Support de Cours d Analyse 3. avec Exercices Corrigés

République Algériee Démocratique et Populaire Miistère de l Eseigemet Supérieur et de la Recherche Scietifique Uiversité de Béjaia Faculté des Scieces Exactes Départemet de Recherche Opératioelle Support de Cours d Aalyse 3 avec Exercices Corrigés Proposé par : M me AOUDIA ée RAHMOUNE Fazia Béjaia, jui 205

Avat-propos Ce polycopié est ue partie du programme officiel du module d Aalyse 3 destié pricipalemet aux étudiats e deuxième aée licece mathématiques appliquées, mais peut évetuellemet être utile pour les étudiats e deuxième aée licece mathématiques, scieces techiques, iformatique (das le cadre du système L.M.D.), et toute persoe souhaitat coaître les techiques de calcul des sommes ifiies das le cas cotiu et das le cas discret. Le iveau mathématique requis est celui de la première aée Licece M.A, M.I ou ecore S.T. Le coteu de cette matière est la base de toute itroductio à l aalyse mathématique. Elle est cosidérée comme suite logique ou ecore ue extesio directe des deux matières Aalyse et Aalyse 2 vues e première aée. Elle permet à l étudiat d acquérir le maximum de techiques mathématiques écessaires pour la plupart des matières étudiées le log de so cursus, à savoir : Aalyse umérique, probabilités et statistiques, programmatio mathématique et optimisatio, processus aléatoires et files d attete...etc. Ce polycopié comporte trois chapitres pricipaux, où sot exposées les otios de séries umériques, de suites de foctios et de séries de foctios. Chaque chapitre se termie par quelques exercices corrigés permettat de cotrôler l acquisitio des otios essetielles qui ot été itroduites. Je e saurais pas termier cet avat-propos sas u grad hommage plus persoel à mes collègues eseigats ayat expertisé sérieusemet ce polycopié. Je souhaite remercier égalemet et tout particulièremet os lecteurs. Efi, des erreurs peuvet être relevées, prière de les sigaler à l auteur.

Table des matières Avat-propos Table des matières Avat Propos 3 Les Séries Numériques 4. Itroductio................................... 4.2 Défiitios et Propriétés............................ 4.2. Suite des Sommes Partielles...................... 4.2.2 Série Géométrique........................... 6.2.3 Coditio Nécessaire de Covergece................. 7.2.4 Opératios sur les Séries........................ 7.2.5 Critère de Cauchy............................ 9.2.6 Covergece Absolue.......................... 0.3 Séries à Termes Positifs............................. 0.3. Critères de Comparaiso.........................3.2 Séries de Riema........................... 3.3.3 Critère de Comparaiso à ue Série de Riema........... 3.3.4 Critères d équivalece......................... 4.4 Critère Itégrale de Cauchy.......................... 5.5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques.......... 6.5. Critère de Comparaiso à ue Série Géométrique.......... 6.5.2 Règle de Cauchy............................ 7.5.3 Règle de d Alembert.......................... 8.5.4 D autres Critères de Covergece................... 9 2

Avat Propos 3.5.5 Critère d Abel.............................. 9.6 Séries Alterées................................. 20.7 Produit de deux Séries............................. 20.8 Exercices..................................... 2 2 Les Suites de Foctios 32 2. Covergece Simple............................... 32 2.2 Critère de Cauchy................................ 34 2.3 Covergece Uiforme............................. 35 2.4 Covergece Uiforme de Cauchy....................... 36 2.5 Propriétés de la foctio limite d ue suite de foctios........... 36 2.5. La cotiuité.............................. 36 2.5.2 L itégrabilité.............................. 37 2.5.3 La dérivabilité.............................. 39 2.6 Exercices..................................... 4 3 Les Séries de Foctios 49 3. Critère de Covergece Simple......................... 49 3.. Coditio Nécessaire de Covergece Simple............. 50 3..2 Critère de Cauchy............................ 50 3.2 Covergece Uiforme............................. 5 3.2. Coditios Nécessaires de Covergece Uiforme.......... 5 3.2.2 Critère Uiforme de Cauchy...................... 52 3.3 Critère de Covergece Normale........................ 52 3.4 Critère Uiforme d Abel............................ 53 3.5 Propriétés des Sommes des Séries de Foctios................ 54 3.5. Cotiuité................................ 54 3.5.2 Itégrabilité............................... 55 3.5.3 Dérivabilité............................... 55 3.6 Exercices..................................... 56 Bibliographie 70

Chapitre Les Séries Numériques. Itroductio Etat doée ue suite umérique (U ) N de ombres réels, o sait alors que la somme d u ombre fii de ses termes est fiie. Mais ce est pas toujours le cas quad o passe à u ombre ifii de termes. O se propose alors de doer u ses à l expressio U. Il est aisi aturel de former les sommes partielles S = U 0 + U + U 2 +... + U et d étudier la limite de la suite (S ) N. E otat S = lim S, si cette limite existe, + o coviet de poser S = + U et de dire que S est la somme de la série U. =0 Ce chapitre est cosacré aux coditios écessaires et suffisates de la covergece de la suite (S ) N et à la gééralisatio des propriétés coues sur les sommes fiies..2 Défiitios et Propriétés.2. Suite des Sommes Partielles Défiitio.2.. Soit (U ) N ue suite umérique de ombres réels ou complexes. O appelle ue série de terme gééral U, otée U, la suite des sommes partielles (S ) N défiie par S = U 0 + U + U 2 +... + U. Si cette suite est covergete vers ue limite S, o dira que la série U est covergete et a pour somme la valeur S et ous écrivos alors S = + U. Das le cas cotraire, o dira que la série U est divergete. =0 4

.2 Défiitios et Propriétés 5 Remarque.2... Cette défiitio peut costituer u premier critère doat ue coditio à la fois écessaire et suffisate de covergece des séries umériques, dit critère des suites des sommes partielles. 2. Si la suite (U ) k est défiie qu à partir d u certai rag k, il e est de même pour la suite des sommes partielles qui lui est associée doée par S = doc même pour la série e questio et l o écrit k U. Exemple.2.. Pour la série de terme gééral U = sommes partielles qui lui est associée [ est doée par : S = U p = p(p + ) = p ] = p + + p= p= p= m=k U m et,, la suite des ( + ) quad +. Aisi, la suite (S ) est covergete vers. Par coséquet, la série aussi covergete de somme S =. ( + ) est Exemple.2.2. Pour la série de terme gééral U = +,, la suite des sommes partielles qui lui est associée est doée par : S = U p = ( + ) = [ + ] + quad +. p= p= Aisi, la suite (S ) est divergete, ce qui etraîe la divergece de la série ( + ). Défiitio.2.2. Soit U ue série umérique réelle ou complexe covergete, de somme S. Alors, so reste d ordre N oté R N est doé par : R N = S S N = U =N =0 U = N+ Théorème.2.. Si ue série umérique réelle ou complexe U est covergete alors so reste d ordre N coverge vers zéro. Preuve.2.. Pour démotrer ce résultat il suffit de cosidérer l égalité suivate : R N = S S N = U et de faire u passage à la limite des deux cotés. =N =0 U = N+ U U

.2 Défiitios et Propriétés 6.2.2 Série Géométrique Défiitio.2.3. O appelle série géométrique de raiso K de R ou de C et de premier terme U 0 toute série de terme gééral U = (K) U 0 pour U 0 0. Examios de près les coditios de covergece d ue telle série. Pour cela, o défiit d abord la suite des sommes partielles (S ) N qui lui est associée, doée par : S = U p = p=0 p=0 (K) p U 0 = U 0 ( K + K ) ; K Il est clair que la suite (S ) N coverge si K <. Das ce cas, o dira que la série géométrique U est covergete et a pour somme la valeur S = U 0 K. Si K, alors la suite (S ) N est divergete, ce qui etraîe la divergece de la série géométrique U. Exemple.2.3.. La série de terme gééral U = e est ue série géométrique de raiso K = e <, doc covergete. 2. La série de terme gééral U = 2 est ue série géométrique de raiso K = 2 >, doc divergete. Remarque.2.2. Il faut predre garde de e pas cofodre l étude de la série U avec celle de la suite (U ) N. E effet, repreos l exemple (.2.2) où la série U = ( + ) était divergete, bie que la suite (U ) N soit covergete vers zéro. Remarque.2.3. La ature d ue série, e terme de covergece ou de divergece, est ue propriété asymptotique. Autremet dit, si o modifie u ombre fii de termes, ceci e va pas ifluecer la ature de la série e questio. E effet, o a bie U = U + =0 U. Sachat que la somme p U est fiie, alors la ature de la série U, mais o p+ =0 pas sa somme, déped uiquemet de celle de la série U. p+ Remarque.2.4. Comme o peut bie le costater, le critère de la suite des sommes partielles associée est loi d être facile à appliquer, car il demade explicitemet l expressio p

.2 Défiitios et Propriétés 7 aalytique exacte de celle-ci, chose qui est pas toujours facile à détermier. E effet, il suffit de cosidérer par exemple la série harmoique. Pour remédier à ce problème, il a fallu cocevoir d autres critères qui ous permettet de juger de la ature d ue série umérique sas autat passer par l expressio aalytique de la suite des sommes partielles qui lui est associée. Ces critères peuvet costituer soit ue coditio écessaire de covergece, ou bie ue coditioi suffisate ou ecore ue coditio à la fois écessaire et suffisate..2.3 Coditio Nécessaire de Covergece Théorème.2.2. Pour qu ue série umérique U soit covergete, il est écessaire, mais pas suffisat, que so terme gééral U tede vers zéro, quad ted vers l ifii. Autremet dit, U Coverge = lim + U = 0. Preuve.2.2. Supposos que la série U est covergete et motros alors que so terme gééral U ted vers zéro. Soit (S ) N la suite des sommes partielles associée à la série U. Alors S = U p et S = U p. Aisi, S S = U. Or, si p=0 p=0 la série U coverge ceci est équivalet à dire que la suite (S ) N coverge vers S. Autremet dit, o aura d ue part lim S = S (existe, fiie et uique). D autre part, + lim (S S ) = lim U = 0. Ce qui achève la démostratio. + + Exemple.2.4. O a déjà vu que la série ( + ) est divergete bie que so terme gééral tede vers zéro. Exemple.2.5. O va voir u peu plus loi, que la série aussi divergete bie que so terme gééral ted vers zéro..2.4 Opératios sur les Séries dite série harmoique est Défiitio.2.4. Soiet U et V deux séries. La série somme est la série de terme gééral W = U + V et o écrit + U + + V = + (U + V ). =0 =0 =0

.2 Défiitios et Propriétés 8 De même, le produit de la série U par le ombre réel ou complexe λ est ue série de terme gééral λu et o écrit λ + U = + (λu ). =0 =0 Propositio.2.. Si les séries U et V sot covergetes et ot pour somme S et S respectivemet, alors la série (U + V ) est covergete et a pour somme S + S et la série (λu ) est aussi covergete et a pour somme λs. Remarque.2.5.. Ces deux propriétés de liéarité (sommatio et produit par u scalaire) cofèret à l esemble des séries umériques covergetes la structure algébrique d u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel de toutes les séries umériques. 2. L esemble des séries umériques divergetes est pas u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel de toutes les séries umériques, car la somme de deux séries divergetes est pas toujours ue série divergete, sauf si elles sot de même sige, comme ous le motret les exemples suivats. 3. Si λ 0 alors les séries U et ) sot de même ature. (λu 4. Si la série U est covergete et V est divergete alors la série somme + (U V ) est aussi divergete. Exemple.2.6. que la série. O voit bie que la série soit divergete. = 0 est covergete bie 2. La série ( + ) est divergete comme ue somme de deux séries à termes + positifs divergetes. Remarque.2.6. Quad o e coait pas explicitemet l expressio aalytique de la suite des sommes partielles (S ), le passage à la limite fait défaut pour retrouver sa ature et doc même celle de la série correspodate. Das ce cas, o fait appel au critère dit de Cauchy suivat.

.2 Défiitios et Propriétés 9.2.5 Critère de Cauchy O sait déjà que l étude de la série U est équivalete à celle de la suite des sommes partielles qui lui est associée (S ). O sait aussi qu ue suite umérique est covergete si et seulemet si elle est de Cauchy. Nous pouvos éocer à préset le critère de Cauchy sur les séries umériques doé par le théorème suivat. Théorème.2.3. Pour qu ue série umérique U soit covergete, il est écessaire et suffisat qu elle soit de Cauchy. Autremet dit, U Coverge ɛ > 0, N ɛ tel p que p > q > N ɛ, o ait U < ɛ. =q+ Preuve.2.3. Il suffit juste d appliquer le critère de Cauchy à la suite des sommes partielles (S ), pour avoir S p S q = U q p p U = U. =0 =0 =q+ Remarque.2.7. Le critère de Cauchy est ous doe ue coditio à la fois écessaire et suffisate de covergece. Exemple.2.7. Pour motrer que la série harmoique est divergete, il suffit de motrer que la suite des sommes partielles qui lui est associée (S ) est pas de Cauchy. E effet, pour S = p= p et pour (p = 2, q = ) N N, o obtiet : S p S q = S 2 S = + + + 2 +... + 2 > 2 + 2 +... + 2 = ( 2 ) = 2. Il suffit aisi de choisir ɛ = 2, pour que (S ) e soit pas de Cauchy, et doc pour que la série harmoique soit divergete. Remarque.2.8. Les critères de covergece que l o a vus jusqu ici, reposet sur l expressio aalytique de la suite des sommes partielles (S ), qui est pas toujours facile à détermier. C est pour cette raiso qu il a fallu cocevoir d autres critères qui ous permettet de juger de la ature d ue série umérique U, sas autat passer par la détermiatio de la suite des sommes patielles qui lui associée. Autremet dit, des critères e teat compte que du terme gééral U.

.3 Séries à Termes Positifs 0.2.6 Covergece Absolue Défiitio.2.5. La série U est dite absolumet covergete si la série U est covergete. De la propriété triagulaire de la valeur absolue combiée avec le critère de Cauchy, résulte le théorème suivat. Théorème.2.4. Pour que la série umérique U soit covergete, il suffit qu elle soit absolumet covergete. Exemple.2.8.. La série ( ) est absolumet covergete. E effet, o a : ( + ) ( ) ( + ) = ( + ),. Or, o a déjà vu que la série est covergete. O déduit aisi la covergece absolue de ( ). Ce qui etraie sa ( + ) ( + ) covergece. Remarque.2.9.. La réciproque de ce résultat est pas toujours vraie. E effet, il suffit de cosidérer la série ( ) et de motrer, e se servat du critère de cauchy, qu elle est covergete sas qu elle soit absolumlet covergete. Notos que cette série est dite alterée (voir u peu plus loi). 2. Ce résultat motre l itérêt des séries umériques à termes positifs. Nous verros aussi plus loi, qu il y a des séries covergetes sas qu elles soiet absolumet covergetes. De telles séries sot dites semi-covergetes..3 Séries à Termes Positifs Vu l importace des séries à termes positifs, plusieurs critères de covergece ot été établis pour cette classe particulière de séries. Les plus pratiques sot éocées das la présete sectio. Notos que ces mêmes critères sot aussi valables pour les séries à termes égatifs. Défiitio.3.. La série U est dite à termes positifs si so terme gééral U est positif, pour tout N. Formellemet ceci veut dire que : U 0, N.

.3 Séries à Termes Positifs Théorème.3.. Pour que la série umérique U soit covergete, il faut et il suffit que la suite des sommes partielles (S ) qui lui est associée soit majorée. Aisi, la somme de la série S = + U est autre que la bore supérieure de la suite (S ). =0 Preuve.3.. Pour la démostratio de ce théorème, il suffit juste de remarquer que la suite des sommes partielles (S ) associée à ue série à termes positifs est croissate et de faire appel par la suite aux résultats fodametaux cous sur les suites mootoes. Exemple.3.. Pour tout k 2, la série est covergete car la suite des sommes k partielles qui lui est associée est majorée. E effet, o a : pour tout k 2, k <, >. 2 ( ) E otat par S la suite des sommes partielles qui lui est associée, o aura : S = p k p + 2 p(p ) = 2 2 p= p= p=2 Aisi, la suite (S ) est majorée par 2, doc la série correspodate est covergete et a pour somme ue valeur S, telle que 0 < S 2. Remarque.3... Ue série à termes positifs diverge d ue seule maière, qui correspod à lim S = +. + 2. Les résultats qu o viet d éocer sur les séries à termes positifs sot aussi valables pour les séries umériques à termes positifs à partir d u certai rag car la somme des premiers termes o positifs est fiie. Cette derière iflue sur la valeur de la somme de la série e questio mais o pas sur sa ature. Exemple.3.2. La série umérique de terme gééral U = positifs à partir de 5. Sa somme + =0, 4.3. Critères de Comparaiso ( 4)( + ) ( 4)( + ) est fiie. est à termes La otio de comparaiso des séries umériques réelles ou complexe découle de la relatio d ordre totale que l o coait sur l esemble des ombres réels.

.3 Séries à Termes Positifs 2 Théorème.3.2. Soiet U et V deux séries à termes positifs vérifiat U V, 0. i)- Si la série V coverge alors la série U est aussi covergete et o écrit + =0 U + V. =0 ii)- Si la série U diverge, il e sera de même pour la série V. Ituitivemet, ceci veut dire que, toute quatité positive iférieure à ue quatité fiie est elle même fiie. Iversemet, toute quatité supérieure à ue quatité ifiie positivemet est elle même ifiie. Preuve.3.2. Pour motrer i), il suffit d utiliser le résultat éocé au Théorème.3., relatif à la propriété de la suite des sommes partielles associée à ue série à termes positifs, puis de cosommer le résultat de la remarque.3. pour motrer ii). Exemples.3... La série e est covergete. E effet, o a bie ( + ) e ( + ) ( + ),. Or, o a déjà vu que la série ( + ) est covergete. E vertu du critère de comparaiso, o déduit la covergece de e ( + ). 2. La série e est divergete. E effet, o a bie e >,. Or, la série est divergete. E vertu du critère de comparaiso, o déduit la divergece de e. Remarque.3.2.. Ces critères costituet ue coditio suffisate de covergece mais o pas écessaire. 2. Pour pouvoir appliquer ces critères de comparaiso à des séries à termes égatifs ou ecore à des séries e gardat pas u sige costat, il susffit de multiplier so terme gééral U par u ( ) ou ecore de predre sa valeur absolue, comme ous le motret les exemples suivats.

.3 Séries à Termes Positifs 3 Exemple.3.3.. La série e ) qui est à termes égatifs pour tout est covergete. E effet, il suffit de la multiplier par ( ), pour avoir : e e pour tout et que la série e est série géométrique covergete. 2. La série cos dot le terme gééral e garde pas u sige costat est 2 ( ) covergete car elle est absolumet covergete. E effet, o a bie pour tout, cos ( ) ( ). Or, o a déjà établi la covergece de la série 2 ( ). E vertu du critère de comparaiso combié avec celui de covergece absolue, o déduit la covergece absolue de cos qui implique immédiatemet sa covergece. 2 ( ) De ces critères de comparaiso découlet plusieurs critères. Etre autres, o retrouve ceux dits d équivalece et celui de comparaiso à ue série de Riema..3.2 Séries de Riema Défiitio.3.2. Ue série de Riema est ue série umérique à termes positifs, de terme gééral U = α, α R. Les séries de Riema formet ue classe particulière des séries à termes positifs. Théorème.3.3 (Coditios de covergece d ue série de Riema). La série de Riema coverge si et seulemet si α >. α Preuve.3.3. Ce résultat peut être démotré de différetes maières mais ous avos opté pour le critère itégrale de Cauchy que l o verra u peu plus loi..3.3 Critère de Comparaiso à ue Série de Riema Théorème.3.4. Soit U ue série à termes positifs.. Si α > tel que lim + α U = 0, alors la série U va coverger. 2. Si α tel que lim + α U = +, alors la série U va diverger.

.3 Séries à Termes Positifs 4 Preuve.3.4. C est ue coséquece immédiate du critère de comparaiso combié avec la défiitio de la limite d ue suite umérique. Exemples.3.2.. La série lim + e 2 est covergete. E effet, o a bie e α = 0, α. Ce résultat reste vrai pour tout α >. 2 2. La série e est divergete. E effet, o a bie lim reste vrai pour tout α. + α e = +, α. Ce résultat Remarque.3.3. Ce critère est aussi valable pour les séries à termese quelcoques, à coditio de predre leur valeur absolue..3.4 Critères d équivalece Ces critères ous permettet de rameer l étude d ue série umérique compliquée à celle d ue série plus simple. La techique de calcul utilisée est gééralmet celle des dévellopemets. Théorème.3.5. Soiet U et U V deux séries à termes positifs avec lim = + V L = Cte < +. Alors la covergece de la série V etraîe celle de la série U. Si de plus L 0, alors les deux séries sot de même ature. Preuve.3.5. Pour démotrer ce résultat, il suffit d appliquer la défiitio de la limite et de se servir par la suite des résultats des critères de comparaiso. E effet, avoir : U lim = L = Cte < + ɛ > 0, N, > N U + V L V < ɛ ɛ > 0, N, > N (L ɛ)v < U < (L + ɛ)v. U Remarque.3.4. Das le cas particulier où lim = L =, o dit alors que les deux + V suites (U ) et (V ) sot équivaletes, et o écrit U V. Théorème.3.6. Soiet U et V deux séries à termes positifs ou à sige costat, telles qu au voisiage de l ifii o a U V, alors les deux séries sot de même ature.

.4 Critère Itégrale de Cauchy 5 Preuve.3.6. Ce résultat est ue coséquece immédiate du Théorème.3.5, e preat L =. Remarque.3.5. Ce critère s applique même sur les séries umérqiues positives à partir d u certai rag. Exemples.3.3.. La série V (+ ), si 2 2. Or, si est covergete car quad 2 2 est ue série de Riema covergete. Par coséquet la série si coverge aussi. Notos que la série si est bie 2 2 à termes positifs. 2. La série ( log ). Or, ( log ) ( est divergete car quad V (+ ), log ) est ue série harmoique divergete. Par coséquet la série diverge aussi..4 Critère Itégrale de Cauchy Soit U ue série à termes positifs, où (U ) N est décroissate tedat vers zéro. Si das u système d axe OXY, e traçat la courbe qui passe par les poits (x, y) = (, U ), il est toujours possible de trouver ue foctio f décroissate de R + R + cotiue dot la représetatio graphique est justemet cette courbe, o a alors le résultat éocé par le Théorème suivat. Théorème.4.. Soit f ue foctio de R + das R +, cotiue et décroissate. La série + de terme gééral U = f() est de même ature que l itégrale f(x)dx. Exemple.4.. La série de Riema est covergete si et seulemet si α >. E α effet, si α 0, alors la série divergete car la coditio écessaire de covergece α est même pas vérifiée. Il ous reste le cas où α est positif, pour lequel le terme a

.5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques 6 gééral α est décroissat positivemet vers zéro. Par coséquet, pour α > 0, la série + est de même ature que l itégrale I(α) = dx. Cherchos alors la ature de I(α). α xα. Si α =, I(α) = I() = + I(α) = + dx x α = A lim dx A + x = α α [ ] { A + Si α < ; lim A + α x α = 2 l < + Si α >. dx A x = lim A + dx x = lim [log log A + x]a = +. Par coséquet, I(α) coverge si α > et diverge sio. E vertu du critère itégrale de Cauchy, o déduit la covergece de la série de Riema si et seulemet si α >..5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques.5. Critère de Comparaiso à ue Série Géométrique Par comparaiso avec la série géomètrique de raiso K, o obtiet le résultat doé par la propositio suivate. Propositio.5.. Soit U ue série à termes quelcoques. Si il existe u ombre réel ou complexe K, 0 < K < tel que, pour tout assez grad, l iégalité U K est vérifiée, alors la série U est absolumet covergete. Preuve.5.. La preuve de ce résultat est immédiate, ue fois combié le critère de comparaiso établi pour les séries à termes positifs avec le résultat de covergece d ue série géométrique.

.5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques 7 Exemple.5... La série e e est covergete. E effet, o a bie 2 ( + ) e,. Or, la série e est ue série géométrique de raiso e <, doc covergete. E vertu du critère.5., o déduit la covergece de e 2. 2. La série si est covergete. E effet, o a bie si 2,. 2 2 3. La série cos est absolumet covergete. E effet, o a bie cos 2 2 ( ),, qui est le terme gééral d ue série géométrique de raiso K = 2 2 <, doc covergete. E vertu du critère.5., o déduit la covergece absolue de cos 2. Remarque.5.. Pour répodre à la questio d existece du ombre réel K, 0 < K < vérifiat l iégalité U K, l idée la plus aturel est d étudier la ature de la suite ( U ) N. Ce qui ous coduit à la Règle de Cauchy..5.2 Règle de Cauchy Propositio.5.2. Soit U ue série à termes quelcoques et supposos que la limite L = U, existe. Alors lim +. si L <, la série U est absolumet covergete ; 2. si L >, la série U est divergete ; 3. si L =, o e peut rie dire de la ature de la série U. Preuve.5.2.. Si L <, o procède par défiitio puis par comparaiso de la série iitiale à ue série géométrique. E effet, si L <, alors il existe u réel k, tel que L < k <. Aisi, pour assez grad, o aura : U < k. D où U < k. La covergece de la série géométrique de raiso k etraie la covergece absolue de la série de terme gééral U. 2. Si L >, alors le terme gééral U e ted jamais vers zéro quad ted vers l ifii. Ce qui etraie la divergece de la série correspodate.

.5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques 8 Exemples.5... La série de terme gééral U = 2 2 est covergete car : lim + U = lim + = lim 2 2 + 2 = 0 <. ( + 2. La série de terme gééral U = ) 2 est divergete car : lim + U = lim + ( ) + = e >. ( ) + 3. O e peut rie dire sur la ature de la série de terme gééral U = via ( ) + la règle de Cauchy, car : lim U = lim =. + +.5.3 Règle de d Alembert Propositio.5.3. Soit U ue série à termes quelcoques et supposos que la suite ( ) U + est défiie pour assez grad et admet ue limite L quad ted vers l ifii. U Alors. si L <, la série U est absolumet covergete ; 2. si L >, la série U est divergete ; 3. si L =, o e peut rie dire de la ature de la série U. Preuve.5.3. U raisoemet aalogue à celui utilisé pour démotrer la règle de Cauchy ous permet de démotrer la règle de d Alembert. Exemples.5.2.. La série de terme gééral U = est covergete car : lim + U + U = lim + ( ) = lim ( + ) + + + + = 0 <. 2. La série de terme gééral U = e est divergete car :

.5 Critères de Covergece des Séries à Termes Quelcoques 9 lim + ( U + e + U = lim + + ) e = e lim + + = e >. 3. O e peut rie dire sur la ature de la série de terme gééral U = log règle de d Alembert, car : lim U + + U = lim log + ( + ) log( + ) =..5.4 D autres Critères de Covergece Théorème.5.. Soit (a ) N ue suite à termes poisitifs telle que via la lim a = a > 0. + Si U = a.v, N et que V est ue série à termes positifs, alors les séries U et V sot de même ature. Preuve.5.4. Pour motrer ce résultat, il suffit d appliquer la règle de d Alembert. Exemple.5.2. La série de terme gééral U = + 3 2 + 2 décompositio, o aura U = a.v, où a = + 3 + 2 est divergete. E effet, après > 0, N avec lim a = > 0 + et V = est ue série divergete. E vertu du Théorème.5., o déduit la divergece de la série U. Propositio.5.4. Soiet (U ) N et (V ) N deux suites umériques vérifiat U = V + V, N. Alors la série U est de même ature que la suite (V ) N. Preuve.5.5. Pour motrer ce résultat, il suffit d utiliser le critère des suites des sommes partielles assosiées. E effet, si U = V + V, N U k = V k+ + V k = V + V 0. C est à dire que S = V + V 0, où (S ) N la suite des sommes partielles associée à la série U. Ce qui motre qu elles sot bie de même ature. k=0 k=0 k=0.5.5 Critère d Abel Théorème.5.2. Soit U ue série à termes quelcoques e gardat pas u sige costat, de la forme U = a b. Si la suite (b ) N est positive, décroissate et ted vers zéro, et que la suite S = a p est borée, alors la série a b est covergete. p=0

.6 Séries Alterées 20 Exemple.5.3. La série si est covergete, car pour tout, le terme gééral U = a b, où la suite a = qui est bie positive et décroissate vers zéro, et la suite des sommes partielles associée à la suite b = si [ est borée. E effet, pour tout : S = b p = si p = ] [ Im (e ip ) = ] Im e ip e ip = ei e ip = p= p= p= p= p= p=0 ei ei e i = ei e i e i 2 = 2 2 cos si = M. 2 Remarque.5.2. Notos que tous ces critères de covergece établis jusqu ici sur les séries à termes quelcoques restet valables pour détermier la ature des séries à termes positifs..6 Séries Alterées Défiitio.6.. La série U est dite alterée si so terme gééral U = ( ) V, où V 0, N. Théorème.6.. Soit U = ( ) V ue série alterée. Si pour tout N, la suite (V ) N est décroissate et ted vers zéro, alors la série U est covergete. De plus, si R = + k=+ ( ) k V k est so reste d ordre, alors o a R V +. Exemple.6.. La série ( ) ets ue série alterée covergete. Remarque.6.. Le critère de covergece des séries alterées est u cas particulier du critère d Abel..7 Produit de deux Séries Défiitio.7.. Soiet U et V deux séries umériques. La série produit des deux séries U et V est ue série W, où W = U p V p, N. p=0

.8 Exercices 2 Théorème.7.. Soiet U et V deux séries umériques à termes quelcoques absolumet covergetes, de sommes U et V repectivemet. Alors la série produit W est aussi absolumet covergete et a pour somme la valeur UV. Théorème.7.2. Soiet U et V deux séries umériques à termes positifs covergetes, de sommes U et V repectivemet. Alors la série produit W est aussi covergete et a pour somme la valeur UV. Exemple.7.. Pour les séries umériques de terme géaral U = V =, la série 2 ( ( ) produit U ) V est de terme gééral W = U p V p = +, N, p=0 2 covergete et de somme égale ( +. =0.8 Exercices ) ( + ) U V = =0 + =0 ( + ) 2 + = = 4 2 2 =0 Exercice.8.. Doer la ature des séries umériques suivates e se servat du critère des suites des sommes partielles associées. a = ( + ) 3 ; b = ( ( ) ) 3 c = + 2 + + 3 + 2 3 + + 3. d = 4 ( + ) 3 ; v =! 4 + 2 + ; w = log( 2 ). Corrigé.8.. Notos par (A ), (B ), (C ), (D ), (V ) et (W ) les suites des sommes partielles associées aux séries précédetes respectivemet. Alors, o aura :. A = a p = p=0 p=0 p + 3 p = p=0 3 + p p=0 p 3 p = (/3)+ 3 S = (/3)+ 3 + 2 ; 3 S = p p=0 3 = p p p= 3 = p p=0 + p + 3 p+ = 3 A. p=0 p 3 p = S + S, où

.8 Exercices 22 Aisi, o aura A = S + 3 A lim A = + lim + S + 3 lim A + Par coséquet, la série a coverge et a pour somme la valeur 9/4. 2. B = b p = (p ( ) p ) = p=0 p=0 3 p p=0 S = p 3 = p S Aisi, o obtiet p= p=0 = ( /3)+ + 3 p 3 ( ) p = S p p=0 3 p S, où p + 3 p+ = 3 A + 3 9 4 = 3/4; + 3 4. B = S S = 3 A ( /3)+ + 3 + 0. Par coséquet, la série b coverge et a pour somme la valeur ulle. 3. C = c p = p= p= + 2 + + p = 3 + 2 3 + + p 3 p= + 2 + + p = ( + 2 + + p) 2 2 ( p= p p + ) = 2( + ) + 2. Par coséquet, la série c coverge et a pour somme la valeur 2. lim A = 9 + 4. 4. D = d p = p 4 (p + ) 3 = p 4 p=0 p=0 p! p=0 p! (p + ) 3 ( + )3 = 0. p=0 p!! Par coséquet, la série v coverge et a pour somme la valeur ulle. p= 2 p(p + ) = 5. V = v p = p=0 p=0 p p 4 + p 2 + = p=0 p (p 2 + p + )(p 2 p + ) = 2 p 2 p + p }{{} 2 + p + }{{} =x p =x p+ p=0 = 2 p=0 (x p x p+ ) = 2 (x 0 x + ) = 2 ( 2 + + ) + Par coséquet, la série v coverge et a pour somme la valeur /2. 2.

.8 Exercices 23 6. W = w p = p=2 log( p ) = 2 p=2 (log(p + ) + log(p ) 2 log p) p=2 = log 2 log + log( + ) = log 2 log + + log 2. Par coséquet, la série w coverge et a pour somme la valeur log 2. Exercice.8.2. Soit à étudier la ature de la série umérique de Bertrad de terme gééral U =, où α R, β R. α (log ) β Corrigé.8.2. Vérifios d abord la coditio écessaire de covergece, e cherchat : 0 Si α > 0, β > 0; lim U + Si α < 0, β > 0; = lim + + α (log ) = 0 Si α = 0, β > 0;. β Si α = 0, β = 0; + Si α = 0, β < 0. Aisi la coditio écessaire est vérifiée que si (α > 0, β) ou (α = 0, β > 0). Ce qui etraie la divergece de la série U pour tout (α < 0, β > 0) ou (α = 0, β 0). Notos que la série U et à termes spositifs. O peut alors lui appliquer le critère de comparaiso à ue série de Riema, e cherchat : lim + γ U = lim + 0 Si γ α < 0, β; (i) + Si γ α > 0, β; (ii) 0 Si γ α = 0, β > 0; (iii). Si γ α = 0, β = 0; (iv) + Si γ α = 0, β < 0 (v). De (i), o a bie γ α (log ) β = lim + γ α (log ) β = lim + γ U = 0, γ α < 0, β lim + γ U = 0, α > γ, β. E particulier, Or pour γ >, la série γ α > et β. lim + γ U = 0 même pour tout α > γ >, β. est covergete. Par coséquet, la série U coverge si

.8 Exercices 24 γ, β. De (ii), o a bie lim + γ U = +, γ α > 0, β lim + γ U = +, α < E particulier, Or pour γ <, la série γ α < et β. lim + γ U = + même pour tout α < γ <, β. est divergete. Par coséquet, la série U diverge si Il reste le cas où α =, β R. Das ce cas, o peut appliquer le critère Itégrale de Cauchy, car la foctio x f(x) = est bie positive, décroissate et tedat x(log x) β vers zero. Aisi, la série dx U est de même ature que l itégrale I(β) = k x(log x), que β l o va établir comme suit : I(β) = k dx x(log x) β = A lim A + k dx x(log x) β [ ] A A = lim x A + k (log x) dx = lim (log β x) β, β A + β k = β (log k) β Si β > ; () + Si β <. (2) De () et (2), o déduit que l itégrale I(β) est covergete si α =, β > et divergete si α =, 0 < β <. Par coséquet, la série U est covergete si α =, β > et divergete si α =, 0 < β <. Si α = et β =, alors : I(β) = k dx x log x = lim A A + k dx x log x = A lim A + k x log x dx = lim [log log x] = +. A + Ce qui implique la divergece de I(β), et doc celle de la série U, si α = et β =.

.8 Exercices 25 Coclusio : La série de Bertrad coverge si (α >, β) ou (α =, β > ) et diverge si (α <, β) ou (α =, β ). Exercice.8.3. Idiquer la ature de la série U das chacu des cas suivats : a)- U = 2 + 3 ; b) U = (log ), p > 0; c) U p = 2 (si 2 α)2, α [0, π 2 ]; d) U = + log ; e)- U = si2 ; f) U α = [ + ( ) log ]; g) U α = h) U = ( + )α, α > 0. Corrigé.8.3. Notos que les séries proposées sot à termes positifs. 2α α + log, a)- Il suffit de remarquer que U = 2 + 3 (2/3) qui est le terme d ue série géométrique de raiso k = (2/3) <, doc covergete. Ce qui etraie la covergece de la série 2 + 3. b)- Il suffit d utiliser le critère de comparaiso à ue série de Riema. E effet, o a bie lim + α U = lim = +, α 0 et pour tout p > 0. E (log ) p particulier, ceci est vrai même pour u 0 α et idépedemmet de p. Or, pour α, la série de Riema est divergete. Ce qui etraîe la divergece de α, p > 0. (log ) p 2 2 + α c)- Pour la série (si 2 α)2, α [0, π ], o a deux cas à distiguer : 2 i)- Si α = 0, alors U = 0. ii)- Si α ]0, π ], il suffit d appliquer la règle de d Alembert. E effet, o a : 2 U + lim = lim + U + 2 + ( + ) 2 2 2 = 2 lim + ( + )2 = 2 >. De i) et ii), o déduit la covergece de la série 2 2 (si α)2 si et ssi α = 0.

.8 Exercices 26 d)- U = + log = + log = V + W. La série V = est ue série de Riema covergete (α > ). La série W = log est aussi covergete car o peut toujours trouver u α tel que < α < 3/2 de sorte que lim + α W = 0. Aisi, la série U coverge comme la somme de deux séries covergetes. e)- La série de terme gééral U = si2, α > 0, peut s écrire de la maière suivate : α U = si2 cos 2 = = cos 2 = V α 2 α 2α 2 α + W. Or, la série V = est ue série de Riema covergete si et ssi α >. 2α D autre part, grâce au critère d Abel, la série W = cos 2 est aussi covergete pour tout α positif. Par coséquet, la série U va coverger pour tout 2 α α >. f)- La série de terme gééral U = [ + ( ) log ] est divergete car la coditio α écessaire de covergece est pas vérifiée α. g)- Soit la série de terme gééral U =, α > 0. Pour détermier sa ature, vérifios d abord la coditio écessaire de covergece. Pour cela, α + log cherchos lim U, e se servat du critère d équivalece cou sur les suites umériques, + comme suit : 2α, Si α >. α 2 U, Si α =. (.) + log 2α, Si α <. log Par passage à la limite, o obtiet facilemet les résultats suivats : 0 Si α >, lim U = + Si α =, + + Si α <. 2α (.2) La coditio écessaire est doc vérifiée que pour α >, par coséquet la série U est divergete si 0 < α.

.8 Exercices 27 Maiteat si α >, il suffit de se servir du critère d équivalece combié avec la régle de d Alembert. E effet, pour α >, U α = V. Aisi, les séries U et V sot de V + même ature. Comme, lim = ( ) 2α + + V α lim = <, o déduit alors + α la covergece des deux séries. 2α h)- De même pour détermier la ature de la série de terme gééral U = ( + )α, α > 0, ous allos d abord vérifier la coditio écessaire de covergece après avoir détermié so équivalet. O aura aisi, 0 Si α >, lim U = lim e α = Si α =, + + e Si α <. (.3) La coditio écessaire est doc vérifiée que pour α >, par coséquet la série U est divergete si 0 < α. Maiteat si α >, il suffit de se servir du critère d équivalece combié avec la régle de Cauchy comme suit : lim + U = lim + e α = lim e α 2 = + Par coséquet, la série U est covergete si α 2. 0 Si α > 2, Si α = 2, e Si < α < 2. Exercice.8.4. Idiquer la ature des séries umériques de terme gééral a)- U = ( ) α + ( ), α > 0. [ ( ) ] log log b)- U = (log( + )), α > 0. α (.4) Corrigé.8.4. a)- Notos que, bie que la série de terme gééral U = ( ) α + ( ), α > 0 est ue série alterée, à partir, dot la coditio écessaire de

.8 Exercices 28 covergece est vérifiée α > 0, o e peut pas comme même se servir du critère de covergece des séries alterées à cause de la o décroissace de la suite α + ( ). Aisi pour détermier la ature de U, o va procéder comme suit : où U = ( ) α + ( ) = ( ) α + ( ) α lim ε( ) = 0, α > 0. Autremet dit, + 2α = ( ) } {{ α }}{{} 2α V W + ε( 2α ), (.5) }{{ 2α } Z U ( ), α > 0. (.6) } {{ α }}{{} 2α V W Or d ue part, la série V est ue série alterée covergete pour tout α > 0. D autre part, la série W est ue série de Riema covergete si et ssi α > /2. O déduit alors la covergece de la série U si et ssi α > /2. b)- Pour détermier la ature de cette série, ous alllos d abord simplifier so expressio, e lui cherchat u équivalet comme suit : a)- = U = [ ( ) ] log log log( + ) = α log log + log( + ) + log log = α log α log log(( + )) log α log log( + log + ) log [ ( ) ] log log α α log α

.8 Exercices 29 qui est ue série de Riema covergete si et ssi α >. E vertu du critère d équivalece, o déduit la covergece de la série U si et ssi α >. Exercice.8.5. Soit la série de terme gééral U suivate : U = (+)π e x si x dx )- Motrer que la série U est alterée. 2)- Retrouver sa ature puis calculer sa somme + π =0 Corrigé.8.5. Soit la série de terme gééral U suivate : U de deux maières différetes. U = (+)π e x si x dx π )- Motros que la série U est alterée. Faisos u chagemet de variable e posat : x = π + t. O obtiet aisi l expressio suivate : U = (+)π π π e x si x dx = e ( π t) si(π+t) dt = ( ) e π e t si(t) dt = ( ) e π U 0. π 0 Après ue double itégratio par parties, o trouve : 0 U 0 = π 0 e t si(t) dt = + e π. 2 D où l expressio récurrete de U e foctio de U 0 suivate : U = ( ) e π U 0 = ( ) + e π 2 e π = ( ) V. (V ) est bie ue suite umérique à termes positifs, doc la série umérique U 0 est bie ue série alterée. La décroissace vers zéro de la (V ) etraîe la covergece de la série U. 2)- Calculos la somme + U : =0 Pour calculer la somme demadée, o peut procéder de deux maières différetes.

.8 Exercices 30 Première Méthode : Elle cosiste à cosommer directemet le résultat trouvé à la questio précédete. E effet, otos par S la somme de cette série umérique, o aura alors : S = + =0 + U = U 0 ( ) e π = lim U + e ( +)π 0 = + + e π 2. =0 Deuxième Méthode : Elle cosiste à ous rameer à l étude d ue itégrale impropre, du fait que : S = + =0 U = + =0 (+)π π e x si x dx = Après ue double itégratio par parties, o trouve : S = I = /2 + 0 e x si x dx. Exercice.8.6. Retrouver la ature de la série umérique de terme géaral U = ( + ) 3 puis calculer sa somme e se servat des séries produit. Corrigé.8.6. La série U est covergete grâce à la règle de d Alembert. E effet, o a bie U + lim = + U 3 lim + 2 + + = /3 <. Pour calculer sa somme, posos a = qui est le terme gééral d ue série 3 géométrique de raiso ( < ) doc covergete et ayat pour somme la valeur 3 S = 3 2. Il est simple de costater alors que 3 = 3 p 3 p. A préset, o peut réécrire U sous la forme suivate : U = ( + ) 3 = ( + )a = a = qui est le terme gééral de la série produit p=0 a p a p = p=0 p=0 3 p 3 p ( ) ( ) ( ) 2 a a = a

.8 Exercices 3 Par coséquet la série U est covergete et a pour somme la valeur S 2 = 9 4. ( ) 2 ( ) 2 Exercice.8.7. Moter que la série U = est covergete et 2! puis calculer sa somme. Corrigé (.8.7. ) Nous allos retrouver ue expressio aalytique plus simple pour la 2 série. 2! ( ) 2 ( ) ( ) = = ( ) 2! 2! 2! 2 p p! 2 p ( p)! p=0 = ( ) = ( )! = 2 p!( p)! 2! p!( p)!!. p=0 p=0 La série est bie covergete, grâce à la règle d Alembert. E effet, il suffit de! calculer la limite suivate : ( ) ( ) U+! lim = lim = 0 <. + + ( + )! U A préset, o peut calculer sa somme, e se servat du dévelopemet limité de la foctio e x au voisiage du poit x = 0. Il suffit juste de costater que! = e. Par coséquet, la série U coverge aussi et a pour somme la valeur e.

Chapitre 2 Les Suites de Foctios Das ce chapitre, ous allos étudier les suites de foctios réelles (f ) N, i.e des suites dot les termes sot des foctios défiies sur ue même partie E R. Pour cela, il est clair que l o va combier toutes les otios fodametales coues sur les suites umériques avec celles établies sur les foctios rélles à ue seule variable réelle. Nous allos ous iteresser aux propriétés de la foctio limite e terme de cotiuité, dérivabilité, itégrabilité, etc..., état coues celles des foctios (f ), N. La otio du simple passage à la limite coue das le cadre des suites umériques ous permet de défiir u critère dit de covergece simple des suites de foctios. 2. Covergece Simple Défiitio 2... Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R. La suite (f ) N sera dite simplemet covergete sur E, si pour tout x E, la suite umérique (f (x)) N est covergete quad +. Si la foctio f(x) est sa limite, la covergece simple s exprime alors comme suit : Remarque 2... f + f lim f (x) = f(x), x E + x E, ɛ > 0, N ɛ,x, N ɛ,x f (x) f(x) < ɛ. et de x déped de ce choix.. Le ombre N dot l existece est affirmée après le choix de ɛ 32

2. Covergece Simple 33 2. Toutes les propriétés sur les limites des suites umériques se traduiset immédiatemet comme des propriétés sur les limites simples des suites de foctios. Exemple 2... Preos E = [0, ] et la suite de foctios défiie par x f (x) = x, N. + x Par u simple passage à la limite, o aura lim f (x) = 0, x 0. Si x = 0, alors + f (0) = 0. Par coséquet, la suite de foctios (f ) N coverge simplemet vers la foctio f 0 sur [0, ]. Notos que toutes les foctios f sot cotiues sur E aisi que la foctio limite f. Exemple 2..2. Preos E = [0, ] et la suite de foctios défiie par x f (x) = x, N. + x Par u simple passage à la limite, o aura lim f (x) =, x 0. Si x = 0, alors + f (0) = 0. Par coséquet, { la suite de foctios (f ) N coverge simplemet vers la si x ]0, ] foctio x f(x) = 0 si x = 0. Notos que toutes les foctios f sot cotiues sur E mais la foctio limite f e l est pas. Exemple 2..3. Preos E = R et la suite de foctios défiie par x f (x) = (x 2 + ) 2,. 2 U simple passage à la limite ous permet d avoir lim f (x) = x, x R. + Par coséquet, la suite de foctios (f ) N coverge simplemet sur R vers la foctio x f(x) = x. O voit bie que toutes les foctios f sot dérivables sur E mais la foctio limite f e l est pas. Exemple 2..4. Preos E =]0, ] et la suite de foctios défiie par si 0 < x x f (x) = x si x

2.2 Critère de Cauchy 34 Par u simple passage à la limite, o obtiet ue foctio limite défiie par : f :]0, ] R x f(x) = x Par coséquet, la suite de foctios (f ) N coverge simplemet vers sur ]0, ] vers la foctio x f(x) =. Comme o peut bie le costater, chacue des foctios x f est borée sur ]0, ], mais la foctio limite f e l est pas. Remarque 2..2. Pour l étude des suites de foctios, o dispose aussi, comme das le cas des suites umériques, du critère de Cauchy qui est surtout d u emploi théorique très utile dès que l o veut motrer la covergece d ue suite dot o igore la limite. 2.2 Critère de Cauchy Par aalogie aux suites umériques, il est aturel de poser la défiitio suivate. Défiitio 2.2.. Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R. La suite (f ) N sera dite simplemet de Cauchy sur E, si pour tout x E, la suite umérique (f (x)) N est de Cauchy. Ce qu o peut exprimer formellemet come suit : (f ) N est de Cauchy sur E x E, ɛ > 0, N ɛ,x, (p, q) N N/ p > q > N ɛ,x f p (x) f q (x) < ɛ. Théorème 2.2.. Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R. La suite (f ) N est simplemet covergete sur E, si et seulemet si elle est simplemet de Cauchy sur E. Preuve 2.2.. Le raisoemet est aalogue à celui établi sur les suites umériques, il suffit juste de remplacer la valeur de la limite par la foctio f. Exemple 2.2.. La suite de foctios défiie sur R par x f (x) = si(x), N, est pas simplemet covergete sur R car elle est pas de Cauchy sur R.

2.3 Covergece Uiforme 35 Remarque 2.2.. Les exemples 2.., 2..2, 2..3 et 2..4 ous motret que la covergece simple est pas suffisate pour que la foctio limite hérite des propriétés des foctios f, d où la écessité de forger u autre critère beaucoup plus puissat dit de Covergece Uiforme. 2.3 Covergece Uiforme Défiitio 2.3.. Ue suite de foctios (f (x)) N défiies sur ue même partie E R coverge uiformémet sur E vers la foctio f, si à tout ɛ positif, o peut faire correspodre u ombre etier N ɛ, e dépedat que de ɛ, tel que > N ɛ, o ait f (x) ted vers f(x) uiformémet sur R. Autremet dit, (f ) N coverge uiformémet sur E ɛ > 0, N ɛ, N ɛ f (x) f(x) < ɛ, x E lim sup f (x) f(x) = 0. + x E Remarque 2.3.. Il est facile de costater que la covergece uiforme etraîe la covergece simple mais que la réciproque est fausse. Exemple 2.3.. Soit la suite de foctios défiie par f (x) = x, x [0, ], 0. Par u simple passage à la limite, o aura lim f (x) = 0, x. Si x =, alors + f () =. Par coséquet, { la suite de foctios (f ) N coverge simplemet vers la 0 si x [0, [ foctio x f(x) = si x =. Pour la covergece uiforme, il est clair qu elle est pas vérifiée i sur [0, ] i aussi sur [0, [. E effet, o a : sup x [0,[ f (x) f(x) = sup x [0,[ x = 0 quad +. Le problème se pose justemet au poit x = et tout so voisiage. E revache, il y a covergece uiforme sur tout itervalle de type [0, a] où 0 < a <. E effet, a, 0 < a <, sup f (x) f(x) = sup x = a + 0. x [0,a] x [0,a]

2.4 Covergece Uiforme de Cauchy 36 2.4 Covergece Uiforme de Cauchy Comme das le cadre de la covergece simple, le critère uiforme de Cauchy ous permet de juger de la covergece uiforme d ue suite de foctios sas faire appel à l expressio aalytique de sa foctio limite simple. Défiitio 2.4.. Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R. La suite (f ) N sera dite uiformémet de Cauchy sur E si : ɛ > 0, N ɛ, (p, q) N N/ p > q > N ɛ f p (x) f q (x) < ɛ, x E. E combiat le critère de Cauchy avec le critère de covergece uiforme, o obtiet immédiatemmet le résultat suivat. Théorème 2.4.. Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R. Pour que la suite (f ) N soit uiformémet covergete sur E, il est écessaire et suffisat qu elle soit uiformémet de Cauchy sur E. 2.5 Propriétés de la foctio limite d ue suite de foctios Das cette partie, ous allos doer les coditios suffisates sous lesquelles la foctio limite f coserve certaies propriétés des foctios f. 2.5. La cotiuité Théorème 2.5.. Soit (f ) N ue suite de foctios défiies sur ue même partie E R, uiformémet covergete sur E vers f. Si les foctios f cotiues sur E, alors la foctio limite f est aussi cotiue sur E. sot toutes Preuve 2.5.. O va procéder par défiitio équivalete de chaque otio. O sait alors que :.D ue part, les foctios f sot cotiues e tout poit a E

2.5 Propriétés de la foctio limite d ue suite de foctios 37 par défiitio ɛ > 0, α > 0, x E : x a < α f (x) f (a) < ɛ (2.) 2.D autre part, la suite de foctios f est uiformémet covregete vers f sur E par défiitio ɛ 2 >, N ɛ2, > N ɛ2 f (x) f(x) < ɛ 2, x E (2.2) Ceci reste vrai e particulier même pour x = a. C est-à-dire que ɛ 2 > 0, N ɛ2, > N ɛ2 f (a) f(a) < ɛ 2, (2.3) Pour motrer que la foctio limite f est cotiue sur E, il suffit de motrer qu elle est cotiue e tout poit a E. Ce qui est équivalet par défiitio à : ɛ > 0, δ > 0, x E : x a < δ f(x) f(a) < ɛ E effet, o a bie : f(x) f(a) = f(x) f (x) + f (x) f (a) + f (a) f(a) f(x) f (x) + f }{{} (x) f (a) + f }{{} (a) f(a) }{{} ɛ ɛ ɛ <ɛ 2 = <ɛ = <ɛ 2 = 3 3 3 Aisi, il suffit de predre δ = α pour que : ɛ > 0, x E : x a < δ f(x) f(a) < ɛ (2.5) Ce qui traduit bie la cotiuité de la foctio limite f e tout poit a E. Corollaire 2.5.. Si ue suite de foctios cotiues sur E, coverge uiformémet sur E, alors sa limite est ue foctio cotiue sur E. 2.5.2 L itégrabilité Théorème 2.5.2. Soit (f ) N ue suite de foctios cotiues sur E = [a, b], uiformémet covergete sur [a, b] vers f. Si les foctios f sot toutes cotiues sur E. Alors,

2.5 Propriétés de la foctio limite d ue suite de foctios 38. La foctio f est itégrable sur [a, b]. b b 2. De plus, lim f (x)dx = lim f b (x)dx = f(x)dx. + a a + a C est à dire que la covergece uiforme coserve l itégrabilité et permet alors d itervertir le sige limite et le sige itégrale. Preuve 2.5.2. i)- Soit (f ) N ue suite de foctios cotiues sur [a, b], uiformémet covergete sur [a, b] vers la foctio limite f. Alors e vertu du Theorème2.5., f est cotiue sur [a, b] et doc aussi itégrable sur [a, b]. ii)- O sait que La suite de foctios f est uiformémet covregete vers f sur [a, b]. par défiitio ɛ > 0, N ɛ, > N ɛ f (x) f(x) < O sait aussi que b O cherche alors à avoir a [f (x) f(x)]dx b b lim f (x)dx = f(x)dx + a a b par défiitio ɛ > 0, N ɛ, > N ɛ f (x)dx b a ɛ, x [a, b] (2.6) (b a) f (x) f(x) dx (2.7) a b a f(x)dx < ɛ E effet, e se servat du résultat (2.6) et de l iégalité (2.7), o obtiet alors b b b ɛ > 0, N ɛ, > N ɛ f (x)dx f(x)dx f (x) f(x) dx < ɛ. Ce qui achève otre démostratio. a a a

2.5 Propriétés de la foctio limite d ue suite de foctios 39 2.5.3 La dérivabilité Théorème 2.5.3. Soit (f ) N ue suite de foctios cotiumet dérivables sur [a, b]. Si, a)- La suite des foctios dérivées (f ) N coverge uiformémet sur [a, b]. b)- Pour u poit x 0 [a, b], la suite umérique (f (x 0 )) N est covergete. Alors. La suite de foctios (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] vers ue foctio f cotiumet dérivable sur [a, b]. [ ] d 2. De plus, lim dx f (x) + = lim + [ ] d dx f (x). Autremet dit, la covegece uiforme ous permet d itervertir les opératios de dérivatio et de passage à la limite. Preuve 2.5.3. Soit x, x 0 deux poits de [a, b] avec a x 0 x b. O sait que les foctios f sot cotiumet dérivables sur [a, b] (coditio a). Ceci veut dire qu elles sot de calsse C sur [a, b]. Autremet dit, elles sot cotiues, dérivables et leurs dérivées sot cotiues sur [a, b]. Aisi, o peut écrire, pour tout N, f (x) = f (x 0 ) + x x 0 f(t)dt. (2.8) Si la suite des foctios dérivées (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] (toujours de la coditio a), alors elle l est aussi sur [x 0, x] [a, b]. Il e résulte alors d après le Théorème 2.5.2, que x lim [f (x) f (x 0 )] = lim f (t)dt. + + Compte teu de la covergece de la suite (f (x 0 ) (coditio b), o déduit celle de la suite (f ) vers ue foctio f. Par passage à la limite das (2.8), o botiet : f(x) = f(x 0 ) + lim x 0 x + x 0 f (t)dt. (2.9)