Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires Plan du chapitre 1 Equations différentielles linéaires du premier ordre....page 1.1 Présentation du problème... page 1. Résolution de l équation y +ay = b par la méthode de Lagrange... page 1.3 Structure de l ensemble des solutions...page 3 1.4 Le théorème de Cauchy...... page 5 1.5 Méthode de variation de la constante...page 6 1.6 Principe de superposition des solutions.....page 7 1.7 Prolongement de solutions...page 7 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.....page 9.1 Le théorème de Cauchy...... page 9. Résolution de l équation ay +by +cy = 0, a,b,c) C C C....page 9..1 Le cas général où a, b et c sont complees... page 9.. Le cas particulier où a, b et c sont réels...page 11.3 Résolution de l équation ay +by +cy = g)......... page 13.3.1 Le cas général où g est une fonction continue quelconque...page 13.3. Quelques situations particulières concernant le second membre... page 13.3..1 Second membre du type Ae λ, A,λ) C...page 13.3.. Second membre du type Bcosω) ou Bsinω), B,ω) R.... page 14.3..3 Principe de superposition des solutions...page 15 c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

1 Equations différentielles linéaires du premier ordre 1.1 Présentation du problème On se donne deu fonctions a et b définies et continues sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C et on s intéresse à l équation différentielle linéaire du premier ordre y +ay = b Résoudre l équation différentielle E), c est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I vérifiant E). I, f )+a)f) = b) ). Une solution de E) sur I est une fonction dérivable sur I vérifiant ). Les courbes représentatives des solutions de E) sur I s appellent les courbes intégrales de l équation différentielle E). b est le second membre de l équation différentielle E). L équation différentielle homogène ou «sans second membre») associée à l équation E) est y +ay = 0 E h ). On notera S resp. S h ) l ensemble des solutions de E) resp. E h )) sur I. 1. Résolution de l équation y +ay = b par la méthode de Lagrange On se donne a : a) et b : b) deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C. Par commodité, dans ce qui suit, K = R ou K = C. On veut résoudre sur I l équation différentielle y +ay = b Puisque la fonction a est continue sur I, la fonction a admet des primitives sur I. On note A une primitive de la fonction a sur I. Enfin, on fie un réel 0 de I. Soit f une fonction dérivable sur I. Puisque la fonction eponentielle ne s annule pas sur K, E). f solution de E) sur I I, f )+a)f) = b) I, e A) f )+a)e A) f) = b)e A) car I, e A) 0) I, e A f ) ) = b)e A) C K/ I, f)e A) = C+ 0 bt)e At) dt C K/ I, f) = Ce A) +e A) 0 bt)e At) dt. Maintenant, la résolution ci-dessus a été effectuée sous l hypothèse «soit f une fonction dérivable sur I». Il reste donc à se préoccuper de la dérivabilité des solutions obtenues puis d éliminer parmi les solutions obtenues celles qui ne sont pas dérivables sur I. Puisque la fonction a est continue sur I, la fonction A est définie et dérivable sur I et il en est de même des fonctions Ce A). D autre part, puisque la fonction b est continue sur I et que la fonction A est continue sur I car dérivable sur I), la fonction t bt)e At) est continue sur I. Mais alors, la fonction 0 bt)e At) dt est dérivable sur I et il en est de même de la fonction e A) 0 bt)e At) dt. Finalement, pour tout C K, la fonction Ce A) +e A) 0 bt)e At) dt est dérivable sur I et par suite solution de E) sur I. Commentaire. Le moment clé de la résolution est le moment où on multiplie les deu membres de l égalité par e A). On fait ainsi apparaître la dérivée du produit e A f e A f ) = e A f +A e A f = e A f +ae A f). On passe ainsi d une équation où l inconnue f apparaît deu fois f + af = b) à une équation où l inconnue f apparaît une seule fois e A f ) = be A ). Il n y a plus alors qu à parcourir le chemin en sens inverse pour remonter à f c est-à-dire intégrer puis multiplier les deu membres par e A ). On peut énoncer : c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. http ://www.maths-france.fr

Théorème 1. Soient a et b deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans R resp. C). Soit 0 I. Les solutions sur I de l équation différentielle y +ay = b sont les fonctions de la forme Ce A) +e A) bt)e At) dt, C R resp. C C), 0 où A est une primitive fiée de la fonction a sur I. En particulier, l équation y +ay = b admet au moins une solution sur I. Eemple 1. Soit E) l équation différentielle y +y = 1 sur I = R. Soit f une fonction dérivable sur R. f solution de E) sur R R, f )+f) = 1 R, e f )+e f) = e R, e f) ) = e C R/ R, e f) = e +C C R/ R, f) = 1+Ce. L ensemble des solutions de E) sur R est S = { 1+Ce, C R}. Eemple. Soit E) l équation différentielle y y = 3 sur I =]0,+ [. Soit f une fonction dérivable sur ]0,+ [. f solution de E) sur ]0,+ [ ]0,+ [, f ) f) = 3 ]0,+ [, f ) 1 f) = 3 ]0,+ [, e 1 ln) f ) 1 e 1 ln) f) = 3 e 1 ln) ) ) ]0,+ [, e 1 ln) 3 f = 1 ) 1 ]0,+ [, f ) = 3 1 C R/ ]0,+ [, 1 f) = 3 +C C R/ ]0,+ [, f) = +C. L ensemble des solutions de E) sur ]0,+ [ est S = { +C, C R }. Eemple 3. Soit E) l équation différentielle ch)y +sh)y = th sur I = R. Soit f une fonction dérivable sur R. f solution de E) sur R R, ch)f )+sh)f) = th R, ch f) ) = th C R/ R, chf) = lnch)+c C R/ R, f) = lnch)+c. ch { L ensemble des solutions de E) sur R est S = lnch)+c }, C R. ch 1.3 Structure de l ensemble des solutions Théorème. Soit a une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Les solutions de E h ) : y +ay = 0 sur I sont les fonctions de la forme Cf 0 où f 0 est une solution non nulle quelconque de E h ) sur I et C K. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr

Démonstration. Les solutions de E) : y +ay = b sur I sont les fonctions de la forme Ce A) +e A) 0 bt)e At) dt. Quand b est la fonction nulle, on obtient en particulier le fait que les solutions de E h ) : y + ay = 0 sur I sont les fonctions de la forme Ce A). On note que la fonction e A) n est pas nulle. Donc, si on pose f 1 = e A, f 1 est une solution non nulle de E h ) sur I et S h = {Cf 1, C K}. Si maintenant, f 0 est une solution non nulle quelconque de E h ), alors il eiste C 0 K\{0} tel que f 0 = C 0 f 1. Mais alors, { } { } C C {Cf 1, C K} = C 0 f 1, C K = f 0, C K { C f 0, C K } C 0 C 0 et {Cf 0, C K} = {CC 0 f 1, C K} {C f 1, C K}. Finalement S = {Cf 0, C K}. Théorème 3. Soient a et b deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Les solutions de E) : y + ay = b sur I sont les fonctions de la forme Cf 0 + f 1 où f 0 est une solution non nulle quelconque de E h ) sur I où E h ) est l équation homogène associée y +ay = 0), f 1 est une solution particulière de E) sur I et C K. Démonstration. D après le théorème 1, l équation E) admet au moins une solution sur I. Soit f 1 une solution particulière de E) sur I. Par construction, la fonction f 1 vérifie f 1 +af 1 = b sur I. On note aussi f 0 une solution non nulle de E h ) sur I. Soit alors f une fonction dérivable sur I. f solution de E) sur I f +af = b f +af = f 1 +af 1 f f 1 ) +af f 1 ) = 0 f f 1 solution de E h ) sur I C K/ f f 1 = Cf 0 d après le théorème ) C K/ f = Cf 0 +f 1. On a l habitude de dire que la solution générale de l équation différentielle E) est la somme d une solution particulière de l équation E) et de la solution générale de l équation homogène associée E h ) : sol gén de E) = sol part de E) + sol gen de E h ). Eemple 1. Soit E) l équation différentielle y y = 0 sur I =]0,+ [. Sur I, l équation E) est équivalente à l équation y y = 0. Puisque la fonction a : est continue sur ]0,+ [, les solutions de l équation E) sur I sont de la forme Cf 0, C R, où f 0 est une solution non nulle de E) sur I. La fonction f 0 : est bien sûr solution de E) sur I et donc les solutions de E) sur I sont les fonctions de la forme C, C R. Eemple. Soit E) l équation différentielle y y = 0 sur I = R. Sur I, l équation E) n est pas du type y +ay = 0 où a est une fonction continue sur I. Le théorème ne s applique donc plus. La fonction f 0 : est encore solution de E) sur I et de manière plus générale, les fonctions de la forme C, C R, sont des solutions de E) sur I. Mais rien ne permet d affirmer que l on a trouvé toutes les solutions de E) sur I. si 0 De fait, la fonction f : 4 si < 0 n est pas du type C, C R, mais on vérifie facilement que cette fonction est dérivable sur R et en particulier en 0) et vérifie pour tout réel, f ) f) = 0 ou encore f est solution de E) sur I = R. Voici le graphe de la fonction f. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 4 http ://www.maths-france.fr

3 1 4 3 1 1 1 3 4 Eemple 3. Soit E) l équation différentielle y y = 1 sur I =]0,+ [. Sur I, l équation E) est équivalente à l équation y y = 1. Puisque les fonctions a : et b : 1 sont continues sur ]0,+ [, les solutions de l équation E) sur I sont de la forme Cf 0 +f 1, C R, où f 0 est une solution non nulle de E h ) sur I et f 1 est une solution particulière de E). La fonction f 0 : est bien sûr solution de E h ) sur I et la fonction f 1 : 1 est bien sûr solution de E) sur I. Donc, les solutions de E) sur I sont les fonctions de la forme 1 +C, C R. 1.4 Le théorème de Cauchy Théorème 4 théorème de Cauchy). Soient a et b deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Pour tout 0,y 0 ) I K, il eiste une solution f de E) : y +ay = b sur I et une seule vérifiant f 0 ) = y 0. Démonstration. Soit 0,y 0 ) I K. Les solutions de E) sur I sont les fonctions de la forme f : Ce A) + e A) 0 bt)e At) dt où A est une primitive donnée de a sur I et C K. On choisit pour A la primitive de a sur I qui s annule en 0. Donc, pour tout de I, A) = 0 at) dt. 0 f 0 ) = y 0 Ce A0) +e A) bt)e At) dt = y 0 C = y 0. 0 Ceci montre l eistence et l unicité d une solution prenant la valeur y 0 en 0. Epression de la solution de y +ay = b prenant la valeur y 0 en 0 : y 0 e A) +e A) 0 bt)e At) dt où A est la primitive de a sur I s annulant en 0. Commentaire. Il ne faut surtout pas croire que l eistence et/ou l unicité d une solution vérifiant une «condition initiale» est automatiquement acquise, même pour des équations différentielles très simples. L équation différentielle 1)y + 1)y = 1 n admet pas de solution sur R car si f est une fonction dérivable sur R, 1 1)f 1)+1 1)f1) = 0 1 cette équation ne peut s écrire sur R sous la forme y +ay = b avec a et b continues sur R). L équation différentielle y y = 0 admet au moins) deu solutions distinctes s annulant en 0 à savoir et cette équation ne peut s écrire sur R sous la forme y +ay = b avec a et b continues sur R). L équation différentielle y y = 0 admet au moins) deu solutions distinctes s annulant en 0 à savoir 0 et 4 cette équation n est pas linéaire). Les hypothèses du théorème de Cauchy sont précises :...continues...intervalle...et le théorème de Cauchy ne peut être utilisé que quand ces hypothèses sont vérifiées. Un corollaire important au théorème 4 est : c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 5 http ://www.maths-france.fr

Théorème 5. Soit a une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Une solution de l équation différentielle y +ay = 0 s annulant sur I est nécessairement la fonction nulle. Toute solution sur I de l équation différentielle y +ay = 0, non nulle sur I, ne s annule pas sur I. Démonstration. Soit f une solution de l équation différentielle y +ay = 0 sur I, s annulant en un certain réel 0 de I c està-dire prenant la valeur 0 en 0 ). La fonction nulle est aussi une solution de l équation différentielle y +ay = 0 sur I, s annulant en 0. Par unicité d une telle solution, on en déduit que f = 0. Par contraposition, si f est une solution non nulle de l équation différentielle y +ay = 0 sur I, f ne s annule pas sur I. Commentaire. On peut obtenir ce résultat directement à partir de l epression des solutions. Les solutions de l équation différentielle y +ay = 0 sur I sont les fonctions de la forme Ce A), où A est une primitive de a sur I et C K. Pour une telle solution, ou bien C = 0 et dans ce cas, cette solution est la fonction nulle, ou bien C 0, et dans ce cas, cette solution ne s annule pas sur I car la fonction eponentielle ne s annule pas sur C). 1.5 Méthode de variation de la constante Dans ce paragraphe, on suppose connue une solution f 0 sur I de l équation homogène E h ), non nulle sur I. Pour résoudre l équation différentielle E) sur I, il ne manque plus qu une solution particulière de E) sur I. Le théorème suivant fournit un moyen d en obtenir une. Théorème 6. Soient a et b deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Soit E) l équation différentielle y +ay = b. Soit f 0 une solution sur I, non nulle, de l équation homogène associée E h ). Il eiste une solution particulière de E) sur I de la forme f 1 : C)f 0 ) où C est une fonction dérivable sur I. De plus, la fonction C vérifie C = b f 0. Démonstration. Soit C une fonction dérivable sur I puis f 1 = Cf 0. f 1 +af 1 = b C f 0 +Cf 0 +acf 0 = b C f 0 +C f 0 +af 0 ) = b C f 0 = b car f 0 est solution de y +ay = 0 sur I) C = b f 0 car f 0 ne s annule pas sur I). Maintenant, les fonctions b et f 0 sont continues sur I f 0 est continue sur I car dérivable sur I) et la fonction f 0 ne s annule pas sur I. Donc, la fonction b f 0 est continue sur I. Par suite, la fonction b f 0 admet au moins une primitive sur I. On en déduit l eistence de la fonction C. Eemple. Considérons l équation différentielle E) : y y = cos suri = R. Les solutions surrde l équation différentielle y y = 0 sont les fonctions de la forme Cf 0 où f 0 est la fonction e et C R. Déterminons une solution particulière de E) sur I par la méthode de variation de la constante. Soient C une fonction dérivable sur I puis f 1 = Cf 0. Or, f 1 solution de E) sur I R, C )e +C)e C)e = cos R, C ) = cose La fonction C : e cos+sin) ) ) cose d = Re e e i d = Re e 1+i) d ) e 1+i) = Re +λ = Re 1+i = e cos+sin) +λ. e cos+i sin) 1 i) ) +λ convient et fournit la solution particulière f 1 : cos+sin. Les solutions de l équation différentielle E) sur I sont les fonctions de la forme Ce + cos+sin, C R. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 6 http ://www.maths-france.fr

1.6 Principe de superposition des solutions Théorème 7 principe de superposition des solutions). Soient a, b 1 et b trois fonctions continues sur un intervalle I à valeurs dans K = R ou C. Soient λ 1 et λ deu nombres réels ou complees. On suppose que f 1 est une solution particulière sur I de l équation y +ay = b 1 et que f est une solution particulière sur I de l équation y + ay = b. Alors, la fonction f = λ 1 f 1 + λ f est une solution particulière de l équation différentielle y +ay = b où b = λ 1 b 1 +λ b. Démonstration. f est dérivable sur I et f +af = λ 1 f 1 +λ f ) +a λ 1 f 1 +λ f ) = λ 1 f 1 +af 1 ) +λ f +af ) = λ 1 b 1 +λ b = b. Considérons par eemple l équation différentielle y y = cos +. La fonction cos+sin est solution de y y = cos sur R et la fonction 1 est solution de y y = sur R. Donc, une solution particulière de l équation différentielle y y = cos+ sur R est la fonction cos+sin 1. 1.7 Prolongement de solutions Eemple 1. Considérons l équation différentielle E) : y y = 0 sur R. Sur I =]0,+ [ ou ],0[, E) est équivalente à y y = 0. Puisque la fonction a : est continue sur I, les solutions de E) sur I sont les fonctions de la forme Cf 0 où f 0 est une solution non nulle de E) sur I et C R. Plus précisément, les solutions de E) sur ]0,+ [ ou ],0[ sont les fonctions de la forme C, C R. Passons à l intervalle I = R. La fonction nulle est solution de E) sur R. Plus généralement, les fonctions de la forme C, C R, sont solutions de E) sur R. Déterminons maintenant toutes les solutions de E) sur R. Soit f une solution de E) sur R. Nécessairement, 0 f 0) f0) = 0 et donc, nécessairement f0) = 0. D autre part, la restriction de f à ], 0[ resp. ]0, + [) est solution de E) sur ], 0[ resp. ]0, + [). Donc, il eiste deu constantes C 1 et C telles que pour < 0, f) = C 1 et pour > 0, f) = C. En résumé, si f est une solution C 1 si < 0 de E) sur R, nécessairement il eiste C 1,C ) R tel que R, f) = 0 si = 0. C si > 0 Réciproquement, une telle fonction est dérivable sur ],0[ et solution de E) sur ],0[, dérivable sur ]0,+ [ et solution de E) sur ]0, + [ et enfin, si cette fonction est dérivable en 0, cette fonction vérifie encore l équation E) pour = 0. En résumé, une telle fonction est solution de E) sur R si et seulement si cette fonction est dérivable en 0. Pour < 0, f) f0) 0 ou à gauche, f) f0) = C 1 0 0 tend vers 0 ou encore f) f0) = C 1 et pour > 0, f) f0) 0 = C 0 0 = C. Quand tend vers 0, à droite tend vers 0 quand tend vers 0. La fonction f est donc dérivable 0 0 en 0 pour tout choi de C 1 et C puis, la fonction f est solution de E) sur R pour tout choi de C 1 et C. C 1 si < 0 Les solutions de E) sur R sont les fonctions f de la forme 0 si = 0, C 1,C ) R. On peut noter que si on C si > 0 { { pose : R, f 1 ) = si < 0 0 si < 0 et R, f 0 si 0 ) = si 0, alors pour tout réel, f) = C 1f 1 )+C f ) ou encore f = C 1 f 1 +C f. Donc, l ensemble des solutions de E) sur R est { C 1 f 1 +C f,c 1,C ) R }. Eemple. Considérons l équation différentielle E) : y +y = 0 sur R. Sur I =]0,+ [ ou ],0[, les solutions de E) sont les fonctions de la forme C, C R. Une solution de E) sur I = R est nécessairement de la forme C 1 si < 0 0 si = 0 C si > 0, C 1,C ) R. Réciproquement, une telle fonction est solution de E) sur R si et seulement si cette fonction est dérivable en 0. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 7 http ://www.maths-france.fr

Si C 1 0 ou C 0, la fonction f n a pas une limite réelle en 0 et en particulier, n est pas dérivable en 0. Si C 1 = C = 0, la fonction f est la fonction nulle. L équation différentielle E) admet sur R une solution et une seule à savoir la fonction nulle. Commentaire. A ce jour, nous ne pouvons étudier que des eemples très simples car nous manquons d outils pour étudier la dérivabilité d une fonction en un point. Ces outils seront eposés dans le chapitre «Comparaison des fonctions en un point». Eercice 1. Résoudre l équation différentielle y 1)y = 3 1) sur ]0, + [, ) sur ],0[, 3) sur R cette question ne peut pas être résolue si on ne connaît pas le chapitre «Comparaison des fonctions en un point»). Solution 1. On note E h ) l équation différentielle homogène associée y + 1)y = 0. 1) Résolution de E) sur ]0,+ [. Sur ]0,+ [, l équation E) s écrit y + 1 1 ) y =. Puisque les deu fonctions 1 1 et sont continues sur ]0,+ [, les solutions de E) sur ]0,+ [ sont de la forme λf 0 +f 1, λ R, où f 0 est une solution non nulle de E h ) sur ]0,+ [ et f 1 une solution de E) sur ]0,+ [. Soit f une fonction dérivable sur ]0,+ [ f solution de E) sur ]0,+ [ ]0,+ [, f )+ 1 1 ) ]0,+ [, e ln) f )+ f) = 1 1 ) e ln) f) = e ln) ]0,+ [, ) e f ) = e C R/ ]0,+ [, e f) = 1)e +C C R/ ]0,+ [, f) = +Ce. Les solutions de E) sur ]0,+ [ sont les fonctions de la forme +Ce, C R. ) Résolution de E) sur ],0[. Sur ],0[, l équation E) s écrit y + 1+ 1 ) y =. Puisque les deu fonctions 1+ 1 et sont continues sur ],0[, les solutions de E) sur ],0[ sont de la forme λf 0 + f 1, λ R, où f 0 est une solution non nulle de E h ) sur ],0[ et f 1 une solution de E) sur ],0[. Soit f une fonction dérivable sur ],0[ Or, f solution de E) sur I I, f )+ 1+ 1 ) I, e +ln ) f )+ f) = 1+ 1 ) e +ln ) f) = e +ln ) I, e f ) ) = 3 e I, e f ) ) = 3 e. 3 e d = 3 e 3 e d = 3 +3 )e 6 e d = 3 +3 +6+6)e +C, C R et donc f solution de E) sur ],0[ C R/ ],0[, e f) = 3 +3 +6+6)e +λ C R/ ],0[, f) = +3+6+ 6+Ce. Les solutions de E) sur ],0[ sont les fonctions de la forme +3+6+ 6+Ce, C R. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 8 http ://www.maths-france.fr

3) Résolution de E) sur R. Soit f est une éventuelle solution de E) sur R. Nécessairement il eiste C 1,C ) R tel que +C 1 e si > 0 { R, f) = 0 si = 0 +C 1 e si 0 +3+6+ 6+C e = si < 0 +3+6+ 6+C e. Réciproquement, une telle si < 0 fonction est solution sur R si et seulement si elle est dérivable en 0. Quand tend vers 0 par valeurs supérieures, f) = +o)+c 1 1+o1)) = C 1 1)+o). Par suite, f est dérivable à droite en 0 pour tout choi de C 1 et f d 0) = C 1 1. Quand tend vers 0 par valeurs inférieures, f) = 6+3+o)+ ) 6+λ 1++ +o ) = 6+C +6+C + 3+ C ) +o) Si C 6, f n a pas de limite réelle quand tend vers 0 par valeurs inférieures et si C = 6, f) = o). Par suite, f est dérivable à gauche en 0 si et seulement si C = 6. Dans ce cas, quand tend vers 0 par valeurs inférieures, f) = o) et f g 0) = 0. Maintenant, f est dérivable en 0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en 0 et f d 0) = f g 0). Ceci équivaut à C = 6 et C 1 = 1. { +e si 0 L équation E) admet une solution et une seule sur R à savoir la fonction +3+6+ 61 e ) si < 0. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants On s intéresse maintenant au équations différentielles du type E) : ay + by + cy = g) où a, b et c sont trois constantes complees a 0) et g est une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans C. Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants les coefficients du premier membre ne varient pas quand varie). Les solutions de E) sur I sont les fonctions f, deu fois dérivables sur I à valeurs dans C, vérifiant : I, af )+bf )+cf) = g). L équation homogène ou «sans second membre») associée à l équation E) est l équation E h ) : ay +by +cy = 0..1 Le théorème de Cauchy On admet le théorème suivant dont la démonstration est hors programme et dépasse de toute façon le niveau de maths sup) : Théorème 8. Soient a,b,c) C C C et g une fonction définie et continue sur un intervalle I de R à valeurs dans C. Pour tout 0,y 0,z 0 ) I C C, il eiste une solution f de l équation différentielle ay +by +cy = g sur I et une seule vérifiant f 0 ) = y 0 et f 0 ) = z 0. Intéressons nous maintenant à l équation homogène.. Résolution de l équation ay +by +cy = 0, a,b,c) C C C..1 Le cas général où a, b et c sont complees On se donne trois nombres complees a, b et c, a étant non nul. On veut résoudre sur R l équation différentielle ay + by +cy = 0 E h ), c est-à-dire on veut trouver toutes les fonctions deu fois dérivables sur R à valeurs dans C, vérifiant pour tout réel, af )+bf )+cf) = 0. Découvrons le résultat. Par analogie avec le premier ordre, cherchons des solutions f de la forme e z, z C. f est deu fois dérivable sur R et pour tout réel, af )+bf )+cf) = az e z +bze z +ce z = az +bz+c ) e z. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 9 http ://www.maths-france.fr

Par suite, f solution de E) sur R R, az +bz+c ) e z az +bz+c = 0 car R, e z 0). L équation différentielle ay +by +cy = 0, d inconnue une fonction f, s est «transformée» en une équation algébrique d inconnue un nombre complee z. Définition 1. Soient a, b et c trois nombres complees, a étant non nul. Soit E h ) l équation différentielle ay + by +cy = 0. L équation caractéristique de l équation E h ) est l équation E c ) : d inconnue un nombre complee z. On sait que deu cas de figure se présentent : az +bz+c = 0, 1er cas. Si b 4ac 0, l équation E c ) admet dans C deu solutions distinctes r 1 et r. D après le travail fait plus haut, les deu fonctions f 1 : e r 1 et f : e r sont solutions de E h ) sur R. On obtient alors beaucoup d autres solutions : les fonctions de la forme λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C, sont des solutions de E h ) sur R. En effet, aλ 1 f 1 +λ f ) +bλ 1 f 1 +λ f ) +cλ 1 f 1 +λ f ) = λ 1 af 1 +bf 1 +cf 1 )+λ af +bf +cf ) = λ 1 0+λ 0 Ainsi, { λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C } S h. On va maintenant démontrer que l on a obtenu toutes les solutions de E) sur R ou encore on va démontrer que { λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C } = S h. Soit f une solution de E h ) sur R. Posons y 0 = f0) et z 0 = f 0). Pour λ 1,λ ) C et R, posons encore g) = λ 1 e r 1 +λ e r. = 0. { { { g0) = y0 λ1 +λ g = y 0 λ = y 0 λ 1 0) = z 0 λ 1 r 1 +λ r = z 0 { r1 r )λ 1 = z 0 y 0 r λ = y 0 λ 1 λ 1 = z 0 y 0 r r 1 r λ = y 0r 1 z 0. r 1 r λ 1 r 1 +y 0 λ 1 )r = z 0 λ 1 = z 0 y 0 r r 1 r λ = y 0 z 0 y 0 r r 1 r car r 1 r ) Soit alors g la fonction z 0 y 0 r e r1 + y 0r 1 z 0 e r. La fonction g est solution de E h ) sur R et de plus, g0) = f0) r 1 r r 1 r et g 0) = f 0). Par unicité d une telle solution théorème de Cauchy), on a g = f et donc f est de la forme λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C. On a ainsi montré que S h = { λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C } où f 1 est la fonction e r1 et f est la fonction e r. ème cas. Si b 4ac = 0, l équation E c ) admet dans C une solution double r = b a. La fonction f 1 : e r est solution de E h ) sur R. Vérifions que la fonction f : e r est aussi solution de E h ) sur R. Pour R, f ) = er +re r puis f ) = rer +re r +r e r = e r +r e r puis af )+bf )+cf ) = e r +r e r) +be r +re r )+ce r = ar +br+c ) e r +ar+b)e r = 0 e r +0 e r car r = b a ) = 0. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 10 http ://www.maths-france.fr

Ainsi, les fonctions f 1 et f sont solutions de E h ) sur R et plus généralement, comme dans le premier cas, les fonctions de la forme λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C, sont solutions de E h ) sur R. Réciproquement, soient f une solution de E h ) sur R puis y 0 = f0) et z 0 = f 0). Soient λ 1,λ ) C puis g = λ 1 f 1 +λ f. Pour tout réel, g) = λ 1 e r +λ e r = λ 1 +λ )e r. { { g0) = y0 λ1 = y g 0 0) = z 0 rλ 1 +λ = z 0 { λ1 = y 0. λ = z 0 ry 0 Soit alors g la fonction y 0 e r +z 0 ry 0 )e r. La fonction g est solution de E h ) sur R et de plus, g0) = f0) et g 0) = f 0). Par unicité d une telle solution, on a g = f et donc f est de la forme λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C. On a ainsi montré que S h = { λ 1 f 1 +λ f, λ 1,λ ) C } où f 1 est la fonction e r et f est la fonction e r. On peut énoncer : Théorème 9. Soient a, b et c trois nombres complees tels que a 0 puis E h ) l équation différentielle ay +by +cy = 0. On note E c ) : az +bz+c = 0, l équation caractéristique associée. Si E c ) a deu solutions distinctes r 1 et r dans C, les solutions de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λe r 1 +µe r, λ,µ) C. Si E c ) a une solution double r dans C, les solutions de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λ+µ)e r, λ,µ) C... Le cas particulier où a, b et c sont réels On se place maintenant dans le cas particulier où a, b et c sont réels. Le discriminant = b 4ac de l équation caractéristique est donc un réel. Trois cas de figure se présentent. 1er cas. On suppose que b 4ac > 0. Dans ce cas, l équation caractéristique E c ) admet deu solutions réelles distinctes r 1 et r. Les solutions complees de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λe r 1 +µe r, λ,µ) C. On va déterminer parmi ces solutions celles qui sont réelles. Soient λ,µ) C puis f : λe r 1 +µe r. fr) R R, f) = f) R, λe r1 +µe r = λe r1 +µe r { λ+µ = λ+µ I) λe r 1 +µe r = λe r 1 +µe r obtenu pour = 0 et = 1) II) { e r e r 1 )λ = e r e r 1 )λ e r 1 e r )µ = e r 1 e r )µ er I) II) et e r 1 I) II)) { λ = λ µ = µ car er1 r puisque r 1 et r sont réels et distincts) λ R et µ R. Réciproquement, si λ et µ sont réels, alors f est à valeurs dans R. Ceci montre que les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λe r 1 +µe r, λ,µ) R. ème cas. On suppose que b 4ac = 0. Dans ce cas, l équation caractéristique E c ) admet une solution réelle double r. Les solutions complees de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λ+µ)e r, λ,µ) C. Soient λ,µ) C puis f : λ+µ)e r. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 11 http ://www.maths-france.fr

fr) R R, λ+µ)e r = λ+µ ) e r { λ = λ λ+µ)e r = λ+µ ) e r obtenu pour = 0 et = 1) { λ = λ µ = µ λ R et µ R. Réciproquement, si λ et µ sont réels, alors f est à valeurs dans R. Ceci montre que les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λ+µ)e r, λ,µ) R. 3ème cas. On suppose que b 4ac < 0. Dans ce cas, l équation caractéristique E c ) admet deu solutions non réelles conjuguées r 1 = u+iv et r = u iv, u,v) R R. Les solutions complees de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λe u+iv) +µe u iv) = e u λe iv +µe iv), λ,µ) C. Soient λ,µ) C puis f : e u λe iv +µe iv). fr) R R, e u λe iv +µe iv) = e u λe iv +µe iv) R, λe iv +µe iv = λe iv +µe iv { λ+µ = λ+µ iλ iµ = iλ+iµ obtenu pour = 0 et = π v ) { λ+µ = λ+µ λ µ = λ+µ µ = λi) II))/). Réciproquement, si µ = λ, alors pour tout réel, f) = e u λe iv +λe iv) = e u Re λe iv). f est donc à valeurs dans R. Ceci montre que les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme e u Re λe iv), λ C. En posant λ = α+iβ, α,β) R, on obtient le fait que les solutions réelles de E h ) sur R, sont les fonctions de la forme e u α cosv) β sinv)), α,β) R. Enfin, β décrit R si et seulement si β décrit R et donc les solutions réelles de E h ) sur R, sont aussi les fonctions de la forme e u α cosv)+β sinv)), α,β) R. On peut énoncer Théorème 10. Soient a, b et c trois nombres réels tels que a 0 puis E h ) l équation différentielle ay +by +cy = 0. On note E c ) : az +bz+c = 0, l équation caractéristique associée et le discriminant du trinôme az +bz+c. Si > 0, E c ) a deu solutions réelles distinctes r 1 et r. Les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λe r 1 +µe r, λ,µ) R. Si = 0, E c ) a une solution double réelle r. Les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme λ+µ)e r, λ,µ) R. Si < 0, E c ) a deu solutions non réelles conjuguées r 1 = u+iv et r = u iv où u,v) R R. Les solutions réelles de l équation E h ) sur R sont les fonctions de la forme e u λ cosv)+µsinv)), λ,µ) R. Eemples. Les solutions réelles sur R de l équation différentielle y 4y +3y = 0 sont les fonctions de la forme λe +µe 3, λ,µ) R l équation caractéristique associée est z 4z+3 = 0). Les solutions réelles sur R de l équation différentielle 4y +4y +y = 0 sont les fonctions de la forme λ+µ)e, λ,µ) R l équation caractéristique associée est 4z +4z+1 = 0). Les solutions réelles sur R de l équation différentielle y y +y = 0 sont les fonctions de la forme e λ cos+ µsin), λ,µ) R l équation caractéristique associée est z z+ = 0 et a pour solutions 1+i et 1 i). Soit ω un réel strictement positif. Les solutions réelles sur R de l équation différentielle y +ω y = 0 sont les fonctions de la forme λ cosω)+µsinω), λ,µ) R l équation caractéristique associée est z +ω = 0 et a pour solutions iω et iω). c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

.3 Résolution de l équation ay +by +cy = g).3.1 Le cas général où g est une fonction continue Théorème 11. Soient a, b et c trois nombres réels tels que a 0 et g une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C puis E) l équation différentielle ay +by +cy = g E). La solution générale de l équation E) sur I est la somme d une solution particulière de E) sur I et de la solution générale sur I de l équation différentielle homogène associée ay +by +cy = 0 E h ). Démonstration. Le théorème 8 appliqué avec 0 réel fié de I et y 0 = z 0 = 0 montre que l équation E) admet au moins une solution f 0 sur I. Soit f une fonction deu fois dérivable sur I. f solution de E) sur I af +bf +cf = g af +bf +cf = af 0 +bf 0 +cf 0 af f 0 ) +bf f 0 ) +cf f 0 ) = 0 f f 0 solution de E h ) sur I il eiste f 1 solution de E h ) sur I telle que f f 0 = f 1 il eiste f 1 solution de E h ) sur I telle que f = f 0 +f 1. Une solution quelconque de E) sur I est donc la somme d une solution particulière de E) sur I et d une solution quelconque de E h ) sur I..3. Quelques eemples avec un second membre particulier On doit savoir déterminer sans aide une solution particulière de E) sur I dans quelques cas particuliers concernant le second membre..3..1 Second membre du type Ae λ, A,λ) C L équation différentielle E) s écrit donc ay +by +cy = Ae λ. Cherchons une solution particulière de la forme f : A e λ, A C. Pour tout réel, on a puis af )+bf )+cf) = A aλ +bλ+c ) e λ, R, af )+bf )+cf) = Ae λ A aλ +bλ+c ) = A. Si aλ + bλ+c 0 ou encore si λ n est pas racine de l équation caractéristique E c ), la fonction est solution de l équation différentielle E) sur R. A aλ +bλ+c eλ Si aλ +bλ+c = 0 ou encore si λ est racine de l équation caractéristique E c ), cherchons une solution particulière de E) de la forme f : A e λ, A C. Pour tout réel, on a f ) = A 1+λ)e λ puis f ) = A λ+λ1+λ))e λ = A λ +λ ) e λ puis puis af )+bf )+cf) = A a λ +λ ) +b1+λ)+c ) e λ = A aλ +bλ+c ) +aλ+b) ) e λ = A aλ+b)e λ, R, af )+bf )+cf) = Ae λ A aλ+b) = A. Si aλ+b 0 ou encore si λ b a ou encore si λ est racine de E c) sans être racine double de E c ), alors la fonction A aλ+b eλ est solution de l équation différentielle E) sur R. Si aλ +bλ+c = 0 et aλ+b = 0 ou encore si λ est racine double de l équation caractéristique E c ), cherchons une solution particulière de E) de la forme f : A e λ, A C. Pour tout réel, on a f ) = A +λ ) e λ puis f ) = A +λ+λ λ + )) e λ = A λ +4λ+ ) e λ puis c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 13 http ://www.maths-france.fr

af )+bf )+cf) = A a λ +4λ+ ) +b λ + ) +c ) e λ = A aλ +bλ+c ) +aλ+b)+a ) e λ = A ae λ, puis R, af )+bf )+cf) = Ae λ A a = A. Dans ce cas, la fonction A a eλ est solution de l équation différentielle E) sur R. On a montré que : Théorème 1. Soit E) l équation différentielle ay +by +cy = Ae λ où a, b, c, A et λ sont des nombres complees, a étant non nul. Si λ n est pas racine de l équation caractéristique az +bz+c = 0, il eiste une solution particulière de E) sur R de la forme A e λ où A est un nombre complee. Si λ est racine de l équation caractéristique az +bz+c = 0 mais pas racine double, il eiste une solution particulière de E) sur R de la forme A e λ où A est un nombre complee. Si λ est racine double de l équation caractéristique az +bz+c = 0, il eiste une solution particulière de E) sur R de la forme A e λ où A est un nombre complee..3.. Second membre du type Bcosω) ou Bsinω), B,ω) R L équation différentielle E) s écrit donc ay +by +cy = Bcosω) avec B R et ω R. Si a, b et c sont réels et a 0) et si f est une solution de l équation ay +by +cy = Be iω alors, pour tout réel, Bcosω) = Re Be iω) = Reaf )+bf )+cf)) = aref)) )+bref)) )+cref))), et donc Ref) est une solution de l équation E). De même, Imf) est une solution sur R de l équation différentielle ay +by +cy = Bsinω). Eemple. Soit E) l équation différentielle y 3y + y = cos. Déterminons une solution particulière de l équation E ) : y 3y +y = e i. Le nombre i n est pas racine de l équation caractéristique z 3z+ = 0. Donc, il eiste une solution de E) sur R de la forme f : Ae i, A C. Pour tout réel, Par suite, f ) 3f )+f) = A 1 3i+)e i = A1 3i)e i. R, f ) 3f )+f) = e i R, A1 3i)e i = e i A1 3i) = 1 A = 1+3i 10. La fonction f : 1+3i 10 ei est solution sur R de l équation différentielle y 3y +y = e i. La partie réelle de f est alors solution sur R de l équation différentielle y 3y +y = cos. Pour tout réel, f) = 1 1 1+3i)cos+i sin) = 10 10 cos 3sin)+i3cos+sin)), et donc une solution particulière de E) sur R est la fonction 1 cos 3sin). On en déduit encore que les solutions 10 réelles de E) sur R sont les fonctions de la forme λe +µe + 1 10 cos 3sin), λ,µ) R. On peut aussi chercher à priori les solutions de l équation ay + by + cy = Bcosω) sous la forme α cosω)+ β sinω), α,β) C mais ça ne marche pas si iω est racine de l équation caractéristique). Eemple. Soit E) l équation différentielle y +y +y = 10cos). Cherchons une solution particulière de E) sur R de la forme f : α cos)+β sin), α,β) R. Pour tout réel, f )+f )+f) = 4α cos) 4β sin))+ α sin)+β cos))+α cos)+β sin)) = α+4β)cos)+ 4α β)sin). c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 14 http ://www.maths-france.fr

{ α+4β = 10 On choisit alors α et β tels que 4α β = 0 est une solution particulière de E) sur R..3..3 Principe de superposition des solutions ou encore on prend α = 1 et β =. La fonction cos+sin Théorème 13. Soient a, b, c trois nombres complees, a étant non nul. Soient g 1 et g deu fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C. Si f 1 est une solution particulière sur I de l équation ay +by +cy = g 1 et f est une solution particulière sur I de l équation ay +by +cy = g, alors pour tous nombres λ 1 et λ, la fonction λ 1 f 1 +λ f est une solution particulière de l équation ay +by +cy = λ 1 g 1 +λ g. Démonstration. La fonction λ 1 f 1 +λ f est deu fois dérivable sur I et aλ 1 f 1 +λ f ) +bλ 1 f 1 +λ f ) +cλ 1 f 1 +λ f ) = λ 1 af 1 +bf 1 +cf 1 ) +λ af +bf +cf ) = λ 1 g 1 +λ g. Eercice. 1) Résoudre sur R l équation différentielle y +y +y = cosch E). ) Trouver la solution f de E) sur R vérifiant f0) = f 0) = 0. Solution. 1) L équation caractéristique E c ) associée à l équation E H ) est z + z + = 0 et admet deu racines non réelles conjuguées z 1 = 1+i et z = z 1 = 1 i. On sait que les solutions réelles de E h ) sur R sont les fonctions de la forme λ cos)+µsin))e, λ,µ) R. Pour tout réel, cos)ch) = Re e i ch) ) = 1 Re e 1+i) +e 1+i)). Notons E 1 ) l équation y +y +y = e 1+i) et E ) l équation y + y + y = e 1+i). Si f 1 est une solution de E 1 ) et f est une solution de E ) alors f 0 = 1 Ref 1 +f ) est une solution de E) sur R d après le principe de superposition des solutions. E 1 ) admet une solution particulière de la forme f 1 : ae 1+i), a C. Pour tout réel, f 1 )+f 1 )+f 1) = a1+i) +1+i)+)e 1+i) = a4+4i)e 1+i) et f 1 est solution de E 1 ) sur R si et seulement si a = 1 4+4i = 1 i 8. On obtient f 1) = 1 i 8 e1+i). E ) admet une solution particulière de la forme f : ae 1+i), a C. Pour tout réel, f ) = a1+ 1+ i))e 1+i) puis f ) = a 1+i+ 1+i)1+ 1+i)))e 1+i) = +i i) et donc f )+f )+f ) = a +i i+1+ 1+i))+)e 1+i) = iae 1+i) et f est solution de E ) sur R si et seulement si a = 1 i ou encore a = i. On obtient f ) = i e 1+i). Une solution particulière f 0 de E) sur R est donc définie pour tout réel par f 0 ) = 1 1 i Re 8 e1+i) i ) e 1+i) = 1 18 Re 1 i)cos)+i sin))e i ) cos)+i sin))e = 1 1 8 cos)+sin))e + 1 ) sin)e Les solutions de E) sur R sont les fonctions de la forme 1 16 cos)+sin))e + 1 4 sin)e +λ cos)+µsin))e, λ,µ) R. ) Soit f une telle fonction. f0) = 1 16 +λ et donc f0) = 0 λ = 1. λ est ainsi dorénavant fié. 16 Pour tout réel, f ) = 1 16 sin + cos)e + 1 16 cos + sin)e + 1 4 sin + cos)e 1 4 sine + λ sin + µcos)e λ cos+µsin)e puis f 0) = 1 16 + 1 3 +µ λ = µ+ 16 16 et donc f 0) = 0 µ = 3 16. c Jean-Louis Rouget, 016. Tous droits réservés. 15 http ://www.maths-france.fr