CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL

CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL H.W. Bode (95-98), mthémticien et physicien méricin. Bode entr dès 99 ux Bell Lbs, où il trvill vec Fry et Nyquist sur l théorie des circuits et des systèmes. Il pport plusieurs contributions fondmentles à l étude de l stbilité, notmment pour les mplificteurs à contre-réction. Il prticip églement à de nombreux comités d études (notmment pour l crétion de l NASA en 958). Entre 95 et 967, il fut directeur de l recherche en mthémtiques ux Bell Lbs. Il termin s crrière comme professeur de Théorie des Circuits à Hrvrd. D un nturel modeste, il étit connu pour son sens didctique. Nous vons jusqu'ici crctérisé les systèmes linéires pr leur fonction de réponse opértionnelle H(p) ou leur réponse impulsionnelle h(t). Ces fonctions permettent en effet de clculer l réponse forcée du système (trnsitoire et régime) à n'importe quelle excittion. Le plus souvent, lorsqu'on excite ces circuits vec un signl périodique, c'est l réponse de régime qui importe le plus. Nous llons voir dns ce chpitre qu'il est très fcile de clculer l réponse de régime à une sinusoïde : l fonction de réponse opértionnelle, H(p), se réduit en effet dns ce cs une fonction de réponse isochrone, ou réponse en fréquence, H(jω). L réponse à une excittion périodique quelconque est dès lors fcile à clculer, pr décomposition du signl en série de Fourier. Nous verrons même u chpitre 7 que l trnsformée de Fourier nous permettr de clculer, vi H(jω), l réponse à une excittion quelconque (même non périodique). L'importnce prtique de cette réponse en fréquence justifie l'étude des grphes permettnt de l'fficher (lieux complexes, digrmme de Bode et digrmme symptotique de Bode). Le chpitre se termine pr l'étude plus pprofondie des fonctions de réponse en fréquence des systèmes du premier et second ordre, générlisés à un ordre quelconque. On étudie en prticulier les circuits résonnts. 5. Réponse forcée en régime sinusoïdl - Réponse isochrone

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL Considérons le cs d'un système linéire à l'étt quiescent dont l'excittion vut : xt ( ) = ε( t).exp( jω t) X( p) = L réponse est donnée pr : H( p) yt () = LI p jω p jω Après décomposition en frctions simples, on trouve, en supposnt que les pôles de H(p) sont simples : et ( ) A H( p) H jω i Y( p) = = + p jω p jω ( p p ) i i vec H( p)( p p ) Ai = ( p ) i jω p= pi (5.) (5.) (5.3) () ( ) j ω t pt i yt = H jω e + Ae. ε() t i (5.4) i Si l pulstion jω coïncide vec une pulstion propre p i, Y(p)possède un pôle double qui, engendrer un terme t e jω t en plus du terme e jω t. Dns tous les cs, si le système est strictement stble (c'est-à-dire si tous ses pôles sont à guche de l'xe imginire), tous les termes en e jp i t sont trnsitoires. Après un temps suffisnt, il ne subsiste donc que le terme de régime : y t = H j e ω t (5.5) j t régime () ( ω) ε() On constte donc que l réponse de régime d'un système linéire à une excittion exponentielle imginire est l'excittion elle-même, multipliée pr une constnte complexe qui peut être obtenue en remplçnt p pr jω dns l fonction de réponse opértionnelle H(p). L fonction H(jω) est ppelée fonction de réponse isochrone ou réponse en fréquence du système. L conclusion est l même si l'excittion est sinusoïdle : st = t= e + e (5.6) jωt jωt () cos ω ( )/ L réponse est donnée pr : [ ω ω ω ω ] yt ( ) H( j )exp( j t) H( j )exp( j t) (5.7) = + Or, H(p) est une frction rtionnelle à coefficients réels, ce qui implique que H( jω ) = H( jω ). [ ] j Si l'on pose H( jω ) = H( jω ) e θ, il vient : yt H jω ωt θ () = ( )cos( + ) (5.8) Une sinusoïde engendre une réponse sinusoïdle dont l'mplitude et l phse seront modifiées pr rpport u signl, mis dont l fréquence ne chnge ps.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 3 Exemple 5. Le bipôle représenté à l Fig. 5., supposé dns l'étt quiescent ( i ( ) =, u () = ) est connecté à une source de tension : ut () = U cos( ωt+φ ) ε() t. L C i R i L e u C L ' u C Fig. 5. Circuit RLC en régime sinusoïdl U e e ε ( t) Si à l tension réelle on substitue l tension complexe j Φ j ω t en trnsformée de Lplce devient: RI( p) Lp I( p) I( p) U e j Φ + + = pc p jω jφ U e I( p) = = Y( p) U( p ) ( R+ Lp+ ) ( p jω ) pc, l'éqution du circuit L réponse i(t) comporte un terme trnsitoire et un terme de régime; excepté dns le cs limite où R=, on peut écrire, près extinction du terme trnsitoire : it () = I e e = U e R+ jω L+ jωc = Y( jω ) U e jϕ jωt j( ωt+φ) j( ωt+φ) et le cournt de régime dû à l tension réelle u(t) est donné pr l prtie réelle de cette expression. L fonction de réponse de régime sinusoïdl Y(jω) est obtenue pr simple substitution de jω à p dns l fonction de réponse isomorphe. On urit d'illeurs pu obtenir i(t) plus rpidement en ne considérnt plus que les substituts complexes U = U e jφ et I = I e jϕ des cournts et tensions, et on urit pu écrire : I = Y( jω ) U ce qui exprime que si ut () = U cos( ωt+φ ), le cournt de régime vut it () = I cos( ωt+ ϕ), vec : I = U et ϕ = Φ θ R + ( Lω / Cω) Dns le cs prticulier où l fonction de réponse H(p) est une immitnce (Z(p) ou Y(p)), H(jω) s'écrit : Z( jω) = R( ω) + jx( ω ) ou Y( jω ) = G( ω) + jb( ω) (5.9)

4 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL et R(ω) est ppelée résistnce, X(ω) réctnce, G(ω) conductnce et B(ω), susceptnce. 5. Lieux complexes Le lieu complexe reltif à une grndeur complexe quelconque F(ω) est l courbe décrite pr l'extrémité du vecteur qui représente cette grndeur lorsque l'on fit vrier l pulstion ω de à +. En générl, l fonction de déprt F(p) est une frction rtionnelle à coefficient * réels et on donc F( jω ) = F ( jω ). Le lieu qui correspond à ω de - à est donc le symétrique du précédent pr rpport à l'xe réel. Les lieux complexes de H(jω) (prfois ppelés digrmmes de Nyquist) permettent de visuliser, sur un seul grphique, le module et l phse de l réponse isochrone. Ils sont grdués en ω. Exemple 5. - Lieux complexes des fonctions de trnsfert de qudripôles du premier ordre Le lieu complexe ssocié à l fonction de réponse du premier ordre est un cercle. En effet, le lieu ssocié à l fonction ( jω + )/ est une droite verticle qui psse pr le point de coordonnées (,) (Fig. 5..) et on vu en géométrie que l'inverse d'une droite qui ne psse ps pr l'origine est un cercle qui psse pr l'origine. On peut risonner de l même fçon à propos de l fonction jω /( jω + ) (Fig. 5..b). I m Im Re Re (,) () (b) Fig. 5. Lieux complexes des fonctions de réponse du premier ordre. ( : ( jω + )/ ; b: jω /( jω + ) ) 5.3 Digrmmes de Bode Il fut éviter de confondre cette fonction R(ω) vec l'élément résistnce R, composnt éventuel du dipôle sous-jcent. Même dnger de confusion

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 5 5.3. Gin logrithmique - Phse Le plus souvent, on visulise séprément le logrithme 3 du module et l phse de H(jω) : ( ω) = ln H( jω ) b( ω) = rg H( jω ) (5.) L grndeur (ω) est ppelée gin logrithmique, et b(ω) phse ou rgument. Le gin insi défini s'exprime en Néper (N); dns l prtique cependnt, on utilise beucoup plus le pssge pr le logrithme en bse : ( ω) =.log H( jω) =.log H( jω) (5.) et dns ce cs l'unité est le décibel 4 (db). Il existe bien entendu un rpport de proportionnlité entre Népers et décibels: N = log e 8,686 db (5.) L vleurs du Tbleu 5. permettent de se fixer les idées. Gin en puissnce Gin en mplitude db ¼ ½ log() 3dB ½ / log() 3dB 6 db db 4 db 6 db 5.3. Digrmmes de Bode Tbleu 5. Vleurs usuelles et équivlents en db L'ffichge du gin logrithmique et de l phse de H(jω) en fonction de log(ω) constitue ce que l'on ppelle des digrmmes de Bode. L'ffichge en fonction de log(ω) fit bien pprître les décdes qui crctérisent un rpport de fréquences égl à ; on prle prfois églement en 3 Le pssge pr le logrithme du module de H(jω) permet de fire mieux pprître les rpports de modules (H(jω )/ H(jω )) identiques. Le logrithme permet donc de voir, vec un même niveu de détil, les vritions reltives de H(jω) utour de son mximum et de son ou ses minim. On verr églement plus loin que le logrithme permet une visulistion rpide sous forme de segments de droites dns le digrmme symptotique de Bode. 4 Le Bel est une unité définie en coustique, comme le logrithme déciml d'un rpport de puissnces : log H( jω )

6 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL termes d'octve, qui est le rpport entre deux fréquences dont l'une est le double de l'utre. Exemple 5.3 - Pôle réel simple Considérons l trnsmittnce du premier ordre H ( p) = /( p+ ) dont on désire représenter l courbe de gin logrithmique. On : ( ω) = log jω+ Pour ω Æ, l courbe de gin tend vers : ( ω) = log ω et pour ω Æ : ( ω) = logω ω Si l'on choisit log(ω) pour bscisse, ces deux expressions sont les équtions de deux droites : une symptote bsse fréquence et une symptote hute fréquence. L pente de l'symptote hute fréquence est donc de - db/décde ou -6 db/octve. w= w= log ω -log 3 db H(p) = /(p+) -logw Fig. 5.3 Digrmme de Bode de H ( p) = /( p+ ) Considérons trois vleurs prticulières crctéristiques de ω : ω = : ( ω) = log log log 3dB ω = : ( ω) = log log 5 log 7dB ω = / : ( ω) = log log 5/ 4 log db On peut insi construire isément trois points de l courbe du gin à prtir des symptotes (Fig. 5.3). Exemple 5.4 Zéro réel simple Le cs de l trnsmittnce du premier ordre H ( p) = p+ est obtenu imméditement, puisque le logrithme chnge simplement de signe. ( ω) = log jω+ Pour ω Æ, l courbe de gin tend vers : ( ω) = log ω

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 7 et pour ω Æ : ( ω) = logω ω On donc toujours deux symptotes. L pente de l'symptote hute fréquence est de + db/décde ou +6 db/octve (Fig. 5.4). H(p) = p+ +logw 3 db +log w= w= log ω Fig. 5.4 Digrmme de Bode de H ( p) = p+ Exemple 5.5 Pire de pôles complexes conjugués Soit l fonction de réponse opértionnelle : Η ( p) = p + σ p+ ρ qui correspond à un système dont les pôles (complexes) ont pour prtie réelle -s et pour module r. Le gin logrithmique est donné pr : ( ω) = log H( jω) = log ( ρ ω ) + 4σ ω On observe donc deux symptotes de gin logrithmique: ( ω) = logρ ω ( ω) = 4logω ω L'symptote en hute fréquence à une pente de -4 db/déc; les deux symptotes se rencontrent u droit du module des pôles : en * p ω = ρ = p =. Nous llons rechercher l position de l courbe réelle pr rpport ux symptotes. Elle psse pr un mximum dont l'bscisse est donné pr : ( ω) ω = c.à.d. : ( ρ ω )( ω) + 8σ ω = et : σ ωm = ρ = ρ - ρ Q

8 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL où Q = ρ /σ est ppelé fcteur de qulité de l pire de pôles. On remrque que si Q >>, ωm ρ et le gin logrithmique en ω = ρ vut : ρ ( ) = log(4 σ ρ ) L différence entre cette vleur et l vleur de l symptote horizontle vut donc : ( ρ) () log(4 σ ρ ) log( ρ ) log( ρ/ σ) log = + = = Q L Fig. 5.5 illustre les différents cs possibles ( Q> et.5< Q< ). On remrquer que lorsque Q <.5 les pôles de H( p) sont réels ; les développements obtenus ici ne sont donc plus vlbles. ω= ω=ρ log ω log r² log Q (Q > ) log Q (Q < ) -4 db/déc Fig. 5.5 Digrmme de Bode de Η ( p) = p + σ p+ ρ Exemple 5.6 Système d ordre élevé Affichons sous Mtlb, pour ω llnt de - à + rd/s, le digrmme de Bode de l fonction de réponse : 3.69 p H( p ) = (5.3) 6 5 4 3 p +.389 p +3.74 p +.4848 p +3.74 p²+.389 p+ N =[.69,,,]; D =[,.389,3.74,.4848,3.74,.389,.]; freqs(n,d,logspce(-,));

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 9 Mgnitude - -4 Frequency (rdins) Phse (degrees) - - - Frequency (rdins) Fig. 5.6 Digrmme de Bode On constte que l réponse en fréquence vut à peu près db utour de rd/s, et qu'elle décroît en bsse et hute fréquence, vec une pente de 6 db/décde. 5.3.3 Interpréttion géométrique des digrmmes de Bode Les digrmmes de Bode en gin et en phse peuvent être interprétés géométriquement à prtir de l position des pôles et des zéros de H(p). En effet, on peut toujours mettre H(p) sous l forme: ( p z)( p z)...( p zm) H( p) = k ( p p )( p p )...( p pn ) (5.4) ce qui conduit à: ( jω z)( jω z)...( jω zm) H( jω ) = k ( j ω p )( j ω p )...( j ω pn ) (5.5) Il s'ensuit que: N N... N ω = (5.6) M H( j ) k D D... D N où N q et D p sont les modules des vecteurs (complexes) qui ont leur origine sur le q ème zéro ou le p ème pôle et leur extrémité en jω sur le pln complexe (Fig. 5.7). On en conclut que, lorsque le vecteur jω psse à proximité (voire sur) un zéro z q de H(p), l norme N q du vecteur correspondnt psse pr un minimum, et le digrmme de gin ccuse lui ussi un minimum locl (d'utnt plus igu qu'on psse près du zéro). Inversement, lorsque le vecteur jω psse à proximité (voire sur) un pôle p p de H(p), le digrmme gin ccuse un mximum locl (d'utnt plus igu qu'on psse près du pôle). Il est clir églement qu en hute fréquence, l ction de chque zéro z q nnule celle d un pôle p p : N q /D p tend vers.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL Im Dp Nq bp jω q Re Fig. 5.7 Estimtion du gin et de l phse à prtir du digrmme des pôles et zéros Il vient églement, pour l phse : ( H j ) k M rg ( ω) = rg( ) + α + α +... + α β β... β (5.7) où α q et β p sont les rguments des vecteurs (complexes) qui ont leur origine sur le q ème zéro ou le p ème pôle et leur extrémité en jω sur le pln complexe. Comme k est réel, rg(k) vut ou π. On en déduit le rôle de chque pire de zéros complexes z q et z * q sur le digrmme de phse. Dns le cs d une pire de zéros à droite de l xe imginire (Fig. 5.8), lorsque ω psse de à l infini, l rgument α q du vecteur complexe qui son origine sur z q fit un sut de π/+rg(z q ) vers le bs, tndis que l rgument α * q correspondnt à z * q fit un sut de π/-rg(z q ) (Fig. 5.8). Deux zéros à droite de l xe imginire interviennent donc pour un sut de π vers le bs. Ce sut sur le digrmme de phse est d'utnt plus rpide que l xe jω psse près du zéro. Il est fcile de montrer pr un risonnement similire que, dns le cs d une pire de zéros à guche de l xe imginire, le sut de phse est de π vers le hut. De même, un zéro réel intervient pour un sut de phse de π/, vers le bs ou vers le hut selon son signe. Le rôle des pôles est identique u signe près : chque pire de pôles (forcément à guche de l xe imginire, si le système est stble) contribue à un sut de phse de π vers le bs. Ce sut sur le digrmme de phse est d'utnt plus rpide que l xe jω psse près du pôle. Un pôle réel (forcément négtif) contribue à un sut de phse de π/ vers le bs selon son signe. Un zéro ou un pôle sur l xe imginire contribue à un sut de phse brusque d exctement π 5. N 5 Ce sut n'est ni vers le hut ou vers le bs, puisque l phse est définie à π près et que le «sut» est infiniment rpide.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL Im p/ +rg(z q ) z q q (w=µ) q (w=) rg(z q ) Re -rg(z q ) p/ -rg(z q ) * q (w=µ) z q * * q (w=) Fig. 5.8 Vleurs extrêmes des contributions de phse dues à deux zéros complexes conjugués à droite de l xe imginire Exemple 5.7 Affichons les pôles et zéros de l fonction de trnsfert de l'exemple précédent : zplne(n,d).5 Imginry prt 3 -.5 - -.5 - -.5.5.5 Rel prt Fig. 5.9 Pôles et zéros de H(p) On constte 3 zéros en ω= et 3 pires de pôles complexes conjugués très proches de ω= (Fig. 5.9). On en conclut déjà que, u voisinge de ω=, les pôles vont contribuer à créer une résonnce sur le digrmme de gin. On voit églement que l réponse en fréquence vut - (db) en ω=, et en ω=. Plus précisément, lorsque ωæ, le système se comporte comme un système à trois pôles, d où l pente de 6 db/décde. Tout ceci peut être vérifié sur l Fig. 5.6. Enfin, l réponse en phse subit visiblement un sut ssez brusque de 3π vers le bs utour de ω=, à cuse des trois pôles proches de l xe imginire.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL En prtique, vu que l phse est définie à π près, les digrmmes de phse (obtenus ici ps clcul numérique, mis le même problème se présente pour le digrmmes obtenus pr mesure) présentent souvent des discontinuités brusques de π. On en voit un bel exemple à l Fig. 5.6. Ces discontinuités doivent être interprétées comme des rtifices (et si possible corrigées), et non ps comme des crctéristiques du système étudié. 5.3.4 Digrmmes symptotiques de Bode Si le clcul et l'ffichge précis des courbes de Bode de systèmes complexes nécessite le recours à des moyens informtiques, l'llure des courbes de Bode de ces systèmes peut souvent être obtenue à l min. On en effet, vu l reltion (5.5) : M N log H( jω) = log( k) + log ( jω z ) + log ( ) i i= i= jω pi M N rg ( H( jω) ) = rg( k) + rg( jω zi ) + rg i= i= ( jω pi ) (5.8) Autrement dit, les courbes de Bode d'un système complexe sont l somme des courbes de Bode de chcun de ses zéros et pôles clculées comme s'ils étient seuls (à l contribution de k près). On comprend dès lors l'intérêt de connître mieux les courbes de Bode des systèmes simples (pôle ou zéro réel; pire de zéros ou pôles complexes conjugués). Une bonne connissnce des digrmmes et digrmmes symptotiques des exemples précédents permet insi de trcer rpidement les digrmmes de systèmes plus compliqués. En effet, on sit : Que les cssures des digrmmes symptotiques se font toujours u droit du modules des zéros et pôle concernés. Que, lorsqu'on trce le digrmme symptotique du gin de guche à droite, le pssge u droit du module d'un zéro correspond à une pente symptotique de gin qui ugmente de db/décde; le pssge u droit du module d'un pôle correspond à une pente symptotique qui diminue de db/décde. Les zéros ou pôles complexes conjugués comptent pour deux zéros ou pôles de même module (ce qui explique les vritions de ±4dB/déc). Que, lorsqu'on trce le digrmme symptotique de l phse de guche à droite, le pssge u droit du module d'un zéro à guche (resp. à droite) de l xe imginire correspond à un sut symptotique de phse égl à π/ vers le hut (resp. vers le bs). Le pssge u droit du module d'un pôle à guche (et forcément jmis à droite) de l xe imginire correspond à un sut symptotique de phse égl à π/ vers le bs. Les zéros ou pôles complexes conjugués comptent pour deux zéros ou pôles de même module (ce qui explique les vritions de ±π). Exemple 5.8 L courbe du gin logrithmique correspondnt à l fonction Kp /( p λ) 5.. On observe une symptote horizontle en hute fréquence : est donnée à l Fig.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 3 ( ) = log K et une symptote en bsse fréquence : ( ω) = ( ) log λ/ ω dont l pente vut + db/décde. ω 3dB H(p)=Kp/(p- ) λ + db/décde log K λ logω Fig. 5. Digrmme de Bode de H(p) Exemple 5.9 Le qudripôle de l Fig. 5. pour fonction de réponse en tension : Fig. 5. Circuit RC d'ordre b H( p) = > b> ( p+ )( p+ b) Le gin logrithmique défini u prgrphe 5..5 est obtenu en sommnt l contribution de chque binôme du dénominteur de H : ( ω) = () log + ( ω/ ) log + ( ω / b) et s représenttion en fonction de log ω est immédite (Fig. 5.)

4 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL log log b log ω - db/décde H (p)=b/(p+) (p+b) -4 db/décde Fig. 5. Digrmme de Bode du gin de H(p) Exemple 5. Le qudripôle de l Fig. 5. dns lequel on inverse les cpcités et les résistnces, pour fonction de réponse en tension : p H( p) = ( p + )( p+ b) Une procédure similire à celle de l exercice précédent permet d'obtenir le gin ssocié à l fonction H ; s représenttion est donnée à l Fig. 5.3. log b log log ω + db/décde H (p)=p / (p+) (p+b) +4 db/décde Fig. 5.3 Digrmme de Bode du gin de H(p) Exemple 5. Soit l fonction de trnsfert : p + H( p) = ( p+ )( p² +.5p+ 5) Cette fonction possède : une pire de zéros complexes conjugués en p=±j, de fcteur de qulité infini un pôle simple en p=-

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 5 une pire de pôles complexes conjugués de module = 5 et de fcteur de qulité = En bsse fréquence, on une symptote horizontle de gin égl à log(4)=db ; en hute fréquence, deux pôles nnulent deux zéros, ce qui donne une symptote de gin ynt une pente de db/déc. Le digrmme symptotique chute donc à - db/déc à prtir de ω=, puis à -6 db/déc u delà de ω=5, et remonte de 4 db/déc u delà de ω=, ce qui donne db/déc. L courbe réelle psse de db u dessus de l cssure à ω=5 et chute à - u droit de ω=. L courbe symptotique de phse prt de, chute à -π/ près ω=, à 3π/ près ω=5, et remonte à -π/ u delà de ω=. L courbe de phse une évolution plus douce que l courbe symptotique, suf en ω= où le sut est brutl (zéros imginires purs). Le résultt est donné à l Fig. 5.4 Asymptotic Bode Plot : mplitude - db - -3-4 -5-6 - - -.5 - -.5 - rd/s Asymptotic Bode Plot : phse rd -.5-3 -3.5-4 -4.5-5 - - rd/s Fig. 5.4 Digrmmes de Bode du gin et de l phse de H(p)

6 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 5.4 Notion de puissnce en régime sinusoïdl L puissnce instntnée bsorbée pr un ccès est donnée pr : p() t = u() t i() t (5.9) Si l'excittion est sinusoïdle, on peut écrire en régime : ut () = U cos( ω t+ αu) it () = I cos( ωt+ αi) d'où : pt ( ) = UIcos ( ω t+ α ).cos( ωt+ α ) [ u = UI cos ( α α ) cos ( ωt+ α + α ) u i u i i ] (5.) (5.) En régime sinusoïdl, on s'intéresse plus à l puissnce moyenne bsolue qu'à l puissnce instntnée ce qui conduit à : p = U Icos( α α ) (5.) moy u i 5.4. Puissnce moyenne bsorbée pr un dipôle Soit un dipôle d'impédnce opértionnelle Z(p); en régime sinusoïdl, on : Z( jω ) = R( ω) + jx( ω) = Z( jω) exp( jα ) vecα = rg( Z( jω ) (5.3) z z ) L puissnce moyenne bsorbée pr ce dipôle vut donc : p = U I = I Z = I R ω (5.4) moy cos( αu αi ). cos αz. ( ) Pr un risonnement semblble sur l'dmittnce opértionnelle Y(p), on : et : Y( ω) = G( ω) + jb( ω) (5.5) pmoy = U. G( ω) (5.6) Notons que dns le cs d'un dipôle non dissiptif, on ur bien p =. 5.4. Adpttion en puissnce Le problème de l dpttion en puissnce entre l source et l chrge déjà été bordé à l section.4.3. Nous pouvons mintennt le revoir dns le cs du régime cisoïdl. Le schém de l Fig. 5.5 représente une source de tension sinusoïdle ssociée à son impédnce interne Z g qui débite sur une chrge Z L. On recherche quel est l vleur de l'impédnce Z L telle que l puissnce moyenne bsorbée soit mximle. On dit dns ce cs, qu'il y dpttion entre l source et l chrge. Soient : On : Zg( ω) = R ( ω) + jx ( ω) g Z ( ω) = R ( ω) + jx ( ω) L L L g moy (5.7)

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 7 p moy = I. R ( ω) (5.8) L Fig. 5.5 Source de tension sinusoïdle débitnt sur une chrge E E I = = Z g + ZL ( Rg + RL) + j( Xg + XL) I = p moy E ( R + R ) + ( X + X ) g L g L ERL g + L + L + g = ( R R ) ( X X ) (5.9) L puissnce moyenne prend s vleur mximle pour : X L = Xg RL =R g (5.3) C'est à dire : Z L =Z g * Ce qui conduit à : p moy, M Exercices Exercice 5. E = (5.3) 4 R g Dns le réseu de l figure ci-dessous, on suppose que l source de tension est sinusoïdle de vleur de crête = V; on demnde l tension de régime ux bornes de l résistnce de kω pour les diverses vleurs de l fréquence de l source.

8 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL Exercice 5. Trcer le lieu complexe ssocié à l'impédnce du bipôle de l figure ci-dessous Exercice 5.3 On considère le circuit de l figure ci-dessous, soumis à une source sinusoïdle et ( ) = cos( ω t), vec ω = π 5 rd/s, et supposé en régime en t =. t = t Au moment où l tension ux bornes de l cpcité tteint son mximum, son diélectrique perce, crént insi un court-circuit à ses bornes (symbolisé pr un interrupteur). L= Henry, C= µf, R=5 Ω On demnde de clculer l'évolution du cournt dns l'inductnce à prtir de t et de l porter en grphique. Solution t'=t-t t' L τ itrnsitoire(') t =. 36 e vec τ = = ms R.8.6.4. -....3.4.5 i (t') T t' -.4 -.6 -.8 i (t') R Exercice 5.4 - i(t') On suppose que le circuit ci-dessous est en régime sinusoïdl en t=t -, u moment où on ouvre l'interrupteur :

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 9 ω π5 et ( ) = cos( ωt) ε ( t) = rd/s (tension du secteur) R = kω, C = µf On demnde de donner l'évolution de l tension ux bornes de l cpcité près t (= s) et d'en visuliser l'llure. Solution ( t t ) τ u ( t > t ) = 9 e ε( t t ) vec τ = RC =.sec C 5.96.98 t -5 Exercice 5.5 - Etudier l réponse en fréquence vec représenttion du gin logrithmique du qudripôle de l figure ci-dessous.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL Exercice 5.6 On demnde de dessiner le digrmme de Bode du gin du qudripôle de l figure cidessous, en fonction du prmètre R (L et C étnt fixés). R L C Solution Si R < R = C ' LC ' ω=ρ log Q (Q < ) log Q (Q > ) log ω -4 db/déc Si R >= R = C LC log log b log ω - db/décde H (p)=b/(p+) (p+b) -4 db/décde Exercice 5.7 On demnde de dessiner les digrmmes de Bode (symptotique et réel) du gin et de l phse du qudripôle de l figure ci-dessous (en fonction de R, C, R, C ).

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL R C R C Solution H( p) = ( p+ )( p+ ) RC RC p² + p( + + ) + RC RC RC RCRC ( p+ )( p+ b) = vec b = cd et + b < c + d ( p+ c)( p+ d) - Asymptotic Bode Plot : mplitude c b d -4-6 db -8 - - -4-6 3 4 5 rd/s Asymptotic Bode Plot : phse.5 rd.5 c b d -.5 - -.5 Exercice 5.8 - - 3 4 5 NB : Les vleurs des pulstions sur les grphiques ci-dessus sont purement indictives. rd/s

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL On demnde d fficher les digrmmes de Bode (symptotique et réel) du gin et de l phse du qudripôle dont l fonction de trnsfert est donnée pr : 5 p( p² + 4) H( p) = ( p² + p+ 5)² Solution 8 Asymptotic Bode Plot : mplitude 6 4 db - -4-6 - 3 rd/s Asymptotic Bode Plot : phse - rd - -3-4 -5-3 rd/s

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 3 Exercice 5.9 Soit un circuit dont l réponse en fréquence est donnée ci-dessous. 6 4 H(f) (db) - -4-6 On demnde : -8 3 4 5 freq (Hertz) De trouver (en l justifint) une position plusible pour les pôles et zéros de ce circuit dns le pln complexe. Solution D en déduire l expression complète d une fonction de trnsfert plusible (en p) pour ce circuit. 6 4 Imginry prt - x x x -4-6 - -5 5 Rel prt N(p)=(p²+ρ z ²)(p+ρ z ) vec ρ z =*pi* D(p)= (p²+ σ p +ρ p ²)(p+ρ p ) vec ρ p =*pi* et σ p =ρ p /(*) K=/