TS sé Plan : Les nombes emies Les algoithmes donnés en aendice (test de imalité et décomosition en facteus emies) doivent ête sus a cœu et il est conseillé d avoi les ogammes coesondant dans la calculatice Les ésultats donnés en aendice doivent ête connus I Quelques généalités su les nombes emies ) Définition [ael] I Quelques généalités su les nombes emies II Reconnaissance d un nombe emie III L ensemble des nombes emies IV Poiétés V Décomosition en oduit de facteus emies VI Condition nécessaie et suffisante de divisibilité à l aide de la décomosition en facteus emies VII PGCD et PPCM à l aide de la décomosition en facteus emies VIII Caés et cubes afaits IX Petit théoème de Femat On dit qu un entie natuel est emie s il admet exactement deux diviseus dans : et lui-même ) Remaques 0 n est as emie (ca il admet une infinité de diviseus ; en effet, tout entie elatif est un diviseu de 0) n est as emie (ca un seul diviseu dans : ) est le lus etit des nombes emies et c est le seul nombe emie ai Les emies nombes emies sont :, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 etc Une liste des nombes emies inféieus à 000 est donnée en aendice à la fin du chaite Nous veons dans le aagahe II une méthode emettant d obteni tès facilement la liste de tous les nombes emies inféieus ou égaux à un entie natuel N 3 fixé 3 ) Caactéisation d un nombe non emie Soit n un entie natuel n n est as emie n admet un diviseu ositif aute que et n X Nombes emies aticulies Soit n un entie natuel n n est as emie il existe un entie natuel d distinct de et n tel que d n Commentaies : Ce chaite eend les notions étudiées dans les chaites écédents (conguences, PGCD, PPCM etc) Il faut connaîte les nombes emies inféieus à 50 Tous les énoncés des oiétés doivent ête sus a cœu Les démonstations sont toutes à aende et à savoi efaie à l excetion de celle qui est mentionnée comme devant seulement ête comise dans le aagahe V ) Un entie natuel suéieu ou égal à 4 qui n est as emie est dit «comosé» Il s écit comme le oduit de deux enties suéieus ou égaux à On etienda la etite oiété suivante : Soit n un entie natuel tel que n 4 n non emie n q avec et q
Un entie natuel suéieu ou égal à 4 n est as emie si et seulement si il eut s écie comme oduit de deux enties suéieus ou égaux à Cette oiété fondamentale emet de econnaîte qu un entie natuel n est as emie 4 ) Quelques questions L ensemble des nombes emies est-il infini? Comment econnaîte si un nombe est emie? Comment sont éatis les nombes emies? Il y a encoe beaucou d autes questions su les nombes emies Cetaines ont été ésolues ; d autes ne le sont as encoe et sont encoe objet de echeches Il y a également de nombeuses cuiosités autou des nombes emies Nous en veons quelques unes en execices (a exemles les familles de cetains nombes emies) Ces nombes sont l objet de echeche active ca il faut toujous en touve de lus gands ; en effet, ils inteviennent dans le codage de données (voi méthode RSA) 5 ) Test élémentaie de imalité Algoithme donné en aendice II Reconnaissance d un nombe emie ) Lemme Énoncé : Tout entie natuel suéieu ou égal à admet au moins un diviseu emie : son lus etit diviseu dans aute que Démonstation (à savoi efaie) : Soit n un entie natuel suéieu ou égal à Si n est emie, le lemme est démonté (le lus etit diviseu ositif de n aute que est n, qui est emie) Si n n est as emie, on eut considée l ensemble des diviseus stictement suéieus à de n Il n est as vide ca il contient n Notons le lus etit élément de cet ensemble Suosons que ne soit as emie Alos admet un diviseu ositif d aute que et que On a d n On a d et n d où, a tansitivité de la elation de divisibilité, d n d est donc un diviseu de n, stictement suéieu à et stictement inféieu à, qui est d aute at le lus etit diviseu suéieu à de n On aboutit à une contadiction L hyothèse sulémentaie (soulignée) est donc fausse est un nombe emie 3 Remaque : Si n est un entie natuel ai, alos le lus etit diviseu stictement suéieu à est qui est bien emie ) Poiété (un test de imalité) Énoncé : n est un entie natuel suéieu ou égal à 4 Si n n est divisible a aucun nombe emie tel que Démonstation (à savoi efaie) : On aisonne a contaosition P et Q sont deux oositions n, alos n est emie La oosition «Si P alos Q» est logiquement équivalente à «Si non Q, alos non P» P Q non Q non P La contaosée de la oiété est : Si n n est as un nombe emie, alos n est divisible a au moins un nombe emie tel que n Suosons que n ne soit as emie ( n 4 ) Le lemme emet d affime que n ossède un diviseu emie qui est son lus etit diviseu suéieu à On a donc n q avec q (ca q est aussi un diviseu de n donc suéieu ou égal à ) q entaîne On a donc bien n q c est-à-die n soit n La contaosée est démontée et, a contaosition, la oiété l est aussi Alication atique Pou détemine si un entie natuel n, on teste la divisibilité de n a tous les nombes emies inféieus ou égaux à n Cette méthode est imotante 4
3 ) Exemles Dans chaque cas, die si le nombe est emie sans utilise la liste des nombes emies donnée en aendice a) 547 b) 33 Solution : b) D aès la calculatice, on a : 547 3,38803 La calculatice n est as utile On eut se contente de die que 3 547 4 (ca 3 59 et 4 576 ) On teste successivement la divisibilité de 547 a les nombes emies inféieus ou égaux à 3 is dans l ode coissant 547 nombe emie 547 est-il divisible a ce nombe emie? non 3 non 5 non 7 non non 3 non 9 non 3 non 547 n est as divisible a, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 et 3 donc 547 est emie On eut véifie ce ésultat avec la liste des nombes emies inféieus à 000 donnée en aendice a) D aès la calculatice, on a : 33,53565 La calculatice n est as utile On eut se contente de die que 33 (ca et 44 ) 33 nombe emie 33 n est as un nombe emie 33 est-il divisible a ce nombe emie? non 3 non 5 non 7 oui 33 7 9 On eut véifie ce ésultat avec la liste des nombes emies inféieus à 000 donnée en aendice Il y a d autes méthodes ossibles : - utilisation d une table de nombes emies ; - utilisation d un ogamme ou avoi la liste des diviseus ositifs d un entie (cela eut ête assez long) ; - utilisation du ogamme «test de imalité» donné dans l aendice ; - utilisation d un logiciel de calcul fomel (commande «isime» su XCas) 4 ) Le cible d Éatosthène On cheche la liste des nombes emies inféieus ou égaux à un entie natuel N donné On ouait teste chaque entie de à N mais ce seait long Éatosthène, mathématicien gec de l antiquité (ves 7 ; 94), a imaginé une méthode beaucou lus aide Exemle : On end N 5 On cheche tous les nombes emies inféieus ou égaux à 5 On écit les enties natuels de à 5 (ou note exemle) 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 On bae le qui n est as emie 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 est emie On entoue et ensuite on bae tous les multiles de qui ne seont donc as emies 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 On teste successivement la divisibilité de 33 a les nombes emies inféieus ou égaux à is dans l ode coissant 5 Le emie nombe estant de la liste est 3 et est nécessaiement emie Il n est as divisible a un diviseu emie lus etit sinon il seait baé On entoue 3 et on bae tous les multiles de 3 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6
Le emie nombe estant est 5 et est donc emie On entoue 5 et on bae les multiles de 5 Ici, le seul nouveau nombe bae est 5 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Nous avons entoué tous les nombes emies inféieus ou égaux à 5 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 III L ensemble des nombes emies ) Poiété Énoncé : Il existe une infinité de nombes emies À tite d entaînement, détemine la liste des nombes emies inféieus à 00 a le cible d Éatosthène On oua ésente la démache en écivant tous les enties natuels de à 00 dans un tableau caé à 0 lignes et 0 colonnes Infomation : Éatosthène de Cyène Considéé comme le emie géogahe de l histoie, Éatosthène (ves 7 ; 94) est aussi astonome, hilosohe et mathématicien Né à Cyène, une ancienne ville gecque (actuellement en Libye), il s installe à Athènes, où il côtoie des disciles de Platon, uis est aelé à Alexandie a le souveain Lagide Ptolémée III Il devient le toisième consevateu de la bibliothèque d Alexandie Célèbe ou son cible, Éatosthène a également oosé le emie océdé connu de calcul du ayon de la Tee Son calcul était emaquablement exact et est toujous utilisé Dans Platonicus, il a abodé des domaines aussi vaiés que la géométie, l aithmétique, la hilosohie, la musique htt://wwwmath93com/mathematiciens/eatosthenehtml Illustation : cate du monde a Éatosthène Démonstation (à comende et à savoi efaie) : On aisonne a l absude Suosons qu il existe un nombe fini de nombes emies que nous ouvons note,,, Considéons le nombe N n Cet entie natuel est suéieu ou égal à et il est suéieu à chacun des i Il n est donc as emie D aès le lemme du II ), ce nombe N admet donc au moins un diviseu emie Il existe donc k ; ; ; n tel que k N Pa ailleus, k divise le oduit 3 n et donc k N 3 n soit k ce qui contedit le fait que k est emie La suosition de déat conduit donc à une contadiction On en déduit qu elle est fausse Il existe bien une infinité de nombes emies IV Poiétés ) Poiété n Énoncé : Définition du mot cible : En mathématiques, les cibles sont des techniques algoithmiques (un cible est une méthode de sélection) emettant de discimine les nombes ossédant cetaines oiétés : nombes emies, caés afaits, nombes afaits etc Deux nombes emies distincts sont emies ente eux Démonstation : Soit et q deux nombes emies distincts On eut ogamme le cible d Éatosthène su calculatice en utilisant des listes On a : D ; et q ; q D D D d où le ésultat O q donc q On touve su Intenet des animations qui ésentent le cible d Éatosthène, a exemle su le site : htt://theeseeveilleauageseso-oangef/ages/tuc_mat/atique/textes/cible_anhtm 7 8
) Poiété Énoncé : 4 ) Poiété 4 Énoncé : Tout nombe emie est emie avec ses édécesseus enties natuels (,, 3,, 0) Démonstation : On aisonne a l absude Si n était as emie avec l un de ses édécesseus enties natuels, auait un diviseu ositif aute que et, ce qui est contadictoie avec l hyothèse emie 3 ) Poiété 3 Énoncé : Soit un nombe emie Soit a un entie elatif PGCD a ; On cheche Si divise a, alos PGCD a ; Si ne divise as a, alos PGCD a ; Démonstation : e cas : a Dans ce cas, PGCD a ; (oiété vue dans le chaite su le PGCD) Soit un nombe emie Soit a un entie elatif est emie avec a si et seulement si ne divise as a Démonstation : La oiété 4 est une conséquence de la oiété 3 e cas : a Dans ce cas, PGCD a ; O Donc e cas : a Dans ce cas, PGCD a ; Coollaie : Soit un nombe emie PGCD a ; est emie avec tous les enties qui ne sont as multiles de (c est-à-die que si n, alos PGCD ; n ) 5 ) Poiété 5 Énoncé : e cas : a Soit d un diviseu ositif commun à a et Comme d, d ou d O a donc d Soit un nombe emie Soit a et b deux enties ab a ou b Démonstation (à savoi efaie) : Démontons que ab a ou b Si a ou b, alos de manièe évidente ab 9 0
Récioquement, suosons que ab Démontons qu alos a ou b e cas : a Dans ce cas, et a sont emies ente eux O ab Donc d aès le théoème de Gauss, b e cas : b Même démache Execice d alication (execice-tye) : Soit x un nombe entie elatif tel que 3 x Démonte que 3 x Solution : 3 est un nombe emie On alique la oiété 5 V Décomosition en oduit de facteus emies ) Existence Exemles : 3 3 56 78 7 7 3 3 540 7 0 3 5 3 5 Poiété : Tout entie natuel suéieu ou égal à est emie ou oduit de nombes emies Démonstation (à comende) : La démonstation de l existence de la décomosition en facteus emies s insie de la méthode atique systématique On a donc : n n avec n n Si n est emie, alos la oiété est établie Sinon, on ecommence avec n n est divisible a le nombe emie, à savoi le lus etit diviseu de n suéieu ou égal à n n n avec n n n On a donc : De oche en oche, on constuit une suite stictement décoissante d enties natuels n, n tels que n n n Cette suite est finie et le denie d ente eux est nécessaiement égal à Donc n k Remaque : Dans ce oduit, les nombes emies,,, n ne sont as tous nécessaiement distincts En egouant les nombes emies égaux, on obtient n, les i étant des enties natuels non nuls On dit que n est décomosé en oduit de facteus emies ) Unicité Poiété (admise) : On admet que la décomosition en oduit de facteus emies d un entie natuel suéieu ou égal à est unique (à l ode des facteus ès) 3 ) Poiété (qui assemble en un seul énoncé l existence et l unicité vues au ) et au )) Pou tout entie natuel n, on eut écie n où :,,, désignent des nombes emies deux à deux distincts ;,, désignent des enties natuels ; Cette écitue est unique à l ode ès des facteus - Si n est emie, la oiété est établie - Si n n est as emie, nous savons que son lus etit diviseu aute que est emie Avec ces notations, l ensemble des diviseus emies de n est,,, On énoncé afois la oiété sous la fome suivante : Tout entie natuel suéieu ou égal à s écit comme oduit de nombes emies Cette écitue est unique à l ode ès des facteus
4 ) Patique de la décomosition Méthodes «à la main» : Méthode usuelle : On essaie d écie le nombe comme oduit d enties natuels de lus en lus etits jusqu à ne faie aaaîte que des nombes emies (cf exemles du )) Exemle : décomosition de 40 en oduit de facteus emies 40 4 0 40 7 5 40 5 7 40 5 7 Exemle : décomosition de 360 en oduit de facteus emies 360 36 0 360 6 5 3 360 5 36 0 3 5 Méthode systématique : On étudie la divisibilité du nombe a les nombes emies is dans l ode coissant selon la ésentation donnée dans les exemles (tait vetical avec nombes emies à doite et quotients à gauche jusqu à obteni un quotient égal à ) Exemle : décomosition de 40 en oduit de facteus emies 68 84 4 3 7 7 La décomosition de 68 en oduit de facteus emies est Exemle : décomosition de 45 en oduit de facteus emies 45 3 5 3 5 5 La décomosition de 45 en oduit de facteus emies est : 3 68 3 7 45 3 5 Pou cette méthode, il est imotant de esecte la ésentation : - en testant les nombes emies dans l ode coissant ; - en éuisant comlètement un facteu emie avant de asse au suivant Utilisation de la calculatice (éventuellement à l aide d un ogamme : voi ogamme donné dans l aendice ) ou utilisation de logiciel de calcul fomel La calculatice collège Casio fx-9 ossède une commande «Décom» Pa exemle, ou obteni la décomosition de 888, on tae 888 EXE uis Décom 3 On obtient 9 Utilisation d outils de calculs en ligne htt://calculatointemodinocom/f/decomosition-en-oduit-de-facteus-emieshtml htt://alainicheeauageseso-oangef/decnbebishtml 5 ) Décomosition en facteus emies et oéations algébiques On donne les décomositions en facteus emies de deux enties natuels a et b On eut en déduie la décomosition en facteus emies de ab Autement dit, si l on connaît la décomosition en facteus emies de deux enties natuels, il est ossible d en déduie immédiatement celle de leu oduit On donne la décomosition en facteus emies d un entie natuel a k On eut en déduie la décomosition en facteus emies de a ou k entie natuel quelconque Autement dit, si l on connaît la décomosition en facteus emies d un entie natuel, il est ossible d en déduie immédiatement celle de n imote quelle uissance de cet entie à un exosant entie natuel Si l on connaît la décomosition en facteus emies de deux enties natuels, il n est as ossible d en déduie celle de leu somme ou de leu difféence La décomosition en facteus emies ne se comote bien que ou la multilication VI Condition nécessaie et suffisante de divisibilité à l aide de la décomosition en facteus emies ) Poiété Deux enties natuels a et b suéieus ou égaux à sont décomosés en oduit de facteus emies b a si et seulement si tout facteu emie figuant dans la décomosition de b figue aussi dans celle de a avec un exosant suéieu ou égal à celui qu il a dans la décomosition de b Idée de la démonstation : Sens diect : On suose que b a Il existe donc un entie natuel q tel que a bq À fini Sens écioque : quasiment évident 3 4
On notea que losque b a, le quotient de la division euclidienne de a a b s obtient immédiatement gâce aux décomositions en facteus emies On obtient les diviseus ositifs de 96 à l aide d un abe de ossibilités (abe à niveaux) : 0 7 0 0 7 ) Aute fomulation de la oiété (tès imotante) : diviseus ositifs d un entie à l aide de la décomosition en facteus emies n est un entie natuel dont la décomosition en facteus emies s écit n où,, sont des nombes emies deux à deux distincts ;,, sont des enties natuels non nuls Les diviseus ositifs de n sont tous les enties de la fome avec 0, 0, 0 0 7 0 7 7 7 49 0 7 7 4 7 98 Cette fomule este valable même losque l un des exosants i est nul (auquel cas, au sens stict, il ne s agit as de la décomosition en facteus emies de n) 3 ) Utilisation Cette oiété donne un moyen ou détemine de façon systématique tous les diviseus d un entie natuel 4 ) Execice a) Décomose 96 en oduit de facteus emies b) À l aide d un abe, détemine tous les diviseus ositifs de 96 Solution : a) 96 7 b) Les diviseus ositifs de 96 sont tous les enties de la fome 7 avec 0 et 0 Les diviseus ositifs de 96 sont,, 4, 7, 4, 8, 49, 98 et 96 0 7 4 7 8 7 96 5 ) Aute ésentation (fondée su le même incie), mais nécessitant moins de lace On s intéesse aux diviseus ositifs de 750 Ligne Décomosition en facteus emies L 0 L 750 L 375 3 3 6 Ensemble des diviseus ositifs L 3 5 5 5 0 5 30 L 4 5 5 5 50 75 50 L 5 5 5 5 50 375 750 Pincie Le nombe est lacé su la ligne L 0 Tout diviseu obtenu à la ligne L i est le oduit d un diviseu figuant su une des lignes écédentes a le facteu emie de la ligne L i Toutefois, si le facteu emie de la ligne L i est le même qu à la ligne L i, il suffit de multilie les diviseus de la ligne L i a le facteu emie de la ligne L i L 6 Les diviseus ositifs de 750 sont ; ; 3 ; 6 ; 5 ; 0 ; 5 ; 30 ; 5 ; 50 ; 75 ; 50 ; 5 ; 50 ; 375 ; 750 5 6
6 ) Nombe de diviseus ositifs d un entie natuel suéieu ou égal à Poiété : Calcul du PGCD Poiété (démonstation facile) : n, les i étant des nombes emies deux à deux distincts et les Si natuels, le nombe de diviseus ositifs de n est égal à i étant des enties en osant min ; PGCD ; a b ou tout entie i tel que i i i i Démonstation : Exemle : Utilisation des incies de dénombement (incie multilicatif) Exemle : a 96 b 40 a 7 b 5 7 996 499 Les nombes et 499 sont emies Le nombe de diviseus ositifs de 996 est égal à : 6 (Les diviseus ositifs de 996 sont tous les enties de la fome 499 avec 0 et 0 ) VII PGCD et PPCM à l aide de la décomosition en facteus emies ) Exemle a 3608 b 3076 3 5 a 3 7 6 b 3 5 PGCD a ; b 3 3 6 PPCM a ; b 3 7 ) Cas généal On considèe deux enties natuels a et b tels que : a et b où :,,, désignent des nombes emies deux à deux distincts ;,, désignent des enties natuels ;,, désignent des enties natuels Attention, cetains enties ami les i ou les i euvent ête nuls donc au sens stict, il ne s agit as des décomositions en facteus emies de a et b PGCD a ; b 7 Commentaies : Cette méthode est aide si l on connaît les décomositions des deux enties en facteus emies mais longue s il faut touve ces décomositions On ne l alique que dans le cas où l on connaît les décomositions des deux enties La méthode des nombes emies ésentée ici emet de détemine le PGCD d une famille finie d enties natuels suéieus ou égaux à Calcul du PPCM Poiété (démonstation facile) : en osant max ; PPCM ; a b Aute fomulation de la oiété : ou tout entie i tel que i i i i Le PPCM de a et b est égal au oduit des facteus emies intevenant dans les deux décomositions de a et b, chacun étant élevé au lus gand exosant avec lequel il figue dans la décomosition de a et b Exemle : a 79 b 638 3 a 3 b 3 7 3 3 PPCM a ; b 3 7 3 707 7 8
Commentaies : Cette méthode est aide si l on connaît les décomositions des deux enties en facteus emies mais longue s il faut touve ces décomositions On ne l alique que dans le cas où l on connaît les décomositions des deux enties La méthode des nombes emies ésentée ici emet de détemine le PPCM d une famille finie d enties natuels suéieus ou égaux à Relation liant PGCD et PPCM On eend les notations écédentes Les exessions du PGCD et du PPCM sous fome de oduits de facteus emies emettent de etouve PGCD a ; b PPCM a ; b ab (dans le cas où a et b ) facilement la elation En effet, ab et min ; max ; min ; PGCD ; PPCM ; max ; min ; max ; a b a b O min ; max ; ou tout entie i tel que i i i i i i i 3 ) Décomosition en facteus emies et nombes emies ente eux Poiété [condition nécessaie et suffisante ou que deux enties natuels suéieus ou égaux à soient emies ente eux] : Deux enties suéieus ou égaux à sont emies ente eux si et seulement si leus décomositions en facteus emies font inteveni des nombes emies difféents Fomulation équivalente : Deux enties suéieus ou égaux à sont emies ente eux si et seulement si aucun facteu emie qui intevient dans la décomosition de l un n intevient dans la décomosition de l aute Fomulation équivalente : Deux enties suéieus ou égaux à sont emies ente eux si et seulement si ils n admettent aucun un diviseu emie commun Conséquence : Deux enties suéieus ou égaux à ne sont as emies ente eux si et seulement si ils admettent un diviseu emie commun Généalisation : 4 ) Retou su la détemination du PGCD de deux enties natuels à ati de leu décomosition en facteus emies On considèe deux enties natuels a et b suéieus ou égaux à e cas : a et b n ont aucun facteu emie commun Dans ce cas, le PGCD de a et b est égal à e cas : a et b ont au moins un facteu emie commun Dans ce cas, le PGCD de a et b est égal au oduit des facteus emies communs aux décomositions de a et b, chacun étant élevé au lus etit exosant avec lequel il figue dans la décomosition de a et b Autement dit, ou détemine le PGCD de deux enties natuels suéieus ou égaux à : - On effectue leus décomositions en facteus emies - On egade s il y a des facteus emies qui aaaissent dans les deux décomositions - Si oui : on écit les facteus emies communs on leu affecte le lus etit exosant qui aaaît dans les deux décomositions ; on effectue le oduit - Si non : on écit diectement que le PGCD vaut 5 ) Utilisation atique de la décomosition en facteus emies ou simlifie une faction La décomosition en facteus emies founit une méthode simle ou simlifie une faction «à la main» Cette méthode est en généal montée aux élèves au collège Exemle : On veut simlifie la faction 4 60 On effectue la décomosition en facteus emies du numéateu et du dénominateu 3 4 3 60 35 que l on écit lutôt 4 3 60 3 5 On simlifie les facteus emies communs au numéateu et au dénominateu (autement dit on simlifie a le PGCD) 4 3 60 3 5 5 On aisonne a condition nécessaie et suffisante La oiété se généalise aisément au cas d une famille finie quelconque d enties natuels suéieus ou égaux à Des enties natuels suéieus ou égaux à (en nombe fini) sont emies ente eux dans leu ensemble si et seulement si ils n ont aucun diviseu emie commun 9 0
VIII Caés et cubes afaits ) Poiété Un entie natuel suéieu ou égal à est un caé afait si et seulement si tous les exosants de sa décomosition en facteus emies sont ais ) Démonstation Soit n un entie natuel tel que n Condition nécessaie ou que n soit un caé afait : Suosons que n soit un caé afait Il existe un entie natuel m tel que n m m donc m eut se décomose comme oduit de facteus emies sous la fome m On a alos : n Pa unicité de la décomosition en facteu emies d un entie, on obtient la décomosition en facteus emies de n et on voit que chaque exosant est ai On en conclut qu une condition nécessaie ou que n soit un caé afait est qu il admette une décomosition en facteus emies où tous les exosants sont ais Condition suffisante ou que n soit un caé afait : On suose que n eut se décomose sous la fome de facteus emies où tous les exosants sont ais Démontons qu alos n est un caé afait La décomosition en facteus emies de n eut s écie sous la fome n On a donc n Donc n m avec m On en déduit que n est un caé afait Conclusion : Une condition nécessaie et suffisante ou qu un entie natuel suéieu ou égal à soit un caé afait est que tous les exosants de sa décomosition en facteus emies soient ais 3 ) Généalisation Un entie natuel suéieu ou égal à est un cube afait si et seulement si tous les exosants de sa décomosition en facteus emies sont des multiles de 3 IX Petit théoème de Femat Piee de Femat (60-665) ) Petit théoème de Femat (admis sans démonstation) est un nombe emie et a est un entie emie avec (c est-à-die a non divisible a ) Alos a est divisible a c est-à-die a (mod ) ) Exemles 6 On eut écie diectement 4 (mod 7) (etit théoème de Femat avec 7 et a 4 emie avec 7) 0 On eut écie diectement 34 (mod ) (etit théoème de Femat avec et a 34 emie avec ) 3 ) Cas de etites valeus de On véifie aisément le etit théoème de Femat ou des valeus aticulièes de (etites valeus de ), a exemle a tableau de conguence 3 ) Coollaie du etit théoème de Femat Énoncé : est un nombe emie et a est un entie elatif quelconque Alos a a est divisible a c est-à-die a a (mod ) Démonstation : e cas : a n est as emie avec Dans ce cas, divise a d où e cas : a est emie avec a 0 (mod ) Dans ce cas, le etit théoème de Femat s alique On a : a (mod ) D où a oduit a a de chacun des deux membes, X Nombes emies aticulies a a (mod ) Il existe des familles de nombes emies tès célèbes : les nombes de Femat, les nombes de Mesenne etc Il y a également une famille de nombes enties intéessants : les nombes de Camichaël Leu étude sea abodée los de thèmes d étude
Aendices Aendice : Liste des nombes emies inféieus ou égaux à 000 3 73 7 79 33 83 353 49 467 547 607 66 739 8 877 947 3 37 79 3 8 39 93 359 4 479 557 63 673 743 8 88 953 Aendice : Algoithmes et ogammes (imalité d un nombe ; décomosition en facteus emies) Algoithme emettant de savoi si un entie natuel est emie (algoithme de imalité) On souhaite édige en langage natuel un algoithme qui, ou un entie natuel n saisi en entée, affiche en sotie s il est emie ou non On se éfèe à la définition d un nombe emie Nous oosons ici deux tests de imalité élémentaies Algoithme La valeu de n saisie en entée doit ête suéieue ou égale à 5 4 83 37 9 4 307 367 43 487 563 67 677 75 83 883 967 7 43 89 39 93 5 3 373 433 49 569 69 683 757 87 887 97 47 97 49 97 57 33 379 439 499 57 63 69 76 89 907 977 3 53 0 5 99 63 37 383 443 503 577 64 70 769 839 9 983 7 59 03 57 69 33 389 449 509 587 643 709 773 853 99 99 9 6 07 63 3 7 337 397 457 5 593 647 79 787 857 99 997 3 67 09 67 7 77 347 40 46 53 599 653 77 797 859 937 Entée : Saisi n Initialisation : d end la valeu Taitement : Tantque d n Faie d end la valeu d FinTantque Sotie : Si d n Alos affiche «le nombe est emie» Sinon affiche «le nombe n est as emie» FinSi 9 7 3 73 9 8 349 409 463 54 60 659 733 809 863 94 Pincie : On teste la divisibilité de n a chaque entie stictement suéieu à (c est-à-die en commençant a ) Il y a deux cas Dès que l on a touvé un diviseu, on sot de la boucle Ce diviseu sea stictement inféieu à n Dans ce cas, n est emie Si l on n a as touvé de diviseu stictement inféieu à n (et suéieu ou égal à ), la valeu de d avant le denie assage dans la boucle est n Du cou, la valeu de d aès le denie assage dans la boucle sea n Dans ce cas, le seul diviseu de n stictement suéieu à est n et, a conséquent, n est emie Quelques emaques : L algoithme utilise les vaiables n et d qui sont des enties natuels Cet algoithme ne mache as ou Il est intéessant de faie toune cet algoithme «à la main» su quelques valeus de n ou voi comment il fonctionne 3 4
Pogamme su calculatice TI : : Pomt N : D : While emainde N, D 0 [ou selon le modèle de calculatice : D D : If D N : Then : Dis "LE NOMBRE EST PREMIER" : Else : Dis "LE NOMBRE N EST PAS PREMIER" Quelques emaques : Comment touve les guillemets : Su la TI 83-Plus, il faut faie alha uis + Comment touve l aostohe : atdéc N / D 0] Su la TI 83-Plus, il faut faie nde uis 0 uis emonte avec la flèche et c est le deuxième symbole en atant du haut On aelle ci-dessous comment on taduit la divisibilité d un entie a un aute en langage de ogammation de la calculatice Pou les calculatices TI bleues, on utilise la fonction «atie décimale» (atdéc ou fpat) de la calculatice que l on touve en faisant math uis NUM et choix 4 On taduit «A B» a «atdéc A / B 0» Pou les calculatices TI noies, on utilise la commande donnant le este de la division euclidienne (emainde ou este) que l on touve en faisant math uis NUM et choix 0 En effet, on avait vu los de l étude des diviseus ositifs d un entie natuel non nul que les diviseus fonctionnent a aies Pogamme su calculatice TI Entée : Saisi n Initialisation : d end la valeu Taitement : Tantque d n et d n Faie d end la valeu d FinTantque Sotie : Si d n Alos affiche «le nombe est emie» Sinon affiche «le nombe n est as emie» FinSi : Pomt N : D : While emainde N, D 0 and D N : D D : If D N : Then : Dis "LE NOMBRE EST PREMIER" : Else : Dis "LE NOMBRE N EST PAS PREMIER" On taduit «A B» a «emainde B, A 0» Le «et» ou «and» se touve dans nde math (tests) Choisi LOGIQUE et sélectionne : et ou : and Il est intéessant de teste le ogamme ou difféentes valeus de N Pa exemle, ou le nombe 789 (qui est un nombe emie), cela met un eu lus de tems Même chose ou le nombe 07 qui est emie! Algoithme (amélioation de l algoithme ) : L algoithme emet de gagne du tems ou des gands nombes On ajoute la condition d n qui est équivalente à d n 5 Algoithme de décomosition d un entie natuel comme oduit de facteus emies On souhaite édige un algoithme qui, ou un entie natuel n saisi en entée, affiche les diviseus emies de n éétés autant de fois qu ils aaaissent dans la décomosition en facteus emies On se éfèe à la démonstation de l existence de la décomosition en facteus emies, qui est constuctive On s auie su la démonstation de l existence de la décomosition en facteus emies, qui est constuctive 6
Langage intemédiaie Cheche le lus etit diviseu d de n Remlace n a n d Recommence jusqu à obteni la valeu Algoithme [algoithme sans liste à comende et à savoi éécie afaitement] On aelle que la valeu de n saisie en entée doit ête suéieue ou égale à Entée : Saisi n Initialisation : d end la valeu Taitement et sotie : Tantque n Faie Si d n Alos affiche d n end la valeu n d Le 6-4-06 On eut faie toune le ogamme «à la main» ou une valeu de n saisie en entée (a exemle 60) Étae Test n Test d n n d 0 60 vai vai 30 vai vai 5 3 vai faux 5 3 4 vai vai 5 3 5 vai faux 5 5 6 vai vai 5 7 faux Quelques emaques : FinTantque Sinon d end la valeu d FinSi Vaiante : On eut aussi emlace l instuction conditionnelle a une deuxième boucle «Tantque» (voi Live TS sé ogamme 0 collection Indice cous su les nombes emies) L algoithme utilise les vaiables n et d qui sont des enties natuels Il est intéessant de faie toune cet algoithme «à la main» ou quelques valeus de n ou voi comment il fonctionne Il est imotant de comende que le contenu de la vaiable n évolue au fu et à mesue de l algoithme, en aticulie dans la condition (ou test) «n» où elle aaaît (c est toujous le cas dans les boucles «Tantque») En sotie, les facteus emies aaaîtont dans l ode coissant On ogamme aisément cet algoithme su calculatice 7 8
Algoithme [vesion oéationnelle de l algoithme ou la ogammation] : Pomt N : D : While N emainde N, D 0 : If : Then : Dis D : N/D N : Else : D D Algoithme [vesion non oéationnelle ou la ogammation, à savoi éécie afaitement] L entie natuel n saisi en entée doit véifie la condition n Entée : Saisi n Initialisations : d end la valeu i end la valeu Taitement : Tantque n Faie Si d n Alos Li end la valeu d i end la valeu i On utilise une liste L Entée : Saisi n n Initialisation : d end la valeu FinTantque Sotie : Affiche L n end la valeu n d Sinon d end la valeu d FinSi Taitement : Tantque n Faie Si d n Alos ajoute d à la liste L n end la valeu n d Sinon d end la valeu d FinSi FinTantque Sotie : Affiche L Dans la liste L affichée en sotie, les diviseus emies seont donnés dans l ode coissant Pogamme ou calculatice TI : : EffListe L [alle dans stats 4 : ] : Pomt N : D : I : While N emainde N, D 0 : If [ou fpat N / D 0 ou atdéc N / D 0 ] : Then L I (bien note que c est la lette I et qu il faut mette des aenthèses} : D : I I : N/D N : Else : D D : Dis L 9 30
Pou voi la liste L, on fait nde (L) uis on auie su la touche ente Algoithme 3 [amélioation de l algoithme ] : Les diviseus emies de n euvent ête ou des enties emies imais On modifie l algoithme écédent ou taite le cas du diviseu éventuel uis les autes diviseus emies ossibles Algoithme 4 [amélioation de l algoithme 3] : Il est imotant de comende que la vaiable n évolue au fu et à mesue de l algoithme, en aticulie dans la condition (ou test) «d n» De même, sauf si n est emie, la valeu de n dans l instuction «L i end la valeu n» n est as celle saisie en entée En sotie, les facteus emies aaaîtont dans l ode coissant Pogamme coesondant su calculatice TI On sait qu il suffit de teste les diviseus inféieus ou égaux à n Entée : Saisi n Initialisations : d end la valeu c end la valeu i end la valeu Taitement : Tantque d n Faie Si d n Alos FinTantque L i end la valeu n Sotie : Affiche la liste L Li end la valeu d i end la valeu i n end la valeu n d Sinon d end la valeu d c c end la valeu FinSi Quelques emaques : : Pomt N : D : C : I : EffListe L [ou ClList L] : While D N : If emainde N, D 0 [ou : Then : D L(I) : I I : N/D N : Else : D C D : C : N L(I) : Dis L fpat N / D 0 ] Quelques emaques : L algoithme utilise les vaiables n, c, d, i qui sont des enties natuels Il fait aussi inteveni une liste L suosée céée au moment de l algoithme (déjà vu dans le chaite «Algoithmes liés à la division euclidienne») Le ogamme eend les oiétés du cous (notamment le lemme du II ) : le lus etit diviseu ositif stictement suéieu à d un entie natuel est un nombe emie) ClList ou EffListe : touche stats EDIT et choisi 4 : fpat signifie la atie décimale et as la atie entièe Il est intéessant de faie toune cet algoithme «à la main» ou quelques valeus de n ou voi comment il fonctionne Il est imotant de comende l intéêt d utilise une liste 3 3
Affichage obtenu losque l on fait toune ce ogamme : Pa exemle, ou 45, on aua l affichage suivant : gmfactprem N? 45 3 3 5 DONE Aendice 3 : Somme des diviseus ositifs d un entie natuel i i La fomule n doit ête sue a cœu i 0 0 0 i Aendice 4 : Le théoème de Wilson Énoncé : Soit un entie suéieu ou égal à Si! [] (), alos est emie n est un entie natuel suéieu ou égal à dont la décomosition en facteus emies s écit n où,, sont des nombes emies deux à deux distincts ;,, sont des enties natuels non nuls Les diviseus ositifs de n sont tous les enties de la fome avec 0, 0, 0 Notons n la somme des diviseus ositifs ou nuls de n n 0 0 On a : 0 0 0 0 0 0 John Wilson, né le 6 août 74, à Alethwaite, dans le Westmoland et mot le 8 octobe 793, à Kendal, dans le Westmoland, est un mathématicien bitannique Il est connu ou avoi énoncé, sans démonstation, un théoème su les nombes emies qui ote son nom Wilson étudie à l univesité de Cambidge, à Petehouse Il y est un étudiant de Edwad Waing Il devient membe de la Royal Society en 78 Il se consace ensuite au baeau Le emie texte actuellement connu à faie éféence à ce ésultat est dû au mathématicien aabe Alhazen (965-039) Ce théoème est connu à ati du XVII e siècle en Euoe Gottfied Wilhelm von Leibniz (646-76) fait éféence à ce ésultat sans le démonte John Wilson edécouve ce qu il coit ête une conjectue et en atage la découvete avec son ofesseu Edwad Waing, qui ublie cette conjectue en 770 Démonstation : èe démonstation : D aès (), il existe k tel que! k ce qui donne k! Donc d aès le théoème de Bezout, et! sont emies ente eux O,! est le oduit de tous les enties de à Donc n est divisible a aucun entie inféieu à lui-même On en déduit que est emie i i i i Gâce à cette fomule, on eut aisément démonte que si m et n sont deux enties natuels emies ente eux, mn m n on a : Une telle fonction aithmétique est aelée fonction multilicative 33 e démonstation : D aès (), il existe k tel que Soit d un diviseu ositif de Suosons que d d où d On a donc d! Pa suite, d On en déduit que d et que est emie! k ce qui donne k! 34
Récioque : La écioque est vaie mais nous n allons as la démonte Aendice 5 : Reésentation des nombes chez Euclide Extait du live Math x TS sé ogamme 0 age 73 Point info Ce cible constuit en 934 a un jeune étudiant indien du nom de Sundaam, emet de conclue su la imalité d un entie natuel Mais comme le cible d Éatosthène qui date, lui, du III e siècle avant note èe, son utilisation ou des gands nombes est beaucou to goumande en note tems Aendice 6 : Cible de Sundaam Le cible de Sundaam emet de liste les enties natuels imais non emies gâce à des suites aithmétiques lacées en colonnes Il est basé su le fait qu en déteminant l ensemble des nombes imais comosés, on eut en déduie l ensemble des nombes emies La colonne numéo n a ou emie teme n et ou aison 4n Pa conséquent, un nombe imai stictement suéieu à, absent de ce tableau, sea emie En effet, considéons deux nombes imais quelconques I n et I Alos on eut écie que : I n k Alos le oduit vaut : I I n n k 4n n Ainsi, en faisant vaie n et k on obtient l ensemble des oduits de deux nombes imais que l on eoduit dans ce tableau n 9 5 5 35 49 7 45 63 8 33 55 77 99 39 65 9 7 43 69 45 75 05 35 65 95 5 5 85 9 53 87 55 89 57 95 33 7 09 47 85 33 36 63 05 47 89 3 73 35 357 399 44 69 5 6 07 53 99 345 39 437 483 59 Sundaam était un mathématicien indien Le cible qu il ublia en 934 était un eu difféent du modèle cidessus Il contenait les valeus n telles que n ne soit as emie Le tableau ci-dessous offe diectement les valeus n 35 36