MPS/PCS/ESC égraio SUP/ESC Méhodes d iégraio - : égrale immédiae - : Somme ou différece de focios - : Composée de focio -4 : Décomposiio e fracios raioelles -5 : Par subsiuio (chageme de variable) -6 : Réducios à des formes pariculières 6-7 : égraio par paries 7-8 : Décomposiio e série 8 égraio umérique 8 - : Méhode des recagles 8 - : Méhode des rapèzes 9 - : Méhode de Simpso 9 Diverses quesios 9 - : roducio à la loi ormale 9 - : Eesio de la oio d'iégrale - : Suies défiies par ue iégrale -4 : Comparaiso série e iégrale -5 : Sommes de Riema 4 Ecole Supérieure de commerce de Lyo 4- : escl 88 4- : escl 89 4 4- : escl 9 4 4-4 : escl 9 4 4-5 : escl 9 5 4-6 : escl 9 5 4-7 : escl 94 5 4-8 : escl 95 6 4-9 : escl 96 6 4- : escl 98 6 4- : escl 98 bis (suje de secours) 7 4- : escl 7 4- : escl, erai 8 4-4 : escl 8 4-5 : escl 4, erai 9 5 Aales ESC 9 5- : esc 97 9 5- : esc 98 5- : esc, erai 5-4 : esc 5-5 : esc 4 6 Aales EDHEC 6- : edhec 96, eercice 6- : edhec 96 6- : edhec 98, erai du problème 6-4 : edhec 6-5 : edhec 6-6 : edhec 4 7 Aales ECRCOME 7- : ecricome 9 4 4 7- : Ecricome 9 4 7- : D'après ecricome OG 9 7-4 : ecricome 98 (erai) 5 5 7-5 : ecricome 99 (erai) 6 7-6 : ecricome 6 7-7 : ecricome 4 7 8 Aales SC-ESLSCA 8 8- : eslsca 9 8 8- : eslsca 95 8 8- : eslsca 96 9 8-4 : eslsca 98 9 8-5 : eslsca 99 9 Méhodes d iégraio Nous repreos les pricipales méhodes classiques d iégraio Chaque cas es illusré par u ou plusieurs eemples Cerais eemples so voloaireme assez compliqués, das le ses qu ils fo ierveir plusieurs méhodes E effe, il es impora de compredre que oues ces méhodes forme u esemble, e qu il fau savoir uiliser oues les armes dispoibles Noos efi que souve plusieurs méhodes so possibles e qu il y a pas de recee magique qui focioe à ous les coups O doi doc simpleme s e servir comme ouils e aide-mémoire - : égrale immédiae l s agi de l applicaio simple e immédiae des formules que l o peu rouver das impore quel formulaire Eemple : m m d C m Eemple : cos d si C Eemple : e d e C Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
- : Somme ou différece de focios Soi à iégrer la fracio raioelle : f()/g() où f() es u polyôme de degré m e g() u polyôme de degré avec m >, o effecue la divisio euclidiee de f() par g() Puis o iègre Eemple 4 : d d l C 5 5 4 4 d d C 5 4 Eemple 5 : l - : Composée de focio Si o peu arriver à ideifier u faceur comme éa la dérivée de l aure, la soluio es presque immédiae : h' g g' d h g C Eemple 6 : d C car O pouvai égaleme procéder comme sui : 4 g g ' 4 h' h 4 Eemple 7 : e l d d C 4 d e C car de la forme u ' d e u Eemple 8 : d : o remarque que ' d où d d d l arca C (voir plus bas pour la derière iégrale) cos cos cos cos Eemple 9 : si si cos cos e d e d e d e C 4 4 a d d C Eemple : a 'a a cos -4 : Décomposiio e fracios raioelles Pour oue forme f g où f e g so des polyômes e (si le degré de f es supérieur à celui de g o effecuera d abord la divisio euclidiee) Eemple : d O décompose : 4 4 a b c a b c a b a b 4c 4 4 a b c le sysème a b a, b, c 4 a b 4c 4 4 4 e d d d 4 Efi l C 4 Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr d où
Eemple : 8 a b c O cherche e o rouve a, b, c : d d d 5 5 l rese à iégrer : d d d d d l arca 5l Eemple : d : 5 l arca C a a a b c a a b a b c a b b a b c c d d d l l C -5 : Par subsiuio (chageme de variable) C es ue des méhodes les plus efficaces e doc la plus uilisée ; elle es basée sur la dérivaio des focios composées : f d ' f g g d Eemple 4 : 5 d : posos g g ' O e ire 7 6 7 6 6 5 6 5 6 d d d C C C 7 6 7 6 4 Eemple 5 : d : posos e dy dy y e e d dy d e y O a alors y dy dy d y y y y e l l l e C y y y y e y y Les subsiuios à opérer e so pas oujours évidees Cepeda ceraies so assez classiques Les subsiuios rigoomériques Pour les formes e Re mplacer par Doc d si a a a d cos cos a a aa a a d d cos a asi acos d Eemple 6 : 49 d O pose si d cos d, soi Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
si cos, cos co d si d si d 9 or si cos doc 4 Eemple 7 : 4 9 4 9 arcsi arcsi C d ; a a d d ; a a d d cos d a d d d a cos a cos a cos si O a deu iégrales à calculer : cos dsi d car si d : posos cos si si a, cos d d d si si arca ; a d d d cos si l l l a cos si cos car a e comme si cos cos arca, o a doc l l l l C cos E efi l C Les subsiuios algébriques * Pour les formes du ype Eemple 8 : y Prépa HEC 4 F Laroche Problèmes iégraio d ; 4 4 a b, o pose 4 y a b y 4 4y dy 4d d où 4 y dy 7 7 4 4 4 4 4 4 y y y y dy C C y 4 4 7 4 8 4 Eemple 9 : ; o pose d d d e 6 7 4 6 7 4 d C 7 4 7 4 hp://larochelyceefreefr
* Pour les formes e a b c d, o pose a b c d Eemple : d ; o pose d d d soi après décomposiio e élémes simples : a b c b, a, b, c, d, d d d d 4 d d d d 4 l l 4 l l C Les focios rigoomériques Focios raioelles e cos,si e a, o uilise les subsiuios suivaes : arca a, d d cos, si, a Eemple : Prépa HEC 5 F Laroche Problèmes iégraio or si cos a d d d si cos a doc a a a a l l l l l si cos a * Cas pariculier : Produi de faceurs cos a e si a si a cos b si si a b ab Uiliser les formules de Simpso iverses : si a si b cos a b cos a b cos a cos b cos a b cos ab Eemple : si si7 cos4 cos si4 si si4 si d d 4 8 * Cas pariculier : Puissaces de cos e si Liéariser, c es à dire uiliser les formules d Euler e le biôme de Newo pour passer de ermes de la forme cos à cos(m) ou si(m) hp://larochelyceefreefr
Eemple : i i e e i i i i i i i i i i, cos d d e e e e e e d e e e e d 8 8 soi cos 6 cos d si si C 8 4-6 : Réducios à des formes pariculières O peu souve arriver à reveir à ue forme pariculière Plusieurs eemples sero doés ci-après De faço géérale, o uilisera les ables de primiives qui doe les soluios pour ue série de formes pariculières Les focios hyperboliques Focio hyperbolique Dérivée e e sih sih ' cosh e e cosh cosh ' sih e e ah e e ah ' ah cosh e leurs réciproques, les focios argumes hyperboliques so souve uiles Focio argume hyperbolique Dérivée argsih sih l argsih ' arg cosh cosh l arg cosh ' argah ah l argah ' U pei résumé : Focio Primiive Focio Primiive l a l a a a a a a * Formes e Si arcsi a arca a a a a a l a a p q p 4q, rasformer e u l a a a a arcsi a Prépa HEC 6 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
; o pose : 4 d Eemple 4 : d d 4 u du d d du d où du 4 du arca u arca C u u E uilisa les remarques précédees o pouvai écrire : d d arca arca C 4 4 4 Si p 4q, décomposer e fracios raioelles (le déomiaeur peu se facoriser) 4 4 4 d 4 d 4 Eemple 5 : d l C 5 7 7 7 * Formes e a b c ou e A B a b c O fai les rasformaios écessaires pour reveir à ue forme coue Eemple 6 : O pose d d d 4 4 4 u d du u du 4 ; avec les formules : u u l u u u a l 4 8 4 8 Eemple 7 : 7 4 ; d d d u u 7 u arcsi arcsi 4 Eemple 8 : u du d ; d d d e d d 5 4 l C -7 : égraio par paries C es ue méhode rès puissae e doc rès souve uilisée ' ' f g d f g f g d Prépa HEC 7 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Eemple 9 : si l d y y d : y l dy d dy e dy si y e dy ; u si y u' cosy y y par paries : e siy e cosy dy ; y y v' e v e u cos y u' si y y y y y y par paries de ouveau : e si y e cos y si y e dy e si y e cos y, y y v' e v e y d où efi e si y cos y si l cos l Eemple : arcsi d : f arcsi f ' g' g d où arcsi d arcsi d arcsi C Vous avez de rès ombreu eemples das les eercices -8 : Décomposiio e série Eemple : e d ; comme égraio umérique 4 6 e l iégraio erme à erme doe!! 4 6 5 7 d d d d C!! 5! 7! f( k ) Comme rès souve o e sai pas calculer les iégrales, o recour à des méhodes de calcul approchées e/ou umériques : o e uilise rois pricipaleme suiva le degré de précisio souhaié - : Méhode des recagles O divise l iervalle d iégraio [a ; b] e iervalles de logueur ideique b a h, e o cosidère la somme des aires des recagles au-dessus e la somme e dessous ; o obie alors les ecadremes suivas : b k a k k hf ( ) f( ) d hf ( ) b a avec k a hk lorsque la focio es moooe croissae L erreur commise es de l ordre de M h où M ma f '( ) Le lie avec les séries es évidemme rès for e o remplacera fréquemme ue [ a, b] =a k =b quesio d iégrale par ue quesio de série e réciproqueme k Prépa HEC 8 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
- : Méhode des rapèzes Beaucoup plus reable ; o joi chaque poi ( k, f( k)) e o regarde l aire sous chaque rapèze do les bases so f( k) e f( k ), la haueur h O fai doc la somme h ( f ( ) f ( h )) f ( a ) f( a) f( b) f ( ) f ( b ) h f ( ) k k k k k k k b ( b a) qui doe f( ) d avec ue erreur iférieure à ; ma ''( ) M M f a [ a, b] Cee méhode es rès facile à appliquer e iformaique, e la précisio es e gééral rès boe Ue variae cosise à uiliser la dérivée f e la agee au milieu de deu valeurs k, k - : Méhode de Simpso O pred des arcs de paraboles au lieu de segmes de droie ere deu pois successifs (e fai o peu même ravailler avec le développeme de la focio à l ordre au voisiage de chaque poi) ; il fau b a alors diviser [a ; b] e iervalles e la formule obeue es avec h : b h f( ) d f( a) f( b) f( k) 4 f( k ) a e la précisio es e k k 4 h : 4 ( b a) 88 4 () () f ( b) f ( a) E fai avec l iformaique la plupar du emps o peu se coeer de calculer la somme des valeurs de f sur l iervalle choisi e muliplia par la différece des abscisses ; si cee différece es cosae, il suffi de le faire à la fi Diverses quesios - : roducio à la loi ormale Eudier f : ep Déermier les pois d'ifleio de C f Tracer C f Morer que f es de classe C sur e que pour ou eier aurel il eise P polyôme de degré el que, F f P e Soi ep ep Ces polyômes s appelle polyômes d Hermie ep( ) d Morer que F es croissae sur Morer que pour ou E déduire que F es majorée sur Morer que les iégrales 4 O adme que Calculer variable liéaire) ep( ) d, ep( ) d Calculer ep( /) d (chageme de variable 5 Soi ep( ) d so covergees ep( ) d y ) puis G ep( ) d Calculer G() E déduire que l'iégrale Morer que l'iégrale ep( ) d es covergee e vau ( m) ep, o a d (chageme de ep( ) d es covergee Prépa HEC 9 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
6 Morer que l'iégrale par paries Le résula du 4, ep( ) d es covergee e calculer sa valeur à l'aide d'ue iégraio ep d es à coaîre - : Eesio de la oio d'iégrale Eercice Jusifier l'eisece de d ( ) Eercice l( ) d e calculer sa valeur Mêmes quesios pour l( ) d, Rappel : ue focio f majorée sur [a ; b[ e croissae sur [a ; b[ adme ue limie fiie e b (b éa u ombre réel > a ou ) Faies u dessi pour vous e covaicre Démorer : pour ou de [ ; [, E déduire que la focio : ;, défiie par puis que l'iégrale Eercice d es covergee Soi u eier aurel Eablir successiveme k y * Pour ou y différe de : y y ; y * k k ( ) ; k ( ) k d (o adme que k ( ) ( ) * 4 k * k ( ) 4 k k d ) ; 4 d adme ue limie fiie e, Déduire de ce derier résula la belle formule : e u algorihme rédigé e urbopascal desié à calculer ue valeur approchée de à ue précisio doée 4 5 7 près - : Suies défiies par ue iégrale Eercice Soi ( ) d Démorer que pour ou eier supérieur ou égal à : E déduire l'epressio de e focio de Eercice Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
p e q éa deu ombres eiers posiifs ou uls, o pose : Comparer B(p, q) e B(q, p) p Eablir la relaio : B( p, q) B( p, q) q ( p ) Calculer B(, ) pour ou apparea à ; e déduire B(p, q) Eercice Pour eier aurel, o pose : d p q B p, q ( ) d Quelle es la sigificaio géomérique de? E déduire la valeur de Calculer Morer que pour ou, o a : E déduire la valeur de e focio de (o disiguera suiva la parié de ) 4 Morer que ( ) es ue suie posiive e décroissae e que cee suie coverge vers 5 Morer que ( + )( + ) es idépeda de e calculer sa valeur ; e déduire u équivale simple de lorsque ed vers Eercice 4 O oe, pour ou ombre réel a posiif e pour ou eier aurel : Calculer u (a) Covergece de la suie (u (a)) Soi a > doé e a Morer que pour ou das : u a b Morer que la suie (u (a)) es décroissae c Déermier la limie de u (a) quad ed vers Forme eplicie de u (a) a ep( ( )) u a a d a A l'aide d'ue iégraio par paries, rouver ue relaio de récurrece ere u a e u a b Morer par récurrece sur que pour ou das : k! a u a ep( a) a k! k -4 : Comparaiso série e iégrale Eercice La série de erme gééral es divergee : démosraio par comparaiso avec ue iégrale gééralisée Démorer successiveme : * ; efi pour ou N : E déduire le résula aocé llusraio graphique Eercice Série de Berrad puis N N d N d Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Morer que l'iégrale (l ) d es covergee e calculer sa valeur E vous ispira de l'eercice précéde, morer que la série de erme gééral covergee Eercice Pour eier aurel o ul o défii la suie (S ) par : S / / / Jusifier pour k eier aurel o ul l'ecadreme : E déduire l'ecadreme : Que peu-o dire de la suie (S )? d d S / / k d / / / k ( k) k l,, es 4 A l'aide d'ecadremes aalogues, morer que la suie (T ) défiie par : T 4/ 4/ 4/ es covergee -5 : Sommes de Riema Eercice Calculer les limies quad ed vers des sommes suivaes : d d ) 4 Eercice (esg 94 e épreuve) Soi k u eier aurel o ul e soi la suie * U défiie par : * U Déermier la limie de cee suie pour k =, k = puis k = Pour k quelcoque > déermier la limie de la suie (U ) Eercice Soi u eier e k,,, k u l Démorer : k u l d u l / u l 4 lim u 5! lim e Eercice 4 k ( k)/ k l l d l k/ 4 k 5 ; k k k (rappel : k i i Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Pour o oe k u k Morer que pour ou k,, : ( k)/ k k d k/ E déduire u ecadreme de u e la limie de u quad ed vers Rerouver cee limie e calcula u e focio de Eercice 5 Soi f la focio défiie pour ou sriceme posiif par : f( ) l Eudier les variaios de f Morer que c'es ue focio covee Doer sa représeaio graphique Déermier ue primiive de la focio f sur l'iervalle ] ; [ E déduire que l'iégrale f() d es covergee e calculer sa valeur Soi u eier supérieur ou égal à O pose : j S f j a Eablir, pour ou eier j vérifia j, les iégaliés : b e déduire l'ecadreme : f( ) d S ( ) f f d c Morer les iégaliés : f f( ) d d Morer que la suie (S ) es covergee e déermier sa limie 4 O rappelle que pour ou eier aurel o ul, o a l'égalié : pour ou eier aurel o ul, la somme lim l! 4 Ecole Supérieure de commerce de Lyo 4- : escl 88 Vérifier que ; l E déduire la limie quad l'eier ed vers de Soi u la suie réelle défiie par d Morer que pour ou eier aurel o ul u j j f j j j j f f() d f l( ) d u k k ( )( ) Eprimer, 6 e focio de E déduire la limie : l iégraio par paries E déduire la limie de u e celle de u quad ed vers l( ) d ; o pourra uiliser ue Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
4- : escl 89 Soi la suie de erme gééral a Calculer e Prépa HEC 4 F Laroche Problèmes iégraio e d b Morer que pour ou eier aurel, Calcul d'ue valeur approchée de 5 a Morer que,, e e b E déduire que pour ou das Eudier la covergece de la suie p!! p e ( k)! ( p)! k p p ( )! ( )! ( ) k!! e k p 5! 6 c Comme peu-o choisir p pour que 5 e? (5 k)! E déduire, à l'aide de la calcularice, ue valeur approchée de 5 à 6 près p k c* Ecrire e urbo-pascal u programme qui affiche ue valeur de l'uilisaeur O veillera à miimiser les calculs 4- : escl 9 Pour ou das, o pose Quelle es la dérivée de la focio f : Calculer d e p 5! p es fouri par e (5 k)! k d J ( ) défiie par f l? Calculer Morer que pour ou das, E déduire la limie de quad ed vers Morer que J ed vers quad ed vers 4 Eablir à l'aide d'ue iégraio par paries que Quelle es la limie de quad ed vers? 4-4 : escl 9 Pour ou eier supérieur ou égal à o pose J Eude de la suie a Calculer J J ( ) l( ) e d b Morer que pour ou supérieur ou égal à, J J c Eudier la covergece de la suie Eude de la suie J d a A l'aide d'ue iégraio par paries, morer que pour ou supérieur ou égal à, l() J hp://larochelyceefreefr
b Eudier la covergece de la suie Prépa HEC 5 F Laroche Problèmes iégraio c Déermier u équivale de quad ed vers 4-5 : escl 9 Soi f : ; l'applicaio défiie par f l( ) Eudier les variaios de f e racer sa courbe représeaive Morer que pour ou eier k el que Pour ou eier el que, o oe k k k : f k f( ) d f k S f() k k a Morer que pour ou el que : b E déduire que pour ou el que c Eablir que S l l S f() d S l() l( ) l : l l l l S l l l l Pour ou eier el que, o oe u = S l(l(+)) e v = S l(l ) 4 E uilisa le résula de la quesio morer que les suies e oe l leur limie commue 5 a Morer que pour ou el que : b E déduire ue valeur approchée de l à prés v l l u v so adjacees O b* Ecrire u programme e urbo-pascal qui uilise le résula du a pour calculer e afficher ue valeur approchée de l à mois de e près, e éa u ombre réel posiif fouri par l'uilisaeur 4-6 : escl 9 Pour ou eier aurel o pose : ( ) ep( ) e d a Former le ableau de variaios de f : ;, ep b E déduire, pour ou de : c Eudier la covergece de la suie J ( ) e J ( ) ep( ) J d A l'aide d'ue iégraio par paries, éablir, pour ou de : J E déduire la limie de e celle de quad ed vers 4-7 : escl 94 O pose pour ou eier aurel o ul : = (l ) d e = e a Eablir, pour ou eier aurel : + = e (+) b Morer, pour ou eier aurel : c Déduire des quesios a e b que, pour ou eier aurel : d Quelle es la limie de la suie? e e hp://larochelyceefreefr
e e Morer : Soi a u réel différe de ; o oe Morer : lim 4-8 : escl 95 u u la suie réelle défiie par : u a, u e ( ) u (O pourra cosidérer la suie (D ) défiie par D u ) O défii la focio f : ;, f Démorer que pour ou réel supérieur ou égal à : f () Pour ou eier supérieur ou égal à, o défii l'iégrale : a Démorer que : lim b O défii la focio : ; ue epressio de e focio de F, F l c Déermier la limie de l quad ed vers O défii, pour ou eier aurel supérieur ou égal à : a Morer que : S b Trouver u équivale simple de S quad ed vers 4-9 : escl 96 Pour ou eier aurel o pose : e d a Morer que, pour ou eier aurel : b E déduire que la suie coverge e doer sa limie f() d Calculer la dérivée de F e e déduire S k k A l'aide d'ue iégraio par paries, éablir, pour ou eier aurel : e( ) a E déduire pour ou eier aurel : e( ) ( )( ) b Trouver u équivale simple de quad ed vers 4- : escl 98 Soi a Morer, pour ou de e ou de [ ; [ : b E déduire, pour ou de e ou de [ ; ] : k k k k Prépa HEC 6 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
c Eablir, pour ou de : d E déduire que la série E pariculier, morer k k ( )( ) k l( ) = l() [sic] coverge e a pour somme l( ) U joueur lace ue pièce de moaie équilibrée jusqu'à l'obeio du premier pile S'il lui a fallu lacers ( eier o ul) pour obeir ce pile, o lui fai alors irer au hasard u bille de loerie parmi billes do u seul es gaga Quelle es la probabilié que ce joueur gage? 4- : escl 98 bis (suje de secours) Soi f la focio réelle défiie sur par 4 f Vérifier que f es paire e éudier les variaios de f Morer que, pour ou réel, l'iégrale O défii la focio réelle F sur par F a Eudier le sige de F b Eudier la parié de F d eise 4 d 4 4 4 6 4 a Morer, pour ou réel sriceme posiif F b E déduire les limies de F e e 5 a Vérifier, pour ou réel : 4 F 4 ' b Dresser le ableau des variaios de F sur [ ; [ O admera qu'ue valeur approchée de 4 /4 es,5 e qu'ue valeur approchée du maimum de F sur [ ; [ es,7 c Tracer la courbe représeaive de F das u repère orhoormé (uié 5 cm) d 4 4 4 4 4 6 (6 ) ( ) 6 a Morer, pour ou réel sriceme posiif : F 7 b E déduire que F() es équivale à 4 7 a Morer :, b E déduire que, pour ou réel de au voisiage de k 4k 44 ( ) 4 k 4 ; 4, la série ( ) coverge 4 c Morer, pour ou réel de ; 4 4 : 4 F ( ) 4- : escl O cosidère la focio f : ] ; [ défiie, pour ou de ] ; [, par : Prépa HEC 7 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
a Morer que f es coiue sur ] ; [ si f () l( ) si ] ; [ ] ; [ b Morer que f es de classe C sur ] ; [ e sur ] ; [ Pour ou réel de] ; [ e ] ; [, calculer f'() c Morer que f '() ed vers lorsque ed vers d E déduire que f es de classe C sur ] ; [ Morer :, l( ) E déduire les variaios de f O précisera les limies de f e e e Morer que, pour ou de l'iervalle ] / ; [, l'iégrale 4 O cosidère la focio F défiie, pour ou de ]/ ; [, par : a Morer que F es dérivable sur ]/ ; [e que F es croissae b Morer : ] ; [, F( ) f ( ) c E déduire que F() ed vers quad ed vers d Morer que l'iégrale f () d es covergee f() d eise F( ) f( ) d E déduire que la focio F adme ue limie fiie e O e cherchera pas à calculer cee limie 4- : escl, erai Pour ou eier aurel, o cosidère la focio f : a Morer que f lim E déduire que l'iégrale b Morer que : *, X ; c E déduire 4-4 : escl f( ) d e si défiie par f! si f () d es covergee e, f( ) d f( ) d! O cosidère, pour ou *, la focio polyomiale P : [ ; [ défiie, pour ou k k ( ) apparea à [ ; [, par : P () k Eude des focios polyomiales P k Morer, pour ou * e ou de [ ; [ : P' ( ), où P ' désige la dérivée de P Eudier, pour *, les variaios de P sur [ ; [ e dresser le ableau de variaios de P Morer, pour ou *: P () < Prépa HEC 8 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
4 a Vérifier, pour ou * e ou [ ; [ : b E déduire, pour ou * : P P ( ) P( ) 5 Morer que, pour ou *, l'équaio P () =, d'icoue [ ; [, adme ue soluio e ue seule, oée, e que < 6 Ecrire u programme e lagage Pascal qui calcule e affiche ue valeur approchée décimale de à près Limie de la suie * Eablir, pour ou * e ou [ ; [ : E déduire, pour ou * : Démorer, pour ou * 4 E déduire, pour ou * : P () d d d e ou [ ; [ : d ( ), puis : 5 Coclure qua à la covergece e à la limie de la suie * 4-5 : escl 4, erai O cosidère l applicaio f : G: défiie, pour ou par : défiie, pour ou par : G( ) f( ) d a Morer que G es impaire b Morer que G es de classe C sur e calculer G'() pour ou réel c Quelle es la limie de G() lorsque ed vers? l f () e, e l applicaio d Eudier le ses de variaio de G e dresser le ableau de variaio de G sur comprea les limies de G e e e 5 Aales ESC 5- : esc 97 Soi u eier aurel o ul O pose : = Calculer a Eudier le ses de variaio de la suie b Morer que la suie c Morer que, pour ou ; e d E déduire lim es covergee : l e Prépa HEC 9 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr e (l ) d a Morer que, pour ou eier aurel o ul : b E déduire lim e
5- : esc 98 Soi l( ), d Calculer a Morer que pour ou b Eablir que la suie c E déduire que la suie es décroissae a Jusifier l'iégalié : l b E déduire que pour ou : c Calculer lim es covergee pour ou de [, ] 4 a E uilisa ue iégraio par paries, morer que = d l() b Morer que d e e déduire u ecadreme de c E déduire : lim 5- : esc, erai O pose pour ou eier aurel o ul l'iégrale : a Calculer pour A l'iégrale l d A l d e e déduire que es divergee b Morer grâce à ue iégraio par paries que pour ou eier aurel, l'iégrale coverge e vau ( ) l c Eudier les variaios de la focio f défiie sur [ ; [ par f () e doer sa limie e (O doe e,65 ) d E déduire grâce à que 5-4 : esc k l k coverge (o e cherchera pas à calculer cee série) k O cosidère, pour eier aurel o ul, la focio f défiie sur pour ou réel sriceme posiif O défii égaleme sur * la focio h par : h Morer que les focios f e h so coiues sur * l par : f () = f l pour ou sriceme posiif * e éudier leur sige l a Morer que l iégrale impropre d es covergee e déermier sa valeur Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
b Morer que l iégrale impropre alors K l iégrale impropre : h () d es covergee Das oue la suie de l eercice o oe K h() d a Morer, grâce au chageme de variable b E déduire que l iégrale impropre c E déduire égaleme que l iégrale impropre u que K h() u du h () d coverge e es égale à K h () d coverge e vau 4 a Morer que pour ou réel sriceme posiif, f h l iégrale f ( ) d b Morer que pour ou réel sriceme posiif, h() f () = E déduire la covergece de h ( ) h f c E déduire successiveme : K ( h( ) f( )) d K puis ( h( ) f ( )) d d Morer que 5-5 : esc 4 lim f( ) d O cosidère pour ou eier aurel supérieur ou égal à la focio f défiie sur a Jusifier la dérivabilié de la focio f sur e f() b Eudier les variaios de la focio f, préciser sa limie e e sa valeur e Eude d'ue suie d'iégrales impropres O pose pour ou eier aurel supérieur ou égal à : chacue de ces iégrales es covergee) a Morer que pour ou réel sriceme posiif, f( ) d, puis de l'iégrale b Morer que lim f( ) d c Morer que pour ou réel posiif, e f ( ) d E déduire e Déermier lim lim f( ) d Eude d'ue focio défiie par des limies a Pour ou réel posiif, déermier lim f ( ) e par : f() d (l es démoré das le a que f() E déduire la covergece de l'iégrale (O disiguera,, ) Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
b Dès lors, o défii sur ue focio h par h( ) lim f ( ) Doer la courbe représeaive de h das u repère orhoormé ( e,7 ) h es-elle coiue? c Eudier l'iégrale 6 Aales EDHEC 6- : edhec 96, eercice h() d A--o ici lim f( ) d lim f( ) d? O cosidère la suie (d ) défiie par d =, d = e * a Calculer d, d, d 4, d 5 b Morer que : d d O cosidère, pour ou eier aurel, l'iégrale d d d e d! a Calculer, puis eprimer, pour ou eier aurel, + e focio de b E déduire que : c Morer alors que :,,! ed! d e d Vérifier que cee derière iégalié déermie parfaieme d pour, puis rerouver la valeur de d 5 obeue à la deuième quesio e calculer d O doe 5! 44,5 e e! 496,9 e à 5 près 6- : edhec 96 Morer que pour ou > : l Soi f la focio défiie pour ou réel par : f e l e a Pour ou réel, calculer f b Calculer lim f e lim f e e déduire les variaios de f a Pour ou réel, vérifier que f f f sur b Morer que l'iégrale f e E déduire, e focio de f, ue primiive F de e d es covergee e doer sa valeur 4 Soi a u réel e g la focio défiie par g si < e g af pour que g puisse êre cosidérée comme desié d'ue variable aléaoire X 6- : edhec 98, erai du problème O cosidère la focio défiie pour ou a Dresser le ableau de variaio de f b Morer que :, f e par f, l'égalié aya lieu seuleme pour = a Morer que, pour ou eier aurel e pour ou réel : b E écriva l'égalié précédee pour =, puis pour =, morer que : si Déermier a e d k k ( ) ( ) e ( ) k!! k Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
6-4 : edhec O oe f la focio défiie sur a Vérifier que f es coiue sur b Eudier le sige de f(), f( ) 6 l, f( ) par : f() Morer que l'o défii bie ue focio F sur e posa : Pour ou de, o pose : g() = F(), F( ) f( ) d a Morer que g es dérivable sur e que, pour >, o peu écrire g'() sous la forme b Eudier les variaios de h, puis e déduire so sige (o doe c E déduire le sige de g() 5 l,48 ) h() g'( ) 4 O défii la suie (u ) par la doée de so premier erme u = e la relaio de récurrece, valable pour ou de : u F u a Eablir par récurrece que : u ;, b Morer, e uilisa le résula de la roisième quesio, que (u ) es décroissae c E déduire que la suie (u ) coverge e doer lim u 6-5 : edhec O oe f la focio défiie, pour ou réel sriceme posiif, par : f e a Pour ou eier aurel supérieur ou égal à, morer que l iégrale f() d es covergee e eprimer e focio de b E déduire que ~ Morer que la série de erme gééral u f a Éablir que : k * es covergee k k, f k f( ) d f k b E somma soigeuseme cee derière iégalié, morer que : 4 Déduire des quesios précédees u équivale simple de 6-6 : edhec 4 Le bu de ce eercice es de calculer lim d k k e k / e uk uk k k Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Pour ou de, o pose u d e o a, e pariculier, Pour ou de, jusifier l eisece de u Calculer u e u a Morer que la suie (u ) es croissae b Morer que :, u l c E déduire que la suie (u ) es covergee 4 a Pour ou de, écrire l u sous la forme d ue iégrale b E déduire que :, c Doer la limie de la suie (u ) l u 5 Pour ou eier aurel supérieur ou égal à, o pose a Jusifier la covergece de l iégrale défiissa v b Morer que :, v c E déduire lim v puis doer la valeur de 7 Aales ECRCOME 7- : ecricome 9 v lim d u d d Pour apparea à o pose : Calculer u Morer que la suie u u d es croissae e covergee Morer que pour ou X apparea à [ ; ], o a : X X X X erpréer graphiqueme 4 E déduire u ecadreme de u e la limie de u quad ed vers 7- : Ecricome 9 Soi u réel sriceme posiif O pose pour ou eier aurel : S k ( ) ( ) k k O se propose d'éudier la limie S() de la somme S () lorsque ed vers p si Pour ou eier aurel p o pose : fp si pour ou eier aurel p, l'iégrale p () eise Morer que pour ou réel [ ; ], o a : Déduire de ce qui précède que l'o a p fp() d Morer que,, e k k ( ) k ( ) d S( ) R( ) où R ( ) ( ) d Prépa HEC 4 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
4 Démorer que l'o a pour ou eier aurel : d 5 Coclure que l'o a : S 6 Eude du cas pariculier où Prépa HEC 5 F Laroche Problèmes iégraio d a E uilisa le chageme de variable u d que d ) 4 b E déduire que l'o a : 7- : D'après ecricome OG 9 k / k lim ( ) k 4 Soi f la focio défiie sur ] ; ] par f, calculer S(/) (idicaios : u = + u e o adme l Morer que f es coiue, décroissae, posiive ou ulle sur ] ; ] f es-elle prologeable par coiuié e? Pour eier aurel supérieur ou égal à, o pose : a Pour k,, b Pour k,,, morer que, morer que c Déduire du a e du b que k f k/ f() d ( k )/ k S f k ( k)/ k f() d f k/ f( ) d S f( ) d f / / a Soi a > A l'aide d'ue iégraio par paries, calculer l'iégrale l'iégrale f() d es covergee e calculer sa valeur b Quelle es la limie quad ed vers de f? c Déduire alors du c la limie de S quad ed vers 4 Ecrire e urbo-pascal u programme qui : - déclare la focio f ; f () d E déduire que - uilise cee focio pour calculer e afficher la valeur de S, éa u eier aurel supérieur ou égal à fouri par l'uilisaeur 5 Déduire du c la limie de P = 7-4 : ecricome 98 (erai) P / k quad ed vers k k Soi g l'applicaio de ] ; [ das défiie par : g a Morer que g es dérivable sur ] ; [ e eplicier sa dérivée l( ) l b Dresser le ableau de variaio de g avec ses éveuelles limies au bores a hp://larochelyceefreefr
Soi f l'applicaio de das défiie par f e l e variable, morer que pour ou réel posiif, o a f( ) d g e l 7-5 : ecricome 99 (erai) O rappelle que l iégrale gééralisée posiif ; si es u éléme de A l'aide d'u chageme de u e du coverge e vau u, o pose : u e du e Soi u réel sriceme J e d a A l aide d u chageme de variable, eprimer, pour ou éléme de, J() e focio de b A l aide d ue iégraio par paries, morer que, pour ou éléme de : u e due c E déduire que l iégrale gééralisée 7-6 : ecricome e d coverge e vau 4 O cosidère la famille de focios f défiies sur ] ; [ par f * l Eude des focios f Soi *, o oe h la focio défiie sur ] ; [ par h( ) l( ) Eudier le ses de variaio des focios h Calculer h (), puis e déduire le sige de h Eude du cas pariculier = a Après avoir jusifié la dérivabilié de f sur ] ; [, eprimer f '() e focio de h () b E déduire les variaios de la focio f sur ] ; [ 4 Soi *\ a Jusifier la dérivabilié de f sur ] ; [ e eprimer f '() e focio de h () b E déduire les variaios de f sur ] ; [ (o disiguera les cas pair e impair) O précisera les limies au bores sas éudier les braches ifiies Eude d'ue suie O cosidère la suie * U défiie par : U f() d A Calcul de U Prouver l'eisece de rois réels a, b, c els que : E déduire la valeur de l'iégrale Morer que U = /4 U B Covergece de la suie * Morer que la suie * d U es moooe c [ ;], a b Prépa HEC 6 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Jusifier la covergece de la suie * Démorer que : *, l U 4 E déduire la limie de la suie * C Calcul de U pour Pour [ ; ] e * Morer que E déduire que U (o e demade pas sa limie) U k k S ( ) o pose ( ) S() k ( ) l ( ) d k k E uilisa ue iégraio par paries das le calcul de U, morer que : k 7-7 : ecricome 4 Prépa HEC 7 F Laroche Problèmes iégraio k l ( ) ( ) ( ) U l k Soie f la focio umérique de la variable réelle défiie par : ombres réels déermiée par : A Eude de f Morer que la focio f es paire sur u f( ) d N, u f( ) d Eudier les variaios de f sur l iervalle [ ; [ Déermier la limie de f lorsque ed vers 4 Morer que f es borée sur 5 Doer l allure de C f, f () 6 Morer que f réalise ue bijecio de l iervalle [ ; [ sur u iervalle J à préciser, e (u ) la suie de 7 Pour ou y de l iervalle ] ; ], déermier l uique réel apparea à l iervalle [ ; [ el que f() = y 8 Déermier alors la bijecio réciproque f B Calcul d aire O cosidère la focio umérique F de la variable réelle défiie par : F l Pour ou réel sriceme posiif, o oe A l aire (eprimée e uié d aire) du domaie cosiué par l esemble des pois M(, y) els que : Morer que :, Morer que F es ue primiive de f sur e y f Aisi A E déduire l esemble de défiiio de F Morer que F es impaire sur so esemble de défiiio f() d 4 Déermier la limie de F lorsque ed vers E déduire la limie de F quad ed vers hp://larochelyceefreefr
5 Eprimer A e focio de e calculer la limie de A lorsque ed vers C Eude de la suie (u ) Calculer u e u Effecuer ue iégraio par paries e calculer u (o pourra remarquer que Déermier le ses de variaios de la suie (u ) 4 Morer que la suie (u ) es covergee (o e cherchera pas sa limie das cee quesio) 5 Jusifier l ecadreme suiva : ; E déduire que : *, u 6 Déermier alors la limie de la suie (u ) 8 Aales SC-ESLSCA 8- : eslsca 9 d l O pose f e g,, d l Morer que ces iégrales o u ses lorsque es u ombre réel sriceme posiif e différe de Déermier eplicieme la focio g a Morer que la focio f es dérivable sur so domaie de défiiio e déermier sa focio dérivée f? b Que vau lim f c Déermier les limies de f e e e 4 a Déermier lim f g e e déduire lim b Morer que f aisi prologée es dérivable e f 5 Soi (C) la courbe représeaive de f das le pla rapporé à u repère orhoormé Déermier l'allure de la brache ifiie de (C) e efi doer l'allure de (C) 8- : eslsca 95 Pour ou réel > e pour ou eier aurel, o pose ( ) ( ) d a Morer, à l'aide d'ue iégraio par paries, que, pour ou eier e ou réel >, o a : b Calculer (), e déduire (), puis () Prouver par récurrece que, pour ou réel >,e pour ou eier > : 4 ( ) ( ) 4 ( ) l ( ) d (Remarque : ces deu quesios prouve e fai la formule de Taylor avec rese iégral das u cas pariculier ; celle-ci éa doréava au programme, eraîez--vous à l'appliquer pour obeir direceme le ) Pour compris ere e, o cosidère la suie u () défiie par ( ) ( ) ( ) u d ) Prépa HEC 8 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
Morer que pour ou eier de : u, e déduire la limie de la suie u () 4 Pour compris ere e, o cosidère la suie (v ()) défiie pour > par 4 v ( ) 4 Morer que la suie (v () ) coverge e déermier sa limie 8- : eslsca 96 Parie Pour das e das * o pose : f e ep Morer que la resricio de f à ] ; [ peu êre prologée par coiuié e Ce prologeme esil dérivable? Déermier les limies éveuelles de f e, e e par valeurs iférieures Eudier, suiva les valeurs de les variaios de f E désiga par (C ) la courbe représeaive de f das le pla rapporé à u repère orhoormé, préciser les posiios relaives de (C ) e (C + ) Tracer das le même repère (Co), (C ),(C ), (C ) Parie Pour das, o pose f( ) d Morer que pour ou das, es bie défii Eudier la moooie de la suie ( ) A l'aide d'u ecadreme simple, morer que la suie ( ) es covergee e déermier sa limie Pour das, déermier ue relaio ere e E déduire u équivale simple de lorsque ed vers 8-4 : eslsca 98 m e éa deu eiers aurels quelcoques, o pose : m, = m, m ( ) d m A l'aide d'ue iégraio par paries, morer que pour m, o a m, m, Calculer, m+ e e déduire la valeur de m, pour ou couple d'eiers aurels m e a Calculer, pour ou eier aurel,, b Morer que l'o a :,, 4 8-5 : eslsca 99 O cosidère la focio f défiie sur par O pose, pour eier aurel o ul, f( ) l( )si f() f() d a Morer que, pour ou eier aurel o ul, l'iégrale es bie défiie b Calculer (o pourra, pour faire edre vers ), effecuer ue iégraio par paries das l'iégrale O pose, pour h e k eiers aurels o uls, J (l ) d e J hk, h k h, h d f d, puis Prépa HEC 9 F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr
k a A l'aide d'ue iégraio par paries, morer que, pour h e k, o a Jh, k Jh, k h b Calculer J h, E déduire la valeur de J h, k c Calculer Prépa HEC F Laroche Problèmes iégraio hp://larochelyceefreefr