M- SE - ST Géométrie dans l'espace Exercice Dans l'espace muni du repère orthonormé O, i, j, k, on considère les points : A; ; -, B; ; C; -; 0. - Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC AB AC. Les vecteurs AB AC colinéaires? Que peut-on en déduire pour les points A, B C? - Soit D; 0;. Ce point appartient-il au plan défini par A, B C? Exercice Soit m un nombre réel. Dans l'espace muni du repère orthonormé O, i, j, k, on considère les points : A; ; -, B-; 5; - C-; ; m. - Exprimer, en fonction de m, les coordonnées des vecteurs BC AC, puis les longueurs BC AC. Que peut-on en déduire sur la nature du triangle ABC? - Existe-t-il des valeurs de m pour lesquelles le triangle ABC est équilatéral? Exercice Dans l'espace muni du repère orthonormé O, i, j, k, on considère le point ; ; 0 on appelle S la sphère de centre de rayon. - Donner une équation de la sphère S. - Soit u = i j k. On appelle D la droite de vecteur directeur u passant par. Montrer que pour tout point Mx; y; z de la droite D il existe un réel m tel que : x=m y= m. z=m - La droite D coupe la sphère S en deux points A B avec x A > x B. Déterminer les coordonnées de A B. - Calculer AB en utilisant les coordonnées de A B. Comment pouvait-on prévoir ce résultat sans calcul? Année scolaire 008-09 - 6
M- SE - ST Géométrie dans l'espace Exercice ABCDEFGH est un cube I J sont les milieux des segments [HE] [FB]. Déterminer les coordonnées des points B, G, I, H, J M milieu de [HJ] dans le repère E I H F G A; AB; AD; AE. Démontrer que la droite HJ coupe le plan BGI en M K A D M J B C Exercice 5 L espace est rapporté à un repère orthonormé O ; i, j, k. On considère les points A ; 0 ; -, B- ; 0 ; 0, C ; -6 ;, D ; -9 ; 5 E ; -6 ;. Montrer que les points A, B, C D sont coplanaires. Montrer que le point D appartient à la droite AE. Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle? Est-ce un carré? Année scolaire 008-09 - 6
M- SE - ST Exercice.On a AB, AC 6 AB AC 6. Ce produit vectoriel est non nul donc les vecteurs AB AC ne sont donc pas colinéaires. Les points A, B C ne sont pas alignés, ils définissent un plan. - D appartient au plan défini par A, B C s'il existe deux réels x y tels que AD= xab yac. Comme AD 0 6 x y=0, cela revient à trouver deux réels x y tels que x y= xy=6. x y=0 On a : x y= xy=6 y = x y = x y = y = 6x=6 x = Ainsi AD=ABAC, les points A, B, C D sont donc coplanaires. Exercice 0 - - On a BC - AC 0. On en déduit que BC= AC=6m m+ m+ Le triangle ABC est donc isocèle de somm. principal C.. - On a AB 0 donc AB=. Le triangle ABC est équilatéral AB = BC = AC 6m = 6 + m + = m + 6m 7 = 0 m = ou m = 7 Par suite, ABC est donc équilatéral pour m = pour m = -7. Année scolaire 008-09 - 6
M- SE - ST Exercice - x + y + z = 9 est une équation de la sphère S de centre de rayon. - Si M est sur D, les vecteurs M u sont colinéaires, il existe donc un réel m tel que M=mu. Cela donne, avec les coordonnées x =m y = m z=m x=m, soit y= m. z=m - Un point d'intersection de D S doit vérifier en même temps x + y + z = 9 x=m y= m. z=m On en déduit que m + m +m = 9 6 m = 9 m = ou m = On obtient donc S D = A ; ;,B ; _ ; - On a AB On en déduit que : AB= 6 =6=6. Comme D passe par le centre de la sphère, [AB] est un diamètre, sa longueur est donc AB =. = 6 U } Exercice. On a AB - 0, AC AD Cherchons s il existe deux réel x y tels AD = xab+ yac Il faut donc résoudre le système = x 9 = 6y 6= x + 5y x = y = 6 = + 5 Or la troisième ligne est toujours vraie donc AD AB = + AC Ce qui montre que les trois vecteurs sont coplanaires par conséquent que les quatre points 0-6 5 A, B, C D sont coplanaires -9 6 Année scolaire 008-09 - 6
M- SE - ST. On a AD AE -9-6 6 Les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles : = ; 9= 6 6= Donc AD = AE par conséquent, les vecteurs sont coplanaires les points A, D E sont alignés. AB - 0-0 EC Les vecteurs sont donc égaux, ce qui prouve que le quadrilatère ABCE est un parallélogramme Pour montrer que c est un rectangle on peut : Soit montrer que les diagonales ont la même longueur : AC = 0 + 6 + 5 = 6 BE = + 6 + = 6 donc les diagonales [AC] [BE] ont la même longueur par conséquent, le parallélogramme ABCE est un rectangle Soit montrer que le triangle ABC est rectangle en B AB BC = + 0 + = 5 = + 6 + = 56 donc + 6 AB BC = or 0 6 5 6 AC = + + = = On a donc AB + BC = AC donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B par conséquent, le parallélogramme ABCE a un angle droit, c est un rectangle On a AB BC = + 0 + = 5 = + 6 + = 56 donc AB BC Le rectangle n a pas ses cotés de même longueur, ce n est pas un carré. Année scolaire 008-09 5-6
M- SE - ST Exercice 5. On a B ; 0 ; 0 G ; ; I 0 ; ; H0 ; ; J ; 0 ; M est le milieu de [HJ] donc 0 0 + M ; ; + + M ; ;. Démontrer que la droite HJ coupe le plan BGI en M revient à prouver que M appartient au plan BGI - 0 On a BI BG BM Cherchons s il existe deux réel x y tels BM = xbi + ybg = x Il faut donc résoudre le système = x + y = x + y = x = x + y = x + y x = = + y = + y x = y = y = x = y = On a donc BM BI = + B G Ce qui montre que les trois vecteurs sont coplanaires E I H M F G par conséquent que les quatre points B, I, G M sont coplanaires A D B C Année scolaire 008-09 6-6