Analyse pour l Ingénieur

Analyse pour l Ingénieur p 2 Analyse pour l Ingénieur Georges KOEPFLER UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes 45 rue des Saints-Pères 75270 PARIS cedex 06, France Analyse pour l Ingénieur p 1 Plan Comparaison locale de fonctions Fonctions à plusieurs variables réelles Intégrales multiples Séries de FOURIER

Analyse pour l Ingénieur p 4 Comparaison locale de fonctions Analyse pour l Ingénieur p 3 Comparaison locale de fonctions On va présenter trois types de relations locales entre deux fonctions f et g en un point x 0 de R : (E) f et g sont équivalentes quand x tend vers x 0 ; (N) f est négligeable devant g quand x tend vers x 0 ; (D) f est dominée par g quand x tend vers x 0 Pour x 0 R on va définir un voisinage de x 0 V (x 0 ) : si x 0 R, alors V (x 0 ) = {x R / x x 0 < ε} =]x 0 ε, x 0 + ε[, pour ε > 0 donné (suffisamment petit) ; si x 0 est +, alors V (x 0 ) = {x R /x > A} =]A, + [, pour A > 0 donné (suffisamment grand) ; si x 0 est, alors V (x 0 ) = {x R /x < A} =], A[, pour A > 0 donné (suffisamment grand) ;

Analyse pour l Ingénieur p 6 Comparaison locale de fonctions : équivalence Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est équivalent à g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et une fonction k : D V (x 0 ) R telle que f(x) = g(x)k(x) pour tout x D V (x 0 ) et lim x x 0 k(x) = 1 On note f(x) g(x) pour x x 0 Proposition Soit D R, x 0 R et f, g, f 1, g 1 : D R avec f(x) g(x) pour x x 0 et f 1 (x) g 1 (x) pour x x 0 Alors f(x)f 1 (x) g(x)g 1 (x) pour x x 0 ; si 0 f 1 (D), 0 g 1 (D) : f(x) f 1 (x) g(x) g 1 (x) pour x x 0 ; mais, en général : f(x) + f 1 (x) g(x) + g 1 (x) pour x x 0 Analyse pour l Ingénieur p 5 Comparaison locale de fonctions : négligeable Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est négligeable devant g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et une fonction k : D V (x 0 ) R telle que f(x) = g(x)k(x) pour tout x D V (x 0 ) et lim x x 0 k(x) = 0 On note f(x) = o(g(x)) pour x x 0 Proposition f(x) g(x) pour x x 0 f(x) g(x) = o(g(x)) pour x x 0 Exemples : si et seulement si ) ( ) (f(x) = o(1) pour x x 0 lim f(x) = 0 x x 0 ln(x) = o(x α ) quand x + et x α = o(e x ) quand x + pour tout α R +

Analyse pour l Ingénieur p 8 Comparaison locale de fonctions : dominé Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est dominé par g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et M R + telle que f(x) M g(x) pour tout x D V (x 0 ) On note f(x) = O(g(x)) pour x x 0 Exemple : ) ) (f(x) = O(1) pour x x 0 (f(x) reste borné pour x x 0 Remarques o(g(x)), resp O(g(x)), désigne une fonction négligeable devant, resp dominée par, g(x) quand x tend vers x 0 Écrire uniquement o(g(x)) ou O(g(x)) (sans indiquer x 0 ) n a pas de sens Analyse pour l Ingénieur p 7 Comparaison locale de fonctions O(f) ± O(f) = O(f), O(O(f)) = O(f), O(f)O(g) = O(fg), o(f) ± o(f) = o(f), o(o(f)) = o(f), o(f)o(g) = o(fg), O(f) ± o(f) = O(f), O(o(f)) = o(f), o(o(f)) = o(f) Exemples : sin(x) = o( x) quand x 0 et sin(x) = O(x) quand x 0 3N 2 + N 1 + N 2 N + N ln(n) = O(N 2 ) quand N +

Analyse pour l Ingénieur p 10 Fonctions de plusieurs variables réelles Analyse pour l Ingénieur p 9 Introduction On se propose d étudier des fonctions qui dépendent de plus que d un seul paramètre réel et qui sont à valeurs réelles : x = (x 1,, x d ) D R d f(x 1,, x d ) R où D R d est le domaine de définition de la fonction f Le graphe de f est un sous-ensemble de R d+1 : (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 Les domaines D inclus dans R 2 (ou R 3, ) peuvent avoir des formes très diverses et pour aller d un point a D à un point b D il existe en général une infinité de chemins, en opposition avec la situation sur la droite réelle R! 00000 11111 00000000 11111111 00 11 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000 111111111111 0000 1111 00000 11111 00000 11111 0000 1111 0000 1111 000 111 00000 11111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000000 11111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000 1111 D 1 D 2 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000 111111 000000 111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 D 3 D 4 00000 11111 000000 111111 000000 111111 00000 11111 00000 11111

Analyse pour l Ingénieur p 12 Introduction : exemple Exemple : La fonction f(x, y) = 1 + 1 x 2 y 2 est définie pour tout (x, y) Domf = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 1} Son graphe est une surface incluse dans R 3 : z 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 00 15 10 05 000510 y 15 15 10 05 00 Domf Dans la suite on va se demander si cette fonction est : continue, régulière, intégrable x 05 10 f 15 Analyse pour l Ingénieur p 11 Norme, suites On définit la norme euclidienne d un point x = (x 1,, x d ) R d par : x = x 2 1 + + x2 d Ceci permet de calculer la distance entre deux points x et y de R d : x y = (x 1 y 1 ) 2 + + (x d y d ) 2 On dira qu une suite de points de R d, (x (n) ) n N tend vers un point x R d ssi : lim n + x(n) x = 0 où x (n) = (x (n) 1,, x(n) d ) et x = (x 1,, x d )

Analyse pour l Ingénieur p 14 Norme, suites (suite) Comme en dimension 1, on écrit la définition de la limite : lim n + x(n) x = 0 ε > 0, N N, n N : x (n) x < ε Exemples : Trouver les limites des suites suivantes ( ρ > 0) x (n) = ρ n e i n et y (n) = (ρ n, ρ 2n ) Tracer les chemins Analyse pour l Ingénieur p 13 Ensembles ouverts dans R d Soit x R d, un voisinage ouvert de x dans R d est donné par la boule ouverte de centre x R d et de rayon ε B o (x, ε) = { y R d / } (y 1 x 1 ) 2 + + (y d x d ) 2 <ε Un ensemble Ω est un ouvert de R d si pour tout point x Ω il existe un voisinage ouvert inclus dans Ω Grâce au produit cartésien, on obtient des ouverts de R d à partir d ouverts de R : ]0, 1[ ]0, 1[=]0, 1[ 2 est la carré unité ouvert de R 2 ; ]0, 1[ ]0, 1[ ]0, 1[=]0, 1[ 3 est la cube unité ouvert de R 3

Analyse pour l Ingénieur p 16 Limite de fonctions Soit f : D R d R, a D R d, alors lim f(x) = l x a ε > 0, η > 0, x : x a < η f(x) l < ε ou, de façon équivalente, si pour toute suite (x (n) ) n N D qui tend vers a : lim n + f(x(n) ) = l Attention, le calcul des limites dans R d, d 2 est plus difficile que dans x R, calculer : lim 1 (x 1,x 2 ) (0,0) x 2 1 + x 2 2 Analyse pour l Ingénieur p 15 Limite de fonctions, exemple En utilisant les coordonnées polaires : f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 1 +x 2 2 = cos(θ) = f(r, θ) z = f(r, θ) = cos(θ) z 10 08 06 04 02 00 02 04 06 08 10 1 0 x 2 1 x 1 10 06 02 02 06 10

Analyse pour l Ingénieur p 18 Continuité Une fonction f : x D R d f(x) est continue en a D ssi lim f(x) = f x a ε > 0, η > 0, x : x a < η f(x) f < ε La somme, la différence, le produit, la division et la composition d un nombre fini de fonctions continues est une fonction continue (sur le domaine de définition adéquat!) Analyse pour l Ingénieur p 17 Dérivée directionnelle Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R On veut étudier la variation de f au voisinage de a Ω : on va d abord se restreindre à un problème 1D, ie un segment passant par le point a Soit v R d, la dérivée de f au point a, dans la direction v, est définie par 1 ( ) D v f = lim f(a + h v) f h 0 h (h R) Si v = e i, on obtient la dérivée partielle de f par rapport à la i e variable, notée, D i f = f x i

Analyse pour l Ingénieur p 20 Fonctions dérivées partielles On a D i f = f 1 ( ) = lim f(a 1,, a i + h,, a d ) f x i h 0 h (h R) La dérivée partielle de f en a par rapport à la i e -variable s obtient en laissant fixe toutes les variables, sauf la i e On définit les fonctions dérivées partielles Ce sont des fonctions de d variables! f x i : R d R a f x i Pour calculer f x i on dérive f par rapport à sa i e -variable, en considérant que les autres variables sont des constantes Exemple : f(x, y) = x 2 y, alors D 1 f = 2a 1 a 2 et D 2 f = a 2 1 où a = (a 1, a 2 ) Analyse pour l Ingénieur p 19 Dérivée directionnelle (suite) R d+1 f Π(a; v, af) R d f v a

Analyse pour l Ingénieur p 22 Différentielle Pour étudier la variation de f au voisinage de a Ω on peut aussi approximer f par une fonction plus simple au voisinage de a Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R m On dit que f est différentiable en a Ω s il existe une application linéaire L L(R d, R m ) qui vérifie f(a + u) f L(u) = o( u ) (u R d ) On note L = df a la différentielle de f en a et Df M(m, d) la matrice associée est appelée matrice jacobienne Pour m = 1, la matrice jacobienne est un vecteur ligne Quel est le lien entre les dérivées directionnelles de f en a, pour toute direction v, et la matrice jacobienne de f en a? Analyse pour l Ingénieur p 21 Dérivée directionnelle et différentielle Proposition Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R différentiable au point a Ω, alors pour tout v R d : La matrice jacobienne s écrit Df = D v f = df a (v) = Df v ( f x 1 ) f x d D v f = d i=1 où f = (Df) t = v i f x i = < f, v > = f t v f x 1 f x d est le gradient de f au point a Attention : la réciproque est fausse, il existe des fonctions pour lesquelles toutes les dérivées directionnelles existent et qui ne sont pas différentiables

Analyse pour l Ingénieur p 24 Matrice jacobienne pour f : Ω R d R m Proposition Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R m différentiable, c-à-d qu il existe une application linéaire de R d dans R m qui approxime f et dont la matrice jacobienne est Df M(m, d) Si on note f 1,, f m, les fonctions coordonnées de f : f = (f 1,, f m ) où f i : R d R, 1 i m La matrice jacobienne s écrit Df = f 1 x 1 f 2 x 1 f m x 1 f 1 x 2 f 2 x 2 f m x 2 f 1 x d f 2 x d f m x d Analyse pour l Ingénieur p 23 Dérivée directionnelle et différentielle (suite) Proposition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω Si au point a toutes les dérivées partielles D i f, 1 i d, existent et si les fonctions x D i f(x) 1 i d, sont continues dans un voisinage de a, alors f est différentiable en a On dit que f est continûment différentiable, f C 1 (Ω, R), si on a continuité des dp en tout point de l ouvert Ω On dit que f est de classe C p, f C p (Ω, R), si on a existence et continuité des dp jusqu à l ordre p en tout point de l ouvert Ω Dans la suite, on va considérer des fonctions suffisamment régulières, c-à-d de classe C 1 ou C 2, ainsi ne se posera plus la question de différentiabilité

Analyse pour l Ingénieur p 26 Différentielle de fonctions composées Proposition Soient g : R d R m, f : R m R p des fonctions différentiables On pose h = f g, alors h : R d R p est différentiable et, pour tout a R d : dh a = df g dg a Pour les matrices jacobiennes : Dh = Df(g) Dg ou D 1 h 1 D d h 1 D 1 h p D d h p D 1 f 1 (g) D m f 1 (g) D 1 g 1 D d g 1 = D 1 f p (g) D m f p (g) D 1 g m D d g m Analyse pour l Ingénieur p 25 Différentielle de fonctions composées, exemple 1 Si d = p = 1, m quelconque : g : R R m et f : R m R, donc h : R R et h = f(g 1,, g m ) R, pour a R et h = Df(g) Dg = = ( D 1 f(g) D m f(g) m D i f(g) g i i=1 ) g 1 g m

Analyse pour l Ingénieur p 28 Différentielle de fonctions composées, exemple 2 Si d = m, p = 1 : g : R d R d et f : R d R, donc h : R d R et h = f(g 1,, g d ) R, pour a R d d On a D j h = D i f(g) D j g i, pour 1 j d i=1 et ( ) Dh = D 1 h D d h = ( D 1 f(g) D d f(g) ) D 1 g 1 D d g 1 D 1 g d D d g d Analyse pour l Ingénieur p 27 Bijections et continuité Soit f : A R m B R n, (m n) On dit que f est un homéomorphisme de A sur B ssi f est continue et bijective et si la réciproque f 1 est continue Exemples : f : B(O, 1) R 2 R 2 1 avec f(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) est un 1 x 2 1 +x2 2 homéomorphisme ; g : [0, 2π[ R C(O, 1) R 2 avec g(θ) = (cos θ, sin θ) n est pas un homémorphisme ; h : R R 2 avec h(t) = (t, at + b) et = h(r) est un homéomorphisme Proposition : L homémorphisme f transforme un ensemble ouvert de A en un ensemble ouvert de B

Analyse pour l Ingénieur p 30 Bijections et différentiabilité Soit f : Ω R n f(ω) R n, on suppose ici m = n! On dit que f est un C 1 -difféomorphisme de Ω sur f(ω) ssi f est de classe C 1 et bijective et si la réciproque f 1 est de classe C 1 Exemples : f : R R avec f(x) = x 3 n est pas un difféomorphisme ; g : R + ]0, 2π[ R 2 \ {(x, 0)/x R + } avec g(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) est un difféomorphisme Proposition : Pour le difféomorphisme f et si y = f(x) f(ω), les matrices jacobiennes Df(x) et Df 1 (y) sont inverses l une de l autre : Df(x)Df 1 (y) = Df 1 (y)df(x) = I n ; Df 1 (y) = ( Df(x)) 1 Analyse pour l Ingénieur p 29 Dérivées partielles d ordre deux Proposition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On suppose que f C 2 (Ω, R) La différentielle d ordre 2, d 2 f a est une forme bilinéaire symétrique, dont la matrice s écrit H f = D 11 f D 12 f D 1d f D 21 f D 22 f D 2d f = D n1 f D n2 f D dd f ( 2 ) f x i x j 1,i,j d C est la matrice hessienne de f en a, pour h, k R d : d 2 f a (h, k) = h t H f k Note : grâce à la régularité C 2 de f on a identité des fonctions dp : 2 f = 2 f, 1 i, j n x i x j x j x i

Analyse pour l Ingénieur p 32 Formule de TAYLOR à l ordre 2 Proposition (Formule de TAYLOR à l ordre 2) Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On suppose que f C 2 (Ω, R), alors f(a + h) = f + df a (h) + 1 2 d2 f a (h, h) + o( h 2 ) = f + ( f) t h + 1 2 ht H f h + o( h 2 ) (h R d ) Cas particulier : f : R 2 R, a = (a 1, a 2 ) et h = (h 1, h 2 ) : f(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) = f(a 1, a 2 ) + f h 1 + f h 2 x 1 x 2 + 1 2 f 2 x 2 h2 1 + 1 2 f 1 2 x 2 h2 2 + 2 f h 1 h 2 + o(h 2 1 + h 2 2 x 1 x 2) 2 Analyse pour l Ingénieur p 31 Extrémas locaux Définition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω Alors a est un minimum local (strict) de f sur Ω si pour tout x V : f f(x), (resp f < f(x)) Alors a est un maximum local (strict) de f sur Ω si pour tout x V : f f(x), (resp f > f(x)) Dans les deux cas on parle d extrémum local Définition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On dit que a est un point critique de f si f = O Proposition (CN d ordre 1) Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R de classe C 1 et a Ω Si a est un extrémum local, alors a est un point critique, càd f = O Attention, c est une CN : f(x, y) = x 2 y 2 admet comme point critique a = (0, 0) qui n est pas un extrémum local!

Analyse pour l Ingénieur p 34 Extrémas locaux : fonctions de deux variables Définition Soit q une forme quadratique sur R 2 et H la matrice symétrique associée : q(h) = h t H h pour tout h R 2 On dit que q, resp H, est dégénérée, s il existe h R 2 non nul, tel que q(h) = 0 ; définie positive si pour tout h R 2 non nul, q(h) > 0 ; définie négative si pour tout h R 2 non nul, q(h) < 0 Soit Ω un ouvert de R 2, f : Ω R de classe C 2 et a Ω fixé La matrice hessienne de f en a est symétrique et définit une forme quadratique sur ( R 2 ) h1 Pour tout h = R 2 : h 2 q(h) = h t H f h = ( h 1 h 2 ) 2 f x 2 1 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 2 ( h1 h 2 = 2 f x 2 h2 1 + 2 2 f h 1 h 2 + 2 f 1 x 1 x 2 x 2 h2 2 2 ) Analyse pour l Ingénieur p 33 Extrémas locaux : fonctions de deux variables (suite) Proposition (CS d ordre 2) Soit Ω un ouvert de R 2, f : Ω R de classe C 2 et a Ω un point critique de f On note q la forme quadratique définie par H f : si q est définie positive, alors a est un minimum local strict; (b) si q est définie négative, alors a est un maximum local strict; (c) s il existe h, h R 2 non nuls, tel que q(h) > 0 et q(h) < 0, alors a est un point selle; (d) si q est dégénérée positive ou dégénérée négative, on ne peut pas conclure directement Note : ces résultats concernent les extrémas locaux, pour savoir si un point est un extrémum global il faut faire une analyse appropriée

Analyse pour l Ingénieur p 36 Extrémas locaux : fonctions de deux variables, exemples f(x, y) = x 2 + y 2, (0, 0) est un minimum strict ; (b) f(x, y) = 1 x 2 y 2, (0, 0) est un maximum strict ; (c) f(x, y) = x 2 y 2, (0, 0) est un point selle ; (d) f(x, y) = x 2, pour tout β R, (0, β) est point critique et c est un minimum ; (d ) f(x, y) = x 2 + y 3, (0, 0) est point critique unique, c est un point selle Analyse pour l Ingénieur p 35 Intégrales multiples

Analyse pour l Ingénieur p 38 Intégrales multiples : introduction On veut étendre le calcul d intégrales à des fonctions de plusieurs variables, c est-à-dire dont le domaine de définition est inclus dans R d où d = 2, 3, et le graphe dans R d+1 Exemple : f(x, y) = 1 + 1 x 2 y 2 est définie et continue pour tout (x, y) Domf = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 1} Problème : Comment définir et calculer f(x, y) dxdy? z 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 00 15 10 05 000510 y 15 15 10 05 Domf 00 Domf x 05 10 f 15 Analyse pour l Ingénieur p 37 Intégrales multiples : introduction L intégrale d une fonction positive f : [a, b] R R + est l aire compris entre le graphe (x, f(x)) R 2 et l axe des abscisses R L intégrale d une fonction positive f : D R 2 R + est le volume entre le graphe (x, y, f(x, y)) R 3 et le plan R 2 Soit f : D R d R +, alors le graphe (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 : on doit donc mesurer des domaines dans R d+1

Analyse pour l Ingénieur p 40 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions On dit qu une partie D R d est bornée, si il existe R R + tel que D est inclus dans l ensemble { } B f (O, R) = x = (x 1,, x d ) R d / x 21 + + x2d R, la boule fermée de centre O = (0,, 0) R d et de rayon R Un pavé fermé P de R d est défini par P = { x = (x 1,, x d ) R d / a i x i b i, 1 i d } = [a 1, b 1 ] [a d, b d ], où les a i, b i R ; a i b i, pour i = 1,, d Analyse pour l Ingénieur p 39 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions La mesure d un pavé fermé P = [a 1, b 1 ] [a d, b d ] d est définie par m(p ) = (b i a i ) i=1 Une partie N R d est négligeable dans R d, si pour tout ε R +, il existe un nombre fini de pavés fermés P k (1 k n) de R d tels que N n P k et n m(p k ) < ε k=1 k=1 Note : pour x N négligeable, il n existe aucune boule ouverte de centre x incluse dans N

Analyse pour l Ingénieur p 42 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Exemples : Dans R les pavés fermés sont les segments [a, b] ; tout ensemble fini de points {x 1,, x n } est négligeable dans R Dans R 2 les pavés fermés sont les rectangles [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] ; toute union finie de segments est négligeable dans R 2, p ex le bord d un carré Dans R 3 les pavés fermés sont [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] ; toute union finie de rectangles est négligeable dans R 3, p ex le bord d un cube R 2 R 3 ε ε ε R 1 l l h Analyse pour l Ingénieur p 41 Intégrales multiples : Courbe de VON KOCH K L ensemble de R 2, délimité par la courbe VON KOCH, est : borné, de périmètre infini, d aire finie et n admet de tangente en aucun point 1 1/3 1/3 1/9 n=0 n=1 n=2 La courbe K n (n 0) est composée de s n = 3 4 n segments de longueur l n = 1/3 n Le périmètre vaut p n = 3 ( 4 n 3) et l aire vérifie a n = a n 1 + s n 1 ln 2 3 4 (n 1) avec a 0 = 3 4 K n K : lim p n = + et lim n + a n = 2 3 n + 5

Analyse pour l Ingénieur p 44 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions Le bord d un { domaine D R d est l ensemble D = x R d / ε R + : B o (x, ε) D et B o (x, ε) (R d \ D) } où B o (x, ε) = { y R d / } (y 1 x 1 ) 2 + + (y d x d ) 2 <ε, est la boule ouverte de centre x R d et de rayon ε On dit qu un ensemble borné D R d est quarrable si son bord est négligeable dans R d d L intérieur du pavé fermé P, défini par Int(P ) = ]a i, b i [ i=1 a comme mesure ou volume m(int(p )) = m(p ) Analyse pour l Ingénieur p 43 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Pour D R d quarrable, la mesure m(d) est définie grâce à des recouvrements de D par des pavés de R d Propriétés fondamentales : 1 m( ) = 0 ; 2 m(d 1 D 2 ) = m(d 1 ) + m(d 2 ) si D 1 D 2 est négligeable ; 3 Si D 1 D 2, alors m(d 1 ) m(d 2 ) ; Des ensembles «exotiques», comme la courbe de VON KOCH, ne seront pas considérés Tous les domaines considérés dans la suite sont quarrables On va souvent utiliser des domaines D dont les bords D sont composés de courbes régulières Ceci est motivé par la proposition suivante

Analyse pour l Ingénieur p 46 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Proposition (admise) Soit f : B o (0, R) R d R de classe C 1 Alors, pour tout pavé fermé P B o (0, R), l ensemble { / } (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 (x 1,, x d ) P est négligeable dans R d+1 C-à-d : toute partie bornée du graphe de f est négligeable dans R d+1 Proposition Soit D R d un ensemble borné dont le bord est une réunion finie de graphes de fonctions régulières Alors D est quarrable Exemple : D(A, r), le disque de centre A et de rayon r est quarrable Analyse pour l Ingénieur p 45 Intégrales multiples : définition Définitions Soit P un pavé fermé de R d, la fonction caractéristique I P, associée à P est { 1 si x P définie par : I P (x) = 0 si x P Une fonction h : R d R est une fonction en escalier si et seulement si h s écrit comme combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques de pavés P i, 1 i n, dont les intérieurs sont disjoints : x R d : h(x) = n α i I Pi (x), α i R, 1 i n i=1 On définit l intégrale d une fonction en escalier h par R d h(x) dx = n α i m(p i ) i=1

Analyse pour l Ingénieur p 48 Intégrales multiples : définition Soit f : R d R une fonction bornée qui s annule en dehors d un pavé fermé Q R d Soit P = {P 1,, P n } une partition de Q, n ie Q = P i et Int(P i ) Int(P j ) =, 1 i<j n i=1 La somme de RIEMANN associée à f et P est définie par n R(f, P) = f(x i ) m(p i ) où x i est le barycentre de P i i=1 Soit d(p) = max 1 i n diam(p i), alors f est intégrable si et seulement si On note alors f(x) dx = R d lim R(f, P) existe d(p) 0 lim R(f, P) d(p) 0 Analyse pour l Ingénieur p 47 Intégrales multiples : définition R d f(x) dx = lim d(p) 0 n f(x i ) m(p i ) L intégrale est définie comme une limite d intégrales de fonctions en escalier, définies sur des partitions de plus en plus fines Si cette limite existe, elle est indépendante des partitions choisies i=1 f(x i ) f 0000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 11111111111111111 1111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 x i 0000000000000000 1111111111111111 Q

Analyse pour l Ingénieur p 50 Intégrales multiples : caractérisations f est intégrable si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions en escalier h et k telles que x R d : h(x) f(x) k(x) et k(x) dx h(x) dx < ε R d R d k f h Une fonction définie et bornée sur un domaine quarrable borné et qui est continue en dehors d un ensemble négligeable, est intégrable Analyse pour l Ingénieur p 49 Intégrales multiples : propriétés Soient f, g intégrables, a, b R : (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b g(x) dx R d R d R d Soit f intégrable vérifiant, pour tout x R d, f(x) 0, alors R d f(x) dx 0 Si l ensemble A R d est quarrable, alors I A est intégrable et R d I A (x) dx = m(a) Si f est intégrable et A R d est quarrable, alors f I A est intégrable et on note f(x) dx = f(x)i A (x) dx A R d

Analyse pour l Ingénieur p 52 Intégrales multiples : propriétés Soit f et g intégrables, A R d quarrable, avec f g, alors f(x) dx g(x) dx A A Soit f intégrable, A R d quarrable, et f(x) M, alors f(x) dx M m(a) A Soit f intégrable, A et B des ensembles quarrables avec A B négligeable, alors f(x) dx = f(x) dx + A B Soit A quarrable, f, g intégrables et {x R d /f(x) g(x)} négligeable, alors f(x) dx = g(x) dx A A A B f(x) dx Analyse pour l Ingénieur p 51 Calcul d intégrales multiples Théorème (FUBINI) On considère f : R d 1+d 2 R une fonction intégrable, A 1 R d 1,A 2 R d 2 des ensembles quarrables, et l on pose pour tout x A 1 : F 1 (x) = f(x, y) dy et A 2 pour tout y A 2 : F 2 (y) = f(x, y) dx A 1 Alors, les fonctions F 1 et F 2 sont définies, intégrables et f(z) dz = F 1 (x) dx = F 2 (y) dy A 1 A 2 A 1 A 2 On note F 1 (x) dx = A 1 A 1 ( ) f(x, y) dy dx A 2

Analyse pour l Ingénieur p 54 Calcul d intégrales multiples On pose, pour tout (x, y) R 2, y 2 si 0 < x < y < 1 f(x, y) = x 2 si 0 < y < x < 1 0 sinon 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) Alors f(x, y) dx dy = 1 et f(x, y) dy dx = 1 0 0 La fonction f n est pas intégrable! Soient A R d 1 et B R d 2 quarrables, f : R d 1 R et g : R d 2 R intégrables On pose, pour z = (x, y), h(z) = f(x)g(y), alors la fonction h : R d 1 R d 2 R est intégrable et ( ) ( h(z) dz = f(x) dx A B A 0 0 B g(y) dy ) Analyse pour l Ingénieur p 53 Calcul d intégrales multiples Proposition (Principe de CAVALIERI) Soit A R d+1 quarrable tel que A P [a, b], où P est un pavé fermé de R d et [a, b] R Pour t [a, b], on pose A t = {x R d / (x, t) A} R d On pose α(t) = m d (A t ) la mesure dans R d du quarrable A t, et on a b R m d+1 (A) = b a α(t) dt A t a A t P R d

Analyse pour l Ingénieur p 56 Calcul d intégrales multiples Proposition Soit A R d quarrable, Φ, Ψ : A R continues et vérifiant Φ Ψ, alors l ensemble C = { (x, y) R d+1 / x A et Φ(x) y Ψ(x) ) est quarrable Si f : C R est continue, alors, ( ) Ψ(x) f(z) dz = f(x, y) dy dx C A Φ(x) R Ψ y C Φ A x R d Analyse pour l Ingénieur p 55 Calcul d intégrales multiples Volume d un corps de révolution dans R 3 Soit f : [a, b] R + positive et continue, appelons A le corps engendré par la rotation du graphe de f autour de l axe des abscisses On a α(t) = aire(a t ) = π f(t) 2, d où vol(a) = π y z a A t 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 01 t b a f A b x f(x) 2 dx

Analyse pour l Ingénieur p 58 Calcul d intégrales multiples d Soit f intégrable sur R d et P = [a i, b i ] R d, alors P f(x) dx = bd a d i=1 f(x) dx 1 ( ( bd 1 ( b1 ) ) a 1 a d 1 dx d 1 ) dx d Le théorème de FUBINI permet de ramener le calcul d une intégrale multiple sur un pavé de R d à une succession de d intégrales simples Si le domaine d intégration n est pas simple (pex un pavé) on peut souvent le transformer grâce à un changement de variables Analyse pour l Ingénieur p 57 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées polaires sur R 2 \ {(0, 0)} : } { x = r cos(θ) r = x 2 + y 2 y = r sin(θ) θ = arctan(y/x) θ β α 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 a b Aire=(b a)(β α) r Φ y α Aire= b + a 2 01 000 111 000 111 0000 1111 000 111 000000 111111 000 111 0000000 1111111 00 11 00000000 11111111 00 11 0000000 1111111 0000 1111 β 01 a b (b a)(β α) x

Analyse pour l Ingénieur p 60 Changement de variables dans les intégrales multiples Il faut donc tenir compte de l influence d un changement de variables sur la mesure des volumes! Comme dans le cas 1D, la correction est donnée par les variations d ordre 1 du changement de variables Φ : R d R d De façon précise, c est la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne qui intervient dans la formule du changement de variables pour les intégrales multiples Analyse pour l Ingénieur p 59 Changement de variables dans les intégrales multiples Soit Φ : R d R d x y = Φ(x) Or x = (x 1,, x d ) R d et y = Φ(x) = (Φ 1 (x),, Φ d (x)) R d, où Φ i : R d R, y i = Φ i (x 1,, x d ) La matrice jacobienne de Φ, au point a R d, est définie par Φ 1 Φ x 1 1 x d Φ 2 Φ J(Φ) = x 1 2 x d Φ d Φ x 1 d x d

Analyse pour l Ingénieur p 62 Changement de variables dans les intégrales multiples Le jacobien de Φ, au point a R d, est défini par Φ 1 x det(j(φ)) = D(Φ 1 Φ 1,, Φ d ) D(x 1,, x d ) = 2 x 1 Φ d x 1 Φ 1 x d Φ 2 x d Φ d x d Analyse pour l Ingénieur p 61 Changement de variables dans les intégrales multiples Théorème Soit A un pavé fermé, borné quarrable de R d et soit Φ : R d R d On suppose que Φ est bijective sur A, que les dérivées partielles de Φ existent et sont continues et que le jacobien ne s annule pas sur A Alors, Φ(A) est quarrable et si f : R d R est continue sur Φ(A) alors f(y) dy = f(φ(x)) D(Φ 1,, Φ d ) D(x 1,, x d ) (x) dx Φ(A) A R d Φ(A) Φ 1 R d y x A Φ

Analyse pour l Ingénieur p 64 Changement de variables dans les intégrales multiples Transformation affine, Φ(x) = M x + b, où M est une matrice carrée inversible (d, d) et b R d d On a Φ i (x) = M ik x k + b i et m(φ(a)) = k=1 Φ(A) 1 dy = A 1 det(m) dx = det(m) m(a) Coordonnées polaires dans R 2 : (x, y) = Φ(r, θ) = (Φ 1 (r, θ), Φ 2 (r, θ)) = (r cos(θ), r sin(θ)) D(Φ 1, Φ 2 ) cos(θ) r sin(θ) (r, θ) = D(r, θ) sin(θ) r cos(θ) = r Sur R 2 \ {(0, 0)}, Φ est bijective, ses dérivées partielles sont continues et le jacobien est non nul Analyse pour l Ingénieur p 63 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées sphériques dans R 3 : (x, y, z) = Φ(r, θ, ψ) avec x = Φ 1 (r, θ, ψ) = r cos(ψ) cos(θ) y = Φ 2 (r, θ, ψ) = r cos(ψ) sin(θ) z = Φ 3 (r, θ, ψ) = r sin(ψ) où r R +, θ [0, 2π] et ψ [ π/2, +π/2] et D(Φ 1, Φ 2, Φ 3 ) (r, θ, ψ) = r 2 cos(ψ) D(r, θ, ψ) z y θ ψ r x

Analyse pour l Ingénieur p 66 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées cylindriques dans R 3 : (x, y, z) = Φ(r, θ, z) avec x = Φ 1 (r, θ, z) = r cos(θ) y = Φ 2 (r, θ, z) = r sin(θ) z = Φ 3 (r, θ, z) = z où r R +, θ [0, 2π] et z R et D(Φ 1, Φ 2, Φ 3 ) (r, θ, ψ) = r D(r, θ, ψ) z y θ r x Analyse pour l Ingénieur p 65 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées sphériques dans R d : (x 1,, x d ) = Φ(r, θ 1,, θ d 1 ) où x 1 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) cos(θ d 2 ) cos(θ d 1 ) x 2 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) cos(θ d 2 ) sin(θ d 1 ) x 3 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) sin(θ d 2 ) x d 1 = r cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) x d = r sin(θ 1 ) où r R +, θ d 1 [0, 2π] et θ p [ π/2, +π/2], 1 p d 2, et D(Φ 1,, Φ d ) D(r, θ 1,, θ d 1 ) (r, θ 1,, θ d 1 ) = r d 1 cos d 2 (θ 1 ) cos d 3 (θ 2 ) cos(θ d 2 )

Analyse pour l Ingénieur p 68 Intégrales multiples impropres Comme pour le cas de fonctions à une variable, on veut étendre le calcul d intégrales multiples à des domaines non bornés dans R d et à des fonctions ayant une singularité, c est-à-dire non bornées au voisinage d un point du domaine d intégration Remarquons tout de suite que la convergence des intégrales multiples ne peut être que absolue : f est intégrable sur A R d si et seulement si f est intégrable sur A R d Analyse pour l Ingénieur p 67 Intégrales multiples impropres Démarche pratique pour intégrales doubles Soit A R 2, on dit qu une suite d ensembles fermés bornés (K n ) n N épuise A, si la suite est croissante, K n K n+1, et si pour tout fermé borné K A, il existe N N tel que K K N Exemple : A = (R + ) 2 alors K n = [0, n] 2 et L n = {(x, y) (R + ) 2 / 1/n x 2 + y 2 n} sont des suites de fermés bornés qui épuisent A Soit f une fonction localement intégrable sur A, alors l intégrale de f sur A est convergente si et seulement si il existe g : A R + dont l intégrale converge sur A et telle que f g sur A

Intégrales multiples impropres Démarche pratique pour intégrales doubles (suite) L intégrale sur A d une fonction positive g est convergente si et seulement si la suite positive α n = g(x) dx est majorée K n L intégrale de f sur A est convergente si et seulement si l intégrale de f sur A est convergente On a alors f(x) dx = lim f(x) dx A n + K n Le résultat étant indépendant du choix de la suite K n Analyse pour l Ingénieur p 69