FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C La otio de classe C pour ue foctio est présete e aalyse (étude de foctios umériques à ue variable réelle, itégratios par parties) et e probabilités (foctio de e variable aléatoire à desité). de plusieurs eercices, ous allos travailler cette otio. Ces eercices ous permettrot (cotiuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours ) Défiitio Ue foctio umérique f éfiie sur u itervalle I est dite de classe C si elle est dérivable sur cet itervalle et si sa dérivée f ' est cotiue sur cet itervalle. ) Propriétés a) Si f et g sot deu foctios de classe C sur u itervalle I alors les foctios f g et f gsot de classe C sur I Si de plus g I, alors f g est de classe C sur I. b) Si f est ue foctio de classe C sur u itervalle I et si g est ue foctio de classe C sur u itervalle J la foctio g f est de classe C I Remarque. La foctio f état de classe cotiue sur cet itervalle. f I,alors C I, elle est dérivable doc
0 FONCTIONS DE CLASSE C (théorème des valeurs itermédiaires), o peut doc affirmer que u itervalle. f Iest Eercice O cosidère la foctio umérique f de la variable réelle telle que 0 si 0 f sio l ) f. ) La foctio f est-elle dérivable e 0? 3) Justifier que la foctio f est de classe C sur 0,. 4) Dresser le tableau des variatios de la foctio f. (O y fera apparaître les différetes limites et la valeur de v O cosidère la suite v telle que v0 3 et, v l v 5) Motrer que, v e. 6) Justifier que la suite v coverge et détermier sa limite. Correctio. eiste si et seulemet si 0 et l 0 l. f e ) l eiste si et seulemet si 0 et. f 0eiste doc la foctio f est défiie sur0,,. Pour f f 0 l 0,, 0 puisque liml 0 l 0 0 La foctio f est doc dérivable e 0 et f '0 0
FONCTIONS DE CLASSE C 3. La foctio f est de classe C sur 0,et sur, comme quotiet de foctios de classe C 0, et sur,. Pour établir le caractère C de la foctio f sur chaque itervalle ouvert o utilise les théorèmes géérau rappelés e début de chapitre. l l 0,,, f ' l (l ) l l liml doc 0 lim 0 et lim 0 0 l 0 l Fialemet lim f ' 0 f ' 0 f ' cotiue e 0. 0 La foctio f est de classe C sur 0,. l l est du sige de 4. 0,,, f ' l : l 0 l e l 0 l e l l La foctio f est dérivable doc cotiue e 0 : f f lim lim f lim l 0 lim lim l 0 lim f lim 0 0. 0
FONCTIONS DE CLASSE C l lim 0 (Limite usuelle) lim f 0 e f ' - - 0 + f 0 e 5. Motros le résultat par récurrece. O ote P : v e Iitialisatio : v0 3 e, puisque e.78. Hérédité : o suppose que pour u 0, v e et o veut motrer que v e. Si v e e,. f v v f e ecar la foctio f est croissate sur, alors Coclusio :, v e, v v lv 6., v v v v l v l v v e0 v el v l v 0 v v 0 v el v 0 La suite v L e. est décroissate et miorée par e : elle coverge vers u réel v v l v. O passe à la limite quad ted vers : L L car la l L foctio l est cotiue e L e. L L Ll LL0 L l L 0 L0 ou L e. l L O a doc Comme L e, o a L e : la suite v coverge vers e.
FONCTIONS DE CLASSE C 3 Eercice Soit f par : e si 0 f 0 si 0. Motrer que f est impaire et cotiue sur.. Motrer que f est de classe C sur. 3. Doer le tableau des variatios de f. 4. f impaire. Correctio. La foctio f est défiie sur itervalle symétrique par rapport à 0 doc,., e e f si 0 f 0 si 0 : f est impaire La foctio e est cotiue sur comme composée et différece de foctios cotiues sur, par coséquet la foctio f est cotiue sur,0et sur 0,comme quotiet de foctios cotiues dot le les. Cotiuité e 0 : e e, o a doc 0 0 f f f lim lim 0 0 0 0 0 foctio f e 0. Coclusio : la foctio f est cotiue sur ce qui assure la cotiuité de la. La foctio e est de classe C sur comme composée et différece de foctios de classe C sur, par coséquet la foctio f est de classe C sur,0et sur 0,comme quotiet de foctios de classe C s.
4 FONCTIONS DE CLASSE C Etude e 0 a) Dérivabilité e 0 f f 0 e f f 0 Pour 0, lim La foctio f est doc dérivable e 0 et f. b) Cotiuité de f ' e 0. 0 0 0 0 '0 e e e,00,, f ' Pour au voisiage de 0, e o doc e o e o o, et doc ' f. 0 lim f ' f ' 0 : la foctio f ' est cotiue e 0. Fialemet 0 Les coclusios de : La foctio f est de classe C sur Pour établir le caractère C de la foctio f sur,0et sur 0,o utilise les théorèmes géérau rappelés e début de chapitre. Pour établir le caractère C de la foctio f sur, o traite le classe C. Les études de limites écessaires à la résolutio du problème se fot évetuellemet veloppemets limités. est du sige de g e 3. Pour 0, f ' g. 0 Cherchos doc le sige de La foctio g est dérivable sur comme composée, produit et différece de foctios dérivables sur., ' g e e 4e 4 4, ', '' ( 4 ) : ' g e g est du sige de..
FONCTIONS DE CLASSE C 5 La foctio g est doc décroissate sur elle admet u miimum absolu e 0 qui vaut g.,0et croissate sur 0, : 0 0 Coclusio : la foctio g est positive sur et strictemet positive sur *. Reveos à f. Pour 0, f ' 0, or f '0 doc, f ' 0 : la foctio f est strictemet croissate sur. Limites e e e 0, f lim e A lim e e (e posat A ) lim lim A A Comme lim 0, il viet : lim f. lim f lim f X (e posat X X de la foctio f, il viet : lim f lim f X. X 0 + f ' - + f( ) + 4. La foctio f est cotiue et strictemet croissate sur : la foctio f est ue bijectio de sur f. La foctio f admet doc ue bijectio réciproque f défiie sur avec f. f y f
6 FONCTIONS DE CLASSE C Motros que f est impaire. O a : y, y f y y f f y y f f y y f f y f y Fialemet f y f y,., car f est impaire : f est impaire. La foctio f admet doc ue bijectio réciproque f impaire Eercice 3 Soit la foctio f défiie sur 0,par : l si 0, f f 00 et f. Etudier la cotiuité de la foctio f sur 0,.. La foctio f est-elle de classe C sur0,? 3. Dresser le tableau des variatios de la foctio f sur 0,. Correctio. La foctio l est cotiue sur cotiues sur 0,, par coséquet la foctio f est cotiue sur 0, 0, comme produit de foctios c sur 0,. Cotiuité e 0 lim l( ) 0limite usuelle 0 0 lim f 0 f 0, lim 0 0 Doc f est cotiue e 0. Cotiuité e f ; lim f f l( ) f ; doc f est cotiue e.