Université Sultan Moulay Slimane

Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Année universitaire : 2/2 Introduction à l analyse complexe Abdesselam BOUARICH Première version : 5/6/2 A. Bouarich

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Table des matières Fonctions d une variable complexe holomorphes 5. Au tours du plan complexe C........................... 5.. Représentation des nombres complexes.................. 5..2 Topologie de la droite complexe...................... 7.2 Limite et continuité des fonctions à une variable complexe........... 9.3 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe............ 2.3. Applications C-linéaires de C dans C................... 2.3.2 Fonctions holomorphes........................... 4.3.3 Conditions de Cauchy-Riemann...................... 6.3.4 C-différentiablité d ordre supérieur.................... 2.3.5 Fonctions harmoniques........................... 2.3.6 Dérivations complexes symboliques.................... 24.4 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes.......... 27.4. L exponentielle complexe z e z.................... 27.4.2 Logarithmes complexes z Log(z)................... 28.4.3 Les puissances complexes z z a.................... 32.4.4 Fonctions inverses des puissances z a z............... 33.4.5 Les fonctions trigonométriques z cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z)... 34.4.6 Les fonctions hyperboliques z Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z)..... 35 2 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications 36 2. Les courbes et les domaines du plan complexe.................. 36 2.. Les chemins et les courbes du plan complexe.............. 36 2..2 Les domaines du plan complexe...................... 38 2.2 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe.......... 4 2.2. Construction de l intégrale curviligne complexe............. 4

2.2.2 Calcul et propriétés de l intégrale complexe............... 42 2.2.3 Théorème de Cauchy............................ 45 2.2.4 Primitive d une fonction holomorphe................... 49 2.2.5 Formules intégrales de Cauchy...................... 53 2.2.6 Applications intéressantes du théorème de dérivation.......... 6 2.3 Le théorème des résidus et ses applications................... 64 2.3. Séries de Laurent.............................. 64 2.3.2 Classification des singularités isolées................... 69 2.3.3 Résidu d un point singulier isolé..................... 69 2.4 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus..... 74 2.4. Calcul des intégrales définies de type 2.4.2 Calcul des intégrales généralisées 2.4.3 Calcul des intégrales généralisées 2.4.4 Calcul des intégrales généralisées 2.4.5 Calcul des intégrales généralisées 2π R(cos(t),sin(t))dt...... 75 P(x) dx............. 77 Q(x) P(x) Q(x) eiαx dx........... 79 P(x) Q(x) e iαx x dx.......... 8 x αp(x) dx, < α <.... 84 Q(x)

Chapitre Premier Fonctions d une variable complexe holomorphes Dans ce chapitre, on va introduire le calcul différentiel pour les fonctions complexes à une variable complexe. Plus précisément, on va y examiner les notions classiques de limite, de continuité et de la C-dérivabilité pour les fonctions à variable complexe. Le résultat fondamental qu on va démontrer dans de chapitre est que la C-dérivabilité d une fonction à variable complexe f(z) entraîne la différentiabilité au sens des parties réelle et imaginaire de f(z) et que ces derniers vérifient les conditions de Cauchy-Riemann. Les conditions de Cauchy-Riemann vont nous permettre de déduire que les parties réelle et imaginaire d une fonction C-dérivable sont harmoniques, donc solutions de l équation de Laplace. La dernière section de ca chapitre sera consacrée à l étude de certaines fonctions élémentaires complexes comme par exemple : l exponentielle, le logarithme, les puissances, les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques.. Au tours du plan complexe C.. Représentation des nombres complexes Rappelons qu un nombre complexe z C possède deux composantes; une partie réelle Re(z) R et une partie imaginaire Im(z) R et s écrit donc sous la forme z = Re(z)+iIm(z) où i s appelle l imaginaire complexe caractérisé par son carré (i) 2 =. Le fait que chaque nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire nous permet d identifier les éléments de C avec les points du plan cartésien R 2 en associant à z = x+iy C le couple (x,y) R 2 i.e. : Ψ : C R 2 x+iy (x,y)

6 Fonctions d une variable complexe holomorphes Ci-dessous, grâce à l application d identification Ψ : C R 2 on donnera une interprétation géométrique de certaines opérations classiques sur les nombres complexes. Rappelons que tout point (x,y) R 2 peut être défini par un système de coordonées polaires centré à l origine { x = rcos(θ) y = rsin(θ) où r = x 2 +y 2 et θ [,2π[ est la mesure de l angle que fait l axe Ox et la droite qui passe par l origine (,) et le point (x,y). rsin(θ) M θ rcos(θ) En utilisant l identification Ψ on déduit que tout nombre complexe z C peut être défini en fonction des coordonnées polaires par la formule suivante, z = z (cos(θ)+isin(θ)) dite présentation du nombre complexe z en coordonnées polaires. Dans le reste de chapitre l angle θ sera noté arg(z) [, 2π[ et sera appelé argument du nombre complexe z. Notons aussi que l expression polaire d un nombre complexe z peut être écrire sous forme exponentielle comme suit z = z e i.arg(z) où e i.arg(z) = cos(arg(z))+isin(arg(z)) et dont la justification sera faite dans la section 6.4 de ce chapitre. Sur l ensemble des nombres complexes C on définit une loi de composition interne additive, a+ib,x+iy C, (a+ib)+(x+iy) = (a+x)+i(b+y) et on définit aussi une loi interne multiplicative par l expression a+ib,x+iy C, (a+ib) (x+iy) = (ax by)+i(ay +bx) Ilest clair quel addition desnombrescomplexes s interprètedansleplanr 2 commel addition ordiaire des vecteurs. Pour comprendre la signification géométrique de la multiplication de deux nombres complexes a = α+iβ et z = x+iy appliquons l identification Ψ sur le produit a z : ( ) ( ) α β x Ψ(a z) = (αx βy,αy +βx) Ψ(a z) = β α y Ainsi, à partir de cette expression matricielle du produit a z C on déduit que le point Ψ(a z) s obtient à partir du point Ψ(z) moyennant la simulitude qui est composée par la rotation dirècte d angle θ = arctg( β α ) et de l homotétie de rapport λ = α 2 +β 2.

Au tours du plan complexe C 7 a z a z L addition et la multiplication des nombres complexes induisent sur l ensemble des nombres complexes C la structure algébrique de corps commutatif où le nombre complexe nul est neutre pour l addition tandis que le nombre complexe = + i est neutre pour la multiplication. Tout nombre complexe non nul, x+iy C, possède un inverse relativement à la multiplmication donné par l expression (x+iy) = x x 2 +y 2 i y x 2 +y 2 Rappelons aussi que à chaque nombre complexe z C on associe un nombre complexe conjugué définit par l expression z C z = Re(z) iim(z) On vérifie facilement que la conjugaison des nombres complexes possède les propriétés suivantes :. z C, z = z; 2. z,z 2 C, z +z 2 = z + z 2 ; 3. z,z 2 C, z z 2 = z z 2 ; 4. z C, z z R + ; 5. z C, z = z z z ; 6. z R z = z; 7. z C, Re(z) = 2 (z + z) et Im(z) = (z z). 2i..2 Topologie de la droite complexe Dans ce paragraphe, on va transporter les éléments de la topologie euclidiènne de R 2 sur le plan complexe C via l identification Ψ : C R 2. Définition. Soit z C. Le nombre réel positif définit par l expression s appelle module du nombre complexe z. z := z z = (Re(z)) 2 +(Im(z)) 2

8 Fonctions d une variable complexe holomorphes Il est facile de vérifier que la fonction, : C R +, possède les propriétés suivantes :. z C, Re(z) z et Im(z) z ; 2. z C, z = z ; 3. z = z = ; 4. z,z 2 C, z z 2 = z z 2 ; 5. z,z 2 C, z +z 2 z + z 2. Notons que les propriétés 3), 4) et 5) montrent que la fonction : C R + définit une norme sur le plan complexe C vu comme espace vectoriel réel. Donc, à la norme on peut associer une distance en posant pour tous les éléments z = x+iy et ω = α+iβ C, d(z,ω) := z ω = (x α) 2 +(y β) 2 En effet, en utilisant l identification d identification Ψ : C R 2 on voit que la distance d(z,ω) n est autre que la distance enclidiènne de R 2 qui mesure la distance euclidienne entre les points Ψ(z) et Ψ(ω). En particulier, on déduit que la norme z = d(z,) (le module) n est autre que la distance euclidiènne séparant l origine Ψ() du point Ψ(z). Avec la distance d : C C R + on redéfinit sur le plan complexe C quelques éléments topologiques déjà définis en analyse II sur les espaces euclidiens R m.. Le disque ouvert de centre z C et de rayon R > est défini dans C par D(z,R) = {z C ; z z < R} 2. Le disque fermé de centre z C et de rayon R > est défini dans C par D(z,R) = {z C ; z z R} 3. On dira qu une suite de nombres complexes z n C converge vers a C si ( ε > )( n N)( n N), n n = z n a < ε Le nombrecomplexe a s appelle la limite de la suite de nombres complexes z n. La limite de z n quand il existe elle est unique et se note a = lim n + z n. 4. On dira qu une partie non vide F C est fermée dans (C, ) si toute suite d éléments z n F qui converge vers a C implique que a F. 5. On dira qu une partie non vide U C est ouverte dans (C, ) si son complémentaire C\U est fermé dans (C, ). 6. On dira que la partie non vide V C est un voisinage du point z V s il existe un réel r > tel que le disque ouvert D(z,r) V. 7. On dira qu une partie Ω C est connexe si Ω ne peut pas être contenu dans la réunion disjointe de deux ouverts de C. C est-à-dire, si U et U 2 sont deux ouverts de C tels que (U U 2 = et Ω U U 2 ) = U = ou U 2 = Autrement dit, on aura l une des deux possibilités suivantes :

Limite et continuité des fonctions à une variable complexe 9 soit que Ω U et Ω U 2 = ; ou soit que Ω U 2 et Ω U =. Exemple. Le plan complexe C, les disques ouverts (ou fermés), les rectangles, les segments de droites et les droites sont connexes dans le plan complexe C. Par contre, la réunion de deux droites parallèles, la réusion de disques disjoints, la réunion disjoints de deux cercles concentriques ne sont pas connexe dans C. Exercice. Pour toute partie non vide A C on pose c(a) = { z C ;z A}. ) Démontrer qu une partie A C est fermée (resp. ouverte) si et seulement si c(a) est fermée (resp. ouverte). 2) Démontrer que si A C est un voisinage de z A alors la partie c(a) est un voisinage du conjugué z. 3) Démontrer qu une partie A C est connexe si et seulement si c(a) est connexe..2 Limite et continuité des fonctions à une variable complexe Soit Ω C un sous-ensemble non vide. Étant donnée une fonction f : Ω C on lui associe deux fonctions réelles en posant u := Re(f) : Ω R et v := Im(f) : Ω R appelée respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de f(z). Donc, une fonction à valeur complexe qui dépend d une seule variable complexe peut être vue comme étant une application définie sur Ω à valeur dans R 2 qui dépend de deux variables réelles comme il est illustré par le diagramme commutatif suivant, Ψ(Ω) Ψ Ω (u,v) R 2 f Ψ C où Ψ : C R 2 désigne l application d identification. Le diagramme commutatif précédent est équivalent à l expression suivante : z Ω, f(re(z)+iim(z)) = u(re(z),im(z)) +iv(re(z),im(z)) Dans le reste de ce paragraphe, on va examiner les questions de limite et de continuité pour les fonctions complexes à une variable complexe et on comparera ces notions avec le cas des applications qui dépendent de deux variables réelles. Quant à la question de dérivabilité des fonctions à une variable complexe elle sera étudée dans la prochaine section. Définition 2. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) tend vers un nombre complexe L C quand z Ω tend vers z C si, ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) L < ε.

Fonctions d une variable complexe holomorphes Comme pour le cas des fonctions réelles à une ou plusieurs variables réelles on vérifie que la limite de f(z) quand il existe au point z elle est unique et se note lim z z f(z) = L. Proposition. La fonction f(z) tend vers le nombre complexe L = a + ib au point z = x +iy si et seulement, si les parties réelle et imaginaire de f(z) tendent respectivement vers a et b au point (x,y ). Démonstration. Observerquesiz = x+iy etf(z) = u(x,y)+iv(x,y) onobtientlesinégalités : u(x,y) a f(z) L et v(x,y) b f(z) L. Si les limites lim f(z) et lim g(z) existent dans C on vérifie qu on a les formules suivantes, z z z z. lim (f(z)+g(z)) = lim f(z)+ lim g(z); z z z z z z ( ) 2. lim f(z)g(z) = lim f(z) lim g(z); z z z z z z lim f(z) f(z) 3. si lim g(z) alors lim z z z z g(z) = z z lim g(z). z z Proposition 2. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. La fonction f(z) possède une limite L C au point a C si et seulement, si pour toute suite z n C qui converge vers le point a, lim n + f(z n) = L. Exercice 2. Démontrer la proposition. Exemple 2. La fonction z C f(z) = z z n a pas de limite au point a = parce que si pour tout réel θ [,2π] fixé on considère la suite de nombres complexes, z n = n eiθ, on aura lim z n = tandis que la limite lim f(z z n n) = lim = e 2iθ dépend de θ. n + n + n + z n Définition 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) est continue au point z Ω si la limite lim z z f(z) = f(z ) ie. : ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) < ε. Proposition 3. La fonction f(z) est continue au point z = x +iy si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont continues au point (x,y ). Démonstration. Observer que si pour tout z = x + iy on écrit f(z) = u(x,y) + iv(x,y) on obtient, u(x,y) u(x,y ) f(z) f(z ) et v(x,y) v(x,y ) f(z) f(z ). En appliquant les formules de calcul des limites des fonctions complexes à une variable complexe on déduit que si les fonctions f et g : Ω C sont continues alors leur somme f +g, leur produit fg et leur quotient f g sont continues sur leurs domaines de définition respectif. Exemple 3. Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de défiition :. z z = x iy, z z n = (x+iy) n ; 2. z z = z z 2 = x x 2 +y 2 i y x 2 +y 2 ;

Limite et continuité des fonctions à une variable complexe 3. z z = z z 2 = x x 2 +y 2 +i y x 2 +y 2. parce que leurs parties réelles et imaginaires sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. Proposition 4. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Alors, pour tout point a Ω les propositions suivantes sont équivalentes :. La fonction f(z) est continue au point a Ω. 2. Si z n Ω est une suite qui converge vers a Ω alors la suite image f(z n ) converge vers f(a). Proposition 5. Pour qu une fonction f : C C soit continue il faut et il suffit que l image inverse par f(z) de tout ouvert (resp. fermé) de C soit un ouvert (resp. fermé) de C. Exercice 3. Démontrer les deux propositions précédentes. Proposition 6. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si une partie non vide Ω Ω est connexe alors son image f(ω ) est connexe dans C. Démonstration. Soit U et U deux ouverts de C tels que U U = et f(ω ) U U. Notons que puisque la fonction f(z) est continue il s ensuit que f (U) et f (U ) sont ouverts dans C et sont disjoints parce que U U = = f (U) f (U ) = Ainsi, comme la partie Ω est connexe et telle que Ω f (f(ω )) f (U) f (U ) on aura par exemple ( ) Ω f (U) et Ω f (U ) = = ( ) f(ω ) U et f(ω ) U = Par consésquent, la partie image f(ω ) est connexe dans C. Exercice 4. Démontrer que si f : C C est une fonction continue alors le sous-ensemble Ω = {z C ;f(z) } est un ouvert. Exercice 5. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Démontrer que si au point z Ω, f(z ) alors il existe un réel r > tel que le disque ouvert D(z,r) Ω et pour tout z D(z,r) on a f(z) > f(z ). 2 Exercice 6. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Démontrer que les fonctions suivantes sont continues, z Ω f(z), z Ω f( z), z Ω f( z)

2 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe.3. Applications C-linéaires de C dans C Rappelons que le corps des nombres complexes C on peut le voir soit comme un espace vectoriel sur R de dimension deux, ou soit comme un espace vectoriel sur C lui même dans ce cas sa dimension complexe ezst égale à un ie. : dim R C = 2 et dim C C = Lorsque le corps C est vu comme un R-espace vectoriel sa base canonique est constituée par les nombres complexes {, i}. Donc, grâce à la base canonique {, i} qu on pourra décomposer tout nombre complexe z C en partie réelle et partie imaginaire z = x +y i. Lorsque C est vu comme un C-espace vectoriel dans ce cas sa base canonique est constituée par l élément neutre de la multiplication {}. Ceci se traduit par le fait que chaque nombre complexe z C s écrit z = z. Le fait de voir le corps des nombres complexes C soit comme un R-espace vectoriel ou soit comme un C-espace vectoriel divise l esnemble des applications linéaires A : C C en deux classes d applications :. Applications R-linéaires : z,z 2 C,A(z +z 2 ) = A(z )+A(z 2 ); z C, λ R,A(λ z) = λa(z). 2. Applications C-linéaires : z,z 2 C,A(z +z 2 ) = A(z )+A(z 2 ); z C, λ C,A(λ z) = λa(z). Notons que puisque R C il en résulte que toute application C-linéaire A : C C est R-linéaire et on a z C, A(z) = A(z ) = za() où A() C Ainsi, si on pose a = A() on voit que l application C-linéaire A : C C a pour expression, z C, A(z) = a z Maintenant, si on regarde l application C-linéaire A : C C comme étant R-linéaire alors en munissant le plan complexe C par sa base canonique {,i} on conclut que pour tout nombre complexe z = x+iy on obtient : A(x+iy) = a z = (α+iβ) (x+iy) = αx βy +i(xβ +αy) ( ) ( ) α β x = β α y

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 3 Donc, relativement à base canonique {, i} du plan complexe C la matrice réelle d une application C-linéaire A : C C est donnée par ( ) α β où α+iβ = A() = a β α Inversement, considérons une application R-linéaire A : C R et munissons le plan complexe C par sa base canonique {, i}. Donc, les colonnes de la matrice de l application R-linéaire relativement à la base {,i} sont égales aux vecteurs A() et A(i). Autrement dit, si on pose A() = α+iβ et A(i) = γ +iλ on aura ( α γ ) β λ Ainsi, si on veut que l application A : C R soit C-linéaire on aura en particulier A(i) = ia() = γ +iλ = i(α+iβ) = γ = β et λ = α Par conséquent, pour qu une application R-linéaire A : C C soit C-linéaire il faut et il suffut que sa matrice réelle relativement à la base canonique {,i} soit de la forme ( ) ( ) α γ α β = où α+iβ = A() β λ β α Proposition 7. Soit A : C C une application C-linéaire. Relativement à la base canonique {,i} du corps des nombres complexes C on a les propriétés suivantes : ( ) α β. La matrice réelle de l application A est égale à où α+iβ = A(). β α 2. Le déterminant de la matrice réelle de l application A est égal à A() 2 = α 2 +β 2. 3. L application A est inversible si et seulement si A(). En conséquence, l ensemble des matrices des applications C-linéaires A : C C est un corps en bijection canonique avec le corps des nombres complexes C ie. : ( ) α β { ;α+iβ C} C β α Exemple 4. Considérons l application définie par A : C C z i z Puisque pour tout réel λ on a A(λz) = i( λ z) = λa(z), l application A est donc R-linéaire. Mais, puisque pour tout z C on a : A(iz) = i(ī z) = z et ia(z) = i(i z) = z = A(iz) ia(z) on en déduit que l application A n est pas C-linéaire. Notons aussi que si on munit le plan complexe C par la( base canonique ) {,i} on voit que la matrice réelle de l application R-linéaire A est égale à et que son déterminant Dét(A) =. Cette remarque nous donne une confirmation matricielle du fait que A n est pas C-linéaire.

4 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3.2 Fonctions holomorphes Définition 4. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) est C-dérivable au point z Ω si le taux d accroissement f(z) f(z ) admet une limite z z dans C quand z Ω\{z } tend vers z. La limite f(z) f(z ) lim z z z z z z quand il existe elle est unique, elle s appelle dérivée de la fonction f(z) au point z et se note f (z ) ou df dz (z ). Proposition 8. Si la fonction f : Ω C est dérivable au point z Ω alors elle est continue au point z. Démonstration. Remarquer que pour tout nombre complexe z Ω\{z } on peut écrire f(z) f(z ) = f(z) f(z ) z z (z z ) et ainsi comme le taux d acroissement f(z) f(z ) tend vers f (z ) quand z z tend vers z z zéro on aura lim f(z) = f(z ). Donc, f(z) est continue au point z. z z Dans la suite de ce chapitre s il n y a pas un risque de confusion nous dirons dérivable pour désigner une fonction qui est C-dérivable. Définition 5. On dira que la fonction f : Ω C est holomorphe au point z Ω si f est dérivable sur un voisinage V Ω de z. Notons que si f : Ω C est une fonction holomorphe on lui associe une fonction dérivée f : Ω C qui envoit z Ω sur la dérivée f (z). Commepour le cas des fonctions à unevariable réelle on vérifiequesi f et g sont holomorphes sur un ouvert non vide Ω C on aura les formules de dérivations suivantes,. (f +g) = f +g, 2. (fg) = f g+fg, ( f f 3. = g) g fg (g) 2, 4. (f g) = (f g)g, 5. si g est holomorphe sur un ouvert non vide Ω tel que g(ω ) Ω alors la fonction composée f g est holomorphe sur Ω et sa fonction dérivée (f g) = (f g)g. Proposition 9. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Alors les applications suivantes sont équivalentes,. La fonction f est dérivable au point z Ω. 2. Il existe un nombre complexe λ C qui satisfait à la propriété suivante : ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) f (z ) (z z ) < ε z z

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 5 3. Il existe une application A : C C qui est C-linéaire et telle que ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) A(z z ) < ε z z Démonstration. ) = 2) Il suffit qu on écrive la définition de la limite pour f(z) f(z ) lim = λ z z z z z z tout en utilisant les quantificateurs universels logiques. 2) = 3) Remarquer que si pour tout z C on pose A(z) = f (z ) z on obtient une application C-linéaire et ainsi on pourra réecrire 2) en utilisant l application A(z). 3) = ) Observer que puisque l application A : C C est C-linéaire on aura pour tout z C, A(z) = A()z, donc en portant A(z) dans la proposition 3) on en déduit que la dérivée de f(z) au point z est égale à A() = f (z ). Définition 6. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dérivable au point z Ω. L application C-linéaire df(z ) : C C u f (z ) u s appelle différentielle de f(z) au point z. Notons que puisque l application identique z z est holomorphe et sa fonction dérivée est égale à la constante un donc sa différentielle dz est l application identique ie. : dz : C C u u Ainsi, suite à cette remarque on pourra exprimer la différentielle de toute fonction holomorphe f(z) par l expression classique rencontrée au niveau des fonctions réelles à une seule variable réelle, df(z) = f (z) dz u C, df(z)(u) = f (z)dz(u) = f (z)u Observonsque si on pose f (z ) = a+ib C on déduitque la matrice réelle de la différentielle df(z ) : C C est donnée par l expression ( a b b a Exemple 5. ) La fonction g(z) = z 2 est continue sur C et elle est dérivable au point z = parce que g(z) g() lim z z z ) z z = lim z z = z z lim = = g () z

6 Fonctions d une variable complexe holomorphes Observons que pour tous z C et a C tels que z a le taux d acroissement g(z) g(a) z a z z aā = z a (z a) z +a( z ā) = z a ā = z +a z z a Donc, si on prend la suite de nombres complexes z n = a + n eiθ avec n N on obtient la limite suivante g(z n ) g(a) ( lim = lim ā+ n + z n a n + n e iθ +ae 2iθ) = ā+ae 2iθ qui dépend de l angle θ, or ceci implique que pour tout a C la fonction g(z) = z z n est pas dérivable au point a. 2) Pour tout entier n la fonction f(z) = z n est holomorphe sur C et sa dérivée au point z C est donnée par f (z ) = z z lim zn (z )n z z z z = lim z z (z n +z n 2 z + +z(z ) n 2 +(z ) n ) = n(z ) n Maintenant, puisque on sait que les monômes z z n sont holomorphes sur C on déduit que toutes les fonctions polynômiales complexes P(z) C[z] sont holomorphes sur C. De même, on conclut que toute fraction polynômiale P(z) C(z) est holomorphe sur son domaine Q(z) définition qui est égal à l ouvert U = {z C ;Q(z) }. Exercice 7 (La régle de l Hospital). Soit Ω C un ouvert non vide, et soient f et g : Ω C deux fonctions dérivables au point z Ω telles que f(z ) = g(z ) =. Démontrer que si la limite z z lim f (z) g existe alors on a (z) z z f(z) lim z z g(z) = lim f (z) z z g (z) z z z z Théorème (Inverse local). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si au point z Ω la dérivée f (z ) alors il existe un réel tel que le disque ouvert D(z,r) Ω de sorte que la restriction f : D(z,r) C soit injective et sa fonction inverse f : f(d(z,r)) C est holomorphe. Démonstration. Admise..3.3 Conditions de Cauchy-Riemann Théorème 2 (Conditions decauchy-riemann). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Pour que f(z) soit C-dérivable au point z Ω il faut et il suffit que la partie

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 7 réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) de f(z) soient différentiables au point (x,y ) et que leurs dérivées partielles au point (x,y ) vérifient les conditions suivantes dites de Cauchy-Riemann : u x (x,y ) = v y (x,y ) et u y (x,y ) = v x (x,y ) Démonstration. ) Supposons que f est C-dérivable au point z Ω. Donc, par définition de la dérivée on peut écrire ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) (z z )f (z ) < ε z z Observons que si on pose z = x+iy, z = x +iy et f (z ) = a+ib C on voit que la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe, E(z,z ) = f(z) f(z ) (z z )f (z ) sont données par les expressions suivantes, { Re(E(z,z )) = u(x,y) u(x,y ) [(x x )a (y y )b] Im(E(z,z )) = v(x,y) v(x,y ) [(x x )b+(y y )a] Ainsi, puisque Re(E(z,z )) E(z,z ) et Im(E(z,z )) E(z,z ) de la définition de dérivabilité de f au point z on voit que dès que le nombrecomplexe z Ω vérifie z z < η on aura les deux inégalités : u(x,y) u(x,y ) [(x x )a (y y )b] ε (x x ) 2 +(y y ) 2 et v(x,y) v(x,y ) [(x x )b+(y y )a] ε (x x ) 2 +(y y ) 2 qui impliquent que u(x,y) et v(x,y) sont différentiables au point (x,y ) et que leurs dérivées partielles respectives sont données au point (x,y ) par les expressions, u x (x,y ) = a u y (x,y ) = b et v x (x,y ) = b v y (x,y ) = a Ainsi, en comparant les lignes de ces deux systèmes on déduit que u(x,y) et v(x,y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (x,y ) ie. : u x (x,y ) = v y (x,y ) u y (x,y ) = v x (x,y ) 2) La réciproque est évidente. Il suffit qu on écrive la définition de différentiabilité au point (x,y ) pour la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y ) et grâce au conditions de Cauchy-Riemann on en déduira la C-dérivabilité de la fonction à variable complexe f(z).

8 Fonctions d une variable complexe holomorphes Corollaire. Si la fonction f(z) = u(x,y)+iv(x,y) est dérivable au point z = x +iy par rapport à z alors sa dérivée est donnée par les expressions suivantes ( u f (z ) = x (x,y )+i v ) ( u x (x,y ) = i y (x,y )+i v ( u = x (x,y ) i u ) y (x,y ) = ) y (x,y ) ) ( v y (x,y )+i v x (x,y ) Proposition. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les partie réelle et imaginaire sont notées u(x,y) et v(x,y). Si les quatre dérivées partielles u x, u y, v v et x y sont continues au point (x,y ) et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann u x (x,y ) = v y (x,y ) et alors la fonction f(z) est dérivable au point z = x +iy. u y (x,y ) = v x (x,y ) Démonstration. Remarquer que la continuité des dérivées partielles de u(x, y) et v(x, y) implique qu elles sont différentiables au point (x,y ), et puis appliquer le théorème précédent. Exemple 6. ) La fonction f(z) = z est continue sur C mais puisque la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) sont égales à { u(x,y) = x v(x,y) = y = u v (x,y) = (x,y) = x y on en déduit que la fonction f(z) = z n est pas dérivable sur les points de C. 2) On définit l exponentielle d un nombre complexe z = x+iy C par l expression, e z = e x+iy = e x (cos(y)+isin(y)) La fonction z e z est holomorphe sur C car ses parties réelles et imaginaires sont de classe C et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann { u(x,y) = e x cos(y) v(x,y) = e x = x (u(x,y)) = ex cos(y) = y (v(x,y)) sin(y) y (u(x,y)) = ex sin(y) = x (v(x,y)) 3) Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas suffisantes pour assurer la dérivabilité d une fonction à une variable complexe. Par exemple, si on considère la fonction z 2 z si z f(z) = si z = on obtient une fonction non dérivable au point z = parce que pour tout z le taux d acroissement f(z) f() = z z z n a pas de limite quand z C tend vers zéro. Ce pendant, puisque la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) de f(z) sont égales à : x 3 3xy 2 u(x,y) = x 2 +y 2 si (x,y) (,) si (x,y) = (,)

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 9 et v(x,y) = 3x 2 y y 3 x 2 +y 2 si (x,y) (,) si (x,y) = (,) on voit que leurs dérivées partielles sont données par et u x u y u(x,) u(,) (,) = lim = x x x (,) = lim x x v x (,) = v y (,) = lim x x u(,y) u(,) y = lim v(x,) v(,) = x x x v(,y) v(,) y = et donc elles vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (, ), u (,) = v x y (,) = et u y malgré que f(z) n est pas dérivable au point z =. (,) = v x (,) = Notons qu en effet la partie réelle e de f(z) n est pas différentiable au point (,) parce que si dans le rapport, U(x,y) = u(x,y) u(,) x u x (,) yx u x (,) = x 2 +y 2 4xy 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 on passe aux coordonnées polaires on obtient l expression U(rcos(θ),rsin(θ)) = 4cos(θ)sin 2 (θ) qui prouve que U(x,y) n a pas de limite quand (x,y) tend vers (,). L exemple précédent nous montre que dans le théorème, à côté des conditions de Cauchy- Riemann, l hypothèse de différentiabilité des parties réelle et imaginaire de f(z) est essentielle pour assurer la dérivabilité de f(z). Exercice 8. Sur le plan complexe C on définit une fonction à valeur complexe par : f(z) = si z = z 5 z 4 si z ) Montrer que la fonction f : C C vérifie les conditions de Cauchy-Riemann au point (,). 2) La fonction f : C C est-elle C-différentiable au point (,)?

2 Fonctions d une variable complexe holomorphes Exercice 9. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dérivable. ) Montrer que la matrice et le déterminant jacobiens de l application f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) sont donnés au point (x,y ) Ω par, J(f,(x,y )) = u x (x,y ) u y (x,y ) u y (x,y ) ( ) u et Det J(f,(x,y )) = f (z ) 2 x (x,y ) 2) Montrer qu en coordonnées polaires les conditions de Cuachy-Riemann s écrivent sous la forme, u r = v r θ et v r = u r θ Exercice. Soit Ω C un ouvert convexe non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Démontrer que si l une des fonctions suivantes u(x,y) = Re(f(z)), r(x,y) = f(z), v(x,y) = Im(f(z)), θ(x,y) = arg(f(z)) est contante alors f(z) est constante sur Ω..3.4 C-différentiablité d ordre supérieur Les fonctions dérivées d ordre suppérieur à n d une fonction holomorphes f : Ω C se définient en utilisant la formule de récurrence, z Ω, f (n+) (z) = ( ) f (n) (z) Dans la section 3, on démontrera que toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable en tant que fonction à variable complexe. De plus, on démontrera que toute fonction holomorphe se développe en une série entière au voisinage de chaque point de son domaine d holomorphie. Ce résultat marque la différence fondamentale entre les fonctions à une variable complexe holomorphes (ie. C-dérivables) et les applications réelles à plusieurs variables réelles R-dérivables. Théorème 3. Soit n a n (z z ) n une série entière de rayon de convergence R >. La fonction f(z) définie sur le disque ouvert D(z,R) par la série entière z f(z) := n a n (z z ) n est holomorphe et sa dérivée est donnée première est donnée par la série entière z f (z) := n na n (z z ) n En effet, la fonction f(z) est indéfinement C-dérivable et on a f (n) (z ) = n!a n, n N.

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 2 Démonstration. Il suffit qu on donne une preuve pour le cas des séries entières centrées au point z =. Notons aussi que les deux séries entières a n z n et n z n n na n ont le même rayon de convergence R >, donc pour tout réel < r < R ces deux séries entiès convergent normalement surle disqueferméd(,r), deplusla sérienumérique n n a n r n converge. Observons que si pour z D(,R) on calcul la différence f(z) f(z ) lorsque le nombre complexe z D(,R)\{z } on obtient f(z) f(z ) z z = = n a n (z n (z ) n ) z z n a n ( z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) Ainsi, puisque pour z < r et z < r on a la mojoration a n (z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) < n a n r n et puisque la série numérique n n a n r n converge on en déduit que la fonction F(z) = n a n ( z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) converge normalement sur le disque fermé D(, r), donc la limite f(z) f(z ) lim = lim F(z) = na z z n (z ) n = f (z ) z z z z z z n Par conséquent, la fonction f(z) est holomorphe sur le disque D(,R)..3.5 Fonctions harmoniques Définition 7. Soit Ω R 2 un ouvert non vide. On dira que la fonction u : Ω R est harmonique si elle est solution de l équation de Laplace : u = 2 u x 2 + 2 u y 2 = Proposition. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si les parties réelle et imagiaire de la fonction f(z) sont de classe C 2 sur Ω alors elles sont harmoniques. Démonstration. Notons que puisque f(z) = u(x,y)+iv(x,y) est holomorphe sur Ω les fonctions u(x, y) et v(x, y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann i.e. : (x,y) Ω, u x = v y et u y = v x

22 Fonctions d une variable complexe holomorphes Ainsi, comme les fonctions u et v sont de classe C 2 on pourra écrire (x,y) Ω : 2 u x 2 = ( u ) x x 2 v x 2 = ( v ) x x ( v ) = x y = ( u ) x y ( v ) = y x = ( u ) y x ( = u ) y y = ( v ) y y = u = = v = Donc, la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) sont harmoniques sur Ω. Définition 8. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et u : Ω R une fonction harmonique. Toute fonction v : Ω R tel que le couple (u,v) vérifie les conditions de Cauchy-Riemann s appelle conjuguée harmonique de la fonction u. Proposition 2. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et u : Ω R une fonction harmonique. Au voisinage de chaque point z Ω la fonction u possède une conjuguée harmonique qui est unique à une constante près. Démonstration. Observons que si pour tout (x,y) Ω on pose P = u y obtient une forme différentielle sur Ω : et Q = u x on ω = Pdx+Qdy = u u dx y x dy = P y = 2 u y 2 = u 2 x 2 = Q x qui est donc fermée. Donc, d après le théorème de H. Poincaré, pour tous (x,y ) Ω et r > très petit tel que le disque ouvert D((x,y ),r) Ω la forme différentielle ω = Pdx+Qdy est exacte sur D((x,y ),r) (car le disque est convexe). Autrement dit, il existe une fonction v(x,y) qui est de classe C 2 sur D((x,y ),r), unique à une constante près et dont la différentielle totale dv = v v dx+ dy = ω = x y v x = P = u y v y = Q = u x Notons que le couple de fonctions (u, v) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann et que les derivées partielles secondes de v(x, y) sont données par : 2 v 2 u = x x y 2 v y 2 = 2 u y x = v = Par conséquent, sur le disque ouvert D((x,y ),r) Ω la fonction v(x,y) est une conjuguée harmonique de la fonction u(x, y). Corollaire 2. Soit Ω C un ouvert non vide. Une fonction u(x,y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle est la partie réelle (ou imagiaire) d une certaine fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω Ω.

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 23 Exemple 7. Vérifions que la fonction u(x,y) = cherchons sa conjuguée harmonique v(x, y). En effet, puisque pour tout (x,y) (,) on a et x x 2 +y 2 est harmonique sur R2 \{(,)} et u x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2 u x 2 = 2x(x2 +y 2 ) 4x(x 2 y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 = 2x(3y2 x 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 u y = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 = 2 u y 2 = 2x(x2 +y 2 )+8xy 2 (x 2 +y 2 ) 3 = 2x( 3y2 +x 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 x on conclut que la fonction u(x,y) = x 2 est harmonique sur son domaine de définition. +y2 Cherchons une fonction harmonique v(x, y) qui soit solution du système des équations aux dérivées partielles suivant : v y v x = u y = = u x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 v = y x 2 +y 2 +ϕ(x) v x = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 +ϕ (x) Ainsi, comme ϕ (x) = on conclut que la fonction v(x,y) = y x 2 +y2+cte est une conjuguée x harmonique de la fonction harmonique u(x, y) = x 2 +y 2. Notons aussi que pour tout z = x+iy on peut écrire que u(x,y)+iv(x,y) = = x x 2 +y 2 +i y x 2 +y 2 +icte z z 2 +icte = z +icte Exercice. Soit f(z) une fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω C. ) Montrer que sur Ω on a les formules de dérivations suivantes, [ ( )] 2 [ )] 2 ( ) 2;. f(z) + f(z) = f x y( (z) 2. 2 ( x 2 f(z) )+ 2 ( ) y 2 f(z) = 4 f (z) 2. ( ) 2) En déduire que sur l ouvert {z Ω f(z) } la fonction Log f(z) est harmonique. 3) Montrer que la fonction arg(f(z)) est harmonique sur son domaine de définition. 4) En appliquant les formules établies dans ) démontrer que toute fonction homolomorphe sur Ω qui vérifie f(z) = z 2 +c 2 est constante. Exercice 2. Vérifier que les fonctions suivantes sont harmoniques et trouver leurs fonctions harmoniques conjuguées, e x sin(y), Log(x 2 +y 2 ), x 3 3xy 2 +x 2 y 2 xy +x+y

24 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3.6 Dérivations complexes symboliques Soit Ω R 2 un ouvert non vide et f : Ω R une fonction de classe C. Notons que si on pose z = x+iy C on pourra écrire (x,y) Ω, Ainsi, si pour tout point (x,y) Ω C on pose f(x,y) = f( z + z 2, z z ) 2i F(z, z) := f( z + z 2, z z ) 2i alors en interprétant z et z comme étant des variables indépendants les régle de dérivation d une fonction composée qui dépend de plusieurs variables nous permet de déduire que les dérivées partielles de la fonction F(z, z) sont données par les expressions suivantes : f + z (F(z, z)) = (z z x = ( f 2 = ( 2 = 2 De la même façon on trouve que 2, z z ) + z (z 2i z 2 ) x (x,y) i f y (x,y) ) (f(x,y)) x i y ( x i y f + z (F(z, z))) = (z z x = ( f 2 = ( 2 = 2 ) (F(z, z)) 2, z z ) + z (z 2i z 2 ) x (x,y)+i f y (x,y) ) (f(x,y)) x +i y ( x +i y ) (F(z, z)) f + z )+ (z y f + z )+ (z y 2, z z ) 2i z 2, z z ) 2i z z (z ) 2i z (z ) 2i Suite à ces calculs on déduit que les dérivées partielles par rapport aux variables complexes indépendants z et z sont reliées aux dérivées partielles par rapport aux variables réelles indépendantes x et y par les formules suivantes : z = ( 2 x i ) y et z = ( 2 x +i ) y Si maintenant f(x,y) = u(x,y)+iv(x,y) est une fonction dont les composantes sont de classe C on pourra alors définir ses dérivées partielles par rapport aux variables complexes z et z par les expressions suivantes : f z = u z +i v z et f z = u z +i v z Proposition 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si u(x,y) = Re(f(z)) et v(x,y) = Im(f(z)) alors on a les formules suivantes,

C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 25. 2. u z = 2 f (z) et u z = 2 f (z); v z = i 2 f (z) et v z = i 2 f (z); Démonstration. Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Corollaire 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) sont différentiables sur Ω. Alors, la fonction f(z) est holomorphe si et seulement si sa dérivée partielle f z =. Proposition 4. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C 2. Alors, le Laplacien de la fonction f(z) est donné par la formule (f) = 4 2 f z z = 4 2 f z z Démonstration. Notons que si u(x,y) est une fonction réelle de classe C 2 on aura 4 2 u z z = 2 ( u ) z x +i u y ( = x i )( u ) y x +i u y = 2 u x 2 +i 2 u x y i 2 u y x + 2 u y 2 = (u) Donc, si les parties réelle et imaginaire de la fonction f(z) = u(x,y)+iv(x,y) sont de classe C 2 on aura, 4 2 f z z = 4 2 u z z +4i 2 v z z. D où, 4 2 f = (u)+i (v) = (f). z z Corollaire 4. Une fonction réelle u(x,y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle 2 u est solution de l équation aux dérivées partielles, z z =. Corollaire 5 (Équation de Laplace). La solution générale de l équation de Laplace (u(x,y)) = s écrit sous la forme, u(x,y) = F(z)+G( z), où F et G sont deux fonctions à deux variables réelles de classe C 2. Corollaire 6 (Équation de Poisson). Soit ρ(x,y) une fonction continue. La solution générale de l équation de Poisson, (u(x,y)) = ρ(x,y) est égale à la somme u (x,y)+u(x,y) avec u (x,y) est une solution particulière de l équation de Poisson et u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire (ie. solution de l équation de Laplace).

26 Fonctions d une variable complexe holomorphes Démonstration. Observer que si u et u sont des solutions de l équation de Poisson on aura, (u ) = (u) = ρ, donc (u u ) =. Donc, la solution générale de l équation de Poisson est la somme d une solution particulière et d une fonction harmonique. Exemple 8. ) D après le résultat du corollaire on voit quepour tout entiern le polynôme de degré deux à deux variables, est une fonction harmonique. H n (x,y) = 2 [(x+iy)n +(x iy) n ] = k=n C k n xk y n k cos((n k) π 2 ) k= 2) Cherchons la solution générale de l équation de Poisson : (u) = x+y Pour chercher une solution particulière u (x,y) de l équation de Poisson (u) = x + y il suffit qu on remplace les coordonnées cartésiènnes x et y par les variables complexes z et z ie. : (u) = x+y 4 2 u z z = 2 (z + z)+ 2i (z z) = 2 ( i)z + 2 (+i) z) Ainsi, par intégration par rapport à z et z on trouve qu une solution particulère de l équation de Poisson (u) = x+y est donnée par la fonction u (x,y) = 6 ( i)z2 z + 6 (+i)( z)2 z = 8 (x3 +x 2 y +xy 2 +y 3 ) Donc, la solution générale de l équation de Poisson (u) = x+y est la somme u(x,y)+ 8 (x3 +x 2 y +xy 2 +y 3 ) avec u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire. Exercice 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C. Démontrer que. z (f(z)) = z (f(z)); 2. z (f(z)) = z (f(z)); 3. (f(z)) = (f(z)). Exercice 4. Montrer que si f(z) est holomorphe sur l ouvert Ω C alors la fonction est holomorphe. g(z) = f( z), z Ω = { z C ; z Ω}

Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 27 Exercice 5. Trouver la dérivée seconde mixte 4 2 z z = des fonctions suivantes : z p, e p z, Log z a, Log(+ z 2 ), arctg( + z z ) où p R et a C sont des constantes. Exercice 6. Resoudre les équations équations de Poisson suivantes :. (u) = x 3 +y 3 ; 2. (u) = xy 2 ; 3. (u) = sin(x+y);.4 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes.4. L exponentielle complexe z e z Définition 9. On définit l exponentielle d un nombre complexe z C par l expression z = x+iy z z := e x (cos(y)+isin(y)) Si on désigne par u(x,y) = e x cos(y) la partie réelle et par v(x,y) = e x sin(y) la partie imaginaire de l exponentielle complexe e z on obtient deux fonctions de classe C sur R 2, de plus, comme en tout point de R 2 on a les conditions de Cauchy-Riemann, u x = v y et u y = v x on déduit alors que la fonction exponentielle z e z est holomorphe sur C. La proposition suivante nous donnera le dérveloppement de l exponentielle complexe en série entière. Proposition 5. L exponentielle de tout nombre complexe z C est égal à la somme de la série entière : e z = +z + z2 2! + z3 zn + + 3! n! + Démonstration. ) Notons que d près la règle de D Alembert le rayon de convergence de la série entière +z+ z2 2! +z3 3! + +zn + est infini, donc sa somme f(z) définie une fonction n! holomorphe sur le plan comlplexe C dont la fonction dérivée vérifie la relation z C, f (z) = f(z) 2) Notons aussi que si on porte le nombrecomplexe z = x+iy dans l expression de la fonction f(z) on obtient une application F : R 2 C définie par une série à deux variables, F(x,y) = f(x+iy) = n n! (x+iy)n

28 Fonctions d une variable complexe holomorphes L application F(x,y) est différentiable sur le plan réel R 2 et ses dérivées partielles premières vérifient en chaque point (x,y) R 2, F x (x,y) = F(x,y) et F (x,y) = if(x,y) y Ainsi, on remarque que si pour tout x et y R on a pose, G(x,y) = F(x,y)e x e iy on obtient une application, G : R 2 C qui est différentiable et dont les dérivées partielles premières sont nulles : G F (x,y) = x x (x,y)e x e iy F(x,y)e x e iy = G F (x,y) = y y (x,y)e x e iy if(x,y)e x e iy = Donc, puisque le plan R 2 est convexe la fonction G(x,y) est constante, et comme on a G(,) = on en déduit que pour tout (x,y) R 2, F(x,y) = e x e iy. Autrement dit, pour tout nombre complexe z = x+iy C la somme f(z) = z n n! = ex e iy = e z. n La définition de l exponentielle complexe et la proposition précédente permettent de déduire qu on a les propriétés suivantes : de z. z C, dz = ez ; 2. exp(c) := {e z ; z C} = C ; 3. z,z C, e z+z = e z e z ; 4. z C, e z = e z ; 5. k Z, z C, e z+2kπi = e z ;.4.2 Logarithmes complexes z Log(z) Au paragraphe précédent on a vu que l exponentielle complexe z e z est holomorphe sur C, 2πi-périodique, non injective et son image exp(c) = C. Donc, pour tout nombrecomplexe z C il existe au moins un nombre complexe u(z) C solution de l équation e X = z. Définition. Soient z C et u C. Si l exponentielle complexe e u = z on dira que le nombre complexe u C est un logarithme de z C. Il est facille de vérifier que pour tout nombres complexes z C si on utilise l expression de l exponentielle complexe (i.e. e x+iy = e x e iy ) on pourra trouver un logarithme complexe u = x+iy C de z tel que u = Log( z )+iarg(z) où arg(z) < 2π

Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 29 Notons que si pour tout nombre complexe z C on définit suppose que son argument arg(z) [, 2π[ on obtient une correspondance C C z Log( z )+iarg(z) dont la partie réelle Log( z ) est différentielle sur C tandis que la partie imaginaire arg(z) n est pas continue sur la demi-droite réelle R +. Pour confirmer ce fait observons que si pour ε > fixé on considérons une application continue γ :] ε,ε[ C telle que γ() = et t >, Im(γ(t)) > resp. t <, Im(γ(t)) < (voir la figure) on voit que les deux limites suivantes sont différentes : lim(log( γ(t) ) + iarg(γ(t))) = et lim(log( γ(t) )+iarg(γ(t))) = 2πi t t> t t< Ci-dessous pour remédier la question de continuité du logarithme complexe on va couper le paln complexe le long d une demi-droite infinie O d origine O. Dans la littérature d analyse complexe le point O s appelle point de branchement et la demi-droite O s appelle coupure. Rappelons que d après le théorème de la fonction inverse puisque la dérivée dez dz = ez est non nulle tout point z C possède un voisinage V z C sur lequel la fonction inverse, z u(z), de l exponentielle complexe (ie. e u(z) = z) est holomorphe. Ci-dessous, on va chercher le domaine de définition maximal sur lequel le logarithme complexe vue comme fonction inverse de l exponentielle soit holomorphe. Notons que si u C est solution particulière de l équation e X = z la 2πi-périodicité de l exponentielle complexe implique que l ensemble des solutions de l équation e X = z est infini et est égal à {u +2kπi ;k Z}. u 2 2π u π u π u 2π u 2

3 Fonctions d une variable complexe holomorphes Observons que si on restreint l exponentielle complexe z e z sur les ouverts de type D k = {x+iy C ;x R et (2k )π < y < (2k +)π} où k Z elle devient injective et son image exp(d k ) = U π = C \ {x + i ; x R }. Ainsi, pour tout nombre complexe z U π il existe un unique logarithme complexe qui appartient à l ouvert D k qu on désignera dans la suite par, Log k (z). Par conséquent, puisque sur l ouvert D k l exponentielle complexe est holomorphe injectif et vérifie la relation exp(log k (z)) = z le théorème de l inverse locale implique que pour tout entier k Z la fonction logarithme complexe Log k : U π D k z Log k est holomorphe et sa fonction dérivée est donnée par l expression z U π, d dz (Log k(z)) = z Définition. La fonction logarithme complexe Log : U π D z Log( z )+iarg(z) s appelle la détermination (ou branche) principale du logarithme complexe. π arg(z) Log(z) z Log( z ) π Ainsi, grâce à la détermination principale du logarithme complexe Log : U π D on déduit que pour tout entier k Z on peut associer à chaque nombre complexe z U π un unique logarithme complexe qui appartient à l ouvert D k défini par : Log k (z) = Log (z)+2kπi tel que exp(log k (z)) = z Notons que puisque à chaque nombre complexe z U π on associe une infinité de logarithmes complexes {Log k (z) = Log (z)+2kπi ; k Z} dans la littérature d analyse complexe on dit que le logarithme complexe est une fonction multiforme ou multiplivalent.

Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 3 Dans la suite, s il n y a aucune confusion à craindre on désignera la déterminantion principale du logarithme complexe que par le symbole Log. Notons aussi lorsqu on parlle du logarithme complexe cela sous entend qu il s agit de la détermination principale du logarithme complexe. La détermination principale du logarithmique complexe prolonge le logarithme népérien de l ouvert R + sur l ouvert U π mais ne préserve pas la propriété classique qui consiste à transformer le produit de deux nombres complexes en une somme de leurs logarithmes complexes. D ailleurs on ne doit pas s attendre à ce que le logarithme complexe devient un homomorphisme de groupes parce que son domaine de définition U π n est pas un sous-groupe multiplicatif de C. Toutefois on a la : Proposition 6. Pour tout couple de nombres complexes z et z 2 éléments de l ouvert U π on a les expressions suivantes : Log(z z 2 ) = Log(z )+Log(z 2 )+2kπi arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 )+2kπi où k =, ou. Exemple 9. Calculons le logarithme complexe des nombres complexes z = i et z 2 = +i ) Notons que puisque la représentation polaire de z et z 2 est donnée par z = e iπ 2 et z 2 = 2e i3π 4 on déduit que la détermination principale du logarithme complexe des trois nombres complexes z, z 2 et z z 2 est égale à : Log(z ) = i π 2, Log(z 2) = Log(2) 2 Ainsi, puisque la somme des logarithmes complexes +i 3π 4, Log(z z 2 ) = Log( i) = Log(2) 2 i 3π 4 on en déduit que Log(z )+Log(z 2 ) = Log(2) 2 +i 5π 4 = Log(z z 2 )+2πi Log(z z 2 ) = Log(z )+Log(z 2 ) 2πi Enfin, notons que pour toute demi-droite θ = {re iθ ; r } avec < θ < 2π on pourra définir une détermination du logarithme complexe, notée Log θ, qui prolongent le logarithme népériender + surlecomplémentaireu θ = C\ θ etàvaleurdansl ouvertd θ,k = {x+iy ;x R et θ < y < θ +2kπ} avec k Z est fixé. Plus précisément, on a z U θ, Log θ (z) = Log( z )+iarg(z) D θ, ie. θ < arg(z) < θ +2π Remarquons que pour tout réel θ π la détermination du logarithme complexe, Log θ : U θ D θ,k, nousfournit unprolongement dulogarithme népériender + surla droite réelle R. C està-dire, grâce à la déterminantion Log θ on pourra maintenant calculer le logarithme complexe Log θ (x) de tout nombre réel trictement négatif.