A 17 Primitives Intégrles Aleth Chevlley 1. Intégrle d une fonction continue 1.1. Définition Soit C l coure représenttive de f dns un repère orthonorml. L intégrle de à de l fonction f est l ire du domine situé sous l coure C. Elle est notée f ( x) 1.. Interpréttion géométrique L vrile x est muette : f ( x) = f ( t) dt Si l fonction est continue de signe quelconque sur [, ], l intégrle de à est l somme des ires lgériques des domines définis à prtir des intervlles sur lesquels f (x ) grde un signe constnt.. Propriétés.1. Linérité ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) Pour tout réel λ, λ. f ( x) = λ f ( x).. Positivité Si pour tout x de [, ], f ( x ), lors f ( x) Si pour tout x de [, ], f ( x ), lors f ( x).3. Ordre Si pour tout x de [, ], g ( x ) f ( x ), lors g( x) f ( x) Cours Intégrles Primitives 1 / 7 A Chevlley
.4. Reltion de Chsles Pour tous, et c d un intervlle I, f ( x) + f ( x) = c ( ) Cs prticulier : = c donc f ( x) = cr l ire d un segment est nulle et on en déduit f ( x) + f ( x) = f ( x) = f ( x) = f ( x) c f x 3. Primitives 3.1. Définition Soit une fonction f définie sur un intervlle I et F une fonction dérivle sur I. L fonction F est une primitive de f sur I ssi F = f sur I. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I. f ( x) = [ F( x)] = F( ) F( ) Si F est une primitive de f sur un intervlle I, lors pour toute primitive G de f sur I, il existe une fonction constnte K telle que G = F + K. On dit encore que deux primitives de f diffèrent d une constnte. Soit f une fonction continue sur un intervlle I, x un nomre réel de I et y un nomre réel. Il existe une et une seule primitive F de f sur I telle que F (x ) = y. 3.. Tleu de primitives usuelles voir tleux sur feuille nnexe 4. Intégrtion pr prties 4.1. Théorème Soient u et v deux fonctions dérivles sur un intervlle I. On suppose leurs fonctions dérivées u et v continues sur I. Pour tout nomre réel et de I, u( x). v '( x) = [ u( x). v( x)] u '( x). v( x) ou u.v ' = [u.v] u '.v Cours Intégrles Primitives / 7 A Chevlley
4.. Démonstrtion u et v sont dérivles sur I donc le produit uv est dérivle sur I et ( u v ) = u. v + u. v Les fonctions u, u, v et v étnt continues sur I, les fonctions u. v, u v et ( u v ) le sont églement. ( u. v)'( x) = [ u '( x) v( x) + u( x) v '( x)] = u '( x) v( x) + u( x) v '( x) Donc D près l propriété de linérité de l intégrle. L fonction u.v est évidemment une primitive de l fonction ( u.v ) donc : ( uv)'( x) = [ u( x). v( x )] On otient [ u( x). v( x)] = u '( x). v( x) + u( x). v '( x) L formule énoncée dns le théorème en découle. 4.3. Cs prticuliers On utilise une intégrtion pr prties lorsqu on cherche à clculer l intégrle d un produit (ou d un quotient) de deux fonctions et à condition que : - le produit ou le quotient ne soit ps une forme connue (pr exemple u.u etc ) - u '( x). v( x) soit plus fcile à clculer que u( x). v '( x). C est le cs en prticulier pour le produit : d une fonction polynôme et d une fonction sinus ou cosinus (vec l fonction u égle à l fonction polynôme) d une fonction polynôme et d une fonction exponentielle (vec l fonction u égle à l fonction polynôme) d une fonction polynôme et d une fonction logrithme (vec l fonction u égle à l fonction logrithme) d une fonction exponentielle et d une fonction sinus ou cosinus (vec l fonction u égle indifféremment à l fonction exponentielle ou à l fonction sinus ou cosinus) ATTENTION : dns les 4 cs précédents, vérifier d ord qu il n y it ps de «forme connue». Remrque : Il fut prfois répéter plusieurs fois l méthode. 4.4. Exemple Clculons vec l méthode d intégrtion pr prties, l intégrle : = I x.sin x On pose u ( x ) = x on dérive l fonction u u ( x ) = 1 v ( x ) = sin x on intègre l fonction v v ( x ) = - cos x Les fonctions u et v sont dérivles sur [ ; ] et les fonctions u et v sont continues sur [ ; ], d près le théorème d intégrtion pr prties : Cours Intégrles Primitives 3 / 7 A Chevlley
x.sin x = [ x.cos x] 1.( cos x) = [ x.cos x] + [sin x] =.( 1) + = 5. Chngement de vrile 5.1. Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle J contennt et, et u une fonction de clsse C 1 sur un intervlle I contennt α et β tels que u ( α ) = et u ( β ) = et telle que pour tout t compris entre α et β, u ( t ) J. On : f ( x) = f ( u ( t )) u '( t ) dt β α 5.. Démonstrtion Soit F une primitive de f sur J t I, ( F o u ) ( t ) = F ( u ( t )). u ( t ) = f ( u ( t )). u ( t ) Donc F o u est une primitive de ( f o u ). u sur I, et on : β α Méthode : β f ( u( t)). u '( t) dt = [ Fou( t)] = F( u( β )) F( u( α )) = F( ) F( ) = f ( x) α Le clcul d intégrle vec chngement de vrile s effectue en trois points : - on modifie l fonction en posnt x = u ( t ) - on modifie l différentielle : devient u ( t ) dt - on modifie les ornes : α et β telles que = u ( α ) et = u ( β ) 5.3. Exemple Soit 1 I = 1 x. Clculons I en posnt x = sin t - on modifie l différentielle = cos t dt - on modifie les ornes x = = sin t t = donc d où : x = 1 = sin t t = / vec cos t > sur [ ; ] I = 1 sin t cos t dt = cos t dt 1+ cos t t sin t dt = + = 4 4 Cours Intégrles Primitives 4 / 7 A Chevlley
6. Applictions 6.1. Clcul d ire L ire est représentée pr l surfce comprise entre l xe des scisses et l coure représenttive de l fonction. 6.. Clcul de distnce (à prtir de l vitesse) On considère un point M se déplçnt sur une droite vec une vitesse v(t) pout t [ ;]. On peut considérer que l distnce prcourue pendnt un petit intervlle de temps dt à prtir de l instnt t, est v(t).dt. L distnce prcourue lorsque t décrit l intervlle [ ;] est lors v(t)dt. Exemple : Si le point M se déplce sur une droite vec une vitesse exprimée en m.s -1 pr v(t) = t+3 pour t [ ;], lors clculer l distnce prcourue puis l vitesse moyenne : 6.3. Clcul de volume Pour clculer un volume V de huteur H dont l section vec un pln à l huteur h pour ire S(h), on : H V S(h)dh = unités de volume Exemples : ) Volume d une sphère (pr intégrle) ) Volume d un cône (pr intégrle) 6.4. Clcul de msse et coordonnées de centre de grvité Connissnt l ire A d une plque homogène de densité de msse constnte ppelée µ, lors l msse de cette plque vut : m = µ A Les coordonnées du centre de grvité (xg, yg et zg) sont données en fonction de l msse m, de l ire de l plque et de l scisse, l ordonnée ou l côte. Cours Intégrles Primitives 5 / 7 A Chevlley
7. Intégrles de l forme R(sin x,cos x) ou R(s hx,c hx) R étnt une frction rtionnelle p q 7.1. Forme sin x,cos x ou s p q h x,c h x p et q pirs et > 1 cos x On linérise ou on isse le degré en utilisnt les formules : sin x = et nécessire on recommence vec sin ² x et cos ² x (ou on chnge de vrile) 1+ cos x cos x = puis si p pir, q impir On pose sin x = t, en écrivnt : que cos x > ou cos x <. q 1 p q 1 p vec = + 1 ou 1 suivnt F ( x) = sin x cos x cos x = t (1 t ) dt q pir, p impir Même principe mis on pose cos x = t p et q pirs, l un u moins étnt négtif On prend pour vrile tn x = t ; cette méthode est ussi pplicle lorsque p et q sont impirs. p et q impirs On pose cos x = t Exemple : I = ch x sh x 7.. Forme R(sin x,cos x) ou R(s hx,c hx) Si R n est ps un polynôme Règles de Bioche Si l forme différentielle R(sin x, cos x) est invrinte pr x - x on pose cos x = t x - x on pose sin x = t x + x on pose tn x = t Si ucun de ces chngements de vrile ne l lisse invrinte, on pose tn x = t Avec = dt et on utilise 1 + t t sin x = et 1 + t 1 t cos x = 1 + t ATTENTION : On esoin de l invrince de l forme différentielle R(sin x, cos x) et ps seulement de l invrince de l fonction R(sin x, cos x ) Exemple : cos sin 3 4 x x Cours Intégrles Primitives 6 / 7 A Chevlley
8. Intégrles de Wllis On ppelle insi les intégrles cos n In = x et sin n J n = x, où n est un entier nturel. On I n > et J n >. 1) A l ide du chngement de vrile x = t, montrer que I n = J n ) Trouver une reltion de récurrence entre I n et I n- à l ide d une intégrtion pr prties 3) Clculer I et I 1 4) En fonction de l prité de n, clculer I p et I p+1 5) Démontrer que l suite de terme générl I n, est strictement décroissnte. 6) Montrer que I n I n-1 u voisinge de l infini ( ou 7) Montrer que n. I n. I n-1 = K, K réel à déterminer. 8) Montrer que I n n 9) En déduire l formule de Wllis u voisinge de l infini. lim 1) Démontrer l utre formule de Wllis n 4 ( n! ) ( n) n =!. + 1 =. In lim = 1 qund n tend vers + ) I 4n n 1 4n 1 n 1 qund n tend vers l infini. Cours Intégrles Primitives 7 / 7 A Chevlley