Suites covergetes 1.... p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7
1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que la suite (u ) admet pour limite + si et seulemet si, pour tout ombre réel A, tous les termes de la suite sot supérieur à A à partir d'u certai rag. Il existe doc u etier 0 tel que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à 0, o ait u > A (u ] A;+ [). u =+ O ote lim O dit que la suite (u ) admet pour limite - si et seulemet si, pour tout ombre réel A, tous les termes de la suite sot iférieur à A à partir d'u certai rag. Il existe doc u etier 0 tel que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à 0, o ait u < A (u ] ; A[). u = O ote lim b) Exemples u = +2. O veut démotrer que lim u =+ Soit A u ombre réel. u > A +2>A > est u ombre réel doc compris etre 2 etiers cosécutifs. E <E +1 E est la partie etière de. +1 O choisit 0=E u =+. Si, 0 alors u > A et doc lim ( ) ( ) ( ) ( ) Page 2
u = u = 2. O veut démotrer que lim Soit A u ombre réel. 2 <A Si A 0, il suffit de choisir 0=1. Si, 0 alors u < A Si A<0 alors A= B avec B>0 (B= A ) u < A ²< A ²< B 2>B > B car la foctio carrée est strictemet croissate sur [0 ;+ [ E ( A) B= A E ( A)+1 O choisit 0=E ( A)+1 Si 0 alors u < A Doc, lim u = c) Algorithmes u = +2. lim u =+ Pour u réel A, o souhaite détermier le rag à partir duquel u A ; O costruit u algorithme permettat de résoudre ce programme. Programmer, puis détermier le rag à partir duquel u 1000. Avec Algobox : Page
Avec ue calculatrice TI : u = 2. lim u = Pour u réel A, o souhaite détermier le rag à partir duquel u A ; O costruit u algorithme permettat de résoudre ce programme. Programmer, puis détermier le rag à partir duquel u 100. Avec Algobox : Avec ue calculatrice TI : 1.2. Suites covergetes a) Défiitios l est u ombre réel. O dit que la suite (u ) admet pour limite l si et seulemet si, pour tout itervalle ouvert I, coteat l, cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. Page 4
u =l O ote lim O dit alors que la suite (u ) coverge vers l et que la suite (u ) est ue suite covergete. O omme suite divergete toute suite o covergete. b) Iterprétatio graphique sur u exemple 1.. Propositio Si ue suite admet ue limite alors celle-ci est uique. Ce résultat est admis. 1.4. Remarques a) Il existe des suites 'admettat pas de limite. Par exemple : u =( 1). Les termes de rags pairs sot égaux à 1 et les termes de rags impairs sot égaux à -1. Coséquece : Ue suite divergete est ue suite admettat ue limite ifiie ou 'admettat pas de limite. b) Si u = f () (pour tout etier aturel )et si f admet l pour limite e + alors la suite (u ) coverge vers l. Page 5
Exemple : u = 1 +1 f ( x )= 1. x+1 f ( x)= f est défiie sur [0 ;+ [ et xlim + Doc, la suite (u ) coverge vers. u =+ Si u = f () (pour tout etier aturel )et si f admet + ou pour limite e + alors lim ou lim u = Exemple : u =4 2 2 2 f (x )=4 x 2 f ( x)=+ doc lim u =+ f est défiie sur [0 ;+ [ et xlim + Attetio, si f 'admet pas de limite e + alors o e peut pas coclure pour la limite de la suite (u ). Exemple : f ( x )=si(π x) f est défiie sur [0 ;+ [ et f 'admet pas de limite e +. u = f ()=si(π )=0 (u ) est la suite costate ulle : lim u =0 2. Limite et comparaiso 2.1. Premier théorème de comparaiso (u ) et (v ) deux suites. u =+ alors lim v =+. Si à partir d'u certai rag v u et si lim Démostratio : La démostratio peut être l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. A partir d'u certai rag v u, c'est à dire qu'il existe u etier aturel N tel que si N alors v u. u =0, doc il existe u etier tel que : Soit A u ombre réel. O sait que lim 0 Page 6
Si 0 alors u > A. O pose N 0 le plus grad des etiers aturels N0=max(N;0) et 0 (o ote : N 0=max( N ; 0 ) ou N 0=Sup (N ; 0) ) v =0. Si, N 0 alors v u et u > A doc v >A et lim 2.2. Deuxième théorème de comparaiso (u ) et (v ) deux suites. u = alors lim v =. Si à partir d'u certai rag v u et si lim La démostratio est aalogue à la précédete. 2.. Théorème des gedarmes (u ); (v );(w ) sot trois suites. l est u ombre réel. u = lim w =l alors (v ) est ue Si à partir d'u certai rag, u v w et si lim + suite covergete et coverge vers l. Démostratio : A partir d'u certai rag u v w, c'est à dire qu'il existe u etier aturel N tel que si N alors u v w. Soit I u itervalle ouvert coteat l. lim u =l doc il existe u etier aturel 0 tel que : si 0 alors u I lim w =l doc il existe u etier aturel ' 0 tel que : si ' 0 alors w I O pose N 0 le plus grad des etiers aturels N ; 0 ; ' 0 Si, N 0 alors et u v w ; u I ; w I doc [u ;w ] I. v =l. Et v I doc lim. Opératios sur les limites Les règles opératoires sur les limites de suites sot les mêmes que celles pour les limites de foctios..1. Limite d'ue somme de suites Page 7
.2. Limite d'u produit de suites.. Limite de l'iverse d'ue suite.. Limite du quotiet de deux suites Page 8
4. Cas particuliers 4.1. Suites arithmétiques a) Rappel (u ) est la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r doc pour tout etier : u +1=u +r et u =u0 +r b) Limite d'ue suite arithmétique u =+ Si r>0 alors lim u = Si r<0 alors lim u =u0 Si r=0 alors lim Remarque : Pour r =0, (u ) est la suite costate égale à u 0. Les seules suites arithmétiques covergetes sot les suites costates (de raiso 0). 4.2. Suites géométriques a) Rappel (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q doc pour tout etier : u +1=q u et u =u0 q b) Théorème q =+ Si q>1 alors lim Démostratio : La démostratio peut être l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. Page 9
O pose a=q 1>0 q=a+1 avec a>0 Nous avos démotré das la leço 1 (par u raisoemet par récurrece) que pour tout etier aturel, (1+a) 1+a (1+a )=+ Or, lim (1+a) =+ soit lim q =+. E utilisat le théorème de comparaiso, o peut coclure que lim b) Coséquece q =0 Si 0<q<1 alors lim q =1 Si q=1 alors lim q =0 Si q=0 alors lim q =0 Si -1<q<0 alors lim Si q=-1 alors (q ) 'admet pas de limite. Si q<-1 alors (q ) 'admet pas de limite. Démostratio Si 0<q<1 1 O pose q ' = >1. q lim q ' =+ et q = 1 doc lim q =0 q' Si 1<q<0 q= q ' avec q ' >0 q =( q ') =( 1) q ' et q ' q q ' q ' =0 Or, 0<q ' <1 doc lim q =0 Le théorème des gedarmes permet de coclure que lim Si q< 1 q= q ' avec q ' >1 Si est pair alors q =q ' Si est impair alors q = q ' Doc, (q ) 'admet pas de limite. Page 10
d) Limite d'ue suite géométrique u =u0 q (o suppose u 0 0 ) u =+ Si q>1 et u 0>0 alors lim u = Si q>1 et u 0<0 alors lim u =u0 Si q=1 alors lim u =0 Si -1<q<1 alors lim Si -q -1 alors la suite (u ) 'admet pas de limite. e) Remarque 1<q<1 S =u 0+ +u 1 1 q S =u 0 1 q q =0 doc lim S = u0 Or, lim 1 q 5. Suites mootoes 5.1. Théorèmes Toute suite croissate et majorée est covergete. Toute suite décroissate et miorée est covergete. O admet ces résultats. 5.2. Propositios Si (u ) est ue suite croissate et o majorée alors lim u =+. Démostratio : Soit A u ombre réel. (u ) 'est pas majorée doc il existe u etier aturel 0 tel que u > A. 0 (u ) est croissate doc pour tout etier aturel ou égal à 0, o a u u >A. 0 Page 11
Doc, lim u =+. Si (u ) est ue suite décroissate et o miorée alors lim u =. Démostratio : La démostratio est aalogue. Si (u ) est ue suite croissate et majorée doc covergete alors sa limite l est u majorat de la suite, c'est à dire pour tout etier aturel : u l Démostratio : O effectue u raisoemet par l'absurde. O suppose qu'il existe u etier aturel N tel que u N >l. (u ) est croissate, doc pour tout etier aturel supérieur ou égal à N, o a u u N >l. O cosidère l'itervalle ouvert I =]l 1 ;u N [ coteat l. O 'a pas tous les termes de (u ) apparteat à I à partir d'u certai rag puisque tous les termes de la suite de rag supérieur ou égal à N sot à l'extérieur de I. Doc, si o suppose l'existece de N, o démotre que la suite e coverge pas vers l. Il 'existe pas d'etier aturel N et l est doc u majorat de (u ). Si (u ) est ue suite décroissate et miorée doc covergete alors sa limite l est u miorat de la suite, c'est à dire pour tout etier aturel : u l Démostratio : La démostratio est aalogue. Page 12