Résoluion numérique de problèmes de conrôle opimal via la condiion nécessaire, applicaion au problème de ransfer d orbie à faible poussée Présenaion TIPE 23: conrôle opimal 4 janvier 23 Lycée Ferma Toulouse J. Gergaud, J. Noailles gergaud@enseeih.fr, jnoaille@enseeih.fr ENSEEIHT-IRIT, UMR CNRS 555 Toulouse, FRANCE TIPE conrôle opimal, 22-23 p./4
Plan Principe du Maximum de Ponriaguine Exemples simples Applicaion au problème de ransfer d orbie à poussée faible en emps minimum Applicaion au problème de maximisaion de la masse finale Les méhodes direces TIPE conrôle opimal, 22-23 p.2/4
! ' # ) 2 * 2 * Problème de conrôle opimal fixés e " & dans % % /.-, $ ( +* +* ( /, - ( où 4 3 ; ( 5 3 ; ( TIPE conrôle opimal, 22-23 p.3/4
3 % % 3 % % Hamilonien 4 3 3 ) 4 3 3 $! % % désigne le produi scalaire. où % : la foncion ne dépendra plus de % Remarque. Si 4 3 ) 4 3 3 $! TIPE conrôle opimal, 22-23 p.4/4
$! $ $! ) Principe du Maximum Hypohèses simplifiées (i) e son coninues (ii) Les dérivées parielles (iii) (iv) es de classe es compac e! exisen e son coninues TIPE conrôle opimal, 22-23 p.5/4
PMP non e Théorème Si es soluion alors il exise simulanémen nuls els que l on ai (i) l équaion adjoine (ii) la minimisaion de l Hamilonien! # " (iii) les condiions de ransversalié & % " $ ' & % " (' *' ) (' $ TIPE conrôle opimal, 22-23 p.6/4
' * Exemple! Equaion adjoine Minimisaion de l Hamilonien! si sinon Condiions de ransversalié TIPE conrôle opimal, 22-23 p.7/4
# % 2 p Problème aux deux bous # # %.5.5 u.5.5 2 3 2 2 3 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.8/4
3 3 z Foncion de ir es la soluion du sysème à valeur iniiale suivan. où # #,.4.2.2.4 S(z).6.8.2.4 2.5.5.5.5 2 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.9/4
2 & p Résoudre où es la soluion de TIPE conrôle opimal, 22-23 p./4 où.5.5.5.5 2 3 2 2 3 u Exemple 2!
Foncion de ir.4.2.2.4 S(z).6.8.2.4 2.5.5.5.5 2 z TIPE conrôle opimal, 22-23 p./4
' ' 2 & Résoudre es où la soluion de TIPE conrôle opimal, 22-23 p.2/4 où.5.5 u.5.5 2 2 3 2 2 3 p Exemple 3!
Foncion de ir 2 2.5.5 S (z) S 2 (z).5 2.5 3 4 2 4 2 4 2 4 z2 2 4 4 2 z 2 z2 2 4 4 2 z 2 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.3/4
TIPE conrôle opimal, 22-23 p.4/4 Algorihme de Newon Exemple 25 2 5 S(z) 5 z3z2 z z 5 2 3 4 5 z
4 3 4 3 * * Cas dimension Objecif: résoudre où es une foncion de Par définiion de la dérivée on a au voisinage de dans avec ici L algorihme de Newon s écri alors de la même façon: Remarque. On n inverse jamais un sysème linéaire pour résoudre une équaion linéaire!!! TIPE conrôle opimal, 22-23 p.5/4
Algorihme Iniialisaion choisir choisir choisir nbimax k= Corps Répéer Résoudre k:=k+ Jusqu à (k=nbimax ou ) TIPE conrôle opimal, 22-23 p.6/4
- Théorème. On suppose que 4 3 4 3 Soi 4 3 es un ouver convexe de sur es inversible e el que ( Il exise : es Lipschizienne sur el que Il exise ( l algorihme de Newon alors il exise el que pour ou dans converge e la convergence es quadraique: TIPE conrôle opimal, 22-23 p.7/4
Problèmes de ransfer orbial CNES Fore excenricié iniiale ( ) Poussées faibles (6 à.2 Newons) Minimisaion de ' Maximisaion de la masse finale TIPE conrôle opimal, 22-23 p.8/4
libre # 5 # # 5 Min libre e TIPE conrôle opimal, 22-23 p.9/4 avec
( # ' & # # 5 # 5 libre fixé e TIPE conrôle opimal, 22-23 p.2/4
Paramères orbiaux Il fau, pour des raisons de sabilié lors de l inégraion numérique ravailler avec le sysème de coordonnées de Gauss: où es le veceur excenricié,. es le veceur roaion du plan de l orbie, $ $ es la longiude vraie, Z saellie périgée plan équaorial w ω X orbie Ω Y i Figure : Coordonnées de Gauss TIPE conrôle opimal, 22-23 p.2/4
Repère orho-radial k j r w S v s q O i Figure : Repère orho-radial TIPE conrôle opimal, 22-23 p.22/4
# # Problème en coordonnées de Gauss ' & ( ' 5 & ' & # 5 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.23/4
" Minimisaion de l Hamilonien! * ' alors % Si alors % Si alors Si Condiions de ransversalié TIPE conrôle opimal, 22-23 p.24/4
Résulas numériques Le calcul de la foncion de ir nécessie l inégraion numérique d un sysème différeniel ordinaire La dérivée de la foncion de ir es approchée numériquemen par différences finies Il fau faire de la mise à l échelle (scaling) des données Logiciel fmin de J.B. Caillau TIPE conrôle opimal, 22-23 p.25/4
Résulas numériques: 6N P 4 2 5 L 5 5.2 e x 5.5 h x. 5.2 r 3.5 e y m.5 5 5 4 h y.2 5 3 2 4 6 8 2 4 2 r 2 2 4 3 2 r u u 2 2 4 6 8 2 4 2 4 6 8 2 4 5 r 2 2 r 3 2 u 3 5 2 4 6 8 2 4 2 4 3 2 r 2 4 2 2 4 r 2 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.26/4
Résulas numériques: 6N.5 p P p L 5.5 5 4 5 2.29 p ex 2 p hx 2.285 p ey 5 5 4 x 5 p hy 5.826.828.83.832.834 5 3 µ 2 2 4 6 8 2 4.5 ψ 3.5 2.5.5 ψ 2 ψ TIPE conrôle opimal, 22-23 p.27/4
Résulas numériques: 3N P 4 2 5 5 2 25 L 2 5 5 2 25. e x.5 5 5 2 25.2 h x. 5 5 2 25 x 3 r 3 2 2 4 e y.2 5 5 2 25 5 h y 5 5 2 25 2 2 4 m 4 2 2 3 5 5 2 25 5 u 4 r 2 4 4 2 r 5 5 5 2 25 5 2 u 2 r 2 r 3 5 5 5 2 25 5 2 u 3 5 5 5 2 25 4 6 4 2 2 4 r 2 4 2 2 4 r 2 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.28/4
Résulas numériques:.2n P 4 2 2 3 4 L 2 2 3 4. e x e y.5 2 3 4 x 3 2 3 4 5 h x. 2 3 4 x 4 h y 2 3 4 r 3 2 2 4 2 2 4 m 4 2 2 3 5 5 2 25 3 35 4 5 u 4 r 2 4 4 2 r 5 5 5 2 25 3 35 4 5 2 u 2 r 2 r 3 5 5 5 2 25 3 35 4 5 2 u 3 5 5 5 2 25 3 35 4 4 6 4 2 2 4 r 2 4 2 2 4 r 2 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.29/4
5 5 Relaion, 6N 4.8 h 3N 285.6 h.2n 426.6 h 2 jours 6 mois TIPE conrôle opimal, 22-23 p.3/4
5 fixé " # # # 5 # # Max libre e # " 5 TIPE conrôle opimal, 22-23 p.3/4 avec Remarque.
Minimisaion de l Hamilonien L Hamilonien es % Si alors Si alors " Si alors Si alors " Si alors " Si alors TIPE conrôle opimal, 22-23 p.32/4
Difficulés Le conrôle Bang-Bang indui un second membre d équaion différeniel disconinu. Dérivabilié de la foncion de ir? Le ir simple diverge ici TIPE conrôle opimal, 22-23 p.33/4
Resulas pour 2.5N, 4 3 2 2 4 5 45 4 35 2 4 6 4 2.5.5 2 4..5.5. 2 4.5.5.5.5 2 4.5.5 2 4 2 4 5 5 2 25 3 35 4 Figure : éa e conrôle TIPE conrôle opimal, 22-23 p.34/4
Resulas pour 2.5N,.5.5 5 5 2 25 3 35 4 45.5.5 5 5 2 25 3 35 4 45 2 5 5 2 25 3 35 4 45 Figure : conrôle TIPE conrôle opimal, 22-23 p.35/4
# ) 4 # 4 4 2 / Méhodes direces Problème de Mayer $ ( 3 ( 3 ( Remarque. On peu oujours se ramener à un problème de Mayer. Il suffi de définir un éa el que:! 5 3 ( ) On prendra TIPE conrôle opimal, 22-23 p.36/4
& $ $ $ $ $ $ $ $ Discréisaion d une EDO fixé) ' ( ' (pas consan) $ Schéma d Euler $ $ On pose $ $ L erreur locale (c es-à-dire l erreur d un pas) de ce schéma es en Méhode des rapèzes On prend le schéma: $ $ $ $ L erreur locale es en TIPE conrôle opimal, 22-23 p.37/4
* * * * Méhode direce On discréise l équaion d éa e on obien le problème d opimisaion en dimension finie suivan: pour * * $ pour TIPE conrôle opimal, 22-23 p.38/4
& & ' & * * Tir direc On rédui l espace des conrôles: * * consan sur * * affine sur... e Cas des conrôles consans par morceaux On peu alors en foncion de des calculer, puis,...,e enfin D où le problème d opimisaion en dimension finie pour TIPE conrôle opimal, 22-23 p.39/4
Remarques Les méhodes direces son plus robuses Il es plus facile d inroduire des conraines sur l éa avec les méhodes direces Les résulas des méhodes direces son moins précis, en pariculier sur le conrôle L ineracion mahémaique-numérique es fondamenale ici. Cee présenaion peu aussi concerner le poin discre, coninu TIPE conrôle opimal, 22-23 p.4/4