CHAPITRE 6.! TORSION... - 6.1-6.1. Définiions... - 6.1-6.. Torsion une barre e secion circulaire... - 6. - 6..1. Recherche e la isribuion es conraines... - 6. - 6... Relaions fonamenales... - 6. - 6.. Dimensionnemen... - 6.6-6..1. Conraines issibles... - 6.6-6... Applicaion au calcul arbre... - 6.6 - A) Arbres creux... - 6.6 - B) Arbres pleins... - 6.7-6... Déformaion issible... - 6.8-6... Applicaion au calcul arbre... - 6.8-6..5. Remarques concernan le imensionnemen es arbres... - 6.9 - A) Relaion couple - puissance... - 6.9 - B) Noion e couple maximum... - 6.9-6.. Torsion une barre à secion ransversale non circulaire... - 6.1-6.5. Choix e la forme e la secion roie... - 6.1-6.6. Applicaions... - 6.19-6.6.1. Torsion un arbre muni une rainure e clavee... - 6.19-6.6.. Torsion un profilé à parois minces... - 6.1 - A) Profilés ouvers... - 6.1 - B) Profilés fermés... - 6. - Version u 1 juille 01 (10h0)
CHAPITRE 6.! TORSION 6.1. Définiions Par l exemple e la racion e e la compression, nous avons mis en évience quelques-unes es plus imporanes propriéés e l éa e conraine. Lors e la racion (compression) l éa e conraine se réuisai à la seule composane normale σ. Lors e la orsion, l éa e conraine se réuira aux seules composanes ans le plan e la secion. fig 6.1. - Exemple une barre soumise à orsion. Auremen i, la orsion pure es un éa e charge el que ans oue secion roie une pièce il n exise qu un momen e orsion. De plus : Une barre soumise principalemen à orsion pore le nom arbre. Par convenion, le momen e orsion (effor inerne) es posiif s il agi ans le sens ani-horlogique pour un observaeur qui regare la secion. On peu monrer, à parir e la loi e Hooke, qu un pei élémen soumis uniquemen à es conraines angenielles (éa e cisaillemen pur) se éforme en faisan apparaîre un angle γ (appelé angle e cisaillemen) proporionnel à. (Voir figure ci-conre). γ G (éq. 6.1) fig 6.. - Convenion e signe +. fig 6.. - Loi e Hooke. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.1 -
La quanié G, appelé moule e cisaillemen ou moule e Coulomb (1) ou moule élasicié ransversale, épen u maériau e es exprimée en N/mm. Remarque : Cee formule es à rapprocher e la loi e Hooke : σ ε. E Il exise une relaion enre le moule e Young e le moule e Coulomb. Cee relaion s écri : E G 1 ν ( + ) (éq. 6.) Noaion : ν coefficien e Poisson - Remarque : On observe que, quelque soi la valeur u coefficien e Poisson ν, le moule élasicié ransversale G sera oujours inférieur au moule élasicié longiuinal E. En aures ermes, un maériau sera oujours moins rigie sous l effe un momen e orsion, que sous l effe un effor e racion. Applicaion 6.1. Que vau le moule e Coulomb e l acier sachan que : E 10000 N mm ν 00.? e Soluion : Applicaion irece e la formule éq. 6.. : E 10 000 G 80769 N mm 1+ ν 1+ 00. ( ) ( ) Remarque : Souven pour l acier on pren, en première approximaion, G 80000 N mm. Applicaion 6.. Que vau le coefficien e Poisson e la fone grise sachan que : E 90000 N mm e que le moule e Coulomb G 6000 N mm? Soluion : Applicaion irece e la formule éq. 6.. : E E 90000 G ν 1 1+ ν G 6000 1 05. ( ) (1) Coulomb : ingénieur e physicien français (176-1806) R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -
6.. Torsion une barre e secion circulaire 6..1. Recherche e la isribuion es conraines Consiérons une barre e secion circulaire soumise à un momen e orsion consan. fig 6.. - On consae que, pour es raisons e symérie, chaque secion roie ourne ans son plan, auour e son cenre, comme un ensemble rigie. On en éui : que oue secion roie plane rese roie plane après éformaion. De plus, l expérience monre que la longueur une barre soumise à orsion ne varie pas an que l angle e orsion es pei. On consae que les conraines angenielles agissan sur une secion roie son proporionnelles à la isance ρ à l axe e l arbre e maximales à la périphérie. La isribuion es es représenée à la figure ci-conre. Les ensions varien onc linéairemen e 0 à max. La ension maximale se siuan à la périphérie e la pièce. fig 6.5. - Disribuion es conraines angenielles e orsion. 6... Relaions fonamenales Trois hypohèses afin éablir les ifférenes relaions fonamenales e la orsion : [H1] pas e variaion e secion (secion consane); [H] [H] momen e orsion consan; éformaion angulaire peie par rappor à la longueur. Si l angle e éformaion γ es pei, nous pouvons l assimiler à sa angene. Nous écrirons ès lors : γ. g γ. Si, comme l angle es pei, nous pouvons assimiler l arc e cercle à une roie, e, ès lors écrire : fig 6.6. - R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -
lgγ rϕ lγ rϕ (1) La loi e Hooke s écrivan : γ G () nous obenons : rϕ G rθ G l () Noaions : G r γ n θ l moule e Coulomb rayon e la secion circulaire angle e cisaillemen éformaion angulaire angle relaif e éformaion longueur e la barre N/mm mm ra ra ra/mm mm Analysons le phénomène e orsion quan un momen e orsion!μ proui une éformaion élasique u cylinre-éprouvee. Sur la figure ci-essous,!μ es représené par le couple F-F, forces siuées ans le plan e la secion roie exrémié; mais ans le cas iéal e orsion que nous éuions, nous evons imaginer es couples f-f, ans le plan e la secion (en chaque mm par exemple). Sur chaque élémen e surface ΔA nous avons essiné la force f angene à la circonférence e rayon ρ; ces forces son elles que leur momen : ρ i f i. Isolons par une coupure (secion roie) un ronçon arbre. Pour le mainenir en équilibre, il fau appliquer sur chaque élémen e secion ΔA es forces angenielles f. Le pois éan négligé, pour mainenir ce ronçon en équilibre, nous pouvons appliquer à chaque élémen ΔA (à chaque mm par exemple) une force f siuée ans le plan e la coupure, onc angenielle. L ensemble es forces f consiue la réacion au couple!. Quelles son les coniions équilibre imposées par la saique? ( f i ) 0 e ( C i ) 0 fig 6.7. - Ces coniions son saisfaies si à chaque force f nous faisons corresponre comme l inique la figure une force f égale e e sens opposés à f. Dans ce cas : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -
' ρ i f i () La conraine angenielle es par éfiniion une force par unié e surface. Dans nore cas, nous pouvons ire : f i ' fi' ΔAi ΔAi Avec la relaion () nous avons : ' ρ f ρ ΔA. i i i i Inrouisons la relaion () ans l équaion ci-essus : ρ ρ θ G ΔA ρ ΔA θ G. ( ) i i i i i En ce rappelan que : I ρ Δ A, 0 i i nous obenons la relaion enre le momen e orsion e les aures paramères. Soi : I 0 θ G (5) On ainsi éuire les eux relaions fonamenales pour le calcul es barres rones soumises à orsion. La première onne la relaion enre la éformaion angulaire n (ou l angle relaif θ) e le momen e orsion. A parir e l équaion (5), nous écrirons : θ max GI0 (éq. 6.19) [ra/mm] e sachan que : ϕ l θ, nous obenons : ϕ l GI 0 (éq. 6.1) [ra] La secone onne la relaion enre la conraine angenielle maximum max e le momen e orsion. En mean l équaion () ans l équaion (), nous obenons : max I r W 0 p (éq. 6.) [N/mm ] ( max se siuan à la périphérie e la secion circulaire) Noaions : I O r momen e orsion momen inerie polaire e la secion rayon e la secion circulaire Nmm mm mm e plus : G.I O I O /r es appelé rigiié à la orsion es appelé moule e résisance à la orsion ou moule e résisance polaire Nmm mm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.5 -
6.. Dimensionnemen 6..1. Conraines issibles 1) Dans le cas un maériau ucile, la conraine angenielle issible en orsion es obenue en enan compe un coefficien e sécurié S par rappor à la limie élasicié en cisaillemen e : (éq. 6.) e S On peu monrer que les crières e résisance permeen e éerminer e à parir e la limie apparene élasicié R e en racion : 05.... 0577.... 06. R e onc : ecis ( ) ( ) R 058 S e. (éq. 6.5) e ) Si le maériau es fragile, l expérience monre que la rupure se proui suivan une surface hélicoïale inclinée à 5E par rappor à l axe e l arbre (ex. : la craie). La fissuraion es ue aux conraines fig 6.8. - Rupure fragile en orsion. normales e racion qui aeignen leur valeur maximale σ max sur es facees conenues ans la surface hélicoïale. Dès lors la conraine angenielle issible se éerminera à parir e la résisance à la rupure R m e non plus à parir e e : R m (éq. 6.6) S ) Quel que soi le ype e maériau uilisé, le imensionnemen es secions roies evra êre el que les conraines angenielles maximales max ne épassen pas la conraine angenielle issible : max (éq. 6.7) ) Les coefficiens e sécurié S seron les mêmes que ceux éfinis au chapire Tracion - Compression. 6... Applicaion au calcul arbre Déerminons la relaion qui exise enre le iamère exérieur un arbre e secion annulaire (iamère inérieur i ), soumis à un momen e orsion, en foncion e la conraine angenielle issible ). A) Arbres creux On suppose connu la proporion qui exise enre le iamère exérieur e le iamère inérieur i. Soi : k. i R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.6 -
Dès lors : 16 16 max W p ( i ) ( 1 k ) où : 16 51. (éq. 6.0) ( 1 k ) ( 1 k ) Après mise en évience u iamère, on rouve l équaion pour la concepion es arbres : 16 17. (éq. 6.1) ( 1 k ) ( 1 k ) Ainsi que la formule érivée concernan le couple issible ransmis pour un arbre onné : B) Arbres pleins ( 1 ) 0 ( 1 ) k. k (éq. 6.) 16 Pour un arbre cylinrique plein e iamère, on aura ans les formules précéenes : 0 k 0 e ans ce cas nous obenons : i 16 51. (éq. 6.) 16 17. (éq. 6.5) 0. (éq. 6.6) 16 R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.7 -
6... Déformaion issible Généralemen, on limie l angle relaif e orsion à une valeur issible θ éerminé suivan le ype uilisaion e la barre : θmax θ (éq. 6.7) Remarques : 1) En général les arbres e ransmission se calculen à la éformaion issible pluô qu à la conraine issible, e ans ce cas θ vau : θ θ ( )... 05.... 0.... 05. / m (éq. 6.8)... 0. 006... 0. 00576... 0. 0087 ra / m ( ) ) Si l angle θ es exprimé en E/mm, il fau converir, en ra/mm suivan la formule : θ [ ra / mm] θ [ / mm] 180 (éq. 6.9) 6... Applicaion au calcul arbre Déerminons la relaion qui exise enre le iamère exérieur un arbre e secion annulaire (iamère inérieur i ), soumis à un momen e orsion, en foncion e la éformaion angenielle issible θ. A) Arbres creux On supposera connu la proporion : k. Dès lors : θ max GI 0 ( i ) G ( 1 ) θ k G i où : θ 10. (éq. 6.) ( 1 ) ( 1 ) k G k G 179. (éq. 6.) θ Gθ ( 1 k ) G ( 1 k ) ( 1 ) θ 01 ( 1 ) k G. k Gθ (éq. 6.) si θ es exprimé en ra/mm, en N.mm, G en N/mm e en mm. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.8 -
B) Arbres pleins Pour un arbre cylinrique plein e iamère, on aura ans les formules précéenes : 0 k 0 e ans ce cas nous obenons : i θ 10 G. (éq. 6.6) G 179. (éq. 6.7) G θ G θ Gθ 01. Gθ (éq. 6.8) En résumé : Arbres cours Arbres longs : ils se calculen uniquemen à la résisance. : ils se calculen à la éformaion, malgré une résisance convenable. 6..5. Remarques concernan le imensionnemen es arbres A) Relaion couple - puissance Dans e nombreuses applicaions e orsion on connaî la puissance à ransmere e non le momen e orsion. Si el es le cas, connaissan la puissance P à ransmere (en wa) e la viesse e roaion n e ce arbre (en ours par minue), nous pouvons rerouver le momen e orsion par la relaion : P ω (éq. 6.9) avec ω la viesse e roaion ra/s e la relaion enre n e ω es : n n ω (éq. 6.50) 60 0 où : 0 P n P 955. (éq. 6.51) n Sans oublier que si P es en W e n en ours/min, es en Nm. Il faura onc ransformer le momen e orsion en Nmm pour qu il soi compaible avec les formules précéenes. B) Noion e couple maximum Souven les machines, élecriques e aures, son imensionnées pour un couple nominal. Cepenan, lors u calcul es arbres e ransmissions e ces machines, il fau enir compe es chocs évenuels qui peuven se prouire suie à la ransmission es ifférens effors. C es pourquoi, on majore le couple nominal un cerain coefficien e choc k c (voir ableau es coefficiens e choc ans le chapire Inroucion à la résisance es maériaux). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.9 -
Le momen e orsion à uiliser ans les formules précéenes sera onc : kc nominal (éq. 6.5) Applicaion 6.. Un moeur élecrique une puissance e 0 kw ourne à la viesse e 600 r/min. Son arbre es en acier ( G 80000 N mm ). Déerminer son iamère ans le cas où : a) on consière l arbre comme cour avec une conraine issible 0 N mm ; b) on consière l arbre comme un arbre e ransmission avec un angle relaif issible θ 05. m. Soluion : a) Arbre cour 80 P 80 0 000 n 600 0 10 6 0. 0 m 5 mm b) Arbre long 05. θ ra m 180 70 960 P 960 0 000 ng 6 θ 600 8000010 70 0. 055 m 56 mm Applicaion 6.. Un moeur élecrique une puissance e 10 kw ourne à la viesse e 750 r/min. Son arbre es en acier XC e limie élasique égale à 0 N/mm. Déerminer son iamère si on pren un coefficien e sécurié égal à.. L arbre u moeur es cour; on peu onc le consiérer comme sollicié uniquemen à la orsion (sans flexion). Soluion : Recherche e la conraine issible Re 0 058. 058. 80. 7 N mm S. Recherche u momen e orsion 0 P 0 10 000 17. Nm 17. 10 n 750 Nmm Recherche u iamère : arbre cour 17. 10 17. 17. 0. 0 mm 80. 7 R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.10 -
Applicaion 6.5. On consière l une es barres e orsion servan à la suspension élasique u châssis une auomobile. L effor qui agi à l exrémié D u levier CD, e longueur 00 mm, es e 00 an. a) Calculer le iamère e la barre sachan qu elle es en acier au chrome-silicium-molybène 5 SCD 6 pour lequel on peu ere une conraine angenielle e 00 N/mm. b) Calculer la longueur e la barre e façon que la levier ourne au plus un angle e 18E lorsque la voiure repose sur ses roues. On calculera G. Soluion : a) Calcul u moule élasicié ransversal Acier 5 SCD 6 : E 0000N mm ν 085. e E 0 000 G 85600 N mm 1+ ν 1+ 085. ( ) ( ) fig 6.9. - Applicaion 6.5. a) Calcul u iamère F l 000 00 10010 Nmm 17 17 10010... 8 mm 5 mm 00 b) Calcul e la longueur ϕ θ max 10. θ G e l ϕ 18 ϕ 18 0. 1 ra 180 ϕ G 0. 1 5 85600 l 858 860 mm 10. 10. 10010 R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.11 -
6.. Torsion une barre à secion ransversale non circulaire On consae expérimenalemen que, sous l acion u momen e orsion, la secion e la barre subi un gauchissemen. Celui-ci provoquera l appariion e conraines normales si les secions ne peuven se éformer libremen. Si nous supposons que : [H1] [H] [H] les imensions e la secion roie e la fig 6.10. - Torsion une barre non circulaire. barre ne varien pas suivan l axe e celleci, le momen e orsion es consan le long e la barre, les exrémiés son libres e gauchir, la orsion es qualifiée e libre e seules es conraines angenielles apparaissen ans la secion roie. Ean onné que l hypohèse e la conservaion es secions planes n es plus vérifiée, le problème ne pourra pas êre résolu par la résisance es maériaux mais par la héorie e l élasicié. Néanmoins, on pourra se raccrocher aux formules générales vues précéemmen moyennan un momen inerie e un moule e résisance à la orsion approprié. Auremen i, les formules éfiniives pour le calcul es conraines angenielles maximales max e e l angle e orsion θ max se présenen comme sui : θ max GI (éq. 6.67) [ra/mm] e : [N/mm max (éq. 6.68) ] W Noaions : I W momen inerie en orsion libre moule e résisance en orsion libre mm mm Pour les valeurs es ifférens I e W voir ableau es moules e résisance à la orsion au chapire omen inerie. A ire exemple la isribuion es conraines angenielles ans une secion recangulaire es schémaisée à la figure fig.6.11. ciconre. La conraine angenielle maximale se prouisan au milieu u gran côé. fig 6.11. - Disribuion es conraines. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.1 -
Dans le cas es secions pleines, on peu aussi uiliser la formule e Sain-Venan () afin e calculer le momen e orsion libre. Soi : I A 0 I 0 (éq. 6.69) [m ] Noaions : A I 0 la surface e la secion pleine l inerie polaire e la secion m m Applicaion 6.6. Un reuil à main es commané par eux hommes onnan chacun un effor e 00 N. Quel es le côé u carré à faire sur l arbre pour le placemen e la manivelle, celle-ci ayan une longueur e 00 mm? Prenre comme conraine issible : 60 N/mm. Soluion : Le momen e orsion exercé sur l arbre es égal à : F L 00 00 160 000 Nmm ( ) ( ) Pour un carré, nous avons le moule e résisance à la orsion qui es égal à : W 0. 08 c Recherche u côé via la formule e la conraine c W 0 08 c. 008. 160 000 c 0. 08 0. 08 60. mm c 5 mm Recherche u iamère issible e l arbre c mm 5 5. cos5 cos5 6 mm () Sain-Venan (Ahémar Jean Claue Barré e) : (1797-1886) R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.1 -
6.5. Choix e la forme e la secion roie Afin e imensionner économiquemen la barre, la coniion e résisance : W ou W max (éq. 6.75) oi non seulemen êre vérifiée, mais il fau veiller à réuire au minimum le pois e la barre. Soi, par éfiniion, le rappor sans imension w : w W A ou W p A (éq. 6.76) Noaion : A la surface e la secion pleine m Ce rappor es éfini pour comparer ifférenes secions roies. Il oi êre aussi gran que possible (voir Tableau 6.1.). Il en ressor que les profilés ouvers résisen rès mal à la orsion, que les profilés fermés son meilleurs que les profilés ouvers e même forme, e que la forme la plus inéressane es celle es secions annulaires. Comparaison, u poin e vue résisance / pois, e ifférenes secions en orsion (w ), flexion (w f ) e flambemen (w fb ) Secion w W A w f W f A w fb I min A Circulaire 0.8 0.11 0.8 Annulaire in / ex 0.7 0.8 0.9 0.589 0.771 1.171 0.9 0.86 0.586 0.8 0.60 0.871 Recangulaire b/h (carré)........ 1 1/ 1/ 0.15 0.17 0.08 0.17 0.15 0.096 0.118 0.167 0.6 0.89 0.167 0.0 0.89 0.0 0.167 HEA 100 Y 50 0.05... 0.08 0.90... 1.7 0.55... 0.7 IPE 0.05... 0.06 0.97... 1.576 0.7... 0.6 IPN... 0.06... 0.9... 1.160 0.7... 0. Tableau 6.1. - Comparaison résisance / pois e ifférenes secions. Il es onc souven préférable, u poin e vue e la résisance es maériaux, pour les gros arbres e ransmissions e prenre un arbre creux pluô qu un arbre plein. Sans enrer ans le éail e la émonsraion, on peu monrer que le gain e pois e l arbre creux par rappor à un arbre plein, (pour une même conraine nominale), sui la loi suivane : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.1 -
k g 1 k 1 (éq. 6.77) 1 + k De même on peu monrer que le gain e pois e l arbre creux par rappor à un arbre plein, (pour une même éformaion), sui la loi suivane : k g θ 1 1 k (éq. 6.78) 1 + k Noaions : k g k g θ k coefficien e gain e pois (pour une même conraine) coefficien e gain e pois (pour une même éformaion) rappor (iamère inérieur sur iamère exérieur) Tou ceci peu êre résumé ans le ableau ci-après : k 0.1 0. 0. 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 k g 0.01 0.0 0.08 0.1 0. 0.0 0.9 0.9 0.61 k g θ 0.01 0.0 0.09 0.15 0. 0.1 0.1 0.5 0.68 Tableau 6.. - Gain e pois pour une même conraine k g ou une même éformaion k g θ (arbre creux par rappor à l arbre plein).. Noons qu à parir e : k 08., le gain e pois es au moins e 50 %. En avan-proje, on peu se permere e prenre : k 08.. Remarque imporane : Nous avons oujours inérê à avoir k 09. afin évier ou risque e flambemen e orsion. En effe si la parois es rop mince, l arbre (ube) périra par flambemen e non par épassemen e la limie e rupure (exemple e la boîe e Coca). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.15 -
Applicaion 6.7. Soi un arbre hélice e baeau e 15 m e longueur. La puissance a ransmere es e.5 W à 50 r/min. La conraine issible e l acier en orsion es e 80 N/mm. a) Déerminer le iamère e l arbre e l angle e orsion ( G 80000 N mm ). b) Ensuie remplacer ce arbre par un arbre e ransmission creux pour obenir le même angle e orsion que précéemmen e ce pour un gain e pois e 50 %. Soluion : Recherche u momen e orsion 6 0 P 0 510. 110. n 50 5 Nm Recherche u iamère 17 17 110 8... 00 mm 80 Recherche e la éformaion angulaire e ce arbre 8 110. θ max 10. 10. 0. 00001ra mm G 00 80 000 Pour rappel : [] [ ra ] 180 θ θ 0. 00001 180 5710. / mm 057. / m Recherche u iamère inérieur pour un gain e pois e 50 % Dans le ableau résumé, on remarque pour un gain e pois e k g θ 50 %, il fau : k 08.. 179. 179. ( 1 k ) Gθ ( ) 110. 1 08. 80000 0. 00001 7 mm 0 mm k 0. 8 0 18 mm 180 mm i i Remarque : Avec les iamères e 0 mm exérieur e 180 mm inérieur, nous n avons pas un gain e 50 % 8 Applicaion 6.8. Un arbre creux e iamère exérieur e 50 mm e e iamère inérieur e 0 mm, a une longueur e 1.50 m. a) Calculer le moule e orsion e la secion roie. b) Sachan que la conraine angenielle es e 0 N/mm, calculer le couple moeur ransmis par ce arbre. c) Déuire u résula précéen la puissance ransmise sachan que la viesse e roaion es e 100 r/min. ) De quel angle ournen les secions exrêmes, l une par rappor à l aure? (Prenre G 80000 N mm ). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.16 -
Soluion : a) oule e orsion I 0 ( i ) ( 50 0 ) 6 65 mm b) Couple ou omen e orsion ( ) 0. 1 k 0 0. 50 1 50 0 800 Nmm Nm c) Puissance ransmise P n 100 ω 55669 55. 7 kw 0 0 ) Angle e orsion θ 10. k G θ ( 1 ) 800 10. 0. 000015 ra mm 0 50 1 50 80000 180 180 [ m] θ [ ra mm] 1000 0. 000015 1000 0. 877 m Déviaion sur la longueur e l arbre : θ To 0877. 15. 11. 1. Applicaion 6.9. Un arbre creux e iamère exérieur e 10 mm e e iamère inérieur e 100 mm, a une longueur e m. Il ourne à la viesse e 180 r/min. Un sysème e mesure sroboscopique inique un angle e orsion e enre les eux exrémiés e l arbre. Déerminer la puissance ransmise e la conraine e orsion maximale, prenre G 77 GPa. Soluion : a) Angle relaif e orsion θ [ ] θ [ m] 0. 0175 ra m l 180 180 b) Couple ou momen e orsion 01. 1 k Gθ ( ) 100 01. 10 1 10 77 000 0. 017510 17. 10 Nmm 17. 10 + 7 + Nm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.17 -
c) Puissance ransmise n + 180 P ω 17. 10 7000W 0 0 ) Conraine maximale max 51. ( 1 k ) + 7 17. 10 100 10 1 10 8. 5 N mm Applicaion 6.10. Esimer la conraine maximale e l angle oal e orsion e l ensemble es ubes un forage pérolier, lorsque la profoneur aeine par le répan es e 000 m e que le couple e orsion corresponan es e 0 knm. Le rain e ubes vissés les uns aux aures es assimilable à un ube unique e iamère exérieur 115 mm e e iamère inérieur e 9 mm. Soluion : a) Conraine maximale 000010 max 51. 6. 7 N mm ( 1 ) k 9 115 1 115 b) Angle e orsion l 0000000 000000 ϕ 10. 10. 98. 6 ra ( 1 ) k 9 G 115 1 115 80000 Soi l équivalen e 15.7 ours! R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.18 -
6.6. Applicaions 6.6.1. Torsion un arbre muni une rainure e clavee Déerminaion u iamère un arbre e ransmission pourvu une clavee longiuinale. Nous parirons e l équaion fonamenale e la orsion pour éerminer le iamère e l arbre. max W Il s agi, mainenan e éerminer le moule e résisance en orsion libre W. fig 6.15. - Nous pourrions prenre W corresponan à un isque muni une rainure e clavee [voir ableau en annexe], mais nous remarquons que nous avons rois inconnues : le iamère, la largeur a e la rainure e clavee ainsi que sa profoneur. En fai, les imensions es clavees longiuinales (onc les rainures) son normalisées en foncion u iamère e l arbre [voir ableau en annexe]. E lors un pré-imensionnemen on peu ere que la largeur e la rainure a es, environ, le quar u iamère, c es-à-ire : a 05.. De plus, la profoneur e la rainure es, environ, la moiié e la largeur, c es-à-ire a. De plus, nous pouvons, ès à présen enir compe e l effe enaille [voir concenraion e conraine ], e nous supposerons que la secion uile soumise à orsion es une ellipse (voir figure ci-conre). Le moule e résisance en orsion libre une ellipse éan égal à : fig 6.16. - W ( ellipse ) p 16 (éq. 6.105) Noaions : p le gran axe e l ellipse (c es-à-ire le iamère le l arbre) le pei axe le l ellipse mm mm e, ans nore cas : p a 05. 075. où : 075. W ( ellipse ) 16 e : 16 max 075. e onc : 16 08. (éq. 6.109) 075. Dès lors, connaissan le iamère e l arbre e ransmission on recherchera les imensions R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.19 -
exaces e la rainure e clavee (largeur a e profoneur ) pour vérifier, à l aie cee fois-ci u moule e résisance corresponan à un isque oé une rainure e clavee, si on ne épasse pas la valeur e la conraine e orsion issible. Applicaion 6.11. Un moeur élecrique une puissance e 10 kw ourne à la viesse e 750 r/min. Son arbre es en acier XC e limie élasique égale à 0 N/mm. Déerminer son iamère si on pren un coefficien e sécurié égal à. e sachan que celui-ci es muni une rainure e clavee. Soluion : Recherche e la conraine issible Re 0 058. 058. 80 N mm S. Recherche u momen e orsion 0 P 0 10 000 17. Nm 17. 10 n 750 Nmm Recherche u iamère 17. 10 08. 08.. 5 mm 80 Dimension e la rainure e clavee normalisée : a 8 mm e mm Vérificaion : recherche u moule e résisance W ( ) a 16 5 16 ( ) 8 5 5 786mm recherche e la conraine maximale réelle 17. 10 max 57. 80 N mm OK W 786 La ifférence es relaivemen grane pour enir compe es concenraions e conraine. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.0 -
6.6.. Torsion un profilé à parois minces Par éfiniion, une barre es à parois minces si son épaisseur (E es largemen inférieur à ses aures imensions (e l orre e 1/10 ème ). On isinguera les profilés ouvers (les quare premiers) e les profilés fermés (secions en caissons) (les rois erniers). Nous supposeron, comme nous l avons fai pour les secions non circulaires, que la orsion es libre. A) Profilés ouvers Les conraines son praiquemen réparies linéairemen suivan l épaisseur u profil. fig 6.17. - Exemples e barres à parois minces. On peu émonrer que ans le cas e profilés composés (formés élémens recangulaires épaisseurs inégales) que les conraines maximales les plus imporanes se évelopperon au milieu es côés posséan l épaisseur la plus grane. Soi : max 1 k 1 e max ( li ei ) (éq. 6.117) Noaions : l i e i e max k 1 longueur épaisseur corresponane à la longueur épaisseur maximum coefficien e forme mm mm mm - k 1 115. k 1 10. k 1 100. pour les profilés laminés en : T, U ou L pour les profilés laminés en : I, H pour les aures profilés laminés. De plus, ans la mesure où la secion possèe un ou plusieurs angle(s) renran(s), il y a appariion e concenraion e conraines, e onc la conraine à l enroi e ces angles se calcule par : * K max (éq. 6.118) Noaions : * max K la conraine au roi e l angle renran. la conraine onnée par (éq. 6.117). le faceur e concenraion e conraine N/mm N/mm - Ce faceur K es un faceur sans imension supérieur à 1 e auan plus imporan que le rayon e raccoremen r es faible vis-à-vis e l épaisseur e. K pouvan êre éerminer par : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6.1 -
B) Profilés fermés e K 17. (éq. 6.119) r Pour les secions fermées à parois minces, on uilise la formule e Bre afin e calculer l inerie e orsion libre : I A A s si es () e i (éq. 6.10) [m ] fig 6.18. - Noaions : A s i e i aire limiée par la ligne moyenne e la secion longueur e la ligne moyenne i épaisseur corresponane m m m Quan au moule e résisance en orsion libre W il peu ce calculer suivan la formule suivane : W A emin (éq. 6.11) [m ] Noaion : e min l épaisseur minimale u profilé m La conraine e orsion ainsi que l angle maximal e orsion se éerminen par les formules classiques ( 6..). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -
Applicaion 6.1. Ci-conre une coupe une es poures un pon roulan, bipoure, e 1 onnes e une porée e 1.8 m. En enan compe e la charge, es ivers pois mors, ainsi que e la charge ynamique, on peu esimer la charge sur un gale comme éan égal à 0.5 kn ( Pv 80, 5 kn ). La charge ynamique horizonale peu êre esimée à Ph 01. Pv. Quan au pois e la passerelle F il es égal à.8 kn. Calculer la conraine e la éformaion maximum e cee poure en caisson. fig 6.19. - Applicaion 6.1. Soluion : Calcul e l aire limiée par la ligne moyenne e la secion 6 A + mm + 1 0 700 168 0 6 1 0 + 700 + si si Calcul e : e e + 76. 7 1 6 i i Calcul u momen inerie e orsion libre A 168 0 I 081610 mm 0816. cm si 76. 7 e i Calcul u moule e orsion libre W A e 1680 6 016 8 mm 016 cm min Recherche u momen e orsion maximum omen e orsion û à la pression es gales 1 Pv 118 + Ph 10 80500 15 + 01. 80500 10 1 86900 Nmm omen e orsion û au pois e la passerelle F 600 800 600 880000 Nmm omen e orsion résulan cas 1 Pleine charge e sans passerelle : o 1 1 86900 Nmm cas Pleine charge e avec passerelle : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -
o 1 186900 880000 9 98900 Nmm cas Sans charge, chario à une exrémié e avec passerelle : o 880000 Nmm D où : max 1 186900 Nmm Conraine maximale e orsion max 1 86900 max 68. N mm W 0168 Angle maximum e orsion max 180 ( 1 86900 ) 1800 ϕ l 0. 0779 GI 80 000 081610 Remarques : 1) Le momen e orsion es repris par les exrémiés. Pour le calcul e l angle e orsion il fau onc prenre la moiié u momen e orsion maximum. ) Dans le même éa espri, la longueur es onc la moiié e la porée. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page - 6. -