérer la foctio g défiie par : g(x) = x si x Corrigé exercice 4. Théorème des accroissemets fiis : Soit f : [a, b] R. O suppose que f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = f (c)(b a). si x et g() =.. O pose l = lim f (x). x x Soit h tel que x + h [a, b]. E appliquat le théorème des accroissemets fiis, à la foctio f, etre x et x + h, o peut affirmer qu il existe c h strictemet compris etre x et x + h tel que f(x + h) f(x ) = f (c h )h. Quad h (avec h ), o a, par ecadremet, c h x. Doc lim h (f(x + h) f(x )) = lim f (c h ) = lim f (x) = l. h x x O e déduit que f est dérivable e x et f (x ) = l. h 3. La foctio g proposée das l idicatio est évidemmet dérivable ) sur ], [ et ], + [.. g est égalemet dérivable e car ( h (g(h) g()) = h si ( ) ( ) h Or lim h si = car h si h. h h h h Doc, g est dérivable e et g () =. Cepedat, x R\ {}, g (x) = x si ( ) x si x x Doc g a pas de limite e. ( ) cos x ( ). x (car x si( ) x ). mais x cos x ( ) admet pas de limite e. x CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. O cosidère la série de terme gééral u = (a) Cas α (l ) α où et α R. E utilisat ue mioratio très simple de u, démotrer que la série diverge. (b) Cas α > Étudier la ature de la série. Idicatio : O pourra utiliser la foctio f défiie par f(x) =. Détermier la ature de la série 3 Corrigé exercice 5. (a) Cas α 3, l doc (l ) α. O e déduit que : 3, u. ( ( e + ) ) e (l( + )). x(l x) α. Or diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, o e déduit que u diverge. (b) Cas α > La foctio f : x est décroissate et positive sur [; + [ doc : x(l x) α + f() et f(x) dx sot de même ature. Puisque X l(x) f(x) dx = t=l x l dt, o peut affirmer que : tα O e déduit que : f() coverge α >.. O pose, pour tout etier aturel, u = Au voisiage ( de +, + + ( ( e + ) ) e (l( + )). ) = e e l(+ ) = e e ( +o( )) = e e +o( ) e = e ( O e déduit qu au vosiage de +, e + ) De plus, au voisiage de +, l ( + ) = l + l Doc l ( + ) + l. Et comme e, o e déduit que u + Or, d après.(b), l diverge. + e e. ( + + 4 l. f(x) dx coverge α >. + o ) = l + ( + o Doc, par critère d équivalece pour les séries à termes positifs, u diverge. ( ). ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs et l u réel positif strictemet iférieur à. u +. Démotrer que si lim = l, alors la série u coverge. + u u + Idicatio : écrire, judicieusemet, la défiitio de lim = l, puis majorer, pour assez grad, u + u par le terme gééral d ue suite géométrique.. Quelle est la ature de la série!? Corrigé exercice 6. Par hypothèse : ε >, N N/ N, u + u l ε. () Preos ε = l. Fixos u etier N vérifiat (). Alors N, N = u + u Et doc, N, u + u O pose q = + l + l.. O a q ], [. l l. O a alors N, u + qu. O e déduit, par récurrece, que N, u q N u N. Or q N u N = u N q N q et q coverge car q ], [. N N N Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge.. O pose : N, u =!. N, u > et N, u + u = Or l( + ) doc lim + + Doc u coverge. ( + ) = l(+ e ). u + = e <. u CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7. Soiet (u ) N et (v ) N deux suites de ombres réels positifs. Motrer que : u v = u et v sot de même ature. + ( ). Étudier la covergece de la série (i ) si ( ). + 3 l (i est ici le ombre complexe de carré égal à ) Corrigé exercice 7. Puisque u v, o peut écrire, au voisiage de +, u = v + o(v ). + o(v ) = ε v avec lim ε =. + Doc, il existe u etier N tel que N, ε /. Et doc, N, o(v ) = ε v v, c est-à-dire, N, v o(v ) v. O e déduit que N, v u 3 v. (*) Premier cas : Si v coverge D après (*), N, u 3 v. Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge. Deuxième cas : Si v diverge D après (*), N, v u. Doc, par critère de mioratio des séries à termes positifs, u diverge. Par symétrie de la relatio d équivalece, o obtiet le résultat. ( ) (i ) si. O pose, u = ( ). + 3 l si( u = ) ( ). + 3 l De plus u + 3 l = v O a 5 4 v = 4 l, doc lim 5 4 v =. O e déduit que v coverge. + D après., u coverge. Doc u coverge absolumet. De plus, la suite (u ) est à valeurs das C, doc u coverge. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 Soit (u ) N ue suite décroissate positive de limite ulle.. (a) Démotrer que la série ( ) k u k est covergete. Idicatio : o pourra cosidérer (S ) N et (S + ) N avec S = (b) Doer ue majoratio de la valeur absolue du reste de la série ( ) k u k. ( ) k u k.. (a) Étudier la covergece simple sur R de la série de foctios ( ) e x. (b) Étudier la covergece uiforme sur [, + [ de la série de foctios ( ) e x. Corrigé exercice 8. (a) S + S = u + u +, doc (S ) est décroissate. De même S +3 S +, doc (S + ) est croissate. De plus S S + = u + et lim u + =, doc lim (S S + ) =. + + O e déduit que les suites (S ) N et (S + ) N sot adjacetes. Doc elles coverget et ce vers ue même limite. Comme (S ) N et (S + ) N recouvret l esemble des termes de la suite (u ), o e déduit que la suite (S ) N coverge aussi vers cette limite. Ce qui sigifie que la série ( ) k u k coverge. (b) Le reste R = k=+ ( ) k u k vérifie N, R u +.. O pose x R, N, a (x) = ( ) e x. O a alors N, a (x) = ( ) u (x) avec u (x) = e x. (a) Soit x R. Si x <, alors lim a (x) = +, doc a (x) diverge grossièremet. + Si x, alors (u (x)) est positive, décroissate et lim u (x) =. + Doc d après.(a), a (x) coverge. Doc a coverge simplemet sur [, + [. (b) Comme a coverge simplemet sur [, + [, o peut poser x [, + [, R (x) = Alors, comme, x [, + [, (u (x)) est positive, décroissate et d après.(b), que : x [, + [, R (x) e (+)x +. k= k=+ a k (x). lim u (x) =, o e déduit, + Et doc x [, + [, R (x). (majoratio idépedate de x) + Et comme lim + + =, alors (R ) coverge uiformémet vers sur [, + [. C est à dire a coverge uiformémet sur [, + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Soit X u esemble, (g ) N ue suite de foctios de X das C et g ue foctio de X das C. Doer la défiitio de la covergece uiforme sur X de la suite de foctios (g ) vers la foctio g.. O pose f (x) = + + e x. (a) Étudier la covergece simple de la suite de foctios (f ) N. (b) La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [, + [? (c) Soit a >. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [a; + [? (d) La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur ], + [? Corrigé exercice 9. Soit g : X C et g : X C. Dire que (g ) coverge uiformémet vers g sur X sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. Ou ecore, (g ) coverge uiformémet vers g sur X. (a) O pose x R, f (x) = +. + e x Soit x R. Si x =, alors f () = + +, doc lim f () =. + Si x, alors lim f () = car f (x) e x. + + lim + ( sup g (x) g(x) x X O e déduit { que (f ) coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : si x f(x) = si x = ) =. (b) N, f est cotiue sur R et f o cotiue e doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur R. (c) Soit a >. O a : x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) + (majoratio idépedate de x)? + e a + Par ailleurs lim = (car + e + + e a + e a a ). + Doc (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, + [. (d) O remarque que N, f est borée sur ], + [ car x ], + [, f (x) + +. D autre part, f est borée sur [, + [, doc, N, f (x) f(x) existe. sup x ],+ [ O a f ( ) f( ( + )e ) = doc + Or sup f (x) f(x) f ( ) f( ) doc ; x ],+ [ Doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur ], + [. lim f ( ) f( ) = e. + sup f (x) f(x). x ],+ [ + CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f (x) = ( x + ) e x + xe x. + x. Démotrer que la suite de foctios (f ) N coverge uiformémet sur [, ].. Calculer lim + Corrigé exercice ( x + ) e x + xe x dx. + x. Pour x [, ], lim + f (x) = (x + )e x. La suite de foctios (f ) coverge simplemet vers f : x (x + )e x sur [, ]. O a x [, ], f (x) f(x) = (x + ) x(e x e x ), et doc : x [, ], f (x) f(x) e + x. Ce majorat idépedat de x ted vers quad +, doc la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers f sur [, ].. Par covergece uiforme sur le segmet [, ] de cette suite de foctios cotiues sur [, ], o peut itervertir limite et itégrale. O a doc lim (x + ) ex + xe x dx = (x + )e x dx. + + x Puis, e effectuat deux itégratios par parties, o trouve (x + )e x dx = e 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit X ue partie de R, (f ) N ue suite de foctios de X das R covergeat simplemet vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue suite (x ) N d élémets de X telle que la suite (f (x ) f (x )) N e tede pas vers. Démotrer que la suite de foctios (f ) N e coverge pas uiformémet vers f sur X. si (x). Pour tout x R, o pose f (x) = + x. (a) Étudier la covergece simple de la suite (f ) N. (b) Étudier la covergece uiforme de la suite (f ) N sur [a, + [ (avec a > ), puis sur ], + [. Corrigé exercice. Par cotraposée : si (f ) coverge uiformémet vers f alors : il existe u etier N tel que N, f f = sup f (x) f(x) existe et lim f f x X + =. Or, N, x X doc N, N = f (x ) f(x ) f f. Or lim f f + =. Doc lim f (x ) f(x ) =. + C est-à-dire la suite (f (x ) f(x )) coverge vers.. (a) Soit x R. Si x =, alors f () =. Si x, alors lim f (x) = car f (x) + x. Doc la suite (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R. (b) Soit a >. x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) Cette majoratio est idépedate de x et + a. lim + + a =. O e déduit que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [a, + [. O pose, N, x = π. O a N, x ], + [ et f (x ) f(x ) = qui e ted pas vers quad +. + π 4 O e déduit, d après., que la suite de foctios (f ) e coverge pas uiformémet sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit (f ) ue suite de foctios de [a, b] das R. O suppose que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers ue foctio f, et que, N, f est cotiue e x, avec x [a, b]. Démotrer que f est cotiue e x.. O pose : N, x [; ], g (x) = x. La suite de foctios (g ) N coverge-t-elle uiformémet sur [; ]? Corrigé exercice. Soit x [a, b]. Prouvos que f est cotiue e x. Soit ε >. Par covergece uiforme, il existe u etier N tel que N, N = ( x [a, b], f(x) f (x) ε). E particulier pour = N, o a x [a, b], f(x) f N (x) ε. (*) Or la foctio f N est cotiue e x doc α > tel que : x [a, b], x x α f N (x) f N (x ) ε. (**) D après l iégalité triagulaire, x [a, b], f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ). Alors d après (*) et (**), x [a, b], x x α f(x) f(x ) 3ε. O e déduit que f est cotiue e x.. La suite (g ) N coverge simplemet sur [, ] vers la foctio g : x N, g est cotiue e alors que g est discotiue e. { si x [, [ si x = D après la questio précédete, o e déduit que (g ) N e coverge pas uiformémet vers g sur [, ]. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Soit (g ) ue suite de foctios de X das C, X désigat u esemble o vide quelcoque. O suppose que, pout tout N, g est borée et que la suite (g ) coverge uiformémet sur X vers g. Démotrer que la foctio g est borée.. O cosidère la suite (f ) N de foctios défiies sur R par : { x si x f (x) = si x > x Prouver que (f ) N coverge simplemet sur R. La covergece est-elle uiforme sur R? Corrigé exercice 3. N, g est borée sur X, c est-à-dire : N, M R + / x X, g (x) M. (*) Notos que ce majorat M déped de. (g ) coverge uiformémet vers g sur X. Ce qui sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. () Preos ε = et fixos u etier N vérifiat () pour ce choix de ε. Alors, N, N = x X, g (x) g(x). E particulier, x X, g N (x) g(x). (**) Or, d après l iégalité triagulaire, x X, g(x) g(x) g N (x) + g N (x). Doc, d après (*) et (**), x X, g(x) + M N. Ce qui sigifie que g est borée sur X.. N, f () =, doc lim f () =. + Soit x R. lim + = doc, N N tel que, N, N = < x. Fixos u tel etier N. Alors N, N = f (x) = x. Doc lim + f (x) = x. O e déduit que (f ) N coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : { si x f(x) = x si x =. De plus, N, f est borée car x R, f (x). Or f est pas borée sur R doc, d après la questio précédete, (f ) N e coverge pas uiformémet sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Soit a et b deux réels doés avec a < b. Soit (f ) N ue suite de foctios cotiues sur [a, b], à valeurs réelles. ( b ) Démotrer que si la suite (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] vers f, alors la suite f (x) dx coverge vers b a f (x) dx.. Justifier commet ce résultat peut être utilisé das le cas des séries de foctios. ( + ) 3. Démotrer que x dx =. Corrigé exercice 4 = =. Comme la suite (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] vers f, et que, N, f est cotiue sur [a, b], alors f est cotiue sur [a, b]. Aisi, N, f f est cotiue sur le segmet [a, b]. O pose alors, N, f f = sup f (x) f(x). x [a,b] b b b b O a f (x) dx f(x) dx = (f (x) f(x)) dx f (x) f(x) dx (b a) f f. (*) a a Or (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, b], doc Doc d après (*), b lim + a a f (x) dx = b a f(x) dx. a lim f f + =.. O suppose que N, f est cotiue sur [a, b] et f coverge uiformémet sur [a, b]. O pose S = f k. k= f coverge uiformémet sur [a, b], doc coverge simplemet sur [a, b]. O pose alors, égalemet, x [a, b], S(x) = f k (x). k= f coverge uiformémet sur [a, b] sigifie que (S ) coverge uiformémet sur [a, b] vers S. De plus, N, S est cotiue sur [a, b], car S est ue somme fiie de foctios cotiues. O e déduit que S est cotiue sur [a, b]. Et d après., Or b Doc a lim S (x)dx = lim Ou ecore b + a b + k= lim a k= b a + k= S (x) dx = f k (x)dx = f k (x) dx = b a b a f k (x) dx = b a k= S(x) dx. b a S(x) dx. b a k= Ce qui sigifie que b f k (x) dx coverge et a f k (x)dx car il s git d ue somme fiie. f k (x) dx. b k= a f k (x) dx = b a k= f k (x) dx. Bila : La covergece uiforme de la série de foctios f où les f sot cotiues sur [a, b] permet d itégrer terme à terme, c est-à-dire : b a = f (x) dx = b = a f (x) dx. a N CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

3. La série etière x est de rayo de covergece R = doc cette série de foctios coverge [ ormalemet et doc uiformémet sur le compact, ] ], [. [ De plus, N, x x est cotiue sur ; ]. ( + ) O e déduit alors, e utilisat., que : x + dx = x dx = + + =. = = = = CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5 Soit X ue partie de R ou C.. Soit f ue série de foctios défiies sur X à valeurs das R ou C. Rappeler la défiitio de la covergece ormale de f sur X, puis de la covergece uiforme de f sur X.. Démotrer que toute série de foctios, à valeurs das R ou C, ormalemet covergete sur X est uiformémet covergete sur X. 3. La série de foctios! z est-elle uiformémet covergete sur le disque fermé de cetre et de rayo R R +? Corrigé exercice 5. O suppose que N, f est borée sur X. O pose alors N, f = sup f (t). t X f coverge ormalemet sur X f coverge. O pose N, S = f k. k= f coverge uiformémet sur X la suite de foctios (S ) coverge uiformémet sur X.. O suppose que f coverge ormalemet sur X. Les foctios f sot doc borées sur X et la série umérique f coverge. Or, x X, f (x) f. Doc, par comparaiso des séries à termes positifs, la série f (x) est absolumet covergete et doc covergete, puisque les foctios f sot à valeurs das R ou C. Aisi la série de foctios f coverge simplemet sur X. O peut doc poser x X, N, R (x) = Alors, x X, R (x) = k=+ f k (x) Or f coverge ormalemet sur X doc + k=+ k=+ lim f k (x). f k (x) + k=+ k=+ f k =. f k. (majoratio idépedate de x) O e déduit alors que la suite de foctios (R ) coverge uiformémet vers sur X. Comme R = S S, la suite (S ) coverge uiformémet vers S sur X. C est-à-dire f coverge uiformémet sur X. 3. O pose, N, a =!. N, a + = + a. Doc lim + a + a =. O e déduit que série etière! z a u rayo de covergece égal à +. Cette série etière coverge doc ormalemet sur tout compact de C. E particulier, cette série etière coverge ormalemet et doc uiformémet, d après., sur tout disque de cetre O et de rayo R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 O cosidère la série de foctios de terme gééral u défiie par : ( N, x [, ], u (x) = l + x ) x. O pose, lorsque la série coverge, S(x) = =. Démotrer que S est dérivable sur [, ].. Calculez S (). Corrigé exercice 6. Soit x [, ]. Si x =, u () = et doc u () coverge. [ ( l + x ) x ]. ( ) + o x, alors u (x) +. coverge doc, par critère de comparaiso des séries à termes positifs, u (x) coverge Si x, comme au voisiage de +, u (x) = x Or absolumet, doc coverge. O e déduit que la série des foctios u coverge simplemet sur [, ]. La foctio S est doc défiie sur [, ]. N, u est de classe C sur [, ] et x [, ], u (x) = x + = x (x + ). Doc N, x [, ], u (x). O e déduit que u = Or coverge. sup u (x) x [,]. Doc u coverge ormalemet, doc uiformémet sur [, ]. O peut alors affirmer que la foctio S est de classe C. Elle est doc dérivable sur [, ]. (. E vertu de ce qui précède, S () = u () = + ). = = N ( Or + ) = N +. N + = Doc S () =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7 Soit A C et (f ) N ue suite de foctios de A das C.. Démotrer l implicatio : ( la série de foctios ) f coverge uiformémet sur A ( la suite de foctios (f ) N coverge uiformémet vers sur A ). O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Prouver que f coverge simplemet sur [; + [. f coverge-t-elle uiformémet sur [; + [? Justifier. Corrigé exercice 7. O suppose que f coverge uiformémet sur X. O e déduit que f coverge simplemet sur X. O pose alors, x X, S(x) = f k (x) et N, S (x) = f k (x). k= k= f coverge uiformémet sur X, c est-à-dire (S ) coverge uiformémet vers S sur X, c est-à-dire lim S S =, avec S S = sup S (x) S(x). + x X O a N, x X, f (x) = S (x) S (x) S (x) S(x) + S(x) S (x). Doc N, x X, f (x) S S + S S (majoratio idépedate de x). Or lim S S =, doc lim ( S S + S S ) =. + + Doc (f ) coverge uiformémet vers sur X.. O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Soit x [; + [. Si x = : N, f () = doc f () coverge. Si x : Or ( ). lim + f (x) =, doc au voisiage de +, f (x) = o coverge doc, par critère de domiatio, f (x) coverge. O e déduit que f coverge simplemet sur [; + [. N, f est cotiue sur [; + [ et lim f (x) =, doc f est borée sur [; + [. x + Comme f est borée (f = ), o e déduit que N, f est borée. De plus, la suite de foctios (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. E effet, si x = alors f () = et si x, lim f (x) =. + O a N, f ( ) = e. ( ) ( ) Or, N, f = f sup f (t) ; doc sup f (t) e. t [;+ [ t [;+ [ Aisi, sup f (t). t [;+ [ + O e déduit que (f ) e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur [; + [. Doc, d après., f e coverge pas uiformémet sur [; + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 O pose : N, x R, u (x) = ( ) x. O cosidère la série de foctios u.. Étudier la covergece simple de cette série. O ote D l esemble des x où cette série coverge et S(x) la somme de cette série pour x D.. (a) Étudier la covergece ormale, puis la covergece uiforme de cette série sur D. (b) La foctio S est-elle cotiue sur D? Corrigé exercice 8. La série de foctios étudiée est ue série etière de rayo de covergece R =. E x =, il y a covergece par le critère spécial des séries alterées. E x =, la série diverge (série harmoique). O a doc D = ], ].. (a) x D, u (x) = ( ) x. u = sup u (x) = x ],] et diverge. Doc ( ) x e coverge pas ormalemet sur D. ( ) x e coverge pas uiformémet sur D o plus car, sio, o pourrait employer le théorème de la double limite e et cela etraîerait la covergece absurde de la série (b) E tat que somme d ue série etière de rayo de covergece, S est cotiue sur ], [. (*) Pour étudier la cotiuité e, o peut se placer sur [, ]. x [, ], la série umérique u (x) satisfait le critère spécial des séries alterées ce qui permet de majorer so reste. O a, x [, ], k=+ Et, lim + + =. Doc, u coverge uiformémet sur [, ]. u k (x) u +(x) = x+ +. (majoratio idépedate de x) + Les foctios u état cotiues sur [, ], la somme S est alors cotiue sur [, ]. Doc, e particulier, S est cotiue e. (**) Doc, d après (*) et (**), S est cotiue sur D.. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Démotrer que la série z. O pose : z C, f (z) =! = est absolumet covergete pour tout z C. z!. Démotrer que (z, z ) C, f (z) f (z ) = f (z + z ), sas utiliser le fait que f (z) = e z. 3. E déduire que : z C, f (z) et f (z) = f ( z). Corrigé exercice 9. Pour z =, la propriété est immédiate. Pour z, o pose u (z) = z!. O a u + (z) u (z) = z + <. Le critère de d Alembert assure alors l absolue covergece voulue.. Soit (z, z ) C. Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, ( ) z k z k Or k! ( k)! = z k z k = (z + z ).! k! k=( k= + ) ( z + ) z (z + z ) Doc =.!!! = = = C est-à-dire, o a bie f(z)f(z ) = f(z + z ). 3. Soit z C. Puisque f(z)f( z) = f() =, o peut affirmer f(z) et ( + = ) ( z +! = f(z) = f( z). ) (z ) =! = k= z k (z ) k k! ( k)!. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Calculer le rayo de covergece de chacue des séries etières suivates : (a) (!) ()! z+. (b) ( ) z Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r R + /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge. R est le rayo de covergece de la série etière a z. Pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. (a) Notos R le rayo de covergece de (!) ()! z+. O pose, N, z C, u (z) = (!) ()! z+. Pour z =, u () coverge. Pour z, u + (z) u (z) = + 4 + z. Doc lim u + (z) + u (z) D après la règle de d Alembert, Pour z <, la série umérique u (z) coverge absolumet. Pour z >, la série umérique diverge grossièremet. O e déduit que R=. (b) Notos R le rayo de covergece de ( ) z. Posos, N, a = ( ). = z 4. O a, N, z C, a z z et le rayo de covergece de la série etière z vaut. Doc R. (*) De même, N, z C, z a z et le rayo de covergece de la série Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. z vaut. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Soit (a ) N ue suite borée telle que la série a diverge. Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? Justifier. 3. Quel est le rayo de covergece de la série etière ( ) ( ) l ( + ) z? Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r R + /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge. R est le rayo de covergece de la série etière a z. Pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. La série umérique a z diverge pour z =. Doc R. (*) De plus, la suite (a ) état borée doc la suite (a ) est borée. Doc {r R + /(a r ) est borée}. Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. 3. Notos R le rayo de covergece de O pose, N, a = ( ( ) ( ) l N, a l Or b ( + ) = b. ( ) ( ) l ( + ) z. + ). + et diverge doc b diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, a diverge. (***) De plus, N, a = a ( l + ) car x [, + [, l( + x) x. Doc (a ) est borée. (****) D après (***) et (****), o peut appliquer. et o e déduit que R =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE aalyse Éocé exercice. Que peut-o dire du rayo de covergece de la somme de deux séries etières? Le démotrer.. Développer e série etière au voisiage de, e précisat le rayo, la foctio f : x l ( + x) + l ( x). La série obteue coverge-t-elle pour x = 4? x =? x =?. Corrigé exercice. O ote R a et R b les rayos de covergece respectifs de a z et b z. O ote R est le rayo de covergece de la série etière somme de a z et b z, c est- à-dire le rayo de covergece de la série etière (a + b )z. O a toujours R mi(r a, R b ). De plus, si R a R b alors R = mi(r a, R b ). Preuve : O suppose par exemple que R a R b. Soit z C tel que z < mi(r a, R b ) = R a. Comme z < R a, alors a z coverge absolumet. De même, comme z < R b, alors b z coverge absolumet. De plus, N, (a + b )z a z + [b z. (*) Or ( a z + [b z ) coverge car somme de deux séries covergetes. Doc, par critère de majoratio pour les séries à termes positifs et e utilisat (*), o e déduit que (a + b )z coverge, c est-à-dire (a + b )z coverge absolumet. Doc z D (O, R). O e déduit que R mi(r a, R b ). (**) O suppose maiteat que R a R b, c est-à-dire R a < R b. Soit z C tel que R a < z < R b. z < R b, doc b z coverge. z > R a, doc a z diverge. Doc (a + b )z diverge (somme d ue série covergete et d ue série divergete). O e déduit que z R. O a doc prouvé que z C, R a < z < R b z R. Doc R R a. C est-à-dire R mi(r a, R b ). (***) Doc, d après (**) et (***), R = mi(r a, R b ).. Pour x <, l( + x) = = ( ) x. Pour x < +, l( x) = x. = D après., le rayo de covergece de ( ) x vaut. Doc le domaie de validité du développemet e série etière à l origie de f cotiet [ coteu das, ]. ], [ et est CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

Et, pour x < +, f(x) = ( ) x. = Pour x = 4 : la série etière ( ) x coverge car 4 <. Pour x = : la série etière ( ) x diverge car elle est la somme d ue série covergete ( appartiet au disque de covergece de la série etière ( ) x ) et d ue série divergete (série harmoique). Pour x = : la série etière ( ) x coverge comme somme de deux séries covergetes. E effet : D ue part, ( ) x. ( ) ( ) coverge car appartiet au disque de covergece de la série etière D autre part, ( ) = ( ) comverge d après le critère spécial des séries alterées ( la suite ( ) N est bie positive, décroissate et de limite ulle). CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3 Soit (a ) N ue suite complexe telle que la suite ( ) a+ admet ue limite. a N. Démotrer que les séries etières a x et ( + )a + x ot le même rayo de covergece. O le ote R.. Démotrer que la foctio x Corrigé exercice 3 = a x est de classe C sur l itervalle ] R, R[.. Pour x, posos u (x) = a x et v (x) = ( + )a + x. a + O pose l = lim. a u + (x) v + (x) O a, alors, lim = l x et lim = l x. u (x) v (x) O e déduit que le rayo de covergece des deux séries etières a x et a x vaut R = /l (avec R = + das le cas l = et R = das le cas l = + ).. Soit R le rayo de covergece de a z. O pose, N, z ] R, R[, f (z) = a z. Soit r [, R[. O pose D r = [ r, r]. i) f coverge simplemet sur D r. ii) N, f est de classe C sur D r. iii) D après., f est ue série etière de rayo de covergece R. Doc, d après le cours, f coverge ormalemet doc uiformémet sur tout compact iclus das ] R, R[, doc coverge uiformémet sur D r. O e déduit que r [, R[, S : x Doc, S est de classe C sur ] R, R[. = a x est de classe C sur D r. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Détermier le rayo de covergece de la série etière x ()!. O pose S(x) = = x ()!.. Doer le développemet e série etière e de la foctio x ch(x) et précisez le rayo de covergece. 3. (a) Détermier S(x). (b) O cosidère la foctio f défiie sur R par : f() =, f(x) = ch x pour x >, f(x) = cos x pour x <. Démotrer que f est de classe C sur R. Corrigé exercice 4. Pour x, posos u = x ()!. lim u + + u = lim + O e déduit que la série etière. x R, ch(x) = +. = x ( + )( + ) =. x ()! x ()! 3. (a) Pour x, o peut écrire x = t et alors S(x) = coverge pour tout x R et doc R = +. et le rayo de covergece du développemet e série etière de ch est égal à Pour x <, o peut écrire x = t et alors S(x) = x ()! = + = = = x + ()! = = t ()! = ch(t) = ch x. ( ) t ()! = cos(t) = cos x. (b) La foctio f est autre que la foctio S. S est de classe C sur R car développable e série etière à l origie avec u rayo de covergece égal à +. Doc f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. Démotrer que, pour tout etier, la foctio t + t + t est itégrable sur [, + [. e t + dt. O pose u = + t + t. Calculer lim e t u. + Corrigé exercice 5. f : t + t + t est défiie et cotiue par morceaux sur [, + [. e t De plus, t [, + [, f (t) + t = ϕ(t). Or ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Doc, par critère de majoratio pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur [, ] doc f est itégrable sur [, + [. +. i) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie par : + t si t [, [ f(t) = + e si t = si t ], + [ ii) Les foctios f et f sot cotiues par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, f (t) ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. Alors, d après le théorème de covergece domiée, Or + Doc, f(t) dt = lim u = π + 4. dt + t = π 4. lim u = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Pour tout, o pose I = +. Justifier que I est bie défiie. ( + t ) dt.. Étudier la mootoie de la suite (I ) N et détermier sa limite. 3. La série ( ) I est-elle covergete? Corrigé exercice 6 Posos : N, t [, + [, f (t) = ( + t ).. N, f est cotiue sur [, + [. De plus, f (t) + t. Or, alors t est itégrable sur [, + [. t Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur[, ], doc f est itégrable sur [, + [.. t [, + [, ( + t ) + ( + t ) car + t. Doc e itégrat, N, I + I. Doc (I ) N est décroissate. Remarque : (I ) N est décroissate et clairemet positive ce qui ous assure la covergece de la suite (I ) N. Détermios la limite de la suite (I ) N. i) N, f est cotiue par morceaux sur [, + [. ii) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie sur [; + [ par : f() = et x ], + [, f(x) =. De plus, f est cotiue par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, N, u (t) = ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. + t E effet, ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Or ϕ est cotiue sur [, ], doc ϕ est itégrable sur [, + [. + Doc, d après le théorème de covergece domiée, lim I = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt =. 3. D après les questios précédetes, la suite (I ) N est positive, décroissate et coverge vers. Doc, par applicatio du théorème spécial des séries alterées, o peut affirmer la covergece de la série ( ) I. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7 N, o pose f (x) = e x + x et u = f (x) dx.. Étudier la covergece simple de la suite de foctios (f ) N sur [, ].. Soit a ]; [. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [a; ]? 3. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [, ]? 4. Trouver la limite de la suite (u ) N. Corrigé exercice 7. Soit x [, ]. Si x =, f () =. e x Si x ], ], pour au voisiage de +, f (x) + x, doc lim f (x) =. + O e déduit { que la suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, ] vers la foctio f défiie par : si x ], ] f(x) = si x =. Soit a ]; [. N, x [a, ], f (x) f(x) = f (x) Doc sup f (t) f(t) e a t [a,] + a. e a Or lim + + =, doc lim a sup f (t) f(t) = + t [a,] O e déduit que (f ) N coverge uiformémet vers f sur [a, ]. e a + (majoratio idépedate de x). a 3. Les foctios f état cotiues sur [, ] et la limite simple f e l état pas, o peut assurer qu il y a pas covergece uiforme sur [, ]. 4. i) Les foctios f sot cotiues par morceaux sur [, ]. ii) (f ) coverge simplemet vers f sur [, ], cotiue par morceaux sur [, ]. iii) De plus, x [, ], f (x) e x = ϕ(x) avec ϕ : [, ] R + cotiue par morceaux et itégrable sur [, ]. D après le théorème de covergece domiée, o peut doc affirmer que : lim u = + lim + f (x) dx = f(x) dx =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 N.B : les deux questios sot idépedates.. La foctio x e x est-elle itégrable sur ], + [? x 4. Soit a u réel strictemet positif. La foctio x l x est-elle itégrable sur ], + [? + x a Corrigé exercice 8. Soit f : x e x x 4. f est cotiue sur ], + [. f(x) = e x (x )(x + ) e (x ). Or x est itégrable sur ], 3] (foctio de Riema itégrable sur ], 3] car (x ) < ). Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur ], 3]. (*) e x f(x) + x = g(x). Or lim x + x g(x) = doc, au voisiage de +, g(x) = o( x ). Comme x est itégrable sur [3, + [, o e déduit que g est itégrable sur [3, + [. x Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [3, + [. (**) D après (*) et (**), f est itégrable sur ], + [.. Soit a u réel strictemet positif. l x O pose x ], + [, f(x) =. + x a f est cotiue sur ], + [. f(x) l x = g(x). ( Or lim x g(x) = doc, au voisiage de, g(x) = o x x Or x x est itégrable sur ], ] (foctio de Riema itégrable sur ], ] car < ). Doc g est itégrable sur ], ]. Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur ], ]. Doc, f est itégrable sur ], ] (*) l x f(x) + x a = h(x). Premier cas : si a >. ( ) lim x +a h(x) = lim x a l x =, doc, au voisiage de +, h(x) = o. x + x + x +a Or x est itégrable sur [, + [ (foctio de Riema itégrable sur [, + [ car + a > ). x +a Doc, h est itégrable sur [, + [. Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. (**). D après (*) et (**), f est itégrable sur ], + [. Deuxième cas : si a x [e, + [, f(x) x a. ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

Or x o itégrable sur [e, + [.(foctio de Riema avec a ) xa Doc, par règle de mioratio pour les foctios positives, f o itégrable sur [e, + [ Doc, f o itégrable sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 33

EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9 O pose : x ]; + [ et t ]; + [, f(x, t) = e t t x.. Démotrer que, x ], + [, la foctio t f(x, t) est itégrable sur ]; + [. O pose alors, x ]; + [, Γ(x) = + e t t x dt.. Démotrer que, x ]; + [, Γ(x + ) = xγ(x). 3. Démotrer que Γ est de classe C sur ]; + [ et exprimer Γ (x) sous forme d itégrale. Corrigé exercice 9. Soit x ], + [. La foctio t e t t x est défiie, positive et cotiue par morceaux sur ], + [. f(x, t) tx et t t x = est itégrable sur ], ] (foctio de Riema avec x < ). t + t x Doc, par critère d équivalece pour les foctios positives, t f(x, t) est itégrable sur ], ]. (*) De plus, lim t + t f(x, t) =, doc, pour t au voisiage de +, f(x, t) = o( t ). Or t est itégrable sur [, + [ (foctio de Riema itégrable). t Doc t f(x, t) est itégrable sur [, + [. (**) Doc, d après (*) et (**), t f(x, t) est itégrable sur ], + [. A. Par itégratio par parties e t t x dt = [ e t t x] A A + x e t t x dt. ε ε O passe esuite à la limite quad ε + et A + pour obteir la relatio demadée. 3. i) t ], + [, la foctio x f(x, t) est dérivable et (x, t) ], + [, f x (x, t) = l(t)e t t x. ii) Pour tout x >, t f (x, t) est cotiue par morceaux sur ], + [. x iii) Pour tout t >, x f (x, t) est cotiue sur ], + [. x iv) Pour tout [a, b] ], + [ { et (t, x) ], + [ [a, b] : f (x, t) l t e x ϕ(t) avec ϕ(t) = t t a si t ], [ l t e t t b si t [, + [ avec ϕ cotiue par morceaux et itégrable sur ], + [. E effet : a ϕ(t) l t t a = ϕ (t) et lim t ϕ (t) = lim + t + Doc, au voisiage de +, ϕ (t) = o Or t t a. t t ε a l t =. est itégrable sur ], [(foctio de Riema avec a < ). t a Doc, ϕ est itégrable sur ], [. Doc, par critère d équivalece pour les foctios positives, ϕ est itégrable sur ], [. (*) lim t + t ϕ(t) =. Doc ϕ est itégrable sur [, + [. (**) D après (*) et (**), ϕ est itégrable sur ], + [. D où, d après le théorème de dérivatio des itégrales à paramètres, Γ est de classe C sur ], + [. De plus, x ], + [, Γ (x) = + l(t)e t t x dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 34

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Éocer le théorème de dérivatio sous le sige itégrale. +. Démotrer que la foctio f : x e t cos (xt) dt est de classe C sur R. 3. (a) Trouver ue équatio différetielle liéaire (E) d ordre dot f est solutio. (b) Résoudre (E). Corrigé exercice 3. Soit u : (x, t) u(x, t) ue foctio défiie de X I vers C, avec X et I itervalles coteat au mois deux poits de R. O suppose que : i) x X, t u(x, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur I. O pose alors x X, f(x) = u(x, t)dt. I ii) u admet ue dérivée partielle u x sur X I vérifiat : - x X, t u (x, t) est cotiue par morceaux sur I. x - t I, x u (x, t) est cotiue sur X. x - il existe ϕ : I R + cotiue par morceaux et itégrable sur I vérifiat : (x, t) X I, u (x, t) x ϕ(t). Alors la foctio f est de classe C sur X et x X, f u (x) = (x, t) dt. x. O pose (x, t) R [, + [, u(x, t) = e t cos(xt). i) x R, t u(x, t) est cotiue sur [, + [. De plus, x R, u(x, t) e t. Or lim t + t e t =, doc, au voisiage de +, e t = o Doc, t u(x, t) est itégrable sur [, + [. ii) (x, t) R [, + [, u x (x, t) = te t si(xt). I ( ) t. - x R, t u (x, t) est cotiue par morceaux sur [, + [.. x - t [, + ], x u (x, t) est cotiue sur R. x - (x, t) R [, + [, u (x, t) x = ϕ(t) avec ϕ cotiue par morceaux et itégrable sur [, + [. te t E effet, lim t + t ϕ(t) = doc, au voisiage de +, ϕ(t) = o( t ). O e déduit que ϕ est itégrable sur [, + [ et comme elle est cotiue sur [, [, alors ϕ est bie itégrable sur [, + [. Doc f est de classe C sur R et : x R, f (x) = + 3. (a) O a, x R, f (x) = te t si(xt)dt + te t si(xt) dt. Procédos à ue itégratio par parties. Soit A. A te t si(xt) dt = [ ] A A x e t si(xt) e t cos(xt) dt CC BY-NC-SA 3. FR Page 35

E passat à la limite quad A +, o obtiet f (x) + x f(x) =. Doc f est solutio de l équatio différetielle (E) : y + x y =. (b) Les solutios de (E) sot les foctios y défiies par y(x) = Ae x 4, avec A R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 36

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Détermier ue primitive de x cos 4 x.. Résoudre sur R l équatio différetielle : y + y = cos 3 x e utilisat la méthode de variatio des costates. Corrigé exercice 3. E liéarisat cos 4 x, o obtiet cos 4 x = (cos(4x) + 4 cos(x) + 3). 8 Doc, x 3 si(4x) + 4 si(x) + 3 8 x est ue primitive de x cos4 x.. Notos (E) l équatio différetielle y + y = cos 3 x. C est ue équatio différetielle liéaire d ordre à coefficiets costats. Les solutios de l équatio homogèe associée sot les foctios y défiies par : y(x) = λ cos x + µ si x. Par la méthode de variatio des costates, o cherche ue solutio { particulière de (E) de la forme y p (x) = { λ(x) cos x + µ(x) si x avec λ, µ foctios λ (x) cos x + µ (x) si x = λ dérivables vérifiat : λ (x) si x + µ (x) cos x = cos 3 x i.e. (x) = si x cos 3 x. µ (x) = cos 4 x λ(x) = 4 cos4 x coviet. D après la questio., µ(x) = 3 si(4x) + 4 si(x) + 3 8 x coviet. O e déduit que la foctio y p défiie par y p (x) = ( 4 cos5 x + 3 si(4x) + 4 si(x) + 3 ) 8 x si x est ue solutio particulière de (E). Fialemet, les solutios de l équatio (E) sot les foctios y défiies par : y(x) = λ cos x + µ si x + y p (x), avec (λ, µ) R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 37

EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3 Soit l équatio différetielle : x(x )y + 3xy + y =.. Trouver les solutios de cette équatio différetielle développables e série etière à l origie. Détermier la somme des séries etières obteues.. Est-ce que toutes les solutios de x(x )y + 3xy + y = sur ]; [ sot développables e série etière à l origie? Corrigé exercice 3. Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > et de somme S. Pour tout x ] R, R[, S(x) = = a x, S (x) = = a x et S (x) = Doc x(x )S (x) + 3xS (x) + S(x) = = = ( )a x = = ( ( + ) a ( + )a + ) x. ( + )a + x. Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, la foctio S est solutio sur ] R, R[ de l équatio étudiée si, et seulemet si, N, a + = ( + )a. Ce qui reviet à : N, a = a. Le rayo de covergece de la série etière x état égal à, o peut affirmer que les foctios développables e série etière solutios de l équatio sot les foctios : x a + = x = a x d dx ( x ) = a x ( x) défiies sur ], [, avec a R.. Notos (E) l équatio x(x )y + 3xy + y =. Prouvos que les solutios de (E) sur ]; [ e sot pas toutes développables e série etière à l origie. Raisoos par l absurde. Si toutes les solutios de (E) sur ]; [ étaiet développables e série etière à l origie alors, d après., l esemble des solutios de (E) sur ]; [ serait égal à la droite vectorielle Vect(f) où f est la foctio défiie par x ]; [, f(x) = x ( x). Or, d après le cours, comme les foctios x x(x ), x 3x et x sot cotiues sur ]; [ et que la foctio x x(x ) e s aule pas sur ]; [, l esemble des solutios de (E) sur ]; [ est u pla vectoriel. D où l absurdité. CC BY-NC-SA 3. FR Page 38

EXERCICE 33 aalyse Éocé exercice 33 xy O pose f (x, y) = et f (, ) =. x + y. Démotrer que f est cotiue sur R.. Démotrer que f admet des dérivées partielles e tout poit de R. 3. f est-elle de classe C sur R? Justifier. Corrigé exercice 33. Par opératios sur les foctios cotiues, f est cotiue sur l ouvert R \ {(, )}. O cosidère la orme euclidiee sur R défiie par (x, y) R, (x, y) = x + y. O a (x, y) R, x (x, y) et y (x, y). O e déduit que (x, y) R \ {(, )}, f(x, y) f(, ) = x y ( (x, y) ) = (x, y) (x, y) (x, y). (x,y) (,) O e déduit que f est cotiue e (, ). Aisi f est cotiue sur R.. Par opératios sur les foctios admettat des dérivées partielles, f admet des dérivées partielles e tout poit de l ouvert R \ {(, )}. E (, ) : lim t (f(t, ) f(, )) =, doc f admet ue dérivée partielle e (, ) par rapport à sa première variable t et f (, ) =. x De même, lim (f(, t) f(, )) =. Doc f admet ue dérivée partielle e (, ) par rapport à sa t t secode variable et f (, ) =. y 3. D après le cours, f est de classe C sur R si et seulemet si f x Or, (x, y) R \ {(, )}, f x (x, y) = y 3. (x + y ) 3 O remarque que x >, f (x, x) = x. f Doc, lim (x, x) = x + x f (, ). x O e déduit que f est pas cotiue e (, ). x Doc f est pas de classe C sur R. et f y existet et sot cotiues sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 39

EXERCICE 34 aalyse Éocé exercice 34 Soit A ue partie o vide d u espace vectoriel ormé E.. Rappeler la défiitio d u poit adhéret à A, e termes de voisiages ou de boules.. Démotrer que : x Ā (x ) N telle que, N, x A et lim + x = x. 3. Démotrer que si A est u sous-espace vectoriel de E, alors Ā est u sous-espace vectoriel de E. 4. Démotrer que, si A est covexe alors Ā est covexe. Corrigé exercice 34. Soit A ue partie o vide de E. V(a) désige l esemble des voisiages de a. r >, B (a, r) désige la boule ouverte de cetre a et de rayo r. Soit a A. a Ā V V(a), V A. Ou ecore : a Ā r >, B (a, r) A.. Soit x A. Prouvos que (x ) N telle que, N, x A et lim x = x. + Par hypothèse, V V(a), V A. Doc N, B (x, ) A. C est-à-dire N, x B (x, ) A. O fixe alors, pour tout etier aturel o ul, u tel x. Aisi, la suite (x ) N est ue suite à valeurs das A et N, x x <. C est-à-dire la suite (x ) N coverge vers x. Soit x E. O suppose que (x ) N telle que N, x A et lim x = x. + Prouvos que x Ā. Soit V V(x). Alors, ε > tel que B (x, ε) V. O fixe u tel ε strictemet positif. lim x = x doc N N tel que N, N = x x < ε. + O fixe u tel etier N. Doc, comme (x ) est à valeurs das A, o e déduit que N, N = x B (x, ε) A. Or B (x, ε) V, doc N, N = x V A, c est-à-dire V A. O peut e coclure que x Ā. 3. Ā E et E Ā car E A et A Ā. Soit (x, y) ( Ā ) et λ K. D après., Il existe deux suites (x ) et (y ) d élémets de A covergeat respectivemet vers x et y. O a alors lim x + λy = x + λy. + Or A est u sous-espace vectoriel de E et N, (x, y ) A, doc x + λy A. O e déduit que la suite (x + λy ) est à valeurs das A et coverge vers x + λy. O a bie x + λy Ā. 4. O suppose que A partie o vide et covexe de E. Prouvos que A est covexe. Soit (x, y) ( A ). Soit t [, ]. Prouvos que z = tx + ( t)y A. x A, doc il existe ue suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x. + y A, doc il existe ue suite (y ) à valeurs das A telle que lim y = y. + CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

O pose N, z = tx + ( t)y. N, x A, y A et A est covexe, doc z A. De plus lim z = z. + Doc z est limite d ue suite à valeurs das A, c est-à-dire z A. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 35 aalyse Éocé exercice 35 E et F désiget deux espaces vectoriels ormés.. Soiet f ue applicatio de E das F et a u poit de E. O cosidère les propositios suivates : P. f est cotiue e a. P. Pour toute suite (x ) d élémets de E telle que lim x = a, alors lim f(x ) = f(a). + + Prouver que les propositios P et P sot équivaletes.. Soit A ue partie dese d u sous-espace vectoriel ormé E, et soiet f et g deux applicatios cotiues de E das F, F désigat u espace vectoriel ormé. Démotrer que si, pour tout x A, f(x) = g(x), alors f = g. Corrigé exercice 35. Prouvos que P. = P.. Supposos f cotiue e a. Soit (x ) ue suite d élémets de E covergeat vers a. Prouvos que lim f(x ) = f(a). + Soit ε >. Par cotiuité de f e a, α > / x E, x a α f(x) f(a) ε. (*) O fixe u tel α strictemet positif. Par covergece de (x ) vers a, N N / N, N x a α. O fixe u N coveable. Alors, d après (*), N, N f(x ) f(a) ε. O peut doc coclure que lim f(x ) = f(a). + Prouvos que P. = P.. Supposos P. vraie. Raisoos par l absurde e supposat que f o cotiue e a. C est-à-dire ε > / α >, x E tel que x a α et f(x) f(a) > ε. O fixe u tel ε strictemet positif. Alors, N, e preat α =, il existe x E tel que x a et f(x ) f(a) > ε. (*) Comme N, x a, la suite (x ) N aisi costruite coverge vers a. Doc, d après l hypothèse, la suite (f(x )) N coverge vers f(a). Doc N N tel que N, N = f(x ) f(a) ε. Aisi, o obtiet ue cotradictio avec (*).. Soit x E. Puisque la partie A est dese das E, il existe ue suite (x ) d élémets de A telle que O a alors : N, f(x ) = g(x ). Et e passat à la limite, sachat que f et g sot cotiues sur E, o obtiet f(x) = g(x). lim x = x. + CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 36 aalyse Éocé exercice 36 Soiet E, F deux espaces vectoriels ormés sur le corps R.. Démotrer que si f est ue applicatio liéaire de E das F, alors les propriétés suivates sot deux à deux équivaletes : P. f est cotiue sur E. P. f est cotiue e E. P3. k > tel que x E, f(x) k x.. Soit E l espace vectoriel des applicatios cotiues de [; ] das R mui de la orme défiie par : f = sup f(x). O cosidère l applicatio ϕ de E das R défiie par : ϕ(f) = x [;] Démotrer que ϕ est liéaire et cotiue. Corrigé exercice 36. P P de maière évidete. Prouvos que P P3. Supposos f cotiue e E. Pour ε = >, il existe α > tel que x E, x E α f(x) f( E ). Soit x E Si x E, posos y = α x. Puisque y = α, o a f(y). x Doc, par liéarité de f o obtiet f(x) α x. Si x = E l iégalité précédete est ecore vérifiée. E preat alors k =, o obtiet le résultat voulu. α Prouvos que P3 P. Supposos que k > tel que x E, f(x) k x. Comme f est liéaire, (x, y) E, f(y) f(x) = f(y x) k y x. La foctio f est alors lipschitziee, doc cotiue sur E.. L applicatio ϕ est ue forme liéaire par liéarité de l itégrale et cotiue car : f E, ϕ(f) = f(t) dt f(t) dt f = f. f(t)dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 43

EXERCICE 37 aalyse Éocé exercice 37 O ote E l espace vectoriel des applicatios cotiues de [; ] das R. O pose, f E, N (f) = sup f(x) et N (f) = x [;] f(x) dx.. (a) Démotrer que N et N sot deux ormes sur E. (b) Démotrer qu il existe k > tel que, pour tout f de E, N (f) kn (f). (c) Démotrer que tout ouvert pour la orme N est u ouvert pour la orme N.. Démotrer que les ormes N et N e sot pas équivaletes. Corrigé exercice 37. (a) Prouvos que N est ue orme sur E. f E, f est positive et cotiue sur le segmet [, ] doc f est borée et doc N (f) existe et est positive. i) Soit f E telle que N (f) =. Alors, t [, ], f(t) =, doc f =. ii) Soit λ R. Soit f E. Si λ = alors N (λf) = = λ N (f). Si λ : t [, ], λf(t) = λ f(t) λ N (f). Doc N (λf) λ N (f). () t [, ], f(t) = λ λf(t) λ N (λf). Doc N (f) λ N (λf). C est-à-dire, λ N (f) N (λf). () Doc, d après () et (), N (λf) = λ N (f). iii) Soit (f, g) E. t [, ], (f + g)(t) f(t) + g(t) N (f) + N (g). Doc N (f + g) N (f) + N (g). O e déduit que N est ue orme. Prouvos que N est ue orme sur E. f E, f est cotiue et positive sur [, ] doc N (f) existe et est positive. i) Soit f E telle que N (f) =. Or f est cotiue et positive sur [, ], doc f est ulle. C est-à-dire f =. ii) Soit λ R. Soit f E. N (f) = λf(t) dt = λ f(t) dt = λ N (f). iii) Soit (f, g) E. t [, ], (f + g)(t) f(t) + g(t). Doc, par liéarité de l itégrale, N (f + g) N (f) + N (g). O e déduit que N est ue orme sur E. (b) k = coviet car, f E, f(x) dx N (f)dx = N (f). (c) L applicatio idetité de E, mui de la orme N, vers E, mui de la orme N, est cotiue car liéaire et vérifiat f E, N (f) kn (f). L image réciproque d u ouvert par ue applicatio cotiue état u ouvert, o e déduit que : u ouvert pour la orme N est u ouvert pour la orme N. O peut aussi raisoer de faço plus élémetaire par iclusio de boules et retour à la défiitio d u ouvert. CC BY-NC-SA 3. FR Page 44

. Pour f (x) = x, o a N (f ) = + et N N (f ) (f ) =, doc lim + N (f ) = +. Doc ces deux ormes e sot doc pas équivaletes. CC BY-NC-SA 3. FR Page 45

EXERCICE 38 aalyse Éocé exercice 38 O ote R[X] l espace vectoriel des polyômes à coefficiets réels. P E, o pose N (P ) = a i et N (P ) = max a i où P = a i X i avec deg P. i i=. (a) Démotrer que N et N sot des ormes sur R[X]. (b) Démotrer que tout ouvert pour la orme N est u ouvert pour la orme N. (c) Démotrer que les ormes N et N e sot pas équivaletes.. O ote R k [X] le sous-espace vectoriel de R[X] costitué par les polyômes de degré iférieur ou égal à k. O ote N la restrictio de N à R k [X] et N la restrictio de N à R k [X]. Les ormes N et N sot-elles équivaletes? Corrigé exercice 38. (a) O pose E = R[X]. Par défiitio, P E, N (P ) et N (P ). Prouvos que N est ue orme sur E. i) Soit P = a i X i E tel que N (P ) =. N (P ) = i= a i = et, i,, a i, doc, i,, a i =, c est-à-dire P =. i= ii) Soit P = N (λp ) = i= a i X i E. Soit λ R. i= λa i = λ a i = λ N (P ). i= iii) Soit (P, Q) E. O cosidère u etier tel que max(deg P, deg Q). Alors, P = a i X i et Q = b i X i. i= Aisi, P + Q = i= (a i + b i )X i. i= Or, i,, a i + b i a i + b i. Doc, N (P + Q) = a i + b i a i + i= i= O e déduit que N est ue orme sur E. Motros que N est ue orme sur E. i) Soit P = a i X i E tel que N (P ) =. i= i= b i = N (P ) + N (Q). i= C est-à-dire max a i =, doc, i,, a i =. i O e déduit que P =. ii) Soit P = a i X i E et λ R. i= N (λp ) = max λ a i = λ N (P ). i iii) Soit (P, Q) E. O cosidère u etier tel que max(deg P, deg Q). Alors, P = a i X i et Q = b i X i. i= i= CC BY-NC-SA 3. FR Page 46

Aisi, P + Q = (a i + b i )X i et N (P + Q) = max a i + b i. i i= Or, i,, a i + b i a i + b i N (P ) + N (Q). Doc, N (P + Q) N (P ) + N (Q). O e déduit que N est ue orme. (b) L applicatio idetité de R [X], mui de la orme N, vers R [X], mui de la orme N, est cotiue car liéaire et vérifiat, P R [X], N (P ) N (P ). L image réciproque d u ouvert par ue applicatio cotiue état u ouvert, o e déduit qu u ouvert pour la orme N est u ouvert pour la orme N. O peut aussi raisoer, de faço plus élémetaire, par iclusio de boules et retour à la défiitio d u ouvert. (c) Pour P = + X + X + + X o a N (P ) = + et N (P ) =. N (P ) Doc lim + N (P ) = +. O e déduit que les ormes N et N e sot pas équivaletes.. E dimesio fiie, toutes les ormes sot équivaletes, e particulier N et N. CC BY-NC-SA 3. FR Page 47

EXERCICE 39 aalyse Éocé exercice 39 O ote l l esemble des suites x = (x ) de ombres réels telles que la série x coverge.. Démotrer que l est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites de ombres réels.. (a) Démotrez que pour x = (x ) l et y = (y ) l, la série x y coverge. O pose alors (x y) = = x y. (b) Démotrer que l o défiit aisi u produit scalaire das l. 3. O suppose que l est mui de ce produit scalaire et de la orme associée. Soit p N. Pour tout x = (x ) l, o pose ϕ(x) = x p. Démotrer que ϕ est ue applicatio liéaire et cotiue de l das C. 4. O cosidère l esemble F des suites réelles presque ulles.( c est-à-dire l esemble des suites réelles dot tous les termes sot uls sauf peut-être u ombre fii de termes) Détermier F. (au ses de ( )). Comparer F et ( F ). Corrigé exercice 39. La suite ulle appartiet à l. Soit (x, y) ( l ) avec x = (x ) et y = (y ). Soit λ R. Motros que z = x + y l. O a z = (z ) avec N, z = x + y. N, z = (x + y ) = x + y + x y. Or, (a, b) R, ab ( a + b ). Doc, N, z x + y. Or x et y coverget doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, z coverge. Doc z l. Motros que t = λx l. t = (t ) où N, t = λx. N, t = λ x. Or x coverge doc t coverge. Doc t l. O e déduit que l est u sous-espace vectoriel de l esemble des suites réelles.. (a) Soit (x, y) ( l ) avec x = (x ) et y = (y ). N, x y ( ) x + y. Or x et y coverget doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, x y coverge absolumet, doc coverge. (b) Motros que ) est liéaire par rapport à sa première variable. Soit (x, y, z) ( l ) 3 avec x = (x ), y = (y ) et z = (z ). D après les questios. et.(a), les sommes des séries iterveat ci-dessous existet bie et : (x + λy z) = = (x + λy )z = = x z + λ = y z = (x z) + λ(y z). Doc, ( ) est liéaire par rapport à sa première variable. () Motros que ( ) est symétrique. Soit (x, y) ( l ) avec x = (x ), y = (y ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 48

O a (x y) = = x y = = Doc ( ) est symétrique. () y x = (y x). D après () et (), ( ) est biliéaire et symétrique. (*) Motros que ( ) est positive. Soit x l avec x = (x ). (x x) = = x car N, x. Doc ( ) est positive. (**) Motros que ( ) est défiie. Soit x l avec x = (x ) telle que (x x) =. Alors = x =. Or, N, x. Doc, N, x =, c est-à-dire x =. Doc ( ) est défiie. (***) D après (*), (**) et (***), ( ) est u produit scalaire sur l. 3. Soit (x, y) l où x = (x ) et y = (y ). Soit λ R. O pose z = x + λy avec z = (z ). O a N, z = x + λy. Aisi, ϕ(x + λy) = ϕ(z) = z p = x p + λy p = ϕ(x) + λϕ(y). Doc ϕ est liéaire sur l. (*) x = (x ) l, x p k= x, doc x p x. Doc x = (x ) l, ϕ(x) = x p x (**) D après (*) et (**), ϕ est cotiue sur l. 4. Aalyse : Soit x = (x ) F. Alors y F, (x y) =. Soit p N. O cosidère la suite y = (y ) de F défiie par : N, y = { si = p sio y F, doc (x y) =, doc x p =. O e déduit que, p N, x p =. C est-à-dire x =. Sythèse : la suite ulle appartiet bie à F. Coclusio : F = {}. CC BY-NC-SA 3. FR Page 49

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4 Soit A ue algèbre de dimesio fiie admettat e pour élémet uité et muie d ue orme otée. O suppose que (u, v) A, u.v u. v.. Soit u u élémet de A tel que u <. (a) Démotrer que la série u est covergete. (b) Démotrer que (e u) est iversible et que (e u) =. Démotrer que, pour tout u de A, la série u Corrigé exercice 4! coverge.. (a) Soit u u élémet de A tel que u <. D après les hypothèses, o a u u. O e déduit, par récurrece, que N, u u. Puisque u <, la série umérique u est covergete et, par comparaiso des séries à termes positifs, o peut affirmer que la série vectorielle u est absolumet covergete. = Puisque l algèbre A est de dimesio fiie, la série u coverge. (b) Pour tout N N, o a (e u) u. N u = e u N+ avec u N+ u N+. = Doc, e passat à la limite, (e u) ( + ) De même, u (e u) = e. = = u = e. Et doc, e u est iversible avec (e u) = =. O a u! u. De plus, la série expoetielle u coverge.!! Doc, par comparaiso des séries à termes positifs, la série vectorielle u est absolumet covergete et! doc covergete, car A est de dimesio fiie. u. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4 Éocer quatre théorèmes différets ou méthodes permettat de prouver qu ue partie d u espace vectoriel ormé est fermée et pour chacu d eux, doer u exemple cocret d utilisatio das R. Les théorèmes utilisés pourrot être éocés oralemet à travers les exemples choisis. Remarques. O utilisera au mois ue fois des suites.. O pourra utiliser au plus ue fois le passage au complémetaire 3. Ne pas utiliser le fait que R et l esemble vide sot des parties ouvertes et fermées. Corrigé exercice 4. L image réciproque d u fermé par ue applicatio cotiue est u fermé. Exemple : H = { (x, y) R / xy = } est u fermé de R car c est l image réciproque du fermé {} de R R par l applicatio cotiue f : R (x, y) xy.. Si F, F,...,F sot des fermés d u espace vectoriel E, alors F F... F est u fermé de E. Exemple : R {} est u fermé de R e tat que produit de deux fermés de R. 3. Caractérisatio séquetielle des fermés : Soit A ue partie d u espace vectoriel ormé E. A est u fermé de E si et seulemet si, pour toute suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x, alors + x A. Exemple : A = { (x, y) R / xy } est u fermé. E effet, soit ((x, y )) N ue suite de poits de A qui coverge vers (x, y). N, x y, doc, par passage à la limite, xy doc (x, y) A. 4. L itersectio de deux fermés d u espace vectoriel ormé E est u fermé de E. Exemple : A = { (x, y) R / xy et x }. O pose A = { (x, y) R / xy } et A = { (x, y) R / x }. D après 3., A est u fermé. A est égalemet u fermé. E effet, A est l image réciproque du fermé [, + [ de R par l applicatio cotiue f : O e déduit que A = A A est u fermé de E. R (x, y) x. R CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4 O cosidère les deux équatios suivates : xy 3y = (H) xy 3y = x (E). Résoudre l équatio (H) sur l itervalle ], + [.. Résoudre l équatio (E) sur l itervalle ], + [ puis sur l itervalle [, + [. Corrigé exercice 4. O trouve comme solutio de l équatio homogèe sur ], + [ la droite vectorielle egedrée par x x 3. E effet, ue primitive de x 3 x sur ], + [ est x 3 l x.. O utilise la méthode de variatio de la costate e cherchat ue foctio k telle que x k(x)x 3 soit ue solutio de l équatio complète (E) sur ], + [. O arrive alors à k (x)x 5 = x et o choisit k(x) = x. Les solutios de (E) sur ], + [ sot doc les foctios x kx 3 x avec k R. Si o cherche à prologer les solutios de (E) sur [, + [, alors le prologemet par cotiuité e pose pas de problème e posat f() =. f(x) f() Par cotre, aucu prologemet e sera dérivable e car = k x. x x x Coclusio : l esemble des solutios de l équatio différetielle xy 3y = x sur [, + [ est l esemble vide. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 43 aalyse Eocé exercice 43 Soit x R. O défiit la suite (u ) par u = x et, N, u + = Arcta(u ).. (a) Démotrer que la suite (u ) est mootoe et détermier, e foctio de la valeur de x, le ses de variatio de (u ). (b) Motrer que (u ) coverge et détermier sa limite.. Détermier l esemble des foctios h cotiues sur R telles que : x R, h(x) = h(arcta x). Corrigé exercice 43 O pose f(x) = Arcta x et g(x) = Arcta x x.. (a) Premier cas : Si u < u Puisque la foctio f : x Arcta x est strictemet croissate sur R alors Arcta(u ) < Arcta(u ) c est-à-dire u < u. Par récurrece, o prouve que N, u + < u. Doc la suite (u ) est décroissate. Deuxième cas : Si u > u Par u raisoemet similaire, o prouve que la suite (u ) est croissate. Troisième cas : Si u = u La suite (u ) est costate. Pour coaître les variatios de la suite (u ), il faut doc détermier le sige de u u, c est-à-dire le sige de Arcta(u ) u. O étudie doc le sige de la foctio g. O a x R g (x) = x + x et doc x R, g (x) <. Doc g est strictemet décroissate sur R et comme g()= alors : x ], + [, g(x) < et x ], [, g(x) >. O a doc trois cas suivat le sige de x : - Si x >, la suite(u ) est décroissate. - Si x =, la suite (u ) est costate. - Si x <, la suite(u ) est croissate. (b) La foctio g état strictemet décroissate et cotiue sur R, elle iduit ue bijectio de R sur g(r) = R. admet doc u uique atécédet par g et, comme g() =, alors est le seul poit fixe de f. Doc si la suite (u ) coverge, elle coverge vers, le seul poit fixe de f. Premier cas : Si u > L itervalle ], + [ état stable par f, o a par récurrece, N, u >. Doc la suite (u ) est décroissate et miorée par, doc elle coverge et ce vers, uique poit fixe de f. Deuxième cas : Si u < Par u raisoemet similaire, o prouve que (u ) est croissate et majorée par, doc elle coverge vers. Troisième cas : Si u = La suite (u ) est costate. Coclusio : u R, (u ) coverge vers.. Soit h ue foctio cotiue sur R telle que, x R, h(x) = h(arcta x). Soit x R. Cosidéros la suite (u ) défiie par u = x et N, u + = Arcta(u ). O a alors h(x) = h(u ) = h(arcta(u )) = h(u ) = h(arcta(u )) = h(u ) =.... Par récurrece, o prouve que, N, h(x) = h(u ). De plus lim h(u ) = h() par covergece de la suite (u ) vers et par cotiuité de h. + O obtiet aisi : h(x) = h() et doc h est ue foctio costate. Réciproquemet, toutes les foctios costates covieet. Coclusio : Seules les foctios costates répodet au problème. CC BY-NC-SA 3. FR Page 53

EXERCICE 44 aalyse Éocé exercice 44 Soit E u espace vectoriel ormé. Soiet A et B deux parties o vides de E.. (a) Rappeler la caractérisatio de l adhérece d u esemble à l aide des suites. (b) Motrer que A B = A B.. Motrer que A B = A B Remarque : Ue répose sas utiliser les suites est aussi acceptée. 3. (a) Motrer que A B A B. (b) Motrer à l aide d u exemple que l autre iclusio est pas forcémet vérifiée (o pourra predre E = R). Corrigé exercice 44 Soit E u espace vectoriel ormé. O ote A et B deux parties o vides de E.. (a) x A si et seulemet si il existe ue suite à valeurs das A qui coverge vers x. (b) O suppose A B. Prouvos que A B. Soit x A. Il existe ue suite (u ) telle que N, u A et lim u = x. + Or A B, doc, N, u B et lim u = x. + Doc x B.. D après la questio précédete, A A B, doc A A B. B A B, doc B A B. Doc A B A B. Prouvos que A B A B. Soit x A B. Il existe ue suite (u ) telle que, N, u A B et lim u = x. + O cosidère les esembles A = { N tels que u A} et A = { N tels que u B}. Comme N, u A B, A ou A est de cardial ifii. O peut doc extraire de (u ) ue sous-suite (u ϕ() ) à valeurs das A ou ue sous-suite (u ϕ() ) à valeurs das B telle que lim + u ϕ() = x. Doc x A B. Remarque :O peut aussi prouver que A B A B sas utiliser les suites : A et B sot fermés, doc A B est u fermé coteat A B. Or A B est le plus petit fermé coteat A B, doc A B A B. 3. (a) D après la questio., A B A, doc A B A. A B B, doc A B B. Doc A B A B. Autre méthode : Comme A A et B B alors A B A B. Comme A B est u fermé coteat A B, alors par miimalité de A B, o a A B A B. (b) A =], [ et B =], [. A B = et A B = {}. CC BY-NC-SA 3. FR Page 54

EXERCICE 45 aalyse Éocé Exercice 45 Les questios. et. sot idépedates.. Soit E u espace vectoriel ormé. Soit A ue partie o vide de E. O ote A l adhérece de A. (a) Doer la caractérisatio séquetielle de A. (b) Prouver que, si A est covexe, alors A est covexe.. Soit E u espace vectoriel ormé. Soit A ue partie o vide de E. O pose x E, d A (x) = if x a. a A (a) Soit x E. Prouver que d A (x) = x A. (b) O suppose que A est fermée et que, (x, y) E, t [, ], d A (tx + ( t)y) td A (x) + ( t)d A (y). Prouver que A est covexe. Corrigé Exercice 45. (a) Soit A ue partie d u esemble E. x A il existe ue suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x. + (b) O suppose que A est ue partie o vide et covexe de E. Prouvos que A est covexe. Soit (x, y) ( A ). Soit t [, ]. Prouvos que z = tx + ( t)y A. x A doc, il existe ue suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x. + y A doc, il existe ue suite (y ) à valeurs das A telle que O pose : N, z = tx + ( t)y. N, x A, y A et A est covexe, doc z A. De plus Doc z est limite d ue suite à valeurs das A, c est-à-dire z A. lim y = y. + lim z = z. +. (a) Soit A ue partie o vide de E. Soit x E tel que d A (x) =. Par défiitio de la bore iférieure, ous avos : ɛ >, a A tel que x a < ɛ. Doc, N, pour ɛ =, il existe a A tel que x a <. Alors la suite (a ) N aisi costruite est à valeurs das A et coverge vers x, doc x A. (b) O suppose que A est fermée et que, (x, y) E, t [, ], d A (tx + ( t)y) td A (x) + ( t)d A (y). Soit (x, y) (A). Soit t [, ]. Prouvos que z = tx + ( t)y A. Par hypothèse, o a d A (z) td A (x) + ( t)d A (y). () Or x A et y A, doc d A (x) = d A (y) = et doc, d après (), d A (z) =. Alors, d après.(a), z A. Or A est fermée, doc A = A et doc z A. CC BY-NC-SA 3. FR Page 55

EXERCICE 46 aalyse Éocé exercice 46 O cosidère la série : ( cos π ) + +.. Prouver que, au voisiage de +, π + + = π + π ( ) + απ + O où α est u réel que l o détermiera.. E déduire que 3. ( cos π ) + + coverge. ( cos π ) + + coverge-t-elle absolumet? Corrigé exercice 46. π + + = π + +. Or, au voisiage de +, + + = + ( + ) 8 + O( 3 ) = + + 3 8 + O( 3 ). Doc, au voisiage de +, π + + = π + π + 3 π 8 + O( ).. O pose N, v = cos ( π + + ) (. D après., v = cos π + π + 3 π 8 + O( ) ( 3 ) = ( ) + π si 8 + O( ) ). Doc v = 3π ( ) + + O( 8 ). Or ( ) + coverge (d après le critère spécial des séries alterées) et O( ) coverge (par critère de domiatio), doc v coverge. 3. D après le développemet asymptotique du., o a v 8. Or diverge (série harmoique), doc v diverge, c est-à-dire v e coverge pas absolumet. + 3π CC BY-NC-SA 3. FR Page 56

EXERCICE 47 aalyse Éocé exercice 47. Soit f ue foctio cotiue sur [, ]. (a) Soit N. Quel est le ses géométrique de la somme de Riema Illustrer par u dessi soigé. (b) Démotrer, lorsque f est de classe C sur [, ], que. Détermier la limite de la suite (x ) défiie par x = lim R (f) = + k= 3 + k. R (f) = f (x) dx. f k= ( ) k? Corrigé exercice 47 [ k. (a) R (f) est exactemet la somme des aires des rectagles, k ] ( ) k [, f ] lorsque k décrit {,..., } et c est aussi l itégrale de la foctio φ e escalier défiie sur [, ] par : [ k φ () = f () et k {,..., } x, k [ ( ) k φ (x) = f. Quad augmete das N, cette aire approche de mieux e mieux l aire sous le graphe de f d où l idée que lim R (f) = f (x) dx. + (b) O remarque d abord que ( ) k f = N, R (f) f (x) dx = k= k k k k f f ( ) k dx et esuite la relatio de Chasles doe : ( ) k dx k= k k f (x) dx = k= k k { f ( ) } k f (x) dx Puis : N, R (f) f (x) dx k= k k ( f ( ) ) k f (x) dx k= k k ( ) k f f (x) dx () Soit N. f est de classe C sur [, ], doc f est cotiue sur le compact [, ]. Doc f est borée sur [, ]. Posos M = sup f (t). t [,] Alors, d après l iégalité [ des accroissemets fiis, k k {,..., }, x, k ] ( ), k f f (x) M k x M. k ( ) Doc k {,..., }, k f f (x) k dx M. O e déduit d après (), que : N, R (f) f (x) dx M. () Or. x = lim + 3 + k = k= = doc, d après (), o a bie démotré que lim k= 3 + ( ) k = f k= ( ) k R (f) = + où f (x) = 3 + x. f (x) dx. CC BY-NC-SA 3. FR Page 57

D après la première questio (de cours), o a lim x dx = + 3 + x = dx 3 Doc lim x = π + 3 6 = π 6 3. + ( x 3 ) = 3 arcta ( 3 ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 58

EXERCICE 48 aalyse Éocé exercice 48 C ([, ], R) désige l espace vectoriel des foctios cotiues sur [, ] à valeurs das R. Soit f C ([, ], R) telle que, N, t f (t) dt =.. Éocer le théorème de Weierstrass d approximatio par des foctios polyomiales.. Soit (P ) N ue suite de foctios polyomiales covergeat uiformémet sur le segmet [, ] vers f. (a) Motrer que la suite de foctios (P f) N coverge uiformémet sur le segmet [, ] vers f. (b) Démotrer que (c) Calculer f (t) dt = P (t) f (t) dt. lim + P (t)f(t)dt. 3. E déduire que f est la foctio ulle sur le segmet [, ]. Corrigé exercice 48. Toute foctio f cotiue sur u segmet [a, b] et à valeurs réelles ou complexes est limite uiforme sur ce segmet d ue suite de foctios polyomiales.. O pose : f (C [, ], R), N (f) = sup f(t). t [,] (a) f et P état cotiues sur [, ], t [, ], P (t)f(t) f (t) = f(t) P (t) f(t) N (f)n (P f). O e déduit que N (P f f ) N (f)n (P f) () Or (P ) coverge uiformémet vers f sur [, ] doc lim N (P f) =. + Doc, d après (), lim N (P f f ) =. + Doc (P f) N coverge uiformémet sur [, ] vers f. (b) D après la questio précédete, (P f) N coverge uiformémet sur le segmet [, ] vers f. De plus, N, P f est cotiue sur [, ]. Doc, d après le théorème d itégratio d ue limite uiforme de foctios cotiues, lim + P (t)f(t)dt = lim (P (t)f(t))dt = + (c) Par liéarité de l itégrale, o a ( d ) P (t)f(t)dt = a,k t k f(t)dt = k= Or, par hypothèse, k N, 3. D après les questios.(b) et.(c), o a t k f (t) dt =, doc f (t) dt. ( d ) a,k t k f(t) dt = k= f (t) dt =. P (t)f(t)dt =. d k= a,k t k f(t)dt. Or f est positive et cotiue sur [, ], doc f est ulle sur [, ] et doc f est ulle sur [, ]. CC BY-NC-SA 3. FR Page 59

EXERCICE 49 aalyse Éocé exercice 49 Soit a ue série absolumet covergete à termes complexes. O pose M =. Éocer le théorème d itégratio terme à terme sur u itervalle I quelcoque pour ue série de foctios f.. O pose : N, t [, + [, f (t) = a t e t.! (a) Justifier que la suite (a ) est borée. (b) Justifier que la série de foctios f coverge simplemet sur [, + [. (c) Prouver que f : t = f (t) est cotiue sur [, + [. = a. 3. (a) Justifier que, N, la foctio g : t t e t est itégrable sur [, + [ et calculer E déduire la covergece et la valeur de ( + + ) a t (b) Prouver que e t dt =! Corrigé exercice 49 = + = a. f (t) dt.. K désige le corps des réels ou celui des complexes. Soit I u itervalle quelcoque de R et f ue série de foctios de I das K. O suppose que : i) N, f est cotiue par morceaux et itégrable sur I. ii) f coverge simplemet sur I. O ote f = iii) f est cotiue par morceaux sur I. iv) f coverge. I ( + ) Alors f est itégrable sur I et o a f =. Rappelos que, x R, x! I coverge ( = = = = f. x! = ex ). I f. + t e t dt. (a) a coverge absolumet, doc coverge simplemet ; doc la suite (a ) coverge vers et doc elle est borée. Autre méthode : O remarque que N a M = (b) Soit t [, + [. O a : N, f (t) M t!. Or la série t! coverge, doc f (t) coverge absolumet, doc coverge. O a doc vérifié la covergece simple de f sur [, + [. (c) Soit x [, + [. N, t [, x], f (t) M x et x coverge.!! O e déduit que, x [, + [, f coverge ormalemet, doc uiformémet sur [, x]. = a. CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

O a doc, N, f est cotiue sur [, + [ et la série de foctios f coverge uiformémet sur sur tout segmet [, x] (avec x > ) iclus das [, + [. O e déduit, d après le théorème de cotiuité de la somme d ue série de foctios, que f est cotiue sur [, + [. 3. (a) N, g est cotiue sur [, + [. ( ) De plus, lim t + t g (t) =, doc, au voisiage de +, g (t) = o t. Or t t est itégrable sur [, + [, doc g est itégrable sur [, + [, doc sur [, + [. O pose alors : N, I = + g (t)dt. E effectuat ue itégratio par parties, o prouve que I = I. O e déduit par récurrece que I =!I =!. Alors t f (t) est itégrable sur [, + [ car f (t) = a! g (t). + Et o a f (t) dt = a!! = a. (b) i) N, f est cotiue par morceaux et itégrable sur [, + [ d après la questio 3.(a) ii) f coverge simplemet sur [, + [ et a pour somme f = = f d après.(b). iii) f est cotiue par morceaux sur [, + [ car cotiue sur [, + [ d après la questio.(c) iv) + f (t) dt = a et a coverge par hypothèse, doc + f (t) dt coverge. Alors, d après le théorème d itégratio terme à terme pour les séries de foctios, f est itégrable sur [, + [ et o a : ( + + ) a t + e t a t dt = e t a + dt = t e t a + dt =!!!!! = a. = = = = = CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 5 aalyse Eocé exercice 5 + e t Soit x R. O cosidère la foctio F : x x + t dt.. Prouver que F est défiie et cotiue sur ]; + [.. Prouver que x xf (x) admet ue limite e + et détermier la valeur de cette limite. 3. Détermier u équivalet, au voisiage de +, de F (x). Corrigé exercice 5 { ]; + [ [; + [ R. Notos f : (x, t) e t x+t (a) x ]; + [, t f(x, t) est cotiue sur [; + [. (b) t [; + [, x f(x, t) = e t est cotiue sur ]; + [. x + t (c) Soit [a, b] u segmet de ]; + [. x [a, b], t [; + [, f(x, t) a e t et ϕ : t a e t est cotiue et itégrable sur [; + [. ( ) E effet, lim t + t ϕ(t) =, doc ϕ(t) = o t + t. Doc ϕ est itégrable sur [, + [, doc sur [; + [. O e déduit que, d après le théorème de cotiuité des itégrales à paramètres, + e t F : x dt est défiie et cotiue sur ]; + [. x + t + x. x ]; + [, xf (x) = x + t e t dt. Posos x ]; + [, t [; + [, h x (t) = x x+t e t. i) x ]; + [, t h x (t) est cotiue par morceaux sur [, + [. ii) t [; + [, lim h x(t) = e t. x + iii) La foctio h : t e t est cotiue par morceaux sur [; + [. iv) x ]; + [, t [; + [, h x (t) e t et t e t est cotiue par morceaux et itégrable sur [; + [. Doc, d après l extesio du théorème de covergece domiée à (h x ) x ];+ [, lim x + + Coclusio : h x (t)dt = + lim xf (x) = x +. h(t)dt = + 3. D après., lim xf (x) = x +, doc F (x) e t dt =. x + x. CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. Motrer que la série ()! (!) 4 ( + ) coverge. O se propose de calculer la somme de cette série.. Doer le développemet e série etière e de t t e précisat le rayo de covergece. Remarque : das l expressio du développemet, o utilisera la otatio factorielle. 3. E déduire le développemet e série etière e de x Arcsi x aisi que so rayo de covergece. 4. E déduire la valeur de Corrigé exercice 5 = ()! (!) 4 ( + ). ()!. O pose : N, u = (!) 4 ( + ). O a : N, u >. N, u + ( + )( + )( + ) = u ( + ) 4 ( + 3) + 4. Aisi, u + u + 4 <. Doc, d après la règle de d Alembert, u coverge.. D après le cours, α R, u ( + u) α est développable e série etière e et le rayo de covergece R de so développemet e série etière vaut si α N. De plus, u ], [, ( + u) α = + + α(α )...(α + ) u.! E particulier, pour α = et u = t : ( )( 3) ( ( ) ) R = et t ], [, = + t ( t).! = = E multipliat umérateur et déomiateur par.4.... =!, o obtiet : t ], [, t = + = Coclusio : R = et t ], [, ()! (!) t ()! = t (!) t. = 3. D après la questio précédete, e remarquat que : x ], [ t = x [, [ et [, [ ], [, il viet : x ], [, = + ()! x (!) x avec u rayo de covergece R =. = Arcsi est dérivable sur ], [ avec Arcsi : x x. D après le cours sur les séries etières, o peut itégrer terme à terme le développemet e série etière de x et le rayo de covergece est coservé. x De plus, o obtiet : x ], [, Arcsi x = } Arcsi {{ } = + = ()! (!) ( + ) x+ avec u rayo de covergece R =. 4. Preos x = ], [ das le développemet précédet. ( ) ()! O e déduit que Arcsi = (!) ( + ) +. = ( ) C est-à-dire, e remarquat que Arcsi = π + 6, o obtiet ()! (!) 4 ( + ) = π 3. = CC BY-NC-SA 3. FR Page 63

EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. Prouver que (x, y) R, x + y xy (x + y ).. Soiet α R et f : R R y 4 (x, y) x + y si (x, y) (, ) xy α si (x, y) = (, ). (a) Quel est le domaie de défiitio de f? Détermier α pour que f soit cotiue sur R. (b) Justifier l existece et calculer f x et f y sur R \ { (, ) }. (c) Justifier l existece et doer la valeur de f f (, ) et (, ). x y (d) f est-elle de classe C sur R? Corrigé exercice 5. Soit (x, y) R. x + y xy (x + y ) = (x + y xy) = (x y). Doc x + y xy (x + y ).. (a) Soit (x, y) R. D après ce qui précéde, x + y xy = x + y = x = y =. Aisi, f est défiie sur R. D après les théorèmes gééraux, f est cotiue sur R \ { (, ) }. D après., pour (x, y) (, ), f(x, y) Aisi, f(x, y) (x + y ). (x,y) (,) Or : f est cotiue e (, ) f(x, y) Doc : f est cotiue e (, ) α =. Coclusio : f est cotiue sur R α =. y4 x + y (x + y ) x + y. f(, ) = α. (x,y) (,) (b) D après les théorèmes gééraux, f est de classe C sur R \ { (, ) }. (x, y) R \ { (, ) }, f x (x, y) = y4 (x y) f (x + y xy) et y (x, y) = y5 3xy 4 + 4x y 3 (x + y xy). (c) Pour tout x, f(x, ) f(, ) x =, doc f x x f(, y) f(, ) Pour tout y, = y, doc f y y y (d) Pour motrer que f est de classe C sur R, motros que f x Pour cela, il suffit de motrer qu elles sot cotiues e (, ). f (, ) existe et (, ) =. x f (, ) existe et (, ) =. y et f y sot cotiues sur R. (x, y) R \ { (, ) }, o ote r = x + y. O a alors x r et y r. De plus, (x, y) (, ) r. D après. et l iégalité triagulaire, f f y (x, y) (, ) 4 x x 4 (x y) (x + y ) 4 r4 (r + r) r 4 = r = f (, ). r x f f y (x, y) (, ) 5 y y 4 3xy 4 + 4x y 3 (x + y ) 4 r5 + 3r 5 + 4r 5 r 4 = 36r = f (, ). r y CC BY-NC-SA 3. FR Page 64

Doc f f et x y sot cotiues e (, ) et par suite sur R. Aisi, f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 65

EXERCICE 53 aalyse Eocé exercice 53 O cosidère, pour tout etier aturel o ul, la foctio f défiie sur R par f (x) =. (a) Prouver que f coverge simplemet sur R. O pose alors x R, f(x) = = f (x). (b) Soit (a, b) R avec < a < b. f coverge-t-elle ormalemet sur [a, b]? sur [a, + [? (c) f coverge-t-elle ormalemet sur [, + [?. Prouver que f est cotiue sur R. 3. Détermier lim x + f(x). x + 4 x 4. Corrigé exercice 53. (a) Soit x R. Si x =, alors f () = et doc f () coverge. Si x, f (x) 4 x 3. Or est ue série de Riema covergete doc, par critère d équivalece pour les séries à termes 4 + de sige costat, f (x) coverge. Coclusio : f coverge simplemet sur R. (b) Soit (a, b) R tel que < a < b. Prouvos que f coverge ormalemet sur [a, b]. x [a, b], f (x) b 4 a 4 (majoratio idépedate de x). De plus, coverge (série de Riema covergete). 4 Doc f coverge ormalemet sur [a, b]. Prouvos que f coverge ormalemet sur [a, + [. x [a, + [, f (x) x 4 x 4 = 4 x 3 4 a 3 (majoratio idépedate de x). De plus, coverge (série de Riema covergete). 4 Doc f coverge ormalemet sur [a, + [. (c) O remarque que f est cotiue sur le compact [, ], doc f est borée sur [, ]. De plus, d après.(b), x [, + [, f (x) 4, doc f est borée sur [, + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 66

O e déduit que f est borée sur [, + [ et que N, sup f (x) f ( x [,+ [ ) =. Or diverge (série harmoique). sup f (x) existe. x [,+ [ Doc, par critère de mioratio des séries à termes positifs, Doc f e coverge pas ormalemet sur [, + [. sup f (x) diverge. x [,+ [ Autre méthode : N, f est dérivable sur ], + [ et x ], + [, f (x) = 34 x 4 ( + 4 x 4 ). ] [ O e déduit que f est croissate sur ], 3 4 f état positive sur R, o e déduit que f est borée. Doc sup x [,+ [ f (x) existe et sup x [,+ [ f (x) = f ( Or diverge (série harmoique), doc Doc f e coverge pas ormalemet sur [, + [. et décroissate sur 3 4 ) = 4 3 4. sup f (x) diverge. x [,+ [ [, +. 3 4. N, f est cotiue sur ], + [. () f coverge ormalemet, doc uiformémet, sur tout segmet [a, b] iclus das ], + [. () Doc, d après () et (), f est cotiue sur ], + [. Comme f est impaire, o e déduit que f est égalemet cotiue sur ], [. Coclusio : f est cotiue sur R. 3. N, lim f (x) = car, au voisiage de +, f (x) x + 4 x 3. D après.(b), f coverge ormalemet, doc uiformémet, sur [, + [. Doc, d après le cours, f admet ue limite fiie e + et lim f(x) = x + Coclusio : lim x + = f (x) = lim f(x) =. x + = lim f (x) =. x + + CC BY-NC-SA 3. FR Page 67

EXERCICE 54 aalyse Éocé Exercice 54 Soit E l esemble des suites à valeurs réelles qui coverget vers.. Prouver que E est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites à valeurs réelles.. O pose u = (u ) N E, u = sup u. N (a) Prouver que. est ue orme sur E. (b) Prouver que u = (u ) N E, u coverge. + (c) O pose alors u = (u ) N E, f(u) = Prouver que f est cotiue sur E. Corrigé Exercice 54 = u +.. La suite ulle appartiet à E. Soit (u, v) = ((u ) N, (v ) N ) E. Soit α R. Posos N, w = u + αv. Motros que w E. u E doc lim u = et v E doc lim v =. + + O e déduit que lim w =, doc w E. + O e déduit que E est bie u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites à valeurs réelles.. (a) u = (u ) N E, u existe car lim u = doc (u ) coverge et doc elle est borée. +. est à valeurs das R +. i) Soit u = (u ) N E telle que u =. Alors sup N u = c est-à-dire N, u =. Doc u =. ii) Soit u = (u ) N E. Soit λ R. Si λ = λu = λ u =. Si λ N, λu = λ u λ u doc λu λ u. () N, u = λ λu. λu doc λu λ. u. () λ D après () et (), λu = λ u. iii) Soit (u, v) = ((u ) N, (v ) N ) E. N, u + v u + v u + v doc u + v u + v. (b) Soit u = (u ) N E. u u N, u u doc N, + +. Or + = ( ) coverge (série géométrique de raiso strictemet iférieure à e valeur absolue). Doc, par critère de majoratio pour les séries à termes positifs, coverge. + C est-à-dire, u coverge absolumet, doc coverge. + De plus, = + u + = u = u. + (c) f est clairemet liéaire. De plus, d après la questios précédete, u = (u ) N E, f(u) u. O e déduit que f est cotiue sur E. u CC BY-NC-SA 3. FR Page 68

EXERCICE 55 aalyse Éocé exercice 55 Soit a u ombre complexe. O ote E l esemble des suites à valeurs complexes telles que : N, u + = au + + 4(ia )u avec (u, u ) (C).. Prouver que E est u sous-espace vectoriel de l esemble des suites à valeurs complexes. Détermier, e le justifiat, la dimesio de E.. Das cette questio, o cosidère la suite de E défiie par : u = et u =. Exprimer, pour tout etier aturel, le ombre complexe u e foctio de. Idicatio : discuter suivat les valeurs de a. Corrigé exercice 55. Motros que E est u sous-espace-vectoriel de l esemble des suites à valeurs complexes. La suite ulle appartiet à E ( obteue pour (u, u ) = (, )). Soit u = (u ) et v = (v ) deux suites de E. Soit λ C. Motros que w = u + λv E. O a N, w = u + λv. Soit N. w + = u + + λv +. Or (u, v) E, doc w + = au + + 4(ia )u + λ (av + + 4(ia )v ) c est-à-dire w + = a (u + + λv + ) + 4(ia ) (u + λv ) ou ecore w + = aw + + 4(ia )w. Doc w E. Doc E est u sous-espace vectoriel de l esemble des suites à valeurs complexes. O cosidère l applicatio ϕ défiie par : R ϕ : E (a, b) u = (u ) avec N, u + = au + + 4(ia )u et (u, v ) = (a, b) Par costructio, ϕ est u isomorphisme d espaces vectoriels, doc E est de dimesio fiie et dim E = dim R =.. Il s agit d ue suite récurrete liéaire d ordre à coefficiets costats. O itroduit l équatio caractéristique (E) : r ar 4(ia ) =. O a deux possibilités : si (E) admet deux racies distictes r et r, alors N, u = αr + βr avec (α, β) que l o détermie à partir des coditios iitiales. si (E) a ue uique racie double r, alors N, u = (α + β)r avec (α, β) que l o détermie à partir des coditios iitiales. Le discrimiat réduit de (E) est = a + 4ia 4 = (a + i). Premier cas : a = i r = a = i est racie double de (E). Doc, N, u = (α + β)( i). Or u = et u =, doc = β et = (α + β)( i). O e déduit que α = i et β =. Deuxième cas : a i O a deux racies distictes r = (a + i) et r = i. Doc N, u = α ((a + i)) + β ( i). Or u = et u =, doc α + β = et (a + i)α iβ =. O e déduit, après résolutio, que α = + i a + i et β =. a + 4i a + 4i CC BY-NC-SA 3. FR Page 69

EXERCICE 56 aalyse Éocé exercice 56 O cosidère la foctio H défiie sur ]; + [ par H(x) = x x dt l t.. Motrer que H est C sur ]; + [ et calculer sa dérivée.. Motrer que la foctio u défiie par u(x) = l x admet ue limite fiie e x =. x 3. E utilisat la foctio u de la questio., calculer la limite e + de la foctio H. Corrigé exercice 56. Soit x u réel de ]; + [. Posos : x ]; + [, F (x) = x x dt l t. t est cotiue sur ]; + [. l t Doc, d après le théorème fodametal, F est dérivable sur ]; + [ et x ]; + [, F (x) = l x. De plus, x ]; + [, H(x) = F (x ) F (x) et x ]; + [ o a [x; x ] ]; + [. O e déduit que H est dérivable sur ]; + [. De plus, x ]; + [, H (x) = x l x l x = x l x. O e déduit que H est de classe C sur ]; + [.. E posat x = + h, u(x) = v(h) avec v(h) = h l(+h) h l(+h). Or au voisiage de, h l( + h) = h + o(h ) doc h l( + h) h. Et h l( + h) h doc v(h). Doc lim x u(x) = lim h v(h) =. 3. E utilisat u, o a H(x) = x x x dt x u(t)dt + x t = u(t)dt + l(x + ). () x x ]; + [, u est cotiue sur l itervalle [ x, x ]. u est cotiue sur ]; + [ et admet ue limite fiie e, doc u est prologeable par cotiuité e. Notos u ce prologemet cotiu sur [; + [. Alors, x ]; + [, x x u(t)dt = x O pose alors x [; + [, U (x) = x x u (t)dt. () x u (t)dt. Pour les mêmes raisos que das la questio., U est dérivable, doc cotiue, sur [, + [. Doc lim U (x) = U () =. x Doc, d après (), lim x x x u(t)dt = lim x U (x) =. O e déduit, d après (), que lim x H(x) = l. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 57 aalyse Éocé exercice 57. Soit f ue foctio de R das R. (a) Doer, e utilisat des quatificateurs, la défiitio de la cotiuité de f e (, ). (b) Doer la défiitio de "f différetiable e (, )".. O cosidère l applicatio défiie sur R xy x y par f(x, y) = x + y si (x, y) (, ) si (x, y) = (, ) (a) Motrer que f est cotiue sur R. (b) Motrer que f est de classe C sur R. Corrigé exercice 57. (a) f est cotiue e (, ) ε >, α > / (x, y) R, (x, y) < α = f(x, y) f(, ) < ε. désige ue orme quelcoque sur R puisque toutes les ormes sot équivaletes sur R (espace de dimesio fiie). (b) f est différetiable e (, ) L L C (R, R)/ au voisiage de (, ), f(x, y) = f(, ) + L(x, y) + o( (x, y) ). Remarque : Comme R est de dimesio fiie, si L L(R, R) alors L L C (R, R).. O otera. la orme euclidiee usuelle sur R. O remarque que (x, y) R, x (x, y) et y (x, y) (*). (a) (x, y) x + y et (x, y) xy(x y ) sot cotiues sur R \{(, )} et (x, y) x + y e s aule pas sur R \{(, )} doc, f est cotiue sur R \{(, )}. Cotiuité e (,) : O a, e utilisat (*) et l iégalité triagulaire, f(x, y) f(, ) = Doc f est cotiue e (, ). (b) f est de classe C sur R si et seulemet si f x xy x y x +y x. y (x, y). et f y existet sur R et sot cotiues sur R. f admet des dérivées partielles sur R \{(, )} et elles sot cotiues sur R \{(, )}. De plus, (x, y) R {(, )}, f x (x, y) = x4 y + 4x y 3 y 5 (x + y ) et f y (x, y) = x5 4x 3 y xy 4 (x + y ). (**) Existece des dérivées partielles e (, ) : x R, f(x,) f(,) x De même, y R, f(,y) f(,) y f(x,) f(,) =, doc lim x x = ; doc f x f(,y) f(,) =, doc lim y y Cotiuité des dérivées partielles e (, ) : D après (*) et (**), (x, y) R \{(, )}, f (x, y) 6 (x, y 5 x (x, y 4 = 6 (x, y) et f (x, y) 6 (x, y 5 y (x, y 4 f f Doc x (x, y) = = x (, ) et lim f y Doc f x lim (x,y) (,) f et y Coclusio : f x sot cotiues e (, ). (x,y) (,) f (, ) existe et x (, ) =. = ; doc f y = 6 (x, y). (x, y) = = f y (, ). f (, ) existe et y (, ) =. et f y existet et sot cotiues sur R, doc f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 58 aalyse Éocé exercice 58. Soit E et F deux R-espaces vectoriels ormés de dimesio fiie. Soit a E et soit f : E F ue applicatio. Doer la défiitio de "f différetiable e a".. Soit N. Soit E u R-espace vectoriel de dimesio fiie. Soit e = (e, e,..., e ) ue base de E. O pose : x E, x = max x i, où x = x i e i. i i= O pose : (x, y) E E, (x, y) = max( x, y ). O admet que. est ue orme sur E et que. est ue orme sur E E. Soit B : E E R ue forme biliéaire sur E. (a) Prouver que C R + / (x, y) E E, B(x, y) C x y. (b) Motrer que B est différetiable sur E E et détermier sa différetielle e tout (u, v ) E E. Corrigé exercice 58. Soit f : E F ue applicatio. Soit a E. f est différetiable e a L L C (E, F )/ au voisiage de, f(a + h) = f(a) + L(h) + o( h ). Remarque :. désige ue orme quelcoque sur E car, comme E est de dimesio fiie, toutes les ormes sur E sot équivaletes. Remarque : Comme E est de dimesio fiie, si L L(E, F ), alors L L C (E, F ).. (a) Soit (x, y) E.! (x, x,..., x ) R / x = x i e i et! (y, y,..., y ) R / y = i= Par biliéarité de B, o a B(x, y) = Doc B(x, y) Alors C= i= j= i= j= i= j= x i y j B(e i, e j ). i= j= y j e j. j= x i. y j. B(e i, e j ) B(e i, e j ) x. y. B(e i, e j ) coviet. (b) Soit (u, v ) E E. Par biliéarité de B o a : (u, v) E E, B(u + u, v + v) = B(u, v ) + B(u, v) + B(u, v ) + B(u, v). (*) O pose L((u, v)) = B(u, v) + B(u, v ). Vérifios que L est liéaire sur E E. Soit (x, y) E E. Soit (x, y ) E E. Soit α R. L ((x, y) + α(x, y )) = L((x + αx, y + αy )) = B((u, y + αy )) + B((x + αx, v )). Doc par biliéarité de B, L ((x, y) + α(x, y )) = B((u, y)) + αb((u, y )) + B((x, v )) + αb((x, v )). C est-à-dire L ((x, y) + α(x, y )) = L((x, y)) + αl((x, y )). O e déduit que L L(E E, R). Doc, comme E E est de dimesio fiie, L L C (E E, R). (**) De plus, d après.(a), C R + / (x, y) E, B(x, y) C (x y. Doc (x, y) E, B(x, y) C (x, y). O e deduit que, au voisiage de (, ), B(x, y) = o ( (x, y) ). (***) D après (*),(**) et (***), B est différetiable e (u, v ) et db((u, v )) = L. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

BANQUE ALGÈBRE EXERCICE 59 algèbre Éocé exercice 59 Soit E l espace vectoriel des polyômes à coefficiets das K (K = R ou K = C) de degré iférieur ou égal à. Soit f l edomorphisme de E défii par : P E, f (P ) = P P.. Démotrer que f est bijectif de deux maières : (a) sas utiliser de matrice de f, (b) e utilisat ue matrice de f.. Soit Q E. Trouver P tel que f (P ) = Q. Idicatio : si P E, quel est le polyôme P (+)? Corrigé exercice 59. (a) L applicatio f est clairemet liéaire. (*) De plus, P E\ {}, deg P < deg P doc deg(p P ) = deg P. Et, si P =, alors P P = doc deg(p P ) = deg P = O e déduit que P E, deg f(p ) = deg P. Doc f(e) E. (**) D après (*) et (**), f est bie u edomorphisme de E. Détermios ker f. Soit P ker f. f(p ) = doc P P = doc deg(p P ) =. Or, d après ce qui précéde, deg(p P ) = deg P doc deg P =. Doc P =. O e déduit que ker f = {}. Doc f est ijective. Or f L (E) et E est de dimesio fiie doc f est bijective. (b) Soit e la base caoique de E. Soit A la matrice de f das la base e. (). A =..... () det A = doc A est iversible et doc f est bijectif.. Soit Q E. D après.,!p E, tel que f(p ) = Q. Alors P P = Q, P P = Q,..., P () P (+) = Q (). Or P (+) =, doc, e sommat ces égalités, P = Q + Q + + Q (). CC BY-NC-SA 3. FR Page 73

EXERCICE 6 algèbre Éocé exercice 6 ( ) Soit la matrice A = 4. Détermier Kerf.. f est-il surjectif? 3. Trouver ue base de Kerf et ue base de Imf. et f l edomorphisme de M (R) défii par : f (M) = AM. Corrigé exercice 6 ( ) a b. Posos M = M c d (R). ( ) a + c b + d O a f(m) =. a + 4c b + 4d ( ) { a b a = c Alors M ker f (a, b, c, d) R 4 tel que M = avec c d b = d. ( ) c d C est-à-dire, M ker f (c, d) R tel que M =. {( ) ( )} c d O e déduit que ker f = Vect,.. ker f {}, doc f est o ijectif. Or f est u edomorphisme de M (R) et M (R) est de dimesio fiie. O e déduit que f est o surjectif. ( ) ( ) 3. O pose M = et M =. D après., la famille (M, M ) est géératrice de ker f. De plus, M et M sot o coliéaires doc (M, M ) est libre. Doc, (M, M ) est ue base de ker f. Par la formule du rag, rgf ( =. ) ( ) O pose M 3 = f(e, ) = et M 4 = f(e, ) =. 4 M 3 et M 4 sot o coliéaires doc (M 3, M 4 ) est ue famille libre de Imf. Comme rgf =, (M 3, M 4 ) est ue base de Imf. CC BY-NC-SA 3. FR Page 74

EXERCICE 6 algèbre Éocé exercice 6 O ote M (C) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre à coefficiets complexes. Pour A = (a i,j ) i M (C), o pose : A = a i,j. j. Prouver que est ue orme sur M (C). sup i j. Démotrer que : (A, B) (M (C)), AB A B. Puis, démotrer que, pour tout etier p, A p p A p. 3. Démotrer que, pour toute matrice A M (C), la série A p Est-elle covergete? Corrigé exercice 6 p! est absolumet covergete.. O remarque que A M (C), A. i- Soit A = (a i,j ) i M (C) telle que A =. j Comme (i, j) (, ), a i,j, o e déduit que (i, j) (, ), a i,j =, c est-à-dire a i,j =. Doc A =. ii- Soit A = (a i,j ) i M (C) et soit λ C. j λa = λa i,j = sup λ a i,j = λ sup a i,j = λ A. sup i j i j i j iii- Soit (A, B) (M (C)) avec A = (a i,j ) i j O a A + B = sup a i,j + b i,j. i j et B = (b i,j ) i. j Or, (i, j) (, ), a i,j + b i,j a i,j + b i,j A + B. O e déduit que A + B A + B.. Soit (A, B) (M (C)) avec A = (a i,j ) i, B = (b i,j ) i. j j Posos C = AB. O a C = (c i,j ) i avec (i, j) (, ), c i,j = a i,k b k,j. j k= Doc, (i, j) (, ), c i,j a i,k. (b k,j A B = A B. k= k= O e déduit que (A, B) (M (C)), AB A B. (*) Pour tout etier aturel p, otos (P p ) la propriété : A p p A p. Prouvos que (P p ) est vraie par récurrece. Pour p =, A = A, doc (P ) est vraie. Supposos la propriété (P p ) vraie pour u rag p, c est-à-dire A p p A p. Prouvos que (P p+ ) est vraie. A p+ = A A p doc, d après (*), A p+ A A p. Alors, e utilisat l hypothèse de récurrece, A p+ A p A p = p A p. O e déduit que (P p+ ) est vraie. 3. O a p N, A p p! ( A ) p. p! Or, x R, la série expoetielle x p coverge, doc ( A ) p coverge. p! p! Doc, par comparaiso de séries à termes positifs, la série A p est absolumet covergete. p! Or M (C) est de dimesio fiie, doc A p coverge. p! CC BY-NC-SA 3. FR Page 75

EXERCICE 6 algèbre Éocé exercice 6 Soit E u espace vectoriel sur R ou C. Soiet f et g deux edomorphismes de E tels que f g = Id.. Démotrer que Ker(g f) = Ker f.. Démotrer que Im(g f) = Im g. 3. Démotrer que E = Kerf Im g. Corrigé exercice 6. O a toujours ker f ker(g f). (*) Prouvos que ker(g f) ker f. Soit x ker(g f). O a g f(x) = E doc f g f(x) = f( E ) = E. Or f g = Id doc f(x) = E. Doc x ker f. O e déduit que ker(g f) ker f. (**) D après (*) et (**), ker(g f) = ker f.. O a toujours Im(g f) Img. (***) Prouvos que Img Im(g f). Soit y Img. x E tel que y = g(x). Or f g = Id doc y = g f g(x) = (g f)(g(x)). C est-à-dire y Im(g f). O e déduit que Img Im(g f). (****) Doc, d après (***) et (****), Im(g f) = Img 3. Soit x ker f Img. Alors, f(x) = et a E tel que x = g(a). Doc f g(a) =. Or f g = Id, doc a =. Or x = g(a) doc x =. Doc ker f Img = { E }. Soit x E. O peut écrire x = (x g(f(x))) + g(f(x)) avec : g(f(x)) Img et x g(f(x)) ker f car f (x g(f(x))) = f(x) (f g)(f(x)) = f(x) f(x) = E. Aisi E = ker f + Img. O e déduit que E = ker f Img. Remarque : O aurait pu remarquer que g f est u projecteur et coclure plus immédiatemet. Remarque : O aurait pu égalemet raisoer par aalyse et sythèse. CC BY-NC-SA 3. FR Page 76

EXERCICE 63 algèbre Éocé exercice 63 Soit u etier. O cosidère la matrice carrée d ordre à coefficiets réels :.... A =............. Pour, o désige par D le détermiat de A.. Démotrer que D + = D + D.. Détermier D e foctio de. 3. Justifier que la matrice A est diagoalisable. Le réel est-il valeur propre de A? Corrigé exercice 63. C est u détermiat tri-diagoal, il suffit de développer selo la première lige. () D + = D + +......... () Puis, e développat le secod détermiat obteu selo la première coloe, o obtiet D + = D + D.. (D ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique r r + =. Doc, so terme gééral est de la forme D = (λ + µ). Puisque D = et D = 3, o obtiet D = +. 3. La matrice A est symétrique réelle doc diagoalisable. D = + doc A est iversible. Doc l edomorphisme caoiquemet associé à A est ijectif. O e déduit que est pas valeur propre de A. CC BY-NC-SA 3. FR Page 77

EXERCICE 64 algèbre Éocé exercice 64 Soit f u edomorphisme d u espace vectoriel E de dimesio.. Démotrer que : E = Imf ker f = Imf = Imf.. (a) Démotrer que : Imf = Imf ker f = ker f. (b) Démotrer que : Imf = Imf = E = Imf ker f. Corrigé exercice 64. Supposos E = Imf ker f. Idépedammet de l hypothèse, o peut affirmer que Imf Imf (*) Motros que Imf Imf. Soit y Imf. Alors, x E tel que y = f(x). Or E = Imf ker f, doc (a, b) E ker f tel que x = f(a) + b. O a alors y = f (a) Imf. Aisi Imf Imf (**) D après (*) et (**), Imf = Imf.. (a) O a Imf Imf et ker f ker f. O e déduit que Imf = Imf rgf = rgf et ker f = ker f dim ker f = dim ker f. Alors, e utilisat le théorème du rag, Imf = Imf rgf = rgf dim ker f = dim ker f ker f = ker f. (b) Supposos Imf = Imf. Soit x Imf ker f. a E tel que x = f(a) et f(x) = E. O e déduit que f (a) = E c est à dire a ker f. Or, d après l hypothèse et.(a), ker f = ker f doc a ker f c est à dire f(a) = E. C est à dire x =. Aisi Imf ker f = { E }. (***) De plus, d après le théorème du rag, dim Imf + dim ker f = dim E. (****) Doc, d après (***) et (****), E = Imf ker f. CC BY-NC-SA 3. FR Page 78

EXERCICE 65 algèbre Éocé exercice 65 Soit u u edomorphisme d u espace vectoriel E sur le corps K (= R ou C). O ote K[X] l esemble des polyômes à coefficiets das K.. Démotrer que : (P, Q) K[X] K[X], (P Q)(u) = P (u) Q(u).. (a) Démotrer que : (P, Q) K[X] K[X], P (u) Q(u) = Q(u) P (u). (b) Démotrer que pour tout (P, Q) K[X] K[X] : (P polyôme aulateur de u)= (P Q polyôme aulateur de u) ( ) 3. Soit A =. Écrire le polyôme caractéristique de A, puis e déduire que le polyôme R = X 4 + X 3 + X 4X est u polyôme aulateur de A. Corrigé exercice 65. Soit (P, Q) (K[X]). m P = a p X p et Q = b q X q. p= Doc P Q = p= q= Doc (P Q)(u) = q= m ( ap b q X p+q). p= q= m ( ap b q u p+q) (*) ( ) ( m ) Or P (u) Q(u) = a p u p b q u q = p= q= Doc, par liéarité de u, P (u) Q(u) = ( m a p u p b q u ). q p= q= ( m ) a p u p b q u q = p= D après (*) et (**), (P Q)(u) = P (u) Q(u). q=. (a) Soit (P, Q) (K[X]). D après., P (u) Q(u) = (P Q)(u). De même, d après., Q(u) P (u) = (QP )(u). Or P Q = QP doc (P Q)(u) = (QP )(u). O e déduit que P (u) Q(u) = Q(u) P (u). p= q= (b) Soit (P, Q) (K[X]). O suppose que P est aulateur de u. Prouvos que P Q est aulateur de u. D après ; et.(a), (P Q)(u) = P (u) Q(u) = Q(u) P (u). (***) Or P est aulateur de u doc P (u) = doc, d après (***), (P Q)(u) =. O e déduit que P Q est aulateur de u. m ( ap b q u p+q). (**) 3. Notos P A (X) le polyôme caractéristique de A. P A (X) = det(xi A). O trouve P A (X) = X(X ). Soit R = X 4 + X 3 + X 4X. O remarque que R() = R() = et o e déduit que R est factorisable par X(X ). C est-à-dire : Q K [X] / R = X(X )Q. Or, d après le théorème de Cayley-Hamilto, P A (X) = X(X ) aule A. Doc, d après.b., comme R = P A (X)Q, R est aulateur de A. CC BY-NC-SA 3. FR Page 79

EXERCICE 66 algèbre Éocé exercice 66 O ote p u etier aturel supérieur ou égal à. O cosidère das Z la relatio d équivalece R défiie par : O ote Z/pZ l esemble des classes d équivalece pour cette relatio R.. Quelle est la classe d équivalece de? Quelle est celle de p? x R y déf. k Z tel que x y = kp.. Doer soigeusemet la défiitio de l additio usuelle et de la multiplicatio usuelle das Z/pZ. O justifiera que ces défiitios sot cohéretes. 3. O admet que, mui de ces opératios, Z/pZ est u aeau. Démotrer que Z/pZ est u corps si et seulemet si p est premier. Corrigé exercice 66. Les classes d équivaleces de et de p sot toutes deux égales à l esemble des multiples de p, c est-à-dire à pz.. Soit (a, b) (Z/pZ). O pose a + b = a + b et a b = ab. Cette défiitio est cohérete car elle e déped pas des représetats a et b choisis pour a et b. E effet, soit (a, b ) Z tel que a = a et b = b. Alors il existe Z tel que a = a + p et il existe m Z tel que b = b + mp. Doc a + b = a + b + ( + m)p, c est-à-dire a + b = a + b. Et a b = ab + (am + b + mp)p, c est-à-dire a b = ab. 3. Supposos p premier. Alors Z/pZ est commutatif et o réduit à { } car p. Soit ā Z/pZ tel que ā. ā doc p e divise pas a. Or p est premier doc p est premier avec a. Par le théorème de Bézout, il existe (u, v) Z tel que au + pv = doc ā ū =. Doc a est iversible et (ā) = ū. Aisi, les élémets o uls de Z/pZ sot iversibles et fialemet Z/pZ est u corps. Supposos que Z/pZ est u corps. Soit k, p. k doc, comme Z/pZ est u corps, il existe k Z tel que k k =. C est-à-dire il existe v Z tel que kk = + vp c est-à-dire k k vp =. Doc, d après le théorème de Bézout, k p = et doc, comme k, k e divise pas p. O e déduit que les seuls diviseurs positifs de p sot et p. Doc p est premier. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 67 algèbre Éocé exercice 67 a c Soit la matrice M = b c où a, b, c sot des réels. b a M est-elle diagoalisable das M 3 (R)? M est-elle diagoalisable das M 3 (C)? Corrigé exercice 67 χ M (X) = det(xi 3 M). Après calculs, o trouve, χ M (X) = X(X + ca ba bc). Premier cas : ca ba bc < M est diagoalisable das M 3 (R) car M possède trois valeurs propres réelles distictes. Elle est, a fortiori, diagoalisable das M 3 (C). Deuxième cas : ca ba bc = Alors, est la seule valeur propre de M. Aisi, si M est diagoalisable, alors M est semblable à la matrice ulle c est-à-dire M = ou ecore a = b = c =. Réciproquemet, si a = b = c = alors M = et doc M est diagoalisable. O e déduit que M est diagoalisable si et seulemet si a = b = c =. Troisième cas : ca ba bc > Alors est la seule valeur propre réelle et doc M est pas diagoalisable das M 3 (R) car χ A (X) est pas scidé sur R[X]. E revache, M est diagoalisable das M 3 (C) car elle admet trois valeurs propres complexes distictes. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 68 algèbre Éocé exercice 68 Soit la matrice A =.. Démotrer que A est diagoalisable de quatre maières : (a) sas calcul, (b) e calculat directemet le détermiat det(λi 3 A), où I 3 est la matrice idetité d ordre 3, et e détermiat les sous-espaces propres, (c) e utilisat le rag de la matrice, (d) e calculat A.. O suppose que A est la matrice d u edomorphisme u d u espace euclidie das ue base orthoormée. Trouver ue base orthoormée das laquelle la matrice de u est diagoale. Corrigé exercice 68. (a) La matrice A est symétrique réelle doc diagoalisable das ue base orthoormée de vecteurs propres. (b) O obtiet det(λi 3 A) = λ (λ 3). E 3 (A) = Vect(,, ) et E (A) : x y + z =. Doc A est diagoalisable car dim E 3 (A) + dim E (A) = 3. (c) rga = doc dim E (A) =. O e déduit que est valeur propre au mois double de la matrice A. Puisque tra = 3 et que tra est la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec leur multiplicité, la matrice A admet ue troisième valeur propre qui vaut 3 et qui est écessairemet simple. Comme das la questio précédete, o peut coclure que A est diagoalisable car dim E 3 (A) + dim E (A) = 3. (d) O obtiet A = 3A doc A est diagoalisable car cette matrice aule le polyôme X 3X qui est scidé à racies simples.. O ote e = ( u, v, w) la base caoique de R 3. O ote ( ) le produit scalaire caoique sur R 3. Soit f l edomorphisme caoiquemet associé à A. A est symétrique réelle et e est ue base orthoormée, doc f est u edomorphisme symétrique et, d après le théorème spectral, f est diagoalisable das ue base orthoormée de vecteurs propres. O sait égalemet que les sous-espaces propres sot orthogoaux doc il suffit de trouver ue base orthoormée de chaque sous-espace propre pour costruire ue base orthoormée de vecteurs propres. E 3 (f) = Vect(,, ) et E (f) : x y + z =. Doc u = ( i j + k) est ue base orthoormée de E 3 (f). 3 i + j et i j k sot deux vecteurs orthogoaux de E (f). O les ormalise et o pose v = ( i + j) et w = ( i j ) k. 6 Alors ( v, w) ue base orthoormée de E (f). O e déduit que ( u, v, w) est ue base orthoormée de vecteurs propres de f. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 69 algèbre Éocé exercice 69 a O cosidère la matrice A = a où a est u réel. a. Détermier le rag de A.. Pour quelles valeurs de a, la matrice A est-elle diagoalisable? Corrigé exercice 69. Après calcul, o trouve det A = a(a + ). Premier cas : a et a Alors, det A doc A est iversible. Doc rga = 3. Deuxième cas : a = A = doc rga =. Troisième cas : a = A = doc rga car les deux première coloes de A sot o coliéaires. Or det A = doc rga. O e déduit que rga =.. Notos P A (X) le polyôme caractéristique de A. X a P A (X) = a X a X Alors, e ajoutat à la première coloe la somme des deux autres puis, e soustrayat la première lige aux deux autres liges, o trouve successivemet : a a P A (X) = (X a ) X = (X a ) X + a X + a X +. Doc, e développat par rapport à la première coloe, P A (X) = (X a )(X + a)(x + ). Les racies de P A (X) sot a +, a et. a + = a a =. a + = a =. a = a =. Ce qui amèe aux trois cas suivats : Premier cas : a, a et a Alors A admet trois valeurs propres disctictes. Doc A est diagoalisable. Deuxième cas : a = P A (X) = (X )(X + ). Alors A est diagoalisable si et seulemet si dim E =, c est-à-dire rg(a + I 3 ) =. Or A + I 3 = doc rg(a + I 3 ) =. Doc A est diagoalisable. Troisième cas : a = Alors, P A (X) = (X + ) (X ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 83

A + I 3 = Les deux premières coloes de A + I 3 e sot pas coliéaires, doc rg(a + I 3 ). De plus, est valeur propre de A, doc rg(a + I 3 ). Aisi, rg(a + I 3 ) = et dim E =. Or l ordre multiplicité de la valeur propre das le polyôme caractéristique est. O e déduit que A est pas diagoalisable. Quatrième cas : a = P A (X) = (X ) (X + ). A I 3 =. Les deux premières coloes de A I 3 sot o coliéaires, doc rg(a I 3). De plus, est valeur propre doc rg(a I 3). Aisi, rg(a I 3) = et dim E =. Or l ordre de multiplicité de la valeur propre das le polyôme caractéristique est. O e déduit que A est o diagoalisable. CC BY-NC-SA 3. FR Page 84

EXERCICE 7 algèbre Éocé exercice 7 Soit A = M 3 (C).. Détermier les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagoalisable?. Soit (a, b, c) C 3 et B = ai 3 + ba + ca, où I 3 désige la matrice idetité d ordre 3. Déduire de la questio. les élémets propres de B. Corrigé exercice 7. χ A (X) = (X 3 ) doc SpA = {, j, j }. O e déduit que A est diagoalisable das M 3 (C) car elle admet trois valeurs propres distictes. O pose E (A) = ker(a I 3 ), E j (A) = ker(a ji 3 ) et E j (A) = ker(a j I 3 ). Après résolutio, o trouve E (A) = Vect et E j (A) = Vect j. j Et, par cojugaiso (comme A est à coefficiets réels), E j (A) = Vect j. j. Soit e = (e, e, e 3 ) la base caoique de C 3, vu comme u C-espace vectoriel. Soit f l edomorphisme caoiquemet associé à A. O pose e = (,, ), e = (, j, j), e 3 = (, j, j ) et e = (e, e, e 3). D après., e est ue base de vecteurs propres pour f. Soit P la matrice de passage de e à e. O a P = j j. Soit D = j. j j j Alors, D = P AP, c est-à-dire A = P DP. O e déduit que B = ai 3 + bp DP + cp D P = P ( ai 3 + bd + cd ) P. Q() C est-à-dire, si o pose Q = a + bx + cx, alors B = P Q(j) P. Q(j ) O e déduit que B est diagoalisable et que les valeurs propres de B sot Q(), Q(j) et Q(j ). De plus, E Q() (B) = E (A) = Vect E Q(j) (B) = E j (A) = Vect j et j E Q(j )(B) = E j (A) = Vect j. j CC BY-NC-SA 3. FR Page 85

EXERCICE 7 algèbre Éocé exercice 7 Soit p, la projectio vectorielle de R 3, sur le pla P d équatio x + y + z =, parallèlemet à la droite D d équatio x = y = z 3.. Vérifier que R 3 = P D.. Soit u = (x, y, z) R 3. Détermier p(u) et doer la matrice de p das la base caoique de R 3. 3. Détermier ue base de R 3 das laquelle la matrice de p est diagoale. Corrigé exercice 7. D = Vect ((,, 3)). (,, 3) P car les coordoées du vecteur (,, 3) e vérifiet pas l équatio de P. Doc D P = {}. (*) De plus, dim D + dim P = + = dim R 3. (**) D après (*) et (**), R 3 = P D.. Soit u = (x, y, z) R 3. Par défiitio d ue projectio, p(u) P et u p(u) D. u p(u) D sigifie que α R tel que u p(u) = α(,, 3). O e déduit que p(u) = (x α, y α, z 3α). (***) Or p(u) P doc (x α) + (y α) + (z 3α) =, c est-à-dire α = (x + y + z). 6 Et doc, d après (***), p(u) = (5x y z, x + 4y z, 3x 3y + 3z). 6 Soit e = (e, e, e 3 ) la base caoique de R 3. Soit A la matrice de p das la base e. O a A = 5 4. 6 3 3 3 3. O pose e = (,, 3), e = (,, ) et e 3 = (,, ). e est ue base de D et (e, e 3) est ue base de P. Or R 3 = P D doc e = (e, e, e 3) est ue base de R 3. De plus e D doc p(e ) =. e P et e 3 P doc p(e ) = e et p(e 3) = e 3. Aisi, M(p, e ) =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 86

EXERCICE 7 Éocé exercice 7 Soit f u edomorphisme d u espace vectoriel E de dimesio, et soit e = (e,..., e ) ue base de E. O suppose que f(e ) = f(e ) = = f(e ) = v, où v est u vecteur doé de E.. Doer le rag de f.. f est-il diagoalisable? (discuter e foctio du vecteur v) Corrigé exercice 7. Si v = E alors f est la foctio ulle et doc rgf =. Si v alors rgf = car, si o ote c, c,..., c les coloes de la matrice A de f das la base caoique e, alors c et c = c =... = c.. Premier cas : v = E alors f est la foctio ulle et doc f est diagoalisable. Deuxième cas : v E. Alors rgf = et doc dim ker f =. Doc est valeur propre de f et, si o ote m l ordre de multiplicité de la valeur propre das le polyôme caractéristique de f, alors m. O e déduit alors que : λ K / P f (X) = X (X λ). (*) Et doc, tr(f) = λ. e est ue base de E doc :! (x, x,..., x ) K / v = x e + x e +... + x e. E écrivat la matrice de f das la base e, o obtiet alors tr(f) = x + x +... + x. Aisi, λ = x + x +... + x. (**) Ce qui amèe à la discussio suivate : Premier sous- cas : si x + x +... + x D après (*) et (**), λ = x + x +... + x est ue valeur propre o ulle de f et dim E λ =. Aisi, dim E + dim E λ = et doc f est diagoalisable. Deuxième sous- cas : si x + x +... + x = Alors, d après (*) et (**), P f (X) = X. Doc est valeur propre d ordre de multiplicité das le polyôme caractéristique. Or dim E =. Doc f est pas diagoalisable. Remarque das le cas où v Comme x = x e + x e +... + x e, alors, par liéarité de f, f(v) = x f(e ) + x f(e ) +... + x f(e ). C est-à-dire, f(v) = (x + x +... + x )v. (***) O e déduit que : x + x +...x = f(v) =. De plus, das le cas où x + x +...x, alors, d après (***), v est u vecteur propre associé à la valeur propre λ = x + x +... + x et d après ce qui précéde, E f (λ) = Vect(v). CC BY-NC-SA 3. FR Page 87

EXERCICE 73 algèbre Éocé exercice 73 ( ) O pose A =. 4. Détermier les valeurs propres et les vecteurs propres de A. ( ) 3. Détermier toutes les matrices qui commutet avec la matrice. E déduire que l esemble des matrices qui commutet avec A est Vect (I, A). Corrigé exercice 73. O obtiet le polyôme caractéristique χ A = (X 3)(X + ) et doc SpA = {, 3}. Après résolutio (( des équatios AX (( = 3X et AX = X, o obtiet : E 3 = Vect et E )) = Vect. 4)) ( ) a b. Soit N =. c d { b = 3b ND = DN b = c = N diagoale. 3c = c O a A = P DP avec P = ( 4 ) et D = ( ) 3. Soit M M (R). AM = MA P DP M = MP DP ( D(P) MP ) = (P ( MP ) )D P MP commute avec D. a a C est-à-dire, AM = MA P MP = M = P P d d. { ( ) } a Doc, l espace des matrices commutat avec A est C(A) = P P d avec (a, d) R. C est u pla vectoriel. De plus, pour des raisos d iclusio (I C(A) et A C(A)) et d égalité des dimesios, C(A) = Vect(I, A). CC BY-NC-SA 3. FR Page 88

EXERCICE 74 algèbre Éocé exercice 74. O cosidère la matrice A =. (a) Justifier sas calcul que A est diagoalisable. (b) Détermier les valeurs propres de A puis ue base de vecteurs propres associés. x = x + z. O cosidère le système différetiel y = y, x, y, z désigat trois foctios de la variable t, z = x + z dérivables sur R. E utilisat la questio. et e le justifiat, résoudre ce système. Corrigé exercice 74. (a) A est symétrique réelle doc diagoalisable. + X (b) P A (X) = det(xi 3 A) = + X + X. E développat par rapport à la première lige, o obtiet, après factorisatio : P A (X) = (X )(X + )(X 3). O obtiet aisémet, E = Vect, E = Vect et E 3 = Vect. O pose e = (,, ), e = (,, ) et e 3 = (,, ). Alors, e = (e, e, e 3) est ue base de vecteurs propres pour l edomorphisme f caoiquemet associé à la matrice A. x = x + z. Notos (S) le système y = y. z = x + z x(t) Posos X(t) = y(t). z(t) Alors, (S) X = AX. O ote P la matrice de passage de la base caoique e de R 3 à la base e. D après., P =. Et, si o pose D =, alors A = P DP. 3 Doc (S) P X = DP X. x (t) O pose alors X = P X et X (t) = y (t). z (t) Aisi, par liéarité de la dérivatio, (S) X = DX x = x y = y z = 3z O résout alors chacue des trois équatios différetielles d ordre qui costituet ce système. O trouve x (t) = ae t y (t) = be t avec (a, b, c) R 3. z (t) = ce 3t Efi, o détermie x, y, z e utilisat la relatio X = P X. CC BY-NC-SA 3. FR Page 89

x(t) = be t + ce 3t O obtiet : y(t) = ae t avec (a, b, c) R 3. z(t) = be t + ce 3t CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 75 algèbre Éocé exercice 75 O cosidère la matrice A = ( ) 4. 3. Démotrer que A est pas diagoalisable.. O ote f l edomorphisme de R caoiquemet associé à A. Trouver ue base (v, v ) de R das laquelle la matrice de f est de la forme O doera explicitemet les valeurs de a, b et c. { x 3. E déduire la résolutio du système différetiel = x 4y y = x + 3y Corrigé exercice 75. O obtiet le polyôme caractéristique χ A (X) = (X ), doc SpA = {}. Si A était diagoalisable, alors A serait semblable à I, doc égale à I. Ce est visiblemet pas le cas et doc A est pas diagoalisable.. ( ) a b. c. χ A (X) état scidé, A est trigoalisable. E (A) = Vect ((, )). Pour v = (, ) et v = (, ) ((choisi de ) sorte que f(v ) = v + v ) o obtiet ue base (v, v ) das laquelle la matrice de f est T =. ( ) 3. O a A = P T P avec P =. ( ) ( ) x a Posos X = et Y = P X =. y b Le système différetiel étudié équivaut à l équatio X = AX qui équivaut ecore, grâce à la liéarité de la dérivatio, à l équatio Y = T Y. { { a = a + b a(t) = λe t + µte t Cela ous amèe à résoudre le système b de solutio géérale = b b(t) = µe t { Efi, par la relatio X = P Y o obtiet la solutio géérale du système iitial : x(t) = ((λ µ) + µt) e t y(t) = ( λ µt) e t CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 76 algèbre Éocé exercice 76 Soit E u R-espace vectoriel mui d u produit scalaire oté ( ). O pose x E, x = (x x).. (a) Éocer et démotrer l iégalité de Cauchy-Schwarz. (b) Das quel cas a-t-o égalité? Le démotrer.. Soit E = {f C ([a, b], R) {, x [a, b] f(x) > }. b } b Prouver que l esemble f(t)dt a a f(t) dt, f E admet ue bore iférieure m et détermier la valeur de m. Corrigé exercice 76. (a) Soit E u R-espace vectoriel mui d u produit scalaire oté ( ). O pose x E, x = (x x). Iégalité de Cauchy-Schwarz : (x, y) E, (x y) x y Preuve : Soit (x, y) E. Posos λ R, P (λ) = x + λy. O remarque que λ R, P (λ). De plus, P (λ) = (x + λy x + λy). Doc, par biliéarité et symétrie de ( ), P (λ) = y λ + λ (x y) + x. O remarque que P (λ) est u triôme e λ si et seulemet si y. Premier cas : si y = Alors (x y) = et x y = doc l iégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée. Deuxième cas : y Alors y = (y y) car y et ( ) est ue forme biliéaire symétrique défiie positive. Doc, P est u triôme du secod degré e λ qui est positif ou ul. O e déduit que le discrimiat réduit est égatif ou ul. Or = (x y) x y doc (x y) x y. Et doc, (x y) x y. (b) O repred les otatios de.. Prouvos que (x, y) E, (x y) = x y x et y sot coliéaires. Supposos que (x y) = x y. Premier cas : si y = Alors x et y sot coliéaires. Deuxième cas : si y Alors le discrimiat de P est ul et doc P admet ue racie double λ. C est-à-dire P (λ ) = et comme ( ) est défiie positive, alors x + λ y =. Doc x et y sot coliéaires. Supposos que x et y soiet coliéaires. Alors α R tel que x = αy ou y = αx. Supposos par exemple que x = αy (raisoemet similaire pour l autre cas). (x y) = α. (y y) = α y et x y = (x x) y = α (y y) y = α. y. Doc, o a bie l égalité.. O pose A = { b a a b f(t)dt a } f(t) dt, f E. A R. A car (b a) A ( valeur obteue pour la foctio t de E). b b De plus, f E, f(t)dt dt doc A est miorée par. f(t) a O e déduit que A admet ue bore iférieure et o pose m = if A. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

Soit f E. O cosidère la quatité D ue part, a ( b a ( b f(t) f(t) dt) = a f(t) f(t) dt). ( b dt) = (b a). a D autre part, si o utilise l iégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire usuel sur C ([a, b], R), o obtiet ( : b b f(t) dt) f(t) O e déduit que f E, Doc m (b a). a b a b f(t)dt a b f(t)dt a f(t) dt. f(t) dt (b a). Et, si o cosidère la foctio f : t de E, alors Doc m = (b a). b a b f(t)dt a f(t) dt = (b a). CC BY-NC-SA 3. FR Page 93

EXERCICE 77 algèbre Éocé exercice 77 Soit E u espace euclidie.. Soit A u sous-espace vectoriel de E. Démotrer que ( A ) = A.. Soiet F et G deux sous-espaces vectoriels de E. (a) Démotrer que (F + G) = F G. (b) Démotrer que (F G) = F + G. Corrigé exercice 77. O a A ( A ). (*) E effet, x A, y A, (x y) =. C est-à-dire, x A, x (A ). Comme E est u espace euclidie, E = A A doc dim A = dim A. De même, E = A ( A ) doc dim ( A ) = dim A. Doc dim ( A ) = dim A. (**) D après (*) et (**), ( A ) = A.. (a) Procédos par double iclusio. Prouvos que F G (F + G). Soit x F G. Soit y F + G. Alors (f, g) F G tel que y = f + g. (x y) = (x f) } {{ } = car f F et x F + (x g) } {{ } = car g G et x G Doc y (F + G), (x y) =. Doc x (F + G). =. Prouvos que (F + G) F G. Soit x (F + G). y F, o a (x y) = car y F F + G. Doc x F. De même, z G, o a (x z) = car z G F + G. Doc x G. O e déduit que x F G. Fialemet, par double iclusio, (F + G) = F G. (b) D après.(a), appliquée à F et à G, o a ( F + G ) = ( F ) ( G ). Doc, d après., ( F + G ) = F G. ( (F Doc + G ) ) = (F G). C est-à-dire, e utilisat. à ouveau, F + G = (F G). CC BY-NC-SA 3. FR Page 94

EXERCICE 78 algèbre Éocé exercice 78 Soit E u espace euclidie de dimesio et u u edomorphisme de E. O ote (x y) le produit scalaire de x et de y et. la orme euclidiee associée.. Soit u u edomorphisme de E, tel que : x E, u(x) = x. (a) Démotrer que : (x, y) E (u(x) u(y)) = (x y). (b) Démotrer que u est bijectif.. Démotrer que l esemble O(E) des isométries vectorielles de E, mui de la loi, est u groupe. 3. Soit u L(E). Soit e = (e, e,..., e ) ue base orthoormée de E. Prouver que : u O(E) (u(e ), u(e ),..., u(e )) est ue base orthoormée de E. Corrigé exercice 78. Soit u L(E) tel que (x, y) E, (u(x) u(y)) = (x y). (a) Soit (x, y) E. O a, d ue part, u(x + y) = x + y = x + (x y) + y. (*) D autre part, u(x + y) = u(x) + u(y) = u(x) + (u(x) u(y)) + u(y) = x + (u(x) u(y)) + y. (**) O e déduit, d après (*) et (**), que (u(x) u(y)) = (x y). (b) Soit x ker u. Par hypothèse, = u(x) = x. Doc x =. Doc ker u = { E }. Doc u est ijectif. Puisque E est de dimesio fiie, o peut coclure que l edomorphisme u est bijectif.. Motros que l esemble O(E) des edomorphismes orthogoaux est u sous-groupe du groupe liéaire (GL(E), ). O a O(E) GL(E) e vertu de ce qui précède. O a aussi, évidemmet, Id E O(E). Doc O(E). Soiet (u, v) (O(E)). x E, u v (x) = u(v (x)) = v (x) car u O(E). Et v (x) = v(v (x)) = x car v O(E). Doc x E, u v (x) = x. O e déduit, d après.(a), que u v O(E). 3. Soit u L(E). Soit e = (e, e,..., e ) ue base orthoormée de E. Supposos que u O(E). Soit (i, j) (, ). u O(E) doc (u(e i ) u(e j )) = (e i e j ). Or e est ue base orthoormée de E doc (u(e i ) u(e j )) = δ j i où δj i désige le symbole de Kroecker. O e déduit que (i, j) (, ),(u(e i ) u(e j )) = δ j i. C est à dire (u(e ), u(e ),..., u(e )) est ue famille orthoormée de E. Doc, c est ue famille libre à élémets de E avec dim E =. Doc (u(e ), u(e ),..., u(e )) est ue base orthoormée de E. Réciproquemet, supposos que (u(e ), u(e ),..., u(e )) est ue base orthoormée de E. Soit x E. Comme e est ue base orthoormée de E, x = x i e i. i= x = x i e i x j e j = x i x j (e i e j ). i= j= i= j= CC BY-NC-SA 3. FR Page 95

Or e est ue base orthoormée de E doc x = i= x i. (*) De même, par liéarité de u, u(x) = ( x i u(e i ) x j u(e j )) = i= j= i= j= Or (u(e ), u(e ),..., u(e )) est ue base orthoormée de E, doc u(x) = D après (*) et (**), x E, u(x) = x. Doc, d après.(a), u O(E). x i x j (u(e i ) u(e j )). x i. (**) i= CC BY-NC-SA 3. FR Page 96

EXERCICE 79 algèbre Éocé exercice 79 Soit a et b deux réels tels que a<b.. Soit h ue foctio cotiue et positive de [a, b] das R. Démotrer que b a h(x)dx = = h =.. Soit E le R-espace vectoriel des foctios cotiues de [a, b] das R. O pose, (f, g) E, (f g) = b a f(x)g(x)dx. Démotrer que l o défiit aisi u produit scalaire sur E. 3. Majorer xe x dx e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz. Corrigé exercice 79. Soit h ue foctio cotiue et positive de [a, b] das R telle que O pose x [a, b], F (x) = x a h(t)dt. h est cotiue sur [a, b] doc F est dérivable sur [a, b]. De plus, x [a, b], F (x) = h(x). Or h est positive sur [a, b] doc F est croissate sur [a, b]. (*) Or F (a) = et, par hypothèse, F (b) =. C est à dire F (a) = F (b). (**) D après (*) et (**), F est costate sur [a, b]. Doc x [a, b], F (x) =. C est à dire, x [a, b], h(x) =.. O pose (f, g) E, (f g) = b a f(x)g(x)dx. b a h(x)dx =. Par liéarité de l itégrale, ( ) est liéaire par rapport à sa première variable. Par commutatitivité du produit sur R, ( ) est symétrique. O e déduit que ( ) est ue forme biliéaire symétrique. (*) Soit f E. (f f) = b a f (t)dt. Or t f (t) est positive sur [a, b] et a < b doc (f f). Doc ( ) est positive. (**) Soit f E telle que (f f) =. Alors b a f (t)dt =. Or t f (t) est positive et cotiue sur [a, b]. Doc, d après., f est ulle sur [a, b]. Doc ( ) est défiie. (***) D après (*), (**) et (***), ( ) est u produit scalaire sur E. e 3. L iégalité de Cauchy-Schwarz doe xe x dx x dx e x dx =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 97

EXERCICE 8 algèbre Éocé exercice 8 Soit E l espace vectoriel des applicatios cotiues et π-périodiques de R das R. π. Démotrer que (f g) = f (t) g (t) dt défiit u produit scalaire sur E. π. Soit F le sous-espace vectoriel egedré par f : x cos x et g : x cos (x). Détermier le projeté orthogoal sur F de la foctio u : x si x. Corrigé exercice 8 π. O pose (f, g) E, (f g) = f(x)g(x)dx. π Par liéarité de l itégrale, ( ) est liéaire par rapport à sa première variable. Par commutatitivité du produit sur R, ( ) est symétrique. O e déduit que ( ) est ue forme biliéaire symétrique. (*) π Soit f E. (f f) = f (t)dt. π Or t f (t) est positive sur [, π] et < π doc (f f). Doc ( ) est positive. (**) Soit f E telle que (f f) =. Alors π f (t)dt =. Or t f (t) est positive et cotiue sur [, π]. Doc, f est ulle sur [, π]. Or f est π-périodique doc f =. Doc ( ) est défiie. (***) D après (*), (**) et (***), ( ) est u produit scalaire sur E.. O a x R, si x = cos(x). x cos(x) F. De plus, si o ote h l applicatio x, (h f) = 4π π cos tdt = et (h g) = 4π π cos(t)dt = doc h F (car F = Vect(f, g)). O e déduit que le projeté orthogoal de u sur F est x cos(x). CC BY-NC-SA 3. FR Page 98

EXERCICE 8 algèbre Éocé exercice 8 O défiit das M (R) M (R) l applicatio ϕ (A, A ) = tr ( t AA ), où tr ( t AA ) désige la trace du produit de la matrice t A {( par la matrice ) A. a b O ote F =, (a, b) R }. b a O admet que ϕ est u produit scalaire sur M (R).. Démotrer que F est u sous-espace vectoriel de M (R).. Détermier ue base de F. 3. Détermier la projectio orthogoale de J = 4. Calculer la distace de J à F. ( ) sur F. Corrigé exercice 8 ( ). O a immédiatemet F = Vect(I, K) avec K =. O peut doc affirmer que F est u sous-espace vectoriel de M (R). F = Vect(I, K) doc (I, K) est ue famille géératrice de F. De plus, I et K sot o coliéaires doc la famille (I, K) est libre. O e déduit que (I, K) est ue base de F. ( ) a b. Soit M = M c d (R). Comme (I, K) est ue base de F, M F ϕ(m, I ) = et ϕ(m, K) =. C est-à-dire, M F a + d = et b c =. Ou ecore, M F d = a et c = b. ( ) ( ) O e déduit que F = Vect (A, B) avec A = et B =. (A, B) est ue famille libre et géératrice de F doc (A, B) est ue base de F. 3. O peut écrire J = I + B avec I F et B F (. ) Doc le projeté orthogoal de J sur F est B =. 4. O ote d(j, F) la distace de J à F. D après le cours, d(j, F) = J p F (J) où p F (J) désige le projeté orthogoal de J sur F. O peut écrire à ouveau que J = I + B avec I F et B F. Doc p F (J) = I. O e déduit que d(j, F) = J p F (J) = J I = B =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 99

EXERCICE 8 algèbre Éocé exercice 8 Soit E u espace préhilbertie et F u sous-espace vectoriel de E de dimesio fiie >. O admet que pour tout x E, il existe u élémet uique y de F tel que x y soit orthogoal à F et que la distace de( x à F) soit égale( à x ) y. a b a Pour A = et A c d b = c d, o pose (A A ) = aa + bb + cc + dd.. Démotrer que (.. ) est u produit scalaire sur M (R). ( ). Calculez la distace de la matrice A = au sous-espace vectoriel F des matrices triagulaires supérieures. Corrigé exercice 8. O pose E ( = M )(R). ( ) a b a b Pour A = E et B = c d c d E, o pose (A B) = aa + bb + cc + dd. ( ) ( ) ( ) a b a Soit A = E, A c d b = a b c d E, B = c d E. Soit α R. (( ) ( )) a + a (A + A b + b B) = a b c + c d + d c d = (a + a )a + (b + b )b + (c + c )c + (d + d )d. Doc (A + (( A B) = (aa ) ( + bb + )) cc + dd ) + (a a + b b + c c + d d ) = (A B) + (A B). αa αb a b (αa B) = αc αd c d = αaa + αbb + αcc + αdd = α (A B). O e déduit que (.. ) est liéaire par rapport à sa première variable. De plus, par commutativité du produit sur R, (.. ) est symétrique. Doc (.. ) est ue forme biliéaire et symétrique. (*) ( ) a b Soit A = E. c d (A A) = a + b + c + d. Doc (..) est positive. (**) ( ) a b Soit A = E telle que (A A) =. c d Alors a + b + c + d =. Comme il s agit d ue somme de termes tous positifs, o e déduit que a = b = c = d = doc A =. Doc (.. ) est défiie. (***) D après (*), (**) et (***), (.. ) est u produit scalaire sur E. ( ). A =. ( ) ( ) O a A = +. ( ) ( ) (( ) F et F car (a, b, d) R 3, ( )) a b =. d O e déduit que le projeté orthogoal, oté p F (A), de A sur F est la matrice Aisi, d(a, F ) = A p F (A) = ( ) =. ( ). CC BY-NC-SA 3. FR Page

Exercice 83 algèbre Éocé exercice 83 Soit u et v deux edomorphismes d u espace vectoriel E.. Soit λ u réel o ul. Prouver que si λ est valeur propre de u v, alors λ est valeur propre de v u.. O cosidère sur E = R [X] les edomorphismes u et v défiis par u : P X P et v : P P. Détermier ker(u v) et ker(v u). Le résultat de la questio. reste-t-il vrai pour λ =? 3. Si E est de dimesio fiie, démotrer que le résultat de la première questio reste vrai pour λ =. O pourra utiliser, sas démostratio, que est valeur propre d u edomorphisme w de E (espace de dimesio fiie) si et seulemet si det w =. Corrigé exercice 83. Soit λ. Si λ valeur propre de u v alors x E \ {} / (u v)(x) = λx. ( ) O a alors v(u v(x)) = λv(x) c est-à-dire (v u)(v(x)) = λv(x) ( ). Si v(x) = alors, d après ( ), λx =. Ce qui est imppossible car x et λ. Doc v(x). Doc, d après ( ), v(x) est u vecteur propre de v u associé à la valeur propre λ.. O trouve que v u = Id et u v : P P (X) P (). Aisi ker(v u) = {} et ker(u v) = R [X]. O observe que est valeur propre de u v mais est pas valeur propre de v u. O costate doc que le résultat de la questio. est faux pour λ =. 3. Si E est de dimesio fiie, comme det(u v) = det u det v = det(v u) alors : est valeur propre de u v det(u v) = det(v u) = est valeur propre de v u. Remarque : le résultat de la questio. est vrai pour λ = si et seulemet si E est de dimesio fiie. Remarque :Si E est de dimesio fiie, u v et v u ot les mêmes valeurs propres. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 84 algèbre Éocé exercice 84. Doer la défiitio d u argumet d u ombre complexe o ul (o e demade i l iterprétatio géométrique, i la démostratio de l existece d u tel ombre).. Soit N. Doer, e justifiat, les solutios das C de l équatio z = et préciser leur ombre. 3. E déduire, pour N, les solutios das C de l équatio (z + i) = (z i) et démotrer que ce sot des ombres réels. Corrigé exercice 84. Soit z u complexe o ul. Posos z = x + iy avec x et y réels. U argumet de z est u réel θ tel que z z = eiθ avec z = x + y.. Soit z = re iθ avec r > et θ R. r = O a z = et θ = mod π r = et θ = kπ avec k Z Les réels kπ kπ, pour k,, sot deux à deux disticts et k,, [, π[. [, π[ C Or θ e iθ est ijective. { } Doc, e ikπ avec k, est costitué de solutios distictes de l équatio z =. Les solutios de l équatio z = état égalemet racies du polyôme X, il e peut y e avoir d autres. { } Fialemet, l esemble des solutios de l équatio z = est S = e ikπ avec k,. 3. z = i état pas solutio de ( l équatio ) (z + i) = (z i), (z + i) = (z i) z + i = z i k, tel que z + i z i = e ikπ ( ) k, tel que z e ikπ ( = i + e ikπ ) ( ) E remarquat que z e ikπ ( = i + e ikπ (z + i) = (z i) k, tel que z = i e ikπ + e ikπ E écrivat i e ikπ + réels. e ikπ ikπ = i e ikπ e + e ikπ e ikπ ) admet pas de solutio pour k =, o e déduit que : = i cos ( ) kπ ( ) = kπ i si ta( kπ, o voit que les solutios sot des ) O pouvait aussi voir que si z est solutio de l équatio (z + i) = (z i) alors z + i = z i et doc le poit d affixe z appartiet à la médiatrice de [A, B], A et B état les poits d affixes respectives i et i, c est-à-dire à la droite des réels. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 85 algèbre Éocé exercice 85. Soiet N, P R [X] et a R. (a) Doer sas démostratio, e utilisat la formule de Taylor, la décompositio de P (X) das la base (, X a, (X a),, (X a) ). (b) Soit r N. E déduire que : a est ue racie de P d ordre de multiplicité r si et seulemet si P (r) (a) et k, r, P (k) (a) =.. Détermier deux réels a et b pour que soit racie double du polyôme P = X 5 + ax + bx et factoriser alors ce polyôme das R [X]. Corrigé exercice 85 P (k) (a). P (X) = (X a) k. k!. k= a est ue racie d ordre r de P Q R r [X] tel que Q (a) et P = (X a) r Q r (q,..., q r ) R r+ tel que q et P = (X a) r q i (X a) i r (q,..., q r ) R r+ tel que q et P = q i (X a) r+i (q,..., q r ) R r+ tel que q et P = D après la formule de Taylor (rappelée ci-dessus) et l uicité de la décompositio de P das la base (, (X a),..., (X a) ) de R [X] il viet efi : a est ue racie d ordre r de P k {,..., r } P (k) (a) = et P (r) (a) 3. D après la questio précédete, i= i= q k r (X a) k k=r est racie double de P = X 5 + ax + bx P () = P () = et P () + a + b = 5 + a + b = + a a = 4 et b = 3 O obtiet X 5 4X + 3X = X(X ) (X + X + 3) et c est la factorisatio cherchée car le discrimiat de X + X + 3 est strictemet égatif. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 86 algèbre Éocé Exercice 86 Soit p u ombre premier.. (a) Soit (a, b) Z. Prouver que si p a = et p b =, alors p (ab) =. ( ) ( ) p p (b) Prouver que k, p, p divise k! puis que p divise. k k. (a) Prouver que : N, p mod p. Idicatio : Procéder par récurrece. (b) E déduire que : N, p e divise pas = p mod p. Corrigé exercice 86. (a) D après le théorème de Bézout, (u, v ) Z tel que u p + v a =. () (u, v ) Z tel que u p + v b =. () E multipliat les équatios () et (), o obtiet (u u p + u v b + u v a)p + (v v )(ab) =. Doc, d après le théorème de Bézout, p (ab) =. (b) ( p k ) p! p(p )...(p k + ) = =. ( ) k!(p k)! k! p Doc k! = p(p )...(p k + ). k ( ) p doc p k!. (3) k Or, k, p, p k = (car p est premier) ( ) doc, d après.(a), p k! =. p Doc, d après le lemme de Gauss, (3) = p. k. (a) Procédos par récurrece sur. Pour = et pour =, la propriété est vérifiée. Supposos que la propriété (P ) : p mod p soit vérifiée au rag. p Alors, d après la formule du biôme de Newto, ( + ) p = p + ( ) p p ( ) p Or, k, p, p doc p k. k k k= Doc d après (4) et (P ), ( + ) p + k= ( p k mod p et (P + ) est vraie. ) k +. (4) (b) Soit N tel que p e divise pas. Comme p est premier, alors p =. La questio précédete doe p divise p = ( p ). Or comme p est premier avec, o e déduit, d après le lemme de Gauss, que p divise p. Ce qui sigifie que p mod p. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 87 algèbre Éocé exercice 87 Soiet a, a,, a + réels deux à deux disticts.. Motrer que si b, b,, b sot + réels quelcoques, alors il existe u uique polyôme P vérifiat deg P et i {,, } P (a i ) = b i.. Soit k,...,. Expliciter ce polyôme P, que l o otera L k, lorsque : 3. Prouver que p,...,, i,..., b i = a p k L k = X p. k= { si i k si i = k Corrigé exercice 87. L applicatio u : R [X] R + P (P (a ), P (a ),, P (a )) Motros que ker u = {}. est liéaire. Si P ker u, alors P (a ) = P (a ) = = P (a ) = et le polyôme P, de degré iférieur ou égal à, admet + racies distictes. Doc P =. Aisi u est ijective et comme dim R [X] = + = dim R +, u est u isomorphisme d espaces vectoriels. Efi les coditios recherchées sot équivaletes à : P R [X] et u (P ) = (b,..., b ). La bijectivité de u dit que ce problème admet ue uique solutio P et o a P = u ((b,..., b )).. Pour ce choix de b, b,, b le polyôme L k vérifie les coditios : { si i k deg L k et i,, L k (a i ) = si i = k Comme a,..., a k, a k+,..., a sot racies distictes de L k qui est de degré, il existe écessairemet λ K tel que L k = λ (X a i ) La coditio supplémetaire L k (a k ) = doe λ = L k = i= i k et fialemet : (a k a i ) i= i k i= i k X a i a k a i 3. Soit p,...,. Les polyômes a p k L k et X p vérifiet les mêmes coditios d iterpolatio : k= deg P et i {,, } P (a i ) = a p i Par l uicité vue e première questio, o a a p k L k = X p. k= CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

EXERCICE 88 algèbre Eocé exercice 88 Soit (a, b) R et soit N. Soit le polyôme P = ax + + bx +.. Détermier a et b pour que soit racie d ordre au mois de P.. Das ce cas, vérifier que le quotiet de la divisio euclidiee de P par (X ) est (k + )X k. Corrigé exercice 88. Pour que soit racie d ordre { au mois de P, il faut et il suffit que P () = P () =. a + b + = Cela équivaut au système { ( { + ) a + b = { a + b + = a + b = a = Or ( + )a + b = + a = b = Doc P = X + ( + ) X +.. Vérifios que le quotiet de la divisio euclidiee de P par (X ) est Q = (k + ) X k. O a : (X X + ) Q = = = = (k + )X k+ (k + )X k+ + (k + )X k k= + k= k= k= (k ) X k kx k + (k + ) X k k= k= k= k= (k )X k + ( )X + X + kx k X X k= + (k + )X k + + X k= k= ((k ) k + (k + )) X k + X + ( + )X + k= = X + ( + )X + O viet d établir que (X X + ) Q = P. Doc le quotiet de P par (X ) est (k + ) X k. k= CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 89 algèbre Eocé exercice 89 Soit N tel que. O pose z = e i π.. O suppose k,. Détermier le module et u argumet du complexe z k.. O pose S = k= z k. Motrer que S = ta π. Corrigé exercice 89 kπ. z k = e i = e i kπ e i kπ e ikπ = e ikπ i si ( kπ ) c est-à-dire z k = si Pour k,, o a < k π ( ) kπ e i(kπ +π ) Doc le module de z k est si ( ) k π < π, doc si >. ( ) k π et u argumet de z k est kπ + π. ( ) k π. O remarque que pour k =, z k = et si =. Doc d après la questio précédete, o a S = si kπ S est doc la partie imagiaire de T = e i. Or, comme e iπ, o a T = eiπ k= k= e iπ e iπ Or e iπ π ( π π ) π = e i e i e i = ie i ( π si. ) = 4. ( ) k π. π O e déduit que T = 4e i i si π = π si π i e i. ( π E isolat la partie imagiaire de T, et comme cos ( ), o e déduit que S = ) ta π. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 9 algèbre Éocé exercice 9 K désige le corps des réels ou celui des complexes. Soiet a, a, a 3 trois scalaires disticts doés de K.. Motrer que Φ : K [X] K 3 P ( ) est u isomorphisme d espaces vectoriels. P (a ), P (a ), P (a 3 ). O ote (e, e, e 3 ) la base caoique de K 3 et o pose k {,, 3}, L k = Φ (e k ). (a) Justifier que (L, L, L 3 ) est ue base de K [X]. (b) Exprimer les polyômes L, L et L 3 e foctio de a, a et a 3. 3. Soit P K [X]. Détermier les coordoées de P das la base (L, L, L 3 ). 4. Applicatio : O se place das R mui d u repère orthoormé et o cosidère les trois poits A(, ), B(, 3), C(, ). Détermier ue foctio polyomiale de degré dot la courbe passe par les poits A, B et C. Corrigé exercice 9. Par liéarité de l évaluatio P P (a) (où a est u scalaire fixé), Φ est liéaire. Soit P K [X] tel que Φ(P ) =. Alors P (a ) = P (a ) = P (a 3 ) =, doc P admet trois racies distictes. Or P est de degré iférieur ou égal à ; doc P est ul. Aisi, ker(φ) = {} i.e. Φ est ijective. Efi, dim ( K [X] ) = dim ( K 3) = 3 doc Φ est bijective. Par coséquet, Φ est u isomorphisme d espaces vectoriels de K [X] das K 3.. (a) Φ est u isomorphisme doc l image réciproque d ue base est ue base. Aisi, (L, L, L 3 ) est ue base de K [X]. (b) L R [X] et vérifie Φ(L ) = (,, ) i.e. ( L (a ), L (a ), L (a 3 ) ) = (,, ). Doc, comme a et a 3 sot disticts, (X a )(X a 3 ) L. Or deg L, doc k K tel que L = k(x a )(X a 3 ). La valeur L (a ) = doe k = (a a )(a a 3 ). Doc L = (X a )(X a 3 ) (a a )(a a 3 ). U raisoemet aalogue doe L = (X a )(X a 3 ) (a a )(a a 3 ) et L 3 = (X a )(X a ) (a 3 a )(a 3 a ). 3. (L, L, L 3 ) base de K [X] doc (λ, λ, λ 3 ) K 3 tel que P = λ L + λ L + λ 3 L 3. Par costructio, (i, j) {,, 3}, L i (a j ) = δ ij doc P (a j ) = λ j. Aisi, P = P (a )L + P (a )L + P (a 3 )L 3. 4. O pose a =, a = et a 3 =. Ces trois réels sot bie disticts. O cherche P R [X] tel que ( P (a ), P (a ), P (a 3 ) ) = (, 3, ). Par bijectivité de Φ et d après 3., l uique solutio est le polyôme P =.L + 3.L +.L 3. (X )(X ) O a L =, L = Doc P = X + 4X +. X(X ) et L 3 = X(X ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 9 algèbre Éocé exercice 9 O cosidère la matrice A = 3 M 3 (R).. Motrer que A admet qu ue seule valeur propre que l o détermiera.. La matrice A est-elle iversible? Est-elle diagoalisable? 3. Détermier, e justifiat, le polyôme miimal de A. 4. Soit N. Détermier le reste de la divisio euclidiee de X par (X ) et e déduire la valeur de A. Corrigé exercice 9. Détermios le polyôme caractéristique χ A de A : X χ A (X) = X 3 = X 3 = (X ) = (X ) 3 C X 3 X Doc χ A (X) = (X ) 3. Doc A admet comme uique valeur propre. i= C i X X X 3 X X = (X ) L L L L 3 L 3 L X X. Puisque est pas valeur propre de A, A est iversible. Si A était diagoalisable elle serait semblable à la matrice idetité et doc égale à la matrice idetité. Puisque ce est pas le cas, A est pas diagoalisable. 3. Notos P m le polyôme miimal de A. P m divise χ A et P m est u polyôme aulateur de A. A I 3 et (A I 3 ) = =. Doc P m = (X ). 4. Soit N. Par divisio euclidiee de X par (X ),!(Q, R) R[X] R [X], X = (X ) Q + R () Or, (a, b) R, R = ax + b doc X = (X ) Q + ax + b. Puisque est racie double de (X ) o obtiet : = a + b et, après dérivatio, = a. Doc R = X +. () P m = (X ) état u polyôme aulateur de A o a d après () et () : N, A = A + ( )I 3 CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 9 algèbre Éocé exercice 9 Soit N. O cosidère E = M (R) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre. O pose (A, B) E, A, B = tr( t AB) où tr désige la trace et t A désige la trasposée de la matrice A.. Prouver que, est u produit scalaire sur E.. O ote S (R) l esemble matrices symétriques de E et A (R) l esemble des matrices atisymétriques de E. (a) Prouver que E = S (R) A (R). (b) Prouver que S (R) = A (R). 3. Soit F l esemble des matrices diagoales de E. Détermier F. Corrigé exercice 9., est liéaire par rapport à sa première variable par liéarité de la trace, de la traspositio et par distibutivité de la multiplicatio par rapport à l additio das E. De plus, ue matrice et sa trasposée ayat la même trace, o a : (A, B) E, A, B = tr( t AB) = tr( t ( t AB)) = tr( t BA) = B, A. Doc, est symétrique. O e déduit que, est biliéaire et symétrique. () Soit A = (A i,j ) i,j E. A, A = tr( t AA) = ( t AA) i,i = i= Doc, est positive. () i= k= ( t A) i,k A k,i = i= k= Soit A = (A i,j ) i,j E telle que A, A =. Alors A k,i =. Or, i,, k,, A k,i. i= k= Doc i,, k,, A k,i =. Doc A =. Doc, est défiie. (3) D après (),() et (3),, est u produit scalaire sur E. Remarque importate : Soit (A, B) E. O pose A = (A i,j ) i,j et B = (B i,j ) i,j. Alors A, B = tr( t AB) = ( t ( AB) i,i = t A ) i,k B k,i = i= i= k= Doc, est le produit scalaire caoique sur E.. (a) Soit M S (R) A (R). alors t M = M et t M = M doc M = M et M =. Doc S (R) A (R) = {}. () Soit M E. Posos S = M + t M et A = M t M. A k,i doc A, A. i= k= A k,i B k,i. O a M ( = S + A. M + t S = t t ) M = (t M + t ( t M)) = (t M + M) = S, doc S S (R). ( M t A = t t ) M = (t M t ( t M)) = (t M M) = A, doc A A (R). O e déduit que E = S (R) + A (R). () CC BY-NC-SA 3. FR Page

D après () et (), E = S (R) A (R). Remarque : o pouvait égalemet procéder par aalyse et sythèse pour prouver que E = S (R) A (R). (b) Prouvos que S (R) A (R). Soit S S (R). Prouvos que A A (R), S, A =. Soit A A (R). S, A = tr( t SA) = tr(sa) = tr(as) = tr( t AS) = tr( t AS) = A, S = S, A. Doc S, A = soit S, A =. O e déduit que S (R) A (R) () De plus, dim A (R) = dim A (R). Or, d après.(a), E = S (R) A (R) doc dim S (R) = dim A (R). O e déduit que dim S (R) = dim A (R). () D après () et (), S (R) = A (R). 3. O itroduit la base caoique de M (R) e posat :{ si k = i et l = j i,, j,, E i,j = (e k,l ) k,l avec e k,l = sio O a alors F = Vect (E,, E,,..., E, ). Soit M = (m i,j ) i,j E. Alors, e utilisat la remarque importate de la questio., M F i (,, M, E i,i = i, ), m i,i =. Doc F = Vect E i,j tel que (i, j), et i j. E d autres termes, F est l esemble des matrices compreat des zéros sur la diagoale. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 93 algèbre Éocé exercice 93 Soit E u espace vectoriel euclidie de dimesio 3, orieté par la base orthoormée (i, j, k). Soit f l edomorphisme de E dot la matrice das la base (i, j, k) est A = 3 6 3 6 4. 6 6. (a) Prouver que f est u edomorphisme orthogoal. (b) Détermier l esemble des vecteurs ivariats par f.. E déduire la ature de f aisi que ses élémets caractéristiques. Corrigé exercice 93. (a) Les vecteurs coloes de la matrice A sot deux à deux orthogoaux et de orme, doc A O(3). Or (i, j, k) est ue base orthoormée de E, doc f O(E). x (b) Pour détermier les vecteurs ivariats, o résout le système AX = X où X = y. z AX = X (A I 3 )X = Doc AX = X { x = y L L + 6L z = x + y + 6z = x y 6z = 6x + 6y z = Doc l esemble des vecteurs ivariats par f est la droite = Vect(i + j). { x y 6z = 6x + 6y z =. Comme dim =, d après les résultats sur la réductio d ue isométrie vectorielle e dimesio 3, f est écessairemet ue rotatio. O oriete l axe de cette rotatio par le vecteur i + j. Détermios l agle θ de la rotatio f. Comme la trace est ivariate par chagemet de base, + cos θ = tra. O e déduit que cos θ =. () Il reste doc à détermier le sige de si θ. O pose w = i + j i + j = (i + j). O a doc = Vectw avec w uitaire. Si u est u vecteur uitaire orthogoal à, alors si θ = Det(u, f(u), w). Preos par exemple u = k. O a f(u) = ( 6 4, 6 4, ). O calcule alors le détermiat : 6 4 Det(u, f(u), w) = 6 4 3 = c est-à-dire si θ = 3. O e déduit que θ = π 3 mod(π). CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE 94 algèbre Éocé exercice 94 Soit E u espace vectoriel réel de dimesio fiie > et u L(E) tel que u 3 + u + u =. O otera Id l applicatio idetité sur E.. Motrer que Imu ker u = E.. (a) Éocer le lemme des oyaux pour deux polyômes. (b) E déduire que Imu = ker(u + u + Id). 3. O suppose que u est o bijectif. Détermier les valeurs propres de u. Justifier la répose. Remarque : les questios.,. et 3. peuvet être traitées idépedammet les ues des autres. Corrigé exercice 94. O a u 3 + u + u = (*) Soit y Imu ker u. Alors x E tel que y = u(x) et u(y) =. Doc, d après (*), = u 3 (x) + u (x) + u(x) = u (y) } {{ } = + u(y) +y =. }{{} = Doc y =. Doc ker u Imu = {}. () De plus, d après le théorème du rag, dim E = dim ker u + dim Imu. () Doc, d après () et (), E = ker u Imu.. (a) Lemme des oyaux pour deux polyômes : Si A et B sot deux polyômes premiers etre eux, alors ker(ab)(u) = ker A(u) ker B(u). (b) O pose P = X 3 + X + X. P est u polyôme aulateur de u doc ker P (u) = E. P = X(X + X + ). De plus, X et X + X + sot premiers etre eux. Doc, d après le lemme des oyaux, E = ker u ker(u + u + Id). O e déduit que dim ker(u + u + Id) = dim E dim ker u = dim Imu. (3) Prouvos que Imu ker(u + u + Id). Soit y Imu. alors x E tel que y = u(x). (u + u + Id)(y) = (u 3 + u + u)(x) = d après (*). Doc y ker(u + u + Id). O a doc prouvé que Imu ker(u + u + Id). (4) Doc, d après (3) et (4), Imu = ker(u + u + Id). 3. P = X 3 + X + X = X(X + X + ) est u polyôme aulateur de u. Doc si o ote sp(u) l esemble des valeurs propres de u alors sp(u) {racies réelles de P }. Or {racies réelles de P } = {} doc sp(u) {}. (5) Or u est o bijectif doc, comme u est u edomorphisme d u espace vectoriel de dimesio fiie, u est o ijectif. Doc ker u {}, doc est valeur propre de u. (6) O e déduit, d après (5) et (6), que sp(u) = {}. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 95 algèbre Éocé exercice 95. Éocer le théorème de Bézout das Z.. Soit a et b deux etiers aturels premiers etre eux. Soit c N. Prouver que : (a c et b c) ab c. { x 6 mod(7) 3. O cosidère le système (S) : x 4 mod(5) (a) Détermier ue solutio particulière x de (S) das Z. (b) Déduire des questios précédetes la résolutio das Z du système (S). Corrigé exercice 95. Théorème de Bézout : Soit (a, b) Z. a b = (u, v) Z / au + bv =.. Soit (a, b) N. O suppose que a b =. Soit c N. Prouvos que ab c = a c et b c. Si ab c alors k Z / c = kab. Alors, c = (kb)a doc a c et c = (ka)b doc b c. das lequel l icoue x appartiet à Z. Prouvos que (a c et b c) = ab c. a b = doc (u, v) Z / au + bv =. () De plus a c doc k Z / c = k a. () De même, b c doc k Z / c = k b. (3) O multiplie () par c et o obtiet cau + cbv = c. Alors, d après () et (3), (k b)au + (k a)bv = c, doc (k u + k v)(ab) = c et doc ab c. O a doc prouvé que (a c et b c) ab c. 3. (a) Première méthode (méthode géérale) : Soit x Z. { x = 6 + 7k x solutio de(s) (k, k ) Z tel que x = 4 + 5k (k, k ) Z tel que { x = 6 + 7k 6 + 7k = 4 + 5k Or 6 + 7k = 4 + 5k 5k 7k =. Pour détermier ue solutio particulière x de (S), il suffit doc de trouver ue solutio particulière (k, k ) de l équatio 5k 7k =. Pour cela, cherchos d abord, ue solutio de l équatio 5u + 7v =. 7 et 5 sot premiers etre eux. Détermios alors u couple (u, v ) d etiers relatifs tel que 5u + 7v =. O a : 7 = 5 + puis 5 = 7 +. Alors = 5 7 = 5 7 (7 5 ) = 5 7 7 + 5 7 = 5 8 7 7 Doc 8 5 + ( 7) 7 = Aisi, 6 5 + ( 4) 7 =. O peut predre alors k = 6 et k = 4. Aisi, x = 6 + 7 k = 6 + 7 4 = 44 est ue solutio particulière de (S). Deuxième méthode : E observat le système (S), o peut remarquer que x = est ue solutio particulière. Cette méthode est évidemmet plus rapide mais e foctioe pas toujours. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

{ x = 6 mod(7) (b) x solutio particulière de (S) doc x = 4 mod(5). O e déduit que x solutio de (S) si et seulemet si { x x = mod(7) x x = mod(5) c est à dire x solutio de (S) (7 x x et 5 x x ). Or 7 5 = doc d après., x solutio de (S) (7 5) x x. Doc l esemble des solutios de (S) est {x + 7 5k, k Z} = {44 + 55k, k Z}. { x 6 mod(7) (c) x solutio particulière de (S) doc x 4 mod(5). { x x mod(7) O e déduit que x solutio de (S) si et seulemet si x x mod(5) c est-à-dire : x solutio de (S) (7 x x et 5 x x ). Or 7 5 = doc, d après., x solutio de (S) (7 5) x x. Doc l esemble des solutios de (S) est {x + 7 5k, k Z} = {44 + 55k, k Z}. BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 probabilités Éocé exercice 96 Ue ure cotiet deux boules blaches et huit boules oires.. U joueur tire successivemet, avec remise, ciq boules das cette ure. Pour chaque boule blache tirée, il gage poits et pour chaque boule oire tirée, il perd 3 poits. O ote X la variable aléatoire représetat le ombre de boules blaches tirées. O ote Y le ombre de poits obteus par le joueur sur ue partie. (a) Détermier la loi de X, so espérace et sa variace. (b) Détermier la loi de Y, so espérace et sa variace.. Das cette questio, o suppose que les ciq tirages successifs se fot sas remise. (a) Détermier la loi de X. (b) Détermier la loi de Y. Corrigé exercice 96. (a) L expériece est la suivate : l épreuve "le tir d ue boule das l ure" est répétée 5 fois. Comme les tirages se fot avec remise, ces 5 épreuves sot idépedates. Chaque épreuve a que deux issues possibles : le joueur tire ue boule blache (succès avec la probabilité p = = 5 ) ou le joueur tire ue boule oire (échec avec la probabilité 4 5 ). La variable X cosidérée représete doc le ombre de succès au cours de l expériece et suit doc ue loi biomiale de paramètre (5, 5 ). C est-à-dire X(Ω) =, 5 et : k, 5, P (X = k) = ( ) 5 k ( 5 )k ( 4 5 )5 k. Doc, d après le cours, E(X) = 5 5 = et V (X) = 5 ( 5 ) = 4 5 5 (b) D après les hypothèses, o a Y = X 3(5 X), c est-à-dire Y = 5X 5. O e déduit que Y (Ω) = {5k 5 avec k, 5 }. Et o a k, 5, P (Y = 5k 5) = P (X = k) = ( ) 5 k ( 5 )k ( 4 5 )5 k. Y = 5X 5, doc E(Y ) = 5E(X) 5 = 5 5 =. =, 8. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

De même, Y = 5X 5, doc V (Y ) = 5V (X) = 5 4 5 =.. Das cette questio, le joueur tire successivemet, sas remise, 5 boules das cette ure. (a) Comme les tirages se fot sas remise, o peut supposer que le joueur tire les 5 boules das l ure e ue seule fois au lieu de les tirer successivemet. Cette suppositio e chage pas la loi de X. X(Ω) =,. Notos A l esemble dot les élémets sot les boules iitialemet das ( ) l ure. Ω est costitué de toutes les parties à 5 élémets de A. Doc card Ω =. 5 Soit k,. L évéemet (X ( = k) ) est réalisé lorsque le joueur tire k boules blaches ( et (5) k) boules oires das 8 l ure. Il a doc possibilités pour le choix des boules blaches et possibilités pour le choix k 5 k des boules oires. ( ) ( ) 8 k 5 k Doc : k,, P (X = k) = ( ). 5 (b) O a toujours Y = 5X 5. O e déduit que Y (Ω) = {5k 5 avec k, }. Et o a k,, P (Y = 5k 5) = P (X = k) = ( ) k ( 8 ( 5 ) 5 k ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 97 probabilités Éocé exercice 97 O admet, das cet exercice, que : q N, k q ( ) k x k q coverge et x ], [, q k=q ( ) k x k q = q ( x) q+. Soit p ], [ et r N. O dépose ue bactérie das ue eceite fermée à l istat t = (le temps est exprimé e secodes). O evoie u rayo laser par secode das cette eceite. Le premier rayo laser est evoyé à l istat t =. La bactérie a la probabilité p d être touchée par le rayo laser. Les tirs de laser sot idépedats. La bactérie e meurt que lorsqu elle a été touchée r fois par le rayo laser. Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.. Détermier la loi de X.. Prouver que X admet ue espérace et la calculer. Corrigé exercice 97. X(Ω) = r, +. Soit r, +. (X = ) sigifie que tirs de laser ot été écessaires pour tuer la bactérie. C est-à-dire que, sur les premiers tirs de laser, la bactérie est touchée (r ) fois et o touchée (( ) (r )) fois et efi elle est touchée au ième tir. Sur les ( ) premiers tirs, o a ( r ) choix possibles pour les tirs de laser qui atteiget la bactérie. ( ) O e déduit alors que : P (X = ) = p r ( p) ( ) (r ) p. C est-à-dire : r, +, P (X = ) =. O cosidère la série r P (X = ). r ( ) p r ( p) r. r Soit r, +. ( ) P (X = ) = p r ( p) r ( )! = r ( r)!(r )! pr ( p) r! = r ( r)!r! pr ( p) r. ( ) C est-à-dire : P (X = ) = r p r ( p) r. r Doc : P (X = ) = rp ( ) r ( p) r. r r r Or, par hypothèse, p ], [ doc ( p) ], [. O e déduit, d après le résultat admis das l exercice, que r P (X = ) coverge et doc E(X) existe. De plus, E(X) = =r C est-à-dire E(X) = r p. + ( ) P (X = ) = rp r ( p) r p r = r r ( ( p)) r+. =r CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

EXERCICE 98 probabilités Éocé exercice 98 Soit a ], + [. Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires à valeurs das N dot la loi est doée par : ( ) j+k (j + k) (j, k) N, P (X = j, Y = k) =. e j! k!. Détermier les lois margiales de X et de Y. Les variables X et Y sot-elles idépedates?. Prouver que E [ X+Y ] existe et la calculer. Corrigé exercice 98 O rappelle que x R, x. Y (Ω) = N. Soit k N. P (Y = k) = ( j e j! k! j j= ) j+k! coverge et P (X = j Y = k) = ( = e k! ) k+ j j= ) j ( (j )! x! = ex. ( ) j+k (j + k). e j! k! ( doc j e j! k! j ) j+k coverge et j= ( j e j! k! ) j+k ( = e k! ) k+ j= ) j ( (j )! ) k+ ( = e k! ) k+ ( e = k! e ( ). ( ) ) j+k ( De même, k e j! k! j ( k = e k! ) k ( j! j ) j ) j+k ( doc k e j! k! j coverge et j= ( k e j! k! ) j+k ( k = e k! ) k j= ( j! ) j ( k = e k! ) k e ( k = k! e ) k ( ). ( ) Doc, d après (*) et (**), o e déduit que : ( ) k+ ( ) k k ( ( ) k P (Y = k) = k! + e k! + k) = e k!. e Pour des raisos de symétrie, X et Y ot la même loi et doc : ( ( + j) X(Ω) = N et j N, P (X = j) = j!. e Les variables X et Y e sot pas idépedates car : P (X =, Y = ) = et P (X = )P (Y = ). ) j CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

. Posos (j, k) N, a j,k = j+k P (X = j, Y = k). O a a j,k = j + k e j! k! = j e j! k! + k e j! k!. k N, j De même, j j e j! k! = ek! j k e j! k! = k e k! + (j )! coverge et j + j! coverge et Esuite, k! et k k! = k k k Doc la famille (a j,k ) (j,k) N est sommable. j= j= j e j! k! = ek! j= k e j! k! = k e k! + (k )! coverget. De plus O e déduit que E [ X+Y ] existe et E [ X+Y ] = e. k= j= (j )! = k!. j! = k k!. + k! = e et k= k k! = e. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

EXERCICE 99 probabilités Éocé exercice 99 Ue secrétaire effectue appels téléphoiques vers correspodats disticts. O admet que les appels costituet expérieces idépedates et que pour chaque appel, la probabilité d obteir le correspodat demadé est p(p ], [). Soit X la variable aléatoire représetat le ombre de correspodats obteus.. Doer la loi de X. Justifier.. La secrétaire rappelle ue secode fois, das les mêmes coditios, chacu des X correspodats qu elle a pas pu joidre au cours de la première série d appels. O ote Y la variable aléatoire représetat le ombre de persoes joites au cours de la secode série d appels. (a) Soit i,. Détermier, pour k N, P (Y = k X = i). (b) Prouver que Z = X + Y suit ue loi biomiale dot o détermiera le paramètre. (c) Détermier l espérace et la variace de Z. Corrigé exercice 99. L expériece est la suivate : l épreuve de l appel téléphoique de la secrétaire vers u correspodat est répétée fois et ces épreuves sot mutuellemet idépedates. De plus, chaque épreuve a que deux issues possibles : le correspodat est joit avec la probabilité p (succès) ou le correspodat est pas joit avec la probabilité p (échec). La variable X cosidérée représete le ombre de succés et suit doc ue loi biômiale de paramètres (, p). C est-à-dire X(Ω) =, et k, P (X = k) = ( k ) p k ( p) k.. (a) Soit i,. Sous la coditio (X = i), la secrétaire rappelle i correspodats lors de la secode série d appels et doc : ( ) i p P (Y = k X = i) = k ( p) i k si k, i k sio k (b) Z(Ω) =, ) et k, ) P (Z = k) = P (X = i Y = k i) = i= k P (Y = k i X = i)p (X = i). k ( )( ) i Soit k,. D après les questios précédetes, P (Z = k) = p k ( p) k i. k i i ( )( ) i= ( i ( i)!! Or = k i i ( k)! (k i)! i! ( i)! =! (k i)! ( k)! i! = k!! k (k i)! i! k! ( k)! = i k ( )( ) ( ) k k ( ) ( ) i k Doc P (Z = k) = p k ( p) k i = p k ( p) k. i k k i p i= i= Doc d après le biôme de Newto, ( ) ( ) k ( ) p P (Z = k) = p k ( p) k = (p( p)) k ( ( p) ) k. k p k O vérifie que p( p) = ( p) et doc o peut coclure que : Z suit ue loi biomiale de paramètre (, p( p)). (c) D après le cours, comme Z suit ue loi biomiale de paramètre (, p( p)), alors : E(Z) = p( p) et V (Z) = p( p) ( p( p)) = p( p)(p ). i= )( k ). CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE probabilités Éocé exercice. Rappeler l iégalité de Bieaymé Tchebychev.. Soit (Y ) ue suite de variables aléatoires mutuellemet idépedates, de même loi et admettat u momet d ordre. O pose S = Y k. ( k= ) S Prouver que : a ], + [, P E(Y ) a V (Y ) a. 3. Applicatio : O effectue des tirages successifs, avec remise, d ue boule das ue ure coteat boules rouges et 3 boules oires. Á partir de quel ombre de tirages peut-o garatir à plus de 95% que la proportio de boules rouges obteues restera comprise etre, 35 et, 45? Idicatio : Cosidérer la suite (Y i ) de variables aléatoires de Beroulli où Y i mesure l issue du i ième tirage. Corrigé exercice. Soit a ], + [. Pour toute variable aléatoire X admettat u momet d ordre, o a : P ( X E(X) a) V (X) a.. O pose X = S. Par liéarité de l espérace et comme toutes les variables Y i ot la même espérace, o a E(X) = E(Y ). De plus, comme les variables sot mutuellemet idépedates, o a V (X) = V (S ) = V (Y ). Alors, e appliquat. à X, o obtiet le résultat souhaité. 3. i N, o cosidère la variable aléatoire Y i valat si la i ième boule tirée est rouge et sio. Y i suit ue loi de Beroulli de paramètre p avec p = 5 =, 4. Les variables Y i suivet la même loi, sot mutuellemet idépedates et admettet des momets d ordre. O a d après le cours, i N, E(Y i ) =, 4 et V (Y i ) =, 4(, 4) =, 4. O pose S = Y i. S représete le ombre de boules rouges obteues au cours de tirages. i= i= Y i Alors T = représete la proportio de boules rouges obteues au cours de tirages. O cherche à partir de combie ( de tirages o a P (, 35 T, 45) >, 95. Or P (, 35 T, 45) = P, 35 S ) (, 45 = P, 5 S ) E(Y ), 5 ( ) ( S = P E(Y ), 5 S = P E(Y ) ). >, 5 ( S O a doc P (, 35 T, 45) = P E(Y ) ). >, 5 ( ) S Or, d après la questio précédete, P E(Y ), 5, 4 (, 5)., 4 Doc P (, 35 T, 45) (, 5). Il suffit alors pour répodre au problème de chercher à partir de quel rag, o a La résolutio de cette iéquatio doe, 4 c est-à-dire 9., 53, 4, 95. (, 5) CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE probabilités Eocé exercice Soit λ ], + [. Soit X ue variable aléatoire discrète à valeurs das N. O suppose que k N λ, P (X = ) = ( + )( + ).. Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle R défiie par R(x) = x(x+)(x+).. Calculer λ. 3. Prouver que X admet ue espérace, puis la calculer. 4. X admet-elle ue variace? Justifier. Corrigé exercice. O obtiet R(x) = x x + + (x + ).. Soit N N. N ( P (X N) = λ ) + + = λ ( + ) = ( Et doc, après télescopage, P (X N) = λ ( ) P (X N) = λ 4 (N + ) +. (*) (N + ) Or P (X N) =. lim N + Doc d après (*), λ = 4. 3. P (X = ) = Doc X admet ue espérace. De plus, N, S = kp (X = k) = 4 ( k= Doc ) + k + k + k= lim + k= ( N = N+ = + N+ =3 ) + 4 N + + (N + ) + (N + ) 4 ( + )( + ) coverge car au voisiage de +, 4 ( + )( + ) + k= = 4 +. k= kp (X = k) = et E(X) =. 4 (k + )(k + ) = 4 ( k + ) = k + 4. Comme E(X) existe, X admettra ue variace à coditio que X admette ue espérace. P (X = ) = 4 ( + )( + ). 4 Or, au voisiage de +, ( + )( + ) 4 + et diverge (série harmoique). Doc P (X = ) diverge. Doc X admet pas d espérace et doc X admet pas de variace. k= ) c est-à-dire : 4. CC BY-NC-SA 3. FR Page

EXERCICE probabilités Eocé exercice Das ue zoe désertique, u aimal erre etre trois poits d eau A,B et C. A l istat t=, il se trouve au poit A. Quad il a épuisé l eau du poit où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoidre l u des deux autres poits d eau. L eau du poit qu il viet de quitter se régéère alors. Soit N. O ote A l évéemet" l aimal est e A après so ième trajet". O ote B l évéemet" l aimal est e B après so ième trajet". O ote C l évéemet" l aimal est e C après so ième trajet". O pose P (A ) = a, P (B ) = b et P (C ) = c.. (a) Exprimer, e le justifiat, a + e foctio de a, b et c. (b) Exprimer, de même, b + et c + e foctio de a, b et c.. O cosidère la matrice A =. (a) Justifier, sas calculs, que la matrice A est diagoalisable. (b) Prouver que est valeur propre de A et détermier le sous-espace propre associé. (c) Détermier ue matrice P iversible et ue matrice D diagoale de M 3 (R) telles que D = P AP. Remarque : Le calcul de P est pas demadé. 3. Motrer commet les résultats de la questio. peuvet être utilisés pour calculer a, b et c e foctio de. Remarque : Aucue expressio fialisée de a, b et c est demadée. Corrigé exercice. (a) (A, B, C ) est u système complet d évéemets doc : P (A + ) = P (A + A )P (A ) + P (A + B )P (B ) + P (A + C )P (C ). doc a + = a + b + c c est-à-dire a + = b + c. (b) De même, b + = a + c et c + = a + b.. (a) A est symétrique à coefficiets réels, doc elle est diagoalisable. (b) A + I 3 = ( doc rg A + ) I 3 =. Doc est valeur propre de A et dim E (A) =. L expressio de A + I 3 doe immédiatemet que E (A) = Vect. (c) Puisque tr (A) =, o e déduit que est ue valeur propre de A de multiplicité. A état symétrique réelle, les sous-espaces propres sot supplémetaires sur R 3 et orthogoaux deux à deux. O e déduit que R 3 = E (A) E (A), doc que E (A) = ( E (A) ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

Doc E (A) = Vect. E posat P = et D = /, o a alors D = P AP. / a + a (d) D après la questio., b + = A b c + c Et doc o prouve par récurrece que : a N, b = A c a b Or A = P DP doc A = P D P. a a Doc b = P D P b c Or, d après l éocé, a =, b = et c = doc : ( a b = P ) ( ) P. c c c CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 3 probabilités Eocé exercice 3 Soit N N. Soit p ], [. O pose q = p. O cosidère N variables aléatoires X, X,, X N défiies sur u même espace probabilisé (Ω, T, P ), mutuellemet idépedates et de même loi géométrique de paramètre p.. Soit i, N. Soit N. Détermier P (X i ), puis P (X i > ).. O cosidère la variable aléatoire Y défiie par Y = mi i N (X i). c est à dire ω Ω, Y (ω) = mi (X (ω),, X (ω)), mi désigat «le plus petit élémet de». (a) Soit N. Calculer P (Y > ). E déduire P (Y ), puis P (Y = ). (b) Prouver que Y admet ue espérace et la calculer. Corrigé exercice 3. Soit i, N. X i (Ω) = N et k N, P (X i = k) = p( p) k = pq k. Alors o a P (X i ) = P (X i = k) = pq k = p q q = q. k= Doc P (X i > ) = P (X i ) = q. k=. (a) Y (Ω) = N. Soit N. P (Y > ) = P ((X > ) (X N > )) N Doc P (Y > ) = P (X i > ) car les variables X,, X N sot mutuellemet idépedates. Doc P (Y > ) = i= N q = q N. i= Or P (Y ) = P (Y > ) doc P (Y ) = q N. Calcul de P (Y = ) : Premier cas : si. P (Y = ) = P (Y ) P (Y ). Doc P (Y = ) = q ( )N ( q N ). Deuxième cas : si =. P (Y = ) = P (Y = ) = P (Y > ) = q N. Coclusio : N, P (Y = ) = q ( )N ( q N ). (b) O cosidère la série etière x dot le rayo de covergece vaut. O pose x ], [, f(x) = = x. O a x ], [, f(x) = x. D après le cours sur les séries etières, le rayo de covergece de la série dérivée x vaut égalemet et f est dérivable sur ], [. De plus o a : x ], [, f (x) = Or = x = P (Y = ) = ( q N ) ( q N). ( x) CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

Doc, d après ce qui précède, P (Y = ) coverge car q N ], [. Doc Y admet ue espérace et E(Y ) = ( q N ) = ( q N) = q N ( q N ), doc E(Y ) = q N. CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

EXERCICE 4 probabilités Eocé exercice 4 Remarque : les questios. et. sot idépedates. Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé.. (a) Soit X et X deux variables aléatoires défiies sur (Ω, A). O suppose que X et X sot idépedates et suivet ue loi de Poisso, de paramètres respectifs λ et λ. Détermier la loi de X + X. (b) E déduire l espérace et la variace de X + X.. Soit X et Y deux variables aléatoires défiies sur (Ω, A, P ). O suppose que Y suit ue loi de Poisso de paramètre λ. O suppose que X(Ω) = N et que m N, la loi coditioelle de X sachat (Y = m) est ue loi biomiale de paramètre (m, p). Détermier la loi de X. Corrigé exercice 4. (a) X (Ω) = N et X (Ω) = N doc (X + X )(Ω) = N. Soit N. (X + X = ) = ((X = k) (X = k)) (uio d évèemets deux à deux disjoits). Doc : k= P (X + X = ) = = = P ((X = k) (X = k)) k= P (X = k)p (X = k) car X et X sot idépedates. k= k= e λ λk = e (λ+λ)! k! λ k e λ ( k)! = e (λ+λ)! ( k k= k= ) λ k λ k = e (λ+λ) (λ + λ )!! k!( k)! λk λ k Aisi X + X P(λ + λ ). (b) X + X P(λ + λ ) doc, d après le cours, E(X + X ) = λ + λ et V (X + X ) = λ + λ.. Soit k N, P (X = k) = Or, par hypothèse, Doc : m= P (X = k) = P ((X = k) (Y = m)) = m N, P (Y =m) (X = k) = m=k λ pk = e k! λk λp (λp)k = e k! m= P (Y =m) (X = k)p (Y = m). ( ) m p k ( p) m k k ( m )p k ( p) m k λ λm pk e = e λ k m! m= (λ( p)) m m! si k m sio k! λk λ pk = e k! λk e λ( p) m=k (λ( p)) m k (m k)! CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

Aisi X P(λp). CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

EXERCICE 5 probabilités Éocé exercice 5 O dispose de boules umérotées de à et d ue boîte formée de trois compartimets idetiques égalemet umérotés de à 3. O lace simultaémet les boules. Elles vieet se rager aléatoiremet das les 3 compartimets. Chaque compartimet peut évetuellemet coteir les boules. O ote X la variable aléatoire qui à chaque expériece aléatoire fait correspodre le ombre de compartimets restés vides.. Préciser les valeurs prises par X.. (a) Détermier la probabilité P (X = ). (b) Fiir de détermier la loi de probabilité de X. 3. (a) Calculer E(X). (b) Détermier Corrigé exercice 5 lim E(X). Iterpréter ce résultat. +. X(Ω) =,. ( ) 3. (a) Pour que l évéemet (X = ) se réalise, o a possibilités pour choisir les compartimets restat vides. Les deux compartimets restat vides état choisis, chacue des boules viedra se placer das le troisième compartimet avec la probabilité 3. De plus les placemets des différetes boules das les trois compartimets sot idépedats. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Doc P (X = ) = = 3 =. 3 3 3 (b) Détermios P (X = ). Pour que l évéemet (X = ) se réalise, o a ( 3 ) possibilités pour choisir le compartimet restat vide. Le compartimet restat vide état choisi, o ote A l évéemet «les boules doivet se placer das les deux compartimets restats (que ous appelleros compartimet a et compartimet b) sas laisser l u d eux vide». Soit k,. O ote A k l évéemet «k boules se placet das le compartimet a et les ( k) boules restates das le compartimet b». O a alors A = A k. k= O a k,, P (A k ) = ( k ) ( 3 ( ) 3 Doc P (X = ) = P ( k= Doc ( ) ( ) ( P (X = ) = 3 = k 3 3 k= ( ) Doc P (X = ) = ( ). 3 ) k ( ) k = 3 ( k ) ( 3 ). A k ) = 3 P (A k ) car A, A,..., A sot deux à deux icompatibles. k= ) k= ( ) = k ( 3 ) ( k= ( ) ) = k ( ) ( ). 3 Efi, P (X = ) = P (X = ) P (X = ) doc P (X = ) = ( ( 3) 3) ( ). ( ) Doc P (X = ) = ( ). 3 Autre méthode : CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

Ue épreuve peut être assimilée à ue applicatio de, (esemble des uméros des boules) das, 3 (esemble des uméros des cases). Notos Ω l esemble de ces applicatios. O a doc : card Ω = 3. Les boules vot se "rager aléatoiremet das les trois compartimets", doc il y a équiprobabilité sur Ω. (a) L évéemet (X = ) correspod aux applicatios dot les images se cocetret sur le même élémet de, 3. Doc P (X = ) = 3 3 = 3. (b) Comptos à préset le ombre d applicatios correspodat à l évéemet (X = ), c est-à-dire le ombre d applicatios dot l esemble des images est costitué de deux élémets exactemet. O a 3 possibilités pour choisir l élémet de, 3 qui a pas d atécédet et esuite, chaque fois, il faut compter le ombre d applicatios de, vers les deux élémets restats de, 3, e excluat bie sûr les deux applicatios qui cocetret les images sur le même élémet. O obtiet doc applicatios. D où P (X = ) = 3 ( ) 3 = 3 ( ). Efi, comme das la méthode précédete, P (X = ) = P (X = ) P (X = ) doc P (X = ) = ( ( 3) 3) ( ). ( ) ( ) 3. (a) E(X) = P (X = ) + P (X = ) + P (X = ) = ( ) +. ( ) 3 3 Doc E(X) = 3. 3 ( ) (b) D après 3.(a), lim E(X) = lim 3 =. + + 3 Quad le ombre de boules ted vers +, e moyee aucu des trois compartimets e restera vide. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 6 probabilités Éocé exercice 6. Éocer et démotrer la formule de Bayes.. O dispose de dés dot 5 sot pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d obteir le chiffre 6 lors d u lacer vaut. (a) O tire u dé au hasard parmi les dés. O lace ce dé et o obtiet le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé? (b) Soit N. O tire u dé au hasard parmi les dés. O lace ce dé fois et o obtiet fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité p que ce dé soit pipé? (c) Détermier Corrigé exercice 6 lim p. Iterpréter ce résultat. +. Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. Soit B u évéemet de probabilité o ulle et (A i ) i I u système complet d évéemets de probabilités o ulles. Alors, i I, P B (A i ) = P (A i )P Ai (B). P (A i )P Ai (B) i I Preuve : P B (A i ) = P (A i B) P (B) = P (A i )P Ai (B). () P (B) Or (A i ) i I u système complet d évéemets doc P (B) = i I Doc P (B) = P (A i )P Ai (B). (). i I () et () doet le résultat souhaité. P (A i B).. (a) O tire au hasard u dé parmi les dés. Notos T l évéemet : «le dé choisi est pipé». Notos A l évéemet :«O obtiet le chiffre 6 lors du lacer». O demade de calculer P A (T ). Le système (T, T ) est u système complet d évéemets de probabilités o ulles. O a d ailleurs, P (T ) = 5 = 4 et doc P (T ) = 3 4. Alors, d après la formule de Bayes, o a : P A (T ) = P (T )P T (A) P T (A)p(T ) + P T (A)P (T ) = 4 4 + 6 3 4 =. (b) Soit N. O choisit au hasard u dé parmi les dés. k,, o ote A k l évéemet «o tire le chiffre 6 au k ième lacer». O pose A = A k. k= O ous demade de calculer p = P A (T ). Le système (T, T ) est u système complet d évéemets de probabilités o ulles. O a d ailleurs, P (T ) = 5 = 4 et doc P (T ) = 3 4. Alors d après la formule de Bayes, o a : CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

P (T )P T (A) p = P A (T ) = P T (A)p(T ) + P T (A)P ( T ) Doc p = ( ( 4 ) 4 + ) ( 6 ) 3 4 = + 3. (c) N, p = + Doc lim p =. + 3 Ce qui sigifie que, lorsque ted vers +, si o obtiet que des 6 sur lacers, alors le dé tiré au hasard au départ est, avec quasi-certitude, pipé. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

EXERCICE 7 probabilités Éocé exercice 7 X et Y sot deux variables aléatoires idépedates et à valeurs das N. Elles suivet la même loi défiie par : k N, P (X = k) = P (Y = k) = pq k où p ], [ et q = p. O cosidère alors les variables U et V défiies par U = sup(x, Y ) et V = if(x, Y ).. Détermier la loi du couple (U, V ).. Expliciter les lois margiales de U et de V. 3. U et V sot-elles idépedates? Corrigé exercice 7. (U, V )(Ω) = { (m, ) N tel que m }. Soit (m, ) N tel que m. Premier cas : si m= P ((U = m) (V = )) = P ((X = ) (Y = )) = P (X = )P (Y = ) car X et Y sot idépedates. Doc P ((U = m) (V = )) = p q. Deuxième cas : si m> P ((U = m) (V = )) = P ([(X = m) (Y = )] [(X = ) (Y = m)]) Les évéemets ((X = m) (Y = )) et ((X = ) (Y = m)) sot icompatibles doc : P ((U = m) (V = )) = P ((X = m) (Y = )) + P ((X = ) (Y = m)). Or les variables X et Y suivet la même loi et sot idépedates doc : P ((U = m) (V = )) = P (X = m)p (Y = ) = p q +m. p q si m = Bila : P ((U = m) (V = )) = p q +m si m > sio. U(Ω) = N et V (Ω) = N. Soit m N. P (U = m) = = = P ((U = m) (V = )). ( loi margiale de (U, V ) ) Doc d après., m m P (U = m) = P ((U = m) (V = )) = P ((U = m) (V = m)) + P ((U = m) (V = )). Doc m P (U = m) = p q m + = m p q +m = p q m +p q m Doc m N, P (U = m) = pq m (pq m + q m ). Soit N. De même, P (V = ) = Doc d après., P (V = ) = m= m= Doc P (V = ) = p q + = = P ((U = m) (V = )). ( loi margiale de (U, V ) ) P ((U = m) (V = )) = P ((U = ) (V = )) + m=+ Doc P (V = ) = p q + p q + + p q +m = p q + p q m= Doc N, P (V = ) = pq ( + q). q = p q m +p q m qm q = p q m +pq m ( q m ) + m=+ 3. P ((U = ) (V = )) = et P (U = )P (V = ) = p pq ( + q). Doc U et V e sot pas idépedates. m=+ P ((U = m) (V = )). q m = p q + p q + + m=+ q m q m = p q + p q + q = p q + pq + = pq (p + q) CC BY-NC-SA 3. FR Page 33

EXERCICE 8 probabilités Éocé exercice 8 O dispose de deux ures U et U. L ure U cotiet deux boules blaches et trois boules oires. L ure U cotiet quatre boules blaches et trois boules oires. O effectue des tirages successifs das les coditios suivates : o choisit ue ure au hasard et o tire ue boule das l ure choisie. O ote sa couleur et o la remet das l ure d où elle proviet. Si la boule tirée était blache, le tirage suivat se fait das l ure U. Sio le tirage suivat se fait das l ure U. N, o ote B l évéemet «la boule tirée au ième tirage est blache». O pose égalemet N, p = P (B ).. Calculer p.. Prouver que : N, p + = 6 35 p + 4 7. 3. E déduire, pour tout etier aturel o ul, la valeur de p. Corrigé exercice 8. Notos U l évéemet le premier tirage se fait das l ure U. Notos U l évéemet le premier tirage se fait das l ure U. (U, U ) est u système complet dévéemets. Doc d après la formule des probabilités totales, p = P (B ) = P U (B )P (U ) + P U (B )P (U ). Doc p = 5 + 4 7 = 7 35 O a doc p = 7 35.. Soit N. (B, B ) est u système complet d évéemets. Doc, d après la formule des probabilités totales, P (B + ) = P B (B + )P (B ) + P B (B + )P (B ). Alors e teat compte des coditios de tirage, o a p + = 5 p + 4 7 ( p ). Doc, N. p + = 6 35 p + 4 7. 3. N, p + = 6 35 p + 4 7. Doc (p ) N est ue suite arithmético-géométrique. O résout l équatio l = 6 35 l + 4 7 et o trouve l = 4. O cosidère alors la suite (u ) N défiie par : N, u = p l. (u ) N est géométrique de raiso 6 ( 35, doc, N, u = 6 ) u. 35 Or u = p l = 7 35 4 = 3 435. O e déduit que, N, p = u + l, c est-à-dire p = 3 435 ( 6 ) + 35 4. CC BY-NC-SA 3. FR Page 34

EXERCICE 9 probabilités Éocé exercice 9 Soiet X et Y deux variables aléatoires défiies sur u même espace probabilisé (Ω, A, P ) et à valeurs das N dot la loi est doée par : (i, j) N, P ((X = i) (Y = j)) = e i+ j!. Détermier les lois de X et de Y.. (a) Prouver que + X suit ue loi géométrique et e déduire l espérace et la variace de X. (b) Détermier l espérace et la variace de Y. 3. Les variables X et Y sot-elles idépedates? 4. Calculer P (X = Y ). Corrigé exercice 9. (i, j) N, P ((X = i) (Y = j)) = X(Ω) = N. Soit i N. j e i+ j! = e i+ Or P (X = i) = j= j e i+ j!. + j! coverge et j= e i+ j! = i+. P ((X = i) (Y = j)) doc P (X = i) = Coclusio : i N, P (X = i) = i+. j= e i+ j! = e i+ j! = i+. j= Y (Ω) = N. Soit j N. e i+ j! = ej! i Or P (Y = j) = Doc P (Y = j) = i i= ( ) i coverge (série géométrique de raiso + ) et e i+ j! = ej! i= P ((X = i) (Y = j)). i= e i+ j! = ej! Coclusio : j N, P (Y = j) = ej!.. (a) O pose Z = X +. Z(Ω) = N. i= ( ) i = ej! De plus, N, P (Z = ) = P (X = ) = = Doc Z suit ue loi géométrique de paramètre p =. = ej!. ( ). = ej!. Doc, d après le cours, E(Z) = p = et V (Z) = p p =. Doc E(X) = E(Z ) = E(Z) = = et V (X) = V (Z ) = V (Z) =. C est-à-dire E(X) = et V (X) =. (b) Y suit ue loi de Poisso de paramètre λ =. Doc, d après le cours, E(X) = V (X) = λ =. 3. O a : (i, j) N, P ((X = i) (Y = j)) = P (X = i)p (Y = j). Doc les variables X et Y sot idépedates. CC BY-NC-SA 3. FR Page 35

4. (X = Y ) = k N((X = k) (Y = k)) et il s agit d ue uio d évéemets deux à deux icompatibles doc : P (X = Y ) = k= Doc P (X = Y ) = e. P ((X = k) (Y = k)) = k= e k+ k! = e k= ( k! ) k = e e CC BY-NC-SA 3. FR Page 36

EXERCICE probabilités Éocé exercice Soit N. Ue ure cotiet boules blaches umérotées de à et deux boules oires umérotées et. O effectue le tirage ue à ue, sas remise, de toutes les boules de l ure. O ote X la variable aléatoire égale au rag d apparitio de la première boule blache. O ote Y la variable aléatoire égale au rag d apparitio de la première boule umérotée.. Détermier la loi de X.. Détermier la loi de Y. Corrigé exercice. X(Ω) =, 3. i,, o ote B i la i ième boule blache. i,, o ote N i la i ième boule oire. O pose E = {B, B,..., B, N, N }. Alors Ω est l esemble des permutatios de E et doc card(ω) = ( + )!. (X = ) correspod aux tirages des ( + ) boules pour lesquels la première boule tirée est blache. O a doc possibilités pour le choix de la première boule blache et doc ( + )! possibilités pour les tirages restats. Doc P (X = ) = ( + )! ( + )! = +. (X = ) correspod aux tirages des ( + ) boules pour lesquels la première boule tirée est oire et la secode est blache. O a doc possibilités pour la première boule, puis possibilités pour la secode boule et efi! possibilités pour les tirages restats. Doc P (X = ) = ()! ( + )! = ( + )( + ). (X = 3) correspod aux tirages des ( + ) boules pour lesquels la première boule et la secode boule sot oires. O a doc possibilités pour la première boule, puis ue seule possibilité pour la secode et efi! possibilités pour les boules restates. Doc P (X = 3) = ()! ( + )! = ( + )( + ). Autre méthode : Das cette méthode, o e s iteresse qu aux "premières" boules tirées, les autres état sas importace. X(Ω) =, 3. (X = ) est l évéemet : "obteir ue boule blache au premier tirage". ombre de boules blaches Doc P (X = ) = ombre de boules de l ure = +. (X = ) est l évéemet : " obteir ue boule oire au premier tirage puis ue boule blache au secod tirage". D où P (X = ) = + + =, les tirages se faisat sas remise. ( + )( + ) (X = 3) est l évéemet : "obteir ue boule oire lors de chacu des deux premiers tirages puis ue boule blache au troisième tirage". D où P (X = ) = + + =, les tirages se faisat sas remise. ( + )( + ). Y (Ω) =, +. Soit k, +. L évéemet (Y = k) correspod aux tirages des ( + ) boules où les (k ) premières boules tirées e sot i B i N et la k ième boule tirée est B ou N. CC BY-NC-SA 3. FR Page 37

( ) O a doc, pour les (k ) premières boules tirées, choix possibles de ces boules et (k )! k possibilités pour leur rag de tirage sur les (k ) premiers tirages, puis possibilités pour le choix de la k ième boule et efi ( + k)! possibilités pour les rags de tirage des boules restates. ( )! (k )! ( + k)! ( + k)! k ( k + )! Doc P (Y = k) = = ( + )! ( + )! ( + k) Doc P (Y = k) = ( + )( + ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 38

EXERCICE probabilités Éocé exercice Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé.. Soit X ue variable aléatoire défiie sur (Ω, A, P ) et à valeurs das N. O cosidère la série etière t P (X = ) de variable réelle t. O ote R X so rayo de covergece. (a) Prouver que R. O pose alors G X (t) = = t P (X = ) et ote D GX l esemble de défiitio de G X. Justifier que [, ] D GX. Pour tout réel t fixé, exprimer G X sous forme d ue espérace. (b) Soit k N. Exprimer, e justifiat votre répose, P (X = k) e foctio de G (k) X ().. (a) O suppose que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ. Détermier D GX et, t D GX, calculer G X (t). (b) Soit X et Y deux variables aléatoires défiies sur u même espace probabilisé, idépedates et suivat des lois de Poisso de paramètres respectifs λ et λ. Détermier, e utilisat les questios précédetes, la loi de X + Y. Corrigé exercice. (a) N, t ], [, t P (X = ) P (X = ) et P (X = ) coverge ( = P (X = ) = ). Doc t ], [, t P (X = ) coverge absolumet. Doc R. De plus, pour t = et t =, la série t P (X = ) coverge absolumet, doc [, ] D GX. O remarque que G X (t) = E(t X ). G X est la foctio géératrice de X. (b) Soit k N. G X est la somme d ue série etière de rayo de covergece R. Doc, d après le cours, G X est de classe C sur ], [ ] R X, R X [. De plus, t ], [, G (k) X (t) = + =k! ( k)! t k P (X = ). E particulier G (k) G(k) X X () = k!p (X = k), doc P (X = k) = () k!.. (a) O suppose que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ. t R, t P (X = ) = t λ λ e! = (λt) e λ coverge (série expoetielle) et doc! D GX = R. + De plus, t R, G X (t) = e λ (λt) = e λ e λt = e λ(t ).! = (b) O suppose que X et Y sot idépedates et suivet des lois de Poisso de paramètres respectifs λ et λ. D GX = D GY = R et, si o pose Z = X + Y, alors [, ] D GZ. Alors, t [, ], G Z (t) = E(t X+Y ) = E(t X t Y ) = E(t X )E(t Y ) car X et Y sot idépedates et doc, d après le cours, t X et t Y sot idépedates. Doc, d après.(a), G Z (t) = e λ(t ) e λ(t ) = e (λ+λ)(t ). O recoait la foctio géératrice d ue loi de Poisso de paramètre λ + λ. Doc, d après.(b), comme Z a la même foctio géératrice qu ue loi de Poisso de paramètre λ + λ, alors Z = X + Y suit ue loi de Poisso de paramètre λ + λ. CC BY-NC-SA 3. FR Page 39

EXERCICE probabilités Éocé exercice O admet, das cet exercice, que : q N, k q ( ) k x k q coverge et x ], [, q Soit p ], [. Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. Soit X et Y deux variables aléatoires défiies sur (Ω, A, P ) et à valeurs das N. O suppose que la loi de probabilité du couple (X, Y ) est doée par : ( ) ( ) p( p) P ((X = k) (Y = )) = si k k sio. Vérifier qu il s agit bie d ue loi de probabilité.. (a) Détermier la loi de Y. (b) Prouver que + Y suit ue loi géométrique. (c) Détermier l espérace de Y. 3. Détermier la loi de X. Corrigé exercice. O remarque que (k, ) N, P ((X = k) (Y = )). (X, Y )(Ω) = { (k, ) N tel que k }. Posos (k, ) N, p k, = P ((X = k) (Y = )). N, k p k, coverge (car u ombre fii de termes o uls). Et k= p k, = k= ( ) ( ) p( p) = k ( ) p( p) k= ( ) = k k=q ( ) k x k q = q ( x) q+. ( ) p( p) = p( p). De plus, p( p) = p p) ( coverge (série géométrique covergete car ( p) ], [). Et p( p) = p ( p) = p ( p) =. = = Doc o défiit bie ue loi de probabilité.. (a) Y (Ω) = N. Soit N. P (Y = ) = k= P ((X = k) (Y = )) (loi margiale) Doc, d après les calculs précédets, P (Y = ) = C est-à-dire, N, P (Y = ) = p( p). (b) Posos Z = + Y. Z(Ω) = N et N, P (Z = ) = P (Y = ) = p( p). Doc Z suit ue loi géométrique de paramètre p. (c) D après la questio précédete, E(Z) = p. Or Y = Z doc E(Y ) = E(Z) et doc E(Y ) = p p. 3. X(Ω) = N. Soit k N. P (X = k) = = k= P ((X = k) (Y = )) (loi margiale) ( ) ( ) p( p) = p( p). k CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

Doc P (X = k) = =k ( ) ( k ) p( p) = p ( Doc, d après les résultats admis das l exercice, P (X = k) = p ) k + ( ) ( ( p) k k =k ( ( p) ) k. ) k ( p) k ( ( p) ) k+ C est-à-dire P (X = k) = p Doc, k N, P (X = k) = ( ) k ( p) k k+ ( + p) k+. p + p ( ) k p. + p CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

EXERCICE 3 probabilités Éocé exercice 3 Soit N et E u esemble possédat élémets. O désige par P(E) l esemble des parties de E.. Détermier le ombre a de couples (A, B) (P(E)) tels que A B.. Détermier le ombre b de couples (A, B) (P(E)) tels que A B =. 3. Détermier le ombre c de triplets (A, B, C) (P(E)) 3 tels que A, B et C soiet deux à deux disjoits et vérifiet A B C = E.. Corrigé exercice 3. O ote F = { (A, B) (P(E)) / A B { }. } Soit p,. O pose F p = (A, B) (P(E)) / A B et cardb = p. Pour ue partie B à p élémets doée, le ombre de parties A de E telles que A B est card P(B) = p. De plus, o a ( p) possibilités pour choisir ue partie B de E à p élémets. O e déduit que : p,, card F p = ( p) p. Or F = F p avec F, F,..., F deux à deux disjoits. p= ( ) Doc a = card F = card F p = p = 3, d après le biôme de Newto. p Coclusio : a = 3. p= p= Autre méthode : Le raisoemet suivat (corrigé o détaillé) permet égalemet de répodre à la questio. Notos ecore F = { (A, B) P(E) / A B }. A tout couple (A, B) de F, o peut associer l applicatio ϕ A,B défiie par : ϕ A,B : E {,, 3} x si x A si x / A et x B 3 si x / B O ote A (E, {,, 3}) l esemble des applicatios de E das {,, 3}. F A (E, {,, 3}) Alors l applicatio Θ : est bijective. (A, B) ϕ A,B Le { résultat e découle. } { }. (A, B) (P(E)) / A B = = (A, B) (P(E)) / A B. { } { } Or card (A, B) (P(E)) / A B = card (A, B) (P(E)) / A B { } = card (A, C) (P(E)) / A C Doc b = a. = a. 3. Compter tous les triplets (A, B, C) tels que A, B et C soiet deux à deux disjoits et tels que A B C = E reviet à compter tous les couples (A, B) tels que A B = car, alors, C est obligatoiremet égal à A B. { } E d autres termes, c = card (A, B) (P(E)) / A B = = b = 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4