Durée : heures Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0 EXERCICE Commu à tous les cadidats 6 poits. a. f est ue somme de foctios dérivables sur [0 ; + [ et sur cet itervalle : f )= = = + + +. Or 0 + >0. > 0 <. < 0 >. = 0 =. b. - La foctio f est croissate sur [0 ; [. - La foctio f est décroissate sur ] ; + [. - f )=l),07 est le maimum de la foctio f sur [0 ; + [. O a le tableau de variatios suivat : 0 α + f ) l) 0 l c. Comme > 0, o peut factoriser : f ) = l + ) = l + l l ) + l + ). l d. O sait que lim = 0 et que lim + l = 0, doc fialemet : lim f )= lim )=. + + D autre part f 0)=l. e. Voir le tableau plus haut. + + ) = l + l + ) = = 0, doc que lim l + l. a. Sur l itervalle ] ; + [, f est strictemet décroissate de f )>0 à. Il eiste doc u réel uique α>, tel que f α)=0 lα+) α= 0. b. f ) = l 7 0,7 > 0 et f ) = l 8 0, < 0, doc <α<. La calculatrice livre : f,)= l7,), 0,0>0 et f,)= l7,), 0,0<0, doc,<α<,. ) =
. a. c. Le tableau de variatios motre doc que : - f )>0 sur [0 ; α[ ; - f )<0 sur [α ; + [ ; - f α)=0. b. La suite semble être croissate.. a. La foctio g a même ses de variatio que la foctio l, soit croissate ; o peut égalemet calculer g ) = > 0 comme quotiet de deu + ombres supérieurs à zéro. b. O a vu das la partie que f α)=0 lα+) α=0 lα+)= α g α)= α. c. Iitialisatio : O a 0 α : l ecadremet est vrai au rag 0 ; Hérédité : Supposos que pour tout aturel p N, 0 u p α Comme la foctio g est croissate sur [0 ; + [ doc e particulier sur [0 ; α], o a doc : g 0) g u p ) g α) c est-à-dire l u p+ α d après la questio précédete). O a doc a fortiori : 0 u p+ α. L ecadremet est vrai au rag p +. L ecadremet est vrai au rag 0, et s il est vrai au rag, il l est aussi au rag +. O a doc démotré par récurrece que pour tout aturel N 0 u α. d. O a vu que sur l itervalle [0 ; α[, f )>0 sur [0 ; α[, doc pour tout u tel que 0 u α, l u + ) u > 0 lu + )>u g u ) > u u + > u, ce qui démotre que la suite u ) est croissate. Cette suite est croissate et majorée par α : elle coverge doc vers ue limite l telle que l α. e. La relatio u + = l u + ) doe par cotiuité de la foctio dérivable g et par limitee plus l ifii : l=ll+) ll+) l=0 f l)=0. Or o a vu à la questio. a. de la partie A que α est la seule solutio de l équatio f )=0 sur [0 ; + [. Coclusio l=α. O a doc lim u = α. +. a. Cet algorithme calcule successivemet u, u,... O a vu que cette suite coverge vers le ombre α supérieur à,. La coditio u, < 0 sera doc réalisée et l algorithme affichera la première valeur de la suite supérieure à,0. b. Il suffit de taper sur la calculatrice : u 0 = Etrée lans)+) Etrée Etrée, etc O obtiet u 6,>,. EXERCICE Commu à tous les cadidats poits Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0
. Les trois tirages sot idépedats, et à chaque tirage la probabilité de tirer ue boule rouge est égale à + = : o a doc ue épreuve de Beroulli et la vraiable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres = et p=.. La probabilité de tirer k 0 k ) boules) rouges) est égale à px = k)= ) ) k k k ). ) E particulier : px = )= ). O sait que EX )= p = = 6 =,. ) ) = =. Vérificatio : o calcule avec la formule ) : ) px = 0)= = 7 ; px = )=! )! = 6 ; ) px = )= = 8. O a doc EX )=0 7 6 + + + 8 = +7+ = 0 = 6. Sur u grad ombre de tirages o tirera u peu plus d ue boule rouge e moyee par tirage e moyee 0 boules rouges sur tirages).. R R B R B B. O a py = )= + + = + 6 + 8 = 0+0+8 = 98. py = 0)= = 7. Doc EY )= 98 7 + 0 = 98.. Toujours d après l arbre : pn = )= ; pn = )= = 6 et pn = )= = 9. O a doc EN )= + 6 + 9 = + + 7 = 0++7 = 9.. O a EY ) EN ) = l ure. 98 9 = 98 9 =, soit la proportio de boules rouges das Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0
EXERCICE Commu à tous les cadidats : restitutio orgaisée de coaissaces poits. D après le résultat de la partie A les foctios solutios sot de la forme : Ce +. Or lim + Ce = 0, doc lim + Ce + = : toutes ces foctios ot ue représetatio graphique qui admet la droite horizotale d équatio y =, comme asymptote horizotale au voisiage de plus l ifii. Affirmatio vraie.. O sait que f )= Ce. f α+β)= Ce α+β = Ce α e β ; f α) f β)= Ce α Ce β = C e α e β. Affirmatio fausse. respectives Ue foctio solutio est défiie sur R par f )= Ce. f 0)= Ce 0 = C =. Doc sur R, f ) = e. Ue primitive de cette foctio est F ) = e = e La foctio est positive sur [0 ; l], doc l aire du domaie est égal e uité d aire à : l ) = 8 9 =. Affirma- f )d= [F )] l 0 = F l) F 0)= 0 e l + e 0 = ) e l = ) = ) e l e l 9 = 9 tio vraie. e l) = EXERCICE Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité poits. z z+ =0 z ) +=0 { z ) + =0 { z ) i = z +i= 0 ou z = iou 0 z +i)z i)=0. z i= 0 z = +i. Soit M d affie z = i. O a AM = z z A = i = i =. De même AM = z z A = +i = i =. Ces deu résultats sigifiet que M et M appartieet au cercle de cetre A et de rayo soit au cercle C.. Voir à la fi de l écercice.. z = z z z = z z z = z z+ z z" = z ) z ) z )=.. Le résultat précédet etraîe : e termes de modules : AM AM = ; le produit des deu complees état o ul aucu des deu facteurs e peut l être, et e particulier z 0 z, soit M A ; e termes d argumet : arg [ z ) z ) ] = 0+kπ. Or arg [ z ) z ) ] = u u ; AM )+ ) ; AM, doc u u ; AM )+ ) ; AM = 0+kπ, où k est u etier relatif. Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0
. O a z P = +e i π z P =e i π z P = e i π z P =. Cette derière égalité motre que P appartiet au cercle de cetre A et de rayo, doc au cercle C. u Il e reste plus qu à costruire sur ce cercle le poit tel que, AP )= π.. O a AP AP = ; or AP=, doc AP =.le poit P appartiet au cercle C de cetre A et de rayo. u ) D autre part o a, AP = π. O peut doc costruire P symétrique sur le cercle C du poit P autour de l ae horizotal coteat A. Le poit P est le poit commu à [AP ] et au cercle C. Voir plus bas. 6. a. O a doc z = + αi avec α R. D où : z = + αi) + αi) = = αi αi+α + = α D où z = + αi + αi = + αi + αi = αi+α +. α + αi) αi) + αi) αi) + α) + α) + α + α) = 6 + 6α α + α = + α) 6 + 6α + α = + α) + α) + α) =. D où z = : le poit M" appartiet au cercle C de cetre O de rayo. b. U poit M de C a ue affie qui peut s écrire z = e ia avec a R. So ou ses atécédets par f vérifiet : e ia = z z zeia e ia = z z e ia ) = e ia z = e ia e ia si eia 0. Or e ia =0 e ia = a = 0 z =. C est le poit A et o sait que ce poit a pas d image par f. La répose est : o. EXERCICE Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité. DB = DE = et de faço évidete par r. D autre part l image de C par r est le poit F poits ) DB, DE = π, doc B a pour image E Comme B et C ot pour images respectives par r, E et F, l image du segmet [BC] sert le segmet [EF] et l image du milieu I de [BC] est le milieu J de [EF].. Comme A est différet de I et B différet de J, o sait qu il eiste ue seule similitude trasformat A e C et et I e J : c est doc la rotatio r.. a. z A = 0; z C = +i, z I = + i et z J= + i. b. s état ue similitude directe, o sait que so écriture complee est de la forme : z = az+ b, avec a C, b C. E utilisat les deu poits doés et leurs images, o obtiet le système : Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0
+ i = a 0+b + i = a +i)+b + i = b + i = a +i) + i = b + i = a +i)++ i D où a= + i = +i) i) ++i+ i = = +i +i) i) +) + i. ) L écriture complee de s est z = + i z+ + i. c. Recherche du poit ivariat le cetre de la similitude) : ) z = + i z+ + i z i) = + i z = + i + i = i) + i) i) + i) = + i+i + = i = i. Le poit ivariat a pour affie i : c est le poit D.. O sait que l écriture complee de la similitude s est de la forme : z = az+ b. E utilisat le fait que O a pour image M et que N a pour image P, o obtiet le système : { { { m = a 0+b m = b m = b p = a+ b p = a+ m p m = a { = b p m = a Doc s a pour écriture complee : z = p m z+ m. O admet que l écriture complee de s est z = p m z+.. a. OMP N est u parallélogramme OM = N P m = p p m=. L écriture complee de s deviet z = z+ m z = z+ m : cette écriture est celle d ue traslatio de vecteur OM. De même l écriture complee de s s écrit puisque p = m, z = z+ : c est la traslatio de vecteur ON. b. O suppose doc que p m doc s et s e sot pas des traslatios. Le poit fie de s a ue affie z qui vérifie : z = p m z+ m z = p m)z+ zm+ p)= z = m+ p. s a doc u cetre. De même le poit fie de s a ue affie z qui vérifie : z = p m z+ mz= p )z+ zm+ p)= z = m+ p. s a doc u cetre et c est le même que celui de s. Nouvelle-Calédoie 6 6 ovembre 0
Aee Eercice ) Commu à tous les cadidats À redre avec la copie 6 D C 0 8 6 O u 0 u u 6 8 0 6 8 0 Nouvelle-Calédoie 7 6 ovembre 0