Vecteurs 2 février 2014 X. Hallosserie, lcée Blaise Pascal http://rallmaths.free.fr/ Table des matières 1 Activités 2 1.1 Les patineurs...................................... 2 1.2 Par le milieu...................................... 3 2 Translation et vecteur 3 3 Égalité de 2 vecteurs 4 4 Opérations sur les vecteurs 5 4.1 Somme de de 2 vecteurs................................ 5 4.2 Opposé et différence de 2 vecteurs.......................... 6 5 Coordonnées d un vecteur dans un repère 6 5.1 Définition........................................ 6 5.2 Opérations et coordonnées de vecteurs........................ 7 5.3 Coordonnées du vecteur AB.............................. 8 6 Vecteurs colinéaires et applications 9 6.1 Produit d un vecteur par un réel........................... 9 6.2 Colinéarité de 2 vecteurs................................ 9 6.3 Applications à la géométrie.............................. 10 1
1 Activités 1.1 Les patineurs Dessiner le patineur bleu après son glissement jusqu en B. Dessiner le patineur rouge après un glissement de même direction, même sens et même longueur que celui du patineur bleu. A Regrouper les patineurs 2 par 2 de façon que l on passe de l un à l autre par un mouvement de translation. 1 2 3 4 B 5 6 7 8 9 12 10 11 D après Odssée 2de - Hatier - 2 http://rallmaths.free.fr/
1.2 Par le milieu Construire l image du triangle EFG en utilisant la règle suivante : Pour obtenir M l image du point M : Construire le milieu de [BM]. M est le smétrique de A par rapport à ce milieu. A B G E 2 Translation et vecteur F Définition 1 Soient A et B deux points du plan. À tout point M on associe l unique point M tel que [AM ] et [BM] aient le même milieu. On dit que M est l image de M par la translation qui envoie A sur B, ou par la translation de vecteur AB. ( AB représente le déplacement qui envoie A sur B. On dessine une flèche allant de A jusqu à B). A est l origine du vecteur AB et B son extrémité. Remarques Le vecteur AB se caractérise par : Une direction (celle de la droite (AB)) ; Un sens (de A vers B) ; Une norme (la distance AB). Lorsque l origine et l extrémité d un vecteur ne sont pas repérés par des points particuliers, on peut nommer ce vecteur par une simple lettre minuscule : u par exemple. 3 http://rallmaths.free.fr/
Définition 2 Si les points A et B sont confondus, la translation qui envoie A sur B est la translation de vecteur nul. On note 0 ce vecteur. Exercice 1 La figure ci-contre est constituée de parallélogrammes. Déterminer l image de chacun des points A et E par la translation de vecteur : AB GI DH C E G A D F H B I 3 Égalité de 2 vecteurs Propriété 1 Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan. AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Remarque Attention à l ordre des points! Voir définition... Exercice 2 La figure ci-contre est constituée de carrés. Donner dans chaque cas le vecteur : égal à BD d origine E ; égal à HI d extrémité B ; égal à EC d origine G ; égal à ID d extrémité A. G F E H I D A B C Remarques 2 vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont : la même direction ; le même sens ; la même norme. 4 http://rallmaths.free.fr/
Propriété 2 M est le milieu de [AB] équivaut à AM= MB. Remarque AM = MB ne suffit pas! 4 Opérations sur les vecteurs 4.1 Somme de de 2 vecteurs Propriété 3 (Relation de Chasles) Soient A, B, C trois points quelconques. AC= AB + BC Remarque On doit avoir le même point de chaque côté du signe +! Appliquer la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC revient à appliquer la translation de vecteur AC. Exercice 3 Simplifier à l aide de la relation de Chasles : EF + FG= DL + MD= RS + SQ + QT= Propriété 4 (Règle du parallélogramme) Soient A, B, C trois points quelconques. AB + AC= AD où D est le troisième sommet du parallélogramme ABDC. On peut se ramener à la relation de Chasles en remplaçant AC par BD. 5 http://rallmaths.free.fr/
Exercice 4 La figure ci-contre est un assemblage d hexagones réguliers. Donner un vecteur égal à : AD + DP= MK + MO= GK + GE= CN + CF= ON + IP= DF + AN= A M N C B O L K D E P I J F G H 4.2 Opposé et différence de 2 vecteurs Définition 3 On note BA l opposé du vecteur AB. On peut écrire BA= AB Remarques L opposé du vecteur u est le vecteur u. AB + BA= AA= 0. Définition 4 Soient u et v deux vecteurs. La différence des vecteurs u et ( v est égale à : u v= u + ) v. Exemple : EF GF= EF + FG= EG (d après la relation de Chasles...) 5 Coordonnées d un vecteur dans un repère 5.1 Définition On se place dans un repère (O ; I, J) du plan. 6 http://rallmaths.free.fr/
Définition 5 Soit u un vecteur. Les coordonnées du vecteur u dans le repère (O ; I, J) sont les coordonnées du point M, image de O par la translation de vecteur u. On note M(x; ) et x u Propriété 5 Deux vecteurs ( sont ) égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. x u = x v équivaut à x = x et =. 5.2 Opérations et coordonnées de vecteurs Propriété 6 Soient deux vecteurs u Opération Somme Opposé Différence coordonnées x + x u+v + x v x x u-v x et v x : Exemples : Déterminer les coordonnées des vecteurs u et v, u + v et u v dans le repère (O ; I, J) : u J O I v x 7 http://rallmaths.free.fr/
5.3 Coordonnées du vecteur AB Propriété 7 Si A(x A ; A ) et B(x B ; B ), alors AB xb x A. B A Remarque À retenir : extrémité moins origine! AB= AO + OB= OB OA... Exercice 5 Lire ou calculer les coordonnées des vecteurs AB, CD, EF, GH dans le repère (O ; I, J) ci-dessous. A E H J F G O I x B C D 8 http://rallmaths.free.fr/
6 Vecteurs colinéaires et applications 6.1 Produit d un vecteur par un réel Définition 6 Soit un vecteur x u et k un réel. kx Le vecteur de coordonnées est est noté k u. k Exercice 6 Dessiner les vecteurs a = 2 u, b= 2 u, c = 3 2 4 v et d= v, 3 u v J O I x 6.2 Colinéarité de 2 vecteurs Définition 7 Deux vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un nombre k tel que v= k u ou u= k v. Remarques Si k = 0 alors k u= 0 donc le vecteur nul 0 est colinéaire à tout autre vecteur. Propriété 8 Soient deux vecteurs x u et x v. u et v sont colinéaires si, et seulement si, x x = 0. Si l un des 2 vecteurs est nul, la condition est vérifiée (soit x = = 0, soit x = = 0). Supposons que les vecteurs u et v soient non nuls. S ils sont colinéaires, il existe un réel k tel que u= k v. On a alors x = kx et = k et donc x x = kx k x = 0. Réciproquement, supposons que les coordonnées vérifient la relation x x = 0. Montrons que les vecteurs sont colinéaires. 9 http://rallmaths.free.fr/
Le vecteur v est non nul donc l une de ses coordonnées est non nulle, supposons que x 0. Posons alors k = x x. On peut alors écrire k = x x. Or si x x = 0 on a x = x. Donc k = x x = x x =. En résumé on a bien x = kx et = k. Donc u= k v, donc les vecteurs u et v sont colinéaires. Exemples : 5 u et v 3 4 u et v 2 15 sont colinéaires. 9 7 3 ne sont pas colinéaires. 6.3 Applications à la géométrie. Propriété 9 Soient A, B, C, D quatre points distincts 2 à 2. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. xb x A AB B A et CD En supposant que x A x B et x C x D : équivaut à : xd x C sont colinéaires si, et seulement si : D C (x B x A )( D C ) = ( B A )(x D x C ) (x B x A )( D C ) = ( B A )(x D x C ) D C x D x C = B A x B x A Les droites (AB) et (CD) ont le même coefficient directeur et sont donc parallèles. Si x A = x B alors ( B A )(x D x C ) = 0 et soit B A = 0, ce qui est impossible car A est distinct de B, ou x D x C = 0 et les droites (AB) et (CD) sont parallèles à l axe des ordonnées donc parallèles entre elles. Propriété 10 Soient A, B, C trois points distincts 2 à 2. Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Même démonstration : les droites (AC) et (AB) ont le même coefficient directeur et passent toutes les 2 par le point A, elles sont donc confondues et A, B, C sont alignés. 10 http://rallmaths.free.fr/