I Parie I : Élecroniue TP TP 8 : Numérisaion d un : uanificaion e raiemen numériue Inroducion Lors du précéden TP, nous avons éudié une éape de la numérisaion d un : l éape d échanillonnage. Il ne s agi pas de la seule éape inervenan dans le processus de numérisaion. Le processus comple peu êre schémaisé comme ci-dessous : analogiue échanillonnage échanillon 1. Échanillonneur -bloueur Éape 1 : L échanillonneur-bloueur agi ous les (ui es la période d échanillonnage), donc aux emps = n avec n N. Il bloue la valeur du d enrée à un niveau consan égal à s(n ). On peu noer égalemen u il possède une impédance d enrée élevée ( 1 MΩ pour un oscilloscope, moins pour nore care d acuisiion) afin ue la mesure ne perurbe pas le foncionnemen du circui. blocage NUMÉRISATION Valeurs possibles pour le 5 4 3 2 1 uanificaion 2. Converisseur analogiue-numériue (CAN) numériue Éape 2 : La valeur s(n ) à la sorie de l échanillonneur-bloueur peu prendre n impore uelle valeur (c es une grandeur analogiue). Mais un ordinaeur ou un sysème numériue en général ne peu raier ue des valeurs numériues, ui ne peuven prendre u un ensemble discre de valeurs 1, 2, ec. Le converisseur analogiue-numériue (CAN) aribue la valeur numériue 1, 2, ec. la plus proche de s(n ). Sockage en mémoire 3. Éape 3 : Ces valeurs son sockées en mémoire pour êre affichées ou manipulées. Un numériue peu êre laissé el uel. Il peu aussi se mere sous forme de bis, donc de suie de 0 e de 1, puisue chaue valeur possible du 1, 2, ec., possède une écriure binaire. TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 1 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018
II Quanificaion e résoluion, nombre de bis On s inéresse plus pariculièremen à l éape de uanificaion. On monre ci-dessous deux exemples de numérisaion, avec le même emps d échanillonnage, mais un pas de uanificaion différen : = 1 à gauche, e = 0.5 à droie. 8 7 analogiue numériue (échanillonné, uanifié, =1) 8 7 analogiue numériue (échanillonné, uanifié, =0.5) 6 6 5 5 s 4 s 4 3 3 2 2 1 1 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Soi n es le nombre de bis sur leuel l éape de uanificaion a lieu. Il y a 2 n valeurs possibles pour le numérisé socké dans l ordinaeur. D aure par, on noe U l ampliude maximale d acuisiion du (par exemple la care d acuisiion don on dispose perme d acuérir un allan de -15 V à +15 V, donc U = 30 V). On en dédui ue l écar enre deux valeurs numériues possibles es = U 2 n 1 U 2 n. es appelé le pas de uanificaion. C es lui ui fixe la résoluion de la care d acuisiion numériue, car le numériue ne peu pas représener des poins don les ampliudes son disanes de plus de. On donne des exemples de nombre n de bis ci-dessous : Type de suppor Son sur un CD audio Valeurs pour un pixel d une image au forma jpeg, par canal de couleur Valeurs pour un pixel d un appareil numériue reflex (ui es d une couleur donnée) Care d acuisiion de l oscilloscope uilisé en TP Care d acuisiion vers l ordinaeur uilisée en TP Quanificaion 16 bis 8 bis 14 ou 16 bis selon modèle 8 bis 12 bis 1 Quelle es la valeur du pas de uanificaion pour la care d acuisiion vers l ordinaeur ue l on uilise? On s inéresse à l oscilloscope. Sa care d acuisiion es sur 8 bis, soi 2 8 = 256 valeurs possibles affichées à l écran. 2 Si le calibre es el ue les valeurs exrêmes affichables à l écran son +20 V e -20 V, uelle es la résoluion de l oscilloscope? e si on zoom pour ue ces valeurs exrêmes soi -20 mv e +20 mv? Quel es donc l inérê de pouvoir choisir libremen les valeurs exrêmes? III Traiemen numériue d un Une fois le numérisé, il es pariculièremen facile de lui faire faire subir oue sore de ransformaions. Le es en effe socké en mémoire sous la forme d un ableau de données, s[n] représenan le s au emps n = n ( es la période d échanillonnage), avec n N pouvan aller de 1 (ou 0 selon le logiciel) au nombre oal de poins de l acuisiion. En pariculier, cee manipulaion numériue es plus aisée u une manipulaion analogiue réalisée à l aide de composans (résisances, capaciés,...). On peu réaliser des aches plus complexes e ui son facilemen modifiables (pas besoin de changer la valeur des composans du circui analogiue, mais juse les paramères du programme). TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 2 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018
Une fois raié, le numériue peu êre à nouveau converi en analogiue à l aide d un converisseur numériue-analogiue (CNA). Ce converisseur possède, ou comme le CAN, un pas de uanificaion. À ire d illusraion, nous allons numériser un analogiue, réaliser un filrage numériue passe-bas sur ce numérisé, puis ransformer ce numérisé filré en analogiue. Dans un second emps, nous comparerons ce numériue filré au produi par un filre analogiue R-C. Nous allons donc suivre les éapes de la figure ci-dessous : analogiue (GBF) Échanillonneur-bloueur CAN uanificaion numériue NUMÉRISATION (care d acuisiion) Filre passe-bas analogiue R-C analogiue filré passe-bas Sockage en mémoire Algorihme de filrage passe-bas (Lais Pro) CNA analogiue numériue uanificaion filré passe-bas (care d acuisiion) visualisaion sur oscilloscope e comparaison III.1 Écriure de l algorihme de raiemen numériue passe-bas H La foncion de ransfer complexe d un filre passe-bas es H = 0 avec H 1 + jω/ω 0 le gain saiue e ω c la pulsaion c de coupure. On prendra H 0 = 1 dans la suie. On obien alors l éuivalen dans le domaine emporel : s e = 1 s + 1 ds 1 + jω/ω c ω c d = e ds d = ω cs() + ω c e(). Il fau résoudre l éuaion différenielle encadrée à l aide d un schéma numériue, donc il fau l écrire sous forme discrèe. On rappelle ue le numériue es composé des s( n ), noés s n, avec n = n. On noe aussi e( n ) = e n. La méhode du schéma d Euler explicie consise à faire l approximaion : ω c s() + ω c e() = ω c s n + ω c e n. 3 Monrer ue ceci perme d arriver à la relaion de récurrence suivane : s n+1 = Ae n + Bs n, avec A e B à exprimer en foncion du paramère α = ω c. ds d = s n+1 s n, e à considérer ue Nous allons écrire un algorihme sous Lais Pro ui perme d effecuer ce calcul numériue. On prendra ω c = 1.0 10 4 rad/s, ce ui correspond à une fréuence de coupure f c = ω c /(2π) = 1.6 khz. 4 Aller dans Traiemen -> Feuille de calcul. L algorihme sera le suivan, ui es à recopier (sans les commenaires) e compléer. Te = 20.e-6 omegac = 1e4 alpha = omegac * Te A = B = s = Table(0) // Déclare la variable Te (période d échanillonnage) avec la valeur // de 20 microsecondes. À MODIFIER en foncion de vore choix. // Déclare la variable omegac (pulsaion de coupure du filre) // avec la valeur 10 000 rad/s. // À compléer // À compléer // Ser à créer un ableau s, ui sera le de sorie // En Pyon on aurai écri s = np.zeros(len(ea1)) s[n] = A*EA1[n-1] + B*s[n-1] // L éuaion de récurrence s écri ainsi sous Lais Pro // Ceci es l éuivalen en Pyhon de : // for n in range(1,len(s)): // s[n] = A*EA1[n-1] + B*s[n-1] TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 3 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018
Pour l exécuer, on uilise Calcul -> exécuer (F2). On peu ensuie afficher la courbe s sur le graphiue. III.2 Acuisiion e raiemen du 5 Réaliser l acuisiion numériue d un sinusoïdal de fréuence f 1 khz avec une période d échanillonnage = 10 µs e un nombre de poins suffisan pour voir une dizaine de périodes. Réaliser le filrage numériue de ce (penser à saisir la bonne valeur de dans l algorihme). L afficher sur Lais Pro (faire glisser la courbe s sur le graphiue). 6 Resiuer ce numériue filré en sorie de la care analogiue à l aide du CNA e le visualiser sur l oscilloscope. Pour cela, uiliser l ongle sorie de Lais Pro, e choisir s comme sorie. Cee sorie es envoyée sur la borne sorie DA de la care d acuisiion lorsue l on cliue sur émere. Il fau faire une acuisiion e appuyer sur Run/Sop sur l oscilloscope pour le figer. Sur l oscilloscope, mesurer l ampliude du, compléer la première colonne du ableau ui sui (parie filrage numériue seulemen). Enfin, vérifier rapidemen en changean la fréuence d enrée du u on a bien le comporemen d un filre passe-bas (coupure pour f f c, pas de modificaion pour f f c ). fréuence du d enrée 1 khz (soi f c /1.6) Filrage numériue valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope valeur du gain v s /v e Filrage analogiue ampliude du d enrée (mesure sur l oscilloscope) ampliude du de sorie (mesure sur l oscilloscope) 12 V 10.3 V valeur du gain v s /v e III.3 Comparaison avec un filre passe-bas analogiue (À faire si le emps le perme, sinon admere les résulas donnés dans le ableau ci-dessus, parie filrage analogiue.) Afin de vérifier le bon foncionnemen du filre numériue, e de eser la dépendance du résula en foncion de la fréuence d échanillonnage, on réalise égalemen un filre analogiue. 7 À l aide des composans don vous disposez, réaliser un filre passe-bas analogiue don la foncion de ransfer es H 0 H = 1 + jω/ω c avec la même valeur de ω c ue pour le filre numériue. Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessus, parie filrage analogiue. 8 Enfin, comparer les résulas pour le filre analogiue e numériue e conclure sur le bon foncionnemen de ce dernier. TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 4 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018
III.4 Imporance du choix de la fréuence d échanillonnage On noe encore f la fréuence du d enrée, e f e celle d échanillonnage. Dans oue cee parie on garde f = 1.0 khz. 9 Rappeler le crière ue doi vérifier f e pour échanilloner correcemen le. Mais ici, une roisième fréuence inervien dans le problème : f c = ω c /(2π) la fréuence de coupure du filre passe-bas ue l on simule numériuemen. Nous allons voir u il y a une conraine enre f e e f c pour ue l algorihme foncionne correcemen. 10 Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessous. La première colonne correspond normalemen à ce ui a éé fai précédemmen, les mesures ne son donc pas à refaire. période d échanillonnage 10 µs 80 µs 100 µs fréuence d échanillonnage f e Crière de Shanon respecé? valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope valeur du gain v s /v e Correspond à ce ui es aendu (aux inceriudes près)? 11 Conclure sur un crière à respecer concernan f e e f c. TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 5 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018
IV Synhèse Quanificaion du Après l échanillonnage, la uanificaion es la seconde éape de la numérisaion d un. Elle consise à aribuer à chaue valeur analogiue s(n ) une des valeurs numériues possibles 1, 2, ec. (Voir schéma en page 1.) Le nombre de valeurs numériues possibles es donné par le nombre de bi n de la care : il es de 2 n 1 2 n. Le pas de uanificaion, ou résoluion de la care, es l écar enre deux valeurs numériues possibles. Il dépend : du nombre de valeurs numériues possibles : 2 n 1 ; du calibre choisi pour l acuisiion, c es-à-dire de la plage de valeurs U admise par la care d acuisiion (par exemple U = 20 V si le calibre es ±10 V). Le pas de uanificaion, ou résoluion, es ainsi : = U 2 n 1 U 2 n. Filrage numériue d un Le raiemen numériue d un perme d effecuer des opéraions diverses e complexes de façon simple, par programmaion d un algorihme. Les mêmes opéraions, réalisées de façon analogiue par un circui élecroniue, peuven nécessier des circuis complexes e don la modificaion des paramères impliue de changer les valeurs des composans. Exemple : C es la raison pour lauelle les oscilloscopes numériues numérisen le pour pourvoir le raier facilemen (opéraions de muliplicaion des deux voies, de sousracion, calcul du specre, de valeur moyenne, ec..., ui seraien complexes à réaliser de façon analogiue). La srucure générale du raiemen numériue d un es la suivane : analogiue CAN Échanillonneur-bloueur Sockage en CNA uanificaion mémoire numériue numériue e manipulaions 1. 2. 4. NUMÉRISATION numériues (par la care d acuisiion, par l oscilloscope,...) 3. (par Lais Pro, par les algorihmes de l oscilloscope,...) analogiue Il fau ouefois prendre garde à : La fréuence d échanillonnage f e du d enrée, ui doi : oujours respecer le crière de Shannon par rappor au d enrée : êre suffisammen élevée pour permere une bonne précision des manipulaions numériues. Par exemple lorsue l on réalise l algorihme pour faire un filre passe-bas de fréuence de coupure f c à l aide d un schéma d Euler explicie, la fréuence d échanillonnage du doi vérifier : f e uelues dizaines de fois f c. Le pas de uanificaion, ui doi êre assez fin pour avoir une bonne précision. Le fai ue le analogiue en sorie du CNA varie par palier ous les (période d échanillonnage). Le fai ue le raiemen numériue prend un cerain emps e nécessie un processeur e des lecures en mémoire rapides. TP 8 : uanificaion e raiemen numériue 6 / 6 Pierre de Couberin TSI 2 2017-2018