ANALYSE. 4 ème année. 1.1 Calcul intégral 1

ANALYSE ème ée. Clcul itégrl.. Le smole Σ.. Défiitios.. Propriétés de l itégrle défiie 7.. Le théorème fodmetl de l lse..5 Primitives..6 Méthodes d itégrtio prticulières *..7 Applictios du clcul itégrl 5..8 Ce qu il fut solumet svoir 9. Logrithmes et epoetielles.. L foctio logrithme turel.. Logrithmes e se quelcoque 5.. L foctio epoetielle 9.. Epoetielle e se quelcoque 5..5 Étude de foctios ep et log * 56..6 Ce qu il fut solumet svoir 59. Équtios différetielles * 6.. Itroductio * 6.. Résolutio d équtios différetielles du er ordre * 6 Picchioe Serge -

.. Iterpréttio géométrique des équtios différetielles * 68.. Applictios u scieces epérimetles * 7. Solutios des eercices 76 Picchioe Serge -

AVANT-PROPOS Ce documet été coçu pour l eseigemet des mthémtiques dispesé u Collège de Geève e qutrième ée, e lse. Cel dit, il peut servir de support de cours pour d utres filières d eseigemet. Vous trouverez ds ce chpitre de l théorie (défiitios, théorèmes, démostrtios, etc.) et des eercices qui vous permettrot progressivemet de vous fmiliriser et de mîtriser les diverses ottios et cocepts mthémtiques. À l fi du chpitre se trouvet les solutios des eercices, des ctivités et des Q.C.M. à l eceptio de ceu fist iterveir des démostrtios. Les eercices ccompgés d u stérisque (*), sot des eercices supplémetires de développemet destiés, pr eemple, u élèves t choisi l optio, iveu vcé (MA). Pour mieu repérer les poits importts de l théorie, les défiitios sot ds u ecdré lc et les théorèmes ds u ecdré grisé. Pour vérifier votre iveu de compréhesio à l fi de l étude d u sous chpitre, vous pouvez vous référer u sectios : «Ce qu il fut solumet svoir» et «Questioire à choi multiples». Vous pouvez téléchrger ce documet u formt PDF à l dresse suivte : http://disciplies.sismodi.ch/ma/espce-perso-profs/serge-picchioe Pour fiir, u grd merci u collègues de divers étlissemets scolires qui ot prtgé leurs cours : Nicols Chl, Yves Drevous, Berrd Gisi, Ali Klopfestei, Murizio Llict, Berrd Leggehger, Romit Ng Guchs, Adrie Schleiig et Serge Zoutter. BON TRAVAIL! Picchioe Serge -

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. Clcul Itégrl.. Le smole Σ Défiitio f(k) sigifie «somme pour l'idice k llt de jusqu'à de f(k)» k= Avec :, et k des omres etiers. f(k) : epressio mthémtique fist iterveir k (e tt que omre ou idice). Eemples ) c) e) k = + + +... +9 + ) k= k= k= + + +... + d) k= k= = + + +... + = = k= fois k = + +... +9 + k(k ) = ( ) + ( ) + ( ) = (idépedt de k) Eercice Clculer/développer les sommes suivtes : ) 5 i ) i= i c) i= 6 i d) i= 6 i= i e) 6 ( i + ) f) i= 8 i g) i= 8 (i ) h) ( ) i= k= k i) 8 j) k= 7 5 k ( ) ck k= k) c i i i= + l) f ( + k h ) k= Eercice Écrire à l ide de l ottio Σ : ) + + 5 +... + 7 ) + + + + + + + 8 6 6 8 56 c) c c c c 5c5 6c6 + + d) f ( c ) f ( c ) f ( c ) Eercice (Propriétés de Σ) ( - ) + ( - ) + ( - ) Les églités suivtes sot-elles correctes? (Idictio : remplcer l ottio somme pr l ottio vec des poitillés : k = + + +... + ) ) ( ) k k k k k= k= k= k= + = + ) = e) d) ( ) k k k k k= k= k= c k = c k c) ( k) = k k= k= k= k= m m c= c f) k= + = vec<m k k k k= k= + k= P.S. / - Clcul itégrl / N-A

.. Défiitios Cosidéros ue foctio f cotiue et positive sur [;]. Prolème f Clculer l ire A du domie situé sous le grphique de l foctio f, u-dessus de l e des et etre les droites = et = ( < ). A Idée I Approimer l'ire A pr l'ire d'ue série de rectgles. O frctioe l itervlle [;] e sous-itervlles dot l logueur représete l se des rectgles, et l o choisit u c i ds chque sous-itervlles dot l imge f(c i ) représete l huteur du rectgle. = < < < = f(c ) f(c ) f(c ) f = c c c = Ds cet eemple, ous vos pproimé l'ire A pr l'ire de rectgles : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A f c ( - ) + f c ( - ) + f c ( - ) = f c = f c Δ i i i i i i= i= oté Δ i Remrque : Il est clir que ds cet eemple l'pproimtio de A est grossière. Idée II Augmeter idéfiimet le omre de rectgles pour être plus précis. f f = rectgles = 6 rectgles Remrque : Plus le omre de rectgles est grd, meilleure est l'pproimtio de A. Si ous preos rectgles, ous uros : A f(c ) Δ vec = < < <..< - < = et Δ i = i i > i= i i Ue telle somme est ppelée somme de Riem ; elle déped évidemmet de f, mis ussi du choi de l se des rectgles (le choi des,,,...) et le choi des omres c i pour le clcul de l huteur des rectgles f(c i ). P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Activité I Soit l foctio f défiie pr f ( ) =, = et =. ) O divise l itervlle [ ; ] e sous-itervlles de mêmes logueurs. Clculer l somme de Riem i= Proposer ue illustrtio du prolème. f ( c i ) Δ i e pret les i c u milieu de [ ] ; i i ) O divise mitet l itervlle [ ; ] e 5 sous-itervlles de mêmes logueurs. Clculer l somme de Riem 5 i= Proposer ue illustrtio du prolème. f ( c i ) Δ i e pret les i c u milieu de [ ] ; i i P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Pour oteir l'ire ecte A ous llos predre l limite de l somme des ires de ces rectgles lorsque leurs ses devieet ussi petites que l'o veut, doc lorsque les Δ i tedet vers Δ. Cel sigifie que le omre de rectgles ted vers l'ifii, et doc que ted vers ( i ) l'ifii ( ). Défiitios L répose à otre prolème est doc : A= lim f(c ) Δ i = i i ) Si lim f(c i) Δi eiste, et qu'elle est l même pour toutes les sommes de Riem, o dit i = que l foctio f est itégrle (u ses de Riem) et o ote : ) f()d est ppelé itégrle défiie de f, depuis jusqu'à. f()d= lim f(c ) Δ i = i i Eemple : O cherche à clculer et f()d lim f(c i) = Δi pour i = f ( ) = ; Δ i = = (équidistt), i ci = + i = i =,,,..., = ; = Illustrtio : f() f Clculos déjà i i i= i= f(c i) Δi : i= i f(c ) Δ = f = + + +... + =... + + + +.. f(/) f(/) f(/) = / / /.. = / / /.. / (développemet ) (mise e évidece de/) = + + +... + ( + )( + ) = 6 = + + 6 (lgère) (formule de l somme des crrés ) (lgère) Filemet : d= lim + +, = = 6 P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Remrques ) Le sige smolise u S stlisé pour somme. ) f ( d ) est u omre réel (ps ± ). Ce est ps ue foctio. c) Ds l epressio f ( d ), est ppelée l vrile d itégrtio, les omres et les ores d'itégrtio ; est l ore iférieure, est l ore supérieure. d) Toutes les foctios e sot ps itégrles (u ses de Riem). Théorème (Cuch) Si l foctio f est cotiue sur [;] lors f est itégrle sur [;]. e) Certies foctios discotiues peuvet églemet être itégrles, pr eemple les foctios e esclier. f) f ( d ) = f( tdt ) (l itégrle défiie e déped ps du om de l vrile d itégrtio) g) O peut se liérer de l cotrite < et evisger deu cs : Si =, o défiit f( ) d= Si >, o défiit f ( ) d = f( ) d h) O costte isémet à trvers l eemple précédt que le clcul de l itégrle défiie est difficile ; o fit ppel à u certi omre d stuces ou de coissces lgériques comme pr eemple ici, l formule de l somme des crrés des premiers omres turels. i) Pour pouvoir utiliser cette otio d itégrle défiie de fço efficce, il ous fudr trouver u moe plus simple pour l clculer. Ce moe, que ous llos étudier plus loi, est le théorème fodmetl de l lse. Eercice ) Clculer ( ) si : ) c) f ( ) f ()d = lim f ci Δi vec i = = ; : = f ( )= ; : = Δ i = c = + i pour i =,,,...,, i ; := ) f ( )= ; : = ; := ; := d) ( + ) Idictios : + + +... + = et f ( )= ; : = ; : = ( + ) + + +... + = ) Quelle utre méthode simple peut-o utiliser pour clculer l itégrle défiie du poit )? ) Quelle cojecture (ffirmtio que l'o pese être vrie) peut-o fire qut à d? P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

Questio Si l foctio f est cotiue sur [;], f ( d ) ser-t-elle toujours positive? er cs : Si f est cotiue et positive sur [;] c est à dire f() [ ; ] lors f( ) d et représete l ire du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. Eplictios : Nous vos clculé l'ire des rectgles vec le produit f ( ci) Δ i. Si f est positive sur [;] o f( ci ) et Δ i = i i > pour i=,,,..., ce qui implique que f( c ) Δ pour i=,,,..., et doc i i i Δ i = i = lim f (c ) f ()d f(c i ) i- c i i Δ i > f ème cs : Si f est cotiue et égtive sur [;] c est à dire f() [ ; ] lors f( ) d et f( ) d représete l ire du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. Eplictios : Nous vos clculé l'ire des rectgles vec le produit f ( c ) Δ. Si f est égtive sur [;] i i o f( c i ) et Δ i = i i > pour i =,,,..., ce qui implique que f( c ) Δ pour i =,,,..., et doc i Δ i = i = lim f (c ) f ()d i i f(c i ) Δ i > i- c i i Remrque f Si f chge de sige sur [;], lors l ire A du domie hchuré situé etre le grphique de l foctio f, l e des et etre les droites = et = est : c A= f( d ) f ( d ) c c f P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

Eercice 5 ) Clculer les itégrles défiies ci-dessous à l'ide d'ue représettio grphique (grphique de l foctio, ores et es). Eemple : ) e) Forme : trigle ( ) d = = 5d ) 6 d c) ( + ) d d) d d f) ( + ) d g) ( + ) d h) d = f() = = - f ) Clculer l ire A du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. ) f()= - ; = ; = ) f()= - + ; = - ; = c) f()= - ; = - ; = d) f()= - ; = ; =.. Propriétés de l itégrle défiie Soiet f et g deu foctios itégrles sur [;] et k, lors : ) k f( ) d= k f( ) d ) ( ( ) ( )) = ( ) ( ) ) ( f ( ) + g ( )) d= f( d ) + gd ( ) c c ) f ( d ) = f( d ) + f( d ) lors f( ) d 5) Si f ( ) [ ; ] 7) Si f ( ) g( ) [ ; ] f g d f d gd 6) Si f ( ) [ ; ] lors f ( d ) gd ( ) lors f( ) d Eemple Scht que : d =, d = et d ( P) ( ) Clculos : + d = d + d + d ( P) Hp. Alg. d d d = + 8 = + = + = = 6 Remrque ( f ( ) g ( )) d f( d ) gd ( ) et f( ) d f ( ) d / g ( ) d g ( ) P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

Démostrtio ou eplictio des propriétés ) k f ()d = lim k f (c ) Δ = lim k f (c ) Δ i i i i Défiitio Propiété de l'itégrle i= des sommes i= = k lim f (c ) Δ = k f ()d i i Propiété Défiitio des limites i = de l'itégrle Illustrtio : L'ire grise = l'ire hchurée. f f f ( ) d = f ( ) d ) ( ) (f() + g())d = lim f(c ) + g(c ) Δ = i i i Défiitio de l'itégrle i = = lim f(c i) Δ i + g(c i) Δ i = lim f (c i) i g(c i) i Distriutivité Propiétés Δ + Δ i= des sommes i= i= = lim f (c i) Δ i + lim g(c i) Δ i = f ()d Propiétés Défiitio + g()d des limites i= i= de l'itégrle Cette propriété se lit : «L'itégrle d ue somme est égle à l somme des itégrles». Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f et g positives). Illustrtio : f+g g f L'ire sous l coure f + l'ire sous l coure g = l'ire sous l coure f + g. ) Mêmes rgumets que e ). ) Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f positive). Illustrtio : c ( ) ( ) f d f d c f ( ) + ( ) = ( ) c c f d f d f d P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

5) et 6) Déjà étudié précédemmet. 7) Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f positive). Illustrtio : g f lors f ( d ) gd ( ) Si f ( ) g( ) [ ; ] Eercice 6 Scht que f ( ) d =, f ( ) d = et ( ) ) f ( ) d ) ( ) f d = 8, clculer : f d c) ( ) d) ( ) 8 f d f d Eercice 7 Nous vos vu que : Clculer : ) d = et d =. d ) ( ) c) ( + 6) 7 d d d) ( ) d Eercice 8 Rppel : d = et d =. Clculer les itégrles défiies suivtes ds lesquelles,, c, α, β, γ sot des omres réels, vec l seule coditio <. ) c) cd ) c d c d d) ( α + β + γ ) d e) d Esquisser u grphique! f) π cos( ) d Esquisser u grphique! P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

Eercice 9 Vérifier l iéglité doée pr compriso vec ue utre foctio, ss clculer les itégrles : E revche, esquisser des grphiques peut être très utile! ) c), 5 d < ) d >,5 d) e d π,5 π < si( d ) < π Eercice Eprimer à l'ide d'ue seule itégrle : ) 9 5 f ( d ) + f( d ) ) 5 f ( d ) f( d ) 6 e c) f ( d ) f( d ) c d d) c 6 f ( d ) + f( d ) e) f () t dt + () f t dt f) 6 + h f (t)dt f(t)dt Théorème de l moee Si f est cotiue sur [;], lors il eiste u mois u omre c [ ; ] tel que f ( d ) = f( c) ( ) Illustrtio f f(c) Remrques c - ( ) f d ) L iterpréttio géométrique que l o peut fire de ce théorème est le suivt : «f(c) est l huteur d u rectgle de lrgeur - dot l ire égle l'ire sous l coure f, l e des et etre = et =». ) L vleur c dot prle le théorème de l moee peut e ps être uique. c) O ppelle f(c) l vleur moee de f sur [;]. c) Ue foctio discotiue e stisfit ps forcémet l coclusio du théorème de l moee. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Démostrtio ) Si f est ue foctio costte, le théorème est évidet. ) Soit f ue foctio o costte : Comme f est cotiue sur [,] fermé, le théorème des ores permet de coclure qu il eiste u omre u [ ; ] tel que f(u) = m (miimum sur [;]) et u omre v [ ; ] tel que f(v) = M (mimum sur [;]). Illustrtio f M=f(v) m=f(u) ( ) f d u v (propriété 7 des itégrles) O peut isi écrire : md f( ) d M d m ( ) f( d ) M( ) (clcul d itégrles) m f( ) d M (lgère) f ( u) f( ) d f( v) = m = M Comme f est cotiue sur [,] fermé, le théorème des ores permet ussi de coclure que l foctio pred toutes les vleurs possiles etre f(u) = m et f(v) = M c'est-à-dire que f([;]) =[m;m] et doc l vleur f ( d ). Il eiste doc u c [ ; ] tel que : f ( c) = f( d ) f( d ) = f( c) ( ) Eercice Trouver u omre c qui stisfit l coclusio du théorème de l moee, puis détermier l. ; vleur moee de f sur [ ] ) d= 7 ) 9 d = c) ( + ) d = 6 d) ( + ) d = e) 8 + d = 5 f) 8 d = P.S. / - Clcul itégrl / N-A

.. Le théorème fodmetl de l lse Activité II ) Soit f(t) = k k k F() f t i) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ii) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). iii) Que costte-t-o? ) Soit f(t) = t f F() t i) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ii) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). iii) Que costte-t-o? P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Théorème fodmetl de l lse (Newto 6-77 et Leiiz 66-76) Soit f ue foctio cotiue sur [ ; ]. O défiit ue ouvelle foctio F pr F( ) f( t) dt Alors F est dérivle et F '( ) f ( ) [ ; ] =. = pour [ ; ] Illustrtio f Remrque Ce résultt motre que l foctio F qui clcule «l ire» située sous le grphique de l foctio f, u dessus de l e des et etre les droites t = et t = est ue foctio qui, dérivée, doe l foctio f. Démostrtio O doit démotrer que : F'() = lim = f () [ ;] Soit h >. h F() F( + h) F() h f t f(c) F( + h) F() h F( + h) F( ) représete l'ire sous l coure f de à +h, mois l'ire sous l coure f de à, c'est à dire l'ire sous l coure f de à +h. F( + h) F() F'() = lim (défiitio de l dérivée de F) h h + h f(t)dt f(t)dt = lim h h (défiitio de l foctio F) + h = lim f (t)dt h h (propriété des itégrles) = limf (c) (théorème de l moee vec < c< + h) h = lim f (c) (comme < c< + h, si h lors c ) c = f() (f est cotiue) c +h t P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eercice Soit l foctio f(t) = t + ) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). f c) Que costte-t-o?..5 Primitives F() t Nous svos commet trouver, lorsque c est possile, l foctio dérivée d ue foctio f. Ce processus est ppelé «dérivtio d ue foctio». Le théorème fodmetl de l lse motre l itérêt du prolème iverse qui cosiste à trouver ue ouvelle foctio F dot f serit l dérivée. Ce processus s ppelle «itégrtio d ue foctio». L défiitio suivte e fit qu ttriuer à F u om prticulier. Défiitio Toute foctio F telle que F'( ) = f( ) [ ; ] est ue primitive de f sur [ ; ]. Illustrtio D D D D D... F f f' f''... D = Dérivtio I I I I I I = Itégrtio Eemples ) F ( ) 7 = + est ue primitive de f ( ) = cr ( ) ' F'( ) = + 7 = = f( ) ) F( ) cos( ) F'( ) = cos( ) = si( ) = f( ) = est ue primitive de f() = si() cr ( ) ' c) + F( ) = est ue primitive de f() = /{ } + ' + + ' + cr F'( ) = = ( ) = ( + ) = = f( ) + + + Remrque Selo le théorème fodmetl de l lse, toute foctio cotiue sur [ ; ] dmet l eistece d ue primitive sur [ ; ]. Activité III i) Dériver les foctios suivtes : F( ) = G( ) = + 5 H ( ) = ii) Que peut-o remrquer? iii) Peut-o e déduire ue règle géérle? P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Théorème Deu primitives d ue même foctio e diffèret que d ue costte. Autremet dit, si F et G sot deu primitives de f sur [ ; ], lors G ( ) F ( ) C [ ; ] et C = +. Démostrtio Soit F ue primitive de f lors F'( ) f( ) [ ; ] Soit G ue primitive de f lors G'( ) f( ) [ ; ] =. =. Doc F'( ) = G'( ) G'( ) F'( ) = (lgère) ( G F) ' ( ) ( ) = (propriétés des dérivées) G ( ) F ( ) = C (corollire du thm. de Lgrge) G ( ) = F ( ) + C (lgère) Défiitio / Nottio L esemle de toutes les primitives d ue foctio f sur [ ; ] se omme itégrle idéfiie de f et se ote f ( ) d. ' Autremet dit : f ( ) d= F( ) + C ou ( F( ) + C) = f( ) [ ; ] Eemples ) ( + ) d = d+ d = + + C cr ' + + C = + cr ( ) ' ) cos( ) d = si( ) + C si( ) = cos( ) d) + 5 + 5 d = d = d = + C = + C cr 5 + C = 5 ' e) + cr d = d = + C = + C = + C + + C = ' ( t + ) f) ( t+ ) dt = + C = ( t+ ) + C cr ( t + ) + C = ( t + ) ' Remrque Ue itégrle idéfiie est u esemle de foctios lors qu ue itégrle défiie est, comme ous l vos déjà vu, u omre réel. P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

Théorème de Newto-Leiiz (lie etre primitives et clcul d ue itégrle défiie) Soit f ue foctio cotiue sur [;] et F ue primitive de f sur [;]. Alors, o : ftdt () = F ( ) F ( ) Eemples ) ) c) ( ) d= = = π π / π si( d ) = cos( ) = cos ( cos()) = + = (+ ) cos( + ) d = si( + ) = si() Remrques ) Nous vos utilisé l ottio suivte : F() - F() = F() ) Selo le théorème fodmetl de l lse, toute foctio cotiue sur [ ; ] dmet l eistece d ue primitive sur [ ; ] mis, mlheureusemet, certies foctios cotiues ot des primitives très difficiles à trouver, voire o eprimles à l ide des opértios usuelles, comme pr eemple pour l foctio e. Il 'est doc ps toujours possile d'ppliquer le théorème de Newto-Leiiz pour détermier l vleur d'ue itégrle défiie. Cepedt o peut toujours pprocher, l itégrle défiie d ue foctio cotiue à l ide de l défiitio des sommes de Riem (voir déut du chpitre). Démostrtio O sit que deu primitives e diffèret que d ue costte : G ( ) = F ( ) + C De plus, pr le théorème fodmetl o peut écrire : f ( tdt ) = F ( ) + C Si =, lors = f ( tdt ) = F ( ) + C C= F ( ) f( tdt ) = F ( ) F ( ) Si =, lors f ( tdt ) = F ( ) F ( ). P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

Eercice Détermier l esemle des primitives des foctios suivtes. + 8 d = d+ 8 d = + 8 + C = + + C Eemple : ( ) ) ( + ) d ) dz z z 5) ) (9 t t + ) dt ) ( ) d 6) ( 8 + ) d ( ) d 7) 7 ( ) d 8) ( + ) d 9) cos( udu ) si( ) d ) 5 ) d ) ( ) du ) d ) ( 5 + ) d 5) ( 5 + 6) 8 6) (( + ) + ) d 7) ( ) d 8) 6 ( + ) 9) ( ) d ) + d ) d d ( )( + ) 5 d ) 5 + d ) d ) 6 ( + ) d 5) d 6) d 7) ( 5) 5 + 6 d 8) d 9) si( ) 9 + d ) + t ( ) d ) cos( ) 5 d ) si ( )cos( ) d ) si( )cos ( ) d ) si( )( cos( )) d 5) + d 6) 5 d + Eercice Clculer les itégrles défiies suivtes. (réposes e vleurs ectes) Eemple : ( ) 65 65 d = d = = = = ) ) ( + ) d ) ( + ) d 5) ( t) dt ) ( + 5 ) v ( ) dv 6) v + d d P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

Suite eercice 7) ) ) 6) + d 8) π si ( )cos( ) π π ( + ) d 9) + 9 d d ) ) π cos( ) d ) π ( ) + π d 7) 9) si ( ) cos( d ) ) π + d 5) ( + t( )) cos ( ) + 5 d 8) 5 (6 + ) d *) d d ( ) ( + ) d + d d Eercice 5 Clculer l ou les vleur(s) de k telle(s) que ( ) Eercice 6 O cosidère l foctio f ( ) = + + représetée ci-dessous. Le théorème de l moee ffirme que : Il eiste u mois u omre c [ ; ] k tel que f ( d ) = f( c) ( ) 5 + d = 8-5 - - ) Estimer à l'oeil ue vleur possile du omre c et f(c). ) Clculer précisémet le omre c et f(c). Y -t-il plusieurs réposes possiles? Eercice 7 Quel est le omre c qui stisfit l coclusio du théorème de l vleur moee pour ;? l itégrle doée et quelle est l vleur moee de f sur [ ] ) d 5 ) 5 + d c) + d d) 6 d P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

Eercice 8 ) Clculer π si( ) d ) Clculer l ire de l surfce délimitée pr l foctio sius et l e horizotl etre et π. Eercice 9 Clculer l'ire de l surfce située etre l prole f ( ) = + + 8 et l'e des. Eercice Clculer l'ire de l surfce détermiée pr l prole f( ) = ( )( + ), l'e des et les droites verticles = et =. Eercice Soit l foctio f défiie pr f ( ) 9 =. ) Clculer les zéros de l foctio. ) Esquisser le grphique de f pour [-,]. c) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = - et =. d) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = et =. e) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = et =. f) L somme des ires A + A + A correspod-elle à ( 9 ) d? Justifier. Eercice Soiet f et g les foctios défiies pr : f ( )= et g ( ) = + Détermier l ire de l surfce omrée limitée pr les coures représett f et g et l e O.. P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

Eercice * O doe l foctio f défiie pr f() = ( -)( - ) ) Détermier les zéros de l foctio f (le grphique est là à titre idictif). ) Détermier le omre réel ( > ) de sorte que l ire du domie D soit égle à l somme des ires des domies D et D. 6 f D - - - - D - D - -6 Eercice * Détermier l epressio lgérique de l cuique f (foctio polomile de degré ) de zéros { ; ;} lorsque l itégrle etre et ommée S vut. Remrque : Le grphique est là à titre idictif. 6 S - -.5.5.5.5 - - f -6 Eercice 5 * O cosidère l foctio f() = si(-). f.75 P ) Détermier l epressio lgérique de l prole P() de sorte que S = S. ) Clculer les coordoées de l'etremum. π π S.5 S.5 π π -.5 -.5 π π -.75 - P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eercice 6 * O cosidère l foctio f() = - + 6 et l droite d qui psse pr l origie O(,) et le poit P( ;f()). f 8 6 f() S P d S S - 5 6 7 O - ) Clculer l'ire de l surfce A, limitée pr l coure représett f et l e O.. ) Eprimer l pete de l droite d e foctio du prmètre. ) Eprimer l'équtio de l droite d e foctio du prmètre. ) Eprimer l surfce S e foctio du prmètre. 5) Eprimer l surfce S e foctio du prmètre. 6) Clculer de telle sorte que l ire de l surfce S ville l moitié de A. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

..6 Méthodes d itégrtio prticulières * Le théorème fodmetl permet de clculer des itégrles défiies à l'ide du clcul de primitives. Au stde où ous e sommes, ous svos clculer u certi omre de primitives simples (pr eemple les foctios puissces, les foctios trigoométriques simples...) mis il est difficile de clculer les primitives de : si ( ) d ou d. Les formules qui suivet vot ous permettre de clculer des itégrles de ce tpe. Formule de l'itégrtio pr prties * = f '()g()d f()g() f()g'()d Eemples * π π π π π ) si( ) d cos( ) cos( ) cos( ) si ( ) PP.. d = + = + = π g ( ) = g'( ) = f '( ) = si( ) f( ) = cos( ) ) l( d ) = l( d ) = l( ) d= l( ) = l() PP.. g ( ) = l( ) g'( ) = (tle CRM) f '( ) = f( ) = c) ( ) ( ) d.. + d PP d + = + = + + = + + = g ( ) = g'( ) = ( ) ( ) f '( ) = + f( ) = + Démostrtio * O prt de ( f ( ) g( ))' = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) (règle de dérivtio du produit de foctios) O itègre : (( ( ) ( ))' = [ '( ) ( ) + ( ) '( )] f g d f g f g d f ( g ) ( ) = f'( gd ) ( ) + f( g ) '( d ) f '( gd ) ( ) = f( g ) ( ) f( g ) '( d ) L primitive de ( f g) est f g Propriété ) Mise e évidece ' P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Formule de l'itégrtio pr sustitutio ou chgemet de vrile * ( ) g() f g () g()d = f(t)dt si t= g() g() Remrque * dt Si t = g() lors = g'() dt = g()d d Eemples * ) 8 7 7 t ( ) d = t dt = = = 8 8 8 Su. = t = Su. t = dt = d et = t = ) d = tdt = t = 8 Su. = t = = = = t = Su. t dt d et π π / π π = = = + = = c) d si(t) cos(t)dt cos (t)dt ( t si(t)cos(t) ) Su. P.P. t = = Su. = si(t) d = cos(t)dt et π t = = π Démostrtio * Cosidéros F ue primitive de f c'est-à-dire F'() = f(). F g ( ) = F g g = f g g = f g g, ce qui sigifie que O ( ) ( ) F g est ue primitive de ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( ) f g g. f g g d F g F g. Doc ( )( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) g( ) O ussi () ( ( )) ( ) g( ) D où ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f t dt = F g F g = F g F g. g( ) f g ( ) g ( ) d = f ( t) dt. g( ) P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eercice 7 * Détermier les vleurs des itégrles suivtes e utilist l méthode pr prties : π ) si( d ) ) cos( d ) c) π d) si( )cos( d ) e) + d f) π π si( d ) l( ) d Eercice 8 * Soit I = si ( ) d ) Clculer : I, I, I et I. ) Étlir ue formule de récurrece qui doe I e foctio de I -. c) Utiliser l formule de récurrece pour clculer I et I. Idictios : i) si ( ) = si( ) si( ) ii) si ( ) = si ( ) si( ) iii) cos ( ) = si ( ) Eercice 9 * Détermier l vleur des itégrles suivtes e utilist l sustitutio doée: ) c) e) g) + d t + d / + t d t + d = + ) + d = + d) (( + ) ) = f) t = h*) d t / + d u = + = t = + r r d = r si( t ) r Eercice * Clculez l itégrle suivte 7 d de trois mières différetes : + ) e effectut le chgemet de vrile + = t, ) e effectut le chgemet de vrile t = +, c) e effectut ue itégrtio pr prties. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eercice * Rppel : U cercle est u esemle de poits situés à ue même distce d'u poit doé. Cosidéros u cercle de ro r cetré e (;). ) Trouver l reltio etre les coordoées et d'u poit P pprtet u cercle et le ro r du cercle. ) Détermier l epressio lgérique de l foctio f + et f - décrivt respectivemet le demi-cercle supérieur et iférieur c) Quelle est le domie de défiitio de f + et de f -? f + r (;) P(;) d) A l'ide des itégrles clculer l'ire A du cercle de ro r. Idictio : Utiliser l sustitutio suivte : = r si( t) f -..7 Applictios du clcul itégrl Aire du domie situé etre deu coures Soit f et g deu foctios cotiues telles que f() g() [ ; ] et D le domie oré limité pr les grphiques de f et de g et pr les verticles d'équtios = et =. Prolème O veut clculer l'ire A du domie D. Illustrtio f D g Propositio Soit f et g deu foctios cotiues telles que f() g() [ ; ]. L'ire A du domie D limité pr les grphiques de f et de g et pr les verticles d'équtios = et = est doée pr : ( ( ) ( )) A= f g d. Propriétés des itégrles Démostrtio = ( ) ( ) = ( ( ) ( )) A f d gd f g d P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

Eemple Clculos l ire A du domie oré, limité pr les grphiques de f( ) = + et de g ( ) = + et pr les verticles d'équtios = et =. (( ) ( ) ) A= + + d = + = ` 8 6 f g A - Eercice Clculer l ire du domie grisé compris etre les représettios de f et g. ) f ( ) = et g ( ) = ) f ( ) = et g ( ) =.5.5 5 5 -.5.5.5 5 -.5 ) f( ) = 5 et ( ) g = + ) f ( ) = et g ( ) = 5) 7) f( ) = + et g ( ) = + 6 6) ( ) f = et = ( ) f ( ) = et g( ) = 8) f ( ) = si( ) et g( ) = cos( ) g (o demde l'ire d'ue des surfces) P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

Volume d'u solide de révolutio Les itégrles défiies sot ussi utiles pour clculer des volumes. Archimède utilisit déjà l méthode d ehustio pour détermier les volumes des côes et des sphères. Kepler lui ussi cherch le volume d u toeu à l ide de découpges. Défiitio O ppelle solide de révolutio u corps oteu pr rottio d ue surfce ple utour d'u e coplire etérieur ou tget à cette surfce. Eemples Ae de rottio ) E fist tourer u rectgle utour de l u de ses côtés (e tget) o otiet u clidre droit. ) E fist tourer u rectgle utour d u e de rottio etérieur cette surfce o otiet u utre solide de révolutio. C est «u eu». Ae de rottio Remrque Chque poit de l surfce egedrt u solide de révolutio décrit u cercle e tourt utour de l'e de rottio. Propositio Soit f ue foctio cotiue sur [;]. Le volume V du solide egedré pr l rottio de l surfce limitée pr le grphique de f, l'e des et les verticles d'équtios = et =, utour de l'e des est doé pr : V = π f ( ) d Eemple Cherchos le volume V du solide de révolutio egedré pr l rottio utour de l e des du domie compris etre le grphique de l foctio f ( ) = / l'e des et les droites = et =. f π π V = π d = π d d = = = π 8 = = π,9 P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

Démostrtio de l propositio Illustrtios O prtge l itervlle [ ; ] e itervlles [ ; ] solide e «trches». de lrgeur Δ i ds le ut de découper le i i Si Δ i est ssez petit, le volume d ue «trche» est à peu près égl à V ( ) i =π f ci Δ i pour ci [ i ;i]. Il e résulte que le volume est à peu près égl à l somme de petits clidres otée Vi = V+ V + + V où V i représete i= le volume d u petit clidre. E fist tedre vers l ifii, ous oteos u omre : i i i i i i= i= i= V = lim V = lim π f (c ) Δ = π lim f (c ) Δ = π f () d et qui représete le volume cherché. Eercice Le domie délimité pr l coure d équtio = f( ), l e et les droites = et = toure utour de l e. Esquisser le corps oteu et clculer so volume. ) f( ) = + = = ) f( ) = = = ) f ( ) = < < ) f( ) = = = P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

Eercice ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'u côe circulire droit de huteur h et de ro r. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. h r Eercice 5 A l'ide des itégrles, clculer le volume V de cet "t-jour". 5 Eercice 6 ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'ue sphère de ro r. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. Eercice 7 * ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'ue clotte. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. h Idictio : O coupe ue sphère de ro r pr u pl à ue distce r-h du cetre de l sphère. Eercice 8 * ) À l'ide des itégrles, clculer le volume d'ue V secteur sphérique. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. Idictio : O coupe ue sphère de ro r pr u pl à ue distce r-h du cetre de l sphère. h r Eercice 9 O fit tourer utour de l e le domie délimité pr les grphiques des foctios f et g. Esquisser le corps oteu et clculer so volume V. ) f ( ) 5 = + et g ( ) = + ) f ( ) = et g ( ) = P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

Eercice * ) À l'ide des itégrles, clculer le volume V du tore (ouée) e foctio de r et R. ) Clculer le volume V du tore (ouée) e foctio de et. c) Comprer vos résultts vec ceu de l tle C.R.M. d) Aider u ijoutier à détermier l ture d'ue gue (or, rget, roze, lu, etc.) qui l forme d'u tore. Il mesuré l gue : = cm et = cm et pesé l gue : msse 6,7 Il possède ussi l tle C.R.M. vec l msse volumique des élémets. gr P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Cetre de grvité d'u domie pl * Le cetre de grvité C G d'u ojet est ue otio phsique qui est liée, etre utres choses, à l réprtitio de l msse à l'itérieur de cet ojet. C'est e ce poit qu'ue force égle u poids de l'ojet doit être ppliquée pour que celui-ci soit e équilire. Ds le cs d'ue msse homogèe et d'u chmp de grvittio uiforme, le cetre de grvité est e rpport direct vec l géométrie de l'ojet et ses es de smétrie : le cetre de grvité d'u trigle se trouve à l'itersectio de ses médies et celui d'u rectgle à l'itersectio de ses digoles. Illustrtio C G Plços deu ojets de msse m et m u etrémités d'ue tige fie de msse égligele. Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G du sstème de dimesio costitué pr les msses et l tige fie (cs discret). m C G m Coditio d'équilire sttique : m + m ( ) = ( ) + = + = m m m m m m est l coordoée du cetre de grvité C G. m + m Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G du sstème de dimesio costitué pr les msses et l tige fie (cs discret). m C G m Le cetre de grvité est le poit C G ( ; ) m + m = m+ m m + m = m + m tel que : est l première coordoée du cetre de grvité C G. est l deuième coordoée du cetre de grvité C G. O ote : M = m + m le momet pr rpport à l'e des. M = m + m le momet pr rpport à l'e des. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Défiitio* U corps est dit homogèe si s msse est distriuée uiformémet. msse Autremet dit pour ue plque fie si s desité ρ = = Cte surfce Eemple* Ue feuille lche et vierge de ppier A. Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G d'u corps homogèe de dimesio (cs cotiu). Illustrtio f f(c i ) f(c i) m i O prtge l itervlle [ ; ] e itervlles [ ; ] plque e "élémets rectgulires". Msse de l'élémet rectgulire : m i = ρ f( ci) Δ i i c i i+ Δ i i i + de lrgeur i Δ ds le ut de découper l Msse de l plque : M = lim m = lim ρ f(c ) Δ =ρ lim f(c ) Δ = ρ f () d i i i i i i= i= i= Momet pr rpport à l'e des de l'élémet rectgulire : f( ci) f( ci) f( ci) M =m i i = ρ f( ci) Δi = ρ Δi Momet pr rpport à l'e des de l plque : i i = lim M = lim lim i ρ Δ i = ρ Δ i = ρ i= i= i= f( c ) f( c ) f ( ) M d Momet pr rpport à l'e des de l'élémet rectgulire : M =m c = ρ f( c ) Δ c = ρ c f( c ) Δ i i i i i i i i Momet pr rpport à l'e des de l plque : M = lim M = lim ρ c f(c ) Δ =ρ lim c f(c ) Δ = ρ f () d i i i i i i i i= i= i= Le cetre de grvité de l plque homogèe est le poit C G ( ; ) i tel que : M = = M f()d f()d et f ()d M = = M f()d P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eemple * Clcul du cetre de grvité d'ue plque homogèe dot l forme est u demi disque de ro r =. Trigle rectgle et théorème de Pthgore : + = r Le cercle C est décrit pr l'esemle des couples P(;) de stisfist l équtio : + = r = ± r. Doc f + () = r (demi-cercle supérieur) M = = (pr smétrie d'e ) M ( ) ( ) d d M 8 = = = = ( ) d = = M π π π d Le cetre de grvité demi disque homogèe de ro r = est le poit - f + C ; G 8. π r P(;) Théorème de Guldi * Le volume V du solide egedré pr l rottio de l surfce S utour de l'e des est égl u produit de l'ire A de cette surfce pr l logueur du chemi prcouru pr so cetre de grvité utour de l'e. Doc V = π A Eemple * Volume d'ue sphère de ro r =. π π π π π 8 V = A = = 6,76 Démostrtio * f () d f()d = V =π f ()d = π f ()d = π f()d = π A Pul Guldi ou Hkuk Guldi est u stroome et mthémticie suisse é à Sit-Gll e 577, mort à Grtz e 6. E 597, il jure l religio protestte et pred le préom de Pul. Il etre chez les Jésuites qui l'evoiet perfectioer ses mthémtiques à Rome. Il professe esuite les mthémtiques à Rome, Viee et Grtz. L'essetiel de ses trvu mthémtiques se trouvet ds so ouvrge Cetrorc (u sujet des rcetres) qui prît e volumes (65, 6, 6) ds lequel o trouve les deu règles qui portet so om. = A f + - P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Eercice * ) Clculer les coordoées du cetre de grvité C G des plques homogèes. ) ) ) ) r -r r r ) Découper ds ue feuille de crto "homogèe" ue de ses plques et détermier le cetre de grvité. Esuite, esser de fire teir l plque e équilire e vous idt pr eemple d'u cro gris ie tillé! Eercice * E ppliqut le théorème de Guldi et e utilist les résultts de l'eercice précédt, clculer : ) le volume du côe circulire droit ) le volume de l sphère de ro r. de ro r et de huteur h. r h -r r c) le volume du tore (ouée) d) le volume de " l'eu" e foctio de r et R. e foctio de r, R et h. R r R r - r r - h/ h/ P.S. / - Clcul itégrl / N-A

Autres prolèmes e reltio vec l Phsique * Eercice * L sécurité routière pesé que le omre des ccidets de l route dimiuerit si l'o prveit à cotrôler plus efficcemet l vitesse des cmios. Elle lors proposé que tous les cmios soiet équipés d'u tchgrphe (ppreil qui eregistre l vitesse du véhicule à chque istt). Némois, o peut cridre que les ppreils ou les eregistremets e soiet modifiés fruduleusemet ds le ut de motrer que l vitesse mimle utorisée ' été dépssée à ucu momet. U moe simple de repérer les évetuels frudeurs serit de comprer l distce u compteur effectivemet prcourue et l distce clculée à prtir de l'eregistremet doé pr le tchgrphe. Ecore fut-il pouvoir clculer cette distce! Ci-dessous vous trouverez le grphique d'u eregistremet de l vitesse d'u cmio e foctio du temps, pour ue durée de heures. vitesse [km/h] 8 7 6 5 temps 8h 8h 8h 9h 9h 9h h ) Estimer, le plus précisémet possile, l distce totle prcourue pr le cmio durt ces deu heures. ) Estimer l vitesse moee de ce même cmio durt ce même lps de temps. Pouvez-vous fire pprître cette vitesse moee sur le grphique? P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

Eercice * ) Itroductio Si o cosidère l distce e foctio du temps t d'u ojet, lors l dérivée de (t) e t est défiie comme l vitesse isttée de l ojet u temps t. (t+δt) Δ (t) t Δt t+δt t Vitesse moee etre t et t + Δt = Δ t ( +Δt) t ( ) = Δt Δt Vitesse isttée u temps t = Δ t ( +Δt) t ( ) lim = lim Δt Δt Δ t Δ t ) Loi horire L foctio vitesse est défiie comme le tu de vritio istté de l distce, c est-à-dire comme l dérivée de l foctio distce, ce que ous pouvos ecore formuler : «l foctio distce est ue primitive de l foctio vitesse». vt () est l vitesse isttée à l istt t () t est l distce prcourue à l istt t ( t+δt) ( t) vt ( ) = ( t) = lim Δ t Δt () t = v() t dt C est ue coditio iitile qui permet de détermier l costte d itégrtio. De mière logue, l foctio ccélértio est défiie comme le tu de vritio istté de l vitesse, c est-à-dire comme l dérivée de l foctio vitesse, ce que ous pouvos ecore formuler : «l foctio vitesse est ue primitive de l foctio ccélértio». t () est l ccélértio isttée à l istt t vt () est l vitesse prcourue à l istt t t () = v () t = lim vt+δt vt Δ t ( ) ( ) Δt vt () = t () dt Nturellemet, c est ue coditio iitile qui permet de détermier l costte d itégrtio. P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

Eocé c) Ue pierre est lcée vers le s à prtir d ue huteur de m. L vitesse isttée de l pierre est doée pr v() t = t + 5 où t est eprimé e secodes et v e mètres pr secode. Détermier : ) à quelle ltitude elle se trouve près secodes. ) à quel momet elle touche le sol. ) s vitesse isttée u momet de l impct u sol e kilomètres pr heure. ) l vitesse moee de l pierre sur les 5 premières secodes e kilomètres pr heure. Eocé d) L vitesse isttée v sur l piste d u petit vio est doée pr v() t = t + t où t est eprimé e secodes et v e mètres pr secode. ) Détermier l distce prcourue pedt les di premières secodes. ) Clculer l vitesse moee de cet vio sur les di premières secodes. ) Pour détermier l distce prcourue pedt les ciq premières secodes, il suffit de diviser le résultt précédet pr deu. Vri ou fu? Justifiez Eocé e) Ue voiture roult à [m/s] freie rusquemet vec ue ccélértio de -6 [ m / s ]. ) Quel temps mettr l voiture pour s rrêter? ) Quelle distce prcourr l voiture vt de s rrêter? Eocé f) U TGV lcé à [km/h] doit freier. So ccélértio est lors proportioelle u temps : t () = t m s. S il s rrête e secodes sur quelle distce -t-il freié? P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

Eercice 5 * Ue ville est limetée e eu pr l'itermédiire d'u lc de rétetio e mot d'u rrge. Soit D(t) le déit à l'etrée du lc eprimé e még litres pr jours. ) D peut-elle être ue foctio égtive? ulle? ) Si D() t = t, clculer l qutité d'eu Q etrée ds le lc durt les premiers jours. Remrque : Si le déit est costt lors déit temps = volume c) Les ves du rrge sot fermées et l qutité iitile d'eu u temps t = est de Q() = 5 méglitres. Après comie de jours le rrge ur tteit s cpcité mimle de méglitres? d) Si les ves du rrge sot fermées le lc peut-il déorder? Si oui, de comie? Eercice 6 * U météorologue estime que l tempérture T e degré cetigrde d ue froide jourée d hiver πt πt vrie e foctio de l heure selo l foctio T() t = si 8cos où t est eprimé e heures et t = correspod à miuit. Quelle est l tempérture moee (moee des tempértures) ecte etre 6 heures et midi? Idictio : utiliser le théorème de l moee. P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

..8 Ce qu il fut solumet svoir Coître l sigifictio mthémtique du smole Σ Coître l défiitio de l itégrle défiie de f Coître les propriétés de l itégrle défiie de f Svoir utiliser les propriétés de l itégrle défiie pour clculer ue itégrle défiie 5 Coître et compredre le théorème de l moee 6 Coître et compredre le théorème fodmetl de l lse 7 Coître l défiitio de l primitive de f 8 Coître et compredre le théorème de Newto - Leiiz 9 * Svoir utiliser l méthode d itégrtio pr prtie pour clculer ue itégrle ok * Svoir utiliser l méthode de chgemet de vrile pour clculer ue itégrle ok Clculer vec les itégrles, l ire du domie situé etre deu coures Clculer vec les itégrles, le volume d u solide de révolutio * Clculer vec les itégrles, le cetre de grvité d u domie pl ok * Clculer vec les itégrles, les foctios (t) et v(t) à l ide de (t) ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

. Logrithmes et epoetielles.. L foctio logrithme turel p+ p Cosidéros l formule : d= + C p+ Elle est vlle pour tout p rtioel différet de -. Que se psse-t-il si p = -? + d = d = + C= + C= + C + * Nous svos que f( ) = est cotiue sur et que toute foctio cotiue sur u itervlle * fermé est itégrle. Doc il eiste u itervlle (ttetio, 'est ps u itervlle!) sur lequel f est itégrle. Et comme l'itégrle défiit ue primitive de f (voir thm. fodmetl), ous oteos le résultt : f possède ue primitive et doc, il eiste ue foctio dot l dérivée est f( ) =. Pour le momet, ous e coissos ps cette foctio. Mis ous pouvos l oter l et l'étudier à prtir de s défiitio : l() = Nous pouvos "visuliser" cette foctio l, puisqu'elle représete l'ire défiie pr l foctio f(t) = : t f dt t Remrques l( ) l( ) Aire omrée = dt = l() t 5 t ) Si < < lors l() = dt = dt t < t ) Si > lors l() = dt > t > P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

À prtir de cette défiitio, ous pouvos oteir les propriétés suivtes de l foctio l : ) * Df = + Nous verros u poit 9) que lim l ( ) + =. Le domie de défiitio eclut doc zéro et toutes les vleurs de <. De ce fit, il ' ps d'ordoée à l'origie. ) l() = Pr défiitio de l itégrle : l() = dt =. L foctio l dmet u zéro e =. t l() = + ) L dérivée de l foctio l est : ( ) ' * D'près le théorème fodmetl, l() est ue primitive de f( ) = * +. ) l est ue foctio cotiue et strictemet croisste sur * +. Comme l est dérivle sur S dérivée ( ) ' l() = > * +, elle est cotiue sur * +. * + ce qui implique que l() est strictemet croisste sur Remrque : Comme l() est cotiue et strictemet croisste sur * +, l() est * +. < si < < > si > 5) ( ) ( ) ( ) * l = l + l, + * Soit p + ue costte. ' ' l ( p ) = p = = l p ' ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Propriété ) et dérivée de l compositio de deu foctios. l p = l + C C Théorème sur les primitives Détermios l costte C : posos = l ( p ) = l ( ) + C C l ( p ) = + C C C = l ( p ) C Doc l ( p ) =l ( ) + l ( p) Propriété ) Posos p = l =l + l Filemet ( ) ( ) ( ) P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

l l et l l l, * * = + = + 6) ( ) ( ) ( ) 6.) Posos : = l = l() = l( ) l = + l = - l( ) 6.) Posos : = l = l = l ( ) + l Propriété ) Propriété 5) E récrivt l églité. Propriété 5) = l( ) l( ) Propriété 6.) 7) ( ) * l = l(), + ( ( )) ' ( ) ' l = = = ( l ( ) ) ' Propriété ) et dérivée de l compositio de deu foctios. ( ) ( ) l = l + C C Théorème sur les primitives Détermios l costte C : posos = ( ) () l = l + C C = + C C C = C Doc l ( ) = l ( ) Propriété ) Remrque : Si * lors ( ) fois P.5) l = l(... ) = l() + l() +... + l() = l() fois P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

Etudios l foctio l u ores de so domie de défiitio : Clculos doc lim l() et lim l() + 8) lim l() =+ Pour démotrer cette propriété, ous llos risoer d'près ce dessi : f Nous svos que l() = dt représete l'ire défiie etre et pr l foctio t f()= t et cette ire est supérieure à celle défiie pr les rectgles dessiés sous l coure, dot l se vut toujours et l huteur vut /. Pr eemple : l() = dt > + + t et doc i = t l() = dt > + + + + + + t 5 6 lim l() = lim dt > lim = lim + + + + + + t i 5 6 Pour clculer cette derière somme, ous llos fire l compriso etre cette somme et ue utre somme qui est plus petite, cr o remplcé certies frctios pr d'utres plus petites + + + + + + + + + + + + > 5 6 7 8 9 6 7 + + + + + + + + + + + + 8 8 8 8 6 6 fois 8 fois 6 fois Et ds chcue des prethèses o remrque que l'o otiet chque fois /, et l'o pourr oteir utt de fois / que l'o veut, cr otre somme cotiet ue ifiité de termes. Doc otre somme est plus grde que celle qui correspod à ue ifiité de / et qui ted doc vers l'ifii. cqfd! Remrque : L foctio l e possède doc ps d'smptotes horizotles. P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

9) lim l() = + Posos = lim l() = lim l = + + = lim ( l()) = lim l() Cr + + Propriété 6) Propriété des limites = - Propriété 8) Remrque : l foctio l possède ue A.V. e =. Défiitio Nous ppelleros logrithme turel (et ous oteros l) l foctio de * + ds défiie pr : l( ) = dt. t Représettio grphique de l foctio l À prt l(), ous e pouvos pour le momet clculer ucue imge! Mis, e coisst les limites, e scht que l foctio est cotiue et strictemet croisste * sur + et e utilist le fit que l pete de l tgete est doée pr / (doc l coure "s'pltit rpidemet"), ous pouvos esquisser l représettio grphique de l foctio l : l - 5 6 7 8 9 - - - P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

.. Logrithmes e se quelcoque Le omre e U omre joue u rôle ussi importt e lse mthémtique que le omre π e géométrie, c'est le omre e, solutio de l'équtio l() =. Propositio L équtio l() = possède ue solutio et elle est uique. Démostrtio l() = dt =. t l() = dt > + + = >. t Comme l foctio logrithme turel est cotiue sur l'itervlle [ ; ], elle pred toutes les vleurs comprises etre l() = et l() >. Il eiste doc u mois u omre etre et dot le logrithme turel vut, et comme l foctio l est strictemet croisste, ce omre est uique (et ous le oteros e). f Nous svos mitet que l( e ) = et que < e <. O peut démotrer que le omre e est u omre irrtioel et que s vleur est pproimtivemet,78888595 Remrques ) Voici ue des omreuses formules permettt de clculer s vleur pproimtive : e = = + + + + + +...! 5 = ) e est ppelé costte d Euler (77-78) Défiitios ) O ppelle foctio logrithmique tout foctio proportioelle à l : log() = k l(). ) O ppelle se d'ue foctio logrithmique le omre tel que log() =. Aisi l est le logrithme e se e, ppelé logrithme turel. Pour u logrithme e se, ous uros : log () = k l() et = log () = k l(), d'où k = l( ) E coclusio : l( ) * log () = + l( ) et s dérivée : ( log ())' = ( l( ) ) ' l( ) l( ) = = = l( ) l( ) l( ) ' * + Les propriétés démotrées pour l (logrithme e se e) sot ussi vlles pour log. P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 7 ) Eprimer à l'ide d'u seul logrithme les epressios suivtes : 5 7 5 7 Eemple : 5l() + 7 l(z) = l( ) + l(z ) = l( z ) ) l() l(z) = ) l() + l(z) = ) l() l() + l(z) = ) l() + l( π ) + l() l() = ) Clculer e foctio de l(), l() et l(c). c Eemple : = l = l ( ) l ( c) = l ( ) l ( c) ) = l c ) = l c ) = l c ) 5) = l( ) 6) = l = l c Eercice 8 Détermier les dérivées des foctios suivtes (évetuellemet commecer pr simplifier l écriture) : ) f( ) l( 5) = ) f ( ) l( ) = ) 5 ( ) = l( ) ) f( ) = l(( + ) ) 5) f ( ) = l( ) 6) f ( ) = l(cos( )) l( ) 7) f( ) = 8) f ( ) = l(l( )) 9) f( ) = l( ) + ) f ( ) = l( ) ) f ( ) = l( 5 ) ) f( ) = l ) f( ) = l ) f( ) = l + f Eercice 9 ) Détermier les etrem de l foctio f détermiée pr f ( ) = 8l( ) et * +. ) Soit f( ) (l( ) ) = +.Pour quelle vleur de, f -t-elle ue tgete horizotle? Eercice 5 O cosidère l surfce S délimitée pr l coure d équtio = 6 / et les droites d équtio = + et =. ) Dessier cette surfce S ds u sstème orthoormé. ) Clculer l ire de cette surfce S et le volume du corps de révolutio oteu e fist tourer l surfce S utour de l e O. P.S. / - 6 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 5 log - - 5 6 - - log / - - Démotrer que : * ) log est strictemet croisste sur +. * ) log / est strictemet décroisste sur +. ) Si < < lors log est strictemet décroisste sur * ) Si > lors log est strictemet croisste sur +. * +. Eercice 5 Détermier l vleur des itégrles suivtes : (répose e vleur ecte) ) + d ) d ) 5 d + ) + d + 5) d 6) 7 6 d 7) π t( ) d 8) 5 d 9) + 5 + + + 5 d ) l( ) d ) π si( ) d *) cos( ) π l( ) d Idictios si et sg() si > = = = si< si< ) ( ) ' ) Les primitives de sot l ( ) + C * C. P.S. / - 7 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 5 * Voici ue utre démostrtio des propriétés 5) et 7) de l foctio l. Compléter l coloe de droite vec les rgumets écessires. * 5) ( ) ( ) ( ) l = l + l, + l ( ) = dt... t... = dt + t dt t dt + du t u =...... dt + t = du u =l( ) + l( )... 7) ( ) * l = l(), + ( ) l = dt... t u du... u = = du u... = l( )... P.S. / - 8 Logrithmes et epoetielles / N-A

Rppels Défiitio : Soit f : A B ue foctio. f : A B est ijective B u uique A tel que = f(). Défiitio : Soit f : A B ue foctio ijective. r f : B A est telle que r f () = f () = A et B r f est ppelée l foctio réciproque de l foctio f. Remrques : f dmet ue foctio réciproque de B vers A f est ue foctio ijective de A vers B. L foctio réciproque d'ue ijectio est ussi ijective. A f B.. L foctio epoetielle r f Nous voulos cosidérer l réciproque de l foctio l. Pour cel il fut tout d'ord motrer que cette réciproque eiste, doc que l est ue foctio ijective de vers. L foctio l est défiie sur Nous svos que * +. lim l( ) = et lim l( ) =+. Comme l est cotiue sur + chque élémet de u mois ue préimge pr l ds * + * + (surjectivité). Chque préimge est uique (ijectivité). Ds le cs cotrire, il eisterit deu omres et disticts t l même imge ; o urit, pr eemple, < et l( ) = l( ). * Mis ceci est ps possile, cr ous svos que l est strictemet croisste sur +, pr coséquet : < l( ) < l( ) E coclusio : L foctio l est ijective de * + vers. Nous pouvos doc défiir ue foctio réciproque de l, que ous oteros ep : Défiitio L foctio ep est l réciproque de l foctio l. * Autremet dit : = l() = ep() et + * +, À prtir de cette défiitio ous pouvos doer ue représettio grphique de l foctio ep. 6 5 ep i Rppel Ds u repère orthoormé, les grphiques d ue foctio f et de s réciproque r f présetet ue smétrie pr rpport à l droite i (grphique de l foctio idetité i() = ). Remrque L foctio ep est ue foctio ijective de vers cr elle est l réciproque de l foctio ijective l de vers. * + * + - - - 5 6 - - - l P.S. / - 9 Logrithmes et epoetielles / N-A

À prtir de cette défiitio, ous pouvos oteir les propriétés suivtes de l foctio ep : ) * Df = et ep( )= + cr ep est l réciproque de l foctio l qui est ijective de L foctio ep 'dmet ps de zéro. * + vers. ) ep() = (ordoée à l'origie) O ep(l()) = ep(l()) = = Défiitio de l réciproque E post = ) L foctio ep est dérivle et (ep()) = ep() O l(ep()) = [l(ep())] =[ ] Défiitio de l réciproque Deu foctios égles ot l même dérivée ep ( ) ' = ep Dérivée d ue foctio composée ( ) [ep()] = ep() E multiplit pr ep() ) L foctio ep est cotiue et strictemet croisste sur. ep est cotiue sur cr dérivle. Elle est strictemet croisste sur cr s dérivée (ep()) = ep() >. Remrque : Comme ep est cotiue et strictemet croisste sur, ep est < si < > si > 5) ( ) ( ) ( ) ep ep = ep +, ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( )) l ep ep = l ep + l ep Propriété 5) de l foctio l ( ( ) ( )) l ep ep = + Défiitio de l réciproque ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) l ep ep = l ep + Défiitio de l réciproque ep( ) ep( ) = ep( + ) l est ijective ( ) ( ) ( l = l = ) P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

ep( ) 6) ep( ) = et = ep( ), ep( ) ep( ) 6.) l = l(ep( )) Propriété 6) de l foctio l ep( ) l = ep( ) l = l(ep( )) ep( ) Défiitio de l réciproque Défiitio de l réciproque ( l = l = ) = ep( ) l est ijective ( ) ( ) ep( ) 6.) ep( ) = ep( ) ep( ) ep( ) ep( ) = ep( ) ep( ) Propriété 6.) ep( ) ep( ) = ep( ) Propriété 5) ep( ) ep() = ep( ), 7) [ ] ([ ] ) = ( ) l ep( ) l ep( ) Propriété 7) de l foctio l ([ ] ) l ep( ) = Défiitio de l réciproque ([ ] ) ( ( )) l ep( ) = l ep Défiitio de l réciproque [ ep( ) ] ep( ) l est ijective ( l ( ) = l ( ) = ) = Remrque : Si * P.5) lors ep ( ) = ep( ) ep( )... ep( ) = ep( + +... + ) = ep( ) fois fois P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

Etudios l foctio ep u ores de so domie de défiitio : 8) ) lim ep() =+ et ) lim ep() = Posos = l() O : l( ) Et l( ) + Défiitio de et propriétés 8) et 9) de l foctio l ) ( ) lim ep() = lim ep l() = lim() = + ) ( ) lim ep() = lim ep l() = lim () = + + Pr ce qui précède Compriso de l foctio ep vec l'epoetielle défiie à prtir des puissces de e ) Pour, ous retrouvos ie l'idée de puissce : ep() = ep(l(e)) = e ep() = ep(+) = ep() ep() = e e = e ep() = ep(+...+) = ep()... ep() = e... e = e ) Plus géérlemet, pour : Scht que ep(l()) = et l(e) = ous pouvos oteir : e = ep( l ( e )) = ep l ( e) = ep() = c) Aisi, ous pouvos idetifier ep() et e. Nous oteros doc : ep() = e Défiitio L réciproque du logrithme turel est ppelée epoetielle (de se e ) et elle est défiie pr : ep() = e de ds. * + P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

.. Epoetielle e se quelcoque Nous vos défii le logrithme e se pr l() log () =. l() Comme l foctio log est ussi ijective, ous pouvos défiir l foctio ep comme l réciproque de l foctio log. * Autremet dit : = log () = ep () + et * O peut ussi écrire : log (ep ()) = et ep (log ())= et + Illustrtio 6 ep i 5 log - - - 5 6 - Propriétés - - ) ep () = cr l() = log () = l() = l() l() ( ) = e = e = e = = z z l() l() ) Les propriétés démotrées pour ep (epoetielle e se e) sot ussi vlles pour ep. l() ( l() ) E effet : ep () = = ( e ) = e ) ( ) ' ep () = l() ' ' cr ( ) ( ) ( ) ( ) ' l() ' l() ep () = = e =e l() = l() Eercice 5 ) Eprimer à l'ide de l se e les epressios suivtes : + + ( ) ( )( + ) ( ) + ( ) Eemple : 8 = = = e = e = e 6 = ) ) ( ) l l l l - 9 ( ) - = ) Clculer e foctio de e, e et e c. + Eemple : = e = e e = ( e ) ( e ) ) c = e c = ) e ( e + + ) = + = ) ) 5 = ) e e ( e ) = e + e = ) = = c = e P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 55 Clculer les dérivées des foctios suivtes (évetuellemet commecer pr simplifier l écriture) : e ) f ( ) = e ) f( ) = ) e f ( ) = ) f ( ) = ( ) e 5) f ( ) = e 6) 9) f( ) = l( e ) ) f ( ) e l( ) = 7) f( ) = l( e + ) ) f ( ) e e = 8) f ( ) e e e e f( ) = e f + + = ) ( ) = ( ) e Eercice 56 Détermier l vleur des itégrles suivtes : (répose e vleur ecte) ed ) ) 5) 5 + d 6) e e d ) ( + ) e d 7) 9) d ) ( ) + l() ( ) e e d ) e e + ( + ) e e d d 8) d e d ) ( + 5) e + e d Eercice 57 Clculer l'ire de l surfce comprise etre l'e horizotl, les deu droites verticles = et = et les coures représettives de = e et = e. Eercice 58 Clculer e vleur ecte le volume de l ojet représeté ci-cotre e utilist l foctio : f() = e ( ) e Eercice 59 Démotrer que : ) ep est strictemet croisste sur. ) ep / est strictemet décroisste sur. ) Si < < lors ep est strictemet décroisste sur. ) Si > lors ep est strictemet croisste sur. ep / ep 7 6 5 5) Si k > lors 6) Si k > lors k = e est strictemet décroisste sur. -k = e est strictemet décroisste sur. - - - - - P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 6 * O doe l foctio f défiie pr - f() = e ) Esquisser le grphique de f sur l itervlle [- ;] (mis ss étudier l foctio). ) Soiet A et B deu poits situés sur le grphique de f : l scisse du poit A est λ (λ > ) et celle du poit B est -λ. O cosidère lors le trigle AOB où O est l origie du repère. Pour quelle vleur λ l ire de ce trigle est-elle mimle et que vut l ire mimle de ce trigle? Eercice 6 * Détermier les vleurs des itégrles suivtes e utilist l méthode "pr prties": (répose e vleur ecte) ) e d ) 9 l( ) d c) ( + ) e d d) 9 l( ) d Eercice 6 * Détermier les primitives suivtes : ). I = e cos( ) d ) = si( ) J e d c) K = e cos( ) d L e d * d) = si( ) * Eercice 6 * Soit I e d = ) Clculer I et I. ) Etlir ue formule de récurrece qui doe I + e foctio de I. c) Utiliser l formule de récurrece pour clculer I, I et I. P.S. / - 55 Logrithmes et epoetielles / N-A

..5 Étude de foctios ep et log * Théorème de Cuch * (789-857) Soiet f et g deu foctios cotiues sur [;], dérivles sur ];[ et tel que g'( ) sur [;]. f ( ) f( ) f '( c) Alors il eiste u c ];[ tel que = g ( ) g ( ) g'( c) Démostrtio * Preos ue foctio F défiie pr F( ) = ( f( ) f( ))( g( ) g( )) ( g( ) g( ))( f( ) f( )) Cette foctio est dérivle et cotiue cr f et g le sot et F ( ) = F ( ) =. Pr le théorème de Rolle, o sit qu il eiste u c ] ; [ tel que F'( c ) =. F'( ) = ( f( ) f( )) g'( ) ( g( ) g( )) f '( ) f '( c) f( ) f( ) F'( c) = ( f( ) f( )) g'( c) ( g( ) g( )) f '( c) = = g'( c) g( ) g( ) Théorème de l Hospitl * (66-7) Soiet f et g deu foctios cotiues sur [;], dérivles sur ];[ et tel que g'( ) sur [;] et f( ) = g( ) =. Si f '( ) lim + g '( ) eiste lors f '( ) f( ) lim = lim + g'( ) + g( ) Démostrtio * Thm. de Cuch Nottio f( ) f( ) f( ) f( ) f '( c) f '( c) f '( ) lim = lim = lim = lim = lim = lim + + + + + + g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g'( c) c g'( c) g'( ) Remrques * < c< ) Le théorème reste vlle si lim f( ) =± et lim g( ) =± + + ) Le théorème reste vlle pour les limites à guche. c) Ds ce qui précède, peut être u omre réel, + ou -. Applictio * (pour lever les idétermitios de certies limites) ) ) c) lim 5 5 = = lim = 7 7 5 7 R. H. 6 6 6 lim = = lim = = lim = 6 cos( ) R. H. si( ).. R H cos( ) l( ) / lim = = lim = lim = 6.. 6 R H 6 P.S. / - 56 Logrithmes et epoetielles / N-A

Tleu récpitultif des résultts cocert les opértios sur les limites * lim f lim g lim (f+g) lim (f - g) lim (f g) lim(f/g) m + m - m m / m ± m m - m? ± ± ± ± ± m ± ± ± ± ± ± ±? ± ± ±? ± + + +? +? + -? + -? - +? - -? - - -? +? Ds les cs siglés pr u poit d iterrogtio (? ), il idétermitio. Eercice 6 * Clculer les limites suivtes e vous idt si écessire de l règle de l Hospitl : ) ( ) ( ) cos lim cos ) ( ) si lim ) lim l() ) lim l() 5) e e lim 6) e lim 7) e lim 8).e lim e 9) lim e ) lim e ) lim e ) lim e ) lim e ) lim e 5) lim l() 6) lim e P.S. / - 57 Logrithmes et epoetielles / N-A

Eercice 65 * ) Étudier etièremet les foctios suivtes : l() ) f() = ) g() = e -e c) e) h() = d) j() = e k(t) = + t t e -( l() ) f) m() = l ( + 9) (ss dérivée secode) ) Clculer l'ire de l surfce délimitée vers le hut pr l coure de g et vers le s pr l'e horizotl. Rppel : Ue étude de foctio compred les poits suivts : ) Domie de défiitio de f. ) Zéros et ordoée à l'origie de f (itersectios de f vec les es). ) Tleu des siges de f. ) Recherche des smptotes de f (verticles, horizotles et oliques) et itersectios vec f. 5) Clcul de l dérivée première f ' (domie de défiitio de f ' et zéros de f ') 6) Tleu des siges de f ' / vritios de f et détermitio des etrem de f. 7) Clcul de l dérivée secode f '' (domie de défiitio de f '' et zéros de f '') 8) Tleu des siges de f '' / cocvité et coveité de f et détermitio des poits d ifleios de f. 9) Représettio grphique soigée de f isi que de ses smptotes (repredre les poits ci-dessus et clcul de quelques imges si écessire) O s'ssurer de l cohérece des résultts oteus. P.S. / - 58 Logrithmes et epoetielles / N-A

..6 Ce qu il fut solumet svoir 5 Coître l défiitio de l foctio logrithme turel 6 Coître les propriétés de l foctio logrithme turel 7 Clculer l dérivée ou l itégrle d ue foctio «simple» fist iterveir l foctio l 8 Coître l défiitio du omre e, ppelé costte d Euler 9 Coître l défiitio de l foctio epoetielle Coître les propriétés de l foctio epoetielle Clculer l dérivée ou l itégrle d ue foctio «simple» fist iterveir l foctio ep * Coître et compredre le théorème de Cuch * Coître et compredre le théorème de l Hospitl * Étudier complètemet ue foctio comportt l foctio l ou ep e utilist ue démrche rigoureuse ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / - 59 Logrithmes et epoetielles / N-A

. Équtios différetielles *.. Itroductio * Défiitios * i) Ue équtio différetielle est ue équtio qui met e reltio ue vrile, ue foctio f() et ses dérivées successives f ' (), f '' (), f () (), etc. Eemples * ) f '() = ) f ''() + f () = que l o écrit trditioellemet : ) ' = ) '' + = () () O ote doc = f( ) ; ' = f '( ) ; '' = f ''( ) ; = f ( ) ;..., ce qui permet de cosidérer comme ue foctio de. ii) L ordre d ue équtio différetielle est celui de l dérivée l plus élevée pprisst ds l équtio. Ds les eemples précédets, l première équtio est d ordre, l secode d ordre. iii) Ue solutio d ue équtio différetielle est ue foctio =f() qui stisfit l équtio. L foctio =, pr eemple, est ue solutio de l équtio différetielle ) ' =. E effet : ' = = ok! iv) Résoudre ue équtio différetielle, c'est trouver l'esemle de toutes les foctios =f() qui stisfot cette équtio. Cet esemle est ppelé solutio géérle de l'équtio différetielle. Si ous repreos, pr eemple, l'équtio différetielle ' =, ous vos vu que = / est ue solutio prticulière de cette équtio. Nous pouvos remrquer que = / + est ue utre solutio prticulière et que, plus géérlemet, toute foctio de l forme = / +C, où C est ue costte ritrire, est ue solutio de cette équtio différetielle. Les foctios = / +Cvec C formet doc l solutio géérle de l'équtio différetielle '= ; l solutio géérle cotiet ue ifiité de foctios. Ue solutio prticulière peut être oteue à prtir de l solutio géérle lorsque ds le prolème pprit des cotrites supplémetires, ppelées coditios iitiles, qui vot fier les vleurs des costtes. Cherchos pr eemple l solutio prticulière de l'équtio '= telle que () = : () = / + C = C = L solutio prticulière de l'équtio = telle que () = est doc = / +. v) O ppelle coditios iitiles d ue équtio différetielle, l esemle des coditios sur l foctio et ses dérivées successives. P.S. / - 6 Équtios différetielles / N-A

Eemple de l phsique * z Au voisige de l surfce de l Terre, le mouvemet d u ojet de msse m, est régi pr l équtio différetielle (loi du mouvemet Newto) : vec P m z''(t) = -m g (selo l e z) F = - m g force depesteur vec g m / s z(t) = positio de l ojet u temps t. v(t) = z (t) = vitesse de l ojet u temps t. (t) = v (t) = z (t) = ccélértio de l ojet u temps t. z(t) m F P O otiet lors pr itégrtios successives : v () t = () t dt = gt + C et z () t = v () t dt = + + gt C t C C, C (solutio géérle) Si u temps t = o coît l positio z() = z et l vitesse v() = v de l ojet (coditios iitiles) o : v() = C = v et z() = C = z. O otiet lors l formule ie coue : z(t) = - gt +vt+z (solutio prticulière) Remrque * Les équtios différetielles sot très utilisées e phsique, e iologie, e chimie et e écoomie. L otio de coditios iitiles correspod ds ce cs à l étt d u sstème à u istt doé. Activités * ) Détermier si les foctios ci-dessous sot ie des solutios prticulières des équtios différetielles doées : i) '' + = vec = si() - cos() ii) ' = + vec = l() + iii) '' - ' + = vec = e ) Former u mois deu équtios différetielles dot l solutio prticulière est doée ci-dessous : i) = + ii) = e iii) = cos() c) Est-ce que l foctio = + vec, peut être l solutio géérle de l équtio différetielle =? et =? et =? P.S. / - 6 Équtios différetielles / N-A

.. Résolutio d équtios différetielles du er ordre* Rppel * Ue équtio différetielle (E.D.) est du er ordre si elle e fit iterveir que l première dérivée. Ds ce chpitre, o doer des méthodes pour trouver l solutio géérle de certies clsses d équtios différetielles du er ordre. Remrque sur l ottio différetielle * Soit = f() ue foctio. Pr défiitio : Δ = ccroissemet de. Δ = ccroissemet de = f(+δ) - f() O peut lors écrire l dérivée de f u poit ( ;f()) f(+ Δ)-f() Δ de l mière suivte : f '() = lim = lim Δ Δ Δ Δ qui est géométriquemet l pete de l droite tgete u grphique de f u poit ( ;f()) Pr défiitio : d = Δ = différetielle de l vrile idépedte. d = f () d = différetielle de l vrile dépedte. O lors l reltio suivte : d f '() d = = f'() d d Coclusio : d f'() d=f'() d d = f(+δ) f() f d d +Δ Δ Δ t P.S. / - 6 Équtios différetielles / N-A

Équtios à vriles séprles du er ordre * Équtios de l forme : ' = f() g() Eemples * ) ' = si() ' = si() d = si() d d = si() d g() f() = cos() + k k Cotrôle : ( cos() + k) ' = si() ok! ) ' = ' = d = d d = d l = + C C g() f() = = = ± = l + C C C e e e e e e k e k Cotrôle : ( ) ' k e = k e k e = k e ok! c) ( -) '= g() f() ' = d = d d = d l l = l + C l = l + C e = e l + C ( ) ( ) ( ) C C C = e = e = ± e = k k Cotrôle : ( ) ( ) ' ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) - k = k k = k ok! Résolutio du cs géérl * ' =f() g() d = f () g() d = f ()d d = f ()d G() = F() + C C d g() g() = G() = F() Avec G ue primitive de g et F est ue primitive de f. P.S. / - 6 Équtios différetielles / N-A

Équtios liéires du er ordre * Équtios différetielles qui peuvet se mettre sous forme : vec f, g dépedtes de uiquemet. '+ f() = g() Pour résoudre cette équtio, ous llos utiliser l méthode de l vritio des costtes. Elle comporte deu phses distictes : i) Recherche de l solutio géérle pour l équtio ss secod memre : ' + f () = ii) Recherche d ue solutio géérle pour l équtio vec secod memre : ' + f () = g() Eemples * ) '+ = cos( ) + si( ) ' + = cos( ) + si( ) f() i) Recherche de l solutio géérle pour l équtio ss secod memre : ' + =. d '+ = ' = = d = d d d d = l( ) + C C C l = + C e = e = e e = ± e e =α e α ( ) Cotrôle : ( ) ' α e +α e = α e +α e = ok! ii) Recherche d ue solutio géérle pour l équtio vec secod memre : ' + = cos ( ) + si ( ) Idée : o dmet α = α() et doc α est ue foctio dépedte de qui est telle que = α ( ) e soit solutio de l équtio vec secod memre. ( ) ( ) ( ) ' + = cos + si vec =α e g() ( α( ) e )' + ( α( ) e ) = cos( ) + si( ) '( ) e ( ) e ( ) e cos( ) si( ) '( ) e cos( ) si( ) '( ) cos( ) si( ) e ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ) α ' d = cos + si e d = cos e + si e d ( ) ( ) α = e si + C C α α +α = + α = + α = + Filemet, l solutio géérle de l équtio vec secod memre est : ( ( ) ) ( ) = α ( ) e = e si + C e = C e + si C Cotrôle : ' ( + ( )) + ( ) C e ( ) ( ) ( ) ( ) C e si + C e si = cos + si + cos + C e + si ( ) = cos( ) + si ( ) ok! P.S. / - 6 Équtios différetielles / N-A

) '- = ( +) + '- = ( +) + f() g() i) Recherche de l solutio géérle pour l équtio ss secod memre : ' - + =. d d d '- = = = d = d l = l + + C C + d + + + = = + = ± + =α + α l l + + C c c e e e e ( ) ( ) + α ( + ) '- α ( + ) = α α = ok! + + Cotrôle : ( ) ( ) ii) Recherche d ue solutio géérle pour l équtio vec secod memre : ' - = ( +) + Idée : o dmet α = α() et doc α est ue foctio dépedte de qui est telle que =α() (+ ) soit solutio de l équtio vec secod memre. + ( ) ' - = ( +) vec ( ) =α + ( α( ) (+ ) )' ( α( ) (+ ) ) =(+) + α' ( ) (+ ) +α( ) α( ) (+ ) = ( + ) + α ' = + ( ) ( ) ( ) α ' d = + d ( + ) α ( ) = + C C Filemet, l solutio géérle de l équtio vec secod memre est : ( + ) ( + ) = α ( ) ( + ) = + C ( + ) = + ( + ) C C Cotrôle : ' - = ( +) + ' ( + ) ( + ) + C( + ) - C( ) = ( +) + + + ( + ) ( + ) + C C = ( +) ok! P.S. / - 65 Équtios différetielles / N-A

Théorème * L solutio géérle de l équtio différetielle liéire du er ordre ' + f () = g() est l somme d ue solutio prticulière de cette équtio et de l solutio géérle de l équtio différetielle ' + f() = Eemples * i) L solutio géérle de l équtio liéire du er ordre ' + = cos ( ) + si ( ) ( ) Sol. prticulière de ' + f ( ) = g ( ) Sol. géérle de ' + f ( ) = f() = si + C e C ii) L solutio géérle de l équtio liéire du er ordre Sol. géérle Sol. prticulière de ' + f ( ) = de ' + f ( ) = g( ) est : g() '- = ( +) + est : f() ( + ) = + C ( + ) C g() Démostrtio * Soit G l solutio géérle et P l solutio prticulière de l équtio ' + f () = g(). Nous pouvos doc écrire G' + f() G = g() et P' + f() P = g() et pr différece : ( ) ( ) G' + f() G P' + f() P = g() g() G' P' + f() G f() P = ' + f() = ( ) ( ) G P G P Ce qui motre que Y = G P est l solutio géérle de l équtio ' + f() =. Filemet G = Y+ P Remrques * ) Ds le cs où l o e coît ps de solutio prticulière de l équtio différetielle liéire o utilise l méthode de l vritio des costtes (ou méthode de Lgrge). ' ) L équtio +f( ) = est à vriles séprles et o peut toujours trouver l solutio géérle de cette équtio différetielle. d d + ( ) = = ( ) = ( ) ( ) d = ( ) ( ) ' f f f d d f d ( ) f d+ C C f d F() l = f d + C = e = ± e e =α e α Avec F ue primitive de f. P.S. / - 66 Équtios différetielles / N-A

Remrque : lors de l résolutio des équtios différetielles doivet figurer toutes les étpes de clculs. Eercice 66 * Résoudre les équtios différetielles à vriles séprles du er ordre suivtes : ) ' = ) ' = c) ' e = d) ' = cos ( ) e) Effectuer le cotrôle des solutios pour ) et ) Eercice 67 * Résoudre les équtios différetielles à vriles séprles du er ordre vec les coditios iitiles suivtes : ) c) ' = et ( ) = ) ' m ( ) = = et ( ) m et sot des costtes. + ( + ) ' = et ( ) = d) Effectuer le cotrôle des solutios pour ) Eercice 68 * Résoudre les équtios différetielles liéires du er ordre suivtes : ) ' + = ) ( + ) ' = ( + ) c) ' = l( ) d) Effectuer le cotrôle des solutios pour ) Eercice 69 * Résoudre les équtios différetielles liéires du er ordre vec les coditios iitiles suivtes : ) ' = et c) ' + = cos( ) et ( ) = ) ' + = et () = = d) '+ k = et () = k et sot des costtes. Eercice 7 * Cs géérl : Méthode de l vritio des costtes Résoudre l équtio différetielle liéire du er ' ordre : + f() = g() P.S. / - 67 Équtios différetielles / N-A

.. Iterpréttio géométrique des équtios différetielles * Eemple * Soit l'équtio différetielle : ' = d d = Cette équtio sigifie que l pete de l tgete à l coure = f () u poit (;) est égle à. Elle défiit u chmp de directios : - - - - - - - - Ce chmp de directios lisse trsprître les grphiques des foctios = f () qui e chque poit ot l pete voulue, c'est-à-dire les solutios de l'équtio différetielle. Il s'git ici de proles. L pete déped de et ps de. L résolutio lgérique de cette équtio différetielle doe l solutio géérle : = +C C Avec comme coditio iitile () = - o C = - et l solutio prticulière est : = - (coure e grs et cotiue) P.S. / - 68 Équtios différetielles / N-A

Eemple * Soit l'équtio différetielle : ' = d d = Cette équtio sigifie que l pete de l tgete à l coure = f () u poit (;) est égle à. Nous oteos le chmp de directios : - - - - - - - - Celui-ci ous motre que les solutios prticulières de cette équtio différetielle ot des llures epoetielles. L pete déped de et ps de. L résolutio lgérique de cette équtio différetielle doe l solutio géérle : =C e C Avec comme coditio iitile () = o C = et l solutio prticulière est : =e (coure e grs et cotiue) P.S. / - 69 Équtios différetielles / N-A

Eercice 7 * Pour quelles coures C l pete de l tgete e chque poit ( ; ) est-elle égle u produit des coordoées du poit de cotct? - - - - - - - - Eercice 7 * L tgete e chque poit (;) d ue coure C coupe l e O u poit (;k). ) Quelles sot les coures C vérifit cette coditio? ) Que peut-o dire des cs : k = -, k =, k = et k =? Eercice 7 * Pour quelles foctios f l dérivée de f est-elle, e chque poit, égle u crré de l dérivée de f? P.S. / - 7 Équtios différetielles / N-A

.. Applictios u scieces epérimetles * E.D. du er ordre Importce des équtios différetielles * Depuis plusieurs ceties d'ées, les scietifiques s'efforcet de décrire/modéliser le mode qui ous etoure pr des équtios mthémtiques. L dérivée étt défiie comme u tu de vritio istté, ue équtio différetielle eprime doc ue reltio etre les vritios d'ue foctio et l foctio elle-même. Elle permet doc, lorsqu'o l résout, d'ccéder à l coissce de l foctio pr l'itermédiire de ses vritios. Or, ds les scieces epérimetles, c'est le plus souvet sous cette forme que les foctios pprisset à l'oservteur. E effet, l'étude epérimetle d'u phéomèe phsique, iologique, écoomique, etc. déouche souvet sur ue équtio différetielle dot l résolutio permet de retrouver l loi qui régit le phéomèe. Eercice 7 * Loi de refroidissemet de Newto Si u corps est plcé ds u milieu mit dot l tempérture T est costte, l tempérture T (e Celsius) du corps u temps t (e miute) est doée pr l loi de refroidissemet de Newto : «L vitesse de refroidissemet du corps est proportioelle à l différece des tempértures du corps et du milieu mit.» dt =k dt Ce qui peut s écrire : ( T-T ) vec T l tempérture du milieu mit. ) Résoudre cette équtio différetielle, scht qu'u temps t = l tempérture est égle à T. Autremet dit, détermier l tempérture T de ce corps u temps quelcoque t. ) Ds ue pièce dot l tempérture est de, se trouve ue ouilloire remplie d'eu dot l tempérture iitile est de. Après 5 miutes, l tempérture de l'eu 'est plus que de 8. i) Quelle est l vleur de l costte k? ii) Quelle ser l tempérture de l'eu près miutes? iii) Au out de comie de temps l tempérture de l'eu e ser-t-elle plus que de o? t ; ( pge A qudrillée). iv) Trcer le grphique de T(t) pour [ ] c) Loi de refroidissemet de Newto, revue et corrigée pr "LES EXPERTS"!!! Au momet où l'o découvre le cdvre d'u homme ssssié (à h5), s tempérture est ecore de,8. Ue heure plus trd, elle est descedue à,9. Scht que l tempérture de l pièce ds lquelle o trouvé le corps est de,, détermier à quelle heure le crime été commis. P.S. / - 7 Équtios différetielles / N-A

Eercice 75 * Itroductio Qu'est-ce que l rdioctivité? Ds l ture il eiste des ou istles qui retrouvet u étt de stilité pr ue désitégrtio spotée. Le résultt d'ue désitégrtio est l'émissio d'ue ou plusieurs prticules et souvet d u roemet électromgétique de fréquece élevée. Il eiste des élémets qui sot turellemet rdioctifs. Les utres élémets rdioctifs, plusieurs ceties, sot redus rtificiellemet istle e omrdt des ou ormlemet stles vec des eutros ou utres prticules. Loi de l désitégrtio «L vitesse de désitégrtio d u corps rdioctif à l istt t (c'est-à-dire l vritio isttée de l msse dm pr uité de temps dt) est proportioelle à l msse m de ce corps u temps t. ) Eprimer l «loi de l désitégrtio» sous forme d ue équtio différetielle et doer l msse m du corps rdioctif e foctio du temps t scht que m() = m. ) Clculer le temps écessire à l désitégrtio de l moitié de l msse rdioctive m. c) O ppelle demi-vie τ / (ou T) d'u élémet rdioctif, le temps écessire pour que l moitié des tomes présets iitilemet se désitègret. τ / peut vrier de -6 secodes à plus de 5 s. L demi-vie est l priciple crctéristique utilisée pour distiguer u élémet rdioctif d'u utre. Pr eemple, l'isotope rdioctif Bi du ismuth ue demi-vie d'eviro 5 jours, celui du Po du poloium ue demi-vie d'eviro jours. Les récteurs ucléires produiset l'isotope 9 Pu du plutoium, dot l demi-vie est d'eviro s! i) Si o gr. de Bi, comie e rester-t-il près 5 jours? ii) Si ue cetrle ucléire produit u kilo de 9 Pu ujourd'hui, comie fudr-t-il de temps pour qu'il e reste grmme? d) O dmet que l cocetrtio du C (rdioctif) ds l'tmosphère toujours été costte u cours du temps. Les orgismes vivts igèret durt toute leur eistece du croe et e prticulier du C. Aisi, durt l vie, l'sorptio de C compese ectemet l prtie de C qui s'est désitégrée. Dès l mort, l qutité de C commece à décroître, dimiut de moitié toutes les 5 568 ées (demi-vie du C). Doer pproimtivemet l'âge d'u os humi fossile qui cotiet % du croe trouvé ds u os humi récet. P.S. / - 7 Équtios différetielles / N-A

Eercice 76 * Loi de croissce/décroissce epoetielle «L vitesse d'ccroissemet de l popultio d'ue ville u temps t (c'est-à-dire l vritio isttée du omre d'hitts dp pr uité de temps dt) est proportioelle u omre d'hitts P de cette ville u temps t.» ) Scht qu u temps t et t respectivemet, l popultio est égle à p et p respectivemet, détermier l popultio P de cette ville u temps t. ) Ue ville de l ouest des U.S.A. vit ue popultio de 5 hitts e 8 et de hitts e 8. E dmettt que l popultio de cette ville suive ue loi de croissce/décroissce epoetielle, e quelle ée cette ville est-elle deveue ue ville «ftôme»? c) L popultio modile étit de,5 millirds d humis e 95, de, millirds e 96. Quelles estimtios pouvez-vous fire pour les décdes suivtes? P.S. / - 7 Équtios différetielles / N-A

Eercice 77 * Imgios qu ue popultio doée ds u milieu doé e puisse ps dépsser ue certie qutité M. Les cuses de cette limittio sot multiples ; preos comme eemples le mque de logemet ds ue ville, le mque de ourriture sur ue île,etc. Loi de croissce logistique Pierre Frçois Verlhust (8-89, mthémticie elge) eprim l vitesse d ccroissemet d ue popultio à l ide d ue formule qui tiee compte du fit que le milieu est limité et soit vlle tout u log de l croissce (c est-à-dire ussi ie u déprt, qud rie rrête l reproductio que plus trd, qud le milieu est sturé). E utilist l epressio : dp M - P =k P dt M (Equtio différetielle du er ordre) loi de croissce epoetielle foctio retrdtrice Où P est le omre d idividus u temps t. k est le tu de croissce. M est l cpcité d ccueil du milieu. Avec cette équtio ous rrivos à u o compromis. E effet : i) Lorsque l croissce déute, P est très petit e comprisos de M : dp M - P M - = k P k P = k P dt M M dp Ce qui est ie l epressio d ue croissce epoetielle : k P P(t) P e dt dp M - P M - M ii) Lorsque P est très proche de M doc e fi de croissce : = k P k P = dt M M Ce qui est ie l epressio d ue croissce ulle : dp P(t) Cte (droite horizotle) dt E coclusio, l croissce d ue popultio se crctérise pr ue phse iitile de croissce epoetielle suivie d ue phse de rletissemet de l vitesse d ccroissemet due u fcteurs limitts. kt Schém comprt les lois de croissces epoetielles et logistiques : 8 6 P M = 8 P o = K = / t.5 5 7.5.5 5 7.5 Remrque : Ds les coditios turelles, l tille de l popultio peut suir des vritios l éloigt de cette coure (pr eemple, ue épidémie, ue ctstrophe turelle, etc.) P.S. / - 7 Équtios différetielles / N-A

Eocé : ) Résoudre l équtio différetielle : dp = k P M - P, scht qu'u temps t = l popultio est dt M égle à P. Idictios pour résoudre cette équtio : Il fut poser P(t) = et l équtio résultte est à vrile séprle. Z(t) ) U iologiste oserve que l popultio d oiseu sur ue île à u tu de croissce de u tiers. Au premier mois de l oservtio ( er septemre ) il ' oiseu. Il estime ussi que l cpcité d ccueil de l île est ps illimitée (ourriture limitée, ris restreits,etc.) et doc que l cpcité d ccueil de l île e peut dépsser ' oiseu. E suppost que l popultio suive ue loi de croissce logistique : i) Comie ur-t-il d oiseu u er juillet? ii) À prtir de quel mois, l popultio -t-elle été supérieure à 5' idividus? iii) Trcer le grphique de P = f(t). pour t [ ;] ( pge A qudrillée). c) L loi de croissce logistique est-elle u modèle réliste d'ccroissemet d ue popultio si t? Justifier votre répose. Eercice 78 * di Ue des équtios de se de l théorie des circuits électriques est L R I U(t) dt + = où L (hers) désige l iductce, R (ohms) l résistce, I (mpères) l itesité du court, U (vots) l force électromotrice, ou f.e.m. et t le temps e secodes. ) Eprimer I e foctio de t si R, L et U(t) = U sot des costtes et si le court iitil est de I() = I o. ) Quelle est l vleur du court I si t? U R L P.S. / - 75 Équtios différetielles / N-A

. Solutios des eercices E ) 5 ) c) d) e) 9 f) g) 5 h) - i) 58 j) c c+ c c+ c c5 k) c+ c + c + c 5 l) f ( ) h+ f ( + h) h+ f ( + h) h+ f ( + h) h E ) 6 ( i + ) ) i= 8 i i= c) 6 k ( ) + k ck k= d) f ( c i)( i i ) i= E ) d= ) d = c) d= d) d = E 5 ) ) 9 c) 8 d) 7 e) f) g) h) ) 9 ) 5 c) d) 5/6 E 6 ) 7 ) 9 c) -8 d) 8 E 7 ) ) c) 9 6 d) 8 E 8 ) c( ) ) c d) α +β +γ ( ) f) pr riso de smétrie. c) e) c c c si c + c si E ) d) 9 f()d ) 6 f()d e) f () t dt 6 E ) c= f(c) = 9 ) d) 6 f()d c) e f()d d + h f) () f t dt c= f(c) = c) c= f(c) = 5 8 c= f(c) = 8 e) c= f(c) = 6 f) c= f(c) = E ) F() = + ) F'() = + c) F'() = f() _ P.S. / - 76 Solutios des eercices / N-A

E ) F() = + + C ) F(t) = t t + t + C ) F() = + + C ) F(z) = C z + z + 5) F() = ( ) + C 6) F() = ( ) + C 9 8 7) F() = ( ) + C 8) F() = + + C 9) F(u) = si(u) + C ) F() = cos() + C ) F() = + C ) F(u) = ( )u + C 5 5 5 5 ) F() = + C ) F() = + + C 5) F() = + 6 + C 5 9 6) F() = ( + ) + + C 7) F() = ( ) + C 8) F() = ( + ) + C 9 6 9) F() = + C ) F() = + + + C ) F() = ( + ) + C 6 5 ) F() = C + + ) 7 F() = + + C ) F() = ( + ) + C 5 5) F() = + C 6) F() = + C 7) F() = ( 5 + 6) + C 5 8) F() = 9 + + C 9) F() = cos() + C ) F() = t() + C 6 5 ) F() = si() + C ) F() = si () + C ) F() = cos () + C 8 6 5 ) F() = ( cos()) + C 5) ( ) 5 F() = + + C 6) F() = + C 6 E ) 7 7) ) ) ) 5 5) 6 7 8) 9) 7 ) ) 98 ) ) 5) 5 6 5 π 9) ) (6 + ) *) 6) 5 7) 5 7 5 6) ) 9 8) E 5 k = 6 et k = E 6 ) c= et c= ; f() =,5 et f() =,5 E 7 ) ( ) c = 5 f 5 = 5 ) c= f(c) = 5 8 9 8 c) c= f(c) = d) c= f(c) = 5 5 5 5 E 8 ) ) A = E 9 A = 6 E A = E ) Z(f ) = {,,} c) A = d) A =,5 e) A =,5 f) No, cr 6 6,5 _ P.S. / - 77 Solutios des eercices / N-A

E E * ) = ou = ou = ou = ) = 5 E * f() = 6(-)(-) E 5 * ) P() = + π π ) Etremum: π π π ;P = ; π E 6 * ) A = 6 ) pete = 6 ) d() = (6-) ) S = 5) = + 6) S 6 = 8 E 7 * ) π π ) c) π d) I = e) 6 5 f) l() 9 E 8 * ) I = + C I = cos() + C cos () I = ( cos() si() ) + C I = cos() + C ( ) ) I = cos()si () + I ) + ( ) I c) I = cos() + cos () + K 8 8 I = cos()si () cos()si() + + K E 9 * ) e) 6 5 ) ( 6 7 5 ) c) d) 5 π f) l() g) l() h*) r E * ) ) c) E ) A = ) A = ) 5) A= 9 6) A= 8 7) A = ) A = 5 A = 8) A = 5 E ) 56π V = ) 6π V = ) V =π π ) V = E E 5 E 6 V = π r h π V = V = π r E 7 * V = πh ( r h) E 8 * V = π r h _ P.S. / - 78 Solutios des eercices / N-A

E 9 ) 5π V = ) 5 6 π V = E * ) V Rr = π ) ( )( ) V= π + d) L gue est e rget. E * ) CG ; ) C G ; ) C ; r G π r r ) C G ; π π E * ) V = r h π ) V = r π c) V =π r R d) V = πr h π r h E * ) 8,6 [km] ). [ km / h ] E * c) Altitude = [ m] c) t 7.6 secodes c) v( 7.6 km ) 8 [ h ] c) V = 8 km [ h ] d) d 7[ m] d) V = km [ h ] m 7. e) t = [s] (eviro km!!) d) Fu elle vut, d 58[ m] [ m] e) / ( ) =.[ m] f) (,6 ),5 [ m] E 5 * ) No, f(t) t ) 5 méglitres. c) Le lc cotiedr méglitres u ème jour. d) Le lc peut déorder cr etre le ème et le 8 ème jour il ecore méglitres qui retret. m E 6 * Tm,.z E 7 ) l z ) l ) ) l() + l() l(c) ) l() l(c) ) l() l() ) l() + l() l(c) 5) l() + l() 6) l() + l() l(c) ) l ( z ) π l 5 E 8 ) f'() = ) f() ' = ) f'() = 5 6 + ) f'() = 5) f'() = l() 6) f '() = t() + l() 7) f'() = 8) f'() = 9) f'() = l() ) f '() = l() + ) f'() = ) f'() = l() 7 ) f'() = ) f'() = ( )( + ) E 9 ) f dmet u miimum locl e = et l vleur miimum est f() = 8l(). ) =,5 e E 5 Aire,8 Volume, 6 π _ P.S. / - 79 Solutios des eercices / N-A

E 5 ) l ) l() 9 7 5) l 6) l 6 l () 9) l(5) ) 5 l ) l() ) ( ) 7) l() 8) 5l() ) l() *) l() ( l( ) 6+ l( ) ) E 5 ) e ) ) ) e ( ) e ) = + e ) ( e ) l( ) + l( ) ( l( 5) + l( 5) ) ) e ( e ) = ) ( ) = e e c c ( e ) = e + e e e c ( )e E 55 ) f'() = (+ )e ) f'() = ) f'() = e ) f '() = (6 + 9)e 5) f'() = e 6) f'() = e e 7) f'() = e + e 8) f'() = 9) f'() = (e ) e ) f'() = + ) f'() = e ) f'() = e e e E 56 ) ) ) 65 e 5 7 5 ) e + e e e 5) (e e ) 6) (e ) 8 7) 8) l(e + ) e e ) ) e 9) ( ) E 57 E 58,6 e V=π e 6e + E 6 * ) λ= et ( ) A = A = /e m E 6 * ) e e ) + l() 9 c) e + e 6 d) 78 l(9) 9 E 6 * ) = + + ) I e (cos() si()) C = + J e (si() cos()) C e K = cos + si + c) ( ) ( ) E 6 * ) I = e et I e L = si cos + d) ( ) ( ) = ) ( ) c) I = e, I = 6 e et I = 9e I = e + + I _ P.S. / - 8 Solutios des eercices / N-A

E 6 * ) / ) ) ) 5) e 6) E 65 * 7) 8) - 9) ) ) ) ) ) 5) 6) l() l() g' e -e l() g'' = e -e 6+ 6 h'' = e ) f ( ) = f' ( ) = f'' ( ) = ) c) d) g()= e - e ( ) = ( ) ( ) h()= h' ( ) = ( ) e -( l() ) j() = e) k(t) = t e- + t f) m() l( 9) E 66 * ) c) ( ) j' = + ( ) = e l() l() ( ) t ( e-) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( + 9) t t t e e e + k' () t = + k'' () t = t e m' = + 9 =± + C C ) = l + C C d) ( ) m'' = + C C =Arct + C C = E 67 * π ) ( ) = si + ) ( ) ( ) = + c) m e = l + + E 68 * ) C e C E 69 * = + ) ( ) = + C ( + ) C c) = l( ) + C C ) = +.. = + K K vec C I K ) = + K vec C. I. = + c) ( si( ) cos( ) ) Ce = + + C vec C. I. = ( si( ) + cos( ) + e ) k k k d) = C e + C vec C.. I = ( e ) + k E 7 * = α e α E 7 * k C C = E 7 * = α α = = β β ' ' Si e Si _ P.S. / - 8 Solutios des eercices / N-A

E 7 * ) () ( - ) kt Tt T T T e k = + ) i) k =.9 ii) T 7.5 iii) t 7. mi c) Le crime été commis à : 7h7 mi E 75 * kt l() ) mt () = me ) τ / = c) i) gr k ii) 9'9 s d) 8'5 s E 76 * ) pt () t p t = p p ) t 7 s E 77 * ) M Pt () = M kt e + P ) i) 9' 6 oiseu ii) t, 5 jours Rt U L E 78 * ) I() t = e + I e R Rt L U ) Cte R = _ P.S. / - 8 Solutios des eercices / N-A

Notes persoelles

Notes persoelles