On enend par phénomène ransioire une phase de durée limiée dans le emps. On peu opposer ainsi phénomène ransioire e phénomène permanen : Par exemple, on parlera de la phase de démarrage d un moeur comme d une phase ransioire où sa viesse évolue suie à un ordre de mise en roaion ; à l inverse, on qualifiera de régime permanen ou éabli la phase ulérieure où la viesse de roaion es sable. e façon plus générale, nous dirons qu un régime ransioire es la phase qui sépare (dans le emps) deux régimes permanens disincs d un sysème physique. es phénomènes ransioires son ainsi rès généraux e surviennen dans bon nombre de domaines. n voici quelques exemples : - lecricié : Mise sous ension ou hors ension d un circui, éablissemen d un régime élecrique périodique (oscillaeurs, hacheur) - Mécanique : Variaion de la viesse d un moeur (pas nécessairemen élecrique) suie à une variaion de l effor demandé ; évoluion du débi d un fluide dans une canalisaion après manœuvre d une vanne - Thermique : Modificaion de l allure de chauffe dans un chauffage domesique ; monée en empéraure de semi-conduceurs de puissance adre de l éude abordée ici : Nous raisonnons sur des circuis élecriques linéaires modèles ; ces circuis son complèemen décris par une ou plusieurs équaions différenielles linéaires faisan inervenir des variables élecriques. Nous disinguerons esseniellemen les phénomènes ransioires du premier e du second ordre, c es à dire correspondan à une descripion du circui concerné par une équaion différenielle du 1 er ou du 2 ème ordre. (Nous verrons par la suie que l ordre des équaions différenielles décrivan un sysème augmene avec la précision de descripion) 6.1 Modèle du premier ordre. e circui du premier ordre le plus simple comprend une résisance e un élémen réacif (capacié ou inducance) ; inéressons nous à la réponse indicielle d un circui de ype «R», c es à dire à sa réponse à une solliciaion de ype échelon de ension 6.1.1 quaions différenielles. Pour le circui ci-conre, nous pouvons écrire : e = Ri + u, en valeurs insananées. R i e i() e u () son liés par la relaion : i = duc On peu alors écrire : e = R duc + uc, qui consiue une équaion différenielle du 1 er ordre vis à vis de u c. n dérivan par rappor au emps l équaion e = Ri + u il vien, compe enu de i = duc : de = R di i, soi, après muliplicaion par : de = R i + aure équaion du 1 er ordre, en i. On peu remarquer la présence du erme R dans ces 2 équaions ; son imporance va apparaîre dans leur résoluion. u
6.1.2 Mise sous ension a ension e() es un échelon de haueur, apparaissan à une dae origine. a ension u aux bornes du condensaeur va croîre jusqu à e équaion différenielle en i() s écri : = R i di +, dans la mesure où e es une consane pour >. Supposons le condensaeur iniialemen déchargé. ee équaion se résou en i( > ) = I R e On pose τ =R, consane de emps du phénomène. Au bou d une durée τ, le couran I a éé divisé par e 2,718. A la dae origine, u =, donc RI = ; il vien ainsi I R = ompe enu de la relaion i = duc, nous déduisons u () par inégraion : u ( > ) = 1 e R u évolue enre V e, exponeniellemen, avec la consane de emps τ égalemen. i (ma) 8 6 4 2 u (V) 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 (s) e phénomène ransioire es accompli à 63% au bou d une durée τ, à 95% au bou de 3τ, e à plus de 99% au bou d une durée 5τ. Voir en annexe 1 les principales caracérisiques de la réponse indicielle du 1 er ordre. Remarquer la coninuié de la ension u () e la disconinuié de i() : a charge q porée par un condensaeur q2 (e donc l énergie W = 1 ) ne peuven varier insananémen d une valeur finie. Par conre, la variaion de 2 la charge q (donc le couran i()) peu êre disconinue. 6.1.3 Aures cas Magnéisaion d un bobinage : R i Pour le circui ci-conre, l inerrupeur es fermé à une dae origine. Pour, = Ri di +, soi i di R = + R. u Si nous posons mainenan τ = R a soluion de l équaion différenielle s écri : i () (1 e ) R = τ aux bornes de l inducance, la ension u () s écri : u = di =. e τ Nous obenons une réponse semblable à la mise sous ension d un réseau R, en associan i à u e i à u. ee fois, c es i qui ne subi pas de disconinuié. (i es liée à l énergie sockée W = 1 i2 ) 2
Magnéisaion à ension consane : Qu advien-il si la résisance R de l exemple précéden end vers? inducance es soumise à la ension consane : u di = = ; cee équaion se résou en : i () = i() + : e couran croî consammen, de façon linéaire avec le emps. ee rampe de couran ne peu pas se poursuivre indéfinimen ; il faudra nécessairemen ouvrir le circui,afin de limier l énergie sockée. (ans ce cas, on doi prévoir une dissipaion progressive de l énergie sockée, par exemple en câblan une diode de roue libre aux bornes de l inducance. harge à couran consan : hargeons mainenan un condensaeur à l aide d un généraeur de couran : Nous pouvons écrire : i I du = =. u ee équaion se résou en : u () u () I = + On obien ici une rampe de ension aux bornes du condensaeur. à non plus, ce régime ne peu perdurer : Il faudra ouvrir le circui au bou d un cerain emps. i =I 6.2 Modèle du second ordre. e modèle élecrique fondamenal comprend une inducance, une capacié, e inéviablemen une résisance ; c es le circui R bien connu. 6.2.1 quaions différenielles. onsidérons le circui R série ci-conre : a loi des mailles s écri : e() = Ri() + u () + u () n oure, u di du = e i = érivons l expression de la loi des mailles par rappor au emps e exprimons les différenes grandeurs en foncion de i ; il vien ainsi : e R i u u de 2 + = R di + d i i 1 2 qui es bien une équaion du second ordre (en i) Nous pouvons exprimer égalemen i() e u () en foncion de u () dans la loi des mailles : 2 = R du + d u u 2 qui es cee fois une équaion du second ordre en u. e () + 6.2.2 Réponse indicielle. e circui es iniialemen au repos : e() e i() son nulles, le condensaeur es déchargé. A une dae prise comme origine des emps, e() subi un échelon de haueur. e e phénomène ransioire correspond cee fois à la charge du condensaeur à ravers la résisance R e l inducance. e régime se ermine quand u aein la valeur ; le couran i dans la maille s annule alors. évoluion de ces grandeurs peu se faire de 2 manières : On parle de régime apériodique ou de régime périodique amori. Voir le complémen mahémaique en annexe 2, concernan les soluions d une équaion différenielle du second ordre, ainsi qu les principales caracérisiques de la réponse indicielle du second ordre en annexe 3.
évoluion selon l un ou l aure de ces régimes dépend de la valeur de la résisance R : équaion caracérisique associée à l équaion en u (par exemple) es ().r 2 +(R).r + 1 = son discriminan es = (R) 2 4 ; le régime ransioire change selon le signe de : s annule pour Si >, soi R = 2 (cee valeur de R se nomme résisance criique) R > 2, alors le régime es apériodique. Si <, soi R < 2, alors le régime es périodique amori. (à la limie, si on pouvai rendre R nulle, l amorissemen du phénomène serai inexisan ; on aurai ainsi réalisé un sysème oscillan perpéuellemen ; l approche des oscillaeurs fera l obje d une éude ulérieure) Raisonnons sur un exemple numérique : Prenons = 25mH, e = 2,5µF. ( =4V) a résisance criique es R = 2Ω Résulas de simulaion pour R = 4Ω, R = 1Ω e R = 5Ω : ouran 3mA 5Ω 16mA 1Ω 4Ω A -16mA s 2.ms 4.ms 6.ms -I(1) Time Tension u 6.V 5Ω 1Ω 4.V 2.V 4Ω V s 2.ms 4.ms 6.ms V(uc) Time a réponse es apériodique pour R = 4Ω ; elle es périodique amorie pour les 2 aures valeurs.
6.3 Généralisaion. n première approximaion, la plupar des régimes ransioires observables peuven êre assimilés à des phénomènes du 1 er ou du 2 ème ordre. xemple : nregisremen du couran appelé e de la viesse de roaion d un moeur lors de sa mise sous ension : examen de cee réponse me en évidence un processus du second ordre (angene à l origine horizonale pour la courbe de viesse). Par rappor à un circui R à réponse indicielle apériodique, la monée en viesse du moeur es analogue à la ension aux bornes du condensaeur, alors que le couran appelé par la machine es comparable au couran appelé par le circui R. es mesures réalisables son : - Viesse permanene : 862 r/min - ouran permanen : 1,6A - Poine de couran de 4,8A à,12s - Temps de monée de la viesse (1 à 9% de 862r/min) :,62s - Temps de réponse à 5% (mesuré sur la courbe de viesse) :,88s aure par, la connaissance des régimes ransioires élecriques es nécessaire pour analyser le foncionnemen de disposiifs variés els que les circuis monosables ou asables (en élecronique), ou bien les alimenaions à découpage non isolées ou hacheurs (en élecroechnique)
6.4 Alimenaions à découpage non isolées (ou hacheurs) e els sysèmes son uilisés pour la commande de moeurs à couran coninu, ou comme alimenaion. On peu les classer comme converisseurs coninu coninu. eur principe consise à découper une ension coninue, à une fréquence f H fixée, mais avec un rappor cyclique α réglable. (a régulaion de ces disposiifs se fai par le rappor cyclique) eur consiuion es simple : Un inerrupeur commandé (ransisor ou hyrisor), une inducance de sockage e une diode de roue libre. Selon la disposiion de ces 3 élémens, on aboui à 3 srucures de base : onverisseur «série» (ou abaisseur, ou sepdown), converisseur «parallèle» (ou élévaeur, ou sepup), e enfin converisseur «à accumulaion» (ou inverseur, ou inverer) 6.4.1 Hacheur série. Sur une période T H, es d abord fermé pendan αt H, puis ouver pendan (1 - α)t H. i (f H, α) u Ii a ension aux bornes de la charge es filrée par un condensaeur de capacié choisie pour vérifier τ = R U >> T H ; dans ces condiions, il es légiime d admere que T. i i Schémas équivalens selon l éa de : Pendan ON = αt H ( fermé), la source débie dans la bobine e la charge ; le couran i = i croi. pendan OFF =(1 - α)t H ( ouver), nous avons une phase de roue libre duran laquelle la bobine cède une parie de son énergie à la charge ; le couran i décroî. i Ii Ii u > u < i i i ON : fermé, bloquée, magnéisaion OFF : ouver, passane, démagnéisaion Transfer en ension. A ou insan : + u = n régime périodique, U = ; la relaion précédene devien ainsi moyennes ; avec Il vien aisémen On dédui U S U = U U = en valeurs S = α U S = α S U e omme α 1, U S, d où le nom de converisseur abaisseur i I M I m αt H (1 - α)t H
6.4.2 Hacheur parallèle. a manœuvre de es idenique au cas du hacheur série. e choix de es el qu on puisse admere T. i = i u Ii (f H, α) i Schémas équivalens selon l éa de. Pendan ON ( fermé), la source fourni de l énergie à la bobine (u = ) : e couran i = i croî ; dans le même emps, la capacié de filrage fourni de l énergie à la charge. Pendan OFF ( ouver), u s inverse, la bobine se rerouve en série avec la source e impose plus grande que! i i i Ii u > u < i < i i > ON : fermé, bloquée, magnéisaion la charge es alimenée par OFF : ouver, passane, démagnéisaion Transfer en ension i A ou insan : = + u n régime périodique, U = ; la relaion précédene devien ainsi moyennes ; avec U Il vien aisémen U S = US e où finalemen U S = αu = U S U en valeurs S = 1 α I M I m U S αt H (1 - α)t H U S es supérieure à comme prévu ; aenion ouefois, il faudra limier le rappor cyclique α à une valeur maximale pour que la valeur de U S rese supporable par les élémens consiuifs.
6.4.3 Hacheur à accumulaion. a manœuvre de es idenique au cas du hacheur série. e choix de es el qu on puisse admere T. i (f H, α) Ii u i i Schémas équivalens selon l éa de. Pendan ON ( fermé), la diode es bloquée ; la source fourni de l énergie à la bobine (u = ), le couran i = i croî ; le condensaeur alimene simulanémen la charge. Pendan OFF ( ouver), u s inverse, forçan la conducion de e impose ainsi une ension < à la charge! i i > < u > u < < i i i i ON : fermé, bloquée, magnéisaion OFF : ouver, passane, démagnéisaion Transfer en ension. i A ou insan : u = + n régime périodique, U = ; la relaion précédene devien ainsi = U S + U en valeurs moyennes ; avec U S = US e Il vien aisémen U = α ( US) I M I m - U S αt H (1 - α)t H où US = α ( US) finalemen : U S = α 1 α U S es négaive, réglable enre (pour α = ), - (pour α = ½) e héoriquemen - si α 1 ; il y a lieu de limier la valeur de α!
S,95S,993S,9S,63S R R5%,1S τ 3τ 5τ Quelques grandeurs caracérisiques : Temps de monée : R = 2τn3 2,2τ Temps de réponse à 5% : R5% = 3τ urée approximaive du régime ransioire : 5τ a angene à l origine coupe la valeur permanene (S ) à la dae τ quaion la plus générale : s() = (S - S ) (1 - e -/τ ) + S Avec : S : Valeur iniiale S : Valeur permanene τ : onsane de emps S F S S F xpression de la durée correspondan à l évoluion enre S e une valeur S F : F s(f) = SF = (S S) (1 e τ ) + S F d où : 1 e τ = SF S e finalemen : = τ n S S S S S SF
!! " #$ % Soi la foncion du emps y, vérifian l équaion différenielle : ay + by + cy = f(), dans laquelle a, b, c son des consanes e f() une foncion du emps connue. a soluion y peu se mere sous la forme y() = y + y 1 avec - y : Soluion générale de ay + by + cy = (équaion différenielle sans second membre, ou homogène) - y 1 : Soluion pariculière de l équaion avec second membre. (souven y 1 es de la même forme que le second membre f()) Pour rouver y, on considère l équaion caracérisique ar 2 + br + c =, de la variable complexe r. e discriminan de l équaion caracérisique es = b 2 4ac. Si >, il exise 2 racines réelles r 1 e r 2, e on monre que à déerminer en foncion des condiions iniiales. a réponse y() es ici apériodique. y = A.er1 + B. er2, A e B son 2 consanes Si =, il exise une racine double criique. r = 2 b e y a =(A +B).e -b/2a la réponse es die apériodique Si <, il exise 2 racines complexes conjuguées r 1 e r 2 qui son j 2 b ± a 2a en posan ω = 2 1, nous aurons = + ω = jω a r 1 j e r 2a b 2 2a b a soluion y s écri y Aer Ber e 2 b = 1 + 2 = a.(a.ejω + B.e jω) e qu on me sous la forme y =.e k. sin( ω + ϕ) ee soluion correspond à une oscillaion sinusoïdale, de pulsaion ω, e amorie exponeniellemen. xemple de soluion sinusoïdale amorie : y 1.5 -.5.2.4.6.8 1 (s)
réponse pseudo-périodique & T 1 1,5 S S,95 S m pic R5% - Période des oscillaions : T; - 1 er dépassemen :1; - épassemen relaif : 1 / S - Insan du 1 er passage par la valeur permanene : M - ae du 1 er dépassemen : PI - Temps de réponse à 5% : ae au delà de laquelle s() renre définiivemen dans le «couloir» des 5% auour de la valeur permanene (soi enre 1,5 e,95 fois la valeur de régime permanen) réponse apériodique S,95.S R5% a seule grandeur caracérisique rese le emps de réponse à 5% On différencie cee réponse d un 1 er ordre par l examen de la angene à l origine qui es ici horizonale.