Uiversité de Rees L SVE Probabilités et statistiques aée 25-26 Élémets de correctio de la feuille d exercices # 3 Exercice Exemple de loi discrète Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs 2, 4, 6, ou 8. Détermier la loi de X sachat que : P(X < 6) = 3, P(X > 6) =, P(X = 2) = P(X = 4). 2 O a = P(X < 6) = P(X = 2 ou X = 4) = P(X = 2) + P(X = 4) 3 et comme P(X = 2) = P(X = 4), o a déduit que Par ailleurs, o a Efi, o a O vérifie alors aturellemet que P(X = 2) = P(X = 4) = 6. = P(X > 6) = P(X = 8). 2 P(X = 6) = P(X 6) = (P(X > 6) + P(X < 6)) = 6. P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) =. Exercice 2 Motus Ue ure cotiet des boules umérotées : 7 boules sot marquées du chiffre, 5 boules sot marquées du chiffre 3 et 3 boules sot marquées du chiffre 5. O tire au hasard ue boule de l ure et o ote X sa marque.. Détermier la loi de la variable X. La loi de X est doée par P(X = ) = 7 5, P(X = 3) = 5 5, P(X = 5) = 3 5. 2. Calculer l espérace et la variace de X. O a alors E[X] = 7 5 + 3 5 5 + 5 3 5 = 37 5 E[X 2 ] = 2 7 5 + 32 5 5 + 52 3 5 = 27 5 dot o déduit var(x) = E[X 2 ] E[X] 2 2, 4.
Exercice 3 Dé truqué Ue variable aléatoire X pred les valeurs etières k {, 2, 3, 4, 5, 6}, avec probabilité proportioelle à k i.e. il existe ue réel α >, tel que P(X = k) = αk.. Préciser la loi de X. Calculer so espérace. La loi de X est ue probabilité, o doit doc avoir = P(X = ) + P(X = 2) +... + P(X = 6) = α + 2α +... + 6α = 2α, autremet dit, o a α = /2. Dès lors, l espérace de X est doée par E[X] = 2 + 2 2 2 +... + 6 6 2 = 3 3. 2. O pose Y = /X. Détermier la loi de Y. La variable Y est à valeurs das l esemble {/6, /5,..., } et l o a aturellemet P(Y = /k) = P(X = k) = k 2. Exercice 4 Nombre de piles O lace trois pièces équilibrées. O désige par X le ombre de piles obteus.. Détermier la loi de X. D après le cours, la loi de X est la loi biomiale B(3, /2). 2. Calculer la moyee et la variace de X. Toujours d après le cours, o a alors E[X] = 3 2 = 3 2, var(x) = 3 2 2 = 3 4. Exercice 5 Tu joues ou bie? O vous propose le jeu suivat. Pour pouvoir jouer, il faut d abord verser euro. O jette deux dés simultaémet. Si l u des dés au mois présete u chiffre impair, o e gage rie. Si les dés présetet deux chiffres pairs différets, o gage euro. Efi, si les dés présetet deux fois le même chiffre pair, o gage ue somme égale à la somme de ces deux chiffres, par exemple o gage 8 si o fait u double quatre. Joueriez-vous à ce jeu? Les valeurs possibles pour le gai sot {,, 3, 7, } et l o a P(X = ) = P(au mois u dé impair) = P(deux dés pairs) = 4 = 3 4. P(X = ) = P({(2, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 2), (4, 6), (6, 4)}) = 6 36 = 6 P(X = 3) = P({(2, 2)}) = 36, P(X = 7) = P({(4, 4)}) = 36 O a alors P(X = ) = P({(6, 6)}) = 36. E[X] = 3 4 + 6 + 3 36 + 7 36 + 36 = 6 <. E moyee, le joueur est doc perdat!
Exercice 6 Géotype Cosidéros deux parets hétérozygotes de géotype Aa tels que leur efats peuvet avoir les géotypes AA, Aa ou aa avec probabilité P(AA) = 4, P(Aa) = 2, P(aa) = 4. Supposos qu ils aiet 3 efats. Das toute la suite, o suppose que les géotypes des trois efats sot idépedats et o les ote X, Y et Z.. Quelle est la probabilité qu exactemet l u d eux ait le géotype aa? L évèmet A = exactemet u des efats a le géotype aa s écrit comme l uio disjoite des trois évèemets suivat : A = (X = aa Y aa Z aa) (X aa Y = aa Z aa) (X aa Y aa Z = aa) La probabilité recherchée est doc P(A) = P (X = aa Y aa Z aa) + P (X aa Y = aa Z aa) P (X aa Y aa Z = aa) = P(X = aa)p(y aa)p(z aa) + P(X aa)p(y = aa)p(z aa) P(X aa)p(y aa)p(z = aa) = 4 3 4 3 4 + 3 4 4 3 4 + 3 4 3 4 4 = 9 64. 2. Quelle est la probabilité qu au mois l u deux ait le géotype aa? Si o ote B l évèemet au mois l u des efats a le géotype aa, o a alors P(B) = P(X aa Y aa Z aa) = P(X aa)p(y aa)p(z aa) = 3 4 3 4 3 4 = 37 64. Exercice 7 Géotype, suite Cosidéros les efats de parets hétérozygotes de géotype Aa. La distributio des efats est celle de l exercice précédet. O choisit de faço aléatoire 24 de ces efats. O défiit N, N 2, N 3 le ombre d efats de géotype AA, Aa et aa respectivemet.. Quelle est la loi de N? N 2? N 3? Ce sot des lois biomiales de paramètres = 24 et p = /4, p 2 = /2, et p 3 = /4 respectivemet. 2. Quel est le lie etre ces différetes variables? Vérifier que pour k, k 2, k 3 N, P(N = k, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) P(N = k )P(N 2 = k 2 )P(N 3 = k 3 ). La somme de ces variables vaut 24, elles e sot doc pas idépedates!
Exercice 8 Momets des lois usuelles Détermier les espéraces et les variaces des lois usuelles (Cf. pages 27 et 37 du polycopié). Exercice 9 Somme de variables de Beroulli Soiet X,..., X des variables idépedates de de loi de Beroulli B(p).. Détermier la loi de X + X 2. E déduire la loi de X +... + X. La variable S = X + X 2 est à valeurs das {,, 2} et o a P(S = ) = P(X =, X 2 = ) = P(X = )P(X 2 = ) = ( p) 2, P(S = 2) = P(X =, X 2 = ) = P(X = )P(X 2 = ) = p 2, P(S = ) = (P(S = ) + P(S = 2)) = 2p( p). O recoaît la loi biomiale B(2, p). Plus gééralemet, la loi de X +... + X est la loi biomiale B(, p). 2. Iterpréter ce résultat e terme de jeu de pile ou face. La loi biomiale B(, p) est la loi du ombre de succés lorsque l o joue fois de suite avec ue pièce biaisée telle que P(pile) = p. Exercice Somme de variables de Poisso Soiet X,..., X des variables idépedates de, où X j suit ue loi de Poisso paramètre λ j.. Détermier la loi de X + X 2. E déduire la loi de X +... + X. Pour u etier positif k doé, o a P(X + X 2 = k) = = P(X + X 2 = k, X 2 = l) = l= P(X = k l)p(x 2 = l) = l= P(X = k l, X 2 = l) l= l= e λ λ k l (k l)! e λ 2 λl 2 l! = e (λ +λ 2 ) k! l= k! (k l)!l! λk l λ l 2 = e (λ +λ 2 ) (λ + λ 2 ) k k! d après la forumle du biôme. O recoaît aisi ue loi de Poisso de paramètre λ + λ 2. Plus gééralemet, la loi dex +... + X est la loi de Poisso de paramètre λ +... + λ. 2. Expliciter la loi de X j sachat X +... + X = k. Si k l sot deux etiers, o a P(X j = l X +... + X = k) = P(X j = l et X +... + X = k) P(X +... + X = k) P(X j = l X +...+X = k) = P(X j = l et X + X 2 +... + X j + X j+ +... + X = k l) P(X +... + X = k)
Par idépedace P(X j = l X +...+X = k) = P(X j = l) P(X + X 2 +... + X j + X j+ +... + X = k l) P(X +... + X = k) i j λ i (( i j λ i) k l /(k l)! P(X j = l X +... + X = k) = e λ j (λ l j /l!) e Les expoetielles se simplifiet, et si l o pose p = e i= λ i(( i= λ i) k /k! λ j i= λ, o obtiet P(X j = l X +... + X = k) = Ck l pl ( p) k l. i La loi de X j sachat {X +... + X = k} est ue loi biomiale B(k, p). Exercice Passe-partout U trousseau de clefs cotiet ue seule clef ouvrat ue serrure doée. O les essaie l ue après l autre au hasard. Calculer la loi, l espérace et la variace du ombre d essais écessaires. Même questio si, u peu éméché, o réessaie à chaque fois ue clef au hasard sas avoir écarté la précédete. O ote X le ombre d essais écessaires pour trouver la boe clef. Si o élimie les mauvaises clefs au fur et à mesure, o a aturellemet P(X = ) =. Esuite o peut écrire De même, o a P(X = 2) = P(X = 2 X > ) = P(X = 2 X > )P(X > ) = P(X = 2 X > ) ( P(X = )) = ( ) P(X = 3) = P(X = 3 X > 2) = P(X = 3 X > 2)P(X > 2) = P(X = 3 X > 2) ( P(X 2)) = P(X = 3 X > 2) ( P(X = 2) P(X = )) = 2 ( 2 ) =. =. et o motre de faço similaire que P(X = k) = / pour tout k. Autremet dit, la loi de X est la loi uiforme sur {,..., }. Maiteat, si o élimie pas les mauvaises clefs au fur et à mesure, o a ecore P(X = ) = et e raisoat comme plus haut P(X = 2) = P(X = 2 X > ) = P(X = 2 X > )P(X > ) = P(X = 2 X > ) ( P(X = )) = ( ). De même P(X = 3) = P(X = 3 X > 2) = P(X = 3 X > 2)P(X > 2) = P(X = 3 X > 2) ( P(X 2)) = P(X = 3 X > 2) ( P(X = 2) P(X = )) = ( ( )) = ( 2. ) et plus géeralemet P(X = k) = ( ) k O recoaît la loi géométrique de paramètre /.
Exercice 2 Ciel gris Das u pays très pluvieux, il pleut u jour doé avec probabilité s il a pas plu la veille, et avec probabilité /2 s il a plu la veille. Motrez qu il y a e moyee 243 jours de pluie par a. O défiit les variables X i qui valet s il pleut le jour i et sio. D après l éocé, o a P(X i = X i = ) = /2, P(X i = X i = ) =. Le ombre de jour de pluie das l aée est S = 365 i= X i. Par liéarité E(S) = calcul de E(X i ) doe : 365 E(X i ). La E(X i ) = P(X i = ) = P(X i = X i = )P(X i = ) + P(X i = X i = )P(X i = ), i.e., E(X i ) = 2 P(X i = ) + P(X i = ) = 2 P(X i = ) + P(X i = ), ou ecore E(X i ) = 2 P(X i = ) = 2 E(X i ). O a aturellemet E(X i ) = E(X i ) pour tout i, d où E(X i ) = 2/3 et E(S) = 365 E(X ) = 365 2 3 243. i= Exercice 3 Exemple de variable à desité Soit f la foctio défiie par f(x) = 4 3 ( x)/3 si x [, ] et f(x) = sio.. Motrer que f est la desité d ue variable aléatoire X. La foctio f est positive et o a 4 f(x)dx = 3 ( x)/3 dx = [ ( x) 4/3] =, R doc f est bie ue desité de probabilité. 2. Détermier la foctio de répartitio de X et la tracer. La foctio de répartio F (x) associée est doée par si x, x F (x) = f(u)du = x 4 3 ( u)/3 du = [ ( u) 4/3] x = ( x)4/3. So graphe est le suivat :
3. Calculer l espérace de X. D après le cours, l espérace de X est doée par la formule : E[X] = E itégrat par parties, il viet E[X] = R xf(x)dx = [ x ( ( x) 4/3)] + x 4 3 ( x)/3 dx. [ = + 3 ] 7 ( x)7/3 = 3 7. ( x) 4/3 dx Exercice 4 Maximum et miimum Soiet X, X 2,..., X des variables aléatoires idépedates et de même loi. O ote F leur foctio de répartitio commue. O ote Y = mi(x, X 2,..., X ) et Z = max(x, X 2,..., X ).. Exprimer les foctios de répartitio F Y et F Z des variables Y et Z e foctio de F ; O a pour tout x R : F Y (x) = P(Y x) = P(Y > x) = P(X > x, X 2 > x,..., X > x) = P(X > x)p(x 2 > x)... P(X > x) = ( P(X x))... ( P(X x)) = ( F (x))... ( F (x)) = ( F (x)). De la même faço, o a F Z (x) = P(Z x) = P(X x, X 2 x,..., X x) = P(X x)p(x 2 x)... P(X x) = F (x). 2. Expliciter F Y et F Z lorsque les X i sot des variables de loi géométrique G(p) ; Par défiitio, si X est ue variable géométrique de paramètre p, alors pour tout etier l o a P(X = l) = p( p) l. O e déduit que pour tout etier k positif P(X > k) = l=k+ P(X = l) = l=k+ p( p) l = ( p) k. Autremet dit, F (k) = P(X k) = P(X > k) = ( p) k. O déduit esuite l expressio de F Y et F Z grâce à la première questio. 3. Expliciter la desité des Y et Z lorsque les X i sot des variables de loi uiforme U [,]. Das le cas où les X i sot des variables uiformes, o a simplemet F (x) = x sur l itervalle [, ] et à ouveau, o e déduit facilemet l expressio de F Y et F Z grâce à la première questio.