Exercices - Nombres complexes : énoncé. Forme algébrique, forme trigonométrique

Exercices - Nombres complexes : énoncé Forme algébrique, forme trigonométrique Exercice 1 - - L1/Math Sup - Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3. 4 1 + i 3. Exercice - - L1/Math Sup - Soit z = e iθ avec θ ]0, π[. Déterminer le module et un argument de 1 + z et de 1 + z + z. Exercice 3 - - L1/Math Sup - Donner la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant : ) 0 1 + i 3. 1 i Exercice 4 - - L1/Math Sup - Soient z et z deux nombres complexes de module 1 tels que zz 1. Démontrer que z+z 1+zz est réel, et préciser son module. Exercice 5 - - L1/Math Sup - Soit z C. Montrer que z i = z + i si et seulement si z est réel. Exercice 6 - Égalité dans l inégalité triangulaire - L1/Math Sup - Soient z 1,..., z n des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que z 1 + + z n = z 1 + + z n. Equations et racines n-ièmes Exercice 7 - Exponentielle - L1/Math Sup - Résoudre l équation e z = 3 3 3i. Exercice 8 - Racine carrée d un nombre complexe - L1/Math Sup - Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : z 1 = 3 + 4i, z = 8 6i. Exercice 9 - Racine carré de deux façons - L1/Math Sup - Déterminer les racines carrées de Z = 3 + i sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. En déduire la valeur de cos π 1). Exercice 10 - Equations du second degré - L1/Math Sup - Résoudre les équations du second degré suivantes : 1. z iz 1 + i = 0. iz + 4i 3)z + i 5 = 0. http://www.bibmath.net 1

Exercices - Nombres complexes : énoncé Exercice 11 - Puissances - L1/Math Sup - Résoudre les équations suivantes : 1. z 5 = i. z 6 = 4 1+i 3 3. z 5 = 1+i 3) 4 1+i). Exercice 1 - Qui se ramènent aux puissances... - L1/Math Sup - Résoudre les équations suivantes : 1. z 1) 5 = z + 1) 5. z n = z n ) ) 3 3 3. z+1 z 1 + z 1 z+1) = 0 4. z 4 z 3 + z z + 1 = 0 5. 1 + z + + z n 1 + z n = 0. Exercice 13 - Degré plus grand! - L1/Math Sup - Résoudre les équations suivantes : 1. iz 8 + iz 4 + 1 + i = 0 ;. 4iz 3 + 1 + 3i)z 5 + 4i)z + 31 7i) = 0, sachant qu elle admet une racine réelle. Exercice 14 - Somme et puissances de racines n-iemes - L1/Math Sup - Soit n 1 et ω = e iπ/n. 1. Calculer le produit des racines n-ièmes de l unité.. Soit p 0. Calculer n 1 ωkp. 3. En déduire que n 1 1 + ωk ) n = n. Application au calcul de sommes et à la trigonométrie Exercice 15 - Linéariser - L1/Math Sup - Linéariser cos 5 x, sin 5 x et cos x sin 3 x. Exercice 16 - Sommes trigonométriques - L1/Math Sup - Soit n N et x, y R. Calculer les sommes suivantes : ) n n 1. cosx + ky) ; k. S = 3. D n = n n coskx) n cos x) k et T = k= n e ikx et K n = n sinkx) cos x) k, avec x π + kπ, k Z ; D k, avec x 0 + kπ, k Z. Exercice 17 - Un calcul d intégrale - L1/Math Sup - Calculer π/ 0 cos 4 t sin t. Nombres complexes et géométrie http://www.bibmath.net

Exercices - Nombres complexes : énoncé Exercice 18 - Similitude - L1/Math Sup - Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l application qui à tout M d affixe z associe le point d affixe 1 + i 3)z + 31 i). Exercice 19 - Lieux géométriques - L1/Math Sup - On se propose de déterminer les points M d affixe z du plan dans les cas suivants : 1. 1 + i)z i = ;. Ii) et M iz) sont alignés avec M ; déterminer alors l ensemble des points M correspondants ; ) z 1 3. Re = 0 ; z i 4. M, P d affixe z et Q d affixe z 3 sont les sommets d un triangle équilatéral. Exercice 0 - Points à coordonnées entières - L1/Math Sup - Soit ABCD un carré dans le plan complexe. Prouver que, si A et B sont à coordonnées entières, il en est de même de C et D. Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières? Exercice 1 - Triangle équilatéral - L1/Math Sup - Soient A, B et C trois points non alignés d affixe a, b et c. 1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj = 0.. On considère les trois triangles équilatéraux de base AB, AC et BC construits à l extérieur du premier. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral. Exercice - A partir des racines n-ièmes - L1/Math Sup - Soit a un nombre complexe de module 1, z 1,..., z n les racines de l équation z n = a. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont 1 + z 1 ) n,..., 1 + z n ) n sont alignés. Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler à geolabo@bibmath.net Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : http://www.bibmath.net/forums http://www.bibmath.net 3

Exercices - Nombres complexes : indications Forme algébrique, forme trigonométrique Exercice 1 - - L1/Math Sup - Multiplier le dénominateur par la quantité conjuguée. Exercice - - L1/Math Sup - Utiliser les formules d Euler, et pour le deuxième calcul, la somme d une série géométrique. Exercice 3 - - L1/Math Sup - Passer par la forme trigonométrique. Exercice 4 - - L1/Math Sup - Écrire z = e iθ, z = e iθ et utiliser les formules d Euler. Exercice 5 - - L1/Math Sup - Poser z = x + iy et calculer, ou faire un raisonnement géométrique. Exercice 6 - Égalité dans l inégalité triangulaire - L1/Math Sup - Prouver que c est vrai si et seulement si z i = λ i z 1 avec λ i un réel positif. Equations et racines n-ièmes Exercice 7 - Exponentielle - L1/Math Sup - Poser z = a + ib et mettre 3 3 3i sous forme trigonométrique. Exercice 8 - Racine carrée d un nombre complexe - L1/Math Sup - Poser z = a + ib, écrire z = z 1 et z = z 1. Exercice 9 - Racine carré de deux façons - L1/Math Sup - Exercice 10 - Equations du second degré - L1/Math Sup - Calculer le discriminant, chercher une racine carrée de ce discriminant, puis appliquer les formules du cours. Exercice 11 - Puissances - L1/Math Sup - Mettre le membre de droite sous forme trigonométrique, puis utiliser le cours. Exercice 1 - Qui se ramènent aux puissances... - L1/Math Sup - 1. Se ramener à w 5 = 1 avec w = z + 1)/z 1).. Quel est le module de z? Puis faire comme si on doit résoudre z n = 1... 3. Poser w = z+1 z 1. 4. Somme géométrique. 5. Somme géométrique deux fois!). Exercice 13 - Degré plus grand! - L1/Math Sup - 1. Poser u = z 4 ; http://www.bibmath.net 1

Exercices - Nombres complexes : indications. Pour une racine réelle x, écrire que la partie réelle et la partie imaginaire de l équation doivent être nulles. Exercice 14 - Somme et puissances de racines n-iemes - L1/Math Sup - 1. Elles s écrivent toutes sous la forme ω k, k = 0,..., n 1.. C est une somme géométrique, attention au cas p = kn. 3. Développer suivant la formule du binôme de Newton. Application au calcul de sommes et à la trigonométrie Exercice 15 - Linéariser - L1/Math Sup - Utiliser les formules d Euler, puis la formule du binôme de Newton. Exercice 16 - Sommes trigonométriques - L1/Math Sup - 1. Utiliser l exponentielle complexe et la formule du binôme.. Fabriquer S + it et utiliser une somme géométrique. 3. Exercice 17 - Un calcul d intégrale - L1/Math Sup - Linéariser les fonctions trigonométriques en utilisant les nombres complexes. Nombres complexes et géométrie Exercice 18 - Similitude - L1/Math Sup - Trouver le point invariant en résolvant l équation z = 1 + i 3)z + 31 i). Exercice 19 - Lieux géométriques - L1/Math Sup - 1. Traduire en termes de distance à un point.. Traduire l alignement en termes d angles. 3. Traduire la condition en terme d orthogonalité. 4. Il y a trois possibilités d orthogonalité. Raisonner ensuite comme à la question précédente. Exercice 0 - Points à coordonnées entières - L1/Math Sup - D est l image de B par la rotation de centre A et d angle π/. Exercice 1 - Triangle équilatéral - L1/Math Sup - 1. Que vaut le quotient c a b a.. Utiliser quatre fois la question précédente! http://www.bibmath.net

Exercices - Nombres complexes : indications Exercice - A partir des racines n-ièmes - L1/Math Sup - Déterminer l argument des 1 + z k ) n. On pourra poser a = e iθ et calculer explicitement les z k. Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler à geolabo@bibmath.net Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : http://www.bibmath.net/forums http://www.bibmath.net 3

Forme algébrique, forme trigonométrique Exercice 1 - - L1/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 41 i 3) 1 + i 3)1 i 3) = 41 i 3) 1 + 3 = 1 + i 3. Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : Z = 1 + 3 =, d où Z = 1 ) 3 + = e iπ/3. Pour calculer Z 3, on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 3 e 3iπ/3 = 8. Exercice - - L1/Math Sup - On a, en factorisant par l angle moitié et en utilisant les formules d Euler, 1 + e iθ = cosθ/)e iθ/. On en déduit que 1 + z = cosθ/) > 0 car θ/ ]0, π/[, puis qu un argument de 1 + z est θ/. Pour l autre complexe, on commence par transformer son écriture en remarquant qu il s agit du début d une somme géométrique. Puisque e iθ 1, on a 1 + z + z = 1 z3 1 z = 1 e3iθ 1 e iθ. En raisonnant comme précédemment, on trouve 1 + z + z = e3iθ/ i sin3θ/) e iθ/ i sinθ/) = sin3θ/) sinθ/) eiθ. Il faut maintenant faire attention aux signes! Si θ ]0, π/3[, alors sin3θ/)/ sinθ/) > 0, et donc le module de 1 + z + z est bien, son argument est θ. sin3θ/) sinθ/) Si θ = π/3, 1 + z + z = 0, de module nul et d argument non défini. Si θ ]π/3, π[, alors sin3θ/)/ sinθ/) < 0, et donc on doit écrire 1 + z + z = sin3θ/) sinθ/) 1) eiθ = sin3θ/) sinθ/) eiθ+π). Le module dans ce cas est donc sin3θ/) sinθ/), et l argument, modulo π, est θ + π. http://www.bibmath.net 1

Exercice 3 - - L1/Math Sup - On commence par passer par la forme trigonométrique : 1 + i ) 3 = 1 + i 3 1 i i ) = eiπ/3 e iπ/4 = e i7π/1. On en déduit que ) 0 1 + i 3 = ) 0 e i 140π 1 = 10 e i 70π 6 = 10 e i π 3 = 9 1 i 3). 1 i Exercice 4 - - L1/Math Sup - On écrit z = e iθ, z = e iθ et on utilise les formules d Euler en mettant en facteur e i θ+θ en facteur au numérateur et au dénominateur. Il vient z + z 1 + zz = eiθ + e iθ 1 + e iθ+θ ) On obtient bien un nombre réel, de module θ θ ei + e = e i θ+θ + e ) = cos θ θ ). cos cos θ+θ ) θ θ cos θ+θ ). θ θ i θ+θ i Exercice 5 - - L1/Math Sup - On peut faire un raisonnement algébrique, en posant z = x+iy et en calculant effectivement les deux modules. Voici un raisonnement plus géométrique. Soit A le point d affixe i, B le point d affixe i, et M le point d affixe z. Alors z i est la longueur AM, z + i est la longueur BM, et la condition recherchée est AM = BM, c est-à-dire M est sur la médiatrice de [AB], soit encore M sur l axe réel, soit z réel. Exercice 6 - Égalité dans l inégalité triangulaire - L1/Math Sup - On va prouver que la propriété est vraie si et seulement s il existe des réels positifs λ i tels que z i = λ i z 1. Un sens est facile. En effet, si z i = λ i z 1, alors z 1 + + z n = z 1 1 + λ + + λ n = z 1 + λ z 1 + + λ n z 1 = z 1 + + z n. Réciproquement, on va prouver par récurrence sur n que si z 1 + + z n = z 1 + + z n, alors il existe des réels positifs λ i, 1 i n tels que z i = λ i z 1. On commence par traiter le cas n =, et on suppose que z 1 + z = z 1 + z. Notons u = z 1 /z. Alors on a 1 + u = 1 + u, et en écrivant u = x + iy, on obtient 1 + u = 1 + x) + y = 1 + u + x et 1 + u ) = 1 + u + u. http://www.bibmath.net

On a donc x = u, ce qui entraine que y = 0 et que u est un réel positif. Le cas n = est donc prouvé. Supposons maintenant la propriété prouvée au rang n 1 et prouvons-la au rang n. On commence par remarquer que z 1 + + z n 1 = z 1 + + z n 1. En effet, si on avait z 1 + + z n 1 < z 1 + + z n 1, on aurait aussi z 1 + + z n z 1 + + z n 1 + z n < z 1 + + z n 1 + z n, ce qui contredit l hypothèse initiale. Par hypothèse de récurrence, on sait que pour i {1,..., n 1}, il existe λ i > 0 tel que z i = λ i z 1. Mais alors il vient z 1 + + z n = 1 + + λ n 1 )z 1 + z n = 1 + + λ n 1 ) z 1 + z n. On applique alors le cas n =, et on trouve que z n = µ n 1 + + λ n 1 )z 1 avec µ n > 0. On a le résultat voulu, quitte à poser λ n = µ n 1 + + λ n 1 ). Equations et racines n-ièmes Exercice 7 - Exponentielle - L1/Math Sup - Posons z = a + ib, a, b R. Alors e z = e a e ib. Ceci nous incite à mettre 3 3 3i sous forme trigonométrique. On obtient 3 3 3i = 7 + 9 = 6. Il vient 3 3 3i = 6 ) 3 i1 = 6e iπ/6. On obtient alors a = 6 et b = iπ/6 + kπ, k Z. Les solutions de l équation sont donc les nombres complexes 6 + i π 6 + kπ), k Z. Exercice 8 - Racine carrée d un nombre complexe - L1/Math Sup - La méthode est toujours la même. On pose z = a + ib, de sorte que z = a b ) + iab. L équation z = 3 + 4i est donc équivalente à { a b = 3 ab = 4 On peut ajouter une troisième équation en remarquant que z = 3 + 4i a + b = 3 + 16 = 5. On trouve alors a = 8, soit a = ± et b =, soit b = ±1. L équation ab = 4 oblige a et b à avoir même signe, et donc les deux solutions sont + i et i. Pour l équation z = 8 6i, on peut suivre une méthode exactement identique, et les solutions sont cette fois 3 i et 3 + i. http://www.bibmath.net 3

Exercice 9 - Racine carré de deux façons - L1/Math Sup - Soit w = a + ib tel que w = Z. On obtient le système Il vient a = a b = 3 ab = 1 a + b = 3 + i[=. 3+ et b = 3. Puisque a et b ont le même signe, les solutions sont donc 3 3 + + w = + i 3 et w = Pour la résolution sous forme trigonométrique, on remarque que ) 3 Z = + i1 = e iπ/6. Les racines carrées de Z sont donc w = e iπ/1 et w = e iπ/1. i 3. Comme les deux calculs donnent le même résultat, en identifiant les parties réelles, on trouve : d où on tire : ) 3 π + cos =, 1 3 π cos = 1) 1 + 6 + =. 4 Exercice 10 - Equations du second degré - L1/Math Sup - 1. Le discriminant de cette équation du second degré vaut : = i) 4 1 + i) = 8i. Une racine carré de est donnée par δ = i e iπ/4 = + i. En appliquant les formules du cours, on trouve que les racines sont : i + i = 1 + i et i + i. Le discriminant de cette équation du second degré est : = 1. = 4i 3) 4ii 5) = 4i 3. On en cherche une racine carrée sous la forme δ = a + ib. Calculant δ, et utilisant aussi la relation δ = 4i 3 = 5, http://www.bibmath.net 4

on trouve le système : a b = 3 ab = 4 a + b = 5 On en déduit que δ = 1 i est solution de δ = l autre solution est 1 + i). Utilisant les formules du cours, les racines de l équation initiale sont donc : 4i + 3 + 1 i i = 3 i et 4i + 3 1 + i i = 1 i. Exercice 11 - Puissances - L1/Math Sup - C est du cours! 1. On a i = e iπ/, et donc z 5 = i = e iπ/ z = e ikπ 5 iπ 10, k Z; on obtient 5 racines distinctes pour k = 0,..., 4.. On a On en déduit que Finalement, 3. On a z 6 = 1 + i ) 1 3 3 = + i = e iπ/3. 4 1 + i 3 = eiπ/3 = e 4iπ/3. 4 1 + i 3 z = 1/6 e ikπ 3 + π 9, k Z. 1 + i 3) 4 1 + i) = 4 L équation qu on doit résoudre est donc : z 5 = 3 e i 5π 6 ) 4 1 + i 3 1 + i 1 π 3 4 ) = 3 ei e i π 4. z ) 5 = 1. 3/5 e iπ/6 On en déduit que les solutions sont les complexes de la forme z = 3/5 e i π 6 + ikπ 5, k Z. Exercice 1 - Qui se ramènent aux puissances... - L1/Math Sup - 1. 1 n est pas solution, et l équation est donc équivalente à ) z + 1 5 = 1. z 1 http://www.bibmath.net 5

Posons w = z+1 w+1 z 1, c est-à-dire z = w 1. On a w5 = 1 si et seulement s il existe k {0,..., 4} tel que w = e ikπ/5. On a donc z = eikπ/5 + 1 e ikπ/5 1. On peut encore simplifier en utilisant les formules d Euler : De même, on trouve exp ikπ 5 ) ) + 1 = exp ikπ 5 + exp 0) ) ) = exp ikπ 5 exp ikπ ) 5 = exp ikπ 5 coskπ/5). )) + exp ikπ 5 ) ) kπ ikπ exp 5 1 = i exp sinkπ/5). 5 L ensemble des solutions est donc { icotankπ/5); k = 0,..., 4}.. Puisque z = z, on a z n 1 = 1 et donc z = 1. On peut donc poser z = e iθ et l équation devient e inθ = e iθ e in+1)θ = 1 θ = ikπ/n + 1), k {0,..., n 1}. 3. Posons w = z+1 z 1. L équation devient w3 + 1 w 3 e iπ/6+kπ/3, k = 0,..., 5. = 0, soit w 6 = 1 = e iπ. Ses racines sont On retrouve alors z car z = w+1 w 1. Pour k = 1 ou k = 4, on trouve z = ±i. Pour les autres valeurs de k, on trouve z = ±i ± 3). 4. Remarquons que z = 1 n est pas racine de l équation. On reconnait alors le début de la somme géométrique de raison z. L équation est donc équivalente à 1 z) 5 1 + z = 0 z 5 = 1 = e iπ. Les solutions sont donc les complexes de la forme e i 1+k)π 5, k = 0,..., 5. 5. On commence par écrire : 1 + z + + z n 1 + z n = 1 + z + + z n 1 ) + z + + z n ). On reconnait deux sommes géométriques de raison z. Comme z = 1 n est pas solution de l équation, celle-ci est équivalente à 1 z n 1 z + z zn+1 1 z = 0 1 z n + z z n+1 = 0 1 + z)1 z n ) = 0. Les solutions sont donc z = 1 et les racines n-ièmes de l unité, excepté 1. Autrement dit, 1 et e ikπ/n, k = 1,..., n 1. Exercice 13 - Degré plus grand! - L1/Math Sup - http://www.bibmath.net 6

1. On commence par poser u = z 4, et l équation devient iu +iu+1+i = 0. Son discriminant est = 1 4i1 + i) = 3 4i. On cherche une racine carrée δ de en posant δ = a + ib, en utilisant δ = et δ = = 5, et on trouve qu une des deux racines est δ = i. Les racines de l équation iu + iu + 1 = 0 sont donc les complexes u 1 = i + i i = i et u = i + i i = 1 i. Reste à résoudre les équations z 4 = u 1 et z 4 = u. Pour cela, on pose z = re iθ et on remarque que u 1 = e iπ/ et que u = e i5π/4. On en déduit z 4 = e iπ/ z = e iπ/8+kπ/, k = 0,..., 3; z 4 = e i5π/4 z = 1/8 e i5π/16+kπ/, k = 0,..., 3.. Soit x une racine réelle, ie 4ix 3 +1+3i)x 5+4i)x+31 7i) = 0. Partie rélle et partie imaginaire du membre de gauche doivent être nulles, on obtient donc après identification : { x 5x + 3 = 0 4x 3 + 6x 4x 1 = 0. Il est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l autre équation. On trouve que 3/ est racine. On factorise alors le polynôme par z 3/, et on trouve par exemple en procédant par identification) : 4iz 3 + 1 + 3i)z 5 + 4i)z + 31 7i) = z 3/) 4iz + 1 + 6i)z + 1 + 7i) ). Reste à résoudre ensuite l équation : dont les solutions sont + 3 i et 1 i. 4iz + 1 + 6i)z + 1 + 7i) = 0 Exercice 14 - Somme et puissances de racines n-iemes - L1/Math Sup - 1. Les racines n-ièmes de l unité sont les complexes ω k, avec k = 0,..., n 1. Leur produit vaut donc : n 1 ω k n 1 = ω k = ω nn 1)/ = e iπn 1) = 1) n 1 résultat qu on vérifie facilement pour n = 1,, 3, 4).. On a ici une somme géométrique de raison ω p. Si p est un multiple de 1, la raison est donc égale à 1, et la somme fait n. Sinon, on a puisque ω n = 1. n 1 ω kp = 1 ωnp 1 ω = 0 http://www.bibmath.net 7

3. On développe la puissance à l intérieur de la somme en utilisant la formule du binôme de Newton, et on trouve : n 1 1 + ω k ) n = = ) n 1 n n ω kj p p=0 ) n n 1 On utilise le résultat de la question précédente, qui nous dit que la somme n 1 ωkp sera non-nulle si et seulement si p = 0 ou n, auquel la cas la somme fait n. Puisque n+n = n, on obtient le résultat attendu. Application au calcul de sommes et à la trigonométrie p=0 n p ω kp. Exercice 15 - Linéariser - L1/Math Sup - On écrit : e cos 5 ix + e ix ) 5 x = = 1 e 5ix + 5e i3x + 10e ix + 10e ix + 5e i3x + e i5x) 3 Le même raisonnement donne = 1 16 cos5x) + 5 cos3x) + 10 cos x ). Pour la dernière expression, on procède ainsi : cos x sin 3 x = sin 5 x = 1 16 sin5x) 5 sin3x) + 10 sinx) ). e ix + e ix ) e ix e ix i ) 3 = eix + + e ix e3ix 3e ix + 3e ix e 3ix 4 8i = e5ix e 3ix e ix + e ix + e 3ix e 5ix = 3i i sin5x) i sin3x) 4i sinx) 3i = 1 16 sin5x) + 1 16 sin3x) + 1 8 sinx). Exercice 16 - Sommes trigonométriques - L1/Math Sup - http://www.bibmath.net 8

1. On a : ) n n n ) n cosx + ky) = R )e ix e iky k k n ) = R e ix n e iy) k 1 n k) k = R e ix 1 + e iy ) n) = R e ix e iny/ e iy/ + e iy/ ) n) = R e ix+ny/) cosy/)) n) = n cosx + ny/) cos n y/).. On utilise S + it qui se calcule comme une somme géométrique : On distingue deux cas : Si x = 0 [π], alors eix Si x 0 [π], alors cos x S + it = n e ikx n cos x) k = e ix cos x ) k. = 1, et S + it = n + 1. On en déduit S = n + 1 et T = 0. ) n+1 S + it = 1 eix cos x 1 eix cos x 1 = cos x) n cos x)n+1 e ixn+1) cos x e ix ) ) 1 = cos x) n cosn+1 x) cos n + 1)x i sin n + 1)x i sinx) = sin n + 1)x ) icosn+1 ) cos n x) sinx) + x) cos n + 1)x cos n. x sin x On en déduit S = sin n + 1)x ) ) cos n x) sinx) et T = cosn+1 x) cos n + 1)x cos n. x sin x 3. D n est une somme géométrique, de premier terme e inx et de raison e ix 1. On obtient donc D n = e inx + e in+1)x/ 1 e ix = eix/ e ix/ e in+1/)x e in+1/)x e ix/ e ix/. On en déduit que ) ) D n = sin n + 1 x. sinx/) Pour calculer K n, une méthode ) ) légèrement différente de celle de la question précédente) est d écrire que sin n + 1 x = Im e in+1/)x), puis d utiliser une somme géométrique. http://www.bibmath.net 9

On a en effet : K n = = = = 1 n ) sinx/) Im e ik+1/)x 1 n ) sinx/) Im e ix/ e ikx 1 sinx/) Im 1 sinx/) Im = sin n + 1)x/ ) sin. x/) ix/ 1 ein+1)x/ e 1 e ix ) e ix/ ein+1)x/ sinn + 1)x/) e ix/ sinx/) ) Exercice 17 - Un calcul d intégrale - L1/Math Sup - On linéarise les fonctions trigonométriques à l aide des nombres complexes : e cos 4 t sin it + e it ) 4 e it e it ) t = i = 1 6 e i4t + 4e it + 6 + 4e it + e i4t) e it + e it) On en déduit : π/ 0 = 1 6 e i6t + e i4t + e it 4 + e it + e i4t + e i6t) = 1 cos6t) + cos4t) + cost) ). 5 cos 4 t sin t = 1 5 = π 3. π 0 cos 6t + cos 4t + cos t dt Nombres complexes et géométrie Exercice 18 - Similitude - L1/Math Sup - L application de la forme z az +b est une similitude directe. Cherchons son centre qui est le point invariant, c est-à-dire le point vérifiant z = 1 + i 3)z + 31 i). On trouve z = 1 + i, le centre de la similitude est donc le point A1, 1). On a de plus 1 + i ) 1 3 3 = + i = e iπ/3. Le rapport de la similitude est donc égal à, et l angle à π/3. Exercice 19 - Lieux géométriques - L1/Math Sup - http://www.bibmath.net 10

1. Factorisons par 1 + i dans le module. On trouve : 1 + i z i 1 + i =. Puisque 1 + i = et i 1+i = 1 + i, ceci est équivalent à z 1 + i ) =. Ainsi, l ensemble des points M correspondants est le cercle de centre le point A1, 1) et de rayon.. On sait que les points I, M et M sont alignés si et seulement si IM, IM ) = 0[π] ou M = I ou M = I. En termes de nombres complexes, ceci se traduit par ) iz i arg = 0 [π] ou z = i ou iz = i. z i Introduisons le point A d affixe 1. Alors, ceci devient ) π z 1 + arg = 0 [π] ou M = I ou M = A z i IM, AM) = π [π] ou M = I ou M = A IM) AM) ou M = I ou M = A. Les points M solutions sont donc les points du cercle de diamètre [AI]. Puisque M est image de M par rotation de centre O et d angle π/, les points M correspondants sont sur l image de ce cercle par cette rotation. 3. Notons A d affixe 1 et I d affixe i. La question s écrit encore z 1 z i = ia, avec a R, c est-à-dire que les vecteurs AM et IM sont orthogonaux. Autrement dit, la condition est vérifiée si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AI], excepté I on doit avoir z i pour définir le quotient). 4. On va d abord supposer que z 0, 1, 1 pour que les trois points M, P, Q soient distincts et qu on soit sûr d avoir affaire à un vrai triangle. On va utiliser la condition suivante : soit Aa), Bb) et Cc). Les droites AB) et AC) sont perpendiculaires si et seulement si m R, On distingue alors trois cas : ) c a c a b a = mi Re = 0. b a http://www.bibmath.net 11

a) le triangle est rectangle en M. Ceci est équivalent à z 3 ) z Re z = 0 Rez + 1) = 0 Rez) = 1. z Les points M solutions sont alors ceux de la droite d équation x = 1. b) le triangle est rectangle en P. Ceci est équivalent à z 3 z ) Re z z = 0 Rez) = 0. Les points M solutions sont alors ceux de la droite d équation x = 0. c) le triangle est rectangle en Q. Ceci est équivalent à ) z z 3 ) z + 1 Re z z 3 = 0 Re = 0. z Notons D d affixe -1 et O d affixe 0. On obtient que les droites DM) et OM) sont orthogonales, c est-à-dire que M décrit le cercle de diamètre [OD]. Exercice 0 - Points à coordonnées entières - L1/Math Sup - On note a = x + iy et b = x + iy les affixes respectives de A et B. Par hypothèse, x, x, y et y sont des entiers. Puisque ABCD est un carré, D est l image de B par la rotation de centre A et d angle π/. Traduit en termes de nombres complexes, si d est l affixe de D, ceci signifie que d a = ib a) = d = a + ib a) = x + iy + i x x) + iy y) ) = x + y y + iy + x x). Ainsi, les coordonnées de D sont bien des entiers. Pour prouver que les coordonnées de C sont des entiers, on procède de la même façon, en utilisant cette fois le fait que C est l image de A dans la rotation de centre D et d angle π/. Imaginons maintenant que ABC soit un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières, et gardons les notations précédentes. Alors, C, d affixe c = x + iy est l image de B par la rotation de centre A et d angle π/3. Autrement dit, ) 1 3 x c a = e iπ/3 b a) = c = x + iy) + + i x) + iy y) ). On développe, et après calcul, on trouve que c = x + x x 3y y) + i y + y y 3x ) x) +. Pour que la partie réelle de c soit un entier, il est nécessaire que y = y et pour que la partie imaginaire de c soit nulle, il est nécessaire que x = x. Finalement, ceci entraine A = B, c est-à-dire que le triangle est réduit à un point! Exercice 1 - Triangle équilatéral - L1/Math Sup - http://www.bibmath.net 1

1. C est l image de B par la rotation de centre A et d angle π/3. On a donc c a b a = eiπ/3 = j c a + j b j a = 0. Or, 1 + j = j et en multipliant par j, on obtient le résultat voulu.. Quitte à échanger les rôles de B et C, on peut toujours supposer que le triangle est direct, c est-à-dire que l angle AB, AC) est dans ]0, π[. Notons AC B, BA C et CB A les triangles équilatéraux directs obtenus. Soient aussi a, b, c les affixes respectives de A, B et C. Alors, par la question précédente, on a les 3 équations : a + jc + j b = 0 b + ja + j c = 0 c + jb + j a = 0. Soit E, F, G les centres de gravité respectifs de AC B, BAC et CB A, d affixe respectives e = 1 3 a + c + b), f = 1 3 b + a + c) et g = 1 3 c + b + a). D après la question précédente, il suffit de prouver que e + jf + j g = 0. Or, 3e + jf + j g) = a + c + b + jb + ja + jc + j c + j b + j a. Or, c = j a b, ja = b j c et j b = jc a, ce qui prouve bien que e+jf +j g = 0. Le triangle EF G est équilatéral direct. Exercice - A partir des racines n-ièmes - L1/Math Sup - Posons a = e iθ. Alors les racines de z n = 1 sont données par z k = e ikπ+θ)/n, k = 0,..., n 1. Factorisant par l angle moitié et utilisant les formules d Euler, on a soit ) kπ + θ 1 + z k = cos e ikπ+θ)/n n ) ) kπ + θ kπ + θ 1 + z k ) n = n cos n e ikπ+θ)/ = n cos n e ikπ+θ/). n n Tous les points d affixe 1 + z k ) n sont donc situés sur la droite qui fait un angle θ/ avec l axe des abscisses. Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler à geolabo@bibmath.net Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : http://www.bibmath.net/forums http://www.bibmath.net 13