Les nombres complexes

Les nombres complexes 1 Un peu d histoire En 157, l italien NICCLÓ FNTANA dit TARTAGLIA le bègue) découvre une méthode de résolution d équations du troisième degré. Il la dévoile à CARDAN. Celui que les français appellent CARDAN, de son vrai nom GERLAM CARDAN, publie cette méthode en 155. Cette méthode est ensuite développée par BMBELLI 15-157). Le problème est qu en généralisant sa méthode il est obligé d utiliser des racines carrées de nombres négatifs ce qui allait à l encontre de tout ce qui était connu beaucoup de mathématiciens n acceptaient déjà pas l existence de nombres négatifs). Il les utilise quand même et les appelle nombres impossibles. C est RENÉ DESCARTES qui, en 167, leur donne le nom de nombres imaginaires. En 176, D ALEMBERT montre que tous ces nombres peuvent s écrire sous la forme x + y 1. La notation 1 fut très vite abandonnée car les formules classiques sur les racines donnaient une contradiction : a ) a donc 1 ) 1 a b ab donc 1 ) 1 1 1) 1) 1 1 C est EULER qui, en 1777, introduit la notation i plutôt que 1 et GAUSS qui utilise, en 181, le terme nombres complexes. Le norvégien WESSEL, en 1797, puis le Genevois ARGAND en 1806, puis beaucoup d autres, utilisent les points du plan pour représenter les nombres complexes. Forme algébrique.1 L ensemble C n admet qu il existe un nombre noté i tel que i 1 n note C l ensemble des nombres s écrivant sous la forme a + b i, a et b étant des nombres réels. Exemples : + i, 5i, + i sont des nombres complexes. Cet ensemble C est appelé ensemble des nombres complexes. L écriture a + b i est appelée forme algébrique du nombre complexe. Le nombre réel a est la partie réelle du nombre complexe et le réel b est sa partie imaginaire. La partie imaginaire est un nombre réel, c est b et non pas b i Les nombres réels sont des nombres complexes puisqu un nombre réel a peut s écrire a + 0i. Si a 0 on dit que le nombre complexe b i est un imaginaire pur.. Les techniques de calcul Pour calculer dans C on utilise les règles de calcul usuels dans R en y ajoutant i 1...1 Égalité Les nombres complexes 1 a 1 + b 1 i et a + b i sont égaux si et seulement : a 1 a et b 1 b 1 A.B Vauban

.. Addition - soustraction Soient 1 + 5i et + i on a alors : 1 + + ) + 5 + )i 6 + 8i 1 ) + 5 )i + i.. Produit Soient 1 + i et i pour effectuer le produit 1 on : développe 1 + i ) i ) 6 8i + i i puis on simplifie en utilisant i 1 1 6 8i + i + 10 5i.. Quotient Une identité remarquable importante : a + bi )a bi ) a + b Exemple : + i ) i ) + 1 le nombre a bi est appelé le conjugué de a + bi. Le conjugué de a + bi se note a bi Pour simplifier le quotient de deux nombres complexes 1 on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui permet " d éliminer " les i du dénominateur. Exemple : Soit + i + i n multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de + i qui est i : + i ) i ) i + 6i i + i ) i ) + 1 + i + 7 + i 5 5 Exercice 1 Calculer : A i ) + 1 i ) B + i ) 11 i ) C + i ) + i ) D + i ) i ) E + i ) F 1 5 i G i i i )1 + i ) H + i I 1 i J i 199 K 1 + i + i Exercice Résoudre dans C les équations suivantes : a) i ) + i 0 b) 1 + i ) + i 5i c) + 1 + i 1 A.B Vauban

. Représentation graphique..1 Définitions n muni le plan d un repère orthonormé ; i, ) j. Au point Mx, y), ou au vecteur M, on fait correspondre le nombre complexe x + y i y M)) x L axe ; ) est l axe réel, il contient tous les nombres réels a + 0i ). L axe ; ) est l axe imaginaire, il contient tous les nombres complexes de la forme b i. n dit que le point M est l image du nombre et que est l affixe du point M, ou du vecteur M... Propriétés w 1 + w Soient w 1 et w deux vecteurs d affixes 1 et. w1 + w a pour affixe 1 +. Si k est un nombre réel alors k w 1 a pour affixe k 1. w w1 Soient A et B deux points du plan d affixes A et B : Le vecteur AB a pour affixe B A Le milieu de AB a pour affixe A + B Exercice Soient les points A1 + i ), B i ) et C i ). Déterminer le quatrième sommet D du parallélogramme ABCD et son centre I.. Conjugaison..1 Définition Le conjugué du nombre complexe a + bi est a bi, on le note a bi. Exemple : i ; + i... Propriétés 1 + 1 + ; 1 1 ; 1 ) 1 A.B Vauban

Z est réel si et seulement si est un imaginaire pur si et seulement si Si a + bi alors + a bi a + b Forme trigonométrique.1 Définitions Soit le nombre complexe a + bi et M son image dans le plan rapporté à un repère ; i, ) j orthonormal direct. M peut être repéré par la distance M et l angle θ, M) b M θ a M) n appelle module de, la distance M, on le note. Le théorème de PYTHAGRE nous dit que : a + b. n appelle argument de toute mesure de l angle, M), il est défini à π près. n le note arg Exemple : Soit i. Soit a + b i. Le module de est : a + b cosθ a Un argument de est θ tel que : sinθ b Le module de est : + ) 18. cosθ Un argument de est θ tel que : 1 sinθ 1 Donc θ π Conclusion : i a pour module et pour argument π Exercice Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1 5 ; i ; 1 + i ; 1 i ; 5 i ; 6 + i ; 7 i.. Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique De cosθ a b et sinθ on tire a cosθ et b sinθ. n peut donc écrire la forme trigonométrique de : cos θ + i sin θ). n l écrit souvent sous forme abrégée :,θ. Exemple : Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique A.B Vauban

Donner la forme algébrique de, π. 6 cos π ) + i sin π )) ) 6 6 i 1 i Exercice 5 Donner la forme algébrique de : 1, π ; 1, π, π, 5π 6 ;, π ; 5 5,π ; 6. Interprétation géométrique de 1 Soit A et B les points d affixes A et B. B A est l affixe du vecteur AB. n en tire : A B A B arg B A ) AB AB B A L angle, AB) a pour mesure arg B A ) Exercice 6 Dans le plan muni d un repère orthonormé ; i, ) j on considère les points A, B, C et D d affixes A, B 1 + i, C 1 i et D. 1) Faire une figure. ) Calculer les distances D A, DB, et DC. Que peut on en déduire? ) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.. pérations..1 pposé, conjugué arg ) arg) + π π) arg) arg) π).. Produit 1 1 arg 1 ) arg 1 ) + arg ) π) 5 A.B Vauban

.. Quotient 1 1 ) 1 arg arg) π) 1 1 1 arg ) arg 1 ) arg ) π).. Inégalité triangulaire En général 1 + 1 + mais on a l inégalité triangulaire : 1 + 1 + 1 1 + Exercice 7 Soit les nombres complexes : 1 1, π ;, π ;, π 1 ;, 5π 6 1 ; 5, π ; 6 6,0 Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1 ; ; 5 6 ; 1 ; 1 ; 5 ; 1 1 1 ; ; ; ; 6 5 Exercice 8 Soit Z 1 1 + i et Z 1 + i. 1) Calculer le module et un argument de : Z 1, Z, ) Déterminer la forme algébrique Z 1. Z π π ) En déduire cos et sin. 1) 1) i Z 1, Z 1 Z et Z 1 Z. Forme exponentielle.1 Notation exponentielle Cette notation est due à LÉNHARD EULER 1707-178). n note cosθ + i sinθ e iθ qui se lit "exponentielle i thêta " Exemples : La forme exponentielle de, de module r et d argument θ, est r e iθ e 0 1 ; e i π i ; e iπ 1 ; e i π π ) π )) ) 1 cos + i sin + i + i Exercice 9 Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants : 1 i ; i ; ; i ; 5 + i ; 6 i 6 A.B Vauban

Exercice 10 Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : 1 6e i π ; e i π ; e i π ; 8e i 5π 6 ; 5 1 eiπ Exercice 11 Soit les nombres complexes : 1 1 + i et i. 1) Déterminer le module et un argument de 1 et. ) Écrire 1 et sous forme exponentielle. ) En déduire la forme exponentielle de : 1 ; 1 1 ; 1 et 1.. Formule de MIVRE De e iθ) n e inθ on tire : cosθ + i sinθ) n cosnθ + i sinnθ Exemple d application : cosθ + i sinθ cosθ + i sinθ) cos θ + i cosθ sinθ sin θ cos θ sin θ + i cosθ sinθ Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc on retrouve les deux formules classiques : cosθ cos θ sin θ et sinθ cosθ sinθ. Formules d EULER { e iθ cosθ + i sinθ n sait que : e iθ cosθ i sinθ En additionnant les deux on obtient : e iθ + e iθ cosθ En soustrayant : e iθ e iθ i sinθ n en tire les formules d EULER : cosθ eiθ + e iθ sinθ eiθ e iθ Exemple d application : Linéarisation de cos x. n a besoin de la formule : a + b) a + a b + ab + b e cos i x + e i x ) x 1 e i x ) + e i x ) e i x ) + e i x )e i x ) + e i x ) 8 1 e i x + e i x e i x + e i x e i x + e i x 1 e i x + e i x + e i x i + e x 8 8 1 e i x i x + e + ei x + e i x n en tire : cos x 1 cosx + cos x) i 5 Équation du second degré à coefficients réels Une équation du second degré est une équation de la forme ax + bx + c 0 où a 0. Elle est dite à coefficients réels si a, b et c sont réels. n admet les résultats suivants : Soit Px) ax + bx + c, où a 0 b ac est le discriminant de ax + bx + c. 7 A.B Vauban

Solutions de Px) 0 Factorisation > 0 0 < 0 Deux solutions distinctes : x 1 b a et x b + a Une solution double : x 0 b a Deux solutions complexes conjuguées : x 1 b i a et x b + i a Px) ax x 1 )x x ) Px) ax x 0 ) Px) ax x 1 )x x ) Exercice 1 Résoudre dans C l équation P) 0 puis factoriser P) a) P) b) P) 7 + 9 c) P) +. 8 Exercice 1 Résoudre dans C les équations suivantes : a) + + 0 b) + + 0 c) 6 + 11 0 Exercice 1 n pose P) +. 1) Calculer P1) puis factoriser P). ) En déduire les solutions dans C de l équation P) 0. Exercice 15 Déterminer l ensemble des points du plan d affixe tels que : a) I m) b) Re) c) + i d) arg + i ) π Exercice 16 n pose P) + 16 1) Calculer P ). En déduire une factorisation de P). ) Résoudre, dans C, l équation P) 0. ) n considère les nombres complexes : 0, 1 1 + i ) et 1 i ). Calculer le module et un argument de 0, 1 et. ) Donner la forme trigonométrique du nombre complexe w 01. 5) Soit ; i, ) j un repère orthonormal unité cm). Placer les points M 0, M 1 et M d affixes respectives 0, 1 et. Que peut-on dire du triangle M 0 M 1 M? 8 A.B Vauban

Correction des exercices Exercice 1 A - B - C : Il suffit d ajouter les parties réelles entre elles puis les parties imaginaires entre elles. A i ) + 1 i ) + 1 i i i 1 + ) B + i ) 11 i ) + i 11 + i 1 + i C + i ) + i ) + i i i D - E : n développe en utilisant la distributivité a + b)c + d) ac + ad + bc + bd, puis on utilise i 1 D + i ) i ) 6 + i + i i 6 + i + i + + 7i E + i ) + i ) + i ) 9 6i 6i + i 9 1i 5 1i F - G - H - I : Pour simplifier une fraction où le dénominateur est de la forme a + bi on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de a + bi qui est a bi. Pourquoi? : parce que cela fait disparaître le i du dénominateur car a + bi )a bi ) a + b F 1 5 i 1 5 + i 5 i 5 + i 5 + i 5 i )5 + i ) 5 + i 5 + 1 5 + i 6 5 6 + 1 6 i G i i i )1 + i ) H + i i ) + i ) 6 + i i i i ) + i ) + 1 6 i + 1 7 10 10 1 10 i + i i i + i I 1 i 1 i i i i i i 1 i J i 199 i 996+1 1) 996 i i K 1 + i + i 1 + i ) i ) + i ) i ) + i + 1 + i + i + i 1 i + i + + 1 + i Exercice + i + i ) + i ) a) i ) + i 0 i ) + i i i ) + i ) i + 8i 8 + 6i + 1 5 b) 1 + i ) + i 5i 1 + i ) i i i 1 i ) 1 + i 1 + i )1 i ) i 1 + 1 1 i c) + 1 + i + 1 + i )1 ) car 1 1 + 1 + + i i i + i i 1 + i 1 + i 1 + i i Exercice ABCD est un parallélogramme donc AB DC d où : B A C D n en tire : D C B + A i + + i + 1 + i A Le centre I est le milieu de AC, il a donc pour affixe : A + C 1 i 1 1 i B C I D 9 A.B Vauban

Exercice Juste les réponses : 1 5 et arg 1 π ; et arg π ; et arg π ; et arg π ; 5 6 et arg 5 π 6 ; 6 et arg 6 π ; 7 et arg 7 π Exercice 5 1, π π ) π )) cos + i sin 1 + i ) 1 + i 1, π cos π ) + i sin π )) 0 + i 1) i, 5π 6, π cos 5π 6 cos π ) + i sin 5π 6 ) + i sin π )) + i )) + i 1 ) ) i )) 5 5,π 5cosπ + i sinπ) 5 1 + 0i ) 5, π 6 ) )) π π cos + i sin ) + i 1 + i Exercice 6 ) D A A D DB B D 1 + i 1 + i 1 + DC C D 1 i 1 i 1 + D A DB DC donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre D de rayon. ) AB B A 1 + i + i 9 + 1 AC C A 1 i i 9 + 1 BC C B 1 i 1 i i Conclusion : équilatéral. AB AC BC donc le triangle ABC est i B C D A Exercice 7 1 De même : 1, π + π 1, π 1 1, π 1, π 1 1, π, π π et 1 1 6, et 5 6 6, 0, π π + 9π 1, π, 1π 1 1 De même : 1 1, π et 5, 5π 6 De même 6, π et 1, π 1 5 10 A.B Vauban

Exercice 8 1) n trouve : 1 et arg 1 π ; et arg 1 π i 1 ) i 1 et arg π 1 π π 6 ; 1 et arg 1 ) π + π 7π 1 1 ) 1 et arg π π π 1 ) 1 1 + i 1 + i )1 i ) 1 i + i + 1 + + i 1) 1 + i 1 + i )1 i ) 1 + 1 ) n tire des questions précédentes : 1 cos π 1 + i sin π ) 1 et 1 + + i 1) 1 D où cos π 1 1 + + 6 et sin π 6 1 Exercice 9 1 i. Le module de 1 est 1 + ) + 1 1 a pour argument θ tel que : cosθ 1 sinθ Donc θ π La forme exponentielle de 1 est donc 1 e i π De même e i π ; e iπ ; e i π ; 5 e i 5π 6 ; 6 6e i π Exercice 10 1 6e i π 6 cos π ) + i sin π )) 6 i ) i De même : i ; 1 + i ; + i ; 5 1 Exercice 11 1) 1 a pour module et pour argument π a pour module et pour argument π 6 ) 1 e i π et e i π 6 ) 1 e i π e i π 6 e i π π 6 ) e i π 1 1 1 1 e i π π 6 1 e i π ; e i e i π 1 e i π π 6 1 e i π e i π 6 ) 5π i e 1 π ei + π ) 6 ei 5π 1 ; 11 A.B Vauban

Exercice 1 a) Soit P). a, b 1 et c. Le discriminant est b ac 1) ) 1 + 8 9 > 0 donc l équation P) 0 a solutions : 1 b a b + a 1 7 6 1 1 + 7 6 8 6 Factorisation : P) a 1 ) ) + 1) b) Soit P) 7 + 9 8. a, b 7 et c 9 8. ) Le discriminant est b ac 9 9 8 9 9 0 7 0 donc l équation P) 0 a une seule solution : 1 b a 6 7 1 Factorisation : P) a 1 ) 7 ) 1 c) Soit P) +. a 1, b et c. Le discriminant est b ac ) 1 9 16 7 < 0 donc l équation P) 0 a solutions complexes conjuguées : 1 b i a b + i a i 7 + i 7 Factorisation : P) a 1 ) ) i 7 ) + i 7 ) Exercice 1 a) + + 0 7 ; il y a donc deux solutions complexes : 1 1 + i 7 et 1 i 7 6 6 b) + + 0 + i ; il y a donc deux solutions complexes : 1 1 + i et 1 i c) 6 + 11 0 8 ; il y a donc deux solutions complexes : 1 6 + i 8 + i et i Exercice 1 1) P1) 0 ; on peut donc factoriser P) par 1). P) 1)a + b + c) a + b + c a b c a + b a) + c b) c Par identification avec P) + on a : a, b a, c b 1 et c. n en tire a, b 5 et c. Donc P) 1) + 5 + ) 1 A.B Vauban

) P) 0 1 ou + 5 + 0 Les solutions de + 5 + 0 sont 1 5 + i 7 Les solutions de P) 0 sont donc : 1 ; 5 + i 7 Exercice 15 y et 5 i 7 et 5 i 7 Im) y Re) x x y y arg + i) π A i) x A i) x + i Exercice 16 1) P ) 0 on peut donc factoriser P) par + ). P) + )a + b + c) a + b + c + a + b + c a + b + a) + c + b) + c Par identification avec P) + 16 on a : a 1, b + a, c + b 0 et c 16. n en tire a 1, b et c 8. Donc P) + ) + 8) ) P) 0 ou + 8 0 Les solutions de + 8 0 sont 1 + i et i Les solutions de P) 0 sont donc : ; + i et i ) n trouve : 0 et arg 0 ) π 1 et arg 1 ) π ; et arg ) π ) ) w ) ; π + π π ) 1 ; 9π 1 ; π 5) y M 1 M 0 M 1 1 0 + i 0 M 0 M 0 i 0 M 0 M 1 M 1 i Donc le triangle M 0 M 1 M est isocèle en M 0 x M 1 A.B Vauban