Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace

Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace (partie 1 : Sections, vecteurs et droites de l'espace I Positions relatives de droites et de plans, sections Définition Un plan est défini à partir de 3 points non alignés (ou deux vecteurs non colinéaires Propriétés (relations entre droites et plans 1 Deux droites de l'espace sont : sécantes, parallèles ou non-coplanaires (pas dans le même plan 2 Dans l'espace, une droite peut-être sécante, parallèle ou contenue dans un plan. 3 Deux plans de l'espace sont parallèles ou sécants (suivant une droite Propriétés 1 Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan 2 Toute droite parallèle à 2 plans sécants est parallèle à la droite d'intersection de ces 2 plans. 3 Si deux droites sécantes d'un plan P sont parallèles à un autre plan P', alors P et P' sont parallèles

4 Si un plan qui coupe deux plans parallèles, alors les droites d'intersections sont parallèles Exemple (déterminer l'intersection de deux plans à partir du cube Dans le cube ABCDEFGH. 1 Déterminer l'intersection des plans (HGB et (EFC. 2 Déterminer l'intersection des plans (EBG et (ACF 1 Après avoir représenté ces plans à l'aide du cube, on constate que leur intersection est la droite (IJ avec I centre du carré BCGF et J centre du carré ADHE. 2 Après avoir représenté ces deux plans à l'aide du cube, on détermine les deux points d'intersections de ces deux plans qui sont M et N avec M centre du carré ABFE et N centre du carré BCGF. L'intersection des plans (EBG et (ACF est donc la droite (MN Exemple (déterminer deux plans dont l'intersection est une droite donnée Soit ABCDEFGH un cube avec I centre du carré EFHG et J centre du carré ABFE. On cherche deux plans dont l'intersection est la droite (IJ. Les plans (EGB et (AFH sont sécants en I et en J. Donc leur intersection est la droite (IJ

Exemple (déterminer l'intersection de deux plans à partir d'une pyramide Soit SABCD une pyramide à base carrée de centre O. 1 Déterminer l'intersection des plans (SBD et (SAC 2 Déterminer l'intersection des plans (SBC et (SAD 1 Cherchons la droite d'intersection des plans (SBD et (SAC Le point S appartient au deux plans, donc il appartient à la droite d'intersection. Il nous reste à trouver un deuxième point appartenant à cette droite. Le point O est l'intersection des droites (AC et (BD, donc O appartient aux deux plans (SBD et (SAC. Ainsi, la droite d'intersection des plans (SBD et (SAC est la droite (OS 2 Le point S appartient aux deux plans (SBC et (SAD. On cherche un deuxième point commun à ces deux plans. On trace la parallèle à (SC passant par B, et la parallèle à (BC passant par C, on obtient M. Le quadrilatère MSCB est un parallèlogramme. La droite (MS est parallèle à la droite (BC qui est parallèle à la droite (AD. De plus, MS=BC=AD. Ainsi, (MS est parallèle à (AD et MS=AD, donc MSAD est un parallèlogramme. Le point M appartient donc au plan (SBC et au plan (SAD. La droite d'intersection est donc (SM.

Définition La section d'un cube par un plan P est l'intersection de chaque face du cube (avec ce plan. Remarques - La section revient à chercher la trace que laisse le plan sur chaque face du cube. - On ne peut pas relier deux points du cube s'ils ne sont pas sur une même face - Il est possible que le plan ne coupe pas toutes les faces - Lorsqu'on a obtenu un polygone, la section est «terminée». Exemple (section d'un cube par un plan Soient ABCDEFGH un cube et I et J milieux respectifs de [AB] et [GC] Déterminer la section du cube par le plan (IJH Trace du plan (IJK sur la face DCGH On trace le segment [JH] Trace du plan (IJK sur la face ABFE On ne peut pas relier I et H car ils ne sont pas sur la même face du cube. Le plan (IJK coupe les deux plans parallèles (ABF et (DCG en deux droites parallèles : on trace la parallèle à (JH passant par I : on obtient le point M On trace le segment [IM] Trace du plan (IJK sur la face BCGF Le plan (IJK coupe les deux plans parallèles (ADH et (BCG en deux droites parallèles : on trace la parallèle à (MH passant par J : on obtient le point N On trace le segment [JN] Trace du plan (IJK sur la face ABCD On trace le segment [IN] Section du cube par le plan (IJH Polygone (pentagone INJHM

Exemples (section d'un cube par un plan

(I, J et K placés aux tiers Thalès dans le triangle EBG : (JK//(EB, (IJ//(BG et (IK//(EG

Exemple (section d'un cube par un plan : en utilisant un point en dehors du cube Soient ABCDEFGH un cube et I, J et K les milieux respectifs de [AE], [AB] et [BC] Déterminer la section du cube par le plan (IJK Trace du plan (IJK sur la face ABFE On trace le segment [IJ] Trace du plan (IJK sur la face ABCD On trace le segment [JK] Trace du plan (IJK sur la face BCGF Le point K appartient au plan (IJK et à la face BCFG. Cherchons un deuxième point appartenant au plan (IJK et à la face BCGF Pour cela, nous devons prolonger une droite «rouge» et une droite de la face BCGF : Les droites (IJ et (FB se coupent en un point M qui appartient donc aux plans (IJK et (BCG La droite (MK appartient aux plans (IJK et (BCG et coupe le segment [CG] en un point L On trace le segment [KL] Trace du plan (IJK sur la face CGHD Le plan (IJK coupe les deux plans parallèles (ABF et (DCG en deux droites parallèles : On trace la parallèle à (IJ passant par L : on obtient N Trace du plan (IJK sur la face EFGH Le plan (IJK coupe les deux plans parallèles (ABC et (EFG en deux droites parallèles : On trace la parallèle à (JK passant par N : on obtient O Trace du plan (IJK sur la face ADHE On trace le segment [IO] Section du cube par le plan (IJK Polygone (hexagone IJKLNO

Exemples (section d'un cube par un plan : en utilisant un point en dehors du cube

(I, J et K placés au tiers (I et J au tiers, K au milieu

Exemple (Section d'une pyramide par un plan Soit SABCD une pyramide à base carré. Soient I, J et K milieux respectifs de [SB], [BC] et [SD] Déterminer la section de la pyramide par le plan (IJK Trace du plan (IJK sur la face SBC On trace le segment [IJ] Trace du plan (IJK sur la face SCD La droite (IJ est parallèle à la droite (SC : théorème de Thales dans le triangle SBC. Soit M le milieu de [CD]. La droite (MK est aussi parallèle à la droite (SC: Thalès dans SCD. Les droites (IJ et (MK sont donc parallèles car toutes deux parallèles à la droite (SC La droite (MK fait donc partie du plan (IJK : On trace le segment [MK] Trace du plan (IJK sur la face SAD Nous avons déjà le point K sur la face SAD. Cherchons un autre point : Les droites (JM et (AD se coupent au point L. Le point L appartient à la droite (JM donc au plan (IJK et appartient à (AD donc au plan (SAD Ainsi, la droite (LK appartient aux deux plans (IJK et (SAD et elle coupe [SA] en N. On trace le segment [KN] Trace du plan (IJK sur la face SAB On trace le segment [IN] Section de la pyramide par le plan (IJK Polygone (pentagone IJMKN

II Vecteurs de l'espace Exemple (Vecteurs de l'espace Soit ABCDEFGH un cube 1 Déterminer le point M tel que : AM= AB+ DH AM= BC+ DC+ CE EM= HB+ AH+ CD 2 Déterminer la droite passant par : Le point A et dirigée par BG Le point B et dirigée par EH Le point C et dirigée par GF+ BA 3 Déterminer le plan passant par : Le point A et dirigée par BC et DC Le point A et dirigée par FG et DH Le point E et dirigée par FC et CD Le point A et dirigée par GB et FE M=F M=E M=H (AH (BC (CA (ABC (ADH (EFC (ABG Proposition (droite de l'espace Soit A un point de l'espace et u un vecteur non nul. L'ensemble des points M de l'espace tel que AM=x u est la droite passant par A et dirigée par u ( x R Proposition (plan de l'espace Soit A un point de l'espace et u et v deux vecteurs non colinaires de l'espace L'ensemble des points M tels que AM=x u+ y v est le plan passant par A et dirigée par u et v (x et y réels

Remarque Deux points sont toujours «colinéaires» (sur une même droite, mais pas forcément trois Trois points sont toujours «coplanaires» (sur un même plan, mais pas forcément quatre Trois vecteurs sont coplanaires si on peut les «inclure» dans un plan Définition (vecteurs coplanaires Soient u, v et w trois vecteurs de l'espace. Soit O un point de l'espace et A, B et C tel que u= OA, v= OB et w= OC On dit que les vecteurs u, v et w sont coplanaires si les 4 points O, A, B et C sont coplanaires (sur un même plan Exemple (Vecteurs coplanaires 1 A partir du cube, déterminer des vecteurs coplanaires : AB, AC et AD BC, AE et DE AG, AB et BG 2 A partir du cube, déterminer des vecteurs non coplanaires : AB, BC et FB AE, BE et GF Proposition (caractérisation des vecteurs coplanaires Soient u et v deux vecteurs non colinaires Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que : w=x u+ y v Exemple (Vecteurs coplanaires Les vecteurs AB, BC et EG sont coplanaires car EG= AB+ BC Remarque Si trois vecteurs sont non coplanaires, aucun des trois ne peut s'écrire en fonction des deux autres

Exemple (alignement dans un cube ABCDEFGH un cube, J milieu de [HG] et I tel que BI= 2 3 BH Montrer que les points A, I et J sont alignés Les points A, I et J sont dans le parallélogramme (rectangle ABGH A, I et J alignés AJ colinaire à AI D'une part AI= AB+ BI D'autre part AJ= AB+ BH+ HJ AJ= AB+ 3 2 BI+ 1 2 AB AJ= 3 2 AB+ 3 2 BI AJ= 3 2 AJ Ainsi, les vecteurs AJ et AI sont colinaires, donc les points A, I et J sont alignés. Exemple (alignement dans une pyramide SABCD une pyramide à base carrée de centre O, I et J tels que OI= 1 4 OS et DJ= 2 5 DS Montrer que les points B, I et J sont alignés. Les points B, I et J appartiennent au triangle (isocèle SBD La droite (SO est la médiane de ce triangle car O est le milieu des diagonales du carré ABCD B, I et J alignés BI colinaire à BJ D'une part D'autre part BI= BO+ OI BJ= BD+ DJ BJ=2 BO+ 2 5 DS BJ=2 BO+ 2 5 DO+ 2 OS 5 BJ=2 BO 2 5 BO+ 2 5 (4 OI BJ= 8 5 BO+ 8 5 OI BJ= 8 5 BI Ainsi, les vecteurs BJ et BI sont alignés, donc les points B, I et J sont alignés.

III Repère de l'espace Proposition (Vecteurs non coplanaires Soient u, v et w trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Tout vecteur t de l'espace peut s'écrire sous forme unique t =x u+ y v+z w avec x, y et z trois réels. Définition (repère de l'espace Soient O un point de l'espace et i, j et k trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet (x,y,z de réels tels que : OM=x i + y j+ z k (x,y,z sont les coordonnées du point M dans le repère (O, i, j ; k x : abscisse de M y : ordonnée de M z : cote de M Exemple (coordonnées dans un cube On se place dans le repère (A ; AD; AB; AE Déterminer les coordonnées de chaque point : A (0;0;0 B (0;1;0 C (1; 1;0 D (1;0;0 E (0; 0 ;1 F (0;1;1 G (1;1;1 H (1;0;1 Propriétés (coordonnées L'espace est muni d'un repère (O; i ; j ; k Soient A ( x A ; y A ; z A et B( x B ; y B ; z B deux points de l'espace. Coordonnées du vecteur AB ( : AB x x B A y B y A A z B z Milieu I du segment [AB] : I( x A +x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 Centre de gravité G du triangle ABC : G( x A +x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ; z A +z B +z C 3 Exemple (Vérifier si 2 vecteurs de l'espace sont colinéaires Déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires : 1 u( 1 5 2 v( 3 et 6 oui car v=3 u 15 2 u( 4 0 1 v( 12 et 3 non car 12=3 4, 3=3 1 mais 1 3 0 1

Exemple (Vérifier si 3 points de l'espace sont alignés Déterminer si les points A, B et C sont alignés. Sinon, proposer un autre point C' aligné avec A et B 1 A (1; 2; 3, B (5;1; 2, C (13; 1;0 A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. AB( 4 1, AC( 12 3. Or AC=3 AB, AB et AC sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés 2 A (1; 2; 3, B (4; 2; 1, C (6; 1; 2 A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. AB( 3 0 4, AC( 5 3 1. Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Déterminons un point C' aligné avec A et B. Pour cela, il suffit d'appliquer le vecteur AB( 3 0 à partir du point B (4; 2; 1. 4 on obtient le point C' (4+3;2+0; 1 4 =C' (7; 2; 5 Exemple (Vérifier si deux droites de l'espace sont parallèles Soient A (1;3; 2, B (4;1;6, C ( 1; 2; 4 et D (14; 8; 24. Les droites (AB et (CD sont-elles parallèles? Il suffit de vérifier si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. AB( 3 2, 4 CD( 15 10. Or CD=5 AB, donc 20 Les droites (AB et (CD sont parallèles AB et CD sont colinéaires.

Exemple (Vérifier si 4 points de l'espace forment un parallélogramme Déterminer si ABCD est un parallélogramme. Sinon proposer un autre point D' afin qu'il le soit. 1 A (4; 1; 3, B ( 2;5; 1, C ( 6;13; 1 et D (0 ;7 ;1 ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB= DC Or AB( 6 6 2 et DC( 6 6 2. Comme AB= DC, alors ABCD est un parallélogramme 2 A (1;3 ; 2, B (4;1 ;6, C ( 1; 2; 4 et D (14; 8; 24. AB( 3 2 4 DC( 15 10. Les vecteurs ne sont pas égaux (bien qu'ils soient colinéaires. 20 Donc ABCD n'est pas un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de D' ( x ; y; z afin que ABCD' soit un parallélogramme ABCD' est un parallélogramme si et seulement si AB= D' C Or AB= D' C AB( 3 2 4 D'C( 1 x 2 y 4 z { 3= 1 x 2=2 y 4=4 z x= 4, y=4, z=0 Le point recherché est D' ( 4; 4;0

Exemple (Vérifier si 3 vecteurs de l'espace sont coplanaires Déterminer si les vecteurs u, v et w sont coplanaires 1 u( 1 5 2 v( 1, 5, 3 w( 3 1 7 u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que w=x u+ y v ( 3 ( x Or w=x u+ y v 1 = 2x 7 5x ( y { 3= x y + 5y 1=2x+5y 3y 7=5x+3y A l'aide des deux premières lignes on obtient : y=x 3, donc 1=2 x+5 ( x 3 1=7 x 15 7 x=14 x=2 Donc y=x 3=2 3= 1 donc y= 1 On vérifie que les valeurs de x et de y sont solutions de la 3e ligne : 7=5 2+3 ( 1=7 Ainsi, x=2 et y= 1, donc on a w=2 u v. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires 2 u( 1 2 3 v( 2, 1, 3 w( 4 2 1 u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que w=x u+ y v { 4=x+2y Or w=x u+ y v 2=3x y 1=2x+3y A l'aide des deux premières lignes, on a : x=4 2 y 2=3 (4 2 y y = 2=12 7 y 7 y=14 y=2 Donc x=4 2 y=4 2 2=0 ainsi x=0 Vérifions si les valeurs de x et de y sont solutions de la 3e ligne : 2 0+3 2=6 1 Ainsi, il n'existe pas de valeurs de x et de y telles que w=x u+ y v Donc les vecteurs u, v et w ne sont pas coplanaires Exemple (Vérifier si 4 points de l'espace sont coplanaires Pour vérifier si 4 points A, B, C et D sont coplanaires, il suffit de vérifier si 3 vecteurs formés parmis les 4 points sont coplanaires, par exemple s'il existe deux réels x et y tels que : AB=x AC+ y AD (voir exemple précédent

IV Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan On se place dans un repère (O; i, j, k de l'espace Propriété (représentation paramétrique d'une droite Un point M (x, y, z appartient à la droite passant par le point A ( x A ; y A ; z A et dirigée par le vecteur u( a c { x=x A+at b si et seulement si il existe un réel t tel que : y= y A +bt z= z A +ct Démonstration Remarque Une représentation paramétrique est test pour savoir si un point appartient ou non à une droite. Exemple (représentation paramétrique d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur Donner une représentation paramétrique de la droite D : 1 passant par A (1; 2; 4 et dirigée par u( 1 5 D : 10 { x=1 t y=2+5t z=4+10t 2 passant par A (0; 1; 2 et dirigée par u( 2 0 3 passant par A (1; 2; 4 et parallèle à D' : { x=3+t y= 1+5t z=8 14t 4 D : { x=2t y= 1 z=2+4t u( 1 5 D : 14 { x=1+t y=2+5t z=4 14t 4 passant par A (1; 2; 4 et B (4; 1 ;2 u( 3 3 D : 2 { x=1+3t y=2 3t z=4+2t Exemple (vecteur directeur à partir de la représentation paramétrique d'une droite Pour chaque droite D, donner un vecteur directeur et un point appartenant à cette droite : { x=3+4t 1 D : y=1 5t A (3;1;1 et z=1+2t u( 4 5 2 2 D : { x=2 y=t z= t+3 A (2;0;3 et u( 0 1 1

Exemple (Vérifier si un point appartient à une droite { x=2+t On considère la droite D : y=3 t z=4+2t Déterminer si les points B (3,2,6 et C (1; 0 ;4 appartiennent à la droite D, puis donner deux autres points appartenant à la droite D. { x =2+t B - Le point B (3,2,6 appartient à la droite D s'il existe t tel que y B =3 t z B =4+2t { 3=2+t 2=3 t 6=4+2t { 1=t 1=t 1=t. Pour t=1, on a bien que le point B (3,2,6 appartient à la droite D. { x =2+t C - Le point C (1; 0 ;4 appartient à la droite D s'il existe t tel que y C =3 t z C =4+2t { 1=2+t { 1=t 0=3 t 3=t ce qui est impossible. Comme il n'existe pas de réel t vérifie ce système 4=4+2t 0=t d'équation, le point C (1; 0;4 n'appartient donc pas à la droite D. - Déterminons deux autres points appartenant à la droite D : { x=2+t y=3 t z=4+2t Pour cela, il suffit de choisir une valeur de t, puis de faire le calcul. Pour t=2, on a { x=2+2 y=3 2 z=4+2 2 { x=4 y=1. Le point E (4;1; 8 appartient à la droite D z=8 { x=2 Pour t=0, on a y=3. Le point A (2;3;4 appartient à la droite D. z=4

Exemple (Positions relatives de deux droites Déterminer la position relative des droites D et D' 1 D : { x=2+t y=3 t z=4+2t { x=1+3t ' D' : y= 3t ' z=9+6t ' Déterminons un vecteur directeur de chaque droite : u( 1 1 et 2 u'( 3 3 6 Comme u'=3 u, ces vecteurs sont colinéaires, donc les droites D et D' sont parallèles. De plus, les droites D et D' ne passent pas par le même point, donc elles sont strictements parallèles (elles ne sont pas confondues 2 D : { x=2+t y=5+3t z=2t D' : { x=8 2t' y=13+4t ' z=7+t ' Déterminons un vecteur directeur de chaque droite : u( 2 2 5 u'( et 8 13 7 Les vecteurs ne sont pas colinéaires car les coordonneés ne sont pas proportionnelles Donc les droites D et D' ne sont pas parallèles. Elles sont soient sécantes, soit non-coplanaires. Pour savoir si elles sont sécantes, vérifions s'il existe un point d'intersection de ces deux droites en vérifiant si le système suivant admet une solution { 2+t=8 2t ' { t=6 2t ' { 5+3t=13+4t ' 3t=8+4t' 2t=7+t ' 2t=7+t ' t=6 2t ' 3 (6 2t ' =8+4t ' 2t=7+t ' A l'aide des deux premières lignes, on trouve que 18 6t'=8+4t' t'=1 et t=6 2t'=4 On vérifie que la troisième équation est valide : 2t=8 et 7+t'=8 Donc le système admet bien une solution qui est t=4 et t'=1 Ainsi, les droites D et D' sont sécantes en un point M. Pour trouver les coordonneés du point M, il suffit par exemple de remplacer t' par 1 dans la droite (D'. On trouve M (6;17;8 { x=2 t 3 D : y=2+4t z=1+t Les vecteurs u( 1 4 { x=1+3t ' D' : y=2+t ' z=5+t ' 1 et 1 u'( 3 1 ne sont pas colinéaires, donc les droites D et D' ne sont pas parallèles. Pour vérifier si elles sont sécantes en un point, il suffit de vérifier s'il existe un réel t commun au droites D et D'. { 2 t=1+3t ' { t=1 3t ' 2+4t=2+t ' 4t=t ' 1+t=5+t ' t=4+t ' A l'aide des deux premières lignes on trouve que 4 t=t' 4 (1 3t' =t' t'= 4 13 Puis t=1 3t'= 1 13. Or la troisème ligne n'est pas vérifiée car t= 1 13 et 4+t'=4+ 4 13 = 56 13 Le système n'admet pas de solution, donc les droites D et D' ne sont pas sécantes. Comme elles ne sont pas non plus parallèles, elles sont donc non-coplanaires.

Exemple (représentation paramétrique de droites dans un cube On se place dans le repère (A ; AD, AB, AE Déterminer une représentation paramétrique des droites suivantes : 1 (DG D (1;0;0 et DG( 0 1 y=t z=t 1 donc (DG : { x=1 2 (HB B (0;1;0 et HB( 1 1 1 { x= t donc (HB : y=1+t z= t 3 (DF D (1;0;0 et DF( 1 1 { x=1 t donc (DG : y=t 1 z=t Exemple (représentation paramétrique de droites dans une pyramide Soit SABCD une pyramide à base carrée de centre O, et I milieu de [BS] On se place dans le repère (O; OD; OC; OS Déterminer une représentation paramétrique des droites suivantes : 1 (DB D (1;0;0 et DB( 2 0 2 (OS O (0;0;0 et OS( 0 0 { x=1 2t donc (DB : y=0 0 z=0 1 { x=0 donc (OS : y=0 z=t 3 (SC C ( 0;1;0 et SC( 0 1 1 { x=0 donc (SC : y=1+t z= t 4 (DI D (1;0;0 et DI= DB+ BI DI= 2 OD+ 1 2 BS DI= 2 OD+ 1 2 BO+ 1 2 OS DI= 2 OD+ 1 2 OD+ 1 2 OS DI= 3 OD+ 2 1 OS 2 DI( 3 2 0 donc (DI : 1 2 3t {x=1 2 y=0 z= t 2

Exemple (section d'un cube à l'aide de représentations paramétriques de droites Soit ABCDEFGH un cube avec I, J et K milieux respectifs de [EF], [FB] et [HD] On cherche à déterminer la section du cube par le plan (IJK On se place dans le repère (A ; AD; AB; AE - Représentation paramétrique de la droite (DC : D (1;0;0 et DC( 0 1 y=t z=0 0 donc (DC : { x=1 - Déterminer les coordonneés du point L tel que JL= 1 2 IK Notons L ( x; y ; z les coordonneés du point L. On a J ( 1 2 ;1 ;0. JL(x 1 1 1 1 2 et y 1 z 0 IK( 1 2 JL= 1 2 (x 1 IK 2 1 = 2 y 1 2 1 z 0 2 2 On a x=1, y= 3 4 et z= 1 4. Les coordonneés de L sont L ( 1; 3 4 ; 1 4 donc ( 1 - Déterminer la représentation paramétrique de la droite (KL 0 On a L ( 1; 3 4 ; 1 4 et K ( 1 ;0; 1 2 LK( { x=1 puis 3 y= 3t ' 4 donc (LK : 4 3 z= 1 4 2 + 3t ' 4

- Justifier que les droites (DC et (KL sont sécantes en un point M. 0 DC( 0 0 1 LK( et ne sont pas colinéaires, donc (DC et (LK ne sont pas parallèles. { 1=1 t= 3t' (DC et (KL sont sécantes si le système suivant admet une solution : 4. 0= 1 2 + 3t ' 4 3 4 3 4 On trouve que t'= 2 3, et t= 3 4 2 3 = 1 2. Toutes les équations du système sont vérifiées. Le système admet donc pour solution t=1 et t'= 3 4, donc les droites sont sécantes en un point M. On prend t=1 dans la droite (DC et on obtient le point M ( 1 ; 1 2 ;0. On peut finir la section du cube par le plan (IJK comme au début du cours.

Exemple (section d'un cube à l'aide de représentations paramétriques de droites Soit ABCDEFGH un cube avec I, J et K tels que EI= 1 4 EF, DK = 1 4 DH et BJ= 1 4 BC Déterminer la section du cube par le plan (IJK On s'inspire de l'exemple précédent : On utilise la parallèle à (IK passant par J. On reproduit un vecteur colinéaire à (IJ à partir de J de sorte à être sur le plan (DCG. On choisit L tel que JL= 3 4 IK On trouve L ( 1; 13 16 ; 9 16 Le point d'intersection M des droites (DC et (KL est M ( 1; 1 4 ;0 On peut ensuite finir la section du cube.

Remarque On note (A ; u ; v le plan passant par A et dirigé par les vecteurs u et v M appartient au plan (A ; u; v si et seulement si les vecteurs AM, u et v sont coplanaires, c'està-dire qu'il existe deux réels λ et μ tels que AM=α u+β v. On a donc la propriété suivante Propriété (représentation paramétrique d'un plan Soit A ( x A ; y A ; z A un point et u( a c b v( a' et b' deux vecteurs non-coplanaires. c' Un point M (x ; y; z de l'espace appartient au plan passant par A et dirigée par les vecteurs u et v { x=a λ+a' μ si et seulement si il existe deux réels λ et μ tels que y=bλ+b' μ z=c λ+c ' μ Exemple (représentation paramétrique à partir d'un poin et de deux vecteurs Le plan passant par le point A (1; 2; 3 et dirigée par les vecteurs u( 1 4 et 5 v( 7 0 15 { x=1 λ+7μ a pour représentation paramétrique : y=2+4 λ z=3+5λ 15μ Exemple (vecteurs directeurs d'un plan à partir de la représentation paramétrique { x= 2+4λ 2μ Le plan ayant pour représentation paramétrique y=10+λ+6 μ z= λ+μ est le plan passant par le point A ( 2; 10; 0 et dirigée par les vecteurs u( 4 1 1 v( 2 et 6 1 Exemple (Vérifier si un point appartient à un plan { x=1+2 λ μ Soit P le plan ayant pour représentation paramétrique y=4+λ+2μ z=5 λ+μ Déterminer si les points B (2;7 ;5 et C (3;2 ;8 appartiennent au plan P. Donner deux autres points appartenant au plan P. - Le point B (2;7 ;5 appartient au plan P si ses coordonneés vérifient le système d'équation { x B=1+2λ μ { 2=1+2 λ μ { 1=2λ μ y B =4+λ+2μ 7=4+λ+2 μ 3=λ+2μ... etc z B =5 λ+μ 5=5 λ+μ 0= λ+μ On résout ce système en trouvant qu'il existe une solution qui est λ=μ=1. Donc le point B (2;7;5 appartient bien au plan P. - Le point C (3;2 ;8 appartient au plan P si ses coordonneés vérifient le système d'équation { xc=1+2λ μ { 3=1+2λ μ { 2=2λ μ y C =4+λ+2μ 2=4+λ+2μ 2=λ+2 μ... etc z C =5 λ+μ 8=5 λ+μ 3= λ+μ Ce système n'a pas de solution, donc le point C n'appartient pas au plan P. Pour trouver un point appartenant au plan P, il suffit de choisir deux valeurs quelconques pour λ et μ. Par exemple λ=μ=0 on trouve le point A ( 1; 4; 5 et pour λ=μ=2 on trouve E ( 3;10;5

Remarques Si u colinéaire à u' et v colin. à v' alors les plans (A ; u, v et (A' ; u', v' sont parallèles (récip F Si w est colinéaire à u ou à v alors la droite (A' ; w est parallèle au plan (A ; u; v (récip F w est coplanaire avec u et v si et seulement si la droite (A' ; w est parallèle au plan (A ; u ; v