DOCUMENT B Dans ces documents, nous communiquons trois épreuves de Mathématiques, séries Sciences Expérimentales (épreuve A), Mathématiques Élémentaires (épreuve B), et Littéraire (épreuve C), présentées au BAC II vietnamien à la fin d études d enseignement secondaire de l année scolaire 973-74 au Sud Viêtnam. La version française a été légèrement modifiée des textes vietnamiens. Les QCMs sont brouillées en trois modèles équivalents de sorte que deux candidats assis à côté l un de l autre ont différents textes. Notons que le texte originel en vietnamien de l épreuve A a été rédigée avec la collaboration du Professeur Hà Xuân Châu au Lycée des Filles Trưng Vương à Saigon. Épreuve A Dans ce texte, notons que les systèmes de références sont supposés orthonormés ; si p est une proposition, la proposition négation de p est notée non-p ou p ; parmi les cinq choix, un seul est correct ; Log x et log x désignent successivement les logarithmes népérien et décimal de l argument x ; Le candidat doit répondre aux questions posées dans les 0 items, numérotés de 7 à 3, qui sont de même poids ; marquez vos réponses en suivant strictement les instructions sur la feuille de réponses. 7. A, B, et C sont trois points non alignés. L ensemble des points M tels que MA + MB + MC = 0 est... A) une droite B) un cercle C) un point D) un ensemble vide E) un autre choix 8. Soit une progression arithmétique dont le premier terme est 0, et la raison est 7. Quel est la somme des dix premiers termes? A) 5 B) 35 C) 45 D) 450 E) une autre réponse. 9. Soit l équation log x log x + = 0 () Quel est l ensemble des racines réelles de l équation ()? A) B) {, 3} C) {00} D) {00, 000 } E) un autre ensemble 0. Si l unité de longueur est cm, quelle est, en cm, la surface limitée par la droite (D) y = x et la parabole (P) y = x? A) B) 3 C) D) 3 E) une autre réponse Pour les items et, F(x) est une primitive de f(x) ; b posons f ( xdx ) = F(b) F(a). a. Quelle est la valeur de x + x 0 dx? A) Log 5 B) Log 4 C) Log 5 e D) E) 0 Epreuves de Math Page 39 Page 40 DOCUMENT B
. Quelle est la valeur de sin x.cos xdx? A) 0 B) 3 π 0 C) 3 3. Considérons la fonction vectorielle j V 3 (t) = (+ t) i + ( t) 3. D) E) Quand t =, le vecteur dérivé second de V (t) a pour composantes... A) (, 8 ) B) ( 8, ) C) (, ) D) (, ) E) ( 7, ) 4. Soit un mobile M ( x = t, y = t ). Parlant du sens de mouvement de M, quelle est la phrase correcte? A) Toujours dans le sens croissant des x. B) Toujours dans le sens croissant des y. C) Toujours dans le sens décroissant des y. D) Change le sens de mouvement une fois. D) Change le sens de mouvement deux fois. 5. Un mobile M a pour équation horaire s = Log t. À l instant t =, la vitesse du mobile égale à : A) B) C) 4 D) 4 E).. Quelle est l amplitude de la fonction sinusoïdale x = 4 cos t? A) B) C) 4 D) 8 E). 7. Parmi les équations paramétriques suivantes, choisissez un mouvement circulaire. A) x = sin t, y = 3 cos t B) x = sin t, y = cos 3 t C) x = sin t, y = cos t D) x = sin t, y = + cos t E) x = sin t, y = cos t Le tableau de fréquence ci-dessous est donné pour les trois items 8, 9, et 30. poids (kg) fréquence 8-3 - 7 5 8-3 - 7 7 8-3 0 33-37 4 somme 50 8. Quelle est la fréquence accumulée à la classe 3-7? A) 3 B) 3 C) 9 D) 7 E) 9. Quel est le mode de la distribution? A) B) 4 C) 7 D) 0 E) 5. 30. Quel est le premier quartile Q? A) 0 B) 7.5 C) 0 D) 0. E) 5. 3. Soit A un ensemble non vide, choisissez un ensemble qui n est pas égal à A parmi les ensembles suivants : A) A B) A A C) A A D) A E) A Epreuves de Math Page 4 Page 4 DOCUMENT B
C n 7 C n 3. Si = quelle est la valeur de n? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). 33. Dans une classe de 0 élèves, combien groups distincts de trois élèves qu on peut former? A) 840 B) 0 C) 57 D) 0! E) un autre nombre. Les trois items 34, 35, et 3 utilisent les mêmes données et choix suivants. Les données : On tire au hasard à la fois deux boules d une urne contenant six boules indiscernables au toucher, numérotées de à. On considère les événements : Les choix : A) A : la somme deux nombres tirés est 8 B : la différence deux nombres tirés est B) 4 C) 5 D) 8 34. Quelle est la probabilité de l événement A? E) un autre nombre. 35. Quelle est la probabilité de l événement A B? 3. Quelle est la probabilité de l événement A B? FIN de l épreuve A Épreuve B Dans ce texte, notons que les systèmes de références sont supposés orthonormés ; si p est une proposition, la proposition négation de p est notée non-p ou p ; parmi les cinq choix, un seul est correct ; Log x et log x désignent successivement les logarithmes népérien et décimal de l argument x ; Le candidat doit répondre aux questions posées dans les 50 items, numérotés de 73 à, qui sont de même poids ; marquez vos réponses en suivant les instructions sur la feuille de réponses. 73. Étant donné un corps (K, +, x), parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte? A) ( K, +, x ) est un anneau commutatif B) ( K, +, x ) est un anneau unité C) ( K, + ) est un groupe Abel D) ( K, x ) est un groupe E) Les quatre propositions sont vraies. 74. La proposition p a la même table de vérité que la proposition... A) p p B) p p C) p ( p) D) ( p) p E) p V ( p) 75. Si f est une application surjective de F vers G, alors A) f est une application injective B) f est une application bijective C) ( y G) ( x F) ( f(x) = y ) D) F = G E) Les quatre propositions sont fausses. Epreuves de Math Page 43 Page 44 DOCUMENT B
7. X étant la partie hachée dans le diagramme ci-dessous. Considérons les trois propositions suivantes : I. X A x B x C II. X (A B) = III. X = A B C Quel est votre choix? A) I., II, et III. sont vraies B) II. et III. sont vraies C) seulement III. est vraie D) seulement II. est vraie E) seulement I. est vraie. 77. Si z i = ( z + i ), dans le plan complexe, l image de z est définie par : A) (0, 3) B) (0, 3) C) (0, ) D) (0, ) E) une autre paire. 78. Si z = cos π + i sin π, alors l angle polaire de z 4 est : A) ( π ) 4 B) 5 π C) 4 π 3 D) π 3 E) π 3 Pour les items 79, 80, considérons la loi de composition interne dans un ensemble référentiel E, définie par x y = x y + y. 79. L élément neutre, s il existe est... A) 0 B) C) D) un autre nombre. E) l élément neutre n existe pas. 80. Nous disons que la loi est... A) commutative et associative. B) non commutative et non associative. C) non commutative mais associative. D) commutative mais non associative. E) distributive par rapport à l addition. 8. Dans l ensemble {,, 3, 4}, soit une relation R définie par L ensemble image de R est : x R y (x + y = 3 ou x = y) A) {, } B) {(, )} C) {(, ), (,)} D) {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} E) un autre ensemble. 8. L angle polaire du nombre complexe ( + i) ( + i 3 ) est... A) 7 π B) 5 π π π C) D) E) un autre nombre. 3 83. Trouvez l ensemble des racines réelles de l équation Log (x + 3) + Log (x + ) = Log (x + ). A) { } B) { } C) { 5 } D) {, 5 } E) {,5 } 84. Soit (C) la courbe représentative de la fonction (C) y = 5x 4x+ xx ( )( x ) Le nombre des asymptotes à (C) est égal à... A) 0 B) C) D) 3 E) 4 Epreuves de Math Page 45 Page 4 DOCUMENT B
85. Le mouvement d un point M, défini à l instant t par M ( x = cos t, y = sin t ) est un mouvement... A) non circulaire B) circulaire non uniforme C) circulaire uniforme avec la vitesse angulaire π D) circulaire uniforme avec la vitesse angulaire π E) circulaire uniforme avec la vitesse angulaire 8. Quelle est l intégrale générale de l équation différentielle y + y = 0? A) y = Ce x B) y = Ce -x C) y = Ce x/ D) y = Ce -x/ E) une autre fonction. 87. La tengente issue du point M (, e ) à la courbe représentative (C) de la fonction y = e x... A) a pour pente e. B) a pour équation y = x e C) passe par l origine O. D) passe par le point A ( e, ). E) possède toutes les quatre propriétés précédentes. 88. Quand x = e, quelle est la valeur de la dérivée de f(x) = x Log x? A) B) C) + e D) e E) e 89. Une primitive de la fonction g(x) = Log x est : A) x Log x B) x Log x + x C) x Log x x D). (Log x) 90. Considérons deux fonctions f et g. Si g(x) = 5 x et la fonction composée g o f(x) = 5x, alors f(x) est égale à... A) 5x B) 5x C) + 5x D) 4x E) 5 x 5 x 9. Considérons deux paraboles (P) y = x (P ) y = x(x ). Quelle est la valeur de la surface limitée par (P) et (P ), en unités de surface? A) 3 B) 3 C) D) E) 9. La fonction primitive s annulant pour x = 0 de la fonction y = cos x est égale à : A) 3 cos x cos x 3 x B) + 4 x sin x D) + 4 x sin x E) 4 93. La dérivée de la fonction e -x cos x est... x cos x C) 4 A) e -x (sinx + cosx) B) e -x (cosx sinx) C) e -x (sinx cosx) D) e -x (sinx) E) e -x (sinx) Pour les items 94 et 95, le mouvement d un point M est défini par M (x = e t, y = e -t ) 94. Quelle est l équation cartésienne de la trajectoire de M? E) une autre expression. Epreuves de Math Page 47 Page 48 DOCUMENT B
A) y = x, x > 0 B) x, x > 0 C) y = x, x > 0 D) y = x E) y = x, x > 0. 95. À l instant t = 0, soit MV le vecteur vitesse. Quelles sont les coordonnées de l extrémité V? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 3). 9. M est un poit mobile sur une courbe définie par l équation horaire s = f(t). Étant donnée la vitesse v à l instant t, nous pouvons déterminer... A) la dérivée de l abscisse. B) le vecteur vitesse. C) l accélération. D) la trajectoire. E) l équation horaire. 97. Soit un mouvement sinusoïdal avec l équation horaire x = cos (t π ). Quelle est la phase initiale? A) π B) π C) 3 π 4 98. Une primitive de cos x est : A) 3 ( 4x cos x )3 B) sin x D) 4 + tg x E) 4 tg x. D) 5 π C) 4x + 4 3 tg3 x E) π. 99. La fonction y = Log x est une primitive de la fonction... A) x Log x x B) x, avec x 0 C) x, avec x < 0 D) x, avec x > 0 E) une autre fonction. 00. Une intégrale de l équation différentielle (+ e x ) y e x = 0 est... x e A) y = Log + e x B) y = Log D) y = Log (+ e x ) E) y = Log x e x + e + e 0. Une primitive de cotg x est... A) tg x B) cotg x C) Log E) une autre expression. 0. Soit une fonction f définie par f(x) = x, si x 0 f(x) = Log x, si > 0. Quand x = 0, on dit que... A) f n est pas définie. B) f est continue à gauche et à droite. C) f est continue seulement à gauche. D) f est continue seulement à droite. x x sin x C) y = e x E) f n est pas continue ni à gauche ni à droite. D) Log cos x Epreuves de Math Page 49 Page 50 DOCUMENT B
03. On donne un triangle ABC isocèle, rectangle en B. Trouvez la valeur de k vérifiant l égalité vectorielle : + k AC = 0. A) B) E) k est introuvable. AB C) D) 04. Étant donné un triangle quelconque ABC, quel est le produit de deux symétries par rapport respectivement à BC et à AB? A) La translation de vecteur AC. B) Une rotation de centre A. C) Une rotation de centre B. D) Une rotation de centre C. E) La symétrie par rapport au point B. 05. On donne un cercle (C) de centre O, et une droite (D), tangente à (C) en un point A du cercle. Quel est le centre d inversion transformant le cercle (C) à la droite (D)? A) Le centre O. B) Le point de contact A. C) Le symétrique du centre O par rapport à A. D) Le symétrique de A par rapport au centre O. E) Un autre point. 0. On donne sur un cercle (C) un point fixe F et un point mobile M. Quel est l enveloppe de la médiatrice du segment FM? A) Une ellipse B) Une hyperbole C) Une parabole D) Un cercle E) Un point Pour les items 07 et 08, on donne deux droites : (D) x y = 0, (D ) 3x + y = 0. 07. Quelle est la valeur de tg ( D, D )? A) 7 B) 7 C) 7 5 D) 7 5 E) un autre nombre 08. Écrire l équation de la droite passant par l intersection de (D) et (D ) et parallèle au vecteur V (, ). A) 4x 7y 3 = 0 B) 4x + 7y + 3 = 0 C) 7x 4y + 4 = 0 D) 7x + 4y 4 = 0 E) une autre relation. 09. Trouvez le centre excentrique du cône (C) y = x + 4. A) 4 B) C) D) E) 0. Quel est le centre ( x, y ), s il existe, du cône (C) x + y x = 0? A) (, 0 ) B) ( 0, ) C) (, 0 ) D) (, 0 ) E) Le centre n existe pas. Epreuves de Math Page 5 Page 5 DOCUMENT B
. Considérons une similitude transformant un point M(x,y) en un point M (x,y ) : x = x 3 y + 3, y = 3 x + y 3. Trouvez les coordonées du centre de similitude. A) (, ) B) (, ) C) ( 3, 3 ) D) (, ) E) ( 3, 3 ) Pour les quatre items, 3, 4, et 5, on considère un cercle (C) d équation x + y y 4 = 0 et un cercle (C ) de centre C ( a, a), passant par l origine O.. Écrire l équation de (C ). A) x + y ax + ay = 0 B) x + y ax ay = 0 C) x + y + ax ay = 0 D) x + y ax + ay = 0 E) x + y + ax + ay = 0 3. Quelle est la valeur de a, si (C) et (C ) sont orthogonaux? A) B) C) D) E) un autre nombre. 4. Si a =, écrivez l équation de la droite polaire du pôle C par rapport au cercle (C). A) x 4 = 0 B) x + 4 = 0 C) x + y = 0 D) x + y = 0 E) x + y + = 0. 5. Si a = 3, écrivez l équation de l axe polaire de deux cercles (C) et (C ). A) 3x y + = 0 B) 3x + y = 0 C) 3x y = 0 D) 3x + y + = 0 E) x 3y = 0.. Trouvez le paramètre de la parabole (P) y y 4x 5 = 0. A) B) 4 C) 8 D) 0 E) 5. 7. Dans la figure ci-contre, les trois points A, B, C sont fixes sur la droite (d) ; le cercle (O) est tangent à (d) en A ; deux tangentes à (O) issues de B et C se coupe en M. Quand (O) varie, tout en restant tangent à (d) en A, quel est l ensemble des points M? A) Une droite B) Un cercle C) Une parabole D) Une hyperbole E) Une ellipse. Pour les deux items 8, 9 considérons l inversion I ( O, 4 ) de centre O, origine des axes de coordonnées, et de puissance 4. 8. Soit (C) un cercle d équation (C) x + y x = 0. Écrivez l équation de l image inverse de (C) dans l inversion I ( O, 4 ). A) x + y x = 0 B) x + y + x = 0 C) x + = 0 D) x 4 = 0 E) une autre équation. 9. Dans l inversion I ( O, 4 ), on dit que le cercle d équation x + y 8x + y = 0... A) est point par point invariable. B) est en entier invariable. C) a pour image inverse un cercle passant par O. Epreuves de Math Page 53 Page 54 DOCUMENT B
D) a pour image inverse un cercle non passant par O. E) a pour image inverse une droite. 05. Si y = log x, on a... Épreuve C 0. Soit une transformation T définie par A) log x 0 B) x = 0y C) x = 0 y D) x = y 0 E) x = 0 + y T M (x, y) M (x, y ) x ' = x+ y y' = x y 0. Soit une progression géométrique de raison q = 3, le quatrième terme est u 4 = 54. Trouvez le premier terme u. Déterminez l équation de la transformée par T de la droite A) B) C) 45 D) 54 4 E) Un autre nombre. x + 3y = 0. A) x + 3y = 0 B) 8x + 5y = 0 C) 5x 8y + = 0 D) 8x 5y + = 0 E) 8x + 5y + = 0.. Deux cercles de centres O et O sont orthogonaux en A et B. Quelle est l image inverse du cercle de diamètre OO dans l inversion I ( A, AB ) de pôle A, de puissance AB? A) Une droite passant par B. B) Une droite ne passant pas par B. C) Un cercle passant par B. D) Un cercle ne passant pas par B. E) Une autre figure.. Quel est centre d homothétie positive de deux cercles (C) : x + y 8x 4y = 0 (C ) : x + y + x 4y = 0? A) ( 3, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) une autre paire. FIN de l épreuve B 07. Soient deux propositions p et q. Quelle est la proposition qui est vraie seulement si p et q ont même valeur. A) p q B) p q C) p q D) p q E) Une autre proposition. 08. La proposition p q est fausse seulement si... A) p et q ont même valeur B) p et q ont différentes valeurs C) p est fausse et q est vraie D) p est vraie et q est fausse E) p et q sont fausses. 09. Si x, x +, et x sont les trois termes successifs d une progression arithmétique, trouvez la valeur de x. A) B) 4 C),5 D) E) 0. Soit une progression géométrique 8, 4,,... Trouvez le huitième terme. A) 4 B) 8 C) D) 3 E) 4 Epreuves de Math Page 55 Page 5 DOCUMENT B
. N étant l ensemble des entiers naturels. Déterminez l intersection des ensembles { x N / x 4 = 0} et {,, 0,, }. A) {,, 0,, } B) {, } C) {, 0, } D) { } E) Un autre ensemble.. Soient trois ensembles A = {,, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5, }, C = {, 4, }. Déterminez le complémentaire de C dans A B. A) {, 3, 5 } B) {, 4, } C) {, } D) { 4 } E) Un autre ensemble. 3. La somme S n des n nombres entiers à partir de est égale à 78. Quelle est la valeur de n? A) 9 B) 0 C) D) E) 3. 4. N étant l ensemble des entiers naturels, alors... A) x N, x = B) x N, x = 3 C) x N, x = 4 D) x N, x = 5 E) x N, x =. Le diagramme ci-dessous est donné pour les items 5 et. Budget annuel d'une famille aliments 80 médicament 70 loyer 50 divers 00 5. Quel est le pourcentage pour les Aliments? A) 40% B) 3% C) 30% D) 8% E) Un autre nombre.. L angle au centre correspondant au morceau loyer est... A) 50 o B) 00 o C) 90 o D) 3 o E) Une autre valeur. 7. Si log (x ) + log x = log 8, quelle est la valeur de x? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) ou 4. Une urne contient boules : noires, 4 rouges, blanches. On tire au hasard une boule. Cette information est donnée pour les items 8, 9, et 0. 8. Calculez la probabilité d obtenir une boule rouge. A) 3 B) 4 C) D) E) Une autre valeur. 9. Calculez la probabilité d obtenir une boule noire ou blanche. A) 3 B) 3 C) D) E) Une autre valeur. 0. Calculez la probabilité d obtenir une boule verte. A) 3 B) 4 C) D) E) 0 FIN de l épreuve C Epreuves de Math Page 57 Page 58 DOCUMENT B