DM : foctios absolumet mootoes, solutios IA a) (i) Soiet f et g AM Pour tout N, (f + g) () = f () + g (), doc comme f et g sot AM, f () + g () pour tout N, doc (f + g) est AM Par la formule de Leibiz, pour tout N, (fg) () = ( k )f (k) g ( k) somme où tous les termes sot positifs, doc (fg) est AM b) Soiet f et g CM (i) Alors ( ) (f + g) () = ( ) f () + ( ) g () pour tout N doc f + g est CM (ii) Efi ( ) (fg) = ( k )( )k f (k) ( ) k g ( k) doc o a ecore ue somme de termes positifs et doc fg est CM (ii) Soiet f et g CM De même pour tout N, ( ) (f + g) () = ( ) f () + ( ) g () doc comme les deux termes de la somme état positifs, o coclut que ( ) (f + g) () Doc (f + g) est CM De même ecore pour tout N, ( ) (fg) () = ( k )( ) f (k) g ( k) E écrivat ( ) = ( ) k ( ) k, o voit que pour chaque k,, ( ) f (k) g ( k) = ( ) k f (k) ( ) k g ( k) Alors les deux facteurs ( ) k f (k) et ( ) k g ( k) sot positifs doc leur produit est positif Aisi, ( ) (fg) () est ue somme de termes tous positifs et (fg) est CM IB NB Bie sûr e f est u léger abus de otatio pour exp f Notos g = e f Alors g = f e f, et par la formule de Leibiz, pour tout, g () = (f e f ) ( ) = ( k )f (k+) (e f ) ( k) ( ) Soit P () la propriété : g () P () est vraie Supposos (récurrece forte) que pour u doé, o a motré que P (k) est vraie pour tous les k, Alors la formule ( ) ci-dessus, permet de coclure que P () est vraie, car tous les termes du membres de droite de ( ) sot positifs, par f AM et HR La récurrece est établie O coclut que g est AM IC Par équivalece : comme pour tout N, et tout x ] b, a[, g () ( ) f () ( x) ( ), g CM sur ] b, a[ N, x ] b, a[, ( ) g () (x), par déf N, x ] b, a[, ( ) ( ) f () ( x), par la relatio ( ) N, t ]a, b[, f () (t), e posat t = x f AM sur ]a, b[ ID Soit x ], [, f l(x) O a f sur ], [, et pour tout, f () d dx ( ( )! ) = ( ) (o peut prouver cette égalité par récurrece, o peut aussi supposée x x coue la formule pour les dérivées de x /x)doc x ], [, ( ) f () ( )! x Doc f est CM sur ], [ ID (M) Pas si facile, qui a pour seul avatage de e pas utiliser de questios précédete si o veut poser la questio e exercice idépedat voir aussi (M3)
Notos H() le prédicat : il existe u polyôme P à coefficiets etiers aturels et de degré tel que pour tout x ], [, P (x) tel que x ], [, f () P (x) ( x ) + Iitialisatio : pour =, f doc P ( x ) coviet et H() est vraie HR o suppose la propriété H() vraie pour u N Motros que H( + ) est vraie Or si f () P (x) alors f (+) P (x)( x ) + + ( + )x( x ) P x) ( x ) + ( x ) + E simplifiat par ( x ), o obtiet : f (+) P (x)( x ) + ( + )xp (x) ( x ) ++ O pose P + P (x)( x ) + ( + )xp P (x)( x ) + ( + )xp (x) O veut motrer que ce polyôme est bie à coefficiets etiers positifs ce qui est pas évidet à cause du x k= Mais si P ka k x k ka k x k+ k= a k x k avec a k N alors P D autre part ( + )xp ( + ) a k x k+ k= Doc P + a + ka k x k ka k x k+ + ( + ) a k x k+ k= E regroupat les deux deriers k= P + a + ka k x k + ( ka k + ( + )a k )x k+ k= k= k= ka k x k et doc ( x )P Par HR tous les coefficiets a k sot des etiers aturels, et k doc ( + k), doc tous les coefficiets du polyôme P + sot bie des etiers aturels E outre cette formule doe aussi que P + est de degré + avec comme coefficiet domiat ( + )a = ( + )a (M)Sûremet la plus aturelle vues les questios précédetes O pose f = e g où g l( x ) Alors x ], [, g(x) et g x x Par théorème de décompositio e élémets simples (foctio ratioelle de degré ) : g a x + b + x avec a = et b = Doc g [ x ] mais alors pour tout : + x g () ( )! [ ( x) + ( ) ( + x) ] Avec cette expressio, il est aisé de voir que g () (x) pour tout x ], [ car si est pair tous les termes sot positifs, et si est impair, o a de toutes faço x + x Doc g est AM et par le IB o coclut que f est AM Ue (M3) possible e deuxième aée : e deuxième aée ce sera du cours que x ], [, = x = ( / )( ) x (Autremet dit que la série de Taylor de cette foctio est covergete sur ], [) Mais alors comme ( / ) = 3 ( ) ( ) o obtiet que ( / )( ) Esuite pour ue foctio f qui s écrit comme somme d ue série etière f exemple, vous motrerez que toutes ses dérivées s écrivet auxsi f (k) =k = a x sur ], [, par a ( ) ( (k ))x k
Doc si tous les coefficiets a sot positifs, o e déduit ici que pour tout k les foctios f (k) sot positives sur [, [ Mais ce était pas le poit de vue du problème ici, puisqu au cotraire, la partie II va permettre de motrer que ces foctios AM et doc e particulier arcsi s écrivet comme somme de leur série de Taylor ID 3) Soit h = arcsi O a arcsi(], [) =], π/[, doc h sur ], [ Et h, doc par ID ), pour tout, x h() sur ], [, doc arcsi est AM sur ], [ ID 4) Motros que f = ta est AM sur [, π/[ (M) O peut faire ue preuve par récurrece aalogue à celle du IB E effet, o sait que f + ta + f(x) O sait déjà que f et f Pour tout, e dérivat ( ) fois l égalité précédete, o obtiet f () = Si o ote H(k) f (k) O a déjà vu que H() et H() sot vraie HR soit : o suppose f (k) pour tout k, Alors la formule f () = ( k )f (k) f ( k) obteue ci-dessus, doe que f () La récurrece est établie et ta est AM sur [, π [ ( k )f (k) f ( k) (M) O pred plutôt comme prop H k : il existe u polyôme P k à coeff tous positifs tels que ta (k ) P k (ta(x)) IE ) a) Comme f sur ]a, b[ itervalle, o sait que f est croissate sur ]a, b[ Par théorème de la limite mootoe f admet ue limite das R e a et e b Mais comme f est positive sur ]a, b[, f est miorée par, doc f(x) x a λ R + b) E appliquat le même raisoemet qu au a) à la foctio f, o coclut de même que f (qui est croissate car f et miorée par ) admet ue limite fiie µ e a Comme f (prologée suivat l éocé) est cotiue sur [a, b[ et C sur ]a, b[ et que f admet ue limite fiie µ e a, par théorème de la limite de la dérivée, f est dérivable e a, f (a) = µ et doc f est C e a IE) a) Par récurrece : otos P () la propriété : f est de classe C sur [a, b[ O a motré P () et P () HR : supposos que P () est vrai pour u N O cosidère alors f (+) Comme f est AM, f (+) est positive, et croissate (car sa dérivée est positive sur l itervalle ]a, b[) Doc par théorème de la limite mootoe f (+) admet ue limite e a, qui est fiie car f (+) est miorée par O sait alors par HR que f () est cotiue sur [a, b[, de classe C sur ]a, b[, et que (f () ) admet ue limite fiie e a, doc par théorème de prologemet C, f () est C e a, autremet dit f est de classe C + e a La réc est établie Le fait que les dérivées sot positives ou ulles est immédiat par coservatio des iég larges par passage à la limite b) E b, o sait (par théorème de la limite mootoe) que toutes les f () ot ue limite das R, mais cette limite peut être ifiie Exemple : f = ta IIA a) Par la formule de Taylor avec reste itégrale, qui s applique car f est C sur ]a, b[, o a : x (x t) R (f, x) = f (+) (t)dt! A l aide d u chagemet de variable u = t/x, qui doe du = dt/x, o a : (x xu) R (f, x) = f (+) (ux)xdu, et e factorisat le x + o obtiet :! 3
Ecriture ormalisée du reste itégral (utile!) : R (f, x) = x+! ( u) f (+) (ux)du Doc R (f, x) = x x! ( u) f (+) (ux)du ( ) Soiet x < y das ], b[ Comme f (+) est positive, f (+) est croissate : doc pour tout u [, ] l iégalité ux uy etraîe f (+) (ux) f (+) (uy) et par multiplicatio par ( u) et itégratio, o obtiet que : ( u) f (+) (ux)du ( u) f (+) (uy)du Comme < x < y, par multiplicatio membres à membres de ces deux iégalités et égalité ( ) o e déduit bie que : R (f, x)/x R (f, y)/y, ce qui prouve la prop de croissace demadée b) La formule de l éocé est alambiquée! Je l ai laissée volotairemet Ce qu o ous demade de motrer e fait est que R (f, x)/x x Or par le théorème de Taylor-Youg e, qui s applique là ecore a fortiori, (f est C e ), R (f, x) = o(x ) doc R (f, x)/x x II A ) Soit x [, b[ La suite (S (x)) N est croisssate car S + (x) S f (+) () ( + )! x+ pour tout N Doc, par théorème, pour motrer qu elle coverge, il suffit de motrer qu elle est majorée, et suivat l éocé, o va motrer qu elle est majorée par f(x) NB Autre faço de dire la même chose : S (x) est la somme partielle d ue série à termes positifs x (x t) Or au II A ), avec la formule de Taylor reste itégrale, o a vu que f(x) S f (+) (t)dt! comme itégrale d ue foctio positive avec x D où la coclusio : (S (x)) N est ue suite croissate, majorée par f(x) doc coverge, vers ue limite g(x) qui vérifie g(x) f(x) II A 3) Pour x [, b[, o choisit (e suivat l éocé) u y tel que x < y < b Par la croissace motrée au II A ), o a R (f, x) R (f, y) () x y Et par la déf de R (f, y) = f(y) f() Doc R (f, y) f(y) () y y Doc par () et (), o a l ecadremet : R (f, x) x f(y) y f (k) () y k et f AM, o sait que R (f, y) f(y) k! R (f, x) ( x y ) f(y) Par théorème des gedarmes, comme ( x y ), o coclut que R (f, x) Comme par déf R (f, x) = f(x) S (x), o a bie motré que S (x) f(x) ie que g f(x) II A 4) Par ce qui précède, o sait déjà que pour tout x [, b[, f f (k) () x k, l égalité k! état triviale e O choisit u r > tel que ] r, r[ ]a, b[ Soit x ] r, [, par la formule de Taylor reste itégrale ormalisée vue plus haut et sachat que f (+) : R (f, x) x +! ( u) f (+ (ux)du x +! ( u) f (+) ( x u)du 4
La derière iégalité est vraie car f (+) est croissate O a doc R (f, x) R (f, x ) Comme x ], r[ [, b[, o sait que R (f, x ) gedarmes, o coclut que R (f, x) par IA 3, et doc par théorème des pour tout x ] r, [ II B Pour tout x [, b a[, o pose h f(a + x) Comme h est AM (calcul direct des dérivées d ue foctio traslatée), h(x) est somme de sa série de Taylor e, pour tout x [, b a[ par le résultat du II A 3) Doc pour tout x [, b a[, h = h () () x! E posat t = a + x et doc x = t a, pour tout t [a, b[, o a h(t a) = Or ceci est exactemet la coclusio : pour tout t [a, b[, f(t) = = = = h () () (t a)! f () (a) (t a)! f ( )(a) II C a) Soit x [a, b[ Alors par II B f(x ) = (x a) Doc si f(x ) = comme! il s agit de la limite d ue série à termes positifs, cela sigifie que chaque terme de la somme est ul et doc que pour tout N, f () (a) = Mais alors e utilisat toujours la formule du II B, qui dit que pour tout x [a, b[, f = f ( )(a) (x a), o coclut que f pour tout x [a, b[! b) CN Soit f AM tel que pour u p N, f (p) ait u zéro x ]a, b[ E appliquat le même résultat à f (p) qui est aussi AM, si f (p) admet u zéro x alors elle est idetiquemet ulle et doc f elle-même est polyomiale de degré au plus p Ecrivos f sous la forme f c k = f (k) (a) sot positifs p c k (x a) k Comme f est AM, o e déduit que les CS Réciproquemet soit f ayat pour expressio f c k (x a) k avec tous les c k positifs Il est immédiat qu elle est bie AM et que f (p) = Doc l esemble cherché est l esemble des foctios de cette forme p 5