PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos PGCD, PPCM DANS Z THEOREME DE BEZOUT APPLICATIONS PGCD Proposto Soet,,, L'esemble des dvseurs commus à,, est f et dmet doc u plus grd élémet Démostrto Soet,,, {,,,, } Sot = { } D x x D / O cr D S x D, lors x et doc x D est doc ue prte o vde et mjorée de doc D dmet u plus grd élémet Défto Soet,,, S D désge l'esemble des dvseurs commus à,,, l proposto motre que D dmet u plus grd élémet Ce plus grd élémet est ppelé PGCD de,,, oté PGCD (,, ) S =, o ote = PGCD( ; ) Coséquece : Notos δ = PGCD (,, ) S d D, lors d δ 3 Théorème Les sous groupes de (, + ) sot de l forme k, vec k Démostrto Sot k Alors ( k, + ) est u groupe (fcle à vérfer) Sot G u sous groupe de (, + ) Alors G O/ S { 0} G =, lors 0 exste G, vec 0 S > 0, lors G S < 0, lors G G, + est u groupe) et > 0 doc G (cr ( ) G est doc ue prte o vde de G = S G { 0} doc dmet u plus pett élémet, oté k, lors l Motros qu'lors G = k O motre pr ue récurrece mmédte que pour tout, k G, pus que pour tout, k G Pr coséquet, k G S DUCHET wwwepslo000frst /
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Sot x G r, tel que x = k + r, vec 0 r < k x G et k G doc ( x k) G, c'est-à-dre r G S r 0, lors r G et r < k, ce qu cotredt l défto de k Doc r = 0 et doc x = k Doc x k et doc G k o effectue l dvso eucldee de x pr k : l exste ( ) 4 Proposto Soet,,,, δ = PGCD(,, ) Alors δ = Démostrto Sot x Il exste x,, x tels que x = x δ = PGCD (,, ) doc δ dvse tous les Pour tout {,, } Doc x = δδx Comme Doc = δ δx δ x, l e résulte que x δ δ, l exste δ tel que δδ = Motros qu'l exste d tel que = d :, + est u sous groupe de (, + ) doc l exste d tel que théorème 3 d 0 cr {} 0 pusque les sot o uls = d (d'près le Comme d d, o e dédut que d δ = d d doc d δ Il exste doc d ' tel que d = δ d' δ et d dvset les doc 0 < d δ, c'est-à-dre 0 < δ d ' δ E dvst pr δ, o obtet 0 < d ' d ' doc d ' = et doc d = δ Doc = δ 5 Proposto Soet, λ,,, Alors λ λ λ PGCD (,, ) = PGCD(,, ) S DUCHET wwwepslo000frst /
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Démostrto Soet, λ,,, Soet δ = PGCD (,, ) et d = PGCD( λ, λ ) D'près l proposto 4, Doc d = ( λδ ) et doc d = λδ λ = d Or λ = λ = λ( δ ) = ( λδ) d et δ étt des ombres postfs, l vet d = λ δ 6 Proposto Soet,,,, δ = PGCD(,, ) Démostrto Alors : { },, δ Supposos que pour tout { } Alors pour tout {,, } Doc cr (, + ),,,, doc est u groupe O e dédut que δ et doc que δ Supposos mtet que δ, c'est-à-dre que δ Doc δ, c'est-à-dre {,, }, doc et doc 7 Proposto Soet ( b, ) l exste u uque couple (, ) eucldee) Alors PGCD (, b) = PGCD ( b, r) = bq+ r qr tel que 0 r < b (dvso Démostrto S c et cb, lors c ( bq), c'est-à-dre cr Doc s c dvse et b, lors c dvse b et r S cb et cr, lors c ( bq+ r), c'est-à-dre c Doc s c dvse b et r, lors c dvse et b Pr coséquet, les dvseurs de et b sot les dvseurs de b et r Doc PGCD (, b) = PGCD ( b, r) 8 Algorthme d'euclde L'lgorthme d'euclde permet de clculer le PGCD de deux eters turels, e utlst le résultt de l proposto 7 Soet b,, vec b q quotet de l dvso eucldee de pr b r reste de l dvso eucldee de pr b S r = 0 lors PGCD ( ; b) = b S DUCHET wwwepslo000frst 3/
so tt que r 0 b b r q quotet de l dvso eucldee de pr b r reste de l dvso eucldee de pr b f tt que PGCD = b PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos S o ote r, r l sute des restes obteus e effectut les dvsos eucldees successves, o : b> r > r > 0 L'lgorthme s'rrête doc et l exste = bq+ r 0 < r < b b= rq + r 0 < r < r = r q + r r 0 < r < r et r r tel que : Exemple : clcul de PGCD (900 ;848) : 900 = 848 4 + 708 848 = 708 + 40 708 = 40 + 8 40 = 8 5 + 0 doc PGCD (900 ;848) = PGCD (848 ;708) = PGCD (708 ;40) = PGCD (40 ; 8) = 8 Nombres premers etre eux Défto Soet,,, O dt que,, sot premers etre eux ds leur esemble s PGCD ( ;; ) = O dt que,, sot deux à deux premers etre eux s pour tous, j,, tels que j, PGCD ( ; ) = { } j Remrque : s,, sot deux à deux premers etre eux, lors,, sot premers etre eux ds leur esemble cr PGCD ( ;; ) = PGCD ( ; 3 ;; ) = PGCD (; ; ; ) = L récproque est fusse : PGCD (6 ;0 ;5) = ms PGCD (0 ; 5) Proposto ( ) bc,,, b= etcb c= Démostrto Soet bc,, S DUCHET wwwepslo000frst 4/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Supposos que b= et cb Sot d u dvseur ds commu à et c dc doc db Doc d est u dvseur commu à et b Doc d = (cr b= ) Pr coséquet, le seul dvseur commu à et c ds est 3 Théorème de Bézout Soet,,, Alors,, sot premers etre eux ds leur esemble s et seulemet s l exste u,, u tels que u = Démostrto Soet,,, Supposos que,, sot premers etre eux ds leur esemble lors PGCD ( ; ; ) = et doc = doc pr coséquet, l exste u,, u tels que u = Supposos mtet qu'l exste u,, u tels que doc u = Notos δ = PGCD ( ; ; ) δ l exste lors d tel que = δ d Cette églté mpose δ = d = δ étt postf, l vet δ = Doc PGCD ( ;; ) = (c'est-à-dre,, sot premers etre eux ds leur esemble) 4 Théorème de Guss Soet bc,, S bc et s b =, lors c Démostrto Soet bc,, Supposos que bc et b= b= doc d'près le théorème de Bézout, l exste uv, tels que u + bv = Alors cu + bcv = c cu et bcv (cr bc) doc ( cu+ bcv), c'est-à-dre c 5 Proposto Soet { },,,,,, = = ( ) S DUCHET wwwepslo000frst 5/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Démostrto Notos P() l proprété suvte : ( {,, }, = ) = Pour = : P() est évdete : = =! Pour = : o suppose que = et = D'près le théorème de Bézout, l exste u, v tels que u+ v = De même, l exste u v tels que u + v = E multplt membre à membre les deux égltés, o obtet :, ( u + v )( u + v ) =, ce qu s'écrt ecore ( uu uv vu ) ( vv ) + + + = comme uu + uv + vu et vv, d'près le théorème de Bézout, o e dédut que ( ) = Doc P() est vre Sot, Supposos que P() est vre Supposos que {,, + }, = {,, }, = doc = d'près P() = et = doc + + = cr P() est vre + Doc =, et doc P(+) est vre Doc pour tout, P() est vre Supposos mtet que = Comme pour tout {,, }, l proposto ), l e résulte que pour tout {,, }, = (d'près 3 PPCM 3 Proposto Soet,,, l'esemble des multples commus de,, dmet u plus pett élémet Démostrto Soet,,, Sot = { } {,,,, } M x x S DUCHET wwwepslo000frst 6/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos M / O cr élémet M M est doc ue prte o vde de Pr coséquet m dmet u plus pett 3 Défto Soet,,, S M désge l'esemble des multples commus de,,, l proposto 3 motre que M dmet u plus pett élémet Ce plus pett élémet est ppelé PPCM (plus pett multple commu) de,,, oté PPCM ( ;; ) S =, o ote = PPCM ( ; ) Coséquece : Notos µ = PPCM ( ;; ) S m M, lors µ m 33 Proposto Soet,,,, µ = PPCM ( ;; ) Alors µ = Démostrto Soet,,,, µ = PPCM ( ;; ) Sot x µ,, x est u multple de µ Pour tout { } {,, } µ, x est u multple de, c'est-à-dre, + est u sous groupe de (, + ) D'près le théorème 3, l exste m tel que à motrer que µ = m µ µ = mz et z cr = m doc µ m µ, m m, µ est u multple de doc pour tout x Doc x Pr coséquet, cr c'est u tersecto fe de sous groupes de (, + ) = m Les étt o uls, m 0 l reste, et doc µ m Il exste lors z tel que doc m est u multple commu de,, µ étt le plus pett multple commu de,,, o : µ m, c'est-à-dre 0 < mz m E dvst l derère églté pr m, o obtet : 0< z Doc z = et doc µ = m 34 proposto Soet, λ,,, Alors PPCM ( λ ;; λ ) λ PPCM ( ;; ) = S DUCHET wwwepslo000frst 7/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Démostrto Soet, λ,,, Soet µ = PPCM ( ;; ) et m = PPCM ( λ ;; λ ) = µ et λ = m Or, λ = λ Doc m = λµ m et µ étt postfs, l vet m = λ µ doc m = λ ( µ ) = ( λµ ) 35 Proposto,,,,, m = PPCM,, Soet ( ) { } Démostrto,,,,, m = PPCM,, Soet ( ) Supposos que pour tout {,, } Supposos mtet que m Alors m, c'est-à-dre {,, },,, c'est-à-dre pour tout {,, },,, m Alors m et doc m,, c'est-à-dre pour tout 36 Proposto Soet,,, S,, (,, ) PPCM = sot premers etre eux deux à deux, lors Démostrto Soet,,, O suppose que,, sot premers etre eux deux à deux Sot µ = PPCM (,, ) est u multple commu de,, Motros que ps µ (d'près l proposto doc µ dvse µ S ce 'étt ps le cs, l exstert {,, } tel que e dvse 37 Proposto Soet b, Alors ( )( ) b b = b S DUCHET wwwepslo000frst 8/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Démostrto Soet, b, δ = b, µ = b δ = b Il exste doc ', b' tels que le PGCD de et b) b= ( δ ') ( δb') ( ' b' ) = δ = δ b ' ' d'près l proposto 36 Doc δ ( b) = δ ' b' = b = δ ' et b= δb', et ' b' = (so δ e sert ps 4 Applctos 4 Théorème Soet,, x x est versble ds / s et seulemet s x = Démostrto Soet,, x Supposos x versble ds / Il exste y / tel que x y =, ou ecore x y ( ) l exste lors q tel que x y = q O e dédut que xy + ( q) = D'près le théorème de Bézout, l e résulte que x = Supposos mtet que x = D'près le théorème de Bézout, l exste x u+ v = x u+ v = x u+ v = x u+ v = x u = cr = 0 doc x est versble ds / (, ) uv tel que : 4 Corollre Sot p Démostrto Sot p / p est u corps s et seulemet s p est u ombre premer (,, ) k k p k p= p premer S / p est u corps lors tout élémet o ul de / p est versble doc pour tout k vérft k p, k p= p est doc premer S DUCHET wwwepslo000frst 9/
PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos S p est u ombre premer lors pour tout k vérft k p (c'est-à-dre tout élémet o ul de / p ), k p= Doc k est versble 43 Théorème de Wlso U eter p est premer s et seulemet s ( p )! ( p) Démostrto Sot p, p Supposos p premer p ( p )! = k k = Tous les eters tervet ds ce produt sot versbles ds / p cr / p est u corps cr p est premer p Ds le produt k, o peut regrouper les termes deux à deux (chque terme vec so verse), k = pus les termes qu sot leur propre verse p Le produt k est lors égl u produt des termes qu sot leur propre verse k = x / p est so propre verse s = p p Doc k = = et doc ( p )! ( p) k = Supposos ( p )! ( p) p Sot d u dvseur de p, dfféret de Sot q = d ( p )! ( p) doc d( p )! d ( p) p d( p )! = dq k 0 ( p) cr dq = p 0 ( p) k = k q x =, c'est-à-dre ( x )( x ) d est lors u multple de p d est à l fos u multple de p et u dvseur de p dfféret de doc d = p p ' doc que deux dvseurs : et p p est doc u ombre premer + = 0 l y deux termes : et 44 Idcteur d'euler Sot, o ote ( ) focto ϕ est ppelée dcteur d'euler () S p est u ombre premer, lors ϕ ( p) = p ; () S p est u ombre premer et s ϕ le ombre d'élémets de l'esemble { k, k, k = }, lors ϕ ( p ) ( p ) p = ; l S DUCHET wwwepslo000frst 0/
() S m,, m=, lors ϕ( m) = ϕ( m) ϕ( ) PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Démostrto () Sot p u ombre premer Alors pour tout k, vec k p, k p= Doc ϕ ( p) = p () Sot p u ombre premer et u eter turel o ul, k k p, k p = p étt premer, les seuls eters k O s'téresse à l'esemble { } cocerés sot ceux qu e dvset ps ϕ( p ) = p p = ( p ) p p Il y p dvseurs de p doc () Soet pq, tels que p q= D'près le théorème Chos, / pq est somorphe à / p / q Notos φ l focto défe u prgrphe Erreur! Source du revo trouvble Notos : pq E = x / pq, x pq= pq p { } p { /, } p { /, } E = x p x p= E = x q x q= q Motros que φ est ue bjecto de E pq ds Ep Eq Sot pq x Epq Alors x pq= D'près le théorème de Bézout, l exste ( r; s) tel que rx + spq = De cette églté, l résulte que x p= et x q = (toujours d'près le théorème de Bézout) f E E E Doc ( ) Sot ( p q ; ) pq p q x y E E p q x p= doc l exste ( r; s) tel que xr+ ps = y q= doc l exste ( r ; s) tel que yr + qs = pq Il exste z / pq tel que φ ( z) = ( x; y) cr φ est bjectve p p z = x Doc q q z = y Doc z x p Il exste k tel que x = z+ k p De même, z y q Il exste k tel que y = z+ kq Des égltés xr+ ps = et x = z+ k p, o dédut : ( z+ kp) r+ ps = Des égltés yr + qs = et y = z+ kq, o dédut : ( z+ kq) r + qs = E multplt membre à membre les deux derères égltés obteue, o obtet : ( zr+ pu)( zr + qu) =, vec u = kr+ s et u = kr + s ( ) z zrr rqu pur pquu Doc z pq= + + + = S DUCHET wwwepslo000frst /
φ E = E E Doc ( ) pq p q E pq est doc e bjecto vec Ep Eq ( pq ) = ( p q ) ( pq ) ( p ) ( q ) crd E crd E E PGCD, PPCM ds Z Théorème de Bézout - Applctos Ces esembles sot fs doc ls ot le même crdl : crd E = crd E crd E, c'est-à-dre ϕ( pq) = ϕ( p) ϕ( q) S DUCHET wwwepslo000frst /