VAN

METHODES DE QUASI MONTE-CARLO POUR L EVALUATION DE STRATEGIES D INVESTISSEMENTS QUASI MONTE-CARLO METHODS FOR THE NUMERICAL ASSESSMENT OF INVESTMENTS PLANS M. Baudin, J. Demgne, W. Lair, J. Lonchamp EDF R&D 6 quai Waier 78401 Chaou, France Tel : +33 01 30 87 91 99 michael.baudin@edf.fr jeanne.demgne@edf.fr/ jeanne.demgne@univ-pau.fr william.lair@edf.fr jerome.lonchamp@edf.fr S. Mercier Lab. de Mahémaiques e de leurs Applicaions Universié de Pau e des Pays de l Adour Avenue de l universié 64013 Pau cedex, France Tel : +33 05 59 40 75 37 sophie.mercier@univ-pau.fr Résumé L évaluaion d une sraégie d invesissemens en mainenance prévenive nécessie la quanificaion d indicaeurs économiques permean de décrire le gain espéré ainsi que les risques économiques associés. Les simulaions de Mone-Carlo son souven uilisées dans ce cadre. Cependan, elles nécessien un emps de calcul imporan pour obenir des résulas suffisammen précis. Lorsque l objecif n es plus simplemen d évaluer une sraégie candidae mais de déerminer la sraégie opimale, les simulaions de Mone-Carlo ne son plus adapées. En effe, couplée à un algorihme d opimisaion, cee méhode nécessierai des calculs rop longs. Nous présenons dans ce aricle des méhodes alernaives permean d obenir des résulas précis plus rapidemen : les méhodes de quasi Mone-Carlo. Summary In prevenive mainenance, he assessmen of invesmens plan needs o measure economics indicaors in order o describe he expeced gain as well as he associaed economics risks. Mone-Carlo simulaions are ofen used in his conex. However, hey require a large compuaional ime o obain accurae resuls. When he goal is no only o assess an applican sraegy bu o deermine he opimal one, Mone-Carlo simulaions are no appropriae. Indeed, he Mone-Carlo mehod would require a oo long compuaional ime wihin an opimizaion algorihm. We presen in his paper an alernaive mehod which provides accurae resuls more quickly han he MC mehod: quasi Mone-Carlo mehods. Inroducion La mainenance des acifs indusriels n es plus considérée comme un cenre de coûs mais comme un levier pour créer de la valeur ajouée, en réduisan par exemple les durées d indisponibilié. Pour cela, il es nécessaire de consruire des sraégies d invesissemens de plus en plus complexes qui prennen en compe l éa vieillissan du maériel afin d aniciper les défaillances. Dans nore conexe, une sraégie d invesissemens défini les daes de mainenance prévenive e de commandes de pièces de rechange d un parc de composans. Les pièces de rechange alimenen un sock commun à ous les composans du parc. Pour déerminer si une sraégie d invesissemens candidae es économiquemen inéressane, il es nécessaire de quanifier des indicaeurs économiques raduisan le gain espéré par rappor à la sraégie sans invesissemen. La sraégie sans invesissemen es alors considérée comme la sraégie de référence. Les indicaeurs uilisés dans nore aricle son issus de la Valeur Acuelle Nee VAN. La VAN représene la différence enre les flux financiers associés à la sraégie de référence e ceux associés à la nouvelle sraégie à évaluer par exemple : remplacemen des composans à une dae donnée τ, qui peu êre aléaoire ou fixée. Les gains générés par la nouvelle sraégie peuven êre des gains effecifs augmenaion de la producion ou des peres éviées réducion de l indisponibilié. Une VAN posiive radui que les invesissemens permeen de réduire les coûs d exploiaion e de mainenance alors qu une VAN négaive signifie que le coû des invesissemens es rop élevé e que l économie réalisée n es pas suffisane pour le couvrir. La VAN es une variable aléaoire car elle dépend des daes de défaillances des composans, qui son elles même des variables aléaoires. Ainsi pour chaque sraégie, il es possible d avoir des siuaions induisan des valeurs de VAN posiives e d aures induisan des valeurs de VAN négaives. L espérance de la VAN es un premier indicaeur permean de comparer deux sraégies mais il n es pas suffisan pour mesurer le risque économique. La probabilié que la VAN soi négaive es le deuxième indicaeur auquel nous nous inéressons car il radui la probabilié de regreer l invesissemen effecué. Sur la figure 1, nous avons représené les densiés de probabilié de deux VAN correspondan à des sraégies différenes VAN 1 e VAN 2. Comme cela peu êre observé sur cee figure, la VAN moyenne de la sraégie 2 es supérieure à celle de la sraégie 1. En revanche, la probabilié que la VAN soi négaive es plus élevée pour la sraégie 2. Ainsi, selon l aversion au risque du décideur, la sraégie 2 n es pas forcémen la plus inéressane. Nore bu final es alors d opimiser nore sraégie d invesissemens par rappor à la VAN moyenne, sous une conraine poran sur la probabilié de regre du ype, la probabilié de regre es inférieure à un seuil qui es fixé. La quanificaion de la loi de la VAN nécessie une modélisaion fine de l évoluion sochasique du parc de composans e plus précisémen des coûs aléaoires associés au parc soumis aux deux poliiques à comparer. De par l hisorique commun aux deux sraégies avan le premier invesissemen, les coûs associés son dépendans. Évaluer la loi de la VAN revien donc à évaluer la disribuion de la différence de deux variables aléaoires dépendanes. L évoluion d un parc de composans peu êre modélisée à

0.4 0.35 VAN 1 VAN 2 0.3 Probabilié 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0-10 -5 0 5 10 15 20 VAN Figure 1. Comparaison de deux densiés de probabilié de la VAN l aide de processus de Markov déerminises par morceaux PDMP : Piecewise Deerminisic Markov Process, Davis, 1984. Les PDMP son des processus uilisés en fiabilié dynamique pour modéliser des composans en ineracion avec leur environnemen. Dans nore cas, l environnemen correspond aux âges ou aux daes des prochaines pannes des composans, ou aussi aux daes de réapprovisionnemen des pièces de rechange. Pour quanifier la loi d un PDMP e les quaniés associées, il es possible d uiliser des schémas de volumes finis comme dans Lonchamp, 2005 ; Eymard e al., 2008 ; Lair e al., 2011. Ces méhodes nécessien cependan une grande place mémoire, ainsi qu un effor conséquen de programmaion dès que le nombre de composans dépasse 3 ou 4. Les cas indusriels visés comporan beaucoup plus de composans au moins 10, ces méhodes ne semblen donc pas adapées à nore problémaique. Plus classiquemen, on peu aussi uiliser des simulaions de Mone-Carlo pour évaluer les quaniés d inérê. Ces simulaions son basées sur la srucure d un PDMP Davis, 1984 : un PDMP es un processus de sau e les éas successifs visiés par le PDMP formen une chaîne de Markov. De plus, un PDMP évolue de manière déerminise enre deux saus, de sore que la connaissance des éas visiés par la chaîne de Markov perme de reconsruire ou le processus. Pour simuler l évoluion d un PDMP, il suffi donc de simuler la chaîne de Markov associée. Les simulaions de Mone-Carlo nécessien cependan de longs emps de calcul, ce qui peu êre rédhibioire lorsqu il s agi de les coupler à un algorihme d opimisaion. Dans ce aricle, nous nous inéressons à deux alernaives basées sur la méhode de quasi Mone-Carlo, qui consise à remplacer les variables aléaoires de loi uniforme uilisées dans les simulaions de Mone-Carlo par des suies déerminises ayan de bonnes propriéés. Nous commençons d abord par présener le modèle décrivan un parc de composans vieillissans soumis à des mainenances correcives e prévenives. Ensuie, nous faisons une présenaion des différenes méhodes e nous erminons par des résulas numériques obenus sur des exemples méhodologiques qui nous on permis d illusrer les méhodes quasi Mone-Carlo e leurs performances. Modélisaion e caracérisaion de la VAN 1 Modélisaion d un parc de composans Comme nous l avons défini précédemmen, la VAN correspond à la différence de coûs enre deux sraégies. Nous commençons par présener le modèle permean d évaluer le coû d une sraégie d invesissemens. Dans nore cadre, l évaluaion du coû d une sraégie d invesissemens s effecue sur un parc de composans ideniques soumis à des remplacemens correcifs e prévenifs, avec un même sock de pièces de rechange. Le parc de composans es défini par les variables suivanes : I : l éa des composans à la dae, X : les daes de fuures pannes des composans à l insan, S : le sock de pièces de rechange à l insan, D : les fuures daes d arrivée de pièces de rechange à l insan, C : le coû oal acualisé à la dae. Le processus Z 0 = I,X,S,D,C, 0 ainsi consiué, où représene le emps, es un PDMP à valeurs dans E R m + F R p+2 +. Les ensembles E e F son finis ou dénombrables. E représene les différenes combinaisons d éas des composans du parc, m es le nombre de composans du parc e p le nombre de commandes de pièces de rechange en cours. La chaîne de Markov associée es caracérisée par Z n n 0 = I Tn,X Tn,S Tn,D Tn,C Tn,T n n 0 où T n n 0 es la suie des insans de saus du processus Z 0. Les saus peuven êre induis par les défaillances des composans ou par l arrivée d une pièce de rechange. Nous allons mainenan présener une analyse de la loi de la VAN.

T 1 2 T 2 2 T m 2 Sraégie à évaluer S 2 0 T 1 1 τ T 2 1 T 3 1 T 4 1 T n 1 Sraégie de référence S 1 Figure 2. Comparaison de deux sraégies 2 Caracérisaion de la Valeur Acuelle Nee Nous souhaions évaluer la disribuion de la VAN sur un horizon de emps fixé d exploiaion d un parc de composans ideniques. Comme di dans l inroducion, la VAN es définie comme la différence enre les coûs acualisés induis par une sraégie de référence e une sraégie à évaluer. La VAN es donc une foncion de deux PDMP dépendans à ravers un hisorique commun jusqu à τ. L évoluion de ces sraégies dans le emps es représenée dans la figure 2. Sur cee figure, le paramère τ représene le premier insan où les coûs des deux sraégies divergen. Par exemple, τ es la dae de remplacemen prévenif d un composan du parc dans la sraégie à évaluer sraégie 2. Avan l insan τ, les différens évènemens se produisen au même momen dans les deux sraégies e par conséquen, la VAN es nulle. Après l insan τ, nous émeons l hypohèse suivane : sachan l éa des composans du parc e l éa du sock à l insan τ, l évoluion des deux sraégies dans le emps es indépendane. Cee hypohèse se jusifie en supposan que lorsque l on effecue un invesissemen, par exemple le remplacemen prévenif d un composan, le cours des événemens fuurs change. En effe, la pièce de rechange uilisée pour ce remplacemen ne sera pas uilisée pour un aure composan. Les condiions d exploiaion éan différenes d un sie de producion à l aure, les insans des fuures défaillances peuven donc êre supposés indépendans. Ainsi, évaluer la VAN sur un horizon de emps fixé revien à évaluer les coûs des deux sraégies à parir de l insan τ. Si on noe C i le coû cumulé acualisé sur [0,] associé à la sraégie S i, pour i = 1,2. On cherche à déerminer la loi de où es fixé. On suppose τ déerminise e on a pour < τ : Ainsi dans oue la suie, τ. V AN = C 1 C 2 V AN = 0 Soi F V AN la foncion de répariion de la VAN à l horizon. La loi de V AN peu êre évaluée par l esimaion de la foncion de répariion en ou poin, il s agi alors d évaluer pour τ : où es fixé e u > 0. On a : [ F V AN u = P C 1 [ où Γ u e Ψ u son des foncions inconnues, Z s 2 celui de la sraégie 2. Z n 1 s 0 = E = E F V AN u = P[V AN u] Z 1 s C 2 ] u Γ u Z s 1,Z w 2 [ Ψ u Z n 1,Z 2 k 0 n N 1 0 s, 0 w τ ] 0 n N 1, 0 k N 2 τ es le processus Z 0 défini ci-dessus associé à la sraégie 1 e s 0 e Z 2 son les chaînes de Markov associées à chaque k 0 k N 2 τ processus e N i le nombre de saus de la chaîne sur une durée dans la sraégie i. Comme nous pouvons l observer sur la figure 2, la sraégie 2 ne diffère de la sraégie 1 qu à parir de l insan τ. Elle sera alors évaluée sur la durée τ. Nous présenons différenes méhodes qui permeen de simuler la chaîne de Markov associée à chaque sraégie. 3 La méhode de Mone-Carlo Méhodes de simulaion La méhode de Mone-Carlo es une méhode largemen uilisée dans divers domaines pour résoudre des équaions e évaluer des inégrales lorsqu il n es pas possible de le faire analyiquemen. Dans nore cadre, le principe es de simuler de manière ] {1}

indépendane un grand nombre d hisoires du parc de composans. L esimaion de la loi de la Valeur Acuelle Nee sur un horizon de emps fixé par la méhode MC revien à esimer l inégrale d une foncion. Comme présené dans l équaion {1}, cee foncion dépend des chaînes de Markov qui décriven l évoluion les deux sraégies jusqu à l horizon. Pour chaque sraégie i {1,2}, la chaîne de Markov Z n i es définie par : n 0 Z i 0 f V i V i U [0,1] mi {2} Z n i = φ n Z i n 1,Ui n n 1 e U n i U [0,1] où Z i 0 f V i signifie que la loi iniiale de la chaîne de Markov Z n i dépend de m i variables aléaoires uniformes n 0 sur [0,1]. Pour simuler l évoluion d une sraégie jusqu à l horizon de emps par la chaîne de Markov, nous commençons par évaluer son éa iniial. Ensuie une ransiion es simulée à l aide de l éa précéden de la chaîne de Markov e d une variable aléaoire uniforme de dimension 1. La foncion de répariion de la V AN peu alors s écrire comme l inégrale d une foncion qui dépend de plusieurs variables aléaoires uniformes. Le nombre de variables es égal au nombre d évènemens qui se son produis dans les deux sraégies jusqu à l horizon de emps. Ces évènemens peuven caracériser les défaillances des composans, son nombre es alors lié à la loi de durée de vie des composans e es donc une variable aléaoire. On dédui des équaions {1} e {2} que la foncion de répariion de la VAN peu s écrire : [ F V AN u = E Ψ φ.,u f V 1 ],U 1 1,U1 2,...,U1,f V 2,U 2 N 1 1,U2 2,...,U2 N 2 [ ] τ E Ψ f,φ.,u W avec N i la variable aléaoire représenan le nombre de saus de la chaîne de Markov Z n i sur la durée pour la sraégie 2 n 0 i e W U [0,1] M+m1 +m. On prend M el que P N 1 + N 2 τ M < ε avec ε rès pei. La loi de la V AN peu êre esimée de la façon suivane : N ˆF V AN u = 1 Ψ f,φ.,u w i {3} N i=1 où {w 1,...,w N } son des réalisaions d une loi uniforme sur [0,1] M+m1 +m 2. La foncion Ψ f,φ.,u éan inconnue, nous allons simuler l évoluion des chaînes de Markov définies en {2} associées à chaque sraégie de manière séquenielle grâce aux foncions φ n, n 1 jusqu à. L inconvénien principal de la méhode MC es le caracère aléaoire des esimaions qu elle fourni, avec une viesse de convergence en 1. Pour obenir des résulas de plus en plus précis, il es nécessaire d augmener le nombre de simulaions, ce qui N indui une augmenaion du emps de calcul. Une esimaion sable e précise par la méhode MC es donc obenue au prix d un emps de calcul élevé. Dans une opique d opimisaion de sraégies d invesissemens, cela pose un problème car, couplée à un algorihme d opimisaion esan de nombreuses sraégies candidaes, les emps de calcul peuven devenir prohibiifs. Les méhodes de quasi Mone-Carlo son connues pour leur amélioraion de la précision des esimaions par rappor à la méhode MC. Cela peu donc héoriquemen permere d obenir des résulas plus précis avec moins de calculs. 4 La méhode de quasi Mone-Carlo La méhode de quasi Mone-Carlo QMC es une méhode développée pour améliorer l esimaion fournie par la méhode MC. Elle consise à remplacer un échanillon de poins obenu par une foncion pseudo-aléaoire sur [0,1] d par des poins réparis plus uniformémen sur [0,1] d. Le crière d uniformié des poins sur le pavé uniaire [0,1] d fai appel à la noion de la discrépance. 4.1 La noion de la discrépance Niederreier H. Niederreier, 1992 défini la discrépance comme éan une mesure de l écar par rappor à une disribuion uniforme. Ainsi, plus l écar es faible ou plus la discrépance es faible, plus les poins son uniformémen disribués sur [0,1] d. La discrépance es donc un indicaeur permean de mesurer la bonne répariion des poins dans l espace [0,1] d. De nombreuses suies ayan des bonnes propriéés d uniformié on éé consruies : ces suies son appelées Suies à Faible Discrépance SFD. Elles peuven êre réparies en deux groupes : les laice rules e les digial nes Lemieux, 2009. Les laice rules son des poins obenus par des combinaisons linéaires à coefficiens d eniers se rouvan dans l espace [0,1] d e les digial nes son des suies consruies à l aide de la décomposiion d eniers naurels en une ceraine base b. Dans les digial nes, on peu cier : la suie de Van Der Corpu en dimension 1, la suie de Halon en dimension d 1, qui es une généralisaion de la suie de Van Der Corpu, la suie de Faure en dimension d 1,

la suie de Sobol en dimension d 1. Dans nore éude, nous uilisons la suie de Sobol. 1 Loi uniforme, 64 poins, volume=1/64 1 Suie de Sobol, 64 poins, volume=1/64 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 X 2 0.5 X 2 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X 1 Figure 3. Représenaion de 64 poins de la loi uniforme obenue par irage pseudo-aléaoire en dimension 2 gauche e de la suie de Sobol de dimension 2 droie La figure 3 compare un échanillon de aille 64 d une loi uniforme obenue par irage pseudo-aléaoire sur [0,1] 2 e les 64 premiers poins de la suie de Sobol de dimension 2. Cee figure illusre bien la bonne répariion des poins de la suie de Sobol par rappor à la loi uniforme car on observe plusieurs zones qui ne son pas explorées par l échanillon aléaoire. 4.2 Esimaion de la V AN par la méhode QMC L esimaion de la foncion de répariion de la VAN à l horizon par la méhode QMC se fai en remplaçan dans {3} l échanillon {w 1,...,w N } de la loi uniforme sur [0,1] M+m1 +m 2 par une SFD de dimension M + m 1 + m 2, où M dépend du nombre de saus de la chaîne dans les deux sraégies. Chaque élémen de la SFD sera uilisé pour simuler une hisoire de vie du parc. Conrairemen aux variables uniformes uilisées pour les simulaions de Mone-Carlo qui peuven êre irées les unes après les aures, chaque élémen de la SFD doi êre consrui avan la simulaion de la chaîne. La dimension dépendan du nombre de saus de la chaîne qui es inconnu car aléaoire, il es donc nécessaire de fixer à l avance le nombre de saus maximum dans les deux sraégies, c es-à-dire les valeurs maximales des variables aléaoires N 1 e N 2 τ. Nous choisissons ni N el que P n i > m i + N i > 1 ε pour ε > 0 e i {1,2}, e nous consruisons une SFD de dimension n 1 +n 2 = M +m 1 +m 2. La foncion Ψ f,φ.,u de {3} éan inconnue, nous allons simuler de manière séquenielle comme dans la méhode MC l évoluion de la chaîne de Markov de chaque sraégie en remplaçan les élémens de la loi uniforme par les composanes de la SFD. Soi S une suie à faible discrépance de dimension n 1 + n 2. On pose : u 1 = S k k 1 : n 1, les n 1 premières composanes du kème élémen de la SFD S e u 2 k = S k n 1 + 1 : n 2, les n 2 dernières composanes du kème élémen. Les élémens de la suie u i seron alors uilisés pour simuler une hisoire de la chaîne de Markov de la sraégie i. Les événemens se produisan k dans la sraégie 2 avan l insan τ son les mêmes que ceux de la sraégie 1, ainsi la sraégie 2 es simulée à parir de l insan τ. L iniialisaion de la chaîne de Markov de la sraégie i se fera donc à l aide des m i premières composanes de la suie u i k. Pour les ransiions, on uilisera la composane suivane à chaque fois que l on aura besoin d une variable aléaoire uniforme e ainsi de suie jusqu à l aeine de l horizon. Un des inconvéniens de la méhode QMC es qu elle perd de son efficacié lorsque la dimension de la SFD augmene. Dans nore cas, la dimension de la SFD dépend du nombre de saus de la chaîne de Markov qui représene le nombre d évènemens qui se son produis dans les deux sraégies. Lorsqu il s agi d évaluer une sraégie d invesissemens sur un parc imporan de composans, le nombre de saus de la chaîne de Markov peu devenir grand. On se rerouve alors face à des problèmes de place mémoire. Pour pallier ce problème, une méhode adapée à la simulaion de chaînes de Markov a éé développée. Il s agi de la méhode Array Quasi Mone-Carlo AQMC. 4.3 La méhode Array Quasi Mone-Carlo Le principe de la méhode AQMC es de simuler plusieurs chaînes de Markov en parallèle à l aide d élémens d une SFD e de mélanger les rajecoires de ces chaînes. Elle a éé inroduie par Léco e Coulibaly Léco e al., 1998 pour simuler l évoluion de paricules de gaz dans la résoluion des équaions de Bolzmann. Lors de la simulaion, Léco e Coulibaly rajouen une éape de ri de paricules à chaque pas de emps. Les élémens de la SFD son uilisés pour évaluer la disribuion des paricules sur un pas de emps. Plus ard, Léco e Tuffin Léco e al., 2002 e El Haddad, Léco e L Ecuyer El Haddad e al., 2006 on appliqué la méhode dans le cadre de la simulaion de chaînes de Markov plus générales. L éape imporane de la méhode es l inroducion d une dépendance enre les différenes rajecoires, de elle sore que la disribuion empirique de la chaîne de Markov simulée s améliore à chaque sau. Cee dépendance es inroduie par une foncion de ri croissan des rajecoires

à chaque éape de la chaîne de Markov. L idée de ce ri es de mélanger les rajecoires afin que l espace de la chaîne soi mieux visié. Conrairemen à la méhode QMC où un élémen de la SFD perme de simuler une rajecoire de la chaîne de Markov, dans la méhode AQMC, un élémen de la SFD perme de simuler un sau d une rajecoire de la chaîne de Markov. Ainsi la dimension de la SFD n es plus liée au nombre de saus de la chaîne de Markov mais es égale au nombre de variables aléaoires uniformes sur [0, 1] nécessaires pour simuler un sau de la chaîne de Markov. Cee caracérisique perme de réduire considérablemen la dimension de la SFD lorsque le nombre de saus de la chaîne de Markov es grand. Pour évaluer par la méhode AQMC la disribuion de la VAN sur l horizon de emps fixé, nous simulons l évoluion de N chaînes de Markov pour chaque sraégie, définies en {2}, en parallèle. L idée es de simuler le 1er sau des N chaînes, de rier les chaînes, de simuler le 2ème sau, de rier les chaînes... Les différens coûs associés à une sraégie éan évalués aux insans de saus, les chaînes seron riées par ordre croissan sur les insans de saus. De plus, la dépendance enre les coûs, de par l hisorique commun aux deux sraégies, ne nous perme pas de les rier indépendammen. Nous présenons l algorihme permean d évaluer la VAN par la méhode AQMC. Tou d abord, nous pouvons remarquer dans {2} que le nombre de variables aléaoires uniformes sur [0, 1] nécessaire pour iniialiser les chaînes e pour simuler leurs ransiions son différens. Nous considérons alors deux SFD P 0 e P 1 de dimension respecive m 1 + m 2 e 1. Ainsi, les élémens de P 0 seron uilisés pour iniialiser les chaînes e ceux de P 1 pour les ransiions. On a les noaions suivanes : N le nombre de chaînes en parallèle, P 0 = {v 1,v 2,...,v N } : N élémens de la SFD de dimension m 1 + m 2 els que v k 1 : m 1 représenen les m 1 premières composanes de v k e v k m 1 + 1 : m 1 + m 2 ses m 2 dernières composanes, P 1 = {u 1,u 2,...} : les élémens de la SFD de dimension 1 els que u l1 :l 2 = {u l1,u l1 +1,...,u l2 }, Z i n = Z i n,1,zi n,2,...,zi n,n : les éas des N chaînes en parallèle de la sraégie i {1,2} e Z i n 1 : m les m premiers éas de Z n i. Lorsqu on noe Z n i 1 : m = φ n Z i n 1 1 : m,u l 1 :l 1 +m 1 cela signifie que pour ou k {1,2,...,m}, Z i n,k = φn Z i n 1,k,u l 1 +k 1 avec φ n la foncion définie en {2}, Z i n = Z i n,1,zi n,2,...,zi : les élémens de Z i n,n n riés par ordre croissan par rappor aux insans de sau, c es-à-dire Z i n,l 1 Zi i si T n,l 2 n,l 1 T i n,l 2 l 1,l 2. On a alors les éapes suivanes : Iniialisaion de la sraégie 1 Z 1 0 = Z 1 0,1,Z1 0,2,...,Z1 0,N els que Z 1 0,k = f v k 1 : m 1 pour ou k {1,2,...,N} Tri des chaînes suivan les insans de saus, on obien Z 1 e rééiqueage des chaînes Z1 0 0 Z 1 0 N m k=1 1 {T 1 le nombre de chaînes n ayan pas encore aein τ τ} 0,k n 1, l 1 1 Tan que oues les chaînes n on pas aein τ, c es-à-dire an que m 0 Simulaion de l éape suivane des chaînes qui n on pas aein τ Z 1 n 1 : m = φ n Z 1 n 1 1 : m,u l 1 : l 1 +m 1 e l 1 l 1 + m Tri des chaînes suivan les insans de saus, on obien Z 1 e rééiqueage des chaînes Z1 n n Z 1 n m N n n + 1 k=1 1 {T 1 n,k τ} le nombre de chaînes n ayan pas encore aein τ A l issue de cee boucle, oues les chaînes on aein τ e on peu à présen iniialiser la sraégie 2. Cee iniialisaion dépend des éas des composans dans la sraégie 1 à l insan τ e de l invesissemen réalisé. On obien alors : Iniialisaion de la sraégie 2 Z 2 0 = Z 2 0,1,Z2 0,2,...,Z2 0,N On consrui la chaîne couplée Z = Z 1 els que Z 2 0,k = f Z 1 N 1 τ,k vk m 1 + 1 : m 1 + m 2 pour ou k {1,2,...,N},Z 2 N 1 0 = Z 1 τ N 1 τ,1,z2 0,1,..., Z 1 N 1,Z2 τ,n 0,N qui lie les chaînes ayan un même Pour simuler la chaîne couplée Z, on va suivre les éapes de l algorihme sans l éape hisorique dans les deux sraégies. de l iniialisaion en remplaçan τ par. Dans un premier emps, on va simuler la sraégie 1 jusqu à l horizon de emps. Nous gardons la valeur finale de l 1 car cela nous perme d uiliser les ermes suivans de la SFD P 1. Ainsi, les élémens de la chaîne couplée Z seron riés par ordre croissan sur les insans de saus de la chaîne dans la sraégie 1. Lorsque oues les chaînes en parallèle on aein l horizon dans la sraégie 1, la sraégie 2 es à son our simulée jusqu à l horizon en uilisan les élémens suivans de la SFD P 1. Les deux sraégies peuven êre simulées l une après l aure grâce à l hypohèse d indépendance condiionnelle de leur évoluion sachan l éa des composans e du sock à l insan τ. Les élémens de la chaîne couplée Z seron riés par ordre croissan par rappor aux insans de saus de la sraégie 2 jusqu à l horizon. Toues les chaînes ayan

ainsi aein l horizon dans les deux sraégies, la VAN sera esimée en effecuan la différence des coûs des élémens de la chaîne couplée Z. Les méhodes QMC e AQMC ne permeen pas d esimer d inervalles de confiance des esimaions. Pour ce faire nous avons recours à des versions randomisées de ces méhodes. 5 Les méhodes de randomisaion Paran d une SFD, les méhodes de randomisaion consisen à consruire des suies aléaoires qui respecen deux propriéés : chaque poin de la suie doi avoir une disribuion uniforme sur [0,1] d la régularié des poins doi êre préservée au sens de la discrépance. Il exise plusieurs echniques permean de randomiser les SFD. Nous présenons ci-dessous celle don nous nous servons dans nos exemples numériques, d aures se rouvan dans Lemieux, 2009. La méhode die Random shif es la plus facile à mere en œuvre. Elle consise à rajouer la même loi uniforme à ous les élémens de la suie e à prendre la parie fracionnaire de la somme. Plus précisémen, nous considérons P N = { u 1,...,u N ;u i [0,1] d} un ensemble de poins d une SFD de dimension d e P N = { ũ 1,...,ũ N ;ũ i [0,1] d} sa version randomisée. Soi v = v 1,...,v d U [0,1] d, alors : ũ i = u i + v mod1 Les élémens de P N permeen alors d avoir une esimaion de la quanié recherchée par exemple l espérance de la VAN. La variance e les inervalles de confiance son esimés sur les J esimaions obenues en effecuan J randomisaions indépendanes des élémens de P N. Les méhodes RQMC e RAQMC, respecivemen les versions randomisées des méhodes QMC e AQMC, dépenden alors de deux paramères : le nombre de ermes de la SFD e le nombre de randomisaions indépendanes. 6 Exemple d un parc ficif Résulas numériques On considère m composans indépendans e ideniques de loi de Weibull λ = 60, β = 3. Les composans on un sock commun de pièces de rechange. Ils son neufs à l éa iniial e l horizon de l éude es de 60 ans. Définiion 1 La foncion de répariion d une loi de Weibull de paramères λ e β, noé W λ,β es donnée par : F x = 1 e λ x β 1 {x 0} 6.1 Sraégies à comparer Les deux sraégies à comparer son : La sraégie 1 sraégie correcive ou sraégie de référence Elle consise à remplacer un composan en panne par un composan neuf lorsqu une pièce de rechange es disponible. Lorsque le sock es vide, le composan en panne devien indisponible. La sraégie 2 sraégie prévenive ou sraégie à évaluer Elle consise à remplacer prévenivemen ous les composans par des composans neufs à l insan τ = 20 e à effecuer des remplacemens correcifs. 6.2 Logisique de sock Le sock à l insan iniial es de 1. Le sock de pièces de rechange n es uilisé que pour des remplacemens foruis : il s agi donc d un sock de sécurié. A chaque défaillance, une commande es lancée gesion par poin de commande. Le coû d acha d une pièce de rechange es facuré au momen de la commande e la durée d approvisionnemen es de 1 an. 6.3 Données économiques Le aux d acualisaion coninu uilisé es de α = 7.5%. Si on noe C un coû à l insan alors le coû acualisé à l insan 0 es: C e α. Le coû d indisponibilié quoidien par composan es c ind = 160. Le remplacemen correcif d un composan indui un coû c r = 190, hors acha de pièce de rechange. Le remplacemen prévenif es facuré à c p = 190, hors acha de pièce de rechange. Le prix d acha d une pièce de rechange es c A = 500. L objecif es d évaluer la disribuion de la VAN sur un horizon de 60 ans par les différenes méhodes précédemmen présenées. 7 Comparaison des méhodes par l erreur relaive Nous allons comparer ou d abord les méhodes QMC e AQMC enre elles par rappor à leur erreur relaive sur la valeur de référence de la VAN moyenne e de la loi de VAN à l horizon. Ensuie, nous les comparons à la méhode MC sur leurs versions randomisées. Cee comparaison es faie via l erreur moyenne commise sur la VAN moyenne e sur la loi de VAN à l insan par les méhodes RAQMC e la méhode MC.

7.1 Erreur relaive sur l espérance de la VAN à l horizon de emps Soien µ = E[V AN ] l espérance de la VAN à l horizon de emps que l on souhaie évaluer e ˆµ = 1 N N i=1 V AN i l esimaion de µ par les méhodes AQMC. On défini l erreur relaive commise sur l espérance de la VAN par : ε = ˆµ µ µ Pour comparer les méhodes aléaoires MC e RAQMC, on évalue l erreur relaive moyenne sur J simulaions resp. randomisaions indépendanes de la méhode MC resp. AQMC. On a ε j = ˆµ j µ µ où ˆµ j = 1 N N i=1 V AN j i es l esimaion de µ obenue à la j ième simulaion de la méhode MC ou randomisaion de la SFD dans les méhodes AQMC. L erreur relaive moyenne sur l espérance de la VAN se défini alors par : J ε = 1 ε j J j=1 7.2 Erreur relaive sur la loi de V AN On considère un ensemble I = {a 1,a 2,...,a ni } de n I valeurs possibles de la V AN el que a 1 < a 2 < < a ni e PV AN a ni P PV AN a 1 soi proche de 95%. On noe ɛ aj = a j V AN P a j V AN P a j avec P a j V AN = PV AN a a j e P j V AN = V AN 1 N N i=1 1 {V AN i a j } l esimaion de P a j V AN par les méhodes AQMC. ɛa j représene l erreur relaive commise au poin a j sur la foncion de répariion de la V AN. On défini l erreur relaive sur la loi de V AN par : E = 1 n I ɛ aj n I j=1 Pour évaluer l erreur moyenne sur la loi de V AN par les méhodes RAQMC e la méhode MC, nous effecuons, comme dans le cas de la VAN moyenne, J simulaions de la méhode MC ou randomisaions de la méhodes AQMC e on obien : J E = 1 E j J j=1 où E j es l erreur commise sur la loi de à la j ième simulaion de la méhode MC ou randomisaion des méhodes AQMC. 8 Cas à quare composans Nous présenons ici les résulas obenus en considéran quare composans indépendans ayan un sock commun. Les valeurs de référence son obenues en réalisan N = 10 8 simulaions de la méhode MC. Nous remarquons sur la figure 4 que les méhodes QMC e AQMC esimen bien la disribuion de la VAN à 60 ans. L erreur relaive sur la loi de la VAN es de l ordre de 10 3 à N = 2 19 = 524288. Lorsque l on évalue l espérance de la VAN à 60 ans, la convergence des méhodes es plus rapide. En effe, l erreur relaive sur l espérance de la VAN devien inférieure à 10 4 à parir de N = 2 12 = 4096 pour aeindre 10 6 à N = 2 20 = 1048576. Lorsqu on observe leurs versions randomisées sur la figure 5, nous remarquons une convergence plus rapide des méhodes de quasi Mone-Carlo par rappor à la méhode MC. Pour J = 500 simulaions ou randomisaions indépendanes, nous pouvons voir sur cee figure que pour une erreur relaive sur l espérance de la VAN de 10 3, nous avons besoin de N = 2 8 réalisaions des méhodes QMC e AQMC e de N = 2 14 = 16384 simulaions de la méhode MC. Cela signifie que, pour obenir ce niveau de précision sur l évaluaion de l espérance de la VAN, les méhodes QMC e AQMC nécessien 2 6 = 64 fois moins de rajecoires que la méhode MC. Nous pouvons aussi remarquer que la pene des méhodes RAQMC es plus fore que celle de la méhode MC. Ainsi, plus on aura des poins, plus le faceur de gain des méhodes AQMC par rappor à la méhode MC sera grand. L erreur moyenne sur la loi de la VAN des méhodes RAQMC rese aussi inférieure à celle de la méhode MC. 9 Cas à dix composans Dans le cas de dix composans, nous avons évalué N = 10 9 simulaions pour obenir les valeurs de référence. Sur la figure 6, nous remarquons une bonne esimaion de l espérance de la VAN e de la loi de la VAN par les deux méhodes déerminises avec une erreur relaive qui converge bien vers 0. Touefois, la méhode QMC renconre des problèmes de place mémoire. En effe, la dimension de la SFD es liée au nombre de saus de la chaîne de Markov, qui dépend du nombre de composans. Ce qui enraîne donc une augmenaion de la dimension de la SFD de la méhode QMC nécessaire pour évaluer la disribuion saisique de la VAN. On se rerouve ainsi face à des problèmes de place mémoire à parir de N = 2 18 = 262144, ce qui n es pas le cas de la méhode AQMC car la dimension de la SFD qu elle uilise rese égale à 1. Lorsque nous comparons les versions randomisées des méhodes AQMC, nous remarquons une amélioraion de l erreur par rappor à la méhode de MC pour un même nombre de simulaions.

10-2 QMC AQMC 10-1 QMC AQMC Erreur relaive sur l'espérance de la VAN 10-5 10-6 Erreur relaive de la loi de la VAN 10-2 10-7 8 10 12 14 16 18 20 8 10 12 14 16 18 20 K Nombre de ermes de la SFD: N=2 K K Nombre de ermes de la SFD: N=2 K Figure 4. Erreur relaive sur la VAN moyenne e la loi de la VAN à 60 ans des méhodes déerminises - 4 composans 10-1 MC RQMC RAQMC 10-1 MC RQMC RAQMC Moyenne de l'erreur relaive sur l'espérance de la VAN 10-2 10-5 Moyenne de l'erreur relaive de la loi de la VAN 10-2 10-6 8 10 12 14 16 18 K Nombre de ermes de la SFD ou de simulaions: N=2 K 8 10 12 14 16 18 K Nombre de ermes de la SFD ou de simulaions: N=2 K Figure 5. Erreur relaive sur la VAN moyenne e la loi de la VAN à 60 ans des méhodes aléaoires - 4 composans QMC AQMC 10-1 QMC AQMC Erreur relaive sur l'espérance de la VAN 10-5 10-6 Erreur relaive de la loi de la VAN 10-2 10-7 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 K Nombre de ermes de la SFD: N=2 K 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 K Nombre de ermes de la SFD: N=2 K Figure 6. Erreur relaive sur la VAN moyenne e la loi de la VAN à 60 ans des méhodes déerminises - 10 composans

10-2 MC RQMC RAQMC 10-1 MC RQMC RAQMC Moyenne de l'erreur relaive sur l'espérance de la VAN 10-5 Moyenne de l'erreur relaive de la loi de la VAN 10-2 Figure 7. 10-6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 K Nombre de ermes de la SFD ou de simulaions: N=2 K 10 11 12 13 14 15 16 17 18 K Nombre de ermes de la SFD ou de simulaions: N=2 K Erreur relaive sur la VAN moyenne e la loi de la VAN à 60 ans des méhodes aléaoires - 10 composans Conclusion Nous avons présené dans ce aricle, l uilisaion des méhodes de quasi Mone-Carlo pour évaluer la disribuion saisique de la Valeur Acuelle Nee d une sraégie d invesissemens. De manière générale, nous observons une bonne esimaion de la loi de la VAN par les méhodes QMC e AQMC que nous avons présenées. Néanmoins, lorsque le nombre de composans du parc augmene, la dimension de la SFD de la méhode QMC augmene. Des éudes héoriques Caflisch, 1998 e quelques applicaions que nous avons effecuées monren que la méhode QMC se dégrade lorsque la dimension de la SFD augmene. En plus de la dégradaion de la méhode, on renconre des problèmes de place mémoire pour socker les élémens de la SFD. Quan à la méhode AQMC, la dimension de la SFD ne varie pas avec le nombre de composans du parc. Elle es donc plus adapée à des parcs imporans de composans car elle perme d obenir de bonnes esimaions e la dimension de la SFD rese égale à 1. Pour une erreur fixée, nous remarquons dans les exemples que les méhodes AQMC nécessien moins de simulaions que la méhode MC. Nous obenons alors des résulas précis plus rapidemen qu avec la méhode MC. Il ressor de cee éude que les méhodes de quasi Mone-Carlo son adapées pour l évaluaion de sraégies d invesissemens e plus performanes que la méhode MC. L objecif final éan d opimiser des sraégies d invesissemens, il s agi mainenan de les coupler à un algorihme d opimisaion e d évaluer la viesse convergence des simulaions des méhodes. 10 Références Russel E. Caflisch, 1998, Mone-Carlo and quasi Mone-Carlo mehods, Aca Numerica, 7, 1-49 Davis M.H., 1984, Piecewise Deerminisic Markov Processes: A general class of non diffusion sochasic models. Journal of he Royal Saisical Sociey, Series B Mehodological, 463, 353-388. El Haddad R., Léco C. e L Ecuyer P., 2006, Quasi Mone-Carlo simulaion of discree-ime Markov chains on mulidimensional sae spaces, Mone Carlo and Quasi-Mone Carlo Mehods, Springer, Berlin, 413-429. Eymard R., Mercier S., Prigne A., 2008, An implici finie volume scheme for a scalar hyperbolic problem wih measure daa relaed o piecewise deerminisic Markov processes, Journal of Compuaional and Applied Mahemaics, 2222, 293-323. Lair W., 2011, Modélisaion dynamique de sysèmes complexes pour le calcul de grandeurs fiabilises e l opimisaion de la mainenance. Thèse, Universié de Pau e des Pays de l Adour. Lemieux C., 2009, Mone Carlo and Quasi Mone Carlo sampling, Mahemaics and Saisics, Springer-Verlag New-York. Léco C. e Coulibaly. I, 1998, A quasi-mone Carlo scheme using nes for a linear Bolzmann equaion, SIAM Journal on Numerical Analysis 35, 51-70. Léco C. e Tuffin B., 2002, Quasi Mone Carlo mehods for esimaing ransien measures of discree ime Markov chains. Mone Carlo and quasi Mone Carlo Mehods, Springer, Berlin, 329-344. Lonchamp J., 2005, Méhode maricielle de quanificaion des risques associés à la mainenance d un composan par un modèle semi-markovien, Congrès Qualia. Niederreier H., 1992, Random number generaion and quasi Mone-Carlo mehods, Sociey for Indusrial and Applied Mahemaics, Philadelphia.