l( ) ) La foctio f C.B. Aalyse : solutios Partie I : Etude de la foctio L a) Par théorème géérau, f est de classe C sur ], [ {}. E, o motre simultaémet les deu propriétés e obteat u D.L. de f e. O sait que l( ) = + + o( ), o e déduit que f() = + + o(). Ce D.L. motre que f se prologe par cotiuité e e posat f() = et que ce prologemet est dérivable e avec f () =. b) O veut étudier la mootoie de f sur ], [. (i) otos u() = l( ) +. La foctio u est dérivable sur ], [ et pour tout <, u () = + ( ) + = = ( ) ( ) ( ). Doc u est décroissate sur ], ] et croissate sur [, [. Doc pour tout ], [, u() u() =. Ce qui doe la coclusio. (ii) Pour tout ], [ {}, par théorème géérau, f l( ) ( ) l( ) + () = + =. ( ) ( ) Comme >, le sige de f () est celui du umérateur um() = ( ) l( ) + = ( )[l( ) + ]. Doc le sige de f () est celui de l epressio u() étudiée à la questio précédete doc f () sur ], [ {}. O a vu aussi que f () = /, doc f est positive sur ], [ doc f est croissate sur cet itervalle. ) La foctio dilogarithme L l( t) dt. t a) O a vu au a), que f se prologe e ue foctio cotiue sur ], [, doc l itégrale de f etre et est bie défiie pour tout ], [. b) Par théorème fodametal, pour toute foctio cotiue f, o sait que f est dérivable de dérivée f. Doc ici L est dérivable de dérivée f. Comme o a vu au ) que f est dérivable, L est bie sûr de classe D. c) Mootoie : O étudie le sige de L = f. l( ) Or si >, < doc l( ) < doc l( ) > et f() = >. Par l étude du ), a) o a aussi f() = >. Si <, > doc l( ) > doc l( ) < mais comme <, l( ) f() = >. Coclusio : L = f est strictemet positive sur l itervalle ], [, doc L est strictemet croissate sur cet itervalle. Mootoie de L O cosidère le sige de L = f. Or o a vu au ) b) que f sur ], [, doc L est croissate et (pour ceu qui coaisset cette otio) L est covee sur cet itervalle. d) Il s avère qu o coait tout simplemet ue primitive de la foctio das l itégrale. Evetuellemet d abord avec u chagemet de variable u = t, G() = / l(u)du.
Et o sait primitiver l par I.P.P (o peut aussi faire directemet ue I.P.P das l epressio iitiale de G) : o obtiet : G() = [u l(u) u]. Autremet dit G() = ( ) l( ) +( ) +C où C est ue costate idépedate de. Or par théorème de croissace comparée, ( ) l( ), doc G() C R. e) Comme L est croissate (cf. c)), avec le théorème de la limite mootoe, il suffit de motrer que L est majorée par ue costate. Par croissate de L, il suffit de majorer les L() pour ], [. Or pour >, L() = f(t)dt + f(t)dt. L itérêt de ce découpage est le suivat : t, et comme l( t) >, o t obtiet : l( t) l( t). t Alors f(t)dt l( t)dt = G(). Grâce à la questio d) o sait que G, qui est aussi croissate sur ]/, [ admet ue limite fiie e, doc elle est majorée par ue costate. Ceci achève de motrer que L est majorée par ue costate et doc que L admet ue limite fiie e. f) O sait que L l( ) () =. Doc par théorème de la limite de la dérivée (coséquece du T.A.F.), cas d ue limite ifiie, o e déduit que L est pas dérivable au poit et que le graphe de L admet ue tagete verticale au poit. Partie II : équatios foctioelles pour la foctio L ) Puisqu o sait que L est dérivable (otammet) sur ], [, o peut calculer u par théorème géérau : ], [, u () = L ( ) + L () + Or o sait que L l( ) () = f() = O e déduit immédiatemet que ], [, u () =. l( ) l(). et doc L ( ) = l(). ) O a vu que u est ulle sur l ouvert ], [. Mais o sait que L est cotiue sur le segmet [, ] (cf. première partie). Remarque : l applicatio g l() l( ) se prologe aussi par cotiuité e et e avec g() = g() =. Preuve de la remarque : E effet l( ) doc g() l() et doc g() par croissace comparée. De même pour. Applicatio de la remarque : Aisi la foctio u est cotiue sur [, ] et de dérivée ulle sur l ouvert ], [ : cela suffit pour coclure que u est costate sur l itervalle fermé [, ]. Dour tout [, ], u() = u() = L() + L() + ϕ() = L(). Aisi pour tout [, ], L( ) + L() + l() l( ) = L(). Ceci doe l égalité demadée par l éocé.
3) La foctio h est cotiue, strictemet croissate sur ], [, et h () et h () doc par théorème des valeurs itermédiaires pour les foctios stmt mootoes (ou théorème de la bijectio) h (], [) =], [. 4) a) O a vu das la première partie que L était dérivable sur ], [. Or pour tout ], [, ], [ et ], [ par la questio précédete. Les deu itervalles état das ], [, o peut doc bie appliquer la dérivatio des foctios composées et obteir : ], [, h () = L ( ) + L ( ). () E remplaçat L par f, o a L ( ) = f( ) = l() D autre part L ( ) = l( ) doc L ( ) = l( ) = (). l() ( ) Avec (), () et (3), o obtiet h () = l() + l() l()( ) = = l() ( ) ( ). b) Si o cosidère la foctio ψ l (), o calcule immédiatemet que pour tout ], [, ψ () = l(). Doc ], [, ψ () = h (). Mais mieu, ces foctios ψ et h sot cotiues sur ], ] (pour h par propriété vu pour L). Doc il eiste ue costate C telle que pour tout ], ], ψ() = h () + C. Or ψ() = et h () = L() = par déf. de L() = Doc C = et o a bie ], ], L( ) + L( ) = l (). 5) E faisat tedre vers + das l équatio foctioelle du 4) b), sachat qu alors u =, que L est cotiue e avec L() = et que l (), o obtiet immédiatemet L(u). u 6) Globalemet : o sait que L est croissate, covee, qu elle ted vers e et vers ue valeur fiie e. Avec l étude locale e du ) f), o a ue tagete verticale e. E, o sait que L() = et que L () = f() =, ce qui permet de dire que la première bissectrice est la tagete au graphe de L e. Remarque : ce qu o pourrait faire de mieu serait d étudier si le graphe de L a ue droite asymptote e, e étudiat la limite de L()/. Voilà u boe questio à faire à la maiso! La répose est o et mieu que L()/ ce qui doe ue directio f. asymptotique horizotale : elle ted vers plus letemet que importe quelle droite. (3). 3
Partie III : écriture sous forme de sommes de séries ) Prélimiaire sur la covergece absolue des séries : Par théorème de cours, o sait que si a coverge alors la série a coverge. Esuite, si o cosidère l iégalité, vraie pour tout, a a (iégalité = = triagulaire das R), o peut predre la limite des deu membres quad puisqu o sait que ces deu limites eistet et o obtiet bie = = a ) a) Par la formule sur la somme des termes d ue suite géométrique de raiso différete de, pour, = + = +. E posat r () = +, o a la formule voulue, e fait pour tout. b) E itégrat l égalité précédete, o a immédiatemet la formule demadée avec R () = t + r (t)dt = t dt. Reste à motrer que R (). Pour cela, o majore l itégrale : Si [, [, t [, ], et < t et t. t + R () dt = t + dt Doc R () par majoratio. Si [, ], t [, ], alors R () Et t doc R () t + dt ( ) = t + t dt t + dt = t + dt (L égalité ( ) état vraie par parité de la foctio t t + ). O coclut ecore que R () par majoratio. 3) Soit [, [ {} fié. Pour chaque fié, o a : Par le ), o sait que = = l( ). (). Par multiplicatio des limites (par la costate )), o a : = a. ( + )( ). t + dt = +. ) l(. 4
Doc par l égalité (), o a : = Ceci est eactemet la coclusio voulue : f() = =+ ) l(.. 4) a) Pour la justificatio demadée : o commece par dire que t coverge absolumet et doc o peut appliquer l iégalité triagulaire gééralisée du III ). qui doe que t pour t [, ], t. Esuite par défiitio ρ () = =+ r (t)dt. =+ Par iégalité sur les itégrales, si >, ρ () r (t) dt =+ Mais das la derière itégrale, l itégrade est idépedate de t, doc ρ (). dt. =+ Or comme reste d ue série covergete, ce majorat ted vers zéro quad. Doc ρ (). b) Soit y <. Comme, y, o e déduit :, Par passage à la limite pour das ces iégalités, o obtiet O viet bie de motrer que y. y. est croissate sur [, [ (bie sûr o le savait aussi avec la croissace de L obteue à la partie I). Par théorème de la limite mootoe, pour motrer qu elle admet ue limite fiie e, il suffit de motrer qu elle est majorée par ue costate. Or pour tout [, [, et tout,. Par passage à la limite quad das ces iégalités, o obtiet (costate idép. de ). D où la coclusio, à savoir d abord l eistece de lim lim ( ). c) (i) Soit, o sait que pour tout [, [, à termes positifs. ( ) R et aussi l iégalité : car il s agit d ue série Par passage à la limite das cette iégalité, o a : lim lim. E effet, o sait que la limite du membre de droite eiste et celle du membre de gauche est celle d ue somme fiie doc lim O a doc bie obteu l iégalité lim ( =. ) demadée. (ii) E mettat esemble les résultats du b) et du c) (i), o obtiet l ecadremet :, lim ( ). dt. 5
E faisat tedre vers das l ecadremet du (i), puisque seul le terme de gauche de l iégalité déped de, o obtiet : lim ( ) d où l égalité voulue : lim ( d) Soit, et ], [ : ) π et doc L() = 6. = + = ( ) = = = ( + ( ) ) / = ( + ( ) p ) p (p), / p p= 4p = / p= p= ( ) p p E faisat das les deu membres (les deu limites eistat) : o obtiet bie : L() + L( ) = L( ). e) Les deu membres de l égalité du c) état des foctios cotiues sur [, ], l égalité est vraie aussi au poit = par passage à la limite des deu membres. O obtiet alors L() + L( ) = L(). Doc L( ) = L() = π. D autre part, avec l équatio foctioelle du II 4) b), à savoir : L( ) + L( ) = l (), pour = / o obtiet L(/) + L( ) = l ( ). Doc L( ) = L( ) l () = π l (). Appedice culturel : das les logiciels de calcul scietifique, la foctio qui est appelée dilog est parfois l(u) la foctio défiie par dilog() = du. La foctio L de ce problème est otée plutôt Li. Le lie u etre les deu foctios est très simple : dilog() = Li ( ). La raiso de l appellatio (déjà par Euler) de cette foctio sous le om de dilogarithme viet du développemet e série de la partie III : L() = Li () =. qui est l aalogue avec u carré de : l( ) =. D ue maière géérale, L. Euler (toujours lui) a itroduit les polylogarithmes : polylog(m, ) = m. 6