DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes 2 13 Coditios aux limites pour u call 2 14 Coditios aux limites pour u put 3 15 Lie etre l équatio de Black-Scholes et l équatio de la chaleur 3 16 Solutio aalytique 4 2 Schémas umériques pour la résolutio de l équatio de la chaleur 4 21 Discrétisatio et différeces fiies 5 22 Schéma d Euler explicite 6 23 Schéma d Euler implicite 7 24 Schéma de Crak-Nicholso 9 3 Résolutio umérique de l équatio de Black-Scholes 10 1

2 DIDIER AUROUX 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 11 Notatios Oe ote V la valeur d ue optio (o se limitera aux optios européees das ce cours) O pourra faire la distictio etre u call C et u put P si besoi Ce sot des foctios du temps t, et de la valeur actuelle de l actio sous-jacete S O ote doc V = V (S, t) O otera égalemet : σ la volatilité du prix de l actio ; E le prix d exercice fixé par l optio ; T le temps qui reste à l optio avat so échéace ; r le taux d itérêt 12 Équatio de Black-Scholes C est ue équatio aux dérivées partielles qui permet de calculer la valeur d ue optio européee e foctio du temps et de la valeur de l actio sous-jacete Le modèle est le suivat : (1) V t + 1 2 σ2 S 2 2 V V + rs rv = 0 S2 S C est ue équatio aux dérivées partielles (EDP) d ordre 2, du type parabolique, et il est écessaire de préciser ue coditio iitiale (ou fiale) e temps, et des coditios aux limites e espace 13 Coditios aux limites pour u call Das le cas d u call (optio d achat) pour ue optio européee, o a ue coditio fiale, à l istat t = T correspodat à l échéace de l optio : à t = T, la valeur du call est doée par la formule (2) C(S, T ) = max(s E, 0), S E effet, si S est iférieur au prix d exercice au terme de l optio, il est iitéressat d exercer l optio (sous peie de perdre E S) Das le cas cotraire, le bééfice du call est S E Le domaie d étude e espace (variable S) est théoriquemet [0, + [, et il faut doc fixer les coditios aux limites sur la foctio C Si S = 0, alors le bééfice à terme est forcémet ul Il y a doc aucu itérêt à exercer l optio d achat das ce cas, même s il reste du temps avat so expiratio O a doc la coditio suivate : (3) C(0, t) = 0, t Si au cotraire le prix de l actio augmete cosidérablemet (S + ), il est clair que l optio sera exercée et que le prix d exercice de l optio sera égligeable O a doc la coditio suivate : (4) C(S, t) S, S + L esemble des équatios (1)-(4) peut être résolu afi de détermier la valeur d u optio d achat (call)

MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 3 14 Coditios aux limites pour u put Das le cas d ue optio du type put (optio de vete), la coditio fiale est le bééfice : (5) P (S, T ) = max(e S, 0), S E effet, si S est supérieur au prix d exercice au terme de l optio, il est iitéressat d exercer l optio (sous peie de perdre S E) Das le cas cotraire, le bééfice du put est E S Le domaie d étude e espace (variable S) est toujours [0, + [, et il faut doc fixer les coditios aux limites sur la foctio P Si le prix de l actio augmete cosidérablemet (S + ), il est clair que l optio de vete e sera pas exercée, et doc o a la coditio suivate : (6) P (S, t) 0, S + Si au cotraire, o cosidère le cas d ue actio dot le prix est ul (S = 0), alors le bééfice à terme est forcémet E Il faut teir compte du taux d itérêt r pour e déduire la valeur de P (0, t) sachat qu à l istat T, P (0, T ) = E Das le cas d u taux d itérêt costat, o trouve assez facilemet la coditio suivate e résolvat l équatio (1) das le cas S = 0 : (7) P (0, t) = E e r(t t), t O peut gééraliser cette formule das le cas de taux o costats : P (0, t) = E e R T t r(τ) dτ, t L esemble des équatios (1) et (5-(7) peut être résolu afi de détermier la valeur d ue optio de vete (put) 15 Lie etre l équatio de Black-Scholes et l équatio de la chaleur Preos le cas d ue optio d achat (call), ous allos ous rameer de l équatio de Black-Scholes à l équatio de la chaleur O cosidère doc l équatio C (8) t + 1 2 σ2 S 2 2 C C + rs rc = 0, S2 S avec les coditios aux limites et la coditio fiale C(0, t) = 0 ; C(S, t) S, S + C(S, T ) = max(s E, 0) Das u premier temps, o effectue u chagemet de variable pour supprimer les termes e S et S 2 devat les opérateurs différetiels, reveir e temps croissat (avec ue coditio iitiale) : S = Ee x, t = T τ et C = Ev(x, τ) σ2 (9) O obtiet alors l équatio suivate : avec k = 1 2 r 1 2 v τ = 2 v v + (k 1) x2 x kv, σ2 La coditio iitiale deviet (10) v(x, 0) = max(e x 1, 0),

4 DIDIER AUROUX et l itervalle de temps cosidéré est maiteat [0, 1 2 σ2 T ] E se basat sur l équatio caractéristique α 2 + (k 1)α k correspodat à l équatio (9), o fait u chagemet de variable pour supprimer les opérateurs différetiels d ordre 1 et 0 O pose α tel que 0 = 2α+(k 1) et β = α 2 +(k 1)α k, et v(x, τ) = e αx+βτ u(x, τ), ce qui doe u solutio de l équatio de la chaleur suivate : (11) u τ = 2 u x 2, pour τ > 0 (et e fait τ 1 2 σ2 T, délai d expiratio de l optio), et x R Efi, la coditio iitiale est ( ) u(x, 0) = u 0 (x) = max e 1 2 (k+1)x e 1 2 (k 1)x, 0 O voit doc que l équatio de Black-Scholes se ramèe à l équatio de la chaleur, qui est plus facile à résoudre (umériquemet ou aalytiquemet) À partir de la solutio de l équatio de la chaleur, o remote à l équatio de Black-Scholes e faisat les chagemets de variable à l evers 16 Solutio aalytique La solutio de l équatio (11) est doée par (12) u(x, τ) = 1 2 πτ + u 0 (s)e (x s)2 4τ Après remplacemet de u 0 par so expressio, calcul, et chagemets de variables iverses, o obtiet : (13) C(S, t) = S N(d 1 ) E e r(t t) N(d 2 ), avec (14) (15) (16) ds d 1 = log( S E ) + ( r + 1 2 σ2) (T t) σ, T t d 2 = log( S E ) + ( r 1 2 σ2) (T t) σ, T t 1 d N(d) = e 1 2 s2 ds 2π De même, la valeur d ue optio de vete (put) est (17) P (S, t) = E e r(t t) N( d 2 ) S N( d 1 ) 2 Schémas umériques pour la résolutio de l équatio de la chaleur Nous ous itéressos maiteat à la résolutio umérique de l équatio de la chaleur Cette équatio est e effet plus simple que l équatio de Black-Scholes, et ous avos vu qu il était possible de se rameer de l ue à l autre par des chagemets de variable O rappelle l équatio de la chaleur cosidérée ici : (18) u τ = 2 u x 2

MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 5 21 Discrétisatio et différeces fiies La résolutio umérique d ue EDP écessite la discrétisatio du domaie d étude cosidéré, e temps comme e espace O suppose que l itervalle de temps est découpé suivat ue grille avec u ombre fii de poits et d itervalles O va calculer (et cosidérer) la solutio uiquemet e ces istats-là La difficulté cosiste alors à calculer les dérivées (ici, e temps) à partir de ces valeurs discrètes Si o ote δτ l itervalle de temps (supposé costat) de la grille de discrétisatio temporelle, et δx le pas d espace (supposé aussi costat) de la grille de discrétisatio spatiale, o e calculera la solutio qu aux poits x = δx et τ = m δτ Comme vu préc demmet, l itervalle de temps cosidéré est [0; 1 2 σ2 T ] (date d expiratio de l optio) O découpe gééralemet cet itervalle e M itervalles σ 2 T M costats, et doc δτ = 1 2 De même, le domaie d espace que l o cosidère est R Il est évidet qu o e peut pas discrétiser toute la droite réelle, et o se limite doc à u itervalle d espace boré [N δx; N + δx], où N < 0 et N + > 0 sot deux etiers Das la suite, o otera (19) u m = u( δx, m δτ) la valeur de la solutio u au poit de grille ( δx, m δτ) L idice temporel est e haut, et l idice spatial e bas Si o se place à u istat τ doé, et si o suppose qu o coaît la solutio u(x, τ), o souhaite calculer la dérivée temporelle u (x, τ) Supposos que la solutio soit coue aux istats τ δτ et τ + δτ Il existe alors plusieurs schémas aux τ différeces fiies pour approcher la valeur de la dérivée temporelle O remarquera que les mêmes schémas peuvet être utilisés pour les dérivées spatiales 211 Différeces fiies décetrées à droite Ue première approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies décetrées à droite : u u(x, τ + δτ) u(x, τ) (20) (x, τ) τ δτ L erreur d approximatio est d ordre 1, e O(δτ) La justificatio de cette approximatio est immédiate e utilisat ue formule de Taylor 212 Différeces fiies décetrées à gauche Ue deuxième approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies décetrées à gauche : u u(x, τ) u(x, τ δτ) (21) (x, τ) τ δτ L erreur d approximatio est égalemet d ordre 1, e O(δτ) Das les deux cas, o utilise la valeur au poit courat (τ), et la valeur e u poit voisi (à droite ou à gauche) 213 Différeces fiies cetrées Ue bie meilleure approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies cetrées, e utilisat à la fois le poit voisi à gauche et le poit voisi à droite : (22) u τ u(x, τ + δτ) u(x, τ δτ) (x, τ) 2 δτ

6 DIDIER AUROUX L erreur d approximatio est désormais d ordre 2, e O(δτ 2 ) (cf formule de Taylor) Cette formule est beaucoup plus précise, puisque l erreur est e δτ 2 au lieu d être e δτ Il est doc pas écessaire de raffier éormémet la grille de discrétisatio e temps (et dimiuer δτ) pour obteir des résultats très précis Par cotre, cela complique légèremet la mise e œuvre iformatique, puisque c est u schèma à trois poits (τ δτ, τ et τ + δτ) et o deux (comme les schémas décetrés précédets) 214 Différeces fiies cetrées pour la dérivée secode E utilisat les mêmes formules, o peut approcher la dérivée secode e espace das l équatio (18) avec la formule suivate : (23) 2 u u(x δx, τ) 2 u(x, τ) + u(x + δx, τ) (x, τ) x2 δx 2 L erreur d approximatio de cette formule est d ordre 2 (e espace), e O(δx 2 ) 22 Schéma d Euler explicite Le schéma d Euler explicite cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, décetré à droite, pour le calcul de la dérivée temporelle : (24) u m δτ um 1 2 u m + u m +1 δx 2 Aisi, si la solutio est coue à l istat m δτ e tous les poits d espace (et plus particulièremet e ( 1) δx, δx et ( + 1) δx), alors o peut calculer explicitemet la solutio à l istat suivat (m + 1) δτ, au poit δx O peut doc calculer la solutio à l istat τ + δτ explicitemet e foctio de la solutio à l istat τ 221 Iitialisatio et coditios aux limites L iitialisatio du schéma se fait à l istat iitial : u 0 = u 0 ( δx), N N + E ce qui cocere les coditios aux limites, e chaque pas de temps, o utilisera les coditios aux limites e + et : u m N = u (N δx, m δτ), u m N + = u + (N + δx, m δτ), 0 < m M 222 Stabilité E otat (25) α = δτ δx 2, o peut réécrire l équatio (24) sous la forme (26) = α u m 1 + (1 2α) u m + α u m +1 Pour des raisos de stabilité, il est impératif que (27) α 1 2 E effet, si c est le cas, alors tous les poids das l équatio (26) sot positifs, et si o ote U m le maximum de tous les u m pour tous les, et o voit facilemet que (α + (1 2α) + α) U m = U m et doc la solutio à l istat τ + δτ est pas plus grade que celle à l istat τ, ce qui empêche toute divergece ou explosio umérique de la solutio

MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 7 Si la coditio de stabilité est pas vérifiée, alors o peut faire le même calcul mais e preat la valeur absolue des poids : (α + 1 2α + α) U m = (α + (2α 1) + α)u m U m si et seulemet si 4α 1 1, ce qui est équivalet à α 1 2 La coditio (27) est doc ue coditio écessaire et suffisate de stabilité du schéma umérique L erreur d approximatio du schéma umérique est e O(δτ + δx 2 ), comme vu précédemmet Le schéma état stable du momet que δτ 1 2 δx2, il est iutile de raffier excessivemet, et o predra δτ du même ordre que δx 2 (par exemple 0, 4 δx 2 ) L erreur est doc e O(δx 2 ) O choisit doc δx e foctio de la précisio souhaitée, et du temps de calcul dot o dispose, puis o fixe δτ de l ordre de δx 2 23 Schéma d Euler implicite Le schéma d Euler implicite cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, décetré à gauche, pour le calcul de la dérivée temporelle : u m u m 1 (28) um 1 2 u m + u m +1 δτ δx 2 De faço équivalete, e augmetat m de 1, o obtiet (29) u m δτ um+1 1 2 um+1 + +1 δx 2 À la différece du schéma d Euler explicite, le calcul de la solutio à l istat (m + 1) δτ est implicite e la solutio à l istat m δτ, puisque la partie droite de l équatio est égalemet icoue O e peut doc pas calculer explicitemet et séparémet, 1 ou um+1 +1 e foctio de um O doit doc résoudre cette équatio d ue maière globale, afi de calculer e même temps tous les, pour tout Comme das le cas précédet, l erreur d approximatio du schéma est e O(δτ + δx 2 ) L utilisatio des coditios aux limites et l iitialisatio du schéma se fot de la même faço que pour le schéma d Euler explicite 231 Réécriture matricielle Comme précédemmet, o ote α = δτ δx 2 O peut doc réécrire (29) sous la forme α 1 + (1 + 2α)um+1 α +1 = um O se fixe u m, o suppose que tous les u m sot cous, et o souhaite calculer tous les O rappelle que N et N sot cous grâce aux coditios aux + limites O peut alors réécrire (29) de la maière suivate : (30) 1 + 2α α 0 0 N α 1 + 2α α 0 +1 u m α N +1 N 0 α 0 0 = u m 0 + α 0 0 0 α 1 + 2α u m N + 1 N + 1 α N + O voit apparaître la matrice tridiagoale, avec des 1 + 2α sur la diagoale, et des α sur et sous la diagoale, puis le vecteur d icoues costitué des,

8 DIDIER AUROUX et das le secod membre, la partie coue : les u m, aisi que les coditios aux limites N et N + La résolutio du schéma à chaque pas de temps reviet doc à calculer la solutio d u système liéaire de la forme (31) AU m+1 = b m, où A est la matrice tridiagoale, U m+1 cotiet les icoues, et b m est le secod membre, cou O obtiet alors la solutio à l istat τ + δτ (les ) e foctio de la solutio à l istat τ (les u m ) L icovéiet de la méthode d Euler implicite par rapport à la méthode explicite est l apparete difficulté supplémetaire pour la résolutio de ces systèmes liéaires afi de calculer la solutio Toutefois, u avatage certai de la méthode est qu elle est itrisèquemet stable E effet, quelle que soit la valeur du paramètre α > 0, la orme de la matrice A 1 est iférieure à 1, assurat la stabilité du schéma Ue maière a priori simple de résoudre les systèmes liéaires (31) cosiste à iverser la matrice A, e remarquat qu elle est costate au fil des pas de temps Mais l iverse d ue matrice tridiagoale est pleie, ce qui représete u coût de stockage importat, au delà du coût de calcul de la matrice iverse E temps ormal, l iverse d ue matrice de taille N écessite O(N 4 ) opératios Le stockage de l iverse de la matrice représete N 2 élémets, à comparer avec seulemet 3N élémets das la matrice A La résolutio d u système liéaire peut se faire avec la traditioelle méthode du pivot de Gauss, qui cosiste à itérer les opératios sur les liges ou coloes de la matrice pour redre le système triagulaire La résolutio d u système liéaire triagulaire est alors très rapide La matrice état ici tridiagoale, il est plus itéressat d utiliser ue décompositio LU 232 Méthode LU pour la résolutio du système liéaire L idée de la méthode LU cosiste à décomposer la matrice A sous la forme d u produit A = LU, où L est ue matrice triagulaire iférieure (Lower), et U ue matrice triagulaire supérieure (Upper) Cette décompositio existe que sous coditios de rag et de o ullité des mieurs pricipaux de la matrice Das le cas de la matrice A présete, cette décompositio existe, et les matrices L et U ot que deux diagoales o ulles : 1 0 0 0 u 1 α 0 0 l 1 1 0 u 2 α L = 0 l 2 1, U = 0 u 3 0, 0 α 0 0 l N 1 1 0 0 0 u N où les cœfficiets se calculet par récurrece : u 1 = (1 + 2α), u = (1 + 2α) α2 u 1, l = α u Il faut doc O(N) opératios pour calculer les matrices L et U La résolutio du système (31) se fait alors e deux étapes : (32) Lz = b m, UU m+1 = z

MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 9 Chacu de ces deux systèmes liéaires est triagulaire, avec seulemet ue sous- (ou sur-)diagoale o ulle Le premier système se résoud doc rapidemet : la première lige doe directemet z 1 = b m 1 Puis la deuxième lige doe z 2 e foctio de z 1 et b 2 Et aisi de suite De même, o peut résoudre le deuxième système liéaire, mais e partat de la derière lige, qui doe directemet N e foctio de z N Il faut doc O(N) opératios pour résoudre chacu de ces deux systèmes, et doc pour résoudre (31) C est très clairemet l ue des méthodes les plus efficaces pour résoudre u système liéaire tridiagoal, d autat plus que la décompositio LU (ou le calcul des cœfficiets de ces matrices) est fait ue fois pour toutes, la matrice état idépedate du pas de temps cosidéré O voit doc qu avec cette décompositio, le calcul de la solutio à l istat (m + 1) δτ e foctio de la solutio à l istat m δτ est pas particulièremet plus log que das le cas de la méthode d Euler explicite, avec la garatie de la stabilité du schéma e plus Toutefois, la précisio de la méthode est toujours e O(δτ + δx 2 ), ce qui impose u pas de temps δτ très petit si o veut garatir ue certaie précisio à la solutio calculée 24 Schéma de Crak-Nicholso Le schéma de Crak-Nicholso cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, cetré e espace, afi d accroître la précisio L itérêt du schéma de Crak-Nicholso est qu il permettra de réduire l erreur sur la dérivée temporelle e O(δτ 2 ), au lieu de O(δτ) E pratique, le schéma de Crak-Nicholso reviet à faire la moyee du schéma d Euler explicite et du schéma d Euler implicite : (33) u m δτ 1 2 ( u m 1 2 u m + u m +1 δx 2 + um+1 1 2 um+1 + +1 δx 2 O peut motrer que l erreur de ce schéma est e O(δτ 2 + δx 2 ), ce qui impose plus des pas de temps particulièremet petits pour garatir la précisio O peut réécrire l équatio (33) sous la forme (34) 1 2 α(um+1 1 2um+1 + +1 ) = um + 1 2 α(um 1 2u m + u m +1), où α est toujours doé par (25) Le secod membre est cou, et o obtiet à ouveau ue dépedace implicite des e foctio des u m Comme das le cas du schéma d Euler implicite, e assemblat les équatios (34) pour tous les, o obtiet u système liéaire (35) CU m+1 = b m, ) où C est la matrice tri-diagoale suivate : 1 + α 1 2 α 0 0 1 2 α 1 + α 1 2 α 0 (36) C = 0 1 2 α 1 2 α 0 0 1 2 α 1 + α

10 DIDIER AUROUX Le secod membre b m est doé par f m N +1 (37) b m = f0 m + 1 2 α f m N + 1 N 0 0 N +, avec f m = (1 α)u m + 1 2 α(um 1 + u m +1) O retrouve ue fois ecore la partie proveat du secod membre qui est cou (solutio à l istat m δτ) et la partie proveat des coditios aux limites (égalemet coues) à l istat (m + 1) δτ O remarque que C(α) = A ( ) α 2 Autremet dit, e cosidérat α 2 au lieu de α das le schéma d Euler implicite, o obtiet la même matrice qu ici O peut doc utiliser la méthode LU précédemmet détaillée, e divisat α par 2, pour résoudre les systèmes liéaires (35) 3 Résolutio umérique de l équatio de Black-Scholes Il est égalemet possible de résoudre directemet l équatio de Black-Scholes (1) sas passer par les précédetes trasformatios et l équatio de la chaleur Parmi les schémas présetés, la faço la plus précise et efficace cosiste à utiliser ue méthode de Crak-Nicholso e temps, et des schémas aux différeces fiies cetrées e espace Ue difficulté supplémetaire apparaît toutefois das le fait que les cœfficiets des dérivées partielles spatiales e sot pas costats (ils dépedet de S), ce qui complique la résolutio des systèmes liéaires (qui restet malgré tout tri-diagoaux)