Probbilités 4 ème mth BHHmmou Fethi Soit E, 2, n un ensemble à n élément et un entier nturel non nul L e nombre es -ulet éléments e E est l entier n Le nombre e n-ulet élément e E eux à eux istints est l entier n! Si n lors - Le nombre e n-ulet élément e E eux à eux istints est l entier - Le nombre e es sous rties élément e E est l entier C Ativité 4 ge 80 : Probbilité sur un ensemble fini : n A n n! n! n! n!! Soit E l univers une exériene létoire et P(E) l ensemble es événements e E On elle robbilité sur E, toute lition e P(E) ns 0, vérifint : PE ( E est elé évènement ertin) et P 0 ( est elé évènement imossible) Si A et B eux évènements e E tel que A B lors AB A B Proriété : Soit E, P E, un ese robbilisé fini et A et B eux évènements e E et A B A B A B A A Si A B lors AB A B Si A, A2,, A k sont es événements eux à eux inomtibles ( intersetion vies) lors A A A A A A Ativité 2 ge 82 : 2 k 2 k
Définition et théorème : Soit E l univers une exériene létoire ns une sitution équirobbilité et P(E) l ensemble es rties e E l lition éfinie e P(E) ns 0, r r E robbilité uniforme Proriété : Soit E, PE, A Pour tout évènement élémentire e E est une robbilité e E elé un ese robbilisé fini tel que l robbilité est uniforme lors r A r E Exerie 2 ge84 : Probbilité onitionnelle : Ativité 2 ge 86 : Théorème : Soit E, PE, un ese robbilisé et B un évènement tel que B 0 A B B e P(E) ns 0,, éfinie r B A B robbilité sur E Le réel B A est noté / 2 L lition our tout évènement A est une A B on lit robbilité e A shnt B On it que eux évènements A et B sont inéennte lorsque AB A B Dns le s où B 0,l rélistion e B n influene s elle e A à A/ B A Ativité 3 ge 88 : Prinie e robbilités totles : Soit E PE,, un ese robbilisé B B A B A B / A A B / A A Si A, B et C trois évènements e E tel que A B C E et A B, AC et C B our tout évènement H on H H A H B H C = H / A A H / B B H / C C
Alés numérique: Ativité : Un s ontient 7 jetons numéroté e à 7 On extrit u hsr et simultnément 2 jetons u s, on se le ns les onitions équirobbilité On ggne 2 inrs our hque jeton ortnt un numéro imire obtenue on er 3 inrs our hque jetons ortnt un numéro ire obtenues on ésigne r X le gin lgébrique (négtif ou ositif) rélisé en une rtie ) Quelle sont les vleurs ossible e X 2) Déterminer l robbilité e hque vleur Vobulire : X est une vrible létoire ou lé numérique Le tbleu éfinit les lois e robbilité e X Définitions: Soit un ese robbilisé fini On elle vrible létoire ou lé numérique éfinit sur E toute lition L ensemble es vleurs rises r X est noté X ( E ) s elle l univers imge e E r X, X ( E ) L évènement est noté L loi e robbilité e X est l lition qui tout (Fontion e rértition) Soit X un lé numérique, on elle fontion e rértition e X l lition tout qui à Alition : Donner et rerésenté l fontion e rértition éfinit n l tivité : Esérne mthémtique : Soit un ese robbilisé fini et X une vrible létoire éfinit sur E On elle esérne mthémtique e X le réel noté E(X) éfinit r Vrine et ért tye : On elle vrine e X le réel noté r tye e X le réel σ(x)= V X Et on elle ért Loi binomile : 3
Ativité ge 95 Théorème et éfinition: Soit une exériene létoire onstitué e n éreuves ientiques, inéenntes et n ynt que eux issues : suès ou éhe Soit l robbilité e l événement suées On onsière l vrible létoire X ssoint à ette exériene le nombre e suès rélisées u ours es n éreuves Alors l loi e robbilité e X est onnée r k k n k X k Cn, où k 0,,2, n On it que X suit une loi binomil e rmètren, Esérne et vrine : Soit X une vrible létoire qui suit une loi binomil e rmètre n et On EX n, V X n Exemles e lois ontinues : L loi uniforme : et σ(x)= V X Soit un intervlle b, l fontion f éfinie sur b, r f x b est elé ensité e l loi e robbilité uniforme sur b On elle robbilité uniforme sur b l lition qui à tout intervlle inlus ns Conséquenes : Pour tout réel e b, Si on ésigne r, lors b ssoie le réel, f x x 0 f x x le omlémentire e ns b,, On it qu une vrible létoire X à vleurs ns un intervlle b suit l loi e robbilité uniforme P si X b Fontion e rértition : Soit X une vrible létoire qui suit l loi e robbilité uniforme sur l intervlle b 4
On elle fontion e rértition e X l lition F : IR 0, éfinie 0 r : X x si x, b x b L loi exonentielle : si x si x Soit un réel stritement ositif L fontion f éfinie sur elée ensité e l loi exonentielle b 5 t 0, r f t e On elle loi e robbilité exonentielle e rmètre, l lition qui A tout intervlle inlus ns A tout intervlle, inlus ns Conséquenes : Pour tout réel e b, Pour tout 0,, 0, Ativité 2 ge 99 : 0, ssoie le réel est x e x 0, ssoie le réel, 0 f x x 0, f x x e 0 e On it qu une vrible létoire X suit l loi exonentielle e rmètre si x et X e X e x e e Fontion e rértition : Soit X une vrible létoire qui suit l loi e robbilité exonentielle e rmètre On elle fontion e rértition e X l lition F : IR 0, éfinie 0 si x 0 r x 0 X x e si x 0,