ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES

Rapport JEFF 8 ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES F.H. Fröher Forshugszetrum Karlsruhe Istitut für Neutroephysik ud Reaktortehik D-760 Karlsruhe, Allemage Ave la otributio de Életriité de Frae et du Commissariat à l éergie atomique AGENCE POUR L ÉNERGIE NUCLÉAIRE ORGANISATION DE COOPÉRATION ET DE DÉVELOPPEMENT ÉCONOMIQUES

ORGANISATION DE COOPÉRATION ET DE DÉVELOPPEMENT ÉCONOMIQUES E vertu de l artile er de la Covetio sigée le 4 déembre 960, à Paris, et etrée e vigueur le 30 septembre 96, l Orgaisatio de oopératio et de développemet éoomiques (OCDE) a pour obetif de promouvoir des politiques visat : à réaliser la plus forte epasio de l éoomie et de l emploi et ue progressio du iveau de vie das les pays Membres, tout e maiteat la stabilité fiaière, et à otribuer aisi au développemet de l éoomie modiale ; à otribuer à ue saie epasio éoomique das les pays Membres, aisi que les pays o membres, e voie de développemet éoomique ; à otribuer à l epasio du ommere modial sur ue base multilatérale et o disrimiatoire oformémet au obligatios iteratioales. Les pays Membres origiaires de l OCDE sot : l Allemage, l Autrihe, la Belgique, le Caada, le Daemark, l Espage, les États-Uis, la Frae, la Grèe, l Irlade, l Islade, l Italie, le Luembourg, la Norvège, les Pays-Bas, le Portugal, le Royaume-Ui, la Suède, la Suisse et la Turquie. Les pays suivats sot ultérieuremet deveus Membres par adhésio au dates idiquées i-après : le Japo (8 avril 964), la Filade (8 avier 969), l Australie (7 ui 97), la Nouvelle-Zélade (9 mai 973), le Meique (8 mai 994), la République thèque ( déembre 995), la Hogrie (7 mai 996), la Pologe ( ovembre 996) et la Corée ( déembre 996). La Commissio des Commuautés européees partiipe au travau de l OCDE (artile 3 de la Covetio de l OCDE). L AGENCE DE L OCDE POUR L ÉNERGIE NUCLÉAIRE L Agee de l OCDE pour l éergie uléaire (AEN) a été réée le er février 958 sous le om d Agee européee pour l éergie uléaire de l OECE. Elle a pris sa déomiatio atuelle le 0 avril 97, lorsque le Japo est deveu so premier pays Membre de plei eerie o europée. L Agee ompte atuellemet 7 pays Membres de l OCDE : l Allemage, l Australie, l Autrihe, la Belgique, le Caada, le Daemark, l Espage, les États-Uis, la Filade, la Frae, la Grèe, la Hogrie, l Irlade, l Islade, l Italie, le Japo, le Luembourg, le Meique, la Norvège, les Pays-Bas, le Portugal, la République de Corée, la République thèque, le Royaume-Ui, la Suède, la Suisse et la Turquie. La Commissio des Commuautés européees partiipe égalemet à ses travau. La missio de l AEN est : d aider ses pays Membres à maiteir et à approfodir, par l itermédiaire de la oopératio iteratioale, les bases sietifiques, tehologiques et uridiques idispesables à ue utilisatio sûre, respetueuse de l eviroemet et éoomique de l éergie uléaire à des fis paifiques ; et de fourir des évaluatios faisat autorité et de dégager des overgees de vues sur des questios importates qui servirot au gouveremets à défiir leur politique uléaire, et otribuerot au aalyses plus géérales des politiques réalisées par l OCDE oerat des aspets tels que l éergie et le développemet durable. Les domaies de ompétee de l AEN ompreet la sûreté uléaire et le régime des autorisatios, la gestio des déhets radioatifs, la radioprotetio, les siees uléaires, les aspets éoomiques et tehologiques du yle du ombustible, le droit et la resposabilité uléaires et l iformatio du publi. La Baque de doées de l AEN proure au pays partiipats des servies sietifiques oerat les doées uléaires et les programmes de alul. Pour es ativités, aisi que pour d autres travau oees, l AEN ollabore étroitemet ave l Agee iteratioale de l éergie atomique à Viee, ave laquelle u Aord de oopératio est e vigueur, aisi qu ave d autres orgaisatios iteratioales opérat das le domaie de l éergie uléaire. OCDE 000 Les permissios de reprodutio partielle à usage o ommerial ou destiée à ue formatio doivet être adressées au Cetre fraçais d eploitatio du droit de opie (CFC), 0, rue des Grads-Augustis, 75006 Paris, Frae. Tél. (33-) 44 07 47 70. Fa (33-) 46 34 67 9, pour tous les pays à l eeptio des États-Uis. Au États-Uis, l autorisatio doit être obteue du Copyright Clearae Ceter, Servie Cliet, (508)750-8400, Rosewood Drive, Davers, MA 093 USA, ou CCC Olie : http://www.opyright.om/. Toute autre demade d autorisatio ou de tradutio totale ou partielle de ette publiatio doit être adressée au Éditios de l OCDE,, rue Adré-Pasal, 75775 Paris Cede 6, Frae.

AVANT-PROPOS Les doées uléaires sot essetielles au développemet et à l'appliatio des siees et tehiques uléaires. Les doées uléaires de base, qu'elles soiet mesurées ou alulées, sot soumises à u proessus omplee d'évaluatio de orretio et d'aalyse avat d'être dispoibles pour les appliatios. Ce rapport dérit e proessus das le as des doées d'iteratio eutromatière das le domaie des résoaes. Sahat qu'il 'eiste pas de théorie apable de prédire les doées uléaires das le domaie des résoaes, la mesure, auprès de mahies dédiées (aélérateur liéaire par eemple), reste la seule soure primaire d'iformatio. Les doées mesurées sot orrigées de divers effets epérimetau omme les impuretés, le bruit de fod et l'effiaité des déteteurs. Cei état, es résultats epérimetau e peuvet pas être utilisés e l'état das les aluls puisque l'iformatio reueillie est fragmetaire. Ue étape d'aalyse est éessaire pour ompléter les mesures et produire u eu de doées ohéret. Fritz Froher, l'auteur du préset rapport, dérit e détail les deu élémets éessaires pour meer à bie l'aalyse des doées : la théorie de l'iteratio eutro-oyau das le domaie des résoaes et les formalismes mathématiques d'iféree statistique. Coerat e derier poit, l'auteur eprime lairemet so pehat pour l'approhe Bayesiee qu'il osidère la plus appropriée. Ce rapport s'isrit das le adre d'u effort oordoé à l'éhelle iteratioale et auquel partiipet les orgaismes atioau de reherhe et l'idustrie uléaire. Il vise à sauvegarder les oaissaes e doées uléaires, domaie das lequel ue grade partie des spéialistes sot réemmet partis à la retraite. Il a été possible grâe à la ollaboratio du CEA Cadarahe, d'életriité de Frae et de l'agee de l'ocde pour l'éergie uléaire. Viet Greissier a assuré la tradutio fraçaise du rapport et Pierre Ribo a révisé à la fois la versio origiale et la tradutio. Lauret Carraro a passé e revue la partie mathématique du rapport. 3

TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS...3 ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES...7. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DE l ÉVALUATION DES DONNÉES...9.. La probabilité, ue mesure quatitative d ue prévisio ratioelle...9.. Le théorème de Bayes, la règle pour réatualiser la oaissae ave de ouvelles doées....3. Valeurs reommadées à partir de l estimatio par perte quadratique...4.4. Gééralisatio à plusieurs observatios et paramètres...5.5. Approhe plus détaillée des probabilités a priori, attributio par la théorie des groupes...6.6. Estimatio Bayesiee de paramètre pour ue Gaussiee à ue variable...8.7. Attributio de probabilités par maimisatio de l etropie...3.8. Ue approimatio : le maimum de vraisemblae...7.9. Ue approimatio : les moidres arrés...8. ÉVALUATION DES DONNÉES NUCLÉAIRES POUR DES APPLICATIONS...33.. Préparatio par étape des doées uléaires pour appliatios...33.. Austemet par moidres arrés ave itératio...40.3. Erreurs statistiques : statistique de Poisso...44.4. Erreurs systématiques : Iertitudes orrélées et leur propagatio...45.5. Qualité de l austemet...49.6. Doées iompatibles...5.7. Estimatio d erreurs systématiques ioues...56 3. THÉORIE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE RÉSOLU...59 3.. Le formalisme de Blatt-Biedehar...64 3.. Les epressios eates de la matrie-r...67 3.3. Les approimatios importates d u poit de vue pratique...7 3.3.. Epressios de Kapur-Peierls pour les setios effiaes...73 3.3.. Epressios des setios effiaes das le adre de SLWB...74 3.3.3. Epressios des setios effiaes das le adre de MLWB...76 3.3.4. Epressios de Reih-Moore des setios effiaes...78 3.3.5. Epressios d Adler-Adler des setios effiaes...79 3.3.6. Coversio des paramètres de Wiger-Eisebud e paramètres de Kapur-Peierls...80 5

3.4. Niveau eteres...8 3.4.. Représetatio statistique des iveau eteres...83 3.4.. Représetatios des termes de bord par deu larges résoaes...85 3.4.3 Niveau liés étroits pour imposer les setios effiaes thermiques presrites pour les iveau liés....88 3.5. Élargissemet Doppler...9 3.5.. Approimatio du gaz libre...9 3.5.. Cristal ubique...94 3.5.3. Élargissemet Gaussie ave profils de Voigt...94 3.5.4. Élargissemet Gaussie ave la méthode de Turig...95 3.5.5. Élargissemet de doées potuelles tabulées et liéairemet iterpôlables...96 3.6. Aalyse pratique des setios effiaes epérimetales das le domaie des résoaes...98 3.6.. Les observables...99 3.6.. Compliatios epérimetales...0 3.6.3. Attributio de spi et de parité...04 4. THÉORIE STATISTIQUE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE NON RÉSOLU...07 4.. Statistique des iveau...07 4... Hypothèse de Porter et Thomas...07 4... Loi de Wiger et l Esemble Gaussie orthogoal...0 4..3. Coeffiiets de trasmissio...3 4..4. Desités uléaires de iveau...5 4..5. Iformatio proveat des résoaes résolues...3 4.. Setios effiaes résoates moyees...6 4... Setio effiae totale moyee...6 4... Setios effiaes partielles moyees : Formules heuristiques...7 4..3. Setios effiaes partielles moyees : moyee eate sur l EGO...9 4..4. Aalyse de doées moyees...3 4.3. Costates de groupes...37 4.3.. Fateurs de Bodareko...38 4.3.. Méthodes aalytiques et de Mote Carlo pour la géératio de ostates de groupe...39 5. CONCLUSIONS...4 ANNEXES...43 A. Distributios de probabilités d importae pratique...44 A.. Distributios biomiale et bêta...47 A.. Distributios gamma et de Poisso...45 A.3. Gaussiee à ue variable...46 A.4. Gaussiee à plusieurs variables...49 B. Propriétés mathématiques des profils de Voigt Voigt ψ et χ...53 6

ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES Résumé Les fodemets probabilistes de l évaluatio des doées sot eamiés ave u aet partiulier sur l estimatio de paramètres à l aide du théorème de Bayes et d ue fotio de perte quadratique, aisi que sur les méthodes moderes d attributio de probabilités a priori. Les grades liges du proessus de rédutio des doées, meat des doées epérimetales brutes au fihiers iformatiques d évaluatios des setios effiaes de réatio uléaire, sot eposées ave ue disussio sur les erreurs systématiques et statistiques, sur leur propagatio et sur le formalisme gééralisé des moidres arrés ompreat ue iformatio a priori et des modèles théoriques o-liéaires. Il est epliqué ommet des erreurs ommues peuvet iduire des orrélatios etre les doées, quelles sot leurs oséquees sur la propagatio des iertitudes et les études de sesibilité, et ommet les évaluateurs peuvet ostruire des matries de ovariae d après les iformatios sur les erreurs lassiques doées par les epérimetateurs. De ouvelles tehiques d évaluatio, à partir de doées iompatibles, sot égalemet présetées. Les priipes géérau sot esuite appliqués spéifiquemet à l aalyse et à l évaluatio des doées relatives au résoaes uléaires sous forme de modèles théoriques-théorie de la matrie-r (e partiulier ses variates Breit-Wiger multiiveau et Reih-Moore, d usage pratique) das le domaie résolu et théorie de la matrie-r appliquée au valeurs moyees (théorie d Hauser-Feshbah ave orretio des flutuatios des largeurs) das le domaie o-résolu. Des ompliatios apparaisset du fait que les valeurs mesurées de la trasmissio, du tau de apture ou de fissio, des rapports d auto-idiatio ou eore d autres observables e sot pas diretemet les setios effiaes reherhées. Celles-i e sot obteues qu au travers d ue paramétrisatio. Par oséquet, ue disussio est égalemet meée sur les effets affetat es valeurs : élargissemet Doppler, résolutio epérimetale, auto-protetio, diffusios multiples, bruit de fod, impuretés das les éhatillos, effiaités des déteteurs dépedat de l éergie, doées de référee impréises, et. 7

. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DE L ÉVALUATION DES DONNÉES Historiquemet, l évaluatio des doées, au ses atuel, débuta par les efforts de Duigto (939), de DuMod et Cohe (953) et de leurs ollaborateurs pour détermier u esemble de valeurs reommadées des ostates physiques fodametales (vitesse de la lumière, quatum d atio de Plak, ostate de struture fie, et...), et établir leurs iertitudes, grâe à u austemet global par moidres arrés de l esemble des doées epérimetales utiles. Comme les mesures sot ivariablemet affetées par des erreurs istrumetales iotrôlables, des étalos impréis, des statistiques de omptage fiies et d autres soures d iertitudes, l évaluatio des doées implique de raisoer à partir d ue iformatio iomplète, est-à-dire e terme de théorie des probabilités. C est pourquoi ous allos ommeer par ue brève revue des fodemets théoriques, basés sur les probabilités, de l évaluatio des doées. Cela ous aidera à relier etre elles diverses règles pour etraire des doées epérimetales les «meilleures» valeurs et les iertitudes, et des presriptios pour les austemets sur les doées. La plupart des sietifiques appreet es règles et formules durat des ours de laboratoire et au travail, e ostatat que la plupart des livres de probabilités sot remplis d itimidates termiologies de statistique et de osidératios «ad-ho» peu évidetes (Good 965) proveat de tetatives mal veues pour éviter le théorème de Bayes et ses très déigrées probabilités a priori. Le préset eposé qui (a) est fermemet basé sur le théorème de Bayes et (b) utilise les progrès réets sur les probabilités a priori, va meer à u traitemet ois et mathématiquemet simple de l estimatio des paramètres et de l austemet des doées das le adre gééral de la olusio par idutio, ou de l étude à partir d observatios réelles, touours affetées d ue erreur et iomplètes.. La probabilité, ue mesure quatitative d ue prévisio ratioelle Tous os résultats, das ette partie, serot lairemet des oséquees diretes des règles de somme et de multipliatio élémetaires de la théorie des probabilités, ( ) PAC ( ) PAC +, () où PABC ( ) PABCPBC ( ) ( ) PBACPAC ( ) ( ), () ABC,, propositios telles que «la pièe tombe sur fae» ou «la setio effiae est supérieure à b», AB A et B sot tous les deu vrais, A A est fau, PAC ( ) probabilité de A sahat C. 9

Nos otatios idiquet que toutes les attributios de probabilité sot oditioelles, basées sur des iformatios empiriques ou théoriques ou sur des hypothèses. D après J. Berouilli (73) et Laplae (8), ous iterprétos es probabilités omme des degrés de plausibilité ou de prévisio ratioelle sur ue éhelle umérique allat de 0 (impossibilité) à (ertitude), les valeurs itermédiaires idiquat des degrés de plausibilité itermédiaires. La règle de somme ous dit que, sous toute oditio C, plus A est probable et mois A l est, la somme égale à l uité des deu probabilités traduisat la ertitude que l ue de es alteratives est vraie. La règle de multipliatio eprime que, sous toute oditio C, la probabilité qu à la fois A et B soiet vrais est égale à la probabilité de A sahat B multipliée par la probabilité que B soit vraie. Puisque A et B itervieet de maière symétrique, il est égalemet possible de osidérer la probabilité de B sahat A et de la multiplier par la probabilité de A. L iterprétatio des P e tat que degrés de plausibilité (pas les équatios les reliat) a été ritiquée par les statistiies qui tieet à e que, par probabilité, o etede uiquemet «fréquee relative das ue epériee aléatoire» telle que laer de pièe, das la limite d u très grad ombre de répétitios, et que l o puisse assiger des probabilités «diretes» à des effets (observatios) si les auses (lois stohastiques et leurs paramètres) sot doées, mais pas des probabilités «iverses» à diverses auses possibles si les observatios sot doées. Ils affirmet que, puisque les ostates physiques e sot pas des variables aléatoires qui supposet des valeurs doées ave ue ertaie fréquee, il e faut assoier des probabilités qu ave les erreurs observées et pas ave les ostates physiques. Pour les sietifiques e gééral, et les évaluateurs de doées e partiulier, e poit de vue est trop restritif. Il e leur permettrait pas de dire que, d après les doées mesurées, ue ostate physique a telle ou telle probabilité d eister das des bores doées. La tâhe osistat à déduire les valeurs de ostates aturelles, de temps de demi-vie, de setios effiaes de réatio, et, à partir de doées affetées d erreurs systématiques, iertaies et iomplètes est pas ue epériee aléatoire qui peut être répétée à voloté, mais plutôt u eerie de olusio par idutio (raisoer fae à l iertitude). Le oept de probabilité de Laplae semble par oséquet plus approprié pour l évaluatio des doées sietifiques. Tous es doutes furet dissipés par R.T. Co (946). E utilisat l arithmétique de la logique, l algèbre de Boole, il prouva que tout système formel d iféree logique utilisat des degrés de plausibilité doit soit être équivalet à la théorie des probabilités telle que dérivée des règles de somme et de multipliatio de base, soit violer des oditios de osistee élémetaire. Das sa démostratio, les oditios de osistee les plus géérales s eprimet sous la forme de deu équatios fotioelles dot les solutios sot ustemet les règles de base. Le fait ritiquable que Co a supposé la différetiabilité de es fotios de probabilité fut résolu par A. Réyi (954) qui doa ue démostratio sas ette hypothèse. Il est itéressat que Shrödiger (947), l u des pères de la méaique quatique, arriva pratiquemet, et idépedammet, au même olusios que Co : les règles de base, lairemet valables pour les fréquees relatives, sot égalemet valable pour les probabilités de Laplae. Das la théorie quatique, il a touours été ompris que les probabilités quatifiet ue oaissae iomplète mais ue royae largemet répadue était que les probabilités des méaiques lassique et quatique différaiet d ue maière ou d ue autre. Auourd hui, il peut être motré que le formalisme des probabilités de la méaique quatique est parfaitemet ompatible ave le oept de probabilité de Laplae et les règles de somme et de multipliatio (Fröher, 998). D après la démostratio de Co, deu hoses devraiet être laires :. Les probabilités e sot pas des fréquees relatives. Elles peuvet s appliquer tout aussi bie à des situatios o-répétitives qu à des epériees répétées. 0

. Les shémas présumés supérieurs de l iféree logique, tels qu ue logique floue ou l itelligee artifiielle, sot équivalets à la théorie des probabilités das le meilleur des as sio, ils sot otraits de violer les obligatios de osistae élémetaires. Bie que les probabilités e soiet pas des fréquees, elles sot ertaiemet toutes deu reliées. Das les situatios répétitives, o osidère que les probabilités sot essetiellemet des valeurs attedues de fréquees relatives-voir par eemple Jayes (968) et Fröher (997).. Le théorème de Bayes, la règle pour réatualiser la oaissae ave de ouvelles doées Les epériees sietifiques sot d ordiaire dérites à l aide d u modèle statistique, des élémets statistiques état itroduit par des effets istrumetau iotrôlables, apparemmet aléatoires, par des erreurs ioues et souvet par la théorie elle-même (par eemple les méaismes statistiques, ou la théorie quatique, ou la théorie statistique des iveau, pour les réatios par oyau omposé). Le modèle statistique ous permet de aluler la probabilité «direte» d u eu queloque de doées observées («éhatillo»), pourvu que les quatités physiques et les paramètres statistiques du modèle soiet doés. E siee empirique, la situatio est ordiairemet iversée : u éhatillo de doées epérimetales est doé, et o désire trouver les probabilités «iverses» pour les différetes valeurs possibles des quatités physiques et des paramètres statistiques du modèle. Les probabilités diretes (des effets sahat les auses) et les probabilités iverses (des auses sahat les effets) sot reliées par le théorème de Bayes (763). Das sa forme la plus simple, ( ) PABC ( ) ( ) PBC ( ) PBACPAC, (3) est ue oséquee immédiate de la symétrie de la règle de multipliatio () appliquée à A et B. La situatio typique est que ous avos la doée B qui déped de la valeur d ue quatité physique ioue A et d autres oditios C. Si ous avos u modèle statistique, représeté par e qu o appelle fotio de vraisemblae pbac ( ), ous disat à quel poit serait probable l observatio de la doée B sous la oditio C si la quatité ioue était A, et si ous avos égalemet ue PAC (otée plus brièvemet «l a priori»), alors la probabilité réatualisée ou probabilité a priori ( ) a posteriori PABC ( )(«l a posteriori») est proportioelle au produit ( ) ( ) PBACPAC. Le a priori résume e que ous savos à propos de A avat que les doées e soiet dispoibles, la fotio de vraisemblae traduit l impat des doées, et le a posteriori otiet l iformatio omplète dispoible pour ue ouvelle iféree ou préditio. Laplae (8) doa la gééralisatio pour plusieurs alteratives A distites et mutuellemet elusive : ( ) PABC ( ) ( ) PBACPAC ( ) ( ) PBACPAC,,,..., (4) ormalisée à omme le demade la règle de somme. Pour des alteratives otiues A et B, ous PBAC, et., par des probabilités remplaços les probabilités disrètes fiies PAC ( ), ( )

ifiitésimales pacda, ( ) pbacdb, ( ) et., ave les desités de probabilités pac ( ), ( ) et., et la somme sur les alteratives par ue itégrale, ( ) ( ) ( ) ( ) pbacpacda pabcda ( ), Ami A Ama. (5) pbacpacda pbac, Ces formes du théorème de Bayes peuvet être osidérées omme la pierre agulaire de l évaluatio et de l austemet des doées. Elles motret ommet ue oaissae a priori (u fihier de doées eistat) peut être réatualisée ave ue ouvelle iformatio (ouvelles doées). Das toutes les formulatios, le déomiateur est qu ue ostate de ormalisatio, si bie que la règle formelle pour appredre à partir d observatios peut être résumée par a posteriori vraisemblae a priori Il faut ompredre que es epressios a priori et a posteriori ot ue sigifiatio logique plutôt que temporelle. Elles sigifiet simplemet que les ouvelles doées e sot pas ou sot prises e ompte. Comme illustratio bie réelle, osidéros la détermiatio des ostates de déroissae d u radio-isotope queloque de ourte durée de vie à partir de déroissaes eregistrées à des temps t, t,...t. Maifestemet, ous devos idetifier ave A, et les doées t,...t ave B, alors que C orrespod à toutes les autres iformatio sur la situatio telles que validité de la loi de déroissae epoetielle, pureté de l éhatillo, fiabilité des appareils d eregistremet, durée suffisate du temps d observatio pour l eregistremet de toutes les déroissaes observables, et. Le modèle statistique pour l epériee est représeté par e qu o appelle distributio d éhatilloage, est à dire par la probabilité ave laquelle ous pouvos «raisoablemet attedre» les différetes alteratives si ous éhatilloos ue seule fois, les paramètres du modèle état doées. Das otre eemple, est la probabilité que, pour doée, ue déroissae partiulière, disos la i-ème, soit eregistrée das l itervalle de temps dt i à t i, ( ) ( ) pt dt ep t dt, 0 < t i < (6) i i i i Nous allos érire sous ette forme la distributio des probabilités otiues, ave la desité de probabilité p multipliée par la différetielle orrespodate, soit e tat que probabilité ifiitésimale, et ave le domaie des valeurs possibles établie epliitemet. Cela aetue le fait qu e fi de ompte toutes les distributios de probabilités sot utilisées pour le alul des valeurs attedues, si bie qu elles fot partie des fotios à itégrer, suettes à de possibles hagemet de variables. Puisque ous utilisos gééralemet la lettre p pour les desités de probabilité sas se souier de leur forme fotioelle, u hagemet de variable se traduit par p(.) d p(.) d / dy dy p( y.) dy. (Nous avos simplifié ii la otatio e omettat ue référee epliite au iformatios oditioelles C).

D après la règle de multipliatio, la probabilité ooite d observer les doées mutuellemet idépedates t,...t, oaissat, est p( t,... t ) dt... dt ep t dt... dt. (7) Cela orrespod à l epressio pabdb ( ) préédete. E multipliat la fotio de vraisemblae ( t ) pt,... par l a priori p( ) d, ous obteos p( t,... t) d ep ti p( ) d, 0 < <. (8) i Notos que das otre problème la fotio de vraisemblae e déped pas de toutes les valeurs idividuelle de l éhatillo. Elles apparaisset seulemet sous la forme ti t, de telle faço que, pour u éhatillo doé de taille, la moyee t de l éhatillo omporte toute l iformatio oteue das les doées. Das le argo statistique, t est ue «statistique ehaustive», ue «statistique aillaire», où statistique s applique à toute fotio de l éhatillo, est à dire des doées. Si ous osidéros toutes les valeurs de etre 0 et omme a priori équiprobable, de p d d, ous obteos maière à e que ( ) ( ) t p t d e d, 0 < <. (9) Or la fotio gamma est défiie par Γ( + ) e d 0 (qui pour des etiers o égatifs est autre que la fatorielle!). Il s esuit que le résultat fial de otre estimatio Bayesiee, orretemet ormalisée, peut être érite omme ( ) ( ) i (0) p t d + Γ e d, 0 < t <. () Cet a posteriori, ue distributio gamma (aussi oue omme distributio du χ ave χ et ν + degrés de liberté) représete l iformatio omplète sur qui est oteue das les doées et l a priori osidéré. La figure représete la distributio du χ pour différetes valeurs de ν. À mesure que la taille de l éhatillo augmete, otre a posteriori deviet de plus e plus oetré : plus il y a de doées réupérées et meilleure est la oaissae de. 3

Figure. Distributios du χ pour différets degrés de liberté v (f. équatio 05 et Kor & Kor (968) pour la défiitio ormale et les propriétés priipales).3 Valeurs reommadées à partir de l estimatio par perte quadratique La plupart des utilisateurs de doées de déroissae radioative e désiret pas être euyés par les détails de la distributio a posteriori. Ce qu ils veulet gééralemet est ue ostate de déroissae reommadée et so iertitude, et rie d autre. Par oséquet, à l aide de l équatio, ous alulos la valeur attedue, p ( t ) d +, () t 0 et l éart quadratique moye (aussi appelé éart type, dispersio de l erreur ou iertitude à u sigma), 4

/ ( ) p( t) d 0 +, (3) t et établissos le résultat sommairemet omme ±. Ce hoi se ustifie de la maière suivate. La valeur attedue est elle estimée 0 qui miimise le arré de l erreur attedu, 0 ( ) ( t ) d mi p, (4) 0 omme ela peut être aisémet vérifié e dérivat par rapport à 0, et e égalat à 0. Ave ette valeur reommadée, le arré de l erreur moyee (sa valeur attedue) est autre que la variae, var ( ), e qui ustifie égalemet otre spéifiatio de l iertitude. Ce que ous veos uste de faire est appelée «estimatio par perte quadratique» das la théorie de la déisio. L idée de base est qu il y a habituellemet ue péalité pour les mauvaises estimatios, d autat plus dure que l estimatio diffère de la valeur réelle, et que ette péalité peut être dérite par ue «fotio de perte» qui disparaît pour la valeur réelle et est positive partout ailleurs. Au voisiage de la valeur réelle, ue fotio de perte raisoablemet lisse peut être prise omme quadratique e erreur ( 0 -), puisque so développemet de Taylor autour de 0 ommee par le terme au arré (f, par eemple, DeGroot 970, Berger 985). L équatio 4 est de e fait la oditio pour obteir la péalité miimale attedue das ette approimatio parabolique. Évidemmet, la reommadatio ± ted à aher l asymétrie de la distributio gamma qui, spéialemet pour les faibles de valeurs de, est assez importate (voir figure ). Si de tels détails importet, o doit retourer à la distributio a posteriori omplète. Jusqu ii os résultats apparaisset suffisammet raisoables, mais omme ous allos le voir, il y a u problème proveat de la maière quelque peu avalière ave laquelle ous avos attribué les probabilités a priori..4 Gééralisatio à plusieurs observatios et paramètres Avat de traiter les a priori ave plus de préautios, regardos l impat qu aura ue deuième mesure (ave u ouvel éhatillo radioatif) sur otre oaissae de la ostate de déroissae. E utilisat la distributio a posteriori de la première mesure omme elle a priori pour la seode, ous obteos pour la ouvelle distributio a posteriori (,...,,... ) (,... ) (,... ) p t t t t d p t t p t t d, (5) m m où t,... t m sot les ouvelles doées. Plus gééralemet, s il y a k mesures, ave des eu de doées assoiés D,...D k et des fotios de vraisemblaes L,... L k, o obtiet k p( D,... Dk) d L( D ) p( ) d, (6) qui motre de quelle belle faço le théorème de Bayes modélise le proessus d appretissage par l epériee : haque ouveau résultat epérimetal peut être formellemet iorporé das le orps eistat de la oaissae par multipliatio de sa fotio de vraisemblae ave les distributios de probabilité eistates (et reormalisatio). Il est e auue maière éessaire que toutes les 5

epériees soiet du même type. Das l aalyse des résoaes uléaires, par eemple, o ombie gééralemet les fotios de vraisemblae d epériees de trasmissio, apture, diffusio et fissio faisat iterveir tout type de déteteur et de géométrie d éhatillo afi d obteir les meilleures valeurs de l éergie et des largeurs partielles des résoaes. Ave haque eu de doées additioel, la distributio a posteriori deviet plus étroite, e qui sigifie que l iertitude sur le paramètre estimé deviet plus faible. Notre eemple le motre epliitemet : pour de grads, l iertitude relative sur teds vers 0 e /. Ue derière gééralisatio oere les paramètres estimés. Das l évaluatio et austemet de doées, ous e traitos pas seulemet de grades quatités de doées proveat de multiples epériees différetes, mais égalemet de ombreu paramètres, bie souvet orrélés, qui doivet être détermiés simultaémet. À la plae d u seul paramètre o a do u veteur de paramètres, au lieu de la différetielle d o a u élémet de volume d N das l espae des paramètres, et les distributios a priori et a posteriori représetet les probabilités ooites pour l esemble des N paramètres (les oordoées du veteur de paramètres), omplétées par les orrélatios. A ouveau, l aalyse des résoaes fourit des eemples. À l aide des programmes moderes d aalyse de forme, o peut estimer simultaémet l éergie et les largeurs de dizaies de résoaes e austat des epressios théoriques appropriées à des ombiaisos de doées proveat de plusieurs types de mesures de résoae, haque epériee fourissat des etaies ou milliers de poits epérimetau (voir Figure 4 e bas)..5 Approhe plus détaillée des probabilités a priori, attributio par la théorie des groupes Nous devos maiteat traiter plus rigoureusemet les probabilités a priori. Das otre eemple de tau de déroissae, ous avos utilisé l a priori p( ) d d, e qui e terme de temps de vie τ / peut être réérit omme p( / τ) dτ / τ p( τ) dτ dτ / τ. Évidemmet, ous pourrios avoir aussi bie pu estimer τ plutôt que, et osidérer tous les τ équiprobables, est-à-dire p( τ) dτ dτ. Cei, toutefois, aurait doé ue distributio a posteriori différete. Il est vrai que l a posteriori e déped que faiblemet de l a priori si les doées sot abodates, mais d u poit de vue fodametal e est que piètre osolatio. Il semble y avoir u aratère bassemet arbitraire oerat les a priori, e partiulier pour les paramètres otius. Durat plus d u sièle, e aratère arbitraire apparet a oduit de ombreu statistiies à répudier l estimatio Bayesiee des paramètres et à reherher d autres méthodes pour iroveir les a priori. D autres, e omparat ela à ue tetative de faire de l arithmétique sas le zéro, défediret le théorème de Bayes omme dérivable e quelques liges des règles de somme et de multipliatio. Ils utilisèret aisi des a priori «subetifs» ou, omme H. Jeffreys (939), ivoquèret des argumets d ivariae pour trouver des a priori qui évitaiet d être ambigus. Ue importate avaée fut ameée par A. Wald (950). Il avait ommeé par herher des méthodes plus fodées (théorie déisioelle) d iféree statistique, sas le théorème de Bayes, mais fiit par prouver que la stratégie optimale pour predre ue déisio (reommader ue valeur, par eemple) vis à vis de l iertitude était ustemet les lois Bayesiees. Eore plus importate fut l appliatio de la théorie des groupes et de la théorie de l iformatio au problème des a priori par E.T. Jayes (968, 973). Il démotra, pour u ombre de as simples mais ayat ue grade importae d u poit de vue pratique, que même si l o igore omplètemet les valeurs umériques des paramètres estimés, la symétrie du problème détermie sas 6

ambiguïté l a priori. Si e qu o appelle u paramètre de positio doit être détermié, par eemple la moyee µ d ue Gaussiee, la forme de l a priori doit être ivariate pour u déplaemet de la positio, p( µ ) dµ p( µ + ) d( µ + ). Autremet dit, les positios de la Gaussiee e serot pas toutes équiprobables a priori, otrairemet à e qu o attedrait d ue omplète igorae. L équatio fotioelle a pour solutio ( ) p µ dµ dµ, < µ <, (7) u résultat totalemet plausible. Mois évidet est le as d u paramètre d éhelle tel que l éart type d ue Gaussiee. S il y a pas d éhelle préférée, o s atted à ue ivariae par hagemet d éhelle, p( ) d p( ) d( ). La solutio de ette équatio fotioelle est d p( ) d, 0 < <, (8) omme le préoisait déà H. Jeffreys (939). Malgré so importae et sa simpliité, la démostratio de Jayes (968) semble si peu oue que ous allos la iter ii pratiquemet mot pour mot pour le as d ue ostate qui multiplie (hagemet d éhelle) tous les temps ou itervalles de temps das u problème (omme le fait das l équatio 6) : Supposos que deu observateurs, Messieurs X et X, veuillet estimer u rapport ostat à partir d u ombre d évéemets. Si leurs observatios sot effetuées pour différets rapports de telle maière que leurs mesures sot reliées par t t, leurs paramètres de rapport ou d éhelle serot reliés par. Ils attribuet les probabilités a priori p()d et q( )d, et si elles doivet représeter le même état d igorae, alors p et q doivet être la même fotio et do p()dp( )d. À partir des deu équatios pour et, o obtiet l équatio fotioelle p()p(). So uique solutio est l a priori de Jeffrey, d p( ) d, 0 < <. (9) Il est ertai que est l a priori approprié pour otre eemple de tau de déroissae, puisque la ostate de déroissae est autre qu u paramètre d éhelle das os équatios. Elle satisfait p( ) d d / dτ / τ qui élimie toute ambiguïté : que ous estimios le paramètre d éhelle ou le paramètre d éhelle τ, ous obteos touours le même a posteriori, ave e p( t) d Γ ( ) d, 0 < t <, (0) t, (). () Cela semble plus uste que otre résultat préédet, illustrat le priipe de parimoie d Okham (349) («le rasoir d Okham») : le résultat le plus simple est souvet le plus orret. Si e 7

est pas la ostate de déroissae, mais la vie moyee qui est à estimer, il est alors tout aussi faile de trouver t τ, (3) appliable si >. τ τ, (4) D autres eemples d a priori issus des ivariaes de la théorie des groupes peuvet être trouvés das les travau de Jayes (968, 973, 976,980). Das le lagage de la théorie des groupes, l a priori qui orrespod à l ivariae das u groupe de trasformatio est la mesure du bo ivariat de Haar de e groupe (voir Berger 985, hapitre 6.6). Le fait que de tels a priori «mois iformatifs» e puisset être ormalisés est parfois ritiqué, et ils sot appelés a priori «impropres». Maiteat, o peut employer à la plae u a priori omplètemet ormalisable de forme mathématique aeptable («ouguée»). Das otre eemple, ela serait ue distributio gamma. L a posteriori dépedrait alors, bie sûr, de la largeur de et a priori. Si o laisse la largeur augmeter idéfiimet, o trouvera touours que l a posteriori teds vers l a posteriori obteu bie plus failemet ave l a priori mois iformatif. Nos a priori mois iformatifs peuvet par oséquet être osidérés omme les limites de distributios etrêmemet large, ormalisable, sur l éhelle liéaire (dµ) et logarithmique (d/ d l ), tout omme la fotio delta de Dira est le as limite de distributios etrêmemet étroites et ormalisées. Il y a pas de diffiulté oeptuelle ou mathématique si l o garde e mémoire que les a priori les mois iformatifs et les fotios delta les «plus iformatives» e sot rie d autre que des otatios stéographiques pratiques pour des distributios etrêmemet larges ou etrêmemet fies, ayat u ses que das la ovolutio ave d autres distributios, mois etrêmes..6 Estimatio Bayesiee de paramètre pour ue Gaussiee à ue variable Appliquos égalemet les a priori les mois iformatifs sur la distributio Gaussiee à ue variable, importate tat sur le priipe que d u poit de vue pratique. Supposos qu ue mesure répétée de la même quatité physique m ait doé les résultats,..., ave des erreurs epérimetales qui peuvet être osidérées distribuées ormalemet. La distributio d éhatilloage est alors ( µ) p µ, d ep d, < π <, (5) ave ue dispersio de l erreur ioue, L a priori eprimat ue igorae omplète de la positio (moyee) et de l éhelle (largeur) de la Gaussiee est (voir Jayes 968) dµ d p( µ, ) dµ d, < µ <, 0 < <. (6) L a posteriori est alors 8

dµ d p( µ,,..., ) dµ d ep ( µ ). (7) E terme de moyee de l éhatillo et de variae de l éhatillo,, (8) s ( ) l eposat peut être érit omme, (9) s u + µ s ( µ ) + ( )v. (30) La probabilité ooite a posteriori pour µ et, orretemet ormalisée et e otatio simplifiée, peut alors être représetée sous les formes suivates qui orrespodet au deu fatorisatios de la règle fodametale de multipliatio (), p ( µ,,s,) p p dµ d ( u v,) du p( v ) ( v u,) dv p( u ) e dv e du vu v dv v du π Γ( ) v ( + u ) v / [( + u ) v] dv du Γ() v B(, )( + u ) e v ( ) / µ s < u <, 0 < v <, (3) s où B( ) () ( ) (), / Γ Γ Γ est ue fotio beta. Notos que u est essetiellemet µ, que v est essetiellemet -, et que das les deu fatorisatios l a posteriori déped de l éhatillo uiquemet au travers de la moyee de l éhatillo et de la variae s de l éhatillo (idépedammet de la taille de l éhatillo). C est pourquoi es quatités sot, das le argo des fréqueistes, des «statistiques ehaustives ooites». Das la première fatorisatio, la distributio de probabilité de µ sahat est Gaussiee alors que elle de - est ue distributio gamma. Das la seode, la distributio de probabilité de sahat µ est ue distributio gamma tadis que elle de µ est ue distributio t de Studet. Les deu alteratives motret epliitemet les deu distributios margiales pour µ et : Si le seul itérêt est µ, quoi que puisse valoir, ous itégros sur toutes les valeurs possibles du «paramètre dérageat» (ou v) afi d obteir la distributio margiale des valeurs possibles de µ, du µ p( µ, s ) dµ, < / u <. (3) B, + u s ( )( ) /, 9

C est la distributio t de Studet pour t u / ν ave ν - degrés de liberté. Voir figure et aee A. Sa moyee et sa variae sot u 0 et u ( 3) /, d où µ, (33) var µ s 3. (34) Nous reotros ii la formule (plausible) des fréqueistes pour utiliser la moyee de l éhatillo omme «estimateur» de la moyee de la populatio. Auue erreur type fiie et réelle e peut être établie tat que 3. D u autre ôté, la demi-largeur est touours bie défiie et peut être utilisée pour sigifier la largeur de la distributio t, omme ela est ommuémet pratiqué das le as, la distributio de Cauhy (oue des physiies sous le om de Loretziee ou profil symétrique de Breit et Wiger). Figure. Distributios t de Studet pour différets degrés de liberté (voir Kor & Kor 986). La distributio de Cauhy (Loretziee, ν ) et la Gaussiee ( ν ) sot des as limites Si seul représete u itérêt, sas osidératio sur µ, o obtiet e itégrat sur u la distributio gamma (ou du χ ) ( ) v / e v dv s p(, s ) d, < v <. (35) Γ v ( ) Sa moyee et sa variae sot égales, v var v ( ) / quadratique pour - est alors. L estimatio par perte s s ( ), (36). (37) 0

Cei étaye ue etesio de l autre (pas si plausible) formule des fréqueistes osistat à e pas predre la variae de l éhatillo s mais s omme estimateur de, malgré le fait que et estimateur soit «biaisé», est à dire que sa valeur attedue, la moyee sur tous les éhatillos possibles, est pas égale au paramètre estimé, s. Or, - / est égalemet appelé préisio (voir par eemple DeGroot 970) et ous devos do désormais reoaître que s - / est u estimateur o biaisé pour la préisio. L estimatio Bayesiee orrete de proviet toutefois de v / ( 3) et v 4 /[( 3)( 5) ]. Sas auu empirisme, o obtiet s, (38) 3 ( ). (39) 5 Notos qu u éhatillo de mois de si valeurs e otiet pas suffisammet d iformatio pour ue estimatio omplète de alors que - peut être estimée à partir d u éhatillo de deu. La ovariae etre u et v s aule du fait qu après itégratio sur v, l itégrad restat est ue fotio impaire de u. Par voie de oséquee, o a - ( ) ov µ, 0. (40) Le as ave ue seule doée,, doit être traitée différemmet ar s 0 empêhe de défiir u, mais ela est aisé. L a posteriori est simplemet µ dµ d p( µ, ) dµ d ep -, (4) π à partir duquel ous obteos les distributios margiales ( ) p µ dµ p ( ) dµ µ, (4) d d. (43) La distributio margiale de µ présete u maimum très marqué au iveau de la valeur observée mais elle de apparaît être touours égale à l a priori le mois iformatif-e qui a u ses, puisqu u éhatillo de taille peut apporter quelque hose sur la positio mais rie oerat la largeur de la distributio. C est toutefois u eemple motrat que la méthode Bayesiee s aorde ave le ses ommu même das des as etrêmes, e partiulier pour de très petits éhatillos, où les autres méthodes sot vouées à l éhe. Metioos que l a posteriori (3) pour > fut trouvé bie avat que l a priori (6) e soit dispoible, mais eu qui oaisset l approhe «fiduielle» de R.A. Fisher (935) appréierot à quel poit la dérivatio Bayesiee est plus simple et plus direte, et ave quelle failité elle peut être étedue au as (Jeffreys 939). E outre, la dérivatio peut être étedue de maière direte au distributios Gaussiees à plusieurs variables. Ave des gééralisatios appropriées des relatios salaires au formes matriielles, soit de la variae (erreur

quadratique moyee au arré) à la matrie de ovariae ( C ), d ue différetielle ave ue variable à u élémet de volume dépedat de plusieurs variables ( d d( ) νd, ν ( ) d d C ν k Cν, k ) et., o obtiet des epressios matriielles qui ressemblet beauoup au epressios salaires pour la Gaussiee ave ue variable (voir Aee et Fröher 990). Assez gééralemet, ue estimatio Bayesiee des paramètres est, d u poit de vue logique et mathématique, plus simple que d autres approhes et au mois aussi rigoureuse. Des oepts tels que biais, effiaité, suffisae, aeptabilité, ompressio de James-Stei (voir par eemple Berger 985), essetiels pour les méthodes d estimatio fréqueiste, ot ullemet besoi d être itroduits puisqu ils apparaisset e tat qu élémets plus ou mois fortuits de la distributio a posteriori, de sa moyee ou de sa variae. Il y a pas de risque que les meilleures estimatios soiet détermiés e dehors de l itervalle des valeurs autorisées, omme ela peut arriver parfois pour les autres méthodes. Bie que les tau de réatios ou les setios effiaes soiet des quatités fodametalemet positives, les doées mesurées peuvet très bie oteir des poits égatifs après soustratio du bruit de fod. Ce serait ue erreur que d éarter les poits égatifs. O peut se fier au fait que l a priori garatit u itervalle orret pour les quatités estimées, par eemple µ<0, idépedammet de la plage des valeurs observables admise par la fotio de vraisemblae, par eemple < <+. La fodametale simpliité et supériorité de l approhe Bayesiee omparativemet au autres méthodes d estimatio a été démotrée assez puissammet par Jayes (976) à l aide de toute ue série d eemples de la vie ourate. La distributio ooite a posteriori de la moyee µ et de la variae est l iformatio omplète sur les paramètres d ue Gaussiee qui peut être etraite des doées. À partir de l a posteriori, o peut obteir des valeurs reommadées et leurs iertitudes à partir de fotios de perte quadratique ou autre, omme ous l avos vu. Souvet, toutefois, ous e sommes pas seulemet itéressés par les paramètres du modèle statistique mais égalemet par les préditios de ouvelles mesures. Cei est peut être, e fait, la raiso pour laquelle u modèle statistique fut itroduit la première fois. Que pouvos-ous dire, après dédutio de l a posteriori (3) pour les paramètres du modèle Gaussie, à propos du résultat d ue ouvelle epériee,? O + pourrait soger à predre la Gaussiee ave l a posteriori le plus probable ou ave la valeur moyee des paramètres, ou bie à aluler la moyee de la Gaussiee sur la distributio a posteriori de ses paramètres. La derière solutio est la boe. Cela deviet lair si ous otos la probabilité ooite de, µ et pour des doées oues et s, puis utilisos la règle de multipliatio et efi itégros sur les paramètres dérageats µ et, e qui doe p (, s ) d d d dµ p( µ, ) p( µ,, s ) d 0 dv du e ( u w) v / v ( ) où u, v sot défiis omme préédemmet et w ( ) / s e v /. E itégrat d abord la Gaussiee (sur tous les u) puis la fotio gamma restate (sur tous les v) ous obteos, pour >, la distributio «préditive» (, ) ps dµ B dy (, )( + y ) /, (44), < y s + <. (45)

Bie que la distributio d éhatilloage soit Gaussiee, la distributio préditive pour le résultat d ue mesure additioelle est pas ue Gaussiee mais ue distributio t. Il est vrai qu ue distributio t s approhe d ue Gaussiee pour des élevés, mais pour des valeurs de fiies, elle est touours plus large (voir Figure ). La meilleure estimatio pour toute fotio f() des doées suivates est sa valeur attedue f selo la distributio préditive..7 Attributio de probabilités par maimisatio de l etropie Jayes (968, 973, 978, 980) osidéra égalemet le as où l o est pas totalemet a priori igorat des valeurs umériques. Il motra das quelle mesure les probabilités pouvaiet être attribuées d ue maière bie détermiée si l o dispose au mois d ue iformatio vague sur les quatités moyees, par eemple d estimatios des valeurs attedues telles que les premier et seod momets. Le oept lé est elle de l etropie d iformatio, itroduite par C.E. Shao (948) e tat qu uique mesure de l idétermiatio ou de l iformatio maquate impliite d ue distributio doée de probabilités. L etropie d iformatio d ue distributio disrète de probabilités p ave des alteratives mutuellemet elusives est (à ue ostate près) S p l p. (46) Shao prouva que est l uique mesure d idétermiatio qui satisfait les eigees suivates : (i) C est ue fotio lisse des p. (ii) S il y a N alteratives, toutes équiprobables, alors l idétermiatio et do S doivet roître de maière mootoe si N augmete. (iii) U simple regroupemet des alteratives egedre auue différee : si ous aoutos l etropie quatifiat l igorae du groupe réel, et les etropies oveablemet podérées quatifiat l igorae de haque membre réel à l itérieur de haque groupe, ous devos trouver la même etropie globale S que pour les alteratives o groupées. Pour des distributios otiues ayat ue desité de probabilité p(), ous preos l epressio apparemmet aalogue S dp( ) l p( ). (47) Supposos maiteat que ous e oaissos pas p() mais que ous e avos ue iformatio globale sous forme de valeurs attedues pour plusieurs fotios oues f k (), f dp( ) f ( ) k, k,,... K. (48) k Quelle est la desité de probabilité p() qui satisfait es K équatios sas impliquer d autres iformatios, faussées, ou des hypothèses ahées? La répose est fourie par le priipe du maimum d etropie : si ous désiros qu il y est ompatibilité etre l iformatio doée, tout e ayat u oteu d iformatio miimal, ous devos varier p() de telle maière à e que so 3

etropie soit maimale, S ma, sous les K otraites (48). La solutio bie oue de e problème variatioel, obteue par la méthode des multipliateurs de Lagrage, est K p ( ) ep - f ( ) k k Z k. (49) Cette desité de probabilité est maifestemet positive pour k réel, et orretemet ormalisée à u ave K Z dep - f ( ) k k. (50) k Les multipliateurs de Lagrage k doivet être détermiés à partir des K otraites (48) ou à partir des équatios équivaletes f k k l Z. (5) La derière maière est plus ommode si Z peut être eprimé sous forme d ue fotio aalytique des paramètres de Lagrage. À haque fois qu ue ouvelle doée «globale» est dispoible, o doit multiplier la distributio eistate par u fateur ep[- k f k ()] (et reormaliser). Cei motre ommet o peut gééraliser au as où ue distributio a priori doée m()d est réatualisée ave de ouvelles doées globales f k : la desité de probabilité réatualisée doit s eprimer sous la forme p ( ) K ( ) ep - f ( ) k k (5) m Z k ave K Z dm f ( ) ep - k k( ). (53) k Les multipliateurs de Lagrage peuvet être détermiés à partir des équatios (48) ou (5) omme i-dessus. Ce résultat peut être obteu par maimisatio de l etropie d iformatio orrespodate (etropie roisée) p ( ) S dp( ) l, (54) m ( ) suettes au otraites (48). L etropie roisée possède l ivariae requise par hagemet de variable, otrairemet à l équatio (47) que ous reoaissos maiteat être limitée au as spéifique d u a priori uiforme pour la variable d itégratio. 4

L algorithme de l etropie maimale (48)-(5) doit sembler familier au physiies : il e ostitue rie d autre que le ratioel maquat das l approhe aiomatique de Gibbs e thermodyamique. Sur e poit, l etropie d iformatio maimisée, multipliée par la ostate de Boltzma, est l etropie thermodyamique de Clausius, et la ostate de ormalisatio Z est la fotio de partitio à partir de laquelle tout esemble de moyees observables marosopiquemet ou otrôlables peut être obteu par ue dérivatio appropriée. Par eemple, si E est l éergie (o égative) des partiules d u système thermodyamique, à propos desquelles o e oaît rie hormis leur éergie moyee (détermiée par la température du système), o a la distributio aoique, pe ( E) ep ( E), est-à-dire u fateur de Boltzma ave l iverse de la température apparaissat e tat que paramètre de Lagrage. Si le ombre moye de partiules est égalemet ou, o obtiet l esemble grad-aoique, pen (, E, N) ep ( E µ N), le potetiel himique état le deuième paramètre de Lagrage, et aisi de suite. Les évaluateurs de doées sot la plupart du temps ofrotés à des doées eprimées sous la forme ±. Notre otatio idique que ous iterprétos es ombres omme la meilleure estimatio des epérimetateurs par perte quadratique. Les deu premiers momets, et, d ue distributio ioue sot aisi détermiés. (Rappelos que ( ) var l itervalle de défiitio est < < d iformatio p ( ) ep ( ).) Si, l algorithme de l etropie maimale doe pour e gere omme la desité de probabilité la mois restritive et mois iformative, et par oséquet la plus oservative et obetive. C est maifestemet ue Gaussiee qui e terme de doée d etrée doit s érire sous la forme (ofirmée, bie sûr, par l algorithme de l etropie maimale) (, ) p d π ( ) ep - d, < <. (55) Le as d ue variable stritemet positive, 0 < <, est rameé au as préédet e la remplaçat par y l, et aisi < y <. Ave des premier et seod momets ous sur l éhelle logarithmique e y, ous obteos ue Gaussiee sur l éhelle logarithmique, est à dire ue distributio logormale sur l éhelle liéaire e. Si ous oaissos uiquemet la moyee, et que est stritemet positif, ous obteos ue epoetielle déroissate. Nous reotros ii ue des raisos de l ubiquité de es distributios e statistique et das l aalyse des doées. Traditioellemet, la Gaussiee est osidérée orrete que si la variable est affetée par de très ombreuses erreurs idépedates de telle maière que le théorème de la limite etrale soit appliable, ou alors elle est simplemet ivoquée pour des raisos de ommodités mathématiques, ave de sombres avertissemets sur les terribles oséquees d ue distributio réelle o Gaussiee. Le priipe du maimum d etropie e peut élimier es oséquees, mais elle évite mauvaise osiee ou paralysie : si seules la meilleure valeur (la moyee) et l erreur quadratique moyee (l éart type) sot doées, la distributio de probabilités optimale pour ue ouvelle iféree est la gaussiee orrespodate, quoi que la distributio réelle ioue puisse être. Cotrairemet au théorème de la limite etrale, le priipe du maimum d etropie fotioe égalemet ave des doées orrélées. U autre mythe repose sur le fait que les erreurs systématiques doivet être dérites par des distributios de probabilité retagulaires. Si ous e oaissos pas leur sige mais possédos au 5

mois ue vague idée de leur gradeur (grâe à l état de l art, par eemple), le priipe du maimum d etropie ous dit d utiliser ue Gaussiee de moyee ulle et dot la largeur orrespod à ette gradeur, plutôt qu ue distributio retagulaire. La gééralisatio au distributios à plusieurs variables est direte. Preos, par eemple, u eu d erreurs epérimetales ε,,,..., dot ous e oaissos que les valeurs attedues εε k, est à dire leurs variaes et ovariaes. Les erreurs ε sot les oordoées Cartésiees de la variable veteur ε, et les valeurs attedues εε k sot les élémets de la matrie de ovariae symétrique et défiie positive C εε Τ, où Τ idetifie la trasposée. Pour haque valeur attedue C k C k, ous itroduisos u multipliateur de Lagrage Λ k Λ k. La distributio d etropie maimale est alors p( ε C) d ε ep - ε Λ kεk d ε. (56) Z k La ormalisatio est aisée das le système de oordoées où la matrie arrée symétrique Λ est diagoale. Nous effetuos do les substitutios suivates : ε Οε, où Ο est la matrie orthogoale qui red Λ ΟΛΟ Τ diagoale, det Λ det Λ, et d ε d ε. L itégrale Z de dimesio se fatorise alors e itégrales élémetaires sur des Gaussiees à ue variable, ( Λ ) Z dε ep ε π det Λ. (57) La relatio etre la matrie Λ des paramètres de Lagrage et la matrie oue des ovariaes C est obteue par dérivatio de l Z, voir équatio (5). O a C k Z ( ) k Λ l Λ, (58) k puisque la dérivatio du détermiat par rapport à u élémet de la matrie doe le ofateur pour et élémet, qui pour ue matrie o sigulière est égal à l élémet orrespodat de la matrie iverse multipliée par le détermiat. La distributio ave l etropie maimale parmi toutes elles ayat la même matrie de ovariae C est alors p ( ) d ( ) ep - T εc ε ε C ε det d ε ( πc ) ( ) où ε 0, εε C, det ( C) ( ) det C, et d( ε) T, < ε <, (59) π π d ε. Nous obteos aisi, pour des momets de seod ordre défiis, ue Gaussiee à variables etrée sur l origie. Puisque rie est établi pour les premiers momets des erreurs, est à dire pour le etre de leur distributio, il y a auue raiso de préférer des ε positifs ou égatifs, et do l algorithme aboutit à ue symétrie par rapport à zéro. Que se passe-t il si seules les variaes C sot ous et o pas les ovariaes C k, omme ela arrive ourammet e pratique? Das e as, seuls les paramètres de Lagrage Λ 6

apparaisset das (56), est à dire que les matries Λ et C sot a priori diagoales. Des ovariaes ioues peuvet aisi être osidérées ulles, et ette règle simple peut être égalemet appliquée das les as où ertaies ovariaes sot oue et d autres o. Cei est u autre eemple, après elui de l aulatio des premiers momets, d ue propriété géérale des distributios d etropie maimale : toutes les valeurs attedues sot ulles à mois que des otraites e déidet autremet. Aisi, il y a auue différee etre le fait de osidérer des moyees ioues omme ulles après avoir itroduit des paramètres de Lagrage pour elles-i, ou de les igorer omplètemet dès le début. Ave ε, ous pouvos réérire la distributio des erreurs (59) sous la forme p ( ) d ( ) ep -,C det d ( πc) T ( - ) C ( - ) ( ) < < (60) qui est la gééralisatio à plusieurs variables de la distributio Gaussiee à ue variable (55). Il devrait être lair désormais que la maimisatio de l etropie est u outil puissat pour l attributio de l a priori ou de tout autre probabilité. Ue publiatio fasiate et très rihe e iformatios sur la méthode du maimum d etropie, iluat ue grade variété d appliatios allat des tests d hypothèses à la thermodyamique hors équilibre et la théorie des flutuatios, est elle de Jayes (978).,.8 Ue approimatio : le maimum de vraisemblae Plus les doées sot ombreuses, et mois l a priori est importat. C est pourquoi, l utilisatio d u a priori ostat est souvet ue approimatio raisoable, omme ous l avos fait das otre eemple de ostate de déroissae. Cela sigifie que la desité de probabilité de la probabilité a posteriori est prise égale à la fotio de vraisemblae. La méthode largemet utilisée du maimum de vraisemblae est essetiellemet ostituée de la règle reommadat de predre la valeur du paramètre (ou le veteur) qui maimise la fotio de vraisemblae. Puisque la fotio de vraisemblae déped seulemet de l éhatillo, la valeur du paramètre (ou le veteur) la maimisat e déped de rie d autre : elle est statistique et sa distributio de probabilité «direte», est-à-dire la probabilité que so éart par rapport à la valeur (ou au veteur) réelle soit das des limites doées si o hoisit u éhatillo, peut être alulée omme l itégrale de la fotio de vraisemblae sur u domaie orrespodat à l espae de l éhatillo. Si la distributio aisi obteue est étroite, le paramètre réel est vraisemblablemet prohe de l estimatio par le maimum de vraisemblae bie spéifique obteu à partir d u éhatillo bie spéifique. La distributio de la statistique doit par oséquet être reliée à l a posteriori Bayesie. Das les as simples, lorsque la statistique est suffisate, o peut, e fait, déduire rigoureusemet l a posteriori Bayesie de la distributio de l estimatio par le maimum de vraisemblae. C est l approhe fiduielle de R.A. Fisher (935). Das de tels as favorables, o remarque que le résultat du maimum de vraisemblae oïide ave le résultat Bayesie obteu ave le oveable a priori le mois iformatif. Illustros ei ave otre eemple de ostate de déroissae. La fotio de vraisemblae de l équatio (7) deviet maimale pour /t : l estimatio par le maimum de vraisemblae est do la même que l estimatio «potuelle» Bayesiee (). La probabilité pour que la statistique 7

suffisate t soit das l itervalle ifiitésimal dt, si u éhatillo est tiré au sort, peut être obteue par itégratio de la fotio de vraisemblae sur ue oque sphérique de rayo t et d épaisseur dt das l espae des t i. E passat e oordoées polaires, t r dt rdr d,, t r drdω et e effetuat ue itégratio (triviale) sur les oordoées agulaires Ω, o obtiet (,) r pt dt e r dr, 0 < r t <. (6) Après reormalisatio, le membre de droite de ette relatio de proportioalité est idetique à l a posteriori Bayesie (0) obteu ave l a priori de Jeffrey. Maifestemet, ous avos ii la distributio de probabilité uiverselle du produit t qui peut aussi bie être iterprétée omme la probabilité de sahat t (u éhatillo spéifique et u otiuum de ostates de déroissae possibles) que omme elle de t sahat (ue ostate de déroissae spéifique et u otiuum de d éhatillos possible pour haque valeur du ombre aturel ). La méthode du maimum de vraisemblae, ue des tehiques ivetées pour otourer les a priori, est do, das les as favorables, équivalete à l approhe Bayesiee, mais malgré tout elle reste plus lourde : tout d abord il faut idetifier des statistiques suffisates, puis il faut aluler leur distributio de probabilité «direte» par itégratio de la fotio de vraisemblae sur u domaie oveable de l espae des éhatillos, et fialemet il faut «iverser» pour obteir la distributio de probabilité des paramètres. Das des as plus omplees, les statistiques suffisates peuvet e pas eister du tout et même si elles eistet, des approimatios sot requises de maière à e que le résultat par maimum de vraisemblae doe uiquemet ue approimatio du résultat Bayesie eat..9 Ue approimatio : les moidres arrés L approimatio qui va être étudiée, la méthode des moidres arrés, est la plus importate pour l évaluatio et l austemet des doées. Comme eemple le plus simple, osidéros le as d ue quatité µ mesurée fois, sous différetes oditios epérimetales, et que ous obteios les résultats sous la forme ±. La meilleure faço d iterpréter es ombres est de les osidérer omme les moyees et erreurs types de distributios de probabilité o spéifiées. Qu elles soiet Gaussiees ou o, le priipe du maimum d etropie ous dit de foder toute ouvelle iféree sur des Gaussiees si les erreurs ioues peuvet avoir ue valeur queloque etre - et +. La fotio de vraisemblae est le produit de es distributios d erreur Gaussiees, et l a priori approprié pour la positio du paramètre µ est uiforme, et do l a posteriori est égalemet ue Gaussiee, p ( µ { }) d, µ ep µ dµ. (6) E itroduisat les moyees sur les éhatillos podérées par -, 8

, (63), (64) aisi que, et e ormalisat orretemet, ous obteos p( µ {, } ) dµ ep π / ave pour la moyee et la variae ( µ ) µ, (66) var µ ( ) / d µ, (6) µ. (67) L erreur stadard relative sur le résultat, var µ / µ, est apparemmet ue ouvelle fois proportioelle à /. La meilleure estimatio par perte quadratique est la moyee podérée par - sur l esemble des doées. Elle miimise la somme des arrés das l epoetielle de l a posteriori (6). Cette propriété des moidres arrés sera à ouveau reotrée das la gééralisatio à plusieurs variables : Cosidéros Des observables y,,,... J (par eemple des doées de apture eutroique). Des paramètres µ, µ,,... M (par eemple des paramètres de résoae). U modèle théorique y y() (par eemple, la théorie de la matrie-r des réatios uléaires). où {,... M }, y { y y J },... sot des veteurs respetivemet das l espae des paramètres et l espae des éhatillos. D ordiaire M<J, mais ous verros que e est pas éessaire. Supposos maiteat qu avat que les doées e soiet obteues, o ait ue oaissae a priori du veteur de paramètres sous la forme d u veteur estimé ξ et d ue matrie de ovariae A δξξ δ T, ave δξ ξ, dérivat les iertitudes et les orrélatios des paramètres estimés. La distributio de probabilité a priori de, sahat ξ et A, peut alors être osidérée omme p d d ( A) ( ) ( ) T - ξ, ep ξ A ( ξ ) ( ), (68) où d() d M est l élémet de volume de l espae des paramètres, de dimesio M (à e pas ofodre ave le veteur ifiitésimal d). Supposos de plus que les mesures doet u veteur de doées η, affeté par des erreurs epérimetales dot les iertitudes et orrélatios sot spéifiées par la matrie de ovariae B δηη δ T, ave δη η y, de sorte que la vraisemblae d obteir es valeurs, pour u vrai veteur y d observables, est 9

T - p( ηyb, ) d( η) ep ( η y) B ( η y) d( η), (69) où d(η) d M η est l élémet de volume de l espae des éhatillos, de dimesio J. Ces attributios de probabilité sot les Gaussiees à plusieurs variables imposées par le priipe du maimum d etropie (omparer ave l équatio 59). E multipliat distributio a priori et fotio de vraisemblae, o obtiet la distributio a posteriori, p ( ξ, A, η, B) d( ) ep T - T - ( ξ ) A ( ξ ) ( η y( ) ) B ( η y( ) ) d( ) Jusqu ii ous avos égligé les orrélatios etre l iformatio a priori et les ouvelles doées. Ce est toutefois pas touours possible, par eemple si l iformatio a priori viet de mesures plus aiees où les mêmes méthodes et stadards que pour les ouvelles mesures ot été employés. Ue gééralisatio à ette situatio est pas diffiile. L équatio (70) motre que l o peut osidérer les estimatios des aies paramètres et les ouvelles doées sur u pied d égalité. Les estimatios a priori et leurs iertitudes ot eatemet le même impat que si elles étaiet des doées obteues das ue mesure des observables spéiales y µ µ. Aisi, ous pouvos ombier les veteurs et y() das u hyperveteur z() {, y()}. Si le veteur doée orrespodat ζ {ξ, η} et la matrie de ovariae C {δζ, δζ T } sot ous, la distributio d etropie maimale est p( C) d( ) ( z( ) ) T - ζ, ep ζ C ( ζ z( ) ) d( ), (7) où C otiet désormais égalemet les ovariaes etre les estimatios a priori et les ouvelles doées, δξ µ δηi. Cette distributio a posteriori est le résultat le plus gééral, le plus détaillé pour otre estimatio de paramètre Bayesiee. Il otiet sous forme aalytique toute l iformatio sur le veteur paramètre que otieet l iformatio a priori et les ouvelles doées osidérées. La tâhe restate est de se rameer à u veteur paramètre reommadé et à so iertitude. La théorie déisioelle ous dit e que ous devos faire si ue fotio de perte est doée. Si auue est doée, ous supposos ue perte quadratique qui éessite de reommader le veteur de moyee a posteriori réatualisé et de spéifier les iertitudes et orrélatios par la matrie de ovariae a posteriori δδ T, ave δ. Pour u modèle liéaire y(), les itégratios éessaires sot failes omme ous le verros das la partie.. Pour u modèle o-liéaire, o doit soit itégrer umériquemet, e qui est pas pratique si de ombreu paramètres doivet être estimés (eepté peut être ave des tehiques de Mote Carlo), soit avoir reours à la méthode de la plus grade pete (approimatio de Laplae). Cela sigifie essetiellemet que l a posteriori eat est remplaé par ue Gaussiee à plusieurs variables ayat le même maimum et le même teseur de ourbure au maimum, si bie que l itégrad est détermié ave ue boe approimatio au mois das le domaie qui otribue le plus à l itégrale. Cei est réalisé par u développemet de Taylor de l epoetielle de l équatio (7) autour de so miimum et par ue troatio après les termes du seod ordre (voir par eemple Berardo et Smith 994, Lage 999). Le veteur paramètre $ maimum, est-à-dire a posteriori le plus probable, est spéifié par. (70) 30

T - ( ζ z ( )) C ζ z ( ) ( ) $ $ mi. (7) Cei est l établissemet formel du priipe des moidres arrés sous sa forme la plus géérale. (Das le système d aes priipau, la forme quadratique apparaît e tat que somme de arrés, d où so om). E statistique fréqueiste, le priipe des moidres arrés est itroduit de maière plus ou mois ad ho, ou est dérivé du priipe de maimum de vraisemblae qui à so tour est itroduit ad ho. Das les deu as, seule la fotio de vraisemblae est utilisée. À e stade, ous reoaissos que la oditio pour les moidres arrés est ue oséquee aturelle de ritères plus fodametau et qu elle demade la maimisatio o seulemet de la fotio de vraisemblae mais égalemet de toute la distributio a posteriori. Sas trop simplifier, o peut dire que les moidres arrés gééralisés e sot rie d autre qu ue estimatio Bayesiee de paramètres par perte quadratique das l approimatio de Laplae, das des problèmes où seules les doées et l iertitude sur les doées sot oues de sorte que le priipe du maimum d etropie demade des Gaussiees, que les distributios réelles ioues soiet des Gaussiees ou o. U priipe des moidres arrés ad ho est pas requis. Nous termios e hapitre e résumat la différee essetielle etre l'approhe fréquetiste (égalemet appelés orthodoe ou lassique ou éhatilloage-théorique) et l'approhe Bayesiee de l'iféree idutive : les fréquetistes moyeet sur tous les résultats imagiables d'ue mesure, oditioés par des auses doées, alors que les bayésies moyeet sur toutes les auses possibles oditioées par le résultat observé et la oaissae a priori. Il e peut y avoir de doute que l'approhe Bayesiee est elle qui oviet pour u physiie qui doit déduire des setios effiases ou des paramétres uléaires à partir d'observatios affetées d'iertitudes. 3

. ÉVALUATION DES DONNÉES NUCLÉAIRES POUR DES APPLICATIONS Das les paragraphes suivats, ous allos disuter de ertais aspets plus pratiques de l évaluatio des doées, ave ue attetio partiulière sur le formalisme des moidres arrés, sur l oppositio etre erreurs statistiques et erreurs systématiques et sur la maière dot es derières amèet des orrélatios. Historiquemet, l évaluatio des doées au ses modere ommeça ave les efforts de Duigto (939), Cohe, Dumod et de leurs ollaborateurs (957, 99) pour détermier u esemble de valeurs reommadées pour les ostates fodametales (Costate de Plak, ostate de struture fie, masse de l életro, et.), et établir les iertitudes, par u austemet gééral par moidres arrés sur l esemble des doées epérimetales sigifiatives. À peu près au même momet, l idustrie uléaire, qui preait rapidemet de l ampleur, ommeça à développer u appétit vorae pour des doées uléaires préises, priipalemet des setios effiaes eutroiques et photoiques, mais égalemet des doées de struture uléaire et de déroissae. Les doées pour des réatios uléaires iduites par des eutros ayat des éergies «thermiques» autour de 5.3 mev furet évaluées e première priorité (voir Westott et al. 965, Lemmel 975), mais le hamp gradissat de la tehologie uléaire, des réateurs à fissio thermiques au réateurs à fissio rapides et évetuellemet au réateurs à fusio, amea ue etesio orrespodate du domaie d éergie d itérêt. Les fihiers moderes de doées eutroiques otieet des millios de valeurs de setio effiae ouvrat la totalité du domaie allat de 0 µev à au mois 0 MeV pour des etaies d isotopes et des ordiateurs sot idispesables pour leurs maiteae et utilisatio. Les doées uléaires fourisset u eemple partiulièremet développé du proessus permettat d aller de doées epérimetales brutes à des fihiers de doées évaluées.. Préparatio par étape des doées uléaires pour appliatios Les doées uléaires (et pour d autres siees) pour des appliatios tehologiques sot habituellemet préparées e plusieurs étapes, par différets groupes de spéialistes. Cosidéros les doées de setios effiaes eutroiques pour illustrer es étapes.. Mesure : Les epérimetateurs preet des doées, gééralemet auprès d aélérateurs fourissat des faiseau otius ou pulsés, es deriers permettat d utiliser la méthode du temps de vol. Cette méthode produit e ue epériee, et par oséquet sous eatemet les mêmes oditios epérimetales, de grades quatités de poits de mesure ouvrat de larges plages d éergie ave ue très boe résolutio. La plus simple de e type de mesures est elle de la setio effiae totale. O mesure la fratio du faiseau de partiules ayat ue éergie doée (u temps de vol doé) qui traverse, sas iteragir, u éhatillo ayat ue épaisseur (e atomes/bar). Cette fratio, la trasmissio, est - pour ue ouhe très mie de matière. Pour tout l éhatillo, elle vaut 33

/ T lim( ) e 0. (73) E pratique, la trasmissio est obteue par le rapport etre les ombres de oups d epériees «ave éhatillo» et «sas éhatillo». Le flu iidet et l effiaité du déteteur itervieet plus, et il y a do pas d iertitude liée à la ormalisatio. Le bruit de fod, toutefois, demade des orretios. Si la setio effiae présete ue struture résoate, o utilise à la fois des éhatillos «mies» et «épais» afi d obteir ue boe préisio sur les setios effiaes etraites aussi bie au pis des résoaes que das les vallées etre les résoaes. Les setios effiaes partielles sot plus diffiiles à mesurer. Epérimetalemet, o obtiet u tau de réatio, par eemple, e eregistrat les produits de fissio ou les rayos gamma de apture émis par u éhatillo mie bombardé par des eutros. Le tau de réatio est défii omme la fratio des partiules du faiseau qui subisset la réatio du type mesuré das l éhatillo. C est ue somme de otributios d évèemets de ollisios multiples où la partiule du faiseau subit zéro, ue, deu, et. diffusios avat d iduire fialemet la réatio eregistrée, Y Y0 + Y + Y +... (74) Le tau de premier ho est le produit de la probabilité d iteratio des eutros iidets et du rapport / du ombre d évéemets (,) au ombre total d iteratios, Y0 ( e ), (75) où est la setio effiae partielle pour la réatio (,) osidérée. Pour des éhatillos très mies, <<, o peut égliger les ollisios multiples et predre Y Y0 0, mais pour des éhatillos plus épais le terme de premier ho (75) doit être utilisé e etier. E partiulier, das le as des réatios ave résoaes, les termes de ollisios multiples sot des fotios de plus e plus omplees des setios effiaes, de sorte qu elle doivet être alulées par simulatio Mote arlo (voir Fröher 989). Le tau de omptage observé est le produit du tau de réatio, du flu iidet et de l effiaité de des déteteurs. Ces deu derières quatités doivet être détermiées séparémet et itroduiset des iertitudes orrélées sur la ormalisatio omme ous allos e disuter idessous. La figure 3 motre des doées de apture eutroique mesurée pour des résoaes, se superposat, de 53 Cr+ ave ue forte otributio des aptures ave ollisios multiples (Brusega et al. 99). La figure 4 prouve la qualité des doées moderes de temps de vol : il y a trois eu de doées de trasmissio et deu eu de tau de fissio iduite par des eutros, motrat tous les iq les mêmes résoaes du système omposé 39 Pu+ (Derrie et al. 988). 34

Figure 3. Tau de apture eutroiques mesurés ave la méthode du temps de vol auprès de l aélérateur liéaire de Geel (Gelia) autour de quatre résoaes d ode s et d ue étroite résoae d ode p se superposat, iluat les élargissemets par la résolutio epérimetale et l effet Doppler et présetat ue forte apture après ollisios multiples. E trait fi : austemet par moidres arrés ave le ode FANAC (Fröher 977) utilisat la matrie-r ; e trait épais : alul orrespodat pour le tau de simple ollisio (Brusega et al. 99) 35

Figure 4. Doées de trasmissio pour trois éhatillos et deu eu de setios effiaes de fissio, mesurés ave la méthode du temps de vol auprès de l aélérateur liéaire d életros de Salay (Blos) et à Oak Ridge (les autres), motrat les résoaes de 39 Pu+. Les ourbes orrespodet à u austemet simultaé, e utilisat la matrie-r, des doées d Oak Ridge à l aide du ode de moidres arrés gééralisés SAMMY (Larso ad Perey, 980). D après Derrie et al. (988) 36

. Rédutio des doées brutes : Des bruits de fod ostats et dépedat du temps sot soustraits, des impuretés das l éhatillo sot prises e ompte, et, das le as de setios effiaes partielles (tau de réatio), le flu et l effiaité des déteteurs sot mis e fateur. Les orretios de diffusio multiple et de résolutio epérimetale sot d ordiaire traitées à l étape suivate si elles éessitet, par eemple, la théorie des résoaes. Du fait de relatios omplees etre les setios effiaes et les observables (Equatios 73-75), les setios effiaes e peuvet pas eore être obteues lors de ette étape, eepté peut être pour des mesures d éhatillos mies. 3. Aalyse des doées orrigées : Chaque fois que possible, les setios effiaes mesurées sot paramétrisées au moye d ue théorie des réatio uléaires. Cei assure la osistae etre les setios effiaes partielles et totale, permet d iter- et d etrapoler das les régios où auue doée a été mesurée et évite la reommadatio de valeurs ayat pas de ses physique. Les théories et modèles suivats sot employés, par ordre roissat d éergie : Théorie de la matrie-r das le domaie thermique et des résoaes résolues (paramètres : éergie et spis des iveau, largeurs partielles), voir figures 3, 4. Théorie statistique des iveau (Hauser-Fesbah) das le domaie des résoaes o-résolues (paramètres : desité de iveau, fotios desités et largeurs partielles moyees, ou les fateurs de trasmissio des voies équivalets), voir figure 5. Le modèle optique à plus hautes éergies, où les iveau se reouvret fortemet mais où les réatios par oyau omposé domiet touours (paramètres : rayo, profodeur, largeurs et déformatio des parties réelles et imagiaires du puit de potetiel), voir figure 6. Théories du oyau préomposé, des réatios diretes et semi-diretes à des éergies eore supérieures où les proessus direts et de prééquilibre sot importats. Cei est omplété par le modèle de la résoae dipolaire géate pour les réatios photoiques, les modèles de barrière de fissio pour les réatios de fissio, et. À e iveau, les tehiques d estimatio de paramètre (d austemet de ourbe) sot largemet utilisées. Les setios effiaes sot géérées à partir des paramètres estimés et des iertitudes que l utilisateur trouve das les fihiers de doées uléaires évaluées. Lorsqu il eiste pas de modèle adapté, des austemets ave des polyômes ou des fotios similaires sot utilisés afi d iterpoler etre les poits dot les valeurs ot été évaluées. Les trous etre les doées mesurées sot omblés par des aluls ave modèle ou ave la systématique. Les figures 3-6 doet des eemples de ourbes théoriques austées sur les doées mesurées. 37

Figure 5. Trois eu de doées de setio effiae de apture mesurées à Oak Ridge (976), Harwell (977) et Karlsruhe (980) pour 4 Am das le domaie des résoaes o-résolues. La ourbe lisse est u austemet par moidres arrés gééralisés obteu ave le ode FITACS, utilisat la théorie d Hauser-Feshbah. D après Fröher et al. (98) 4. Créatio de ostates de groupe : Les setios effiaes potuelles élargies par effet Doppler pour toutes les voies de réatio ouvertes et pour différetes températures peuvet maiteat être alulées et moyeées sur des itervalles d éergie fiis omme ela est requis pour les aluls de réateur ou de protetio. Le résultat est u esemble de ostates de groupe, ompreat habituellemet des setios effiaes moyeées sur le groupe («de dilutio ifiie») pour la température ambiate et des fateurs d auto-protetio dépedat de la température et de la dilutio sur ue grille spéifique de températures et de «dilutios» (dérivat le mélage ave les autres oyau), voir, par eemple, Fröher (989). Ces esembles de ostates de groupe sot souvet des fihiers ayat ue utilité spéifique pour des appliatios partiulières, au otraire de la fialité géérale des fihiers «mirosopiques» dot ils sot issus. Afi d améliorer la fiabilité de leur but spéifique, ils sot souvet austés (par moidres arrés) sur les doées obteues das des epériees «itégrales» meées das des réateurs d essai spéiau ou des istallatios similaires. 38

Figure 6. Dépedae agulaire des setios effiaes de diffusio élastique de 93 Nb mesurée au Laboratoire Natioal d Argoe. Les setios effiaes différetielles sot eprimées e bar/sr et les agles de diffusio (θ, das le système du laboratoire) e degrés. Les poits représetet les doées et leurs erreurs, les ourbes sot alulées à partir d u potetiel austé du modèle optique. D après Smith et al. (985) Toutes es étapes demadet du temps et plusieurs aées peuvet s éouler avat que des doées uléaires mesurées pour le besoi d appliatios tehologiques ou sietifiques e soiet dispoibles sous forme de fihiers iformatiques d évaluatio. Cet aspet a motivé des efforts de oordiatio des travau à ue éhelle iteratioale. Les demades formelles de doées uléaires sot désormais publiées régulièremet par l AIEA das les «Worldwide Requests for Nulear Data», oue sous le om de liste WRENDA. Les doées mesurées sot olletées par u réseau de etres de doées, hau d eu agissat das so aire de servie agréée : NNDC (Natioal Nulear Data Cetre) à Brookhave, USA, servat les USA et le Caada. 39

NEADB CJD NDS (Baque de doées AEN/OCDE) à Salay, Frae, servat les pays o amériais de l OCDE. (Cetr po Jaderym Daym) à Obisk, Russie, servat le territoire de l aiee Uio soviétique. (Nulear Data Setio, IAEA), à Viee, Autrihe, servat tous les autres pays. Des éhages de doées réguliers assuret que la base de doée est essetiellemet la même pour les quatre etres. Les doées évaluées sot égalemet rassemblées, otammet les fihiers ENDF (USA), JEF (pays membres de la NEADB), JENDL (Japo) et BROND (pays du Comeo). Les etres produiset égalemet la bibliographie très utilisée «Computer Ide to Neutro Data» (CINDA). Le très ou «bar book» (NdT : le «BNL») (Mughabghab et al. 984) oteat de vastes tableau de paramètres de résoae et des graphes de setios effiaes, sot des produits du NNDC. Des réseau similaires de etres de doées rassemblet et distribuet les doées de partiules hargées, de struture uléaire et de déroissae. Le fihier de type ENSDF otiet des doées du derier type, évaluées : est ue versio lisible sur mahie des très ous «Nulear Data Sheets» et «Table of Isotopes» (Lederer et al., 979). Des oopératios iteratioales omparables impliquat des réseau de bases de doées eistet e météorologie, physique des hautes éergies, reherhe e matériau, reherhe aérospatiale et bie d autres domaies sietifiques et tehologiques.. Austemet par moidres arrés ave itératio La plus grade partie du travail d estimatio de paramètre das l aalyse des doées orrigées (étape 3 du paragraphe préédet) repose sur la méthode des moidres arrés. Retouros do à la oditio des moidres arrés, T - ( ζ z ( )) C ζ z ( ) ( ) $ $ mi. (76) Nous rappelos que le veteur ζ est le eu ombié des estimatios a priori des paramètres et des doées mesurées, ζ { ξ, η} { ξ,... ξ M, η,... η J }. Les doées epérimetales peuvet proveir de types de mesures assez différets qui, bie sûr, doivet être dérites par les oordoées orrespodates du veteur du modèle y(). Sas iformatio a priori sur les paramètres o a simplemet T - ( η y ( )) B η y ( ) ( ) mi. (77) Si o églige égalemet les orrélatios etre les doées η, la matrie B deveat aisi diagoale, o obtiet les équatios pour u austemet par moidres arrés «primitif» qui est eore employé das de ombreu odes. Il utilise uiquemet les ouvelles doées et leurs iertitudes, igorat toute iformatio a priori qui pourrait être dispoible. Les estimatios des paramètres e déoulat et leurs iertitudes doivet esuite être ombiés ave l iformatio a priori, issue par eemple de mesures préédetes, par ue sorte de moyee podérée après l austemet. Or, u 40

priipe fodametal de la logique idutive est que les probabilités devraiet oder toute l iformatio dispoible, la oaissae a priori tout omme les ouvelles idiatios. Il est do plus orret et égalemet plus ommode d ilure les estimatios a priori (ou premières suppositios) et leurs iertitudes (variaes) dès le début sous forme d ue distributio a priori omme das l équatio (70). E outre, la overgee d austemet o liéaires par moidres arrés est touours améliorée-souvet de maière spetaulaire-après avoir ilus l iformatio a priori par des Gaussiees ou des a priori similaires. O e doit pas se souier outre mesure des orrélatios iitiales ioues. E se référat au priipe du maimum d etropie, ous pouvos simplemet égliger elles que ous e oaissos pas et mettre les élémets orrespodats de la matrie de ovariae iitiale à zéro. D u autre ôté, il est pas diffiile de ostruire omplètemet des matries de ovariae si les iertitudes sur les doées sot bie détaillées, ave ue spéifiatio laire des diverses omposates de l erreur, iluat leurs erreurs quadratiques moyees. Cela sera epliqué i-dessous, mais das l immédiat ous allos supposer que la matrie de ovariae iitiale C est doée, au mois sous forme diagoale. Essayos de aluler l estimatio des paramètres par perte quadratique, est à dire la moyee et la matrie de ovariae (fiale) de la distributio a posteriori (7). L itégratio umérique est touours possible, mais afi d obteir des epressios aalytiques, ous devos employer l approimatio de Laplae (méthode de la plus grade pete, itégratio au poit selle) qui est stritemet eate que das le as d u modèle liéaire y(). Pour des modèles o liéaires, elle est adéquate pour la plupart des appliatios pratiques, mais o doit garder e mémoire qu elle peut e plus fotioer si les o liéarités sot importates autour du pi de l a posteriori. Le développemet de Taylor de l eposat de l équatio (70) autour de so miimum à $ mèe à T - ( ) ( ζ ( )) ( ) ζ ( ) Q z C z T - ( ) ( -) A ( -) Q $ + $ $ +..., Le veteur paramètre $ le plus probable est défii par Q0 ave µ / µ ), est à dire par les équatios «ormales» ( ) T - ( $ ) ( $ ) (78) S C ζ z 0, (79) et la matrie A par T T - [ ] ( ) ( ) A Q S $ C S $ +..., (80) $ où S est la matrie retagulaire des oeffiiets de sesibilité S µ - z. (8) µ Le veteur $ peut être détermié à partir des équatios ormales (79) par itératio de Newto-Raphso : si o a, après itératios, ue solutio approhée, o peut faire iterveir les approimatios liéaires ( $ ) ( ) ( )( $ ) z z + S - (8) 4

$ S das les équatios ormales et résoudre pour $. La solutio améliorée obteue par ette méthode est et S ( ) ( ) T - - T - [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] + S C S S C ζ z. (83) + Aisi, o peut ommeer ave la valeur de l a priori la plus probable, 0 ξ, das le membre de droite, aluler la valeur améliorée, la réisérer à droite, et aisi de suite usqu'à e qu o obtiee des valeurs ostates e simple préisio de l ordiateur (ou usqu'à e qu u autre ritère de overgee soit satisfait). À haque itératio, ous devos realuler z() et la matrie de sesibilité S(). Pour u modèle liéaire, z est ue fotio liéaire de, est à dire que l équatio (8) est eate pour 0, ave S e dépedat pas de. Par oséquet, le résultat fial est obteu dès la première itératio, $, omme attedu. Ue fois que ous avos établi le résultat fial $ de l itératio, ous pouvos aluler la valeur reommadée (das l approimatio du poit selle) T - - T - [ ( $ ) ( $ )] ( $ ) ( $ ) [ ] S C S S C ζ z, (84) [ ( ) ( )] - T T - δδ S$ CS$. (85) Pour u modèle liéaire, o effetue simplemet $ξ et les valeurs moyees aisi obteues sot eates. Remarquos que das le proessus d itératio, il est éessaire de aluler des veteurs améliorés z() oteat à la fois les paramètres améliorés et les doées améliorées y( ). Les hagemets sot faibles si les oeffiiets de sesibilités sot petits et si les valeurs alulées sot déà prohes des estimatios a priori des paramètres et des doées. Das l évaluatio des doées eutroiques et das la paramétrisatio des setios effiaes, le ombre M de paramètres est habituellemet beauoup plus petit que le ombre J de poits epérimetau. L opposé est vrai pour l austemet de ostates de groupe puisque le ombre M de ostates de groupe austées das les librairies de doées est d ordiaire beauoup plus grad que le ombre J de doées itégrales (réposes mesurées e réateur). Les équatios utilisées sot les mêmes das les deu as. Le formalisme Bayésie de moidres arrés par itératio est employé das le ode d aalyse de résoae SAMMY (Larso ad Perey 980) et das le programme FITACS (Fröher et al.,98), basé sur la théorie d Hauser-Feshbah, qui est utilisé pour aalyser des doées de setios effiaes moyees das le domaie des résoaes o résolues. L epériee aquise au travers de es odes a lairemet motré l avatage de la prise e ompte epliite d ue iformatio a priori sous forme d ue Gaussiee. L a priori otraigat la reherhe de paramètre d ue maière progressive das u domaie raisoable, les problèmes (de programmatio liéaire) au frotières abruptes sot évités, et la overgee s e retrouve grademet améliorée omparativemet au préédetes versios de moidres arrés «primitifs» de es odes qui utilisaiet pas les iertitudes a priori. U problème typique des austemets par moidres arrés «primitifs», à savoir l absee de overgee si trop de paramètres sot austés simultaémet, est pratiquemet élimié ave le système des moidres arrés gééralisés qui tolère de grads ombres de paramètres austés (plusieurs douzaies das l aalyse de résoaes), même si les iertitudes a priori sot assez importates. 4

E physique des réateurs, o travaille souvet ave des erreurs relatives, ( ζ z ) ζ les élémets orrespodats de la matrie des ovariaes relatives ζ ζ k ( ζ ζ k) oeffiiets de sesibilité relatifs S ( ζ ) /. Cela amèe au remplaemets suivats : µ ζ ζ z D z, C DCD, S DS ave D k δ k / ζ. (86) /, ave / et les Bie etedu, les matries diagoales D isérées sot aulées par leurs iverses das les équatios de moidres arrés, si bie que l utilisatio de quatités relatives modifie uiquemet la forme des équatios et o leur oteu. L avatage est bie sûr que les erreurs relatives (les pouretages) et les sesibilités relatives sot plus failemet saisissables et mémorisables e qui red plus aisée leur omparaiso et failite l établissemet de leur importae relative das des problèmes ave de ombreu paramètres physiquemet différets. Des diffiultés apparaisset toutefois si les valeurs ζ sot beauoup plus petites que leurs iertitudes, si bie que l o e arrive pratiquemet à devoir diviser par zéro. Das e as, il est préférable d utiliser des valeurs absolues plutôt que relatives. Oasioellemet se pose la questio de savoir s il est orret d utiliser les doées ζ (mesurées ou estimées a priori) omme référee ou s il e serait pas préférable d utiliser les valeurs réelles z. La répose est simple : les valeurs réelles sot gééralemet ioues si bie qu il est impossible de les utiliser e tat que référee, par eemple das des fihiers iformatiques de matries de ovariaes relatives ou de oeffiiets de sesibilités. Tout e que l o peut faire, est utiliser les meilleures estimatios dispoibles à u iveau doé. Avat l austemet des moidres arrés, il s agit des estimatios a priori des paramètres ξ µ et des doées epérimetales η i, do des quatités ζ. Après l austemet o a les estimatios des paramètres améliorés µ et des doées alulées améliorées y ( ), et elles sot do les valeurs de référees orretes pour les matries de ovariaes fiales relatives. Les valeurs réelles e sot amais oues, elles apparaisset seulemet das les équatios e tat qu argumets des distributios de probabilité, est à dire e tat que valeurs possibles, et s itègret à importe quel momet au valeurs attedues ou autres quatités reommadées alulées pour des appliatios pratiques. 43

Figure 7. Illustratio de o liéarités et de orrélatios das les austemets par moidres arrés : la largeur eutroique Γ et la largeur radiative Γγ de la résoae à 3.5 ev de 3Th+ sot estimées par des austemets simultaés de deu aires importates de trasmissio (TA), iq aires de pi de apture (CA) et deu rapports d auto-idiatio (SIR). Les ourbes représetet les huit omposates du veteur y() du modèle théorique, le veteur paramètre ayat deu oordoées, Γ et Γγ. «L ellipse d erreur» motre la meilleure estimatio et les iertitudes orrélées (ode TACASI). D après Fröher (966).3 Erreurs statistiques : statistique de Poisso Nous allos maiteat disuter de l iformatio relative à l erreur éessaire pour la reostrutio de la matrie de ovariae C η qui dérit les iertitudes sur les doées et leurs orrélatios. Das pratiquemet toutes les mesures de doées uléaires, o détete et o ompte des partiules d u type partiulier, par eemple des fragmets de fissio sigalat des évéemets de fissio uléaire, ou des rayos gamma sigalat des évéemets de apture radiative. Les tau de omptage sot ue mesure des probabilités de fissio ou de apture orrespodates (eprimées par ovetio sous forme de setios effiaes de fissio uléaire ou de apture). Das le as limite d u temps de omptage ifii, et e l absee d autres erreurs, o mesurerait les probabilités (das le ses fréqueiste) diretemet, mais e pratique, il y a touours ue iertitude statistique sur le tau de omptage fial (ou setio effiae) du fait d u temps de omptage fii. Que pouvos ous dire à propos du vrai tau, et e partiulier sur so iertitude, si évéemets ot été eregistrés durat u temps t? 44

U tau de omptage ostat sigifie qu il y a u itervalle de temps moye t bie défii etre les omptages. Ave ette iformatio globale, le priipe du maimum d etropie mèe immédiatemet à la familière distributio epoetielle des itervalles de la statistique de Poisso, ( ) t pt e dt 0 < t <. (87) Le multipliateur de Lagrage, le tau ostat, est l iverse de l itervalle moye, / t. Coaissat la distributio des itervalles, o peut oter la probabilité ooite que les omptages soiet eregistrés das des itervalles de temps ifiitésimau dt, dt,... dt situés das u temps éoulé t, et itégrer sur l esemble des positios possibles de es itervalles. Le résultat est la probabilité d eregistrer oups à des temps arbitraires, das l itervalle t, pour u tau ostat doé, ( t) p e, t ( t)!, 0,,,... (88) C est la distributio de Poisso. Le théorème de Bayes ave l a priori de Jeffreys pour le paramètre d éhelle doe diretemet la probabilité iverse (voir setio.5, équatio 0) ave e p( t, ) Γ( ) d, 0 < t <, (89) t, (90). (9) L iertitude relative est autre que la loi familière e / pour l estimatio des iertitudes statistiques, largemet utilisée pour toute sorte de omptages e statistique e gééral et e alul de Mote Carlo e partiulier..4 Erreurs systématiques : Iertitudes orrélées et leur propagatio Nous allos maiteat disuter rapidemet les as typiques d erreurs systématiques et de quelle faço elles iduiset des orrélatios etre les estimatios. Comme préédemmet, ous otos les erreurs ioues sur les doées par δηi ηi yi. Si elles étaiet d origie puremet statistique, elles e seraiet pas orrélées et les élémets de la matrie de ovariae B seraiet ( ) δη δη δ var η δ η, (9) k k k est-à-dire que la matrie serait diagoale. Cei est supposé das beauoup de odes de moidres arrés «primitif» : haque erreur quadratique est podérée par l iverse de la variae. Parallèlemet au erreurs statistiques, il y a epedat touours des erreurs epérimetales de mesure de flu, de alibratio de déteteur, d iertitude e temps, et. Cotrairemet au erreurs statistiques, es erreurs appelées erreurs systématiques sot ommues à tout u eu de doées, par eemple à toutes les doées aumulées das les aau e temps das des epériees de temps de vol. 45

Assez gééralemet, les orrélatios etre les doées sot usuellemet produites par des erreurs ommues. Pour représeter ei, ous érivos les erreurs totales ioues sous la forme δη δη + δη, (93) où δη est l erreur systématique et δη l erreur systématique. Cette derière est la même pour l esemble du eu de doées et do e possède pas d idie. Les élémets de la matrie de ovariae B sot ( ) ( ) δη δη δη δ + δη k k, (94) puisque les erreurs statistiques des différets poits epérimetau e sot pas orrélées, ( ) δη δη δη δ k k, ave ue moyee ulle, δη 0, et puisqu il y a pas de orrélatios etre erreurs statistique et systématique, δη δη 0. Nous oluos que les erreurs ommues, est à dire systématiques, egedret touours des orrélatios etre les élémets d u eu de doées epérimetales. Les erreurs systématiques les plus fréquetes sot elles qui produiset u déplaemet des valeurs observées (par eemple des erreurs sur le bruit de fod) ou qui les multipliet (omme des erreurs sur la ormalisatio du flu ou sur la alibratio du déteteur). Si ous modifios u bruit de fod soustrait b pour u des poits epérimetau, ous devos faire de même pour tous les autres : toutes les valeurs sigalées η doivet être modifiées esemble. C est, bie sûr, la sigifiatio littérale de la ovariae. Plus gééralemet, si les doées ot été obteues à partir de tau de omptage brut a, e leur appliquat des orretios ommues b,,..., les erreurs totales sot : δη ( η / a ) δa + ( η / b) δb + ( η / ) δ +... Or les erreurs statistiques aisi que, très souvet, les erreurs systématiques e sot pas orrélées, si bie que leurs ovariaes sot ulles, ( δa δa ) ( δa δb) ( δbδ) k 0. Les élémets totau de ovariae dépedet do seulemet des arrés des erreurs quadratiques moyees (variaes) des omposates et des oeffiiets de sesibilités (les dérivées), δη δη k η a η η ηk ηk ( a ) δ + ( b) + ( ) +... k b Cei motre que pour la ostrutio des matries de ovariaes, l évaluateur a besoi de la part de l epérimetateur : Des erreurs quadratiques moyees pour haque omposate de l erreur. b D iformatio sur la rédutio des doées de maière à pouvoir aluler les oeffiiets de sesibilité. (95) 46

S il lui est dit que la rédutio des doées a osisté das la soustratio d u bruit de fod ommu b et das la multipliatio par u fateur de alibratio, est à dire η ( a ) 47 -b, alors il a pas de mal à aluler δη δη k δ k ( a ) + ( b) + η η k ( ) /. Évidemmet, il est essetiel que les epérimetateurs établisset lairemet, et ave suffisammet de détails, les différetes omposates des erreurs statistiques et systématiques quad ils publiet leurs doées alors qu ils e doivet pas se souier des orrélatios puisque elles-i peuvet être ostruites diretemet à partir des omposates des erreurs, même pour de très grads eu de doées (à l aide d ordiateurs si éessaire, voir N. Larso 986, 99). Comme eemple istrutif d iertitudes orrélées sur les doées et de leur impat sur les paramètres estimés, voir la disussio sur les référees pour l éergie des résoaes par F. Perey (978). L uio des erreurs statistiques et systématiques das ue erreur totale est souvet osidérée iorrete. Nos équatios motret, toutefois, que le alul du arré de l erreur totale quadratique moyee e tat que somme des arrés des erreurs quadratiques moyees (variaes) de toutes les omposates de l erreur, statistiques aussi bie que systématique, est immédiat. La lige de démaratio etre les deu types d erreur est toutefois disutable : ue erreur statistique pour ue persoe pourra être ue erreur systématique pour ue autre persoe. Le seul problème das la somme quadratique des erreurs moyees est qu e elle-même elle e révèle pas à quel poit elle est statistique ou systématique, est à dire quel iveau de orrélatio il peut y avoir. Cette questio peut uiquemet être répodue si la sigifiatio physique et l erreur type de haue des omposates de l erreur sot oues. Ue ritique relativemet reliée à ei a été soulevée à l eotre des moidres arrés appliqués à des ombiaisos de doées obteues de soures différetes : supposos qu u tau de omptage ostat, par eemple elui d u bruit de fod, soit mesuré de maière répétée ave des ombres de oups eregistrés durat des itervalles de temps t. La moyee sur l éhatillo podérée par, alulée ave les iertitudes relatives / appropriées pour les omptages, deviet t / ( t / ). Cei e semble pas orret et il a été osidéré à tort omme ue évidee qu il y a quelque hose de fodametalemet fau das le formalisme des moidres arrés qui doit être larifié et orrigé. L origie de ette diffiulté est toutefois pas das le formalisme des moidres arrés, mais de so utilisatio das ue situatio où l o sait que s applique ue distributio o-gaussiee d éhatillos-la distributio de Poisso. Il y a pas ii éessité de remplaer les distributios ioues par des Gaussiees via la maimisatio de l etropie ou le théorème de la limite etrale et do d utiliser les moidres arrés. L a posteriori orret est u produit des probabilités de Poisso, équatio (88), et de l a priori de Jeffreys pour des tau ostats. Les estimatios e déoulat, / t et / /, fot iterveir le ombre total de oups et temps de omptage total de la maière préise où l etedait le bo ses ommu à partir des équatios (90) et (9). La leço est que la méthode des moidres arrés e doit pas être utilisée aveuglémet si l iformatio dispoible admet u traitemet plus rigoureu. C est ue autre illustratio de la vérité fodametale selo laquelle la solutio orrete à u problème de probabilité demade à e que toute l iformatio oue soit utilisée. La stipulatio que les epérimetateurs ot pas besoi de se souier outre mesure des orrélatios e doit pas être mal iterprétée. Cela e sigifie pas que les orrélatios sot sas importae. Cela sigifie seulemet qu elles e sot pas éessaires pour la ostrutio de matries de ovariaes pourvu que la proédure de rédutio des doées et les erreurs quadratiques

moyees orrespodates soiet orretemet préisées. Les iertitudes orrélées fiales des setios effiaes ou des paramètres des setios effiaes, oteues das la matrie de ovariae a posteriori δδ T, ostituet ue iformatio partiulièremet adaptée pour les utilisateurs des doées. L iertitude de toute fotio f des setios effiaes µ, par eemple la ritialité alulée d u réateur uléaire, est doée das le adre d ue approimatio liéaire par la raie arrée de ( δf ) f f δµ δν, (96) µ ν µ ν où δ µ δ ν est u élémet de la matrie de ovariae, et où les dérivées ou oeffiiets de sesibilités sot à aluler ave les meilleures estimatios µ. Il est évidet qu ue boe étude de sesibilité e peut être etreprise sas la matrie de ovariae. Par le passé, quad l iformatio sur la ovariae était igorée, o observait systématiquemet que tout se passait omme si les doées uléaires étaiet pas assez préises pour ertaies appliatios. Lorsque ette iformatio est orretemet prise e ompte, la préisio deviet assez aeptable du fait de termes égatifs das la double somme veat d erreurs atiorrélées (se ompesat). Aisi, eu qui etraiet des paramètres de setio effiae à partir de doées epérimetales e devraiet pas seulemet détermier les paramètres et leurs iertitudes, mais au mois égalemet les élémets les plus importats de la matrie de ovariae. Nous termios ette partie e otat que les élémets C µν de la matrie de ovariae sot reliés au éarts types µ var µ et au oeffiiets de orrélatio ρ µν de la maière suivate, C δ δ ρ, (97) µν µ ν µ µν ν ave ρ µµ. L iégalité de Shwarz limite l itervalle de défiitio des oeffiiets de orrélatios, (, ) ov µ ν ρ µν +. (98) var var µ ν Les iertitudes peuvet do être établies de plusieurs maières équivaletes :. Comme variaes et ovariaes.. Comme variaes relatives et ovariaes relatives. 3. Comme erreurs types et oeffiiets de orrélatio. 4. Comme erreurs types relatives et oeffiiets de orrélatio. De loi, la méthode la plus éoomique et la plus sûre mémotehiquemet est la derière (au mois si les doées e sot pas égligeables devat les iertitudes). D abord, les erreurs types relatives (pouretages) sot plus failemet saisissables, mémorables et omparables au absolues, spéialemet si les veteurs doées otieet des quatités distites d u poit de vue physique (par eemple des paramètres de résoae et des setios effiaes, ou des setios effiaes multigroupe et des fateurs d auto-protetio). Esuite, les erreur types relatives et les oeffiiets de 48

orrélatio ot ue sigifiatio ituitive laire otrairemet au variaes et ovariaes. Si o m a dit que les variaes de et y sot 0.04 et 0.000009 et que leur ovariae est -0.0000, e suis désemparé. C est seulemet ave l iformatio supplémetaire disat que les valeurs reommadées sot 0 et y 0. que e peu déduire que les éarts types relatifs sot de % pour et 3% pour y et que le oeffiiet de orrélatio est de -0.0. Si o m avait parlé diretemet des trois derières gradeurs, aurai immédiatemet ompris que les deu quatités sot oues ave ue boe préisio et que leur atiorrélatio est égligeable pour la plupart des appliatios. Il est diffiile de ompredre pourquoi le format atuel ENDF-6 (Rose et Duford 990) admet que des variaes et ovariaes. Ue etesio du format au erreurs types et oeffiiets de orrélatio permettraiet au évaluateurs et utilisateurs de travailler ave des fihiers d iertitudes qui seraiet plus failes à ostruire, à lire et à réatualiser, do osidérablemet mois suets au erreurs que eu eistat, sas ouper plus de plae..5 Qualité de l austemet La qualité et la osistae d u austemet par moidres arrés est idiquée par la valeur a posteriori de χ ζ T - ( z) C ( ζ z). (99) Plus les résidus ζ z sot petits, meilleur est l austemet et plus χ est faible. Des désaords, tels qu u mauvais modèle théorique (ue résoae maquate, par eemple) ou des erreurs sous-estimées, tedet à redre χ trop grad, alors que des erreurs surestimées le redet trop faible. Afi de voir e qui est etedu par trop grad ou trop faible, osidéros la distributio de probabilité de la variable χ (das l espae des éhatillos, pour des paramètres ous). Das le as d u modèle liéaire y(), il est faile de voir que la distributio de χ est ue distributio gamma : la distributio du maimum d etropie du veteur de doées ζ, oaissat le veteur réel z, est p d χ d d T - ( ζz, C) ( ζ) ep ( ζ z) C ( ζ z) ( ζ) ep - ( ζ). (00) Nous simplifios par ue trasformatio orthogoale sur le système d aes priipau das lequel χ est ue somme de N M + J arrés, χ N ζ z χ. (0) Les primes se réfèret au système d aes priipau et les sot les élémets de la matrie diagoale C O T CO, ave O T O. Les éarts relatifs χ peuvet être osidérés omme les oordoées Cartésiees das l espae des ζ. L élémet de volume orrespodat est ivariat par trasformatio orthogoale (rotatio) O, ( ) ( ) ( ) d ζ d ζ d χ N χ dχdω. (0) 49

Das le derier terme, ous itroduisos les oordoées polaires ave la oordoée radiale χ, omme le suggère l équatio (0). Ave et élémet de volume, il est trivial d itégrer l équatio (00) sur les oordoées agulaires Ω. La distributio radiale e déoulat peut être érite omme ue distributio du χ à N degrés de liberté, p N - χ ( χ C) N χ χ d z, dχ Γ ep -, T - ( z) C ( z) 0 < χ ζ ζ <. (03) Malheureusemet, ous e oaissos pas le veteur réel des observables z z(). Tout e que ous oaissos, est l estimatio z$ z( $ ), où $ satisfait la oditio d appliatio des moidres arrés (76) ou les équatios ormales (79) que ous érivos maiteat sous ue forme plus abrégée omme ( z) $ T S C - ζ $ 0. (04) Du fait de e système de M équatios, tous les ζ e sot pas mutuellemet idépedat mais seulemet J d etre eu. U développemet de Taylor autour de l estimatio $ mèe à (omparer les équatios 78 et 80) où χ T T - ( ) ( ) χ$ + -$ S$ C S$ -$, (05) χ$ N ζ z$ Pour ue théorie liéaire, o a z z +O T S( - ) χ$. (06) $ $ et par oséquet χ χ$ + ( $ ) T Ok Sk µ µ µ. (07) k, µ O peut maiteat remplaer les variables d itégratio χ par $χ pour,,...j et par µ pour J+, J+,...N. Le Jaobie pour ette distributio est ostat du fait de la relatio liéaire (07) etre les aiees et les ouvelles variables, si bie que ( ) ( ) d d J M ζ χ χ$ dχ$ dω$ d. (08) E itégrat (00) sur toutes les oordoées agulaires et tous les µ, o obtiet fialemet la distributio de la somme de l éart quadratique $χ qui peut être alulé à partir de quatités oues, 50

p J - χ ( χˆ ˆ,C) ˆ ˆ ˆ ˆ J χ χ d z dχ Γ ep -, T - ( z) C ( z) 0 < χ$ ζ $ ζ $ <. (09) Cette distributio du χ à J degrés de liberté est plus large que la distributio du χ (03) à J+M degrés de liberté. Sa moyee et sa variae sot $χ J, (0) var $χ J. () Ce résultat est eat pour des modèles théoriques liéaires z() ; pour des modèles o liéaires il est valide das l approimatio du poit selle (Laplae). Il s applique ertaiemet à haque fois que l austemet par moidres arrés (voir partie.) est possible. Les deu derières équatios motret qu u bo austemet est aratérisé par ue valeur du χ prohe du ombre J de poits epérimetau, approimativemet etre J J et J + J. Le fait qu u austemet «doe u χ de 03 pour 04 poits epérimetau» idiquerait aisi u bo aord etre les doées iitiales et le modèle théorique. Ue valeur du χ supérieure pourrait mettre e évidee des iertitudes sous-estimées, et il est bie souvet d usage pratique de multiplier, das e as, toutes les iertitudes ( est-à-dire les élémets de la matrie C) par u fateur d éhelle ommu afi de forer l égalité χ J (et de modifier e oséquee les paramètres de la matrie de ovariae a posteriori). Cei est toutefois dagereu, du fait qu ue valeur élevée du χ peut égalemet être due à u modèle théorique iadéquat (des spis attribués au iveau de maière iorrete ou des petites résoaes omises, par eemple). Ue valeur du χ aormalemet faible, d u autre ôté, pourrait idiquer des estimatios d iertitude trop prudets, mais ela pourrait égalemet être dû à des falsifiatios de doées telles qu élimiatios de doées («doées éartées») qui semblaiet e otraditio ave la théorie e faveur. Le réaustemet des iertitudes e devrait aisi être osidéré qu après avoir aquis la ertitude qu il y a rie d apparemmet fau au iveau du modèle ou des etrées. Das les austemets par moidres arrés «primitifs», où l iformatio a priori est égligée, la même argumetatio oduit au résultat amplemet utilisé que χ$ T - ( η y$ ) B ( η y$ ) suit ue loi de distributio du χ à J-M degrés de liberté de sorte que la valeur du $χ est attedue grosso modo etre ( J M) ( J M) et ( J M) + ( J M). L établissemet de la qualité de l austemet doit alors ilure à la fois le ombre de poits epérimetau mesurés et de paramètres. Ue «valeur du χ de 03 pour 04 poits epérimetau et 0 paramètres austés ( 004 degrés de liberté)» idiquerait u aord raisoable..6 Doées iompatibles U des problèmes les plus épieu de l évaluatio des doées est elui des doées iompatibles. Supposos que ous soiet doés les résultats de mesures omplètemet idépedates et epérimetalemet différetes de la même quatité physique µ, sous la forme ±,,,...,. Si la distae etre tout ouple de valeurs,, est plus faible ou au mois pas k 5

beauoup plus grade que la somme des iertitudes orrespodates, + k, les doées sot dites ompatibles ou e aord «das les barres d erreurs». (La probabilité que deu mesures de même préisio oduiset à ue distae supérieure à + k est seulemet égale à erf 0.57 pour deu distributios d éhatilloage Gaussiees de même éart type ). Si ertaies des distaes sot bie plus importate, les doées e sot pas ompatibles ave les iertitudes établies. Les iompatibilités ot pour origie des effets epérimetau o idetifiés ou mal orrigés tels que bruits de fod, temps mort de l életroique de omptage, résolutio epérimetale, impuretés das les éhatillos, erreurs de alibratio, et. Comme ous l avos metioé préédemmet, u arragemet rapide et populaire osiste à multiplier toutes les erreurs iitiales par u fateur ommu afi que le χ ait la valeur attedue (et que toutes les barres d erreur se reoupet). Cei e hage toutefois pas les poids relatifs, d où l aspet tout aussi péalisat d attribuer des iertitudes trop optimistes ou trop prudetes. Le traitemet Bayésie qui va suivre red ue ustie plus équitable. Il osidère o seulemet les iertitudes revediquées mais égalemet à quel poit ue valeur doée est distate de la moyee. Que pouvos ous dire des erreurs o idetifiées? Si ous e oaissos que les doées et o la maière dot elles ot été mesurées, des erreurs positives et égatives sot équiprobables et, par oséquet, la distributio de probabilité pour l erreur o idetifiée ε de la -ème epériee devrait être symétrique par rapport à 0, et la même distributio devrait s appliquer à toutes les epériees. Supposos do, e aord ave le priipe du maimum d etropie, que les distributios pour tous les ε soiet Gaussiees, ε p( ε τ ) dε ep dε πτ τ, < ε <. () La probabilité de mesurer la valeur, oaissat la valeur réelle µ, l erreur o idetifiée ε et l iertitude due à toutes les soures d erreurs o idetifiées, est alors doée par ( µ ε ) p µ ε,, d ep d π, < <. (3) Si les dispersios τ des erreurs o idetifiées sot oues, alors la distributio ooite a posteriori pour µ et les ε est ( µ ε ) ε p( µ, ε,, τ) dµ d( ε) dµ dε ep τ. (4) (ε,, τ, das le membre de gauhe, doivet être iterprétés omme des veteurs das l espae des éhatillos, dot les oordoées sot ε,, τ ). E effetuat les arrés das l epoetielle, o peut failemet itégrer sur les ε. La distributio de µ a posteriori e déoulat est ue Gaussiee, 5

( + ) ( µ ) ( + τ ) p( µ s) d µ, ep d µ, < µ <. (5) π τ / / ave µ, (6) var µ ( + τ ). (7) où les barres supérieures sigifiet que les moyees sot effetuées sur les (sur les mesures) ave des poids / ( + τ ). E itégrat (4) par rapport à µ, o obtiet la distributio ooite des erreurs o idetifiées, T T p( ε,, τ) d( ε) ep ( ε ) A ( ε ) ε B ε d( ε), (8) où A - et B - sot des matries défiies positives, symétriques dot les élémets sot k k δ k l l ( A ), (9) ( B ) τ k k δ. (0) Ce produit de deu Gaussiees à plusieurs variables est égalemet ue Gaussiee à plusieurs variables, ave le veteur de moyee ε CA et la matrie de ovariae iverse C - A - + B -, si bie que ( ) A + B ε A. () E résolvat la derière équatio pour ε, o obtiet ε ( ) τ. () + τ La meilleure estimatio de ε est alors l éart de la -ème doée de la moyee (podérée), multiplié par «u fateur réduteur» ( + τ ) 53 τ qui est prohe de zéro si les / erreurs o idetifiées attedues sot beauoup plus petites que les iertitudes oues, et prohe de l uité si elles sot beauoup plus grades. Cei, toutefois, est trivial : si ous oaissos les variaes τ des erreurs o idetifiées, est qu elles e sot pas réellemet ioues. Nous e savos autat sur elles que sur les autres erreurs. Nous pouvos do aouter les variaes omme d habitude pour obteir les variaes totales + τ. O s atted à e que leurs iverses apparaisset e tat que poids das haque moyee et est e fait e que ous veos de trouver. Le as o trivial le plus simple est elui où les τ e peuvet pas être osidérés omme les erreurs quadratiques moyees o idetifiées mais plutôt omme leurs estimatios, basés par eemple sur la qualité géérale des diverses mesures, sur la préisio des tehiques employées, peut être même sur la rédibilité des epérimetateurs d après leurs travau préédets. (Notos qu il est parfaitemet orret de mettre τ 0 pour les epériees qui peuvet être osidérés eemptes de

toute erreur o idetifiée). La variae réelle ioue peut alors être prise égale à τ /, où est u paramètre d éhelle ommu austable ave u a priori p()d, et la probabilité ooite pour µ et le veteur ε être prise égale à ( µ ε ) ε / p( µ, ε,, τ) dµ d( ε) dµ dp( ) dε ep τ 0. (3) E itégrat sur tous les ε, o obtiet la distributio a posteriori de µ, ( µ ) / p( µ, τ, ) dµ dµ dp( ) ( + τ / ) ep ( + τ / ) 0. (4) Si ous avos pas du tout d iformatio umérique sur le paramètre d éhelle, l a priori de Jeffreys d/ semble approprié. L itégratio sur est do faile si les iertitudes oues sot égligeables. Ave 0 pour tous les, l itégrad deviet essetiellemet ue distributio gamma de, et l itégratio mèe à ue distributio t de Studet, (, ) p µ s dµ B ave du (, )( + u ) / µ, < u <, (5) s s µ, (6) var µ 3, (7) où s, les barres supérieures idiquat des moyees sur l éhatillo podérées par τ. Aisi, l iertitude sur µ das e as etrême est égale à la variae s de l éhatillo, détermiée par la dispersio des doées (parfois appelée «l erreur etere»). Cei, bie etedu, est autre que e que ous avos trouvé lorsque ous disutios des estimatios de µ à partir d u éhatillo dérit par ue Gaussiee dot l éart type est iou (équatio 34). Pour des valeurs élevées de, la distributio de µ est pratiquemet Gaussiee. Das le as gééral, > 0, τ > 0, l itégrale (4) ave l a priori de Jeffreys le mois iformatif p( ) d d/ diverge logarithmiquemet ar l itégrad deviet proportioel à / pour 0. Le formalisme Bayesie sigale de ette maière que l iformatio a priori est isuffisate pour les préditios désirées. Y a t il autre hose que ous sahios outre le fait que est u paramètre d éhelle? Si les τ sot e fait les meilleures estimatios que ous ayos pour les iertitudes egedrées par les erreurs o idetifiées, alors ous ous attedos à e que soit prohe de l uité. L a priori d etropie maimale, ave la otraite est ( ) p d e d, 0 < <. (8) 54

Il egage à pratiquemet rie de plus que l a priori de Jeffreys, déroissat égalemet de maière mootoe quad augmete, mais est ormalisable et doe mois de poids au etrema. Ave et a priori, l itégrale sur et la ostate de ormalisatio de la distributio a posteriori de µ (4) sot toutes deu fiies et peuvet être alulées umériquemet sas diffiultés. La figure 8 motre u eemple oret, la distributio a posteriori de la setio effiae de fissio du 39 Pu pour des eutros de 4.7 MeV aisi que les distributios Gaussiees représetat les si résultats epérimetau doés das le tableau. Des iertitudes a priori valat τ 0. bar furet attribués sas disrimiatio à toutes les epériees, e se basat sur l état de l art. La moyee a posteriori et l iertitude quadratique moyee, alulées umériquemet, sot égalemet doées das le tableau. Figure 8. Desités de probabilité représetat les résultats epérimetau retrasrits das le Tableau I (Gaussiees e poitillé), et desité a posteriori de la valeur réelle (ourbe otiue) estimée ave le modèle Bayésie à deu étages, équatio (4), ave l hyper a priori doé par l équatio (8). Des iompatibilités sot évidetes etre les epériees,3 et 4 (l étiquette des ourbes est doé das la première oloe du tableau) 55

Tableau. Résultats epérimetau et après estimatio de 39Pu(,f) pour des eutros de 4.7 MeV d éergie iidete. N Auteurs Aée Setio effiae de fissio mesurée (bar) erreur o idetifiée estimée (bar) 3 4 5 6 Kari Caé et al. Adamov et al. Li et al. Mahdawi et al. Arlt et al. 978 978 979 98 98 983 meilleure estimatio estimatio a priori pour toutes les erreurs systématiques.37 ± 0.09.9 ± 0.05.5 ± 0.05.53 ± 0.05.44 ± 0.09.39 ± 0.03.4 ± 0.05 τ 0. b -0.09 ± 0.056-0.086 ± 0.050 0.056 ± 0.048 0.069 ± 0.049 0.006 ± 0.056-0.07 ± 0.04.7 Estimatio d erreurs systématiques ioues Que pouvos-ous appredre sur les erreurs systématiques o idetifiées ε à partir d u esemble de doées iompatibles, ±,,,...,? Ave l a priori (8), il est faile d itégrer la distributio de probabilité a posteriori (4) d abord sur la distributio gamma de, puis sur la distributio Gaussiee de µ. Le résultat peut s érire sous la forme / p d d + T T ( ε,, τ) ( ε) ep ( ε ) A ( ε ) ε B ε ( ε), (9) ave les matries A et B défiies omme préédemmet das les équatios (5) et (6). Afi d obteir le veteur de moyee et la matrie de ovariae de ette distributio sous forme aalytique, ous utilisos l itégratio au poit selle, e remplaçat la distributio eate par ue Gaussiee à plusieurs variables ayat le même maimum et la même ourbure au maimum, p -F -F F T T ( ε,, τ) ep[ ( ε) ] ep ( ε$ ) ( ε ε$ ) ( ) ( ε ε$ ) où l opérateur abla a pour oordoées i ε ε$, (3) δδ εε T ( ) εε$ / ε. Nous avos aisi [ εε ] T F $, (30). (3) Le veteur le plus probable $ε peut être détermiée e résolvat l équatio ( ) + + B ε F A ε T 0 + ε B ε / et la matrie de ovariae approimative omme l iverse de (33) 56

( / ) T ( + ε B ε / ) + + T B + B B B ε ε εε F A évaluée pour ε T T 57, (34) ε$. A partir des défiitios (9) et (0) pour A et B, ous obteos $ $ $ τ ε ε + ε +, (35) + τ ε$ / k k k où et $ε sot les moyees podérées par. Cei est approprié pour itérer. E isérat $ε, pour tous les, omme première estimatio das le membre de droite, o obtiet la seode approimatio $ε τ + ( ), (36) + τ k ( k ) k et, e répétat l opératio, des approimatios de plus e plus boes. Notre traitemet des erreurs systématiques o idetifiées est u eemple de méthode Bayesiee «hiérarhique» (ii à deu étages). Elle implique ue appliatio répétée du théorème de Bayes : la distributio d éhatilloage (3) déped des paramètres ε ave l a priori () qui, à so tour, déped de «l hyper paramètre» ave «l hyper a priori» (8) si ous remplaços τ par τ /. Les estimatios fiales et leurs iertitudes (raies arrées des élémets diagoau de la matrie δε ε T ) das le as de otre problème pour 39 Pu, obteus de ette maière, sot retrasrits das la derière oloes du tableau. Auue erreur o idetifiée sigifiative a été trouvée pour les mesures, 5 et 6 alors que, 4 et peut être 3 semblet être affetées par des erreurs o idetifiées qui sot du même ordre de gradeur que les iertitudes établies par les auteurs. Bie sûr, ette olusio aurait pu déà être tirée des doées epérimetales (et spéialemet de la représetatio graphique par des Gaussiees de la figure 8), mais otre formalisme doe égalemet u support quatitatif pour otre ses ommu das des as mois évidets. E outre, il élaire quelque peu ue réete méthode d estimatio dot o fait le plus grad as : Notre seode approimatio (36) ressemble au estimateurs de James-Stei (Stei 956) qui, depuis leur itrodutio, ot provoqué ue grade quatité d eitatio, de ofusio et u flot de publiatios. C. Stei motra, e utilisat la défiitio fréqueiste du risque (l erreur quadratique moyeée sur tous les éhatillos possibles, pour u esemble doé de paramètres), que des estimateurs similaire à (36) ot parfois u risque moidre que elui des estimatios issues de l estimatio Bayesiee par perte quadratique (qui miimise l erreur quadratique moyeée sur tous les paramètres possibles pour l éhatillo dot o dispose). Beauoup d amélioratios ot été suggérées pour les estimateurs origiau de Stei, basées sur la théorie des distributios fréqueistes et d u empirisme plus ou mois istruit. Par eemple, l estimateur de «loi positive» ε s + ( ), (37) fut proposé pour le as partiulier d iertitudes égales ( pour tous les ). L idie + sigifie que seules les valeurs positives du «fateur réduteur» sot aeptées. Pour les valeurs égatives, il faut

mettre ε 0. De plus, l estimateur de «loi positive» e doit être utilisé que pour 3. Des disussios ediablées euret lieu au suet du «paradoe» que l estimateur pour ε e déped pas seulemet de mais de tous les autres k, k, éhatilloés idépedammet. La questio fut posé si l ilusio d autre doées sas lie apparet améliorerait pas l estimatio. («Si e veu estimer la osommatio du thé à Taiwa, ferai-e mieu d estimer simultaémet la vitesse de la lumière et la masse des pors das le Motaa?» (Efro et Morris 973).Ce qu o appelle les formules Bayesiees d empirisme paramétrique e semblet pas maquer de perspiaité, par eemple par le remplaemet de τ das l équatio (das le as τ τ pour tous les ) par la variae s de l éhatillo. Aussi plausibles que de telles formules puisset paraître (voir par eemple Berger 985), sas ue ustifiatio rigoureuse elles restet des osidératios ad ho. Ave les même oditios (, τ τ), otre équatio 36 deviet ε ( + ) s + τ ( ), (38) valide pour toute valeur, sas disotiuités ou problème d iterprétatio. U paradoe eiste que pour les fréqueistes qui se refuset à utiliser les a priori. Pour u Bayésie, il y a pas de paradoe. Il ou elle ode l iformatio que les doées sot toutes du même type, mesurées das des epériees liées etre elles et do omparables, das u a priori de seod étage qui iduit des orrélatios et des fateurs «dimiuat» de maière aturelle. Des doées sur la vitesse de la lumière ot auu lie ave les ôtres et sot do elues. Du poit de vue Bayesie, d u autre ôté, il semble urieu de e pas baser le ritère de risque sur u éhatillo doé et ue oaissae a priori, mais sur u éhatillo doé et tous les autres éhatillos o observés qu o puisse imagier, sas l utilisatio de la oaissae a priori. Les estimateurs «das les logs ru» (moyeés sur plusieurs éhatillos), dot les Fréqueistes affirmet la supériorité, e sot pas très adéquat pour l évaluatio des doées, où l o doit iférer les meilleures valeurs (par perte quadratique ou de tout autre type) à partir d u éhatillo dispoible. Il se peut qu u estimateur ave u faible risque soit plus prohe de la valeur réelle pour ue large proportio de tous les éhatillos possibles qu u estimateur qui assure ue perte quadratique miimale, mais la partie restate des éhatillos possibles ted à être si grade que l avatage apparet deviet u et désavatage (voir Jayes 976). Das tous les as, la méthode Bayesiee à deu étages mèe, das l approimatio du seod poit selle, à des estimateurs qui sot similaires, et pour des petits éhatillos partiulièremet meilleurs, au estimateurs de James-Stei. De plus, les itératios traitet toutes les amélioratios possibles et égalemet les iertitudes de maière systématique et sas ambiguïté, sas les disotiuités urieuses (Efro et Morris 973) de bie des estimateurs améliorés de James-Stei. La méthode Bayesiee e laisse auue plae à l empirisme ue fois qu ue fotio de perte, u modèle statistique et des a priori sot spéifiés. De maière ertaie, l iterprétatio orrete de doées iompatibles est amais faile, et le vieil adage selo lequel «l évaluatio des doées est plus u art qu ue siee» reste vrai das ue ertaie mesure, malgré les ombreu progrès réalisés das la formalisatio et la quatifiatio durat les trois derières déeies. 58

3. THÉORIE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE RÉSOLU Si des oyau d u élémet doé, par eemple 35 U, sot bombardés par des eutros, o observe des réatios uléaires telles que diffusio élastique, apture radiative ou fissio. Les probabilités de es proessus (,), (,γ) ou (,f), eprimées par outume sous forme de setios effiaes dot l uité est le bar ( b 0-4 m ), dépedet fortemet de l éergie des eutros iidets. La setio effiae de diffusio, par eemple, est le plus souvet prohe de la setio effiae géométrique du oyau (quelques bars) mais à ertaies éergies, elle augmete brusquemet de plusieurs ordres de gradeur. U omportemet résoat similaire, au mêmes éergies, est suivi par les setios effiaes de apture radiative et de fissio. La figure 9 (e haut et au milieu) motre e omportemet pour le oyau 38 U pour lequel seules les réatios eutroiques de diffusio élastique et de apture radiative sot autorisées d u poit de vue éergétique au basses éergies (e égligeat la fissio e dessous du seuil). Pour 35 U, o aurait égalemet vu des résoaes das la fissio. Chaue de es résoaes est due à l eitatio d u état de durée de vie relativemet logue (quasi-statioaire) du oyau omposé qui est formé temporairemet lorsqu u eutro iteragit ave u oyau ible. Notos la forme des différets pis : les résoaes de la setio effiae de apture sot symétriques alors que elles de la setio effiae de diffusio sot asymétriques ave u miimum prooé et ue setio «potetielle» de diffusio d ue ertaie importae etre les résoaes. L impat des résoaes sur le spetre eutroique das u réateur de puissae est visible sur la figure 9 (e bas). Les reu marquats das le flu de eutros oïidet ave les pis des résoaes das les setios effiaes. L epliatio est simple : les eutros e peuvet survivre logtemps à des éergies où 38 U, le ostituat priipal du ombustible, possède des setios effiaes élevées, ar ils sot bie vite apturés (ils disparaisset omplètemet) ou diffusés (trasférés à d autres éergies, habituellemet plus faibles). Il e résulte que le flu est appauvri au iveau des résoaes de 38 U. Des reu plus faibles das le flu sot dus à d autres omposats mois abodats du ombustibles tels que le oyau fissible 35 U. Au basses éergies, les résoaes apparaisset bie séparées mais lorsque l éergie augmete, leurs espaemets dimiuet alors que leurs largeurs augmetet. Évetuellemet, elles se superposet tellemet les ues au autres que la struture résoate du oyau omposé se moyee et que seules survivet des strutures beauoup plus larges, telles que les larges résoaes (ou de partiules idépedates) dérites par le modèle optique ou les résoaes géates dipolaires observées das les réatios photouléaires. E gééral, seules les résoaes à relativemet basse éergie peuvet être observées diretemet. Au éergies itermédiaires, elles e sot pas omplètemet résolues du fait de la résolutio epérimetale, alors que la disparitio de la struture résoate du oyau omposé due à des superpositios très importates de iveau apparaît qu à des éergies eore supérieures. Aussi distigue-t-o le domaie des résoaes résolues du domaie des résoaes o-résolues (ou seulemet e partie résolues). 59

Plus il y a de uléos das le système omposé et plus la struture résoate est fie. Les espaemets typiques etre les iveau observés das les réatios eutroiques sot de l ordre du MeV du kev de l ev pour les oyau légers pour les oyau itermédiaires pour les oyau lourds Les espaemets etre les iveau des oyau ibles ave u ombre pair de uléos sot souvet plus grads que eu des oyau ave u ombre impair de uléos. Les oyau magiques ou prohe de la magiité ot des espaemets de iveau ihabituellemet grads. Le oyau lourd doublemet magique 08 Pb, par eemple, a des espaemets moyes ressemblat à eu de oyau légers. L agitatio thermique des oyau ibles egedre l élargissemet Doppler des résoaes observées das le système du laboratoire : lorsque la température de la ible augmete, les résoaes s élargisset tout e oservat ue aire pratiquemet ostate. Cela modifie les tau moye de diffusio, de apture et de fissio et l équilibre eutroique global das u réateur à fissio. Par voie de oséquee, les aratéristiques de séurité des divers modèles de réateur à fissio dépedet de maière ruiale des résoaes das les setios effiaes des priipau ostituats du ombustible et e partiulier de leur élargissemet Doppler. L effet Doppler est le seul phéomèe aturel doat ue rapide otre-réatio à ue eursio soudaie de puissae das u réateur à fissio. L epasio thermique agit de même mais est beauoup plus lete. De maière géérale, o demade que l augmetatio de température aompagat ue eursio de puissae se traduise par ue dimiutio du ombre de eutros produits par eutro absorbé, de sorte qu o e perde pas le otrôle de la réatio e haîe de fissio. E termes plus tehiques, le oeffiiet istataé de réativité pour l effet Doppler doit être égatif. Das les appliatios liées à la protetio, les miima présetés par les setios effiaes de diffusio et do égalemet par les setios effiaes totales (sommes de toutes les setios effiaes partielles de diffusio, apture, fissio, et.) doet lieu, pour les eutros, à des «feêtres» e éergies dagereuses. Das les modèles de réateurs à fusio, tels qu ITER (Iteratioal Thermoulear Eperimetal Reator), eore das les plahes à dessis, u blidage e fer est prévu pour les bobies supraodutries de l aimat. Les feêtres das la setio effiae des omposates priipales du fer limitet de maière sigifiative l effiaité du blidage. (voir figure 0 pour 56 Fe). Ces eemples devraiet suffire à illustrer l importae des résoaes des setios effiaes e physique et tehiques uléaires. Les résoaes résolues sot dérites de la maière la plus pratique par la théorie de la matrie-r. Elle atteigit sa forme stadard ave l artile de revue très détaillé de Lae et Thomas (958). Cet artile se doit d être lu par tout spéialiste du domaie. De faço très brève, les priipes de la théorie de la matrie-r sot les suivats. Toutes les ollisios sot osidérées biaires, ue fotio d ode etrate dérivat les deu partiules iidetes, ue fotio d ode sortate dérivat les deu produits de la réatio. Les partiules iidetes peuvet être, par eemple, u eutro et u oyau 35 U, les produits de réatio pourraiet être deu fragmets de fissio ou u oyau 36 U eité et u photo ou eore u oyau 35 U das so état fodametal et u eutro diffusé élastiquemet. Puisque les fores uléaires sot de ourtes portées mais e sot pas très bie omprises, o divise l espae des ofiguratios e (i) ue régio etere où les fores uléaires sot égligeables, si bie que les fotios d ode bie oues pour des partiules libres, ou iteragissat tout au plus életromagétiquemet, peuvet être utilisées ; et (ii) ue régio itere, 60

où les fores uléaires prédomiet. Même si la fotio d ode itere est ioue, elle peut au mois être érite omme u développemet des fotios propres d u problème au valeurs propres. Le problème au valeurs propres est aratérisé par l équatio (o relativiste) de Shrödiger qui défiit les dérivées logarithmiques des fotios propres à la limite etre les deu régios. E assurat la otiuité des fotios d ode eteres et iteres à la limite, et e demadat des probabilités fiies das tout l espae, o trouve que pour ue fotio d ode etrate doée, toutes les fotios d ode sortates, et do toutes les setios effiaes, sot paramétrisées par les fotios propres et valeurs propres iterveat das le problème. Celles-i peuvet être idetifiées ave les éergies et les amplitudes de déroissae des états quasi-statioaires du système omposé. Tout ei va être disuté e détail i-dessous. Alors que les priipes de la théorie des résoaes sot assez simples, les epressios géérales peuvet apparaître impressioates au débutats. Nous e pouvos pas e doer tous les développemets (eu-i peuvet être trouvés das l artile de revue de Lae et thomas 958) et la théorie fodametale des ollisios e méaique quatique sera supposée oue, mais ous allos essayer de préseter le formalisme de maière suffisammet détaillée pour les appliatios e siees et tehologie. Les variates importates d u poit de vue pratique sot Le formalisme de Blatt-Biedehar. L approimatio de Breit et Wiger simple iveau (SLBW). L approimatio de Breit et Wiger multi-iveau (MLBW). L approimatio (multi-iveau) d Adler-Adler. L approimatio (multi-iveau) de Reih-Moore. La première est assez géérale. Elle motre ommet les setios effiaes peuvet être eprimées e fotio de la matrie de ollisio symétrique uitaire (matrie-s) ave u aet partiulier sur les distributios agulaires et le spi des partiules. Elle peut être ombiée ave importe quelle des quatre autres qui imposet différetes approimatios à la matrie de ollisio. 6

Figure 9. E haut : setio effiae de apture de 38 U e dessous de 00 ev, élargie par effet Doppler à 300 K. Au milieu : setio effiae de diffusio de 38 U, égalemet élargie à 300 K. E bas : Spetre eutroique das u réateur à eau pressurisé de poite (C. Broeders, FZK, ommuiatio privée). L ae des ordoées est e éhelle logarithmique. Les éergies sot doées das le référetiel du laboratoire 6

Figure 0. Setio effiae totale epérimetale de 56 Fe+ etre 305 et 600 kev (e bars) et austemet théorique des résoaes (lige otiue, à peie visible) ave le formalisme de Reih-Moore à ue voie. Les larges pis asymétriques sot des résoaes d ode s, les étroits pis symétriques sot des résoaes d ode p ou d. Les doées ot été obteues das ue mesure de trasmissio par temps de vol ave ue base de vol de 0.6 m, auprès d ORELA, l aélérateur liéaire d életro d Oak Ridge (d après Perey et al. 990) 63

3. Le formalisme de Blatt-Biedehar Notre otatio das ette sous-partie et les suivates sera fodametalemet la même que elle de Lae et Thomas (958). Nous rappelos que, das la théorie des réatios uléaires, o parle de voies de réatios. Chaque voie est omplètemet détermiée par α, la divisio du système omposé e parteaires de la réatio, par eemple 35 U + ou 36 U + γ (das les deu as, est le même oyau omposé). J, le momet agulaire total e uité h. l, le momet agulaire orbital e uité h. s, le spi de la voie e uité h. Les momets agulaires satisfot les relatios triagulaires de méaique quatique r r r J l + s est à dire l s J l + s, (39) r r r s I + i est à dire I i s I + i, (40) où I r et i r sot les spis (e uité h ) des deu parteaires de la ollisio. L éergie totale, le momet agulaire total et (das tous les as pratiques) la parité sot oservés das les réatios uléaires. Nous rappelos à ouveau que, pour des partiules eutres et de spi ul, il est possible de résoudre l équatio o relativiste de Shrödiger pour la oditio au limites «ode etrate statioaire plae + ode sortate statioaire sphérique» ave omme résultat Ω π d d αα D α ( l + )( U l ) P ( os ϑ) (4) l l 4π 0 pour la setio effiae différetielle de diffusio élastique. La logueur d ode de de Broglie π D α h /( µ α v rel ) orrespod au mouvemet relatif des parteaires de la ollisio, ave la masse réduite µ α et la vitesse relative v rel. Les fotios propres P l du momet agulaire sot des polyômes de Legedre d ordre l. Les termes das la somme ave l 0,,... sot dits apparteir au odes s, p, d, f,, ue omelature historique veat de la spetrosopie atomique (où elle se réfère à e qu o appelle séries spetrales «sharp», «priipal», «diffuse», «fudametal»). La fotio de ollisio U dérit la modifiatio de la l -ème ode partielle sortate par rapport au as l où il y a pas d iteratio. Sa valeur absolue doe l attéuatio e amplitude, so argumet le P P ll 00, L P ll 00, L0 est u oeffiiet de déphasage ameé par la réatio. Ave ( ) l l L où ( ) 0 Clebsh-Gorda s aulat à mois que l l l + l L et ( ) l + l ( ) L, o peut érire la setio effiae différetielle sous forme de développemet liéaire e polyômes de Legedre, ( os ϑ) dω d αα D BL PL (4) L 0 64

ave les oeffiiets B L * ( l + )( l + )( ll 00, L0) ( U )( U ). (43) l l 4 l, l Blatt et Biedehar (95) meèret à bie la gééralisatio pour des partiules de spi o ul et pour des ollisios ameat u hagemet (u réarragemet) de la ompositio du système. Das le as où il y a pas d iteratio oulombiee, ils obtiret d αα ave les oeffiiets D ( i + )( I + ) s, s L 0 B L ( αs, αs ) P ( os ϑ) L dω, (44) B L ( αs, αs ) ( ) 4 ( l J l J, sl) Z ( l J l J, s L) J * J ( δ δ δ U ) ( δ δ δ U ), αα s s ll J, J,, l l l l ss l Z α s, α s l αα l l ss α l s, α s l (45) Z ( l J l J, sl) ( l + )( l + )( J + )( J + ) ( l l 00, L0) W ( l J l J, sl), où W ( J J, sl) (46) l l est u oeffiiet de Raah, voir par eemple Fao et Raah (959) ou de Shalit et Talmi (963). Notre ovetio de phase est elle de Lae et Thomas (958) ; ue ovetio légèremet différete est adoptée das les tables de Z de Biedehar (953). Les oeffiiets Z sot uls à mois que les relatios triagulaires de méaique quatique pour la somme des veteurs r l r l r r + L l r l (47) l + i r r r r + s J l + s (i,) (48) i i l l e soiet vérifiées. La oservatio de la parité eige que ( ) Π α Π i ( ) Π α où Π, Π α α sot les parités propres des partiules etrates et sortates (positives pour les eutros, protos, partiules α et photos) et Π i est la parité du système omposé ave le momet orbital total J i (i,). S il y a ue iteratio oulombiee etre les parteaires de la ollisio, des termes additioels doivet être itroduits, voir Lae et thomas (958). Itégros l équatio (44) sur les agles. Tous les termes ave L<0 disparaisset du fait de l orthogoalité des P L et ar J + s ( l J l J, s0) ( ) J + δ J δ J ll Z, (49) (voir de-shalit et Talmi 963) et o obtiet 65

d J αα π α g J δ α, α δ, δ s, s U l l αls, α l s J l, l s, s D, (50) où e qu o appelle les fateurs statistiques de spi J + g J, (5) ( i + )( I + ) sot les poids pour les différets momets agulaires totau possibles. Nous e pouvos pas aller das le détail des distributios agulaires, mais ous metioos qu elles présetet des iterférees etre les différetes odes partielles, par eemple odes s et p, alors qu il y e a pas etre les setios effiaes itégrées sur les agles. Ces derières sot de simples sommes sur les termes ayat des l et s doés, sas termes roisés, voir équatio (50). Néamois, il eiste ue ertaie oeio etre les différetes odes partielles. Comme ous l avos déà metioé, le oyau omposé et ses états quasi-statioaires sot aratérisés, outre par l éergie, par le momet agulaire total, J, et la parité, Π. Le Tableau motre, pour ue ible de spi et de parité positive doés, les ombiaisos possibles de l, s et J pour des partiules iidetes de spi i ½. Certaies ombiaisos JΠ peuvet être formées au travers de plus d ue voie si l >0 et I >0. Si IΠ 0 ½+, par eemple, des résoaes ave JΠ - peuvet être eitées par deu odes p ave s 0 et s et les iveau + peuvet être eités par des odes d ave s 0 et s. Les largeurs eutroiques (qui doet la fore de l eitatio, voir plus loi) pour les iveau - et + sot do les sommes de deu largeurs partielles pour deu voies de spi. Pour IΠ 0 +, les iveau ½+ peuvet même être eités par des odes partielles de l différet, ue ode s ave s ½ et ue ode d ave s 3/, tadis que les iveau 3/+ sot eitables par trois odes partielles, ue ode s ave s 3/ et deu odes d ave s ½ et s 3/, et aisi de suite. Tableau. Combiaisos possibles du spi I de la ible, du momet agulaire orbital l et du spi de la voie s doat le spi total J, la parité Π et le fateur statistique de spi g, pour ue ible de parité Π 0 positive et u proetile de spi i ½ IΠ 0 l s JΠ g Σg ode 0+ 0 / /- s / /-, 3/-, 3 p / 3/+, 5/+, 3 5 d /+ 0 + 0 0 0 0 / 3/ / 3/ / 3/ et. 0+ + - 0-, -, -, + +, +, 3+ et. /+ 3/+ /-, 3/- /-, 3/-, 5/- 3/+, 5/+ /+, 3/+, 5/+, 7/+ et. /4 3/4 3/4 /4, 3/4, 5/4 5/4 3/4, 5/4, 7/4 /3 /3 /3, /3 /3, /3, 3/3 /3, 3/3 /3, /3, 3/3, 4/3 3 5 3 5 s p d s p d 66

Aisi, ous trouvos que haque état quasi-statioaire du oyau omposé se révèle e tat que résoae das toutes les voies ouvertes qui e sot pas elues par les règles de séletio de spi et de parité. Les itesités (les aires des pis) peuvet différer, mais la largeur de la résoae doit être la même das toutes es voies, état proportioelle à l iverse du temps de demi-vie de l état du oyau omposé. Das e otete, il peut être alors ompris que les termes ourammet employés de résoae d ode s ou p sigifiet que le iveau peut au mois être eité par des odes s ou p, mais aussi, évetuellemet, par des odes partielles de même parité d ordre plus élevé. Pour doer u eemple : les résoaes d ode s 3/+ observées das des réatios uléaires ave des oyau ibles ayat IΠ 0 + otieet égalemet ue omposate d ode d. Il est vrai qu au basses éergies iidetes, la omposate d ode s est beauoup plus grade du fait de la plus grade barrière etrifuge pour les eutros d ode d (voir plus loi) mais il faut predre osiee que ertaies séquees de résoaes d, f, sot masquées par des séquees s, p,. C est u poit importat, par eemple pour l iterprétatio statistique des desités de iveau observées ou pour la simulatio des effets de résoae das le domaie des résoaes o résolues ave des «mailles» de résoaes obteues e éhatilloat par Mote Carlo (voir la partie 4, i-dessous). 3. Les epressios eates de la matrie-r La setio effiae itégrée sur les agles αα, équatio (50), peut être érite e tat que somme des setios effiaes partielles,, obteue par sommatio sur toutes les voies d etrée { αjls} et de sortie { α Jl s } qui mèet de la répartitio α à la répartitio α. Das ue otatio légèremet simplifiée, es derières s érivet π g δ U D. (5) Notos que, pour, la setio effiae partielle est proportioelle à la probabilité, au ses de la méaique quatique, U d ue trasitio de la voie à la voie, et à la probabilité g d avoir le momet agulaire orret à partir des spis des parteaires de la ollisio. Le symbole de Kroeker δ iterviet puisque les partiules etrates et sortates e peuvet être distiguées si. Le fateur iématique π D permet de relier probabilités et setios effiaes. La matrie de ollisio U, souvet appelée matrie de diffusio ou matrie-s, est symétrique ar, pour tous les as pratiques, ous pouvos osidérer les iteratios uléaires (et oulombiees) omme ivariate par rapport à l iversio du temps. De plus, U est uitaire puisque le umul des probabilités des trasitios das les différetes voies est égal à u, U. De l uitarité de U et de l équatio (5), il s esuit que la setio effiae totale pour la voie d etrée est ue fotio liéaire de U, π g ( ReU ) D, (53) otrairemet au setios effiaes partielles qui dépedet de maière quadratique de U. Les epressios obteues sot do les plus simples pour la setio effiae totale, et les plus ompliquées pour la setio effiae de diffusio élastique (à ause du symbole de Kroeker). Il est par oséquet plus ommode de aluler omme ue différee etre et des autres setios 67

effiaes partielles plutôt que diretemet à partir de l équatio (5). La relatio de réiproité etre les setios effiaes pour ue réatio et la réatio iverse,, (54) g D g D déoule diretemet de la symétrie de U. Ces équatios sot assez géérales. Afi d itroduire les résoaes, ous faisos appel à la théorie de la matrie-r qui ous permet d eprimer U e fotio de la matrie des voies R (voir Lae et Thomas 958, Ly 968), U e e i( ϕ +ϕ ) / * P {[ - R( L - B) ] [ - R( L - B) ]} i( ϕ ) +ϕ ip / 0 δ + ( - RL ) R P / [ ] { }, P / (55) R γ γ, (56) E E A, L ( L B ) δ ( S + ip B ) δ L B. (57) 0 Ue autre possibilité est d eprimer la matrie de ollisio e fotio de la matrie des iveau U i( ϕ ϕ ) / / e δ + Γ Γ i Aµ µ, (58) / γ, µ Γ P, (59) 0 ( ) ( E E) δ µ γ L γ µ A. (60) µ Remarque : Les idies e Roma revoiet au voies de réatio, les idies Gre au iveau du oyau omposé et est la matrie uité. Trois groupes de quatités physiques apparaisset das es équatios : D abord, il y a les paramètres de résoae, est à dire les éergies formelles des iveau E et les amplitudes de probabilité γ pour la déroissae (ou formatio) des états du oyau omposé via les voies de sortie (ou d etrée), toutes parfaitemet iluses das la matrie-r (56), haque iveau otribuat à u terme de la somme (ue hyperbole e fotio de l éergie E). Les γ (dt : appelées aussi amplitudes de voies) peuvet être positives ou égatives, de maière pratiquemet aléatoires sauf à proimité de l état fodametal. Les formules des setios effiaes sot d ordiaire érite e fotio des largeurs partielles Γ et des largeurs totales Γ Σ Γ plutôt que des amplitudes de déroissae. 68

Le deuième groupe, les déphasages de sphère dure ϕ et les dérivées logarithmique L, déped uiquemet des fotios d ode radiales etrates et sortates (oues) I et O au rayo de la voie a, ( a ) Im O ( a ) ( a ) ϕ arg O ar ta, (6) Re O L a O O ( a ) ( a ) r l O r r a. (6) Les S Re L sot appelés fateurs de déalage pour des raisos qui deviedrot laires par la suite, les P Im L sot les péétrabilités de la barrière etrifuge. Les quatités B et a formet le troisième groupe. Elles défiisset le problème au valeurs propres ave les valeurs propres E. Leur hoi est priipalemet ue affaire de ommodité. Les B sot les dérivées logarithmiques des fotios propres radiales pour les rayos des voies a. Ces rayos défiisset la limite etre la régio itere et etere. Ils doivet être hoisis suffisammet grads pour que l iteratio uléaire puisse être parfaitemet égligée si la distae r etre les parteaires de la réatio est supérieure à a, autremet ils sot arbitraires. Il est préférable de hoisir a uste légèremet supérieur au rayo du oyau omposé (voir Ly 968). U hoi raisoable pour les voies eutroiques est a (.3A /3 +0.80) fm, où A est le ombre de uléos das le oyau ible. Nous metioos ii que, das les appliatios, toutes les éergies et largeurs des résoaes sot doées das le référetiel du laboratoire, omme par eemple das la ompilatio de paramètres de résoae largemet utilisée de Mughabghab et al. (98, 984) ou sous le om de «bar book» (NdT : ou BNL-35), ou das elle de Sukhoruhki et al. (998), ou eore das les fihiers iformatiques d évaluatio de doées uléaires. Pour des proetiles eutres, les fotios d ode radiales sortates sot proportioelles au () fotios sphériques de Hakel de première espèe, h, où k O L ( ) () l ik r ( k r ) i e si k r >> l( + ) * I ikr h l l l, (63) / D. Les propriétés des fotios de Hakel doet les relatios réursives 0 ik a ip 0, k a L l l L ( k a ) l ϕ 0, ϕ ϕ + ( ) arg l l, (64) l l l L, (65) ave lesquelles le tableau 3 est ostruit. Notos que S 0 pour l 0, et que S l pour k a 0 (au basses éergies). Par oséquet, B l est u bo hoi pour le domaie des résoaes résolues : assez gééralemet, ela simplifie toutes les epressio de la matrie-r et, e partiulier, élimie de maière rigoureuse les fateurs de déalage pour les odes s aisi que, omme ous le verros plus loi, de maière approimative pour les odes partielles d ordre supérieur. Cela sigifie que les pis de setio effiae apparaisset au éergies formelles de résoae E omme elles le devraiet, au lieu d être déalés. S et P pour les voies photo et fissio sot habituellemet osidérés ostats. 69

Tableau 3. Fotios d ode de voie et quatités assoiées pour des proetiles eutres ρ k r, α k a ) l ( O ϕ iρ e α 0 α ρ α ar ta α 3 α e i i ρ α + α + 3 ρ 3 3i 3α 5 e i α ar ta 3( α + 6) α ρ ρ 3 α 4 α + 3α + 9 α 4 + 3α + 9 Les paramètres de résoae fodametau, E, γ, dépedet d iteratios uléaires ioues. Ils e peuvet de e fait être alulés à partir des priipes de base (eepté pour des modèles simples omme u puits de potetiel arré, voir plus loi.) Das les appliatios ourates de la théorie de la matrie-r, e sot uiquemet des paramètres austables sur les doées epérimetales. E fotio du hoi de B, ils peuvet être réels et ostats tout omme omplees et dépedats de l éergie. Das la versio de Wiger-Eisebud de la théorie de la matrie-r, les paramètres B hoisis sot des ostates réelles (Wiger et Eisebud 947). Les paramètres de résoae E et γ sot do égalemet réels et ostats, et la dépedae e éergie de la matrie U est seulemet due au ϕ et L, toutes des fotios oues de k a, est à dire de l éergie. Cei fait de la versio de Wiger-Eisebud le formalisme le plus pratique pour la plupart des appliatios, et partiulièremet e hoisissat B l. Il est faile de vérifier que la matrie-r réelle doe ue matrie de ollisio uitaire, e qui sigifie que la somme des setios effiaes partielles, équatio (5), est stritemet égale à la setio effiae totale orrete, équatio (53). U problème réside epedat das la éessité d iverser la matrie des voies -RL 0 de l équatio (55), ou la matrie iverse des iveau A - de l équatio (60). Ces deu matries ot u rag très élevé. De maière pratique, la diffiulté est otourée par diverses approimatios sur la matrie iverse des iveau, omme ous le verros plus loi. La versio de Kapur-Peierls de la théorie de la matrie-r est obteue e effetuat le hoi B L, est à dire L 0 0 (Kapur et Peierls 938). Cei elève omplètemet la éessité d iverser les matries, mais mèe à des paramètres de résoae omplees qui dépedet impliitemet de l éergie d ue maière plutôt obsure du fait que la vraie solutio du problème au valeurs propres varie maiteat ave l éergie, et do égalemet les valeurs propres et l esemble des fotios propres. De plus, la matrie de ollisio est pas maifestemet uitaire ar la matrie-r est omplee. Malgré es hadiaps, les formules du type Kapur-Peierls sot utiles das des petits itervalles d éergie, e partiulier pour la desriptio de l effet Doppler. Nous allos érire les paramètres omplees et dépedats de l éergie de Kapur-Peierls sous la forme ε, g afi de les distiguer des paramètres réels et ostats de Wiger-Eisebud E, γ. Aisi S P U i( ϕ +ϕ ) e δ + i, (66) G / ε G / E 70

G g P. (67) / Notos que la forme de Kapur-Peierls de la matrie de ollisio (et do des epressios orrespodates de la setio effiae totale) implique qu ue simple somme sur les iveau alors que l epressio (58) de Wiger-Eisebud implique ue double somme. Les équatios de la matrie-r passées e revue usqu ii représetet pratiquemet tout e qui est éessaire pour les appliatios utilisat la théorie des résoaes. Elles doivet epedat être pleiemet omprise et l epériee motre que e est pas hose aisée pour u débutat. Il pourrait par oséquet souhaiter voir ue illustratio simple qui motre les étapes essetielles das le développemet de la théorie et présete la sigifiatio des différetes quatités sas les ompliatios de l algèbre de spi et des otatios matriielles. Ue telle illustratio est doée par le modèle optique sphérique, partiulièremet ave u puit de potetiel arré omplee, pour lequel tout peut être alulé epliitemet (voir Fröher 996), les résultats état de première utilité pour le domaie des résoaes o résolues. 3.3 Les approimatios importates d u poit de vue pratique U poit de départ ommode pour les versios pratiques de la théorie de la matrie-r est la matrie iverse des iveau. Nous allos osidérer les représetatios et approimatios suivates. Représetatio de Wiger-Eisebud (eate) Ave B réel et ostat : 0 ( A ) ( E E) δ µ γ L γ µ µ (68) (valeurs propres E et amplitudes de déroissae γ réelles et ostates, dépedae e éergie de L oue) 0 Représetatio de Kapur-Peierls (eate) Ave B L : ( A ) µ ( ε E) δ µ (69) (valeurs propres ε et amplitudes de déroissae g omplees, dépedaes e éergie impliites, obsures) 7

Approimatio de Breit et Wiger simple iveau (SLBW) U seul iveau reteu, tous les autres sot égligés : 0 ( A ) µ E0 E Lγ E0 + E iγ/ (70) (déalage de iveau et largeur totale Γ Σ Γ réels, dépedaes e éergie epliites, bie oues) Approimatio de Breit et Wiger multiiveau (MLBW) Les élémets o diagoau de A - sot égligés : 0 ( A ) E E L γ δ µ ( E + E iγ / ) δ µ µ (7) (déalage de iveau et largeur totale Γ Σ Γ réels, dépedaes e éergie epliite, bie oues) Approimatio de Reih-Moore Les otributios o diagoales des voies photos, γ, sot égligées : ( A ) µ ( + γ E i Γ / γ ) δ µ E γ L 0 γ γ µ (7) (déalage de iveau réel des voies photo usuellemet itégrées das la valeur réelle et ostate de E, largeur radiative Γ Γ réelle osidérée habituellemet ostate ; autres dépedaes e éergie epliites). γ γ Approimatio de Adler-Adler La dépedae e éergie de 0 L est égligée : 0 0 ( A ) ( E E) δ γ L ( E ) L ( E ) µ µ µ γ µ (73) Parmi es approimatios, elle de Reih-Moore est la plus préise et SLBW la mois. Ave u hoi udiieu des oditios limites des paramètres, les fateurs de déalage s aulet au mois loalemet. Au basses éergies, ei est réalisé pour des voies eutro ave B l (voir tableau 3) omme spéifié plus haut. Le tableau 3 motre égalemet que les péétrabilités de la barrière etrifuge P P pour les eutros, et do pour toutes les largeurs eutroiques, l 7

Γ P ( E) l ( { αj s} ) ( E) P ( E) γ Γ ( E ) l P l ( E ) l, (74) otieet au mois u fateur E. Les fateurs additioels das les péétrabilités p, d, se omportet au basses éergies e E, E, Il e déoule que les iveau d ode s domiet à basse éergie alors que les iveau d ode p apparaisset seulemet à plus haute éergie, les iveau d ode d à eore plus haute éergie, et. Les valeurs absolues das la défiitio ovetioelle des largeurs eutroiques (70) redet elle-i appliable o seulemet ave les états du oyau omposé dot E >0, mais aussi ave les états sous le seuil (états liés, «égatifs») dot E <0 alors que, à stritemet parler, les péétrabilités P l ( E) de la barrière etrifuge et do les largeurs s aulet sous le seuil de la réatio (E<0). Les largeurs eutroiques doées das les tables et les fihiers iformatiques doivet être omprises omme état Γ ( E ). Ue autre ovetio oere le sige des amplitudes de largeur. Il est importat das les as à plusieurs voies mais ette iformatio est perdue lorsque les largeurs sot alulées. C est pourquoi il est outumier de tabuler les largeurs partielles ave le sige (relatif à l amplitude de largeur eutroique) de l amplitude de la largeur orrespodate. D u poit de vue gééral, il serait plus approprié (et mois ofus) de tabuler les amplitudes de largeur plutôt que les largeurs partielles o seulemet elles e dépedet pas de l éergie, mais eore elles e s aulet pas e dessous du seuil, et efi le sige e doit pas être epliqué mais il est trop tard pour hager des habitudes fortemet arées. Les déalages et péétrabilités pour les voies photo et fissio peuvet d ordiaire être osidérés ostats. Par oséquet, es déalages disparaisset si ous hoisissos B S, et les largeurs de fissio et radiatives e dépedet pas de l éergie. Regardos maiteat les epressios des setios effiaes proveat des différetes représetatios et approimatios. 3.3. Epressios de Kapur-Peierls pour les setios effiaes Pour atiiper l étude de l élargissemet Doppler, ous érivos la matrie de ollisio de Kapur-Peierls (66) sous la forme U / / ( ϕ +ϕ ) G G ( ) i e δ ψ + iχ, (75) G / où les profils de résoae symétriques et asymétriques ou fotios de forme ψ et χ sot défiis par ~ ig / G / 4 ( E E ) G / ψ + iχ ~ + i ~, (76) E ε E E + G / 4 E E + G / ( ) ( ) 4 les éergies réelles de Kapur-Peierls E ~ des résoaes et les largeurs G par ~ ε E ig /. (77) 73

Le profil de résoae symétrique est essetiellemet (si o églige les faibles dépedaes e éergie de ε et de G ) ue Loretziee, et le profil asymétrique est sa dérivée e éergie. Les epressios des setios effiaes e résultat sot iϕ G 4πD g si ϕ + Re e, (78) G ( ψ + iχ ) * ( ) ( ψ + iχ ) / / G G δ 4πD gre W ε, (79) G ( ε ) δ + i / / Gµ Gµ W. (80) µ ε µ ε Les profils de résoae otieet les variatios rapides ave l éergie, liées au résoaes, qui sot sesibles à l élargissemet Doppler, alors que les autres quatités variet letemet ave l éergie. Nous isistos sur le fait que le formalisme de Kapur-Peierls est formellemet eat bie que les faibles dépedaes des paramètres de Kapur-Peierls ave l éergie e soiet pas oues epliitemet. 3.3. Epressios des setios effiaes das le adre de SLWB La matrie de ollisio pour u seul iveau, / / i iγ Γ U e δ + E0 + E iγ / est uitaire. Les epressios des setios effiaes e déoulat sot ( ϕ +ϕ ), (8) Γ ( ψ ϕ + χ ϕ ) 4πD g si ϕ + os si, (8) Γ ΓΓ 4πD g ψ, ( ), (83) Γ ave les profils de résoae doés par, (84) ( E E ) ( E E0 ) Γ / ( E E ) + Γ 4 iγ / Γ / 4 ψ + iχ + i E E0 + iγ / + Γ / 4 / 0 0. (85) La forme primordiale de la résoae, das les différetes setios effiaes partielles telles que, est priipalemet symétrique, alors que elle des setios effiaes totales et de diffusio est 74

la somme de trois termes : la setio effiae pratiquemet ostate de diffusio potetielle, u terme résoat symétrique et u terme asymétrique veat de l iterféree etre la diffusio potetielle (sphère dure) et résoate. Il est faile de déduire des équatios (8) et (85) que la valeur du pi de la setio effiae totale, Γa ( E+ ) 4πD g os ϕ, (86) Γ est atteite à l éergie Γ E+ E + ta ϕ tadis que la valeur miimale das le reu d iterféree est 0, (87) Γa Γa ( E ) 4πD g si ϕ p,, (88) Γ Γ pour l éergie Γ E E0 ot ϕ, (89) où Γ a Γ Γ est la largeur d absorptio et p, la setio effiae de diffusio potetielle pour la voie d etrée. Ces derières epressios sot valables si les letes dépedaes e éergie de D, ϕ, Γ et Γ sot égligeables. Pour ue diffusio élastique pure (Γ a 0), la valeur miimale de la setio effiae est zéro, la valeur au pi est égale à la limite uitaire 4π D g (par rapport à l équatio 53). Le fateur de spi, est-à-dire le spi J des iveau, peut do souvet être obteu e mesurat uste la hauteur de la résoae. Cela marhe le mieu pour les oyau légers ou des matériau de struture tels que 56 Fe et d autres isotopes du fer, du ikel, et du hrome qui sot presque des diffuseurs purs, et pour de larges résoaes «isolées» qui sot virtuellemet isesibles à l élargissemet Doppler, au iterférees multiiveau et observables ave ue boe résolutio epérimetale. La profodeur du miimum dû à l iterféree, qui est le poit le plus importat pour les aluls de protetio, est essetiellemet doé par le rapport Γ a /Γ multiplié par la setio effiae de diffusio potetielle. Au basses éergies, les réatios d ode s domiet, la setio effiae de diffusio potetielle est pratiquemet ostate alors que les setios effiaes de apture et de fissio ot u omportemet e /v. Ce omportemet à basse éergie est vrai de maière assez géérale et pas uiquemet das l approimatio SLBW. Du fait de la lete variatio des sius et osius e fotio de l éergie, les résoaes de la setio effiae totale e se ressemblet pas quelle que soit l éergie : à basse éergie, elles ot la forme représetée sur la figure, ave le miimum («feêtre») dû au terme d iterféree du ôté des basses éergies des résoaes. Cette forme est aratéristique du domaie résolu. À plus haute éergie, le terme symétrique deviet de mois e mois importat usqu à e que le terme asymétrique domie. À des éergies eore supérieures, lorsque ϕ π, les résoaes apparaisset omme des reu plutôt que omme des pis (u eemple bie ou est elui de la résoae de 6 O+ à.35 MeV) et évetuellemet les feêtres dues à l iterféree réapparaisset du ôté des hautes éergies des résoaes. 75

Figure E pratique, o doit epedat dérire les setios effiaes par de ombreuses résoaes. O peut simplemet additioer les termes résoats SLBW (et additioer la diffusio potetielle pour et ). C est la défiitio SLBW du format ENDF (f. Rose et Duford 990) qui est utilisée au iveau modial pour les librairies, à but appliatif et osultable iformatiquemet, de doées eutroiques évaluées. Puisque e priipe ad ho est pas issu d ue matrie de ollisio uitaire, la otraite uitaire 0 < < 4πD g est pas garatie. E fait, ette approimatio SLBW «à plusieurs iveau» est réputée pour l apparitio de setios effiaes totale et de diffusio égatives, ayat auu ses physique. La raiso est simple à ompredre : à basse éergie, les otributios égatives e peuvet veir que des profils asymétriques des résoaes d éergie supérieure. E moyee, elles sot ompesées par les otributios des résoaes d éergie iférieure, mais si les résoaes d éergie supérieure sot ihabituellemet grades ou elles d éergie iférieure ihabituellemet faibles, les setios effiaes de diffusio peuvet deveir égatives das les miima proveat de l iterféree. L effet opposé est mois otable mais tout aussi mauvais : les pis de setio effiae das l approimatio SLBW peuvet dépasser la limite uitaire si les résoaes au dessus sot faibles ou elles e dessous sot fortes. 3.3.3 Epressios des setios effiaes das le adre de MLWB L approimatio MLWB est meilleure que l approimatio SLBW à plusieurs iveau. La matrie de ollisio issue de l équatio (7), 76

/ / i( ϕ ) Γ Γ +ϕ U e δ + i, (90) E + E iγ / implique ue simple somme sur les résoaes à l istar de la matrie de ollisio de Kapur-Peierls. Il e déoule que ous pouvos predre les epressios de Kapur-Peierls e effetuat les / remplaemets E E +, G Γ Γ, G Γ /, d où Γ 4πD g si ϕ + ( ψ os ϕ + χ si ϕ ), (9) Γ * ( ) ( ψ + iχ ) / / Γ Γ δ 4πD g Re W ε, (9) Γ ( ) / / Γµ Γµ W ε δ + i. (93) µ E E i / µ ( Γ + Γ ) µ Puisque les setios effiaes partielles (9) sot issues de la matrie de ollisio sous forme de arrés absolus (voir équatio 5), elles sot garaties d être positives, et e sot à ouveau des fotios liéaires des profils de lige ψ et χ défiis eatemet omme das le as du SLBW, d après l équatio (85). Nous reoaissos esuite que, équatio (9), est autre que l approimatio SLBW «à plusieurs iveau». Comme la matrie de ollisio du MLWB est pas uitaire, est toutefois pas la somme des setios effiaes partielles, d après l équatio (9). L approimatio MLWB, telle que défiie das le format ENDF (f. Rose et Duford 990) est même plus grossière, est e fait u hybride SLBW/MLBW : seule la diffusio élastique est réellemet alulée das l approimatio MLBW. Toutes les autres setios effiaes partielles sot alulées das l approimatio SLBW (à plusieurs iveau), et la setio effiae totale omme somme de toutes les partielles. Cela évite que les setios effiaes devieet égatives mais elut ullemet des pis de setios effiaes sas sigifiatio physique i des miima, dus au iterférees, mal dérits pour des iveau se reouvrat fortemet. Pour des oyau légers et itermédiaires et pour les atiides fissiles, l approimatio MLBW est de e fait souvet iadéquate, alors qu elle marhe assez bie pour des oyau omposés ave des iveau largemet espaés et très étroits tels que 3 Th+ ou 38 U+. Notos que le alul des setios effiaes das le adre de MLBW, d après les équatios (9) et (93), implique des doubles sommes sur les iveau. Même ave les ordiateurs moderes, ela peut predre du temps si des etaies de iveau doivet être osidérés, e qui est pas si rare ave les fihiers d évaluatio moderes. Il est do préférable de aluler les setios effiaes partielles diretemet à partir de la matrie de ollisio ( est-à-dire des équatios (5) et (90)) qui implique qu ue seule sommatio sur les iveau. Toutefois, pour l élargissemet Doppler, la représetatio (9), (93) e fotio des profils de forme a des avatages aisi que ous le verros plus loi. 77

3.3.4 Epressios de Reih-Moore des setios effiaes Très souvet, u grad ombre de voies photo otribue à la somme L 0 γ γ µ iterveat das la matrie iverse des iveau A -, f. équatio (60). Tadis que leurs otributios s additioet toutes ave le même sige das les élémets diagoau, elles tedet à s auler das les élémets o diagoau ar si les amplitudes de déroissae ot u sige pratiquemet aléatoire, elles ot des amplitudes omparables. C est pourquoi l erreur est assez faible si l o églige puremet et simplemet les otributios de toutes les voies photo das les élémets o diagoau, omme ela fut idépedammet proposé par Thomas (955) et par Reih et Moore (958). La matrie iverse des iveau aisi obteue, l équatio (7), orrespod évidemmet à u problème au valeurs propres où E est remplaé par E -iγ γ /, ave ue matrie R «réduite» R γ γ, (, γ) E E iγγ /, (94) réduite das le ses où elle est seulemet défiie das u sous-espae de voies sas photo. Les seules traes des voies photos élimiées sot les largeurs radiatives totales, Γ γ, das les déomiateurs. Ue fotio R omplee semblable est reotrée das le traitemet par la matrie-r du modèle optique (voir Fröher 996) qui suggère de osidérer la partie imagiaire des déomiateurs de la matrie-r réduite et la partie imagiaire du potetiel omplee omme des oséquees différetes du même phéomèe : l absorptio das les états du oyau omposé et la déroissae assoiée das les voies elues. De la matrie-r réduite, o obtiet ue matrie de ollisio réduite et, de là, omme d habitude, les setios effiaes pour toutes les voies o photoiques reteues grâe au équatios (5) et (53). La matrie-r réduite est de rag faible, et do l iversio de -RL 0 est aisée. E fait, le plus haut rag employé das l aalyse des résoaes eutroiques est usqu à préset de 3 ( voie élastique, de fissio). Les as de rag impliquet voie élastique plus de fissio ou iélastique. Pour l érasate maorité des doées de résoae eutroique, les seuls proessus autorisés d u poit de vue éergétique sot la diffusio élastique et la apture radiative, pour lesquels des epressios de Reih-Moore à ue voie, ave les fotios-r plutôt que les matries-r, sot suffisates. (L austemet des doées de la setio effiae totale de 56 Fe, ave l approimatio de Reih-Moore à ue voie, représeté sur la Figure 0 e est u eemple.) La setio effiae de apture peut être obteue à partir de γ γ γ 0 [( RL ) ] / / / P P Γ πd g Γ, (95) E E iγ / γ (f. Reih et Moore 958). Nous isistos sur le fait que ette approimatio est eate das la limite de l aulatio des largeurs radiatives (plus gééralemet : l aulatio des largeurs pour les voies élimiées) où elle se réduit au formalisme gééral de Wiger-Eisebud. Elle est égalemet eate pour u seul iveau puisque, das e as, la matrie des iveau A de Reih-Moore se ramèe à la matrie des iveau orrespodate das SLBW. Par ailleurs, s il est égalemet vrai que la matrie de ollisio réduite e peut être uitaire du fait des trasitios etre les voies elues la matrie de ollisio globale peut touours être osidérée uitaire, est-à-dire qu elle oserve le flu des probabilités, si bie que la setio effiae de apture peut égalemet être obteue par la différee 78

γ, (96) γ ave alulée à partir des élémets de la matrie de ollisio réduite U d après l équatio (53). L epériee a motré qu ave ette approimatio toutes les setios effiaes epérimetales das le domaie des résoaes pouvaiet être dérites e détail, das les feêtres aussi bie qu au iveau des pis, y ompris les eemples d iterférees multiples etre les iveau les plus étrages (voir figure 0). Elle marhe tout aussi bie pour les oyau légers, itermédiaires ou lourds, fissiles ou o. O roit souvet que l approimatio de Reih-Moore e peut s appliquer qu au oyau fissiles, mais les voies oservées peuvet réellemet être de tout type-voie élastique, iélastique, de fissio, même des voies photo idividuelles omme elles pour les trasitios vers l état fodametal ou des états métastables spéifiques. De plus, les programmes iformatiques érits pour le formalisme de Reih-Moore peuvet être utilisés pour les aluls de la matrie-r de Wiger-Eisebud o doit simplemet mettre toutes les largeurs radiatives (largeurs de voies élimiées) égale à 0. O pourrait s attedre à e qu ave tous es avatages le formalisme de Reih-Moore soit le plus largemet utilisé, mais e est pas vrai. La raiso priipale est que les setios effiaes de Reih-Moore e peuvet pas s eprimer e tat que somme de profils de résoae de Breit-Wiger, tout au mois pas sas travail de préparatio. C est souvet osidéré omme u désavatage pour les aluls d élargissemet Doppler. Nous verros plus loi, toutefois, que e est pas u problème aussi sérieu que ertais le roiet. Pour les spéialistes de l aalyse des résoaes, la questio de la supériorité de l approimatio de Reih-Moore sur les autres variates simple ou multi-iveau de la théorie de la matrie-r e se pose pas. 3.3.5 Epressios d Adler-Adler des setios effiaes L approimatio (73) pour la matrie A - est ue gééralisatio de l epressio pour les odes s utilisée par Adler-Adler (970), ue gééralisatio qui préserve la symétrie par rapport au idies de iveau et µ. La diagoalisatio de la matrie des iveau A doe ue matrie de ollisio de la forme de Kapur-Peierls, équatios (7) et (73), mais ave des paramètres ε et g qui e dépedet pas de l éergie, otrairemet au authetiques paramètres de Kapur-Peierls. Les epressios des setios effiaes orrespodates sot souvet eprimées o pas e fotio de voies partiulières (,, ), mais pour des types de réatio spéifique ( f, γ,, totale), e se limitat à l 0 : + p E ν ( T ) ( T ) ( G ψ H χ ), (97) ( ) ( ) ( G ψ H χ ), ( γ, f, ) (98) E ν ( ) ( ν E ) ( ) ( ν E ) où p est la setio effiae de diffusio potetielle, G / et H / sot les sommes sur tous les oeffiiets de ψ et χ das les équatios (78) à (80), ave ν Γ / et E proveat de P (E). Les sommes sur se fot sur les iveau sas se souier de la valeur de JΠ, ave ( ) ( ) les fateurs de spi ilus das les oeffiiets G et H. Ces oeffiiets, aisi que les éergies des iveau µ E, les (demi-) largeurs ν et les setios effiaes de diffusio potetielle p 79

(ou u rayo effetif) sot les paramètres de Adler-Adler. E priipe, o pourrait même les défiir pour des mélages isotopiques, e itégrat d ue faço similaire les abodaes das les oeffiiets. L approimatio (73) sigifie priipalemet que la dépedae éergétique des déalages de iveau et des largeurs totales sot égligées das les déomiateurs des résoaes. C est pourquoi, l approimatio de Adler-Adler marhe bie pour les oyau fissiles, pour lesquels Γ Γ + Γ mais pas aussi bie pour les oyau légers ou itermédiaires, pour lesquels γ f ( E) γ Γ Γ. P 3.3.6 Coversio des paramètres de Wiger-Eisebud e paramètres de Kapur-Peierls Les paramètres de Wiger-Eisebud peuvet être overtis e paramètres de Kapur-Peierls de la maière suivate (Fröher 980). La matrie de ollisio doit être ivariate par hagemet des ~ 0 paramètres au limites, par eemple de B l à B. (Nous allos utiliser la otatio tilde L pour les quatités de Kapur-Peierls). L équatio (55) motre que ela implique que (-RL 0 ) - R R ~, e qui, ave les abréviatios K L 0/ RL 0/, doe ~ 0/ ~ 0/ (99) K ( - K) + K L RL ~. (00) Les éergies de Kapur-Peierls des résoaes ε sot les pôles omplees de K ~, est à dire les solutios de [ - ( )] 0 det K ε (0) ar A - C[A]/det(A) pour toute matrie o sigulière A, où ous utilisos la otatio det(a) pour le détermiat et C[A] pour la matrie des ofateurs. Les résidus sot obteus à partir de l équatio ~ 0/ (00). E passat à la limite E ε, o obtiet [ + K( E) ] L 0/ g g L /( E ε ) du ôté droit, alors qu à gauhe o a { C[ - K( ε )]} / det[ - K( ε )], où le développemet de Taylor du détermiat doe det[ - K( E )] ( E ε ) tr{ C[ - K( ε )] K ( ε )}. Les résidus au pôle ε sot do { C[ - K( )]} { C[ - K( )] ( )} 0 0 ( ε ) ( ε ) tr K ε L g g, (0) L où tr réfère à la trae et K est la dérivée de K, ε ε γ γ 0 0 K ( ) 0/ 0/ E L R L L ( E) L ( E). (03) µ µ ( E E) E µ µ Nous savos do aluler les résidus pour des pôles doés, mais ommet trouver les pôles orrespodat à des paramètres de Wiger-Eisebud doés, est-à-dire ommet pouvos ous résoudre l équatio (0) dot la simpliité apparete est trompeuse? Fort heureusemet, ous oaissos déà l approimatio MLBW E + iγ /, voir l équatio (90). Nous ε 80

devos la osidérer omme ue propositio iitiale à améliorer par itératio. Pour trouver u shéma d itératio, ous érivos le détermiat (0) sous la forme ( - K) tr K + F( K) det, (04) où-tr K + F(K) est la somme de det(-k) et de tous es priipau mieurs (voir par eemple Kor et Kor 968), e partiulier F 0 F det(-k) F det(-k) + tr C[-K] pour voie (élastique), pour voies, pour 3 voies. Esuite, ous etrayos le -ème terme de tr K, tr iγ 0 ( ε ) Lγ µ + µ E ε E ε iγ µ µ K, (05) µ µ Eµ εµ qui, ave l aide de l équatio (04) ous permet de réérire l équatio (0) sous la forme ε E + + µ iγ / µ iγµ / + F E µ ε µ ε ( ) / /. (06) Cette équatio est pratique pour l itératio : e isérat l approimatio iitiale MLBW das le membre de droite, o obtiet ue valeur améliorée qui peut être réisérée à droite, et aisi de suite. Après quelques itératios, le résultat deviet stable ave ue préisio raisoable et peut être iséré das l équatio (0) afi de doer les résidus. Ue fois que tous les paramètres de Kapur-Peierls ε et g g sot ous, o peut les isérer das les epressios de Kapur-Peierls des setios effiaes faisat iterveir les profils des résoaes. La oversio des paramètres de Reih-Moore e paramètres de Kapur-Peierls fotioe de la même maière, le seul hagemet état que E µ doit être remplaé partout par E µ iγ µγ /, et Γ µ par Γ µ - Γ µγ. La Figure motre des setios effiaes alulées diretemet à partir des paramètres de Reih-Moore et à partir des paramètres de Kapur-Peierls après oversio. La oversio des Paramètres de Wiger-Eisebud e eu de Adler-Adler par iversio de matrie est possible, ave le ode POLLA, par eemple (de Saussure et Perez 969). 8

Figure. Vérifiatio de la tehique de oversio des paramètres epliquée das la sous-partie 3.3.6 : les setios effiaes de Reih-Moore à 3 voies (roi) sot e aord ave les setios effiaes de Kapur-Peierls alulées à partir des paramètres de résoaes overtis (lige otiue). (D après Fröher 978) 3.4 Niveau eteres La théorie de la matrie-r motre que, das u itervalle d éergie limité, les setios effiaes e dépedet pas seulemet des iveau «iteres» de et itervalle mais égalemet des iveau «eteres» situés avat et après et itervalle. Des problèmes survieet das l austemet des résoaes et le travail de paramétrisatio ar sous le seuil de séparatio du eutro ou du proto (E<0), les iveau du oyau omposé e sot pas observables et par oséquet ious. Au-delà de l itervalle aalysé, les résoaes peuvet eore être observables, mais elles sot de mois e mois bie résolues lorsque l éergie augmete, ar la résolutio epérimetale se détériore tadis que la desité de iveau et la largeur des résoaes augmetet tout ei faisat que la distitio etre des résoaes simple et des multiplets o idetifiés deviet progressivemet plus diffiile voire impossible. Si les iveau eteres sot omis, o e peut auster les doées epérimetales de maière satisfaisate. E partiulier, pour les setios effiaes de diffusio et totales, o observera des effets de bord assez gêats et des problèmes au iveau de la setio effiae de diffusio potetielle etre les résoaes. Différetes méthodes ad ho ot été développées par le passé afi de veir à bout des iveau eteres ious, allat de simulatios à l aide du «modèle de haie» ou de séquees («éhelles») de résoaes fitives éhatilloées par Mote Carlo e répétat périodiquemet les iveau iteres avat et après l itervalle de es iveau. Les parties suivates présetet des méthodes plus fodées, testées ave suès et plus pratiques qui eistet depuis plusieurs déeies mais e sot pas aussi largemet utilisées qu elles le mériteraiet. 8

3.4. Représetatio statistique des iveau eteres Les librairies moderes de doées uléaires évaluées otieet des paramètres pour des etaies de résoaes par isotope. Des ombres aussi grads suggèret de traiter statistiquemet les iveau plus éloigés si ue setio effiae doit être alulée à ue éergie doée. De plus, il y a touours des ombres gigatesques de iveau ious de part et d autre du domaie des résoaes résolues otribuat de maière otable à la matrie-r, e partiulier à proimité des limites de e domaie. Afi d ilure es iveau au mois statistiquemet, ous divisos la matrie-r (de Reih-Moore) pour ue séquee de iveau doée (ue valeur de JΠ) e ue somme sur les iveau ious («éloigés» ou «eteres») et e ue autre sur les iveau ous («loau» ou «iteres»), 0 γ γ R R +, (07) E E iγ / Λ γ et ous remplaços les sommes sur les termes des iveau éloigés par des itégrales, R 0 Σ Λ Σ E E + I / E I / γ γ E iγ de γ D γ γ / E E iγ ( E E) γ + Γ / γ / 4, (08) où E et I sot la valeur etrale et la logueur de l itervalle oteat les iveau loau, /D /D est la desité des iveau de spi J (et de parité doée) qui est éessaire pour l approimatio des sommes par des itégrales et Γ γ est la largeur radiative moyee. E partiulier pour les oyau lourds, la largeur radiative, somme de très ombreuses largeurs radiatives partielles, varie peu d u iveau à l autre, si bie que Γ γ Γγ. Puisque ( E E) >> Γ γ / 4, ous pouvos égliger Γ γ / 4 pour les iveau éloigés das la derière epressio. De plus, ous pouvos égliger les élémets o diagoau de la matrie des moyees γ γ du fait du sige pratiquemet aléatoire des γ. E utilisat la défiitio usuelle de l itesité de pôle s et de sa trasformée de Hilbert, le paramètre des iveau éloigés s γ D, (09) R ( E) C R, + ( E ) s de, (0) E E où C + idique ue itégrale e valeur priipale (de Cauhy), et e égligeat la (faible) variatio de l éergie de es deu quatités das l itervalle itere, ous trouvos ave l approimatio de Reih-Moore R 0 ( E) R + E E I / iγ I / 4 / 4 γ s ar tah + δ I ( E E ). () La fotio ylométrique ou fotio d aire ar tah (/) l[(+)/(-)] (où ar sigifie aire et o ar) est l iverse de la tagete hyperbolique, égalemet érite de faço quelque peu abusive, 83

tah - ou ar tah. La otributio aalogue des iveau éloigés à la matrie-r géérale de Wiger-Eisebud est obteue e mettat simplemet partout Γ γ 0 et Γ γ 0 : 0 E E R ( E) R + sar tah δ I /. () Si l itesité de pôle est pas osidérée ostate das l itervalle itere mais omme variat liéairemet, la seule modifiatio est que s doit être iterprétée omme s ( E ) et qu u terme additioel s ( E )I apparaît, qui peut toutefois être iorporé das R. L epériee a motré qu il est d ordiaire assez aeptable das les austemets de e laisser varier que deu ostates, R et s. L itesité de pôle s est reliée à la fotio desité S, ourammet employée das les études l appliquées des résoaes eutroiques, par ev S k as. (3) l E Cela viet de la défiitio (historique) des largeurs eutroiques réduites omme état les largeurs eutroiques à l éergie de référee arbitraire de E ev. Pour des résoaes d ode s, Γ P E r γ 0 o a ( ) 0 d ode p, d,, de sorte que les largeurs eutroiques réduites pour ue seule voie { Jls} défiies assez gééralemet omme état Γ ( ) P0 E r γ l espaemet moye de iveau D, o obtiet ave P ( Er ) ka ev / E S P0 ( E r ) s r. La même ovetio fut utilisée par la suite égalemet pour les résoaes sot. E moyeat et divisat par 0 la fotio desité qui est le membre de droite de l équatio (3). Le modèle optique suggère, et les epériees le ofirmet, que l o puisse predre s s, do S S l que ous utilisos das le l membre de gauhe. Le paramètre des iveau éloigés R ( E) est essetiellemet la différee etre les otributios à la matrie-r proveat des résoaes d éergie iférieure et supérieure à E. Il est égatif si les iveau d éergie iférieure (y ompris les iveau liés) ot ue fore plus élevées que les iveau d éergie supérieure et positif das le as otraire. Autour de E, l itégrad est pratiquemet ue fotio impaire de E -E, si bie que les otributios des iveau prohes tedet à s auler. Par oséquet, la plupart des iveau éloigés otribuet, d où l appellatio, et les valeurs typiques sot faibles, R <<. Das les études appliquées des résoaes eutroiques, le rayo uléaire effetif, ( R ) R (pour des voies d odes s), (4) a est souvet utilisé à la plae du paramètre des iveau éloigés. La raiso est qu à basse éergie, la setio effiae de diffusio potetielle apparaît modifiée par ue otributio régulière des iveau éloigés ave omme résultat pot ( R ) 4π 4πa R pour k 0. (5) 84

Il fut olu que les phases de sphère dure devaiet être alulées omme des fotios de plutôt que de k a mais ei est fau, e résistat pas à la première utilisatio u tat soit peu rigoureuse et orrompat les formats ENDF. Le rayo effetif est bie défii et appliable que das la as limite des basses éergies et uiquemet pour les odes s. Pour des aluls préis de la setio effiae totale et de diffusio au delà de l éergie thermique, il faut utiliser le paramètre des iveau éloigés omme le oept le plus fodametal et le plus valable d u poit de vue gééral. Il modifie la matrie-r et o le déphasage de sphère dure. k R Nous oluos que les paramètres iitiau issus des aluls du modèle optique, par eemple à partir des graphes de fotios desité d odes s ou p et des rayos uléaires effetifs doés das le «BNL-35» (Mughabghab et al. 98, 984), peuvet être utilisés pour estimer la otributio des iveau éloigés. Si o églige et aspet, o obtiet des effets de bords aormau à proimités des bores de l itervalle itere (ave les résoaes doées epliitemet). 3.4. Représetatios des termes de bord par deu larges résoaes La représetatio statistique des iveau eteres est assez ommode pour paramétriser les setios effiaes, mais ue représetatio eore plus simple est obteue e faisat l approimatio que les termes de «bord» dépedat de l éergie (fotio d aire) das les équatios et peuvet être dérits par les queues de deu résoaes très larges de fore égale, située symétriquemet de part et d autre de l itervalle itere, E E Γ s ar tah + i I / I γ E E / I Nous voulos fier les paramètres E + E E γ E iγ E E, γ / + E + γ E iγ γ /. (6) γ, et Γ γ de maière à e que le membre de droite devieet semblable au membre de gauhe. U degrés de similarité suffisat est atteit, par eemple, si les deu membres ot des valeurs, des petes (première dérivée) et des ourbures (deuièmes dérivées) égales à l éergie etrale E. Les trois équatios obteues pour les trois ioues peuvet être résolues rigoureusemet. La solutio peut esuite être simplifiée e osidérat << I, e qui doe les approimatios fiales Γ γ 3 E± E ± I, (7) 3 E± Γ± IS, (8) l ev Γ γ Γ γ. (9) Leur isertio das le membre de droite de l équatio (6) révèle qu elles sot équivaletes au approimatios ar ta 3 /( 3 ) et / ( ) 3( 3 + )/( 3 ). La figure 3 motre que les différees etre les fotios origiales et leur approimatios sot faibles sur pratiquemet tout 85

l itervalle. À proimité des bores, elles devieet plus importates, mais puisque les approimatios restet fiies, otrairemet au fotios origiales, e est pas éessairemet mauvais pour os études. L epériee a motré que la représetatio des iveau eteres par u paramètre de iveau éloigés ostat aisi que par deu iveau eteres très larges plaés symétriquemet est aeptable pour les effets de bord dépedat de l éergie et est ue etrée adaptée à l austemet de résoae, aisémet austable elle même (si éessaire) ave les résoaes iteres. Das le format ENDF atuel, il est trivial d aouter deu résoaes supplémetaires, mais il y pas de plae prévue pour le paramètre des iveau éloigés. Il est par oséquet préférable de mettre sa valeur à zéro das les austemets de résoae orietés ENDF (e qui sigifie que R a à basse éergie, voir équatio 4) et d auster les deu grads iveau idépedammet l u de l autre (e même temps que les résoaes iteres). Aisi, l u d etre eu peut deveir plus fort que l autre, e qui produit le déséquilibre iitialemet dérit par le paramètre des iveau éloigés. La figure 4 motre à quel poit ette méthode fotioe pour u austemet réet de doées de trasmissio de 5 Cr. Afi d améliorer la rapidité du alul des setios effiaes potuelles lorsqu u très grad ombre de résoaes est epliitemet doé, o peut e reteir que elles situées das u itervalle limité autour de l éergie osidérée et laisser les autres être dérites sommairemet par la partie des iveau eteres () de la matrie-r. L itrodutio epliite de quelque hose omme 50 résoaes e dessous et au dessus de l éergie d itérêt ( I 00 D ) est suffisat das la plupart des as. 86

Figure 3. Comparaiso des fotios dérivat les effets de bord. Liges otiues : iveau eteres moyeés statistiquemet (membre de gauhe de l équatio 6) ; e tirets : approimatio par deu grades résoaes fitives (membre de droite de l équatio 6) 87

Figure 4. Doées de trasmissio proveat de ORNL (Harvey 995) austées par O. Boulad (999) e utilisat le ode SAMMY (Larso et Perey 980). La prise e ompte des iveau eteres par deu larges résoaes fitives (ave R 0 ) semble suffisate pour ue desriptio orrete de la setio effiae sur toute la logueur de l itervalle itere usqu à la bore iférieure (et e fait égalemet usqu à la bore supérieure), 45-400 kev 3.4.3 Niveau liés étroits pour imposer les setios effiaes thermiques presrites pour les iveau liés La simulatio des iveau eteres par le paramètre de iveau éloigés aisi que par le terme statistique de iveau (fotio d aire) pour les bords das les équatios () et () ou ue paire fitive de larges résoaes dot les paramètres sot doés par les équatios 7 à 9 est d ordiaire isuffisate pour répodre, ave les iveau iteres ous, de la setio effiae thermique qui, pour la plupart des oyau, est oue ave ue grade préisio. Les setios effiaes thermiques doées peuvet éamois être parfaitemet reproduite e aoutat uste u iveau fitif supplémetaire (Fröher 978, 98). Cosidéros u oyau o fissile ( + γ, Γ Γ + Γ ) pour lequel les paramètres de 0 toutes les résoaes iteres sot doés, aisi que l approimatio statistique des iveau R pour la partie etere de la matrie-r. Ces paramètres, habituellemet détermiés e austat les résoaes iteres sur les doées, e reproduirot pas eatemet les setios effiaes thermiques, mais ous pouvos obteir u eellet aord e aoutat u iveau lié (égatif) ayat des paramètres appropriés. Au éergies thermiques, seules les odes s doivet être osidérées, toutes γ 88

les autres résoaes état égligeables du fait des faibles fateurs de péétrabilité P de la barrière l etrifuge. E effetuat le hoi aturel B 0 0, o a 0 L iϕ ik a, si bie que la fotio de ollisio de Reih-Moore pour haque voie d ode s (ue pour ue ible de spi ul, deu pour ue ible de spi o ul) est U e + i ik γ a ( ) Γ / i E E Γ / E iγ E iγ γ / /. (0) La somme se fait sur tous les iveau d ode s, aussi bie iteres qu eteres, dot le spi et la parité est sous-etedue par. Nous divisos maiteat la somme e trois parties à savoir la partie 0 des iveau iteres (,,... Λ ), la partie des iveau eteres R alulée soit à partir de l équatio () soit à l aide de deu résoaes larges, d après les équatios (7) à (9), et efi la partie du iveau lié supplémetaire ( 0 ). Nous obteos pour la troisième partie ( 0 ) ika iγ / iγ / U e. () ika E e Λ 0 ik a R + 0 E iγγ / E E iγγ / U + Le membre de droite, idetifié par, peut être alulé à partir des paramètres des résoaes oues et des setios effiaes thermiques presrites ave U πd g ± i πd g πd g, () d après les équatios basiques (5) et (53). E séparat les parties réelles et imagiaires de l équatio () o obtiet ΓΓγ / 4 Re < 0, (3) + Γ / 4 ( E E ) 0 ( E E0 ) ( E E ) γ Γ Im < 0, pour E 0 < 0, (4) + Γ / 4 et fialemet 0 Γ γ γ Im E 0 E, (5) Re Γ Re Γ γ. (6) 89

Ave seulemet deu équatios pour trois ioues E 0, Γ et Γ γ, ous pouvos hoisir l ue d elle arbitrairemet. La faible variatio des largeurs radiatives d ue résoae à ue autre suggère d appliquer à Γ γ la valeur de la largeur radiative moyee des iveau iteres, Γ γ Γ γ, (7) mais la reprodutio eate des setios effiaes das le domaie thermique est égalemet assurée ave d autres hoi. L ambiguïté sur le sige das l équatio () viet du fait que les setios effiaes dépedet uiquemet de Re U et de U. D ordiaire, le sige plus peut être éarté immédiatemet ar il oduit à E 0 qui est otraire à l hypothèse d u iveau lié. 0 > Pour des oyau fissiles par eutros thermiques, o trouve que les équatios (5) et (6), quoique état plus rigoureuses, sot des approimatios orretes au mois das le as où il y a pas de résoae très prohe du domaie thermique, de sorte que << 4πD g. Il y a maiteat ue équatio supplémetaire pour la largeur de fissio, Γ f f Re Γ γ, (8) ave f f πd g Λ Γ ( E E ) Γ f / 4 + Γ / 4 S 0 E Γf ev I E E I / où f est la setio effiae thermique de fissio pour la voie d etrée., (9) Pour u oyau ible de spi o ul, si les spis des résoaes sot ious et que seul est ou pour les iveau o liés, mais i g i Γ séparémet, o obtiet les équatios gγ E 0 Im E Re g Γ γ, (30) gγ g Re Γ γ, (3) ave gγ f f g Re Γ γ ( gγ ), (3) / U e Λ ika 0 i ikar +, (33) ika E E iγγ / U + e 90

f Λ ( gγ ) ( E E) Γ f + Γ / 4 / 4 S 0 E ev f πd, (34) et ( oh ) ± i ka U. (35) πd πd Les setios effiaes totales et de fissio diretemet observables à l éergie thermique sot des sommes sur deu voies d ode s (ave les spis I+½ et I-½), et. f f La valeur approhée des largeurs totales est prise omme état Γ ( gγ ) + Γ γ + Γf. Le terme 0 des iveau eteres R, est à dire les paramètres de iveau éloigés, les fotios desité et les largeurs radiatives moyees sot supposés les mêmes pour les deu états de spi, et l idie de voie de et k a été elevé. De plus, ous utilisos la relatio etre la logueur de diffusio ohérete a oh et les setios effiaes de diffusio élastique pour les deu états de spi, g a oh. (36) 4 π E se limitat à u état de spi (ible de spi ul, g g ) ou à u oyau o fissile ( 0, Γ Γ 0 ) o retrouve les équatios préédetes. f f f Ave les paramètres du iveau lié alulés aalytiquemet de ette faço, les setios effiaes e sot pas seulemet orretemet reproduites à l éergie thermique, E 0.053 ev, mais das l esemble du domaie thermique e dessous de la première résoae. Il arrive epedat parfois que le iveau lié fitif soit plus prohe du seuil de séparatio du eutro que le premier iveau o lié ( est à dire E 0 < E ). Bie que la ourbe de la setio effiae alulée de apture ou de fissio passe par le poit presrit, elle e présete u omportemet ormal e /v qu e dessous de l éergie «miroir» E 0. Au iveau de ette éergie, la ourbe aquiert u omportemet e /v 5 (avat que la résoae à E e la fasse remoter). Les formules de Breit-Wiger simple iveau (83) et (85) permettet de l epliquer : le omportemet asymptotique à basses et hautes éergies dû à u iveau lié à E 0 < 0 est le même que elui d u iveau o lié à l éergie miroir E 0 > 0 (voir Figure 5). Il est faile, toutefois, de rétablir ue forme réellemet observée e /v usqu à la première résoae o liée, sas hager pour autat les setios effiaes orretemet alulées au poit thermique, e augmetat tout simplemet la largeur radiative (hoisie arbitrairemet) qui multiplie les autres paramètres de résoae, voir les équatios (5), (6) et (30) à (3). Le poit alulé de passage de /v e /v 5 peut aisi être déalé vers des éergies supérieures à E où il est sas effet ar la otributio des autres résoaes domie. 9

Figure 5. Setio effiae de apture SLBW pour ue résoae d ode s liée et o liée, telle que dérite das les équatios (83) et (85), ave ( E) Γ ( E0 ) E E0 Γ. Das les deu as, o observe le même omportemet à basse et haute éergie 3.5 Élargissemet Doppler Das les appliatios pratiques, les setios effiaes sot la plupart du temps demadées sous forme élargie par effet Doppler. Il est parfois affirmé que l élargissemet Doppler peut être égligé pour les oyau légers. Cela peut s avérer vrai pour les larges iveau d ode s mais ertaiemet pas pour les iveau étroits d odes p, d,, qui das le as de e qu o appelle matériau de struture (fer, ikel, hrome, obalt, magaèse, et.) otribuet de maière sigifiative à l absorptio résoate et à l ativatio. 3.5. Approimatio du gaz libre L élargissemet Doppler das les réatios uléaires est dû à l agitatio thermique des oyau ibles. Cosidéros u faiseau parallèle de partiules moo-éergétiques, ayat ue vitesse v das le laboratoire, qui etre e ollisio ave des oyau ibles dot les vitesses u sot distribuées de telle 3 faço que p( u ) d u est la fratio des vitesses situées das ue petite régio tridimesioelle d 3 u autour de u das l espae des vitesses. Si ρ et ρ sot respetivemet les desités des partiules du faiseau et de la ible, le ombre de réatios iterveat par uité de temps et de volume est 9

( ) v u ( v ) ρ ρ v( v) 3 ρ ρ d u p u u, (37) où ( v u ) est la setio effiae o élargie pour ue vitesse relative v u etre les parteaires de la ollisio et () v la setio effiae effetive, ou élargie par effet Doppler, pour des partiules iidetes de vitesse v. Il est évidet, d après ette défiitio, que les setios effiaes e /v e sot pas affetées par l élargissemet Doppler. Supposos maiteat que les oyau ibles aiet la même distributio de vitesses que les atomes das u gaz idéal, est-à-dire la distributio de Mawell-Boltzma 3 3 u d u Mu p( u ) d u ep 3 T 3 π u T u kt, (38) T où M est la masse du oyau ible et kt la température du gaz e uité d éergie. E itégrat sur toutes les vitesses relatives possibles w v u et e utilisat les oordoées polaires ave l ae 3 3 polaire parallèle au faiseau, d u d w w dw dµ dϕ ave µ os θ, o obtiet failemet l epressio eate pour la setio effiae élargie par effet Doppler (Solbrig 96) () v ep ep ( w) π π 0 0 dw ut w v ut dw w v ep ut ut w w ( w ). v w + v ut w v Cela sigifie u élargissemet Gaussie de la fotio impaire v ( v ) (39) v sur ue éhelle de vitesse allat de - à +, u T état la largeur orrespodat à et élargissemet. E fotio des éergies das le laboratoire, E mv, o a où 0 ( E) de ep ep ( E ) π E EE / E + EE / E E, (40) 4EkT M m (4) est appelée largeur Doppler. Pour E>>, e qui est gééralemet vérifié au-delà de quelques ev, o peut simplifier e e gardat das les epoetielles que les deu premiers termes du développemet EE E + ( E E) +..., e égligeat la seode epoetielle et e hageat la limite iférieure de l itégrale, mise à -. Le résultat s érit E E E ( E) de ep E ( E ), (4) π qui traduit u élargissemet Gaussie du tau de réatio sur l éhelle e éergie ave ue largeur. 93

3.5. Cristal ubique Lamb (939) retrouva l epressio (4) pour la apture radiative de eutros par des oyau d u ristal de Debye, das le as le plus importat d u poit de vue pratique où Γ + > 4kTD, où T D, température de Debye, est la mesure des fores de liaiso maiteat les atomes à leur positio das le ristal, fortes pour des atomes fortemet liés et faibles pour des atomes faiblemet liés. La seule différee etre u gaz idéal et u ristal de Debye est que l o doit aluler la largeur Doppler o pas ave la température réelle T mais ave ue température effetive T L doée par T L T T T D 3 3 T oth T + 0 T TD T 3 D d 0 +... (43) qui est habituellemet-à température ambiate-plus grade de quelques pour-ets par rapport à T. Das l approimatio de diffusio quasi-libre, o trouve le même résultat pour la diffusio et pour des ristau ubiques e gééral (Fröher 970). La orretio sous forme de fotio de T D /T est doée graphiquemet par Lamb (939). Les problèmes ave la température de Debye pour des ristau oteat à la fois des oyau légers et lourds-eemple : 38 UO sot disutés par Ly (968). 3.5.3 Élargissemet Gaussie ave profils de Voigt Das la représetatio de Kapur-Peierls, équatios (78) à (80), toutes les résoaes de setios effiaes apparaisset e tat que superpositios liéaires de profils de formes de raies symétriques et asymétriques (aisi que d ue setio effiae de diffusio potetielle letemet variable das le as de et ). Puisque les profils de forme otieet les variatio rapides, typiques des résoaes alors que tout le reste varie letemet, ous obteos ue boe approimatio des setios effiaes élargies par effet Doppler e remplaçat simplemet les formes de raies o élargies («aturelles») des epressios de Kapur Peierls par les profils élargis par ue Gausiee itroduits par Voigt (9) ψ χ π π de e de e ( E E ) G ~ ( E E ) ~ ( E E ) ( E E ) ~ ( E E ) 4 + G G + G, (44) 4, (45) 4 où, E ~ et G doivet être pris à E E. Cela sigifie que toutes les faibles dépedaes éergétiques sot loalemet égligées, sur l itervalle (quelques largeurs Doppler) de la fotio de podératio Gaussiee, mais que leur effet à logue portée est totalemet pris e ompte. L élargissemet Doppler au moye des profils de Voigt est populaire ar il eiste des sous-programmes rapides pour leur alul (voir par eemple Bhat et Lee-Whitig 967). Das l approimatio de Adler-Adler, leur utilisatio est direte. Das les autres représetatios, o doit d abord overtir les paramètres de Wiger-Eisebud e paramètres de Kapur-Peierls. Das les approimatios SLBW et MLBW, est trivial : o a simplemet E ~ E +, G Γ, G Γ (f. équatios 70-7). Das l approimatio de Reih-Moore, o doit d abord overtir par itératio aisi qu epliquer das la sous partie 3.3.6. C est faile à programmer et augmete pas 94

sigifiativemet le temps de alul, e partiulier ave u algorithme rapide pour les élargissemet Gaussies. 3.5.4 Élargissemet Gaussie ave la méthode de Turig U algorithme rapide pour aluler des élargissemets Gaussies de fotios ayat des pôles das le pla omplee (fotios méromorphes) fut proposé par Turig (943). La fotio méromorphe la plus simple, ave u seul pôle, est la ombiaiso ψ + i χ des profils de résoae aturels que ous avos reotrés das les formules de résoae de la partie 3.3. La méthode de Turig est do largemet utilisée pour le alul des profils de Voigt. Turig itroduisit des pôles artifiiels et équidistats le log de l ae réel et appliqua ue itégratio de otour (voir par eemple Bhat et Lee-Whitig 967) pour obteir ψ + iχ π + Γ π e e δe e ( E ) E i Γ E + i Γ ( E E0 + iγ ) ( ) P + F, πi E E + iγ δe où δe est l espaemet (arbitraire) des pôles artifiiels, artifiiel), et 0 P / pour F 0 / E Γ 0 > < π δe, (46) E E + δe est u poit de la grille (pôle, (47) ( π δe ) E E0 π e +. (48) ( π δe ) π Γ ΓδE e Nous reoaissos que l approimatio de Turig osiste e (i) ue approimatio de l itégrale par ue simple somme ave ue largeur de pas de δe, (ii) u terme impliquat l éergie E 0 + i Γ du pôle et u fateur disotiu P et (iii) u terme d erreur F qui deviet petit pour δe < du fait du fateur ep[ ( π δe) ]. Le terme polaire est ue orretio sur la somme, seulemet éessaire au voisiage de pis étroits (pôles prohe de l ae réel) pour lesquels la logueur du pas de la somme approhée est trop grossière, mais égligeable ailleurs aisi que le spéifie le fateur P. E hoisissat δe 0. 7, o peut omplètemet égliger le terme d erreur et touours obteir ue préisio relative de l ordre de 0-7 ou mieu (Bhat et Lee-Whitig 967). E appliquat la méthode de Turig à haque terme des epressios de Kapur-Peierls des setios effiaes (78) ou (79), o obtiet E -( E E ) ( E) δe e E ( E ) + π π E Re N N C G e e ( E ε ) ( ), π ε P i E δe (49) 95

où C est le oeffiiet de ψ + i χ das l équatio (78) (pour la setio effiae totale) ou (79) (pour les setios effiaes partielles), et les fateurs P sot semblables à P das l équatio (6). Le premier terme du membre de droite est à ouveau l approimatio de l itégrale par ue somme. Dû au poids rapidemet déroissat das les ailes de la Gaussiee, seuls les termes de la somme tels que 5 5 sot éessaires pour obteir la préisio de 0.% habituellemet requise das les appliatios ourates. De plus, la setio effiae aturelle (o élargie) ( E ) peut être alulée diretemet, sas oversio, à partir des paramètres de Wiger-Eisebud ou de Adler-Adler doés das les fihiers d évaluatio. Des doubles sommatios e sot pas éessaires : les setios effiaes aturelles MLBW sot diretemet obteues à partir de la matrie de ollisio (90), les setios effiaes de Reih-Moore à partir de la matrie-r réduite (94). Das les deu as, seules de simples sommatios sur les iveau sot éessaires. Le temps de alul éessaire pour l approimatio e histogramme (première somme das l équatio 50) est par oséquet pratiquemet le même das les quatre approimatios : SLBW, MLBW, Reih-Moore et Adler-Adler. D u autre ôté, le terme polaire das l équatio (49) demade des paramètres de Kapur-Peierls, mais uiquemet pour des résoaes étroites (valeurs de P e s aulat pas) et à proimité de leur pi où les faibles dépedaes e éergie peuvet être égligées. Les paramètres de Adler-Adler ot pas du tout besoi d être overtis, pour eu de SLBW et MLBW la oversio est triviale. C est seulemet das l approimatio de Reih-Moore que l o doit overtir par itératio aisi qu epliqué das la sous-partie 3.3.6, mais simplemet à quelques éergies, plus préisémet au éergies formelles des résoaes étroites. Le temps supplémetaire éessaire pour ette préparatio est seulemet ue petite fratio du temps total requis pour des aluls de vastes setios effiaes potuelles pour lesquels les gais de temps sot importats. La méthode de Turig peut bie évidemmet s appliquer o seulemet à des élargissemets Gaussies sur l éhelle e éergie, équatio (4), mais égalemet à des élargissemets Gaussies sur l éhelle des vitesses (ou des quatités de mouvemet) ave le modèle du gaz libre, voir équatio (39). Das e derier as, il y a même u avatage supplémetaire : la largeur de la fotio de podératio Gaussiee e déped plus de l éergie (ou de la quatité de mouvemet) si bie que la podératio Gaussiee éessaire ( est-à-dire pour 5 5 ) peut être détermiée ue fois pour toutes avat même le début des aluls. U autre avatage de la méthode de Turig est l itrodutio d ue grille aturelle e dépedat que de la température effetive, qui est adaptée pour des aluls rapides de setios effiaes potuelles, réat automatiquemet mois de poits au hautes éergies où les setios effiaes élargies sot mois struturées. Cette méthode est pratique o seulemet pour l austemet de setios effiaes, omme o le pese parfois, mais de maière assez géérale dès que des setios effiaes potuelles multi-iveau élargies sot demadées. Le programme DOBRO (Fröher 980) a été érit d après e qui préède. E employat le modèle du gaz libre eat, il géère des setios effiaes MLBW ou de Reih-Moore élargies par effet Doppler presque aussi rapidemet que des setios effiaes SLBW à partir de paramètres doés. L idée la plus importate est pas les profils de Voigt par eu-mêmes, mais plutôt la meilleure méthode pour les aluler la méthode de Turig à appliquer diretemet au epressios des setios effiaes multi-iveau. 3.5.5 Elargissemet de doées potuelles tabulées et liéairemet iterpolables Ue méthode largemet utilisée pour géérer des setios effiaes das le domaie des résoaes élargies par effet Doppler est de partir de setios effiaes aturelles k doées et d éergies E κ telles que pour haque éergie itermédiaire E ue iterpolatio est possible, 96

( E) ( E Ek ) k + + ( Ek + E) k ( E E ) E k + E k E (50) ave ue ertaie préisio spéifiée. La variatio liéaire e éergie se traduit par ue variatio quadratique e fotio de la vitesse, () v a b v, (5) k + k où a k et b k sot des oeffiiets ostats. Les tables de setios effiaes potuelles liéairemet iterpôlables sot ourates das les fihiers de doées uléaires évaluées. Par isertio das l équatio (39), o obtiet k k + T ut [ ]( ak + bk w ) ( w v) u ( w+ v ) () v e e k 0 dw w u v T. (5) Chaque terme de la somme orrespod à ue portio liéaire de la représetatio de la setio effiae. E effetuat le hagemet de variable ( w v) ut, ous trouvos que pour haque terme de la somme ous avos besoi des itégrales ave I + π k dt e t k t I ( ) I ( ) k k + t ( ) dt e t e + I ( ) pour 0,,,3, 4 (53). (54) π π I 0 et I sot alulables failemet et aisi les autres peuvet être obteues à partir de la derière relatio de réursio (résultat d ue itégratio partielle) : I I I I I 0 3 4 ( ) ( ) ( ) erf,, π erf + ( ) e ( + ), π 3 4 e π, 3 4 3 ( ) erf + e +. π (55) C est l idée de base du ode SIGMA (Culle et Weisbi 976). Il faut oter qu e dépit du titre de la publiatio, la méthode est pas eate puisque l iterpolatio liéaire etre les setios effiaes tabulées est ue approimatio qui itroduit ue erreur. (Das les fihiers d évaluatio moderes, des éarts relatifs usqu à 0.5% ou das le meilleur des as 0.% sot admis etre haque portio liéaire). Il faut égalemet réaliser que les epoetielles et les fotios d erreur doivet être 97

alulées pour haque portio liéaire de la représetatio de la setio effiae. Si les setios effiaes k e sot pas doées mais doivet d abord être alulées, le ode SIGMA sera défiitivemet plus let et das les as mois préis que l approhe de Turig, et le hoi d ue grille irrégulière permettat l iterpolatio ave ue préisio voulue, ave u miimum de poits de grille, peut être problématique, alors que la méthode de Turig fourit automatiquemet ue grille adaptée. 3.6 Aalyse pratique des setios effiaes epérimetales das le domaie des résoaes Nous avos metioé das la partie que la meilleure détermiatio des setios effiaes à partir de doées epérimetales s obtiet par l etratio des paramètres de résoae. E fait, toutes les setios effiaes das le domaie des résoaes résolues qui sot utilisées das les aluls de réateurs et autres appliatios sot géérées à partir des paramètres de résoaes. O pourrait se demader pourquoi e pas utiliser diretemet les meilleures setios effiaes mesurées ave ue haute résolutio et aisi élimier la éessité d etraire des paramètres de résoae. Il y a plusieurs raisos pour lesquelles la détermiatio des paramètres de résoae e peut être évitée si les réatios résoates doivet être dérites et prédites ave préditio.. permet de représeter la struture souvet iroyablemet détaillée des setios effiaes par omparativemet peu de ombres. Eemple : Le ombre de résoaes atuellemet aalysées du système omposé 38 U+ est de l ordre de 000. Si la fissio sous le seuil est égligée, elles sot dérites par Les paramètres de résoae suivis de l utilisatio d ue théorie des résoaes ous eviro 4 000 paramètres (E 0, Γ, Γ γ, JΠ) alors qu ue représetatio potuelle, ayat ue préisio raisoable, des setios effiaes de diffusio et de apture requerraiet 5 0 4 doées potuelles soit 0 5 ombres. Si l o osidère égalemet les distributios agulaires et les différetes températures, o obtiet failemet plusieurs millios de doées potuelles qui seraiet éessaires pour dérire le omportemet de 38 U das u réateur.. L élargissemet Doppler des résoaes pour des températures arbitraires e peut être alulé rigoureusemet qu à partir de paramètres de résoae et o de doées potuelles. 3. Les paramètres de résoae et le formalisme de la matrie-r garatit l aord ave des otraites physiques telles que limites uitaires de la setio effiae das haque voie de réatio ( 0 4πD g ) ou limite de Wik pour la diffusio vers l avat d ). 0 dω 4πD ( ( ) ( ) 4. U autre aord est plus subtil mais, d u poit de vue pratique, au mois aussi importat, partiulièremet pour les aluls d auto-protetio. La théorie ous dit qu il y a ue relatio strite etre les formes de raie das ue voie de réatio et la forme de raie orrespodat au même iveau du oyau omposé das les autres voies. Cette relatio est vérifiée si les setios effiaes sot géérées de faço ohérete à partir des paramètres de résoae, alors que pour des eu de doées epérimetales, ue éhelle ommue e éergie est touours problématique. 98

5. Au mois tout aussi importat est le fait que même les meilleures mesures sot affetées par la résolutio epérimetale, l effet Doppler et (eeptio faite des doées de trasmissio) par l auto-protetio et les diffusios multiples. La seule maière rigoureuse de orriger es effets est ue paramétrisatio sur tout le domaie par austemet de ourbes théoriques sur les doées. Les quatités austées e devrot pas être u gere de doées réduites ressemblat au setios effiaes, telles que valeurs logarithmiques de la trasmissio, mais les observables elles-mêmes, par eemple les trasmissios, les tau de apture, de fissio ou de diffusio. Les élargissemet dus à la résolutio epérimetale ou à la température, l auto-protetio, les diffusios multiples, les impuretés das l éhatillo et les autres effets doivet do être ilus das le modèle théorique. 6. L etrapolatio das le domaie des résoaes o mesurées ou o résolues par des aluls de setio effiae ave le modèle statistique des iveau (Hauser-Fesbah) requiert des paramètres statistiques tels que desités de iveau ou fotios desité. Ceu-i doivet être estimés à partir des paramètres des résoaes résolues. 7. Afi de ompredre la plupart des problèmes pratiques reotrés lors de l austemet, passos e revue, ave quelques détails, les priipau types de doées epérimetales das le domaie des résoaes qui doivet être modélisées par des algorithmes d austemet. Les observables sot des fotios ou fotioelles plus ou mois ompliquées des setios effiaes, plutôt que les setios effiaes elles-mêmes. 3.6. Les observables Comme ous l avos déà metioé das la partie., la mesure la plus simple est elle de la setio effiae totale. O mesure la fratio d u faiseau de partiules d éergie doée qui traverse sas iteratio u éhatillo d ue épaisseur (e oyau/bar). T e. (56) La setio effiae totale est do proportioelle au logarithme de l observable. Les tau de réatio (,) Y ( f, γ,, p, α, ), est-à-dire la fratio des partiules du faiseau iduisat ue réatio (,) das l éhatillo, est ue somme de otributios d évéemets où la réatio (,) est préédée de 0,,, diffusios, ave Y Y + Y + Y... (57) 0 + 99

Y Y Y 0 et. ( T ) ( T ) ( T ), ( T ) ( T ) ( T ),,. (58) L idie umérique idique le ombre de ollisios préédetes de sorte que -T, par eemple, est la probabilité qu après la première ollisio le eutro diffusé iteragisse à ouveau quelque part das l éhatillo. Les parethèses,,... traduiset des moyees spatiales et agulaires sur toutes les premières, deuièmes, et. ollisios possibles. À haque ollisio élastique, l éergie du proetile passe de E à A E E + Aµ ( A + ) + (59) si la partiule ible est iitialemet au repos. Ii µ est le osius de l agle de diffusio das le etre de masse et A est le rapport de masse etre le proetile et la ible. Notos que das le domaie des résoaes, de petites variatios d éergies peuvet etraîer des variatios dramatiques de la setio effiae. Les tau de ollisios multiples Y,, Y... sot do des fotios de plus e plus omplees des setios effiaes, et. Si la diffusio iélastique est autorisée d u poit de vue éergétique, alors les parethèses et. ompreet égalemet les moyees sur les différets modes possibles de diffusio (réatios résiduelles). L approimatio d éhatillo mie, Y si <<, (60) est souvet suffisammet préise pour les tau de fissio puisque les éhatillos fissiles doivet être etrêmemet fis afi que les fragmets de fissio sigalat la réatio (,f) puisset e sortir. Das l aalyse des doées de apture, d u autre ôté, o doit habituellemet ilure le fateur d auto-protetio ( T ) et les otributios des diffusios multiples ar la faible absorptio des photos sigalat des évéemets (,γ) permet au epérimetateurs d augmeter les tau de omptage e utilisat des éhatillos épais. Les effets de l épaisseur de l éhatillo, est à dire auto-protetio et diffusios multiples, sot égalemet importats das les mesures de diffusio. E aalogie ave les équatios (57) et (58), ous avos ave dy dy + dy + dy.... (6) 3 + 00

dy dy dy 3 et. T d dω T T T T dω T d dω T T dω d dω où d Ω est l élémet d agle solide ouvert par le déteteur. T 3 3 dω. (6) À la suite de otre disussio sur les tau de réatios, il devrait être lair que, à mois d éhatillos très mies, l etratio des setios effiaes (,) à partir des tau (,) fait égalemet iterveir la setio effiae totale. De maière assez géérale, o peut dire que les doées de setio effiae totale sot ue oditio préalable pour ue boe aalyse des setios effiaes partielles. U autre type de doées, itéressates e partiulier pour des tests de statistique de iveau das le domaie des résoaes o résolues, est obteu par des mesures d auto-idiatio. O plae deu éhatillos das le faiseau, u éhatillo filtre (épaisseur ) et u éhatillo déteteur (épaisseur ), tous deu ostitués de la même matière. La probabilité qu u faiseau de partiule iduise ue réatio (,) das le seod éhatillo est S (, ) T ( ) Y ( ).. (63) De ette faço, o mesure essetiellemet la trasmissio de l éhatillo filtre ave u système de détetio dot l effiaité est augmetée au iveau des pis des résoaes (au iveau des reu de trasmissio). Idéalemet, l aalyse des paramètres de résoae se base sur des mesurées ave des éhatillos isotopiquemet purs et proède plus ou mois de la maière suivate : ) Des doées de trasmissio, o détermie fodametalemet E Γ,, g pour l 0, 0, Γ E, gγ pour l 0. 0 ) Les résultats de trasmissio permettet de aluler les orretios d éhatillo épais pour les doées de tau de réatio (,) à partir desquelles o obtiet fodametalemet E0, Γ si Γ et g sot ous, E0, gγ si seul gγ est ou. 3) Si les doées de trasmissios e sot pas dispoibles (les iveau d ode p, d, e sot pas failemet visibles das les mesures de trasmissio) o obtiet uiquemet E0, gγγ Γ si seul gγ est pas ou. 0

Das les as mois idéau, il y a des ompliatios proveat d impuretés das les éhatillos, le plus souvet d autres isotopes du même élémet das les matériau erihis, la présee d oygèe das les oydes ou due à la orrosio, mais égalemet de l hydrogèe proveat de vapeur d eau absorbée. D autres ompliatios epérimetales iévitables sot brièvemet dérites das la sous-partie suivate. 3.6. Compliatios epérimetales Les bruits de fod sot ue soure priipale des iertitudes das l aalyse des résoaes. Das les mesures de temps de vol, il y a touours deu types de bruit de fod : ostat et dépedat du temps. Les bruits de fod ostats peuvet être dus à la radioativité de l éhatillo et de so eviroemet ou à des rayos osmiques. Les bruits de fod dépedat du temps sot iduits par les impulsios de l aélérateur ou par des effets proveat de l éhatillo. U eemple est le bruit de fod provoqué par des eutros diffusés par les résoaes das les mesures de trasmissio ou de apture eutroique par temps de vol. Das e bruit de fod, la struture résoate de la setio effiae de diffusio se reflète, et par oséquet il présete des flutuatios violetes e fotio du temps de vol (ou de l éergie). Cette ifluee de l éhatillo red souvet les détermiatios du bruit de fod «sas éhatillo» disutables. C est pourquoi, o utilise des éras «oirs», des éhatillos spéiau plaés devat l éhatillo étudié. L éra oir idéal possède u petit ombre de résoaes très espaées et est suffisammet épais pour qu au iveau des reu orrespodat (les pis des résoaes oires) toutes les partiules du faiseau soiet élimiées et que seul le bruit de fod soit observé durat l epériee e ours. Bie sûr, auue doée e peut être mesurée au iveau des résoaes oires, aussi utilise-t-o plusieurs éras omplémetaires. Les éras oirs sot ue amélioratio par rapport à la détermiatio du bruit de fod sas éhatillo, mais élimiet pas omplètemet les problèmes egedrés par la présee de l éhatillo. L élargissemet par la résolutio epérimetale est ue autre soure de ompliatios. Toutes les doées epérimetales sot élargies par la résolutio. Les vraies observables sot ( E) de r( E E) T ( E) T,, (64) Y ( E) de r( E E) Y ( E),, (65) et., où de r(e,e) est la probabilité qu u évéemet observé à l éergie E (ou au temps de vol orrespodat) soit réellemet dû à ue partiule du faiseau ayat ue éergie E à de près. Les priipales raisos de l éart E-E das les doées de temps de vol sot Largeur fiie de l impulsio de l aélérateur (t b ). Largeur fiie du aal de temps de vol (t ). Dérive életroique, «itter» (td). Iertitude sur le poit de départ de la base de vol (par eemple das le modérateur ou le «booster») et sur le poit d arrivée (par eemple das l éhatillo ou le sitillateur e verre au lithium) ( L). Résolutio agulaire fiie ( θ). 0

La fotio de résolutio r(e,e) est souvet approimée par ue Gaussiee, r( E, E) e W π ave, par eemple (Fröher et Haddad 965), ( E E ) W (66) L E W E + ( tb + t + t d ) E + E. (67) L 3mL E variat légèremet et, o peut améliorer l austemet mais, gééralemet, la vraie fotio de résolutio possède des queues et les Gaussiees doivet être remplaées par d autres fotios asymétriques telles que fotios χ (Fröher 978) ou des Gaussiees ave des queues. L effiaité des déteteurs et le flu sot ue troisième soure importate d iertitudes pour les mesures de setios effiaes partielles où les observables sot des tau de omptages, ( ϕ ε si <<) ϕy ε. (68) La détermiatio absolue du flu ϕ et de l effiaité ε est diffiile et est do évitée dès que possible. Souvet, o mesure relativemet à u éhatillo de référee (idie r) das le même flu afi d obteir r Yε Y ε r r ε r rε r <<, r r <<, (69) où Y r est ou ave ue boe préisio. Cela elève la éessité de oaître le flu mais o peut touours avoir des problèmes ave / r et ε/ε r omme le motre l approimatio d éhatillo mie. Si la dépedae e éergie de ε/ε r est oue, o peut alibrer e se ormalisat sur ue valeur de setio effiae oue ave préisio, par eemple ue setio effiae au poit thermique. Si auue valeur est suffisammet oue, o peut souvet utiliser la tehique de la résoae saturée («éhatillo oir»). O utilise u éhatillo spéial qui est suffisammet épais pour qu ue résoae bie oue ait ue trasmissio très faible. De maière assez géérale, o a ( T ) < Y < T. (70) Du fait que ϕy ε, o obtiet au pi de la résoae, E E 0, où l éhatillo est oir, T 0, ( E0 ) εϕ < ( E0 ) Si ( E ) ( ) <. (7) 0 E 0 ( est à dire Γ Γ ) ei défiit, sas autre alul, ue valeur assez préise de εϕ. La résoae à 4.9 ev de 97 Au+, par eemple, a fréquemmet été utilisée de ette maière pour la ormalisatio par résoae saturée des doées de apture. De sérieu problèmes sot reotrés si l effiaité du déteteur varie d u isotope à l autre, ou même pire, d ue résoae à 03

l autre. Cela a été ue soure persistate de diffiultés pour les mesures de apture. Ii, la répose du déteteur déped du spetre gamma (éergie de liaiso, itesité de trasitio vers les iveau peu liés, et.) qui flutue d u iveau à l autre de maière imprévisible, partiulièremet das le as des oyau légers et itermédiaires. Le problème e peut être surmoté qu à l aide d imposats sitillateurs liquides ou ristallis qui etouret l éhatillo das ue géométrie 4π et absorbe la plupart des rayos gamma de apture. L auto-protetio et les diffusios multiples affetet priipalemet les doées de apture et de diffusio eutroiques. Comme le motret les équatios (57)-(58) et (6)-(6), les deu effets sot iterdépedats et e peuvet être traités séparémet. Ils sot tous deu osidérés omme des effets d épaisseur d éhatillo. U traitemet aalytique est pas possible das le domaie des résoaes résolues du fait des brusques variatios des setios effiaes de diffusio et de apture aisi que de la éessité de dérire les doées e détail et o pas e terme de moyees. Le seul moye valable est la simulatio Mote Carlo de l histoire des ollisios multiples des eutros basée sur ue desriptio détaillée des résoaes des setios effiaes, sur les distributios de probabilité appropriées pour les libres parours et les agles de diffusio, et sur la géométrie eate de l éhatillo (f. Fröher 989 pour plus de détails). La faisabilité de simulatios Mote Carlo diretes des effets d épaisseur d éhatillo das l austemet des résoaes de apture fut démotrée ave le ode FANAC (Fröher 978). 3.6.3 Attributio de spi et de parité L algorithme ovetioel d austemet par moidres arrés utilise des dérivées (sesibilités), et do est diretemet appliable qu à des distributios de probabilités otiues. Par oséquet, la détermiatio des paramètres de résoae par des austemets par moidres arrés o liéaires e peut s effetuer que pour les éergies et largeurs des résoaes pour lesquelles eiste u otiuum de valeurs possibles tel que les dérivées pour itératios de Newto-Raphso puisset être alulées. Les spis et les parités ayat des valeurs disrètes e disposet pas de dérivées. O pourrait imagier ue gééralisatio ombiat la méthode des moidres arrés ave des distributios de probabilité disrètes, mais das des aalyses de résoaes impliquat des dizaies ou mêmes des etaies de iveau, le ombre possible de ombiaisos spi-parité, pour lesquelles les moidres arrés doivet être etrepris, est rebutat. C est pourquoi, ue première attributio des spis et des parités est d ordiaire basée sur l étude des doées de trasmissio. La plupart des résoaes d ode s sot failemet reoaissables ar les importates iterférees etre les diffusios résoates et potetielles les redet relativemet asymétriques (voir figure ), alors que les résoaes d odes p et d tedet à être plus étroites et symétriques du fait de la faible valeur des setios effiaes de diffusio potetielle et des péétrabilités de la barrière etrifuge au basses éergies. U premier ragemet grossier par atégorie de es iveau étroits, dot o e oaît que gγ par l aalyse de la trasmissio, peut se baser sur la valeur moyee attedue des largeurs eutroiques. Si les valeurs attedues g l, J sot doées, o peut aluler les Γ pour les ombiaisos possibles ( ) lj probabilités orrespodates pour (, J ) l au moye du théorème de Bayes (Bolliger et Thomas 968). L a priori est proportioel à la desité des iveau de spi J et parité Π ( ) l qui peut être osidérée omme idépedate de la parité : ρ l J ρ J. Ave l approimatio grossière ρ J J +, o obtiet, par eemple, des desités de iveau d odes s, p, d das les proportios :3 :5 si le spi de 04

la ible est ul (voir la oloe g J das le tableau ). La fotio de vraisemblae est doée par la distributio de Porter et Thomas (voir Chapitre 4, i dessous) p ν où ( ) ( gγ l J ) d( gγ ) ν e d ν J gγ l,, 0 < J <, (7) l Γ gγ lj ν () lj Γ est ue fotio gamma et ν lj le ombre de spis de voie ( ou ) qui peuvet être ombiés ave l pour doer J (f. équatios 39-40 et le tableau ). Puisque d/ e déped pas de l ou J, la probabilité a posteriori e résultat est ν [ e ] lj ν [ e ] ρ J P( l, J gγ ), l 0,,,..., l I J l + I +, (73) ρ l, J J lj où I est le spi de la ible. Les largeurs moyees fot iterveir des produits etre les espaemets de iveau D ρ et les fotios desités S, l J J ( E) gγ g ν D S E ev v. (74) l J J lj J l l Les estimatios des largeurs moyees peuvet do être basées sur les espaemets moyes observés et sur les fotios desités S observées ou du modèle optique. Les fotios v P / P l l l 0 (ave P 0 ka ) sot les péétrabilités relatives de la barrière etrifuge, égale à pour l ode s. Pour les autres odes partielles, o a ( ) l v ka [( l! )! ] si ka << l( l + ) ( est-à-dire à basse éergie). l Cela sigifie que das le domaie des résoaes, seules les odes partielles ave l 0,, et (au plus) 3 doivet être osidérées. Les autres sot effetivemet supprimées par des barrières etrifuges élevées. Ue attributio de spi et parité, fodée puremet et simplemet sur la omparaiso de la largeur observée par rapport au largeurs moyees estimées est, bie etedu, puremet probabiliste, à réviser si de ouveau élémets apparaisset tels que des miima aratéristiques des iterférees d ode s das la setio effiae totale. L iformatio réelle sur le ouple spi-parité est fourie par les doées de diffusio puisque les distributios agulaires diffèret de faço marquée pour les iveau s, p et d. Habituellemet, o ompare des distributios agulaires alulées par avae pour des résoaes isolées ave elles observées. E pratique, les résoaes sot toutefois raremet isolées et iterfèret ave les autres iveau de même spi et parité. De plus, les distributios agulaires présetet des iterférees même etre des odes partielles différetes, par eemple etre les amplitudes d ode s et p. U ertai ombre d essais et d erreurs sur les spis et les parités e peut do être évité durat la phase iitiale d austemet des résoaes, même das le as idéal où eistet des doées doublemet différetielles de haute résolutio. Les effets des iterférees devieet de plus e plus gêats lorsque l éergie augmete et l aalyse des résoaes résolues doit évetuellemet être remplaée par l aalyse de la setio effiae moyee aisi que ous allos e disuter das le hapitre suivat. 05

4. THÉORIE STATISTIQUE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE NON RÉSOLU Nous avos déà ommeé à utiliser la statistique des résoaes lorsque ous avos estimé la otributio des iveau eteres («éloigés») à la matrie-r das la sous-partie 3.4.7. Nous allos maiteat l appliquer de maière systématique au domaie des résoaes o résolues, aisi qu o l appelle, où la résolutio epérimetale limitée e permet que d observer des moyees de résoaes, ressemblat à des setios effiaes lisses alors que des résoaes eistet et se fot setir au travers de phéomèes tels qu absorptio dépedat de la température et auto-protetio. Les setios effiaes moyees, les arrés des flutuatios moyees (variaes) et autres fotios des setios effiaes, telles qu attéuatio du faiseau ou auto-protetio dépedat de la température, peuvet être prédites au mois par les probabilités si o oaît la statistique des résoaes o résolues, e partiulier les distributios de probabilité de leurs espaemets et de leurs largeurs partielles. Le Modèle Statistique des réatios uléaires (et atomique), ave résoaes, apparût das les aées 50 (voir Porter 965, pour les publiatios maeures). Il est basé sur la théorie des probabilités des matries hamiltoiees, est-à-dire sur les distributios de probabilité ooite («esembles») de leurs élémets de matrie ayat pour otraite leurs symétries et autres aratéristiques globales. Il a été établi que l Esemble Gaussie Orthogoal des matries symétriques réelles itroduit des distributios théoriques de largeurs partielles et d espaemets de iveau, e aord ave elles observées. Les epressios aalytiques des setios effiaes, e terme d espaemets moyes des iveau et de largeurs partielles moyees, pourraiet être d abord déduites pour les setios effiaes totales moyees tadis que les epressios trouvées pour les setios effiaes partielles sot approimatives, valables uiquemet pour des résoaes bie séparées, e se reouvrat que faiblemet. Le as des reouvremets importats etre les iveau, appelé problème de Hauser-Feshbah, e fut résolu qu e 985. 4. Statistique des iveau Nous ommeços par les bases de la statistique des iveau, e partiulier par les distributios (loales) des paramètres de résoae de la matrie-r, les éergies E des iveau et les amplitudes de voie γ. 4.. Hypothèse de Porter et Thomas Les amplitudes de déroissae γ de la théorie de la matrie-r sot essetiellemet des valeurs des fotios propres radiales iteres pour la voie d etrée, représetat le reouvremet de la ème fotio propre et de la fotio d ode etere («voie») pour la même valeur du rayo r a (voir Lae et Thomas 958, Ly 968). Pour u système omposé ayat A + uléos, e sot des itégrales à (3A + ) dimesios sur la surfae de la régio itere das l espae des ofiguatios. Les itégrads osillet rapidemet, si bie que les otributios positives et égatives tedet à s auler. Les itégrales sot do attedues prohes de zéro ave la même probabilité d être positives ou égatives, dépedat des partiularités ioues de la ème fotio propre. 07

Das es irostaes, ue distributio Gaussiee de moyee ulle des γ semble être ue propositio raisoable. E effet, le priipe du maimum d etropie de la théorie des probabilités (voir partie.7) ous dit que, si ous savos seulemet que la distributio possède ue moyee ulle et ue variae fiie γ, la distributio de probabilité la plus raisoable et obetive pour toutes les ouvelles iférees est la Gaussiee, ( γ ) dγ e d γ p γ < <. (75) π γ Ave dγ γ dγ par Porter et Thomas (956), p γ et ( ) ( ) γ dγ p γ γ dγ, ela deviet la distributio supposée p y e ( γ γ ) dγ dy πy 0 < γ y <, (76) γ pour les largeurs partielles Γ P γ de voie uique (et à ue éergie doée). Des eemples de largeurs de voie uique sot les largeurs eutroiques pour I 0 ou l 0 (voir Tableau ) ou les largeurs radiatives pour ue seule trasitio radiative, o seulemet e spetrosopie uléaire mais égalemet atomique et moléulaire. Les distributios de Porter et Thomas d ue seule voie sot e bo aord ave les distributios observées pour les largeurs eutroiques réduites de voie uique et pour les largeurs radiatives de simple trasitio. Il faut toutefois réaliser que les iveau les plus faibles eu ayat les largeurs de voie d etrée les plus petites tedet à être perdus das les bruits de fod epérimetau. D après l hypothèse de Porter et Thomas, e sot les plus fréquets. Les distributios empiriques des largeurs et e partiulier les valeurs empiriques des desités de iveau doivet do être ivariablemet orrigées des iveau maquats. La figure 6 motre u eemple du bo aord etre les distributios des largeurs observées et théoriques au dessus du seuil de détetio des faibles iveau. D u autre ôté, o peut voir que plus de 0% des iveau sot maquats. (L éhatillo ompreait des résoaes de 38 U+ omprises das l itervalle d éergie 0 3 kev, d ode s ave ue probabilité estimée de 99% ou plus.) 08

Figure 6. Distributio de Porter et Thomas. Histogramme : ombre de résoaes d ode s de 38 U+ d éergie iférieure à 3 kev dot la largeur eutroique réduite est plus grade que la valeur e absisse. Courbes otiues : distributio umulative de Porter et Thomas ave sa bade de ofiae, valeur estimée par le maimum de vraisemblae Beauoup de largeurs observables sot epedat la somme de largeurs de plusieurs voies, par eemple des largeurs eutroiques ave pour I>0 et l > 0 (voir tableau ), des largeurs radiatives totales ou des largeurs de fissio. Si les moyees γ sot les mêmes pour les ν voies iterveat, ue telle largeur observée suivra la distributio gééralisée de Porter et Thomas, est-à-dire ue distributio du χ à ν degrés de liberté, ν où ( ) ( γ ) y ν e y dy ν γ p γ dγ, 0 < y <, (77) Γ γ ν () y Γ est ue fotio Gamma (o ue largeur), et γ γ, (78) γ ν. (79) γ La distributio de Porter et Thomas gééralisée s applique au largeurs eutroiques à deu voies (ν, distributio epoetielle) et, ave u ombre ν effetif (pas éessairemet etier) de voies de fissio, au largeurs de fissio (ν petit) et au largeurs radiatives totales (ν grad, distributio prohe d ue fotio delta : les largeurs radiatives e flutuet que faiblemet d u iveau à l autre). De grades valeurs effetives de ν e sot pas rares du fait du ombre habituellemet grad des trasitios radiatives permises vers les états mois liés du système omposé. Que ν soit petit pour les largeurs totales de fissio fut par otre ue surprise. Les etaies de paires possibles de fragmets de fissio, hau ave de ombreu états eités possibles, semblaiet 09

impliquer égalemet beauoup de largeurs partielles de fissio et ue grade valeur orrespodate pour ν. L éigme fut résolue par A. Bohr (955). Il motra qu avat que la fissio puisse avoir lieu, le oyau omposé doit passer le poit selle de la surfae d éergie potetielle (das l espae des paramètres de déformatio) au delà duquel la répulsio oulombiee prévaut sur la ohésio uléaire. Au poit selle, la plupart de l éergie d eitatio est sous forme d éergie de déformatio, et do seule reste ue faible partie pour les autres modes d eitatio dot le spetre ressemble à elui des états peu liés observés pour les déformatios de l état fodametal. La oservatio de l éergie, du momet agulaire et de la parité e permet d aéder qu à peu de es états de trasitio, idépedammet de la multitude des fragmetatios fiales. C est pourquoi les voies de fissio sot orrélées de telle maière que la largeur de fissio peut être osidérée approimativemet omme ue somme sur u petit ombre de termes, u pour haque état de trasitio («voie au poit de selle»). Pour la fissio, ν est par oséquet le ombre effetif de voies ouvertes au poit selle plutôt que le ombre de voies de réatio au ses habituel. Cei illustre que les «lois» de statistique des iveau e sot pas aussi rigides que le formalisme des résoaes disuté au Chapitre 3. Elles s appliquet priipalemet pour des états hautemet eités du système omposé pour lesquels les modèles à partiules idépedates, olletifs ou autres simpliités e peuvet être utilisés. Reflétat plus otre igorae que des phéomèes réellemet aléatoires, es lois e sot pas réellemet appliable là où les états osidérés sot simples et bie ompris. La oaissae du rôle oué par les états olletifs de trasitio d u oyau fissile, par eemple, ous permet de modifier et, e fait, de simplifier la desriptio statistique des résoaes de fissio. Das le as d éole des iteratios eutroiques ave u puits de potetiel arré omplee, où tout peut se aluler epliitemet, rie est aléatoire ou o spéifié, et les largeurs eutroiques réduites (à peu de hose près le arré des amplitudes de déroissae) apparaisset être toutes égales plutôt que de suivre ue distributio de Porter et Thomas (voir Fröher 998a). 4.. Loi de Wiger et l esemble Gaussie orthogoal Il s avéra bie plus diffiile de trouver la distributio des espaemets de iveau das ue famille de iveau de JΠ doé que de détermier les distributios des largeurs partielles. Dès le début, Wiger (957) teta ue hypothèse hardie. Il tira ue olusio, ave la distributio de Poisso essayée par d autres, selo laquelle la probabilité de trouver u espaemet de iveau E + -E das u itervalle dd autour de D est seulemet proportioel à dd et est idépedat de la distae du iveau préédet. Il motra que les éergies des iveau sot des valeurs propres de matries hamiltoiees, et que les esembles de matries présetet touours ue répulsio des valeurs propres (la probabilité deviet égligeable si l espaemet de iveau ted vers zéro) si bie qu au mois pour les faibles espaemets, la probabilité devrait être proportioelle à DdD. E faisat l hypothèse que la proportioalité est égalemet vérifiée pour les grades valeurs de D, il obtit immédiatemet e qui est ou auourd hui sous le om de loi de Wiger, p D, 0 < D <, (80) 0 D ( D D ) dd ep D dd DdD e DdD 0

où la ostate de proportioalité est liée à l espaemet moye des iveau D par ( D ) π. La théorie des esembles de matries hamiltoiees (soit des distributios de probabilité des matries hamiltoiees) fut développé par la suite par Wiger, Porter, Dyso, Mehta et d autres (voir Porter 965, Brody et al. 98, Mehta 99). Les matries hamiltoiees uléaires sot, bie etedu, hermitiees mais égalemet, du fait de l ivariae pratique des iteratios uléaires par iversio du temps, symétriques et do réelles. Si ous oaissos ue distributio de probabilité de telles matries, ous pouvos e déduire la distributio de probabilité orrespodate des valeurs propres. L esemble le plus simple est obteu si ous e supposos rie d autre qu ue dispersio fiie du spetre des valeurs propres, e qui est très bie réalisé par des distributios de valeurs propres similaires à des Gaussiees issues des aluls du modèle e ouhe (voir Brody et al. 98). E maimisat l etropie de la distributio ave la oditio d ue dispersio fiie (voir par eemple Fröher 990, 99a), o trouve omme hoi le plus obetif ( ) d( H) ep( H µµ ) dh µµ ep( H µν ) dh µν p H, µ µ<ν N +, (8) 4 d H dh où N est le rag de la matrie H (le ombre de valeurs propres), ( ) ν µ µν l élémet de volume das l espae des élémets de matries idépedats, et la dispersio du spetre des valeurs propres (autour de so etre E 0). Ayat l etropie maimale (oteu miimal e iformatio) parmi toutes les distributios de matries réelles symétriques ave u éart-type doé, et esemble oue u rôle similaire pour es matries à elui que oue les distributios Gaussiees pour les distributios salaires de dispersio doée. Il est appelé l Esemble Gaussie Orthogoal (EGO) ar il est ivariat par trasformatio orthogoale et pare que les élémets de matrie ot des distributios Gaussiees idépedates. E réalité, Wiger l obtit à partir des eigees de l ivariae par rotatio (toutes les bases orthogoales doivet être équivaletes e méaique quatique) et d élémets de matrie distribués idépedammet, mais la oditio d idépedae requise fut ugée omme o physique, e oflit ave la aratéristique des fores uléaires à faire iterveir deu orps de faço prédomiate. Das l approhe du maimum d etropie, l idépedae est ue oséquee aturelle de l iformatio limitée à l etrée. E tous as, la suggestio de Wiger que l EGO fourit u modèle mathématiquemet simple de la statistique des iveau a été parfaitemet ofirmée. Porter et Rosezweig (960) démotrèret que pour des très grades matries (u très grad ombre d états du système omposé), l EGO aboutit à la distributio de Porter et Thomas des largeurs partielles. La distributio des espaemets de iveau de l EGO pour des matries est eatemet la loi de Wiger, tadis que pour des matries plus grades elle e est très prohe omme le motrèret Mehta (960) et Gaudi (96), voir figure 7.

Figure 7. Distributio des espaemets etre les iveau voisis pour l Esemble Gaussie Orthogoal des matries réelles symétriques. Lige otiue : grades matries N N, ave N (Gaudi 96). E poitillé : matries (Distributio de Wiger, équatio 80) Les espaemet de iveau sot orrélés de telle faço qu u espaemet relativemet importat aura plutôt tedae à être suivi d u espaemet faible, et vie versa. Le oeffiiet de orrélatio e résultat est ρ ( D, D ) var ( D, D+ ) ( D ) var( D ) ov + + 0.7 (8) pour de grades matries. L esemble des valeurs propres est par oséquet remarquablemet régulier («rigide»), ave des positios de iveau presque équidistates, e qui le différeie otablemet d u esemble aléatoire ave ue distributio de Poisso pour les itervalles. Tout ei est e eellet aord ave la statistique observée des iveau uléaires (ou atomiques), au mois das des itervalles d éergie limités où les letes variatios de l espaemet moye des iveau et des largeurs partielles moyees peuvet être égligées. Les éarts apparets par rapport au préditios de l EGO disparaisset habituellemet si les letes variatios sur u grad itervalle («variatios séulaires») des paramètres statistiques de iveau sot orretemet prises e ompte. O e peut s attedre à e que l esemble Gaussie orthogoal, ayat omme seule oditio ue dispersio fiie du spetre des valeurs propres, reproduise des aratéristiques uléaires plus spéifiques telles que desités de iveau d u gaz de fermios, effets de ouhes, résoaes dipolaires géates ou barrières de fissio. E fait, la desité de iveau semi-irulaire de l EGO obteue par Wiger (957) diffère des desités similaires à des Gaussiees obteues das des aluls du modèle e ouhe, plus réaliste (voir Brody et al. 98). Alors que les distributios des éergies et des largeurs partielles des iveau peuvet loalemet être prises omme elles de l EGO, leurs paramètres (desité de iveau, largeurs moyees) variet letemet ave l éergie. Ces variatios séulaires sot dérites par des modèles marosopiques du oyau, la desité de iveau, par eemple, l est par le modèle du gaz de Fermi ou, à plus haute éergie, par le modèle e ouhe ave iteratio résiduelle ; les fotios desités des eutros, protos et partiules alpha par le

modèle optique ; les fotios desités des rayos gamma par le modèle de la résoae dipolaire géate ; les fotios desité de fissio par les modèles de barrière de fissio. 4..3 Coeffiiets de trasmissio La théorie appropriée pour le domaie des résoaes o résolues est la théorie de Hauser-Feshbah ave orretio des flutuatios des largeurs. Elle est obteue si o moyee les epressios des setios effiaes de la matrie-r sur l EGO. Les paramètres essetiels sot les fotios desités ou les oeffiiets de trasmissio qui leur sot itimemet liés. Pour des voies de partiules (eutro, proto, partiule alpha), es deriers sot défiis par T 4πs P U. (83) R L 0 Le déomiateur, ave R R + iπs, (84) red ompte des reouvremets et effets d iterféree dus au iveau voisis et éloigés, s et R état les itesités de pôle et le paramètre des iveau éloigés déà reotré das le otete des iveau eteres, voir les équatios 09 et 0. Le oeffiiet de trasmissio est do essetiellemet π fois le rapport etre les largeurs effetives de partiule (par eemple eutroique) et l espaemet moye des iveau. Pour les voies photos ou fissio, o utilise de faço aalogue T γ Γγ π, (85) D T f Γf π. (86) D Les oeffiiets de trasmissio pour les voies de partiule peuvet être obteus à partir du modèle optique qui dérit l iteratio etre ue partiule iidete et le oyau ible par u potetiel omplee, e aalogie ave la diffratio et l absorptio de la lumière par la proverbiale boule de ristal opaque. Le potetiel omplee est austé de maière à e que la setio effiae totale moyee soit bie reproduite sur tout le domaie des résoaes o résolues et bie au-delà. Pour des oyau de dimesio similaires, par eemples les atiides tels que 35 U, 38 U et 39 Pu, o s atted à avoir des barrières potetielles semblables et do des setios effiaes totales moyee similaires. Et est e fait e que ous observos-voir par eemple les mesures de trasmissio eutroique et les austemets ave le modèle optique effetués par Poeitz et al. (98) sur toute ue série de oyau lourds. Le modèle optique a par oséquet u pouvoir préditif et systématisat osidérable. Il faut toutefois garder e mémoire que est essetiellemet u modèle à partiules idépedates ou la diffusio e défiit que la diffusio direte (potetielle), alors que l absorptio sigifie qu il y a formatio du oyau omposé et ilut o seulemet des aptures radiatives ou des fissios, mais égalemet des diffusios résoates, est-à-dire la réémissio de la partiule iidete (ou d ue partiule idiserable de elle-i) à partir du oyau omposé. De plus, les distributios agulaires alulées ave u potetiel omplee qui reproduit orretemet la setio effiae totale e sot pas eatemet égales au diffusios doublemet différetielles moyees dérivées du formalisme de la matrie-r. Le seul type de setio effiae observable diretemet obteu ave le modèle optique est do la setio effiae totale (moyee). Les austemets sur les 3

doées de diffusio ou d autres setios effiaes partielles demadet ue prise e ompte oveable des diffusios résoates eepté loi au-delà du domaie des résoaes o résolues où les proessus par formatio du oyau omposé sot égligeables. La priipale iformatio obteue par les études à l aide du modèle optique sur les réatios iduites par eutros est que les fotios desité et les paramètres des iveau éloigés e variet que faiblemet sur le domaie relativemet étroit des résoaes résolues aisi que d u oyau à l autre. De plus, ils peuvet habituellemet être osidérés omme e dépedat que du momet orbital agulaire, aisi que ela fut metioé das le otete de l équatio (3). Les oeffiiets de trasmissio pour les voies iélastiques, par eemple (, ) ou (p,p ), peuvet être alulés ave les mêmes epressios que pour les voies élastiques (,) ou (p,p) mais ave l éergie E de la partiule remplaée par E E, où E est l éergie d eitatio trasférée au oyau rédiduel. Le oeffiiet de trasmissio total des photos pour les familles JΠ de résoaes est domié par les trasitios dipolaires életriques et magétiques, T E M [ T T ] JΠ γ + γ, JΠ, (87) où les sommes portet sur toutes les voies de sorties aessibles, est-à-dire toutes les trasitios dipolaires permises d u état de spi J et parité Π du oyau omposé vers u iveau mois lié. Les otributios dipolaires életriques sot ommuémet osidérées omme ayat la forme Loretziee lassique des résoaes dipolaires géates, 4 Eγ, (88) T E ( E E ) + ( ΓE ) γ 0 γ où E γ est l éergie des photos de la trasitio, E 0 et Γ sot l éergie et la largeur de la résoae dipolaire géate où tous les protos vibret otre tous les eutros. De maière empirique, o trouva / 6 que pour u oyau omposé sphérique ayat A uléos, o a E0 MeV / A, / 3 Γ 33 MeV / A. Pour des oyau magiques, Γ est plus petit d u fateur 0.6, pour u oyau presque magique ave Z ou N différet d u ombre magique de ou, le fateur est eviro de 0.8, et pour des oyau déformés il vaut eviro. (voir Holmes, Woosley, Fowler et Zimmerma 976). Les otributios dipolaires magétiques sot plus petites. Elles sot souvet approhées par l estimatio simple de Weisskopf T M 3 E γ, (89) ou sot toutes égligées. La somme (87) sur les iveau fiau, pour ue éergie d eitatio U arbitraire U, peut être alulée omme ue itégrale de ρ ( U E )..., ave par eemple ue JΠ desité de iveau de Gilbert-Camero ρ J, et ormalisée sur la fotio desité gamma πρ J Γ γ das le domaie des résoaes résolues (obteue empiriquemet, au mois pour les résoaes d ode s, à partir de leurs largeurs radiatives et espaemets, déduites pour les autres via les distributios théoriques de spi disutées i-dessous). Les oeffiiets de trasmissio de fissio sot dus à Hill et Wheeler (939). Pour des barrières de fissio à simple bosse de forme parabolique idetique pour tous les états de trasitios, ils s érivet 4 0 γ J γ

T JΠ f [ π( E E) hω] γ, JΠ + ep /, (90) où E est l éergie de la partiule iidete, E la hauteur de la barrière sur la même éhelle d éergie, h ω est proportioel à l iverse de la ourbure de la parabole, et la somme se fait sur tous les états de trasitio (voies au poit selle) e aord ave J et Π. Pour des barrières à double bosse, il est souvet suffisat de ombier les oeffiiets de trasmissio T A pour la première barrière et T B pour la seode e additioat les iverses, T + JΠ JΠ J Π f TA TB, (9) e aalogie ave les résistaes e série. Des epressios plus géérales sot doées par eemple par Vadebosh et Huizega (973). Là eore, la somme (90) doit être alulée omme ue itégrale sur ue desité ovable d états de trasitio, voir Ly (974). Les espaemets moyes de iveau ou leurs iverses, les desités des iveau uléaires, apparaisset devoir ouer le rôle de fateurs d éhelle das la théorie. Leur dépedae e spi et e éergie a ue forte ifluee sur le omportemet des setios effiaes moyees et va être disuté das la suite. 4..4 Desités des iveau uléaires Les iveau du oyau omposé peuvet être observés das deu domaies d éergie à proimité de l état fodametal usqu à quelques MeV (par eemple, à l aide de spetrosopie de rayos gamma de apture eutroique ou d eitatio oulombiee), et au iveau de l éergie de séparatio du eutro d eviro 7 MeV (par l observatio des résoaes das les réatios iduites par eutros et protos). À es éergies d eitatio plus élevées, la desité de iveau se trouve être supérieure de plusieurs ordres de gradeur par rapport à l état fodametal. Ue epliatio d ue augmetatio si rapide des desités de iveau e fotio de l éergie d eitatio doit s appuyer sur les aratéristiques fodametales du oyau que otiet le modèle e ouhe uléaire : les uléos, obéissat à la statistique de Fermi-Dira et do au priipe d elusio de Pauli, se déplaet pour la plupart idépedammet das le puits de potetiel gééré par leurs iteratios mutuelles. Notos ε ν la ν-ème valeur propres de l éergie du puits, et iν le ombre d oupatio (0 ou pour des fermios) du ν-ème iveau das le i-ème état uléaire. Pour des uléos idépedats, le ombre total de uléos et l éergie totale du i-ème état uléaire sot do i iν ν N, 0,. (9) i iνε ν ν iν E, ε ν > 0. (93) La desité réelle à deu dimesios des états du oyau omposé, ( E) δ( N N ) δ( E ) ρ N,, (94) i i E i 5

admet que des valeurs disrètes. Ue desité otiue peut être obteue si ous imposos des valeurs arbitraires o égatives de N et E e tat que moyees podérées N p i N i, (95) E p i E i. (96) i i Le priipe du maimum d etropie ous dit ommet hoisir les poids p i ave es deu oditios. Le hoi le plus raisoable, assurat u miimum d iformatio fatie, est l esemble grad-aoique (itroduit pour la première fois par Gibbs e thermodyamique), p αn i βe i i e, (97) α Ni β Ei Z i Z e, (98) ave les multipliateurs de Lagrage α et β. E remarquat que la fotio de partitio Z est la trasformée de Laplae de la desité de iveau ρ, de l équatio (94), ous oluos que la desité de iveau doit être reliée à la fotio de partitio par ue trasformatio de Laplae iverse, Z αn βe ( α, β) dn de ρ( N,E) e 0 0, (99) ρ πi ( N, E) dα dβ Z( α, β) πi i i i i dα i i i i dβ e S, e αn +βe (300) où S est l iformatio etropie pour les paramètres de Lagrage arbitraires α et β, S i p l p l Z αn + βe. (30) i i L itégratio au poit selle, est-à-dire le développemet de S autour de so maimum pour α αˆ, β β ˆ et la troatio après les termes quadratiques, doe la relatio remarquable etre la desité de iveau et l etropie ˆ S e ρ ( N, E), (30) det T ( π Sˆ ) où ous itroduisos l opérateur de dérivée vetorielle ( αˆ βˆ ) T. Les paramètres de Lagrage αˆ, βˆ pour le maimum sot ustemet eu proveat de l algorithme de l etropie maimale, et l iformatio etropie maimale S ˆ S( αˆ, βˆ ) est l etropie thermodyamique des physiies divisée par la ostate de Bolzma. Cosidéros la fotio de partitio. Nous remarquos que la somme sur tous les états du oyau omposé reviet à la somme sur toutes les séries possibles des ombres d oupatio des fermios, 6

Z α βε ν ( + ) αn βei e e i i. (303) ν E développat le derier produit, o remarque e fait que haque état est représeté par u terme de somme, haque terme de somme état u produit d epoetielles pour tous les iveau oupés ave u fateur uité pour les iveau vides, aisi que le demadet les équatios (9) et (93). E passat au logarithme et e faisat l approimatio de la somme par ue itégrale, o obtiet ν α βε α βε ( + e ) dε g() ε l( + ) ν l Z l e 0, (304) où g(ε) est la desité des iveau à ue partiule. Das l état fodametal, ave l éergie totale E 0, tous les iveau sot oupés usqu à elui qu o appelle iveau de Fermi ε F, de sorte que N ε F 0 dε g () ε F, (305) E0 dε g() ε ε. (306) Le oyau est aisi dérit omme u gaz odesé («dégééré») de fermios. La odesatio dimiue lorsque l eitatio augmete et de plus e plus de iveau vides sot réés sous le iveau de Fermi alors que des iveau situés au-delà se remplisset. Tat que seul u itervalle relativemet faible autour du iveau de Fermi est affeté, où la variatio de g(ε) est égligeable, o peut utiliser l approimatio l Z αn βe 0 g + β ( ε ) ( α βε ) F F π + 6 ε 0 (307) (voir par eemple Bohr et Mottelso 969). La maimisatio de l etropie ave la fotio de partitio doe deu équatios ouplées pour αˆ et βˆ, ( ε ) α βε ˆ π g F ˆ F, (308) E E0, (309) ˆ 6 β et fialemet la formule de la desité de iveau pour u gaz de fermio ep 4aU ρ ( N, E), (30) 48U où U E E0 est l éergie d eitatio et a ( π 6) g( ε F ), appelé paramètre de desité de iveau du gaz de fermios, déped de N du fait de l équatio (305). Va Lier et Uhlebek miret e lumière, e suivat u oseil de Goudsmit, que das le as partiulier de iveau à partiule uique équidistats, soit pour u potetiel dérit par u osillateur harmoique, la desité de iveau d u gaz de fermio peut être alulée de maière eate (voir Eriso 960). Les éergies d eitatio possibles sot des multiples etiers de l espaemet d g. Pour U d,, 3, 4,... o a,, 3, 5 états différets (arragemets d oupatio). Comme o peut le voir sur la figure 8 (e haut), le ombre d états est égal au ombre des différetes 7

partitios de l etier U/d, la partitio état ii défiie au ses de la théorie des ombres omme ue déompositio e terme de somme d etiers aturels. Le ombre de partitio peut être alulé par ue formule réursive veat d Euler (753). L histogramme de desité de iveau rigoureuse e résultat est traé ave la ourbe approimative du gaz de fermios sur la figure 8 (e bas). L aord est bo sauf au plus faibles éergies d eitatio. L augmetatio rapide, pratiquemet epoetielle, de la desité de iveau ave l éergie est évidete. Figure 8. Fermios oupat des iveau à partiule uique équidistats. E haut : état fodametal et premiers état eités. E bas : desité eate des iveau d après la théorie des ombres (ourbe e esalier) et approimatio par la maimisatio de l etropie (ourbe lisse) 8

Jusque ii ous avos égligé la différee etre protos et eutros et leurs spis. Il oviet de gééraliser à des oyau à des oyau ayat Z protos, N eutros et u ombre quatique de diretio de spi M. Le résultat est la fameuse formule de Bethe (937) pour la desité de iveau (voir égalemet Gilbert et Camero 965) ρ ( Z, N, E, M ) ep g [ M ( g m )] [ U M ( g m )] 3 4a U m (3) ave g g p + g, (3) g m g p m p + g m, (33) où g p et g sot les desités des iveau à partiule uique pour les protos et les eutros, m p et m leurs ombres quatiques d orietatio de spi. (Le puits de potetiel et do les iveau à partiule uique des protos diffèret de eu des eutros du fait de l iteratio oulombiee.) M g m est bie plus petit que U. Cela mèe à ue fatorisatio approhée de Habituellemet ( ) ρ ( Z, N, E, M ) ω ( U ) ω( U ) e u produit de la desité d état totale M e M π (34) ω ( U ) ω ( U ) M π 3 e 4aU ( 4aU ) M 5 4 a, (35) ave ue distributio Gaussiee sur tous les ombres quatiques d orietatio de spi M, de variae doe U g m. (36) a La Gaussiee est orretemet ormalisée à puisque la formule de somme d Euler-MaLauri M M e π M dm e pour des valeurs de M etières, mais égalemet demi-etières. L éart-type est souvet appelé fateur de oupure de spi. Les valeurs typiques sot de ~ 3 pour des oyau itermédiaires tels que les matériau de struture Fe, Ni, Cr et ~ 4.5 pour des atiides tels que Th, U, Pu. Il faut toutefois réaliser qu e l absee de hamps etérieurs, o e peut distiguer et idetifier omme résoaes séparées que les états uléaires J, M de momet agulaire total J (spi du iveau) différet. Les états ayat pour seule différee la diretio du spi, M -J, -J+, J, sot dégéérés et do idiserables. Cela sigifie que ous devos ompter qu ue seule de es alteratives, par eemple uiquemet les états ave M J, J, J, si ous voulos la desité ρ J des iveau ayat u J doé. Les états otribuat à ω J et ω J+ peuvet alors être ragés e deu oloes de la maière suivate, 9

J, J J +, J J +, J J +, J + J +, J + les états sur la même lige, par eemple J +, J et...... J +, J +, état dégéérés. Si ous effetuos la différee à ω J -ω J+, toutes les otributios de la première oloe sot par oséquet aulées par elles de la seode, eeptio faite de la otributios des états J, J qui est égale à la desité des iveau ρ J voulue (Bethe 937). O a aisi, ave l approimatio par fatorisatio (34), ρ J ω J ω J + ω π ω π J ep ep 8 ep ( J + ) J + sih ep ( J + ). (37) C est la desité de tous les iveau de spi J, sas osidératios sur la parité. La desité de iveau pour telle ou telle parité (+ ou -) peut ormalemet être prise simplemet omme la moitié (voir Eriso 960, Gilbert et Camero 965). Des approimatios largemet utilisées osistet à remplaer le sius hyperbolique par so argumet, ou de maière plus drastique, e érivat ρ J J + g, e qui est toutefois vérifié orretemet que si J<<, est-à-dire pour les deu ou trois plus faibles valeurs possibles de spi. La figure 9 motre la distributio eate f J ep[ J ] ep[ ( J + ) ] pour 3.0 et 4.5, valeurs qui s appliquet, grossièremet, das le domaie des résoaes résolues au matériau de struture tels que Fe, Ni, Cr et au atiides tels que Th, U, Pu, respetivemet. Remarquos que la distributio est ormalisée à 8 u, eatemet pour les spis etiers et pratiquemet pour les spis demi-etier ( / e ). 0

Figure 9. Distributio de f pour 3 (orrespodat grossièremet au oyau itermédiaires tels que Fe, Ni, Cr) et 4.5 (orrespodat grossièremet au atiides tels que Th, U, Pu). Poits : spis etiers, roi : spis demi-etiers Bie que l approhe des desités de iveau uléaires par la théorie des ombres apparaisse égalemet prometteuse pour les systèmes de iveau à partiule uique réalistes (o équidistats) (Azaldo 995), la plupart des théories atuelles de la desité de iveau qui otieet epliitemet les iveau du modèle e ouhe, les iteratios résiduelles, la déformatio, les mouvemets olletifs rotatioels et vibratioels et la superfluidité de la matière uléaire à basse éergie d eitatio, sot fodées sur l approhe thermodyamique (etropie maimale) de Bethe. U eemple est la formule omposite largemet employée de la desité des iveau de Gilbert et Camero (965). Elle eplique de maière heuristique les effets d appariemet des uléos et le omportemet empiriquemet observé des desités de iveau à proimité de l état fodametal où les modes olletifs iterdiset u traitemet puremet statistique des états omposés. Elle est ostituée de deu parties, ue partie ostate e fotio de la température valable au basses éergies d eitatio à laquelle se rattahe e otiuité ue partie se omportat omme u gaz de fermios (Bethe) valable au grades éergies, ave ue systématique des paramètres déduites d u grad esemble de doées sur la struture uléaire près de l état fodametal et de doées des résoaes au dessus des éergies de séparatio des eutros ou protos. La desité des iveau de spi J et de parité queloque est dérite par l équatio (37) ave

ω π 3 3 ep ( 4aU ) ep 4aU 3 4aU 3 ( 4aU ) a A 3 a A 3 U U ep T si U U si U U,, (38) dot la partie à haute éergie est obteue e appliquat, d après Jese et Luttiger (95), 3 m A ave A Z + N et 0.46. L éergie d eitatio effetive, ( Z ) P( N ) U B + E P, (39) est prise omme la somme de l éergie de liaiso B et de l éergie iétique E du eutro, orrigée des éergies P(Z) et P(N) éessaires pour briser les paires si tous les protos ou tous les eutros sot appariés, est-à-dire si le ombre Z de protos ou le ombre N de eutros est pair. E dessous de l éergie de raordemet, le fateur de oupure de spi est souvet pris omme ue fotio liéaire de U, s aulat à l état fodametal, de sorte que A A 3 3 4aU, U + P 4aU U + P ( Z) + P( N) ( Z) + P( N) si U U si U U,, (38) la formule pour le gaz de fermios de Bethe à haute éergie et elle à température ostate à basse éergie doivet se reoidre e otiuité à l éergie de raordemet U. La température T (e uité d éergie) déoulat de la oditio de otiuité est doée par 3 J mi U T +, 3 4aU 4aU A a 0 pour A pair J (3) pour A impair où le troisième terme est habituellemet égligeable. Les valeurs typiques das le domaie des résoaes résolues sot T ~.4 MeV pour les matériau de strutures tels que Fe, Ni, Cr et T ~ 0.4 MeV pour les atiides tels que U et Pu. Gilbert et Camero doet les paramètres empiriques a, U, P(Z) et P(N) pour u ombre importat de oyau omposés, aisi que des formules aalytiques pour leur systématique, par eemple 50 U.5 + MeV, (3) A si bie que les desités de iveau peuvet être estimées même e l absee de doées de struture uléaire (shémas de iveau) pour les iveau iférieurs ou les doées de résoaes (setios effiaes) au-delà de l éergie de liaiso du eutro. C est partiulièremet importat, par eemple, si les setios effiaes de fissio doivet être alulées, pour lesquelles o a besoi des desités des états de trasitio au poit selle de déformatio. Celles-i e sot pas diretemet observables, mais sot attedues similaires au desités des états pour la déformatio au voisiage de l état fodametal et, par oséquet, desriptibles, au mois grossièremet, par la partie ostate e fotio de la température de la formule omposite de desité de iveau. D autres eemples sot les oyau das des états métastables ou les radiouléides de ourte durée de vie, dot les doées sot diffiiles à mesurer mais sot éessaires pour les aluls d iiératio et de trasmutatio e tehologie uléaire ou pour les études de uléosythèse e astrophysique.

Comme ous l avos déà metioé, l Esemble Gaussie Orthogoal a ue distributio des valeurs propres selo la loi du demi-erle, et des esembles plus physiques tels que le modèle e ouhe ave les iteratios résiduelles traitées statistiquemet ot des spetres de valeurs propres ressemblat à des Gaussiees. Est-e e oflit ave l augmetatio quasi epoetielle de la desité de iveau das la formule de Bethe? La répose est que la formule de Bethe est valable pour des eitatios modestes, où seul u petit ombre de iveau à partiule uique autour du iveau de Fermi est affeté, et que i la profodeur du potetiel des partiules idépedates i les états o liés du otiuum ot ii d effets. Toutefois, lorsque l éergie d eitatio augmete, de plus e plus de uléos sot déplaés de iveau situés sous le iveau de Fermi vers des iveau situés au-dessus et même vers des états du otiuum qui e fot plus iterveir seulemet le oyau omposé. La desité de iveau d u oyau omposé doé augmete do usqu à u maimum mais déroît esuite à ouveau, de maière Gaussiee, du fait de l augmetatio de la ompétitio des états o liés représetat la trasmutatio et la destrutio uléaires. La formule de Bethe apparaît aisi omme ue approimatio de la queue à basse éergie d ue fotio de desité pratiquemet Gaussiee (voir Grimes 980), ertaiemet appliable das le domaie des résoaes o résolues mais pas à des éergies d eitatio de l ordre du GeV. 4..5 Iformatio proveat des résoaes résolues L iformatio globale sur les fotios desité ou les oeffiiets de trasmissio peut être obteue à partir des systématiques du modèle optique. Ue iformatio a priori plus spéifique pour u système omposé doé proviet toutefois des résoaes résolues. Le oeffiiet de trasmissio pour ue voie d etrée { αjls} est relié à la largeur partielle moyee orrespodate par T πγ D (ous itégros le déomiateur de la orretio multi-iveau de l équatio 83 das la largeur partielle) mais les largeurs eutroiques observables («globales») sot des sommes de largeurs partielles pour toutes les voies ompatibles ave les aratéristiques J et Π des iveau. E égligeat la faible dépedae des oeffiiets de trasmissio e fotio du spi des voies prédite par le modèle optique, o obtiet pour la largeur eutroique moyee ( E) Γ ν J D J S E evυ, (33) l l l lj où ν lj est le ombre de spis des voies ( ou ) qui peut être ombié ave l pour doer J. C est essetiellemet l équatio (74) que ous employos pour trouver la probabilité Bayesiee des aratéristiques J et l (ou plus eatemet Π) d ue résoae ayat ue valeur de gγ doée. O peut alors itroduire la défiitio usuelle de la largeur eutroique réduite, Γ l Γ, (34) E evυ l ( E) remplaer la moyee sur l esemble par la moyee sur l éhatillo, g J Γ l l N N ( gγ ) multiplier les deu membres par J, (35) J ρ J J g ρ et sommer sur tous les J ompatibles ave l. Ave J g ν l + et N E, o trouve e fi de ompte la formule largemet utilisée J lj 3

pour estimer les fotios desités eutroiques à partir de toutes les valeurs de u itervalle d éergie E, N l ( gγ ) S. (36) l ( l + ) E l g Γ trouvées das Elle présete l avatage que i les spis des résoaes i les desité de iveau e doivet être l ous. Seuls les produits g Γ sot éessaires, e qui est souvet tout e que ous oaissos pour les plus petites résoaes. De plus, l estimateur est passablemet isesible au iveau maquats puisque eu-i possèdet de faibles largeurs eutroiques réduites et otribuet peu de e fait à la somme, et est de faço similaire isesible au mauvaises attributios de l qui, eore ue fois, affetet surtout les petits iveau. Le problème des iveau maquat est ruial si la desité de iveau doit être alulée. Bie souvet, les petites résoaes e sot pas du tout vues das les mesures de trasmissio alors qu au mois quelques ues d etre elles apparaisset das les doées de tau de apture ou de fissio. U simple omptage des iveau observés das ertais itervalles d éergie E est do raremet suffisat. U austemet sur la distributio de Wiger est pas beauoup plus utile ar les iveau maquats tedet à déformer la distributio des espaemets de iveau observés. Ue meilleure solutio pour estimer la fratio de iveau maquats osiste à regarder la distributio des largeurs eutroiques où seule ue portio située sous u seuil de détetio est affetée. Sas seuil, ous avos la distributio omplète de Porter et Thomas (77) que ous érivos maiteat, ave les l l abréviatios G gγ, Θ g Γ, et ν lj, omme ( Θ ) P G e d G, dg, 0 < <. (37) Γ Θ ( ) Ave la fotio de vraisemblae ( G Θ ) réduites et ave l a priori de Jeffreys P ( Θ G,..., G, ) ( N ) y p, pour u éhatillo G, G, G N de largeurs d Θ Θ pour le paramètre d éhelle Θ, o obtiet l a posteriori y N e y dy G dθ, 0 < y N,. (38) Γ Θ où G ( G +... + GN ) N faile de aluler les valeurs attedues y ( N ) et [( N )( N ) ] est la moyee sur l éhatillo. Ave ette distributio gamma, il est y et do les estimatios par perte quadratique, N Θ Θ G, (39), (330) N Θ N ave / pour les largeurs eutroiques à ue seule voie ( l 0 et I 0) et pour les largeurs eutroiques à deu voies ( l > et I>0). Notos à quel poit l iertitude est importate même pour de grads éhatillos-0% pour u éhatillo de 04 résoaes d ode s, par eemple. 4

Le as d u seuil de détetio doé G > 0 peut être traité de maière stritemet aalogue. La distributio d éhatilloage est ette fois ue distributio de Porter et Thomas de G troquée (distributio gamma de ), ( Θ,, G ) P G e dg Γ (, ) ormalisée par la fotio gamma iomplète, Γ ( ) e d G G, < <, (33) Θ Θ, d, (33) que ous reoaissos omme la probabilité pour u iveau d être observable. Elle déped des paramètres estimés, otrairemet à la fotio gamma Γ() que ous avios préédemmet. L a posteriori pour l éhatillo G, G, G N est alors P ( Θ G G, ),..., où G ( NG ) e dθ Z Γ y y N N (, y) y dy G, 0 < y N,. (333) Θ, et do y. La ormalisatio est doée par Z y N e y dy. (334) N 0 Γ(, y) y Les valeurs attedues éessaires y et y impliquet des itégrales similaires, y k Z y e y 0 Γ, N k ( y) N dy y, k,, (335) et est égalemet vrai pour la fratio attedue de iveau iobservables (maquats), Γ(,y) ave Γ (, y) Z 0 Γ e y y N (, y) N dy y, (336) Les fotios gamma iomplètes partiulières requises pour les largeurs eutroiques (et protoiques) sot (, ) π erf Γ, (337) (, ) ep( ) Γ. (338) Cei motre qu au mois pour, est-à-dire pour deu spis de voie possibles, les itégrales peuvet être alulées aalytiquemet : la largeur estimée par perte quadratique est 5

( G ) N Θ Θ N G y + G, (339), (340) N Θ N tadis que la fratio des iveau observées est attedue omme état Γ(, y) ( G G ) N +. (34) N G Pour / o doit itégrer umériquemet, ou utiliser l approimatio de Laplae qui doe la même estimatio de Θ que la méthode du maimum de vraisemblae. Pour ue disussio plus géérale des estimateurs de iveau maquats, ompreat des seuils ious, dépedats de l éergie et diffus aisi que des multiplets o résolus, voir Fröher (983). 4. Setios effiaes résoates moyees Le travail habituel das le domaie des résoaes o résolues osiste à aluler des setios effiaes moyees ou des fotios de setios effiaes telles que la trasmissio moyee, la moyee s effetuat sur u itervalle suffisammet large pour oteir plusieurs résoaes mais suffisammet étroit pour que les variatios séulaires de la statistique des iveau et les autres faibles dépedaes e éergie puisset être égligées. Nous pouvos do simplifier os équatios e 0 hoisissat des oditios limites telles que L ip, et e iorporat P das les amplitudes de déroissae γ. E outre, ous allos oter la matrie-s S plutôt que U, omme le veut la outume das la littérature sur les setios effiaes moyees. La matrie moyee de ollisio est alors à omparer ave les équatios (55-60, 09-0, 84) ave S ab e e i i [ ] ( ϕ ) a ϕb ( ir) ( + ir) ( ϕ ϕ ) a b δ ab + i, µ γ a ( ) ( E E) δ µ i γ γ µ µ A µ ab γ b, (34) A. (343) 4.. Setio effiae totale moyee Afi d obteir la moyee de la setio effiae totale, ous devos détermier la moyee des élémets S de la matrie de ollisio sur des itervalles d éergies, des profils de faiseau ou des fotios de résolutio appropriés. Ave ue fotio de podératio Loretziee, la hose est aisée S ( E) I π de S ( E E) + I de πi E E ii ( E ) S( E ), E E + ii (344) 6

où I est la largeur à mi-hauteur de la Loretziee. Du fait de la ausalité, la matrie de ollisio a pas de pôles au dessus de l ae réel (voir Lae et Thomas, 958) et do si ous fermos le otour par u grad demi-erle supérieur (dot la otributio est ulle), il e otiet que le pôle à E + ii de la Loretziee, d où le résidu S ( E ) S( E + ii ) (345) Comme ous pouvos égliger les faibles dépedaes e éergie, ous avos seulemet besoi de remplaer R(E) par R(E + ii), ave R ab ( E + ii ) E de γ aγ b D E E ii γ a γ b E ii ( R + iπs ) δ. a a ab (346) Da la derière approimatio, ous eploitos le fait qu à ause du sige des γ, la matrie des moyees γ a γ b est pratiquemet diagoale. E outre, ous avos itroduit les défiitios d itesité de pôle et de paramètre des iveau éloigés, équatios (09)-(0), et égligé la variatio de l itesité des pôles autour du pi de la Loretziee, eatemet omme lors du traitemet des iveau eteres (sous-partie 3.4.). Le résultat fial est ( Re S ) πd g, (347) S + i iϕ e i ( R + iπs ) ( R + iπs ). (348) La setio effiae totale moyee s eprime aisi e fotio de l itesité du pôle et du paramètre des iveau éloigés, des quatités qui peuvet être obteues soit par l aalyse statistique des résoaes résolues, soit à partir des déalages de phase das le modèle optique (après spéifiatio d u rayo de voie). 4.. Setios effiaes partielles moyees : Formules heuristiques Cotrairemet à la setio effiae totale, les setios effiaes partielles moyees ab a a ab ab πd g δ S, (349) e sot pas des fotios liéaires de S mais leur moyee doit être alulée à partir de termes quadratiques tels que S * S ab d. Elles ot des pôles aussi bie au dessus qu e dessous de l ae réel e qui empêhe l itégratio de otour ave ue fotio de podératio Loretziee. Sous les oditios habituelles d ergodiité et de ostae d ue boe statistique grad ombre de résoaes et variatio égligeable des distributios des paramètres das l itervalle où se alule la moyee o peut remplaer la moyee sur l éergie par ue moyee d esemble ( est-à-dire ue valeur attedue) sur l EGO, do sur la distributio ooite des éergies des iveau et des amplitudes de déroissae. La moyee d esemble est failemet obteue das le as limite de 7

résoaes très espaées («isolées») qui se reouvret si faiblemet que les effets multi-iveau et les orrélatios des valeurs propres peuvet être égligés. E supposat que les largeurs partielles suivet des distributios de Porter et Thomas gééralisées (χ ), o obtiet das l approimatio SLBW à iveau multiples ab p, a δ ab δa δb ν TaTb T + πd + δ + a g a ab d (350) T ν a ν 0 T (Dreser 957, Lae et Ly 957), où p,a est la setio effiae de diffusio potetielle, T S est le oeffiiet de trasmissio pour la voie, T T, et ν le degré de liberté pour les largeurs partielles Γ γ (gardos e mémoire que P est ilus das γ ). L approimatio T π Γ D, valable pour de très faibles reouvremets etre iveau, a été utilisée pour érire le résultat e fotio de T. C est la formule de Hauser-Feshbah ave reforemet élastique (premières parethèses) et orretio des flutuatios des largeurs (l itégrale), voir Moldauer (975). Nous rappelos que ν pour des voies simples mais que, das les appliatios pratiques, o utilise souvet des voies groupées, ave u ν effetif différet de u, afi de représeter par eemple toutes les voies de fissio ou de apture ou toutes les voies de partiules ayat le même momet agulaire total et la même parité et qui fot aisi iterveir les mêmes iveau du oyau omposé. Le ombre de voies photo est d ordiaire si importat (sauf pour les oyau légers ou magiques) qu il est possible de osidérer où T γ ν νγ T T γ Tγ T + e T lim +, (35) ν νγ ν γt γ γ T. Les ombreuses voies photo peuvet aisi être représetées approimativemet par u fateur epoetiel das l itégrale («fateur de Dreser») de l équatio (33). La gééralisatio de la formule de Hauser-Fesbah à des reouvremets queloques etre les iveau s avère être etrêmemet diffiile. Bie etedu, o pourrait touours avoir reours à l éhatilloage des espaemets de iveau et des amplitudes de déroissae par aluls Mote Carlo à partir de leurs distributios de probabilité, ave des aluls de setios effiaes potuelles et de moyees qui suivraiet. La setio effiae moyee désirée est aisi obteue, bie qu ave l iertitude statistique et ave le maque de trasparee aalytique typique des méthodes Mote Carlo. À partir de telles études umériques par Mote Carlo, deu formules aalytiques importates d u poit de vue pratique furet déduites de maière heuristique, par essai et erreur et ave des hypothèses pertietes. La première formule, due à Moldauer (980), osiste à étedre l utilisatio de la formule de Hauser-Feshbah, stritemet valable que pour les faibles reouvremets etre iveau, au forts reouvremets, mais ave p,a iterprétée omme setio effiae «direte» ou «de forme élastique», p, a π a g a S aa D, (35) et ave l epressio eate pour les oeffiiets de trasmissio de voie de partiule, 8

T a 4πsa. (353) ir aa De plus, les ν sot osidérés omme dépedat de T. La dépedae est hoisie de faço à auster u grad esemble de résultats par Mote Carlo tout e doat la limite orrete pour les petits reouvremets etre iveau (petits oeffiiets de trasmissio). La reommadatio heuristique de Moldauer est ν.8 8T [.78 + ( T 0.78) e ] 0. ν. (354) La deuième presriptio importate pratiquemet est due à Hofma, Rihert, Tepel et Weidemüller (975) qui, e oservat l esprit du modèle origial du oyau omposé de Bohr (pas de mémoire de la formatio du oyau omposé), osidérèret les setios effiaes partielles fatorisables, VaVb ab p, aδ ab + πd a g a [ + ( ωa ) δ ab ], (355) V ave V V. Les fateurs de reforemet élastique ω sot attedus omme valat à peu près 3 pour des reouvremets uls et pour des forts reouvremets etre les iveau (Sathler 963). Les auteurs trouvèret leurs résultats par Mote Carlo reproduits de maière adéquate par Ta + a T T ω a + 0.3+.5T + Ta, (356) où est le ombre de voies ouvertes. Ave es valeurs heuristiques de ω a, o peut aluler les V a à partir de V a Ta +. (357) ( ω ) V V a a par itératio, e ommeçat ave V T. La derière équatio proviet de l uitarité de S. Les deu presriptios mèet à des résultats similaires pour les absorptios itermédiaires et fortes (reouvremets moyes et importats etre les iveau). La formule de Moldauer est ommode pour les voies groupées et, par ostrutio, elle doe la limite orrete pour les reouvremets uls et pour les petits ombres de voies (o photoiques) à basse éergie où l approimatio par fatorisatio est pas appliable. D autres epressios aalytiques approhées furet obteus à partir de modèles de haie (par eemple Jaeva et al. 985) et de modèles de haie désordoés (Müller et Harey 987). 4..3 Setios effiaes partielles moyees : moyee eate sur l EGO Des dizaies d aées durat, toutes les tetatives pour résoudre le problème de Hauser-Feshbah éhouèret. Das ette situatio, le priipe d etropie maimale de l iformatio théorique semblait offrir la possibilité de otourer tous les détails «mirosopiques» des résoaes e les traitat omme u sorte de bruit superposé au omportemet moye 9

«marosopique» dérit par le modèle optique. Les distributios de probabilité des élémets de matrie-s et-r furet obteue par la maimisatio de l etropie ave des otraites imposées par des moyees S et R doées (modèle optique) (Mello 979, Mello et al. 985, Fröher 986) qui offrait e priipe la possibilité d obteir les epressios moyees des setios effiaes sur es distributios plutôt que sur l EGO. E pratique, pour de ombreuses voies, ela semblait touours très diffiile. Seulemet quelques mois après que les distributios d etropie maimale des matries-s et R furet publiées, Verbaarshot, Weidemüller et Zirbauer (985) présetèret ue solutio direte au problème de Hauser-Feshbah pour trouver ue epressio aalytique des setios effiaes partielles moyees, est-à-dire pour aluler aalytiquemet la moyee sur les distributios de paramètres de résoae de l EGO, ave des oeffiiets de trasmissio ous. Ces auteurs partiret d ue epressio faisat iterveir u hamiltoie de l EGO ouplé ave les voies. Ave os otatios ela se traduit par ~ ~ ab δ ab + i γ a Aµ γµ b, µ S, (358) ( ) H µ Eδµ i ~ γ ~ µ γµ A, (359) µ qui est ue gééralisatio de e que doet les équatios (58)-(60) pour. Le tilde idique que l hamiltoie est sous sa forme géérale, o diagoale, si bie que H µ et ~ γ a remplaet E δ et µ γ a das l équatio (60). Ave ue formidable démostratio de talet d aalyse, les auteurs réussiret, à l aide de ouveau outils veat des systèmes désordoés de la théorie à plusieurs orps, à réduire la moyee d esemble (valeur attedue) de S ab sur l EGO à ue itégrale triple. E utilisat omplètemet les propriétés symétriques de l EGO, d ue fotio géératrie impliquat à la fois des variables ommutables et ati-ommutables (grassmaiee), des trasformatios de Hubbard-Stratoovith pour simplifier les itégratios, puis e passat au as limite d u ombre ifii de iveau ( pour le rag de H) par la méthode de la plus grade pete, ils aboutiret sur l impressioate epressio à trois itégrales S ab S ab TaT + 8 b d d T + T + T 0 0 0 d δ + ab S ab ( ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( T ) ( + δ ) ab a + Ta + + T + Ta ( ) ( ) + + + ( + Ta )( + Tb ) ( + Ta )( + Tb ) ( ) + ( )( ) T T a a b (360) pour le arré de la valeur absolue de l élémet de la matrie de ollisio qui pose problème ave ses pôles situés e dessous et au dessus de l ae réel das le pla d éergie omplee. Le produit des 30

voies permet u traitemet similaire à la formule de Hauser-Feshbah pour les ombreuses voies de photos faiblemet absorbates : + T γ γ T ( + + ) T γ T e + T γ + T ave T T omme das l équatio (35). + T, (36) Verbaarshot (986) vérifia que pour la limite de faibles reouvremets etre iveau, la triple itégrale sur l EGO (360) se ramèe à la formule de Hauser-Feshbah (350) ave reforemet élastique et orretio des flutuatios des largeurs. Aisi, la triple itégrale sur l EGO est la solutio rigoureuse, logtemps reherhée, au problème de Hauser-Feshbah, élimiat toutes les iertitudes assoiées au modèle de haie ou au formules aalytiques heuristiques iférées à partir des résultats obteus par méthode Mote Carlo. Ces iertitudes ot touours été gêates ar les orretios des flutuatios des largeurs sot souvet assez importates (voir par eemple Ly 968, Gruppelaar et Reffo 977). U poit importat est que, au dessus de quelques ev, les setios effiaes moyees sot pratiquemet idépedates de la température : les moyees sur l éergie fot essetiellemet iterveir les sommes sur les aires des pis, et puisque elles-i sot ivariates par élargissemet Doppler (das les formalismes de Kapur-Peierls, Adler-Adler, MLBW et SLBW ous avos de ψ πγ et de χ 0, idépedammet de la température, voir aee B), il e va de même pour les setios effiaes moyees. Aisi, la triple itégrale sur l EGO, valable pour des résoaes o élargies, doe égalemet des moyees orretes pour des résoaes élargies par effet Doppler. 4..4 Aalyse de doées moyees Les figures 0 à motret des doées de setio effiae totale, de apture et de diffusio élastique moyees pour 38 U et des ourbes théoriques austées simultaémet sur toutes es doées. L austemet a été réalisé par moidres arrés sur les paramètres de résoae moyes, à savoir les fotios desités eutroiques pour les odes s, p, d et f (qui sot essetiellemet les oeffiiets de trasmissio das le as des voies eutroiques) et les largeurs radiatives podérées par l espaemet moye (oeffiiets de trasmissio pour les voies groupées photoiques) ave le ode FITACS (Fröher et al. 98). Les priipales dépedaes e éergie sot itroduites, pour les largeurs eutroiques, par le fateur de péétratio de la barrière etrifuge P et par l emploi de la formule omposite de Gilbert et Camero (965) de la desité de iveau, alors que les fotios desités et les largeurs radiatives e variet que faiblemet das l itervalle d éergie osidéré. La setio effiae totale a été alulée ave les équatios (347)-(348), les setios effiaes partielles ave la formule de Hauser-Feshbah sous la forme proposée par Moldauer (980), équatios (350)-(354), et otrôlée par la triple itégrale sur l EGO, équatios (360) et (36). Des austemets similaires sur bie plus de doées de 38 U défiiret e fi de ompte ue ouvelle évaluatio de 38 U das le domaie des résoaes o résolues qui fut adoptée das les librairies de doées évaluées JEF- et ENDF/B-VI (Fröher 989). Les paramètres de résoaes moyes austés sot parfaitemet e aord ave les paramètres des résoaes résolues détermiés à basse éergie, et égalemet ave les aluls du modèle optique à plus haute éergie, usqu à 0 MeV. L estimatio de l erreur veat des austemets par moidres arrés idique que, après des déeies d efforts à l éhelle modiale, les setios effiaes totales et de apture de 38 U das le domaie des résoaes résolues sot fialemet oues ave à peu près la préisio requise pour les appliatios e 3

tehologie uléaire (-3%). Pour les diffusios iélastiques, e but est pas eore atteit, les iertitudes état eore de l ordre de 5-5%. Figure 0. Austemet simultaé de Hauser-Feshbah sur les doées eutroiques de 38 U das le domaie des résoaes o-résolues : setio effiae totale (pour les référees, voir Fröher 989) Figure. ustemet simultaé de Hauser-Feshbah sur les doées eutroiques de 38 U das le domaie des résoaes o-résolues : setio effiae de apture (pour les référees, voir Fröher 989). La disotiuité (poite de Wiger) à 45 kev est due au démarrage de la diffusio iélastique à ette éergie. Les seuils iélastiques sot idiqués par les aratéristiques spi-parité des iveau résiduels 3

Figure. Austemet simultaé de Hauser-Feshbah sur les doées eutroiques de 38 U das le domaie des résoaes o-résolues : setio effiae de diffusio iélastique (pour les référees, voir Fröher 989). Les seuils iélastiques sot idiqués par les aratéristiques spi-parité des iveau résiduels Avoir des setios effiaes moyees préises est toutefois qu ue partie de l histoire. L autre partie oere la struture résoate, est-à-dire les flutuatios dues au résoaes autour des ourbes de setios effiaes moyees. Elles sot impliitemet doées par le modèle statistique des iveau, e partiulier par les distributios EGO des espaemets de iveau et des largeurs partielles e même temps que la valeur moyee paramétrisat es distributios. La présee de strutures résoates o résolues se maifeste das les effets liés à l épaisseur de l éhatillo et d auto-protetio. Comme eemple le plus simple, osidéros la relatio etre la trasmissio moyee d ue ouhe de matière d épaisseur (atomes/bar) et la setio effiae moyee, e e e ( ) e + var +.... (36) Les derières parethèses représetet ue orretio pour les effets des résoaes, oteat la variae de la setio effiae (moyee du arré des flutuatios) et des momets plus élevés de la distributio de la setio effiae qui quatifiet la struture résoate. Pour la setio effiae moyee, o obtiet l e + l + var +.... (363) Souvet, le premier terme du membre de droite est préseté par les epérimetateurs omme état la setio effiae totale, mais la véritable moyee apparaît être touours supérieure. Alors que la orretio est faible pour les doées résolues, elle deviet importate pour les doées moyees. 33

Il est dagereu de aluler la trasmissio d u éra à partir des setios effiae moyees, par eemple les setios effiaes multigroupes pour ue dilutio ifiie, sas la orretio pour les flutuatios de la setio effiae. La orretio est importate pour des éhatillos épais et pour des setios effiaes très flutuates omme elles das le domaie des résoaes o résolues. Des mesures de trasmissio d éhatillos épais peuvet par oséquet fourir ue iformatio sur la struture résoate. Si ous voulos omparer les epériees ave les aluls, ous devos toutefois aluler la moyee de la trasmissio sur les résoaes. À la vue de l epériee sur le alul de la moyee das l EGO des setios effiaes partielles, ous ous attedos à des problèmes eore plus graves pour la trasmissio moyee. La diffiulté d avoir affaire à des setios effiaes élargies par effet Doppler red la diffiulté isurmotable tat qu ue solutio aalytique est evisagée. Seule la variae de la setio effiae peut être alulée théoriquemet das le as où l élargissemet Doppler est pas trop importat (omme pour les oyau légers et les matériau de strutures tels que le fer ou le ikel). E alulat la moyee ave ue fotio de podératio Loretziee et e utilisat la ausalité, omme das la dérivatio de l epressio de la setio effiae, o trouve S S et CN o ( ) var πd, (364) g CN où π g ( S ) o modèle optique et π g ( S ) D est la setio effiae habituelle de formatio du oyau omposé das le D la setio effiae moyee o élastique de la théorie de Hauser-Feshbah qui doit être alulée à partir des oeffiiets de trasmissio du modèle optique, soit das l approimatio SLBW à plusieurs iveau, équatio (350), soit plus rigoureusemet ave la triple itégrale sur l EGO, équatio (360). La Figure 3 motre les flutuatios quadratiques moyees relatives alulées de ette maière pour 56 Fe aisi que les valeurs obteues diretemet de réetes doées de trasmissio à haute résolutio. L aord est raisoable si l o tiet ompte du fait que l équatio (364) est eate que pour des réatios puremet par oyau omposé et pour des élargissemets par effet de Doppler ou par résolutio égligeables, hau d eu tedat à réduire les flutuatios dues au résoaes. 34

Figure 3. Flutuatios quadratiques moyees relatives de la setio effiae totale du fer ( var ). Lige otiue : alul ave l équatio (364). Lige e tirets : alul ave les proessus o élastiques égligés. Cerles vides : valeurs obteues diretemet de doées prises ave ue très haute résolutio (Berthold et al. 994). D après Fröher (994) Alors que les epressios aalytiques géérales pour des fotios de setios effiaes moyees e sot pas dispoibles, il est parfaitemet possible de les aluler par des méthodes de Mote Carlo. U eemple est motré sur la figure 4, où des doées de trasmissio d u éhatillo épais mesurées à température ambiate sot omparées ave les ourbes alulées par Mote Carlo. Des «éhelles» de résoaes furet défiies e éhatilloat les espaemets etre résoaes à partir des distributios de Wiger et les largeurs partielles à partir des distributios de Porter et Thomas, ave des paramètres de résoae moyes pris das l évaluatio JEF-. La setio effiae totale orrespodate a été alulée, élargie par effet Doppler, mise sous forme epoetielle et sa valeur moyee a été prise. De ette faço 00 000 valeurs de trasmissio ot été éhatilloées et leur moyee a été alulée pour haque doée potuelle, si bie que l erreur statistique des résultats par Mote Carlo est égligeable omparée à l iertitude sur les doées. Le bo aord etre l epériee et le alul das la figure 4 idique que l évaluatio JEF- dérit bie o seulemet la setio effiae totale (voir figure 0) mais égalemet sa struture résoate, par eemple le rapport des setios effiaes résoates (réatios par oyau omposé) sur elles de diffusio potetielle (réatios diretes), et les «feêtres». 35

Figure 4. Doées de trasmissio d u éhatillo épais de Bokhovko et al. (988) (poits) et ourbes géérées ave les tehiques de Mote Carlo à partir des paramètres de résoae moyes de JEF- (liges otiues). Les ourbes de trasmissio obteues sas orretio de struture résoate sot égalemet représetées (liges e tirets). D après Fröher (99) Plus d iformatios sur la struture des setios effiaes sot obteues des mesures d auto-idiatio. Celles-i diffèret des mesures de trasmissio seulemet par le fait que le déteteur mesurat la fratio trasmise des eutros du faiseau est u éhatillo mie («émetteur»), ostitué de la même matière que l éhatillo épais («filtre») de trasmissio, et regardé par des déteteurs de rayoemets gamma. Des epériees «ave filtre» et «sas filtre», o obtiet le tau d auto-idiatio e γ γ e ov (, ) γ γ +... (365) qui fait iterveir la ovariae etre la struture des setios effiaes totales et de apture, (, γ ) ( )( γ γ ) γ γ ov. (366) (Pour ue ovariae positive, les deu argumets tedet à varier das le même ses si l u augmete, l autre va égalemet vraisemblablemet augmeter pour ue ovariae égative, ils tedet à varier das des ses opposés). E pratique, les émetteurs e sot pas idéalemet fis, si bie que la setio effiae de apture γ doit être remplaée par le tau de apture y γ qui tiet ompte de l auto-protetio et des aptures après ollisios multiples. Les deu effets éessitet des tehiques de Mote Carlo, o doit, e plus de l éhatilloage d éhelle, simuler maiteat des évéemets de ollisios multiples das l émetteur (pour plus de détails voir Fröher 989a). La figure 5 motre que les doées mesurées et les résultats par Mote Carlo sot à ouveau e bo aord, idiquat que la struture de la setio effiae de apture est égalemet orretemet représetée par les paramètres de résoae moyes de l évaluatio JEF-. 36

Figure 5. Rapports d auto-idiatio mesurés par Bokhovko et al. (988) (poits) et ourbes géérées ave les tehiques de Mote Carlo à partir des paramètres de résoae moyes de JEF- (liges otiues). Les rapports obteus sas teir ompte de l auto-protetio des résoaes et des diffusios multiples sot égalemet représetés (liges e tirets). D après Fröher (99) 4.3 Costates de groupes Nous avos vu que pour ue setio effiae totale moyee doée, la trasmissio moyee (das u itervalle d éergie fii oteat u grad ombre de résoaes) d u éhatillo épais est plus grade si la setio effiae flutue que si elle est lisse (voir équatio 36). Cela sigifie que l éhatillo deviet mois trasparet à mesure que la température augmete, dû à l effet lissat de l élargissemet Doppler. (L epasio thermique de l éhatillo otrearrat et effet das ue ertaie mesure). Das ue régio du réateur remplie d u mélage d élémets, ue augmetatio de la température fait que les réatios (,), par eemple les réatios (,γ) das 38 U, devieet plus probables ar le reusemet du flu au iveau des résoaes (f. Figure 9) deviet plus faible à mesure que la struture résoate est lissée. Afi de aluler es effets omplees, il est plus simple d utiliser des ostates multigroupes, est-à-dire des setios effiaes moyees udiieusemet hoisies. Le tau de réatio (,) pour u oyau doé, dot la moyee est alulée sur la régio et sur u itervalle d éergie fii (de groupe) E, peut être érit omme de ϕ f ϕ ave...... E E (367) Les bores des groupes sot gééralemet prises équidistates sur ue éhelle d éergie logarithmique, est à dire ue éhelle liéaire e léthargie, si bie qu il y a touours le même ombre de groupes par déade d éergie. La setio effiae est osidérée élargie par effet Doppler. Puisque e déped pas de la température (à part les effets de bords au etrémités des groupes qui devieet égligeables si l itervalle de groupe otiet beauoup de résoaes), la priipale 37

dépedae e éergie, pour u flu doé, est oteue das e qu o appelle le fateur d auto-protetio ou de Bodareko f. 4.3. Fateurs de Bodareko Le fateur d auto-protetio déped o seulemet de la température mais aussi des setios effiaes de tous les autres oyau du mélage, e qu o appelle la dilutio. Les doées oteues das les eu de ostates de groupe pour les appliatios tehologiques sot (f. par eemple Bodareko et al. 964) Les setios effiaes pour ue dilutio ifiie, ϕ Les fateurs d auto-protetio f, ϕ lassées pour haque oyau sur ue grille de températures et de setios effiaes de dilutio d, par eemple T 300, 900, 500, 3 00 K, d 0,, 0, 00, 000, 0 000, 00 000, 000 000 b. La setio effiae de groupe auto-protégée f (368) est défiie afi que la multipliatio ave le flu moye ϕ sur le groupe doe le tau de réatio orret. Ave la défiitio de la ovariae, o peut érire ϕ f + ov, (369) ϕ Le flu état faible lorsque la setio effiae est grade, les deu gradeurs sot atiorrellées, la ovariae est égative, et do f <. D u autre ôté, f doit être positive ar autremet le tau de réatio moye deviedrait égatif. Il s esuit (au mois das le as d u grad ombre de iveau ompris das l itervalle de groupe) qu o a 0<f <. Nous pouvos être plus epliite e ivoquat l approimatio de résoae étroite, valable das le as importat où les résoaes sot étroites omparativemet à l éergie moyee perdue par les eutros diffusés. Ave ette approimatio, le flu est proportioel à l iverse de la setio effiae totale marosopique, ϕ ( + d ), où est la setio effiae totale du oyau osidéré. Nous avos do das le adre de l approimatio de résoae étroite f d ( + ) d e e d 0 ( + ) d d d e e 0, (370) 38

Puisque d est ue ostate das le modèle de Bodareko, o remarque que f si T (setio effiae totale lisse) ou d (dilutio ifiie). C est pourquoi est appelée setio effiae de groupe e dilutio ifiie (ou setio effiae de groupe o protégée). Pour les groupes oteat de ombreuses résoaes, est la setio effiae moyee au ses habituel. La derière epressio motre de quelle faço les fateurs d auto-protetio sot reliés au rapports d auto-idiatio, équatio (365) et au trasmissios moyees, équatio (36). Si es derières quatités peuvet être prédites préisémet pour les éhatillos épais, le fateur d auto-protetio peut égalemet l être. Ave les résultats présetés sur les figures 5 et 6, et du fait de la orrélatio positive etre le umérateur et le déomiateur das la derière équatio, o e olut que les fateurs d auto-protetio pour le domaie des résoaes o résolues de 38 U peuvet être alulés ave ue préisio de -% à partir des paramètres de résoae moyes de JEF-. 4.3. Méthodes aalytiques et de Mote Carlo pour la géératio de ostates de groupe La tehique de géératio des ostates de groupe la plus importate pratiquemet est la méthode aalytique (Fröhlih 965, Hwag 965). Les moyees das la derière epressio sot alulées e se fodat sur la statistiques des iveau das l approimatio des résoaes étroites. La versio la plus simple ompred les approimatios supplémetaires suivates : Les setios effiaes sot érites sous forme de sommes de termes SLBW (approimatio de Breit et Wiger à «plusieurs iveau»). L élargissemet Doppler est dérit par les profils de Voigt symétriques et asymétriques ψet χ. L iterféree etre les diffusios résoate et potetielle (termes ave χ) est égligée. Les moyees de la statistique des iveau sot alulées pour haque séquee de iveau ave les autres séquees représetées approimativemet par ue setio effiae lisse iluse das d. Le résultat peut s érire sous la forme f ΓJ ( ) s + p d s D s s s Γ J s D os ϕ s, (37) où p est la setio effiae de diffusio potetielle du oyau osidéré,... réfère à ue moyee s sur toutes les largeurs partielles pour la séquee du s-ème iveau, les sommatios se fot sur toutes les séquees, et J est l itégrale ( κ, β) ψ(, β) ( β) J d, (37) ψ + κ 0, itroduite par Dreser (960). Elle fait iterveir les profils symétriques de Voigt (omparer l équatio 44 et l aee B) 39

, (373) y dy ψ(, β) ep β π β + y où β Γ est la largeur Doppler ave omme uité la demi-largeur à mi-hauteur, Γ/, et ( E E0 ) Γ est la distae par rapport au pi de la résoae à E 0 ave la même uité. E outre, d + r Γ κ, (374) ˆ 4πD g os ϕ, (375) ˆ Γ ave r dérivat approimativemet la répulsio des valeurs propres. C est la méthode la plus rapide eistate pour la géératio de ostate de groupe. Elle est employée das de ombreu odes d utilisatio répadue, tels que ETOX (Sheter et al. 969), MIGROS (Broeders et Krieg 977), NJOY (MaFarlae et al. 98), et GRUCON (Siitsa 983). La méthode du raletissemet utilise des mailles de résoaes éhatilloées par Mote Carlo de sorte que le alul des tau de réatio moyes peut se réduire au as des résoaes résolues. Le ode TIMS (Takao et al.) e est u eemple. Les mailles de résoaes éhatilloées par Mote Carlo sot égalemet utilisées das les méthodes de sous-groupes/multibades dot Nikolaiev et al. (970) et Culle (974) furet les pioiers (voir égalemet Ribo et Maillard 986). O lasse, pour hau des quelques (par eemple 4) sous-groupes/bades, les poids α i et les moyees sur les bades i, i représetat de maière grossière la distributio des setios effiaes das le groupe e éergie. Ils doivet être détermiés e austat les moyees obteues à partir des setios effiaes das les groupes de la maière suivate αi i, (376) α i i, (377) i i + d i α i i i + d α i, (378) + + d i i d. (379) La méthode des sous-groupes/multibades est essetiellemet ue variate grossière mais effiae de la méthode des tables de probabilité (Levitt 97) où l o géère, à partir des mailles de résoaes éhatilloées, la desité omplète de probabilité à plusieurs variables (,,...) p( ) p( ) p(, )... p. (380), γ γ La distributio de la setio effiae totale, p(), est eregistrée ave les probabilités oditioelles p ( ), p( γ, ) et. sous ue forme disrète udiieuse, de maière à e que e soiet les setios effiaes marosopiques (podérées par l abodae isotopique, élargies par effet Doppler), plutôt que les paramètres de résoae, qui puisset être diretemet éhatilloées. 40

5. CONCLUSIONS La première partie de ette vue géérale est dédiée au outils probabilistes des évaluateurs de doées, ave l obetif de faire predre osiee au leteurs à quel poit la théorie modere des probabilités a fait avaer et simplifier le traitemet des iertitudes des doées, e partiulier par rapport à l utilisatio de la oaissae a priori, à l attributio de probabilités représetat ue iformatio vague ou globale, et au traitemet des erreurs systématiques et des orrélatios qu elles iduiset des domaies où la stastique ovetioelle apporte pas grad-hose. Le priipe Bayésie, osistat à appredre à partir des observatios, est illustré à l aide d appliatios typiques de statistiques de omptage, d évaluatio de doées et d austemet par des modèles. L estimatio de paramètre Bayesiee e laisse auue plae pour des suppositios à propos des «estimateurs» et de leurs propriétés plus ou mois désirables (absee de biais, suffisae, effiaité, admissibilité, et.), ue fois que l a priori, le modèle statistique et la fotio de perte sot spéifiés. L estimatio optimale par perte quadratique osiste e la valeur moyee et le arré de l erreur quadratique moyee (a posteriori) (ou pour des problèmes à plusieurs variables, le veteur de moyee et la matrie de ovariae) plutôt que les modes ou médiaes et les itervalles de ofiae fréqueistes. La méthode des moidres arrés apparaît omme ue oséquee aturelle du priipe du maimum d etropie de l iformatio théorique das les as pratiques les plus importats, où e que ous avos e etrée sot des doées ave des erreurs types (erreurs quadratiques moyees) et, peut être, des orrélatios. La gééralisatio à des modèles o liéaires est direte. Il y a eu égalemet quelques progrès par rapport au doées iompatibles mais il est touours éessaire d approfodir e poit. Le format ENDF utilisé modialemet pour les doées évaluées de réatios uléaires est pas eore satisfaisat pour l eregistremet de l iformatio iertitude. L eregistremet, plus évidet ituitivemet, des erreurs types et des oeffiiets de orrélatio plutôt que des variaes et ovariaes, diffiiles à utiliser et soures d erreurs, devrait être admise et eouragée. Le reste de l ouvrage est dédié spéifiquemet à l évaluatio des doées das le domaie des résoaes résolues et o résolues. Les relatios itimes etre la théorie de la matrie-r, le modèle statistique des réatios résoates, la théorie de Hauser-Feshbah ave orretios des flutuatios des largeurs et le modèle optique sot epliquées. L élargissemet Doppler est traité de maière assez détaillée pour le as importat des formalismes pratiques des résoaes et pour les setios effiaes tabulées. Des effets epérimetau tels qu élargissemet par la résolutio epérimetale, autoprotetio et diffusios multiples, bruit de fod et impuretés sot égalemet disutées. L eposé etier est bref par éessité, mais il est espéré que suffisammet de matière et de référees sot présetées pour offrir au ouveau veus et o spéialistes u poit de départ adéquat pour des études plus poussées et u travail de spéialiste. Il y a u besoi osidérable, plus partiulièremet das le domaie des résoaes o résolues, de développemet de méthodes et de programmes aussi bie pour les réateurs à fissio qu à fusio. L estimatio des iveau maquats est touours essetiellemet basée sur l approimatio du maimum de vraisemblae telle que dérite par Fröher (983). Ue approhe Bayesiee plus rigoureuse semble faisable et utile, mais doit être meée à bie. Ceu qui sot partiulièremet itéressés par l aalyse et l évaluatio des résoaes ou das u traitemet rigoureu par la matrie-r du modèle optique sphérique trouveros des iformatios supplémetaires das les omptes redus de l ITCP 988 (Fröher 989a). Les 4

méthodes et proédures d évaluatio des doées uléaires ot égalemet été disutées de maière très approfodies, e isistat sur l epériee pratique, par Poeitz (98) et Bhat (98). Remeriemets J adresse mes plus sières remeriemets à P. Fik (maiteat à l ANL) qui m ivita à Cadarahe, à J. Jaqmi (CEA Cadarahe) et C. Nordborg (NEADB) qui orgaisèret ue visite de quatre mois, à P. Biou (EDF) qui m empressa d érire e papier, et à O. Boulad et E. Fort aisi qu au autres ollègues qui rediret ma visite à Cadarahe sietifiquemet utile, gratifiate et gééralemet agréable. 4

Aee A Distributios de probabilités d importae pratique Das ette aee, ous passos rapidemet e revue les distributios de probabilité qui sot les plus importates das l évaluatio et l aalyse des doées uléaires, ave leurs estimatios de paramètres par perte quadratique (moyees et variaes). Les otatios sot les suivates : P( A I ) probabilité de A oaissat l iformatio I p( I )d probabilité ifiitésimale de das d sahat I, ave la desité de probabilité p ( I ). Distributios à ue seule variable moyee (valeur attedue) var ( ) variae (arré de l erreur quadratique moyee) var éart type (erreur quadratique moyee ou erreur type) Distributios à plusieurs variables d( ) ν dν veteur de moyee élémet de volume das l espae des C ( )( ) T matrie de ovariae C µν µ ρµν ν élémet de la matrie de ovariae ρµν ρ νµ oeffiiet de orrélatio ( ρ +, ρ µν νν ) 43

Le T idique la trasposée (ougaiso hermitique des veteurs et matries réels). Les valeurs attedues sot otées par des parethèses agulaires,, les moyees sur l éhatillo par ue barre,. A. Distributios biomiale et bêta Appliatios : Shéma de Berouilli ave deu solutios possibles (réussite ou éhe, parité positive ou égative, iveau de fermio oupé ou o, ). Distributio d éhatilloage (probabilité de suès, e ue tetative) : (,θ ) θ P. (A) Fotio de vraisemblae pour s suès e tetatives (distributio biomiale) : P Cas :, s 0,,,.... (A) s s s ( s θ) θ ( θ) Igorae totale à propos du paramètre θ, admettat même la possibilité qu il y ait qu ue seule alterative, θ 0 ou. A priori le mois iformatif (théorie des groupes) (règle de Haldae, voir Jayes 968) : dθ p ( θ) dθ, θ( θ) 0 θ. (A3) A posteriori (distributio bêta) : p s s ( θ s ) dθ B( s, s) θ ( θ) dθ, 0 θ, (A4) ave B (, y) Γ( ) Γ( y) Γ( + y) (fotio bêta) et, pour etier, Γ( ) ( )! gamma). Estimatios des paramètres par perte quadratique : s s s θ, (A5) var θ. (A6) + (fotio Tat qu il y a que des suès ou que des éhes, la probabilité reste stritemet oetrée à θ ou θ 0, ave ue variae ulle. Dès qu il y a au mois u suès (s ) et u éhe ( - s ), d autres valeurs attedues sot obteues et la variae deviet fiie. 44

Cas : S il y a pas de doute a priori, qu o ait affaire à u pur shéma de Berouilli à deu alteratives, l a priori approprié est égal à e que doerait l équatio (A4) après l observatio d u suès et d u éhe (règle de Bayes-Laplae) : ( θ) dθ dθ p, 0 θ. (A7) A posteriori (distributio bêta) : ( + ) ( s)!! p( θ s ) dθ θ ( θ) s, s dθ, s! 0 θ. (A8) Estimatio par perte quadratique : s + s + s + θ, (A9) varθ. (A0) + + 3 + + (A9) est la règle de suessio de Laplae. A. Distributios gamma et de Poisso Appliatios : Déroissae radioative, statistique de omptage, évéemets rares ave u tau d ourree moye ostat. Itervalle de temps moye t τ (A) Distributio d etropie maimale ave ette otraite et paramètre de Lagrage : p ( t τ) dt e t dt, (distributio epoetielle d itervalles) ave 0 < t < (A) t τ t. (A3) Probabilité pour évéemets etre 0 et t, das des itervalles arbitraires mais ordoés e temps dt, dt, dt (distributio de Poisso) : 45

P (, t) e e e t t t ( t)! t 0 dt! ave les valeurs attedues t 0 0, t dt dt t 0 dt... t 0 dt... t 0 dt 0,,,..., (A4) t, (A5) var t. (A6) A priori pour le tau (a priori de Jeffreys pour les paramètres d éhelle) d p( ) d d l, 0 < <. (A7) La fotio de vraisemblae de évéemets durat u temps d observatio t est la distributio de Poisso (A4). A posteriori (distributio gamma) : ( t) d ( ) t e p( t, ) d, Γ 0 < <. (A8) Estimatio par perte quadratique : var, (A9) t. (A0) Remarque : A posteriori et estimatio sot idetiques si le ombre d évéemets et le temps d observatio t ot été aumulés durat plusieurs mesures distites (rus). A.3 Gaussiee à ue variable Appliatios : Erreurs ioues, flutuatios iotrôlables, propagatio d erreur, ombiaiso de doées d origies diverses, et., valable si u grad ombre de omposates idépedates agisset esemble (théorème de la limite etrale) ou si seuls les moyees et les éarts-types sot ous (priipe du maimum d etropie) ave des erreurs ou des éarts possibles ompris etre et +. La distributio d éhatilloage (probabilité des éarts ou des erreurs µ possibles, oaissat la valeur réelle µ et l éart-type ) : 46

p µ,, < <. (A) π ( µ ) d ep d Fotio de vraisemblae des valeurs das d, d à, : p (,..., ) µ d... d ep ( π ) ( π ) s ep ( µ ) µ + s d... d d... d. (A) Cei déped de l éhatillo uiquemet au travers de la moyee de l éhatillo et de la variae de l éhatillo, Cas :, (A3) s ( ). (A4) Paramètre de positio µ et paramètre d éhelle tous deu ious. A priori le mois iformatif (théorie des groupes) : dµ d p ( µ, ) dµ d, < µ <, 0 < <. (A5) A posteriori p ( µ,,s,) ep ( ) ( ) ( vu ) ep( v) v ( ) p u v, du p v dv v du p π Γ( ) ep ( ) ( ) [ ( + u ) v] [( + u ) v] dv du v u, dv p u du Γ() v B(, )( + u ) dv v, µ s < u <, 0 < v <. (A6) s Les deu fatorisatios orrespodet au deu formes de la règle fodametale de multipliatio pour les probabilités ooites. La distributio margiale de u ( distributio t de Studet ave t u, degrés de liberté) : p ( u ) du B (, )( + u ) du, < u <. (A7) 47

et de v (distributio gamma ou du χ ave p ( v ) v e v dv Γ ( ) ( ) v χ v, degrés de liberté) : dv, 0 < v <. (A8) Estimatio de paramètre par perte quadratique : ave les distributios margiales o trouve failemet u, v, varu, var v et les estimatios µ, (A9) varµ s, (A30) 3 s, (A3) var s 4. (A3) Les paramètres estimés e sot pas orrélés, ov (, v) uv u v 0 u etraîat que (, ) 0 ov µ. (A33) Cas : Si est ou, l a priori est simplemet ( ) ( µ ) µ, dµ ep dµ, < µ <. (A34) π p Estimatio par perte quadratique : µ, (A35) Cas 3 : varµ. (A36) Mesures de m répétées, sas orrélatios etre elles, dot les résultats sot doés sous la forme ±,... ±. Distributio d éhatilloage d etropie maimale : p ( ) d µ ep d π Fotio de vraisemblae : µ p µ... 48, < <. (A37) (,...,,..., ) d... d ep d d. (A38)

A posteriori : ( { }) ( µ ) dµ ep p µ, dµ, < µ <, (A39) π où les barres supérieures réfèret au moyees podérées sur l éhatillo (sur les mesures),, (A40) Estimatio par perte quadratique :. (A4) µ, (A4) varµ. (A43) A.4 Gaussiee à plusieurs variables Appliatios : Propagatio des erreurs orrélées, austemet par moidres arrés das les espaes multidimesioels des éhatillos et des paramètres. Les dérivatios suivet étroitemet elles de la Gaussiee à ue variable, doat lieu à des epressios vetorielles et matriielles de formes similaires. Les idies e Roma (,k) idiquet les essais ou les membres de l éhatillo, les idies e Gre (ν, κ) idiquet les paramètres (oordoées artésiees das l espae des paramètres). Distributio d éhatilloage (probabilités des éarts ou erreurs vetoriels possibles µ, oaissat le vrai veteur µ et la matrie de ovariae C) : p T, ep ( µ ) C ( µ ) d( ), < ν <. (A44) det ( µ C) d( ) ( πc) Vraisemblae des veteurs das d( ), d( ) à, : p (,... µ, C) d( )... d( ) T ep ( ) C ( ) d( )... d( ) µ µ det det ( πc) ( πc) ep - T [ tr( CC ) + ( µ ) C ( µ )] d( )... d( ) (A45) Cei e déped de l éhatillo qu au travers du veteur de moyee de l éhatillo et de la matrie de ovariae de l éhatillo, T T T, (A46) C ( )( ). (A47) 49

Cas : Paramètres de positio µ ν et élémets de matrie de ovariae C νν ν ρ νν ν ious. A priori le mois iformatif (théorie des groupes) das l espae des paramètres à m dimesios (ν, m) : ( µ ) d( C) ( µ ) d( C ) d d p( µ, C) d( µ ) d( C) ( + ) m ( m+ ), det C det C Cνν < µ ν <, 0 < ν Cνν <, < ρνν < + C C νν ν ν (A48) A posteriori : ave les égalités ep(-tr V) det{ep(-v)} et det( + uu T ) + u T u + u, o trouve p ( µ, C, C, ) p( u V, ) d( u) p( V ) d( V) T ( ) ep( u Vu) d( u) det{ ep( V) V } d( V) - m( m ) 4 m ν ( m+ ) det( πv ) π Γ( ) det V ν p( u ) d( u) d( u) p( V u, ) d( V) T T ( + u ) d( u) det ep[ ( + uu ) V]( [ + uu ) V] m m( m ) 4 m + ν B(, ) π Γ( ) ν { } ν d det V où, par aalogie ave le as à ue variable, ous défiissos le veteur u S ( µ ) ( V) ( m+ ) (A49), < u <, (A50) ν et la matrie réelle symétrique défiie positive (valeurs propres réelles positives) V S C S, 0 < det V <, (A5) ave la matrie réelle symétrique défiie positive S défiie par C S (A5) (das le système des aes priipau de C ). Les deu fatorisatios orrespodet au deu formes de la règle fodametale de multipliatio pour les probabilités ooites. La distributio margiale pour u (distributio t à plusieurs variables) p ( ) ( ) ( + u ) d( u) u d u m B(, ) ν et pour V (distributio gamma à plusieurs variables ou distributio de Wishart) (A53) 50

p ( ) d( V) det ( ) { ep( V) V } ( m ) 4 m ν ( ) ( V) V ( m+ ). (A54) π m Γ ν d det V Estimatio des paramètres par perte quadratique : ave la distributio margiale, o trouve u, T uu Cas, V et fialemet T C µ, (A55) ( µ )( µ ), (A56) m C C. (A57) Si C est oue, l a posteriori est simplemet T p( µ C, ) d( µ ) ep ( µ ) C ( µ ) d( µ ), < µ ν <. (A58) det ( πc ) Estimatio par perte quadratique : T C µ, (A59) ( µ µ )( µ µ ). (A60) Cas 3 : Mesures répétées de µ, sas orrélatios etre elles, dot les résultats sot doés sous la forme des veteurs et des matries de ovariae C k (,k, ). Défiitios : M Vraisemblae : où p, (A6) Q (, C) d( ) e d( ) Q C C C M C 5 C C C M L L O L C C C M. (A6) µ, (A63) T ( µ ) ( C ) k ( k µ ), k T tr[ ( C ) k ( µ k )( µ ) ], k T T ( ) T tr[ C ] ( µ ) C ( µ ). + (A64)

5 Les barres supérieures idiquet des moyees podérées sur l éhatillo (sur les mesures), ( ) ( ) k k k k k C C,,, (A65) ( ) ( ) T,, T k k k k k C C, (A66) ( ) ( ) ( ) ( ),,, k k k k k k k k C C C C C C (A67) A posteriori : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ d d p π C C C T ep det,, < < µ ν. (A68) Estimatio par perte quadratique : µ, (A69) ( )( ) C T µ µ µ µ. (A70)

Aee B Propriétés mathématiques des profils de Voigt ψ et χ Les formes élargies par effet Doppler des résoaes isolées peuvet être dérites par les profils de Voigt ψ(,β) et χ(, β). Les argumets E E0, (B) Γ β Γ (B) dépedet de l éergie de la résoae E 0, de la largeur totale Γ, de la largeur Doppler (voir équatio 0) et de l éergie iidete E (toutes das le système du laboratoire). Défiitio ψ d, β π + ( ) β ( β) e ψ(, β), χ β π Cas d argumets partiuliers d + ( ) β ( β) e χ(, β) (B3) (B4) À l éergie de la résoae, E E 0 π ψ( 0, β) erf β β à la température ulle, T 0 + Séries overgetes e, (B5) χ ( 0, β) 0 β + ψ ( 0, β), (B7) χ ( 0, β) ψ β ( ) (, β e ) β Γ +, 0! β β (B6) (B8) (B9) 53

54 ( ) ( ) + β β Γ β β β χ 0,!, e (B0) où Γ(a,t) est la fotio gamma iomplète, ave ( ) ( ) + Γ + Γ t a t a t t e dt t e t a a t a,, (B) t t erf, π Γ (B) Séries asymptotiques pour les basses températures (β faible) ( ) ( ) ( ) [ ] + + + β + + β ψ 0 arta os!!, (B3) ( ) ( ) ( ) [ ] + + + β + + β χ 0 arta si!!, (B4) d où ( ) ( ) ( ) + + + + β + + β χ + β ψ 0!!,, i i (B5) Relatio ave l itégrale de probabilité omplee ( ) ( ) β + β π β χ + β ψ i W i,,, (B6) où ( ) π + π z t z t dt e i e dt z t e i z W 0, (B7) Dérivées ( ) ψ χ β ψ, (B8) ( ) χ ψ β χ (B9) Itégrales ( ) π β ψ d,, (B0) ( ) 0, β χ d (B)

RÉFÉRENCES V.M. Adamov, Cof. o Nul. Cross Setios ad Tehol., NBS SP 594, p. 995, Koville (979). F.T. Adler ad D.B. Adler, Nul. Data for Reators, IAEA Viea (970) p. 777. Azaldo-Meeses, Z. Physik A 353 (995) 95. R. Arlt et al., 6-th All Uio Cof. o Neutro Physis, Kiev, vol., p. 9 (983). T. Bayes, Phil. Tras. Roy. So. 53 (763) 370; reprited i E.S. Pearso ad M.G. Kedall, Studies i the History of Statistis ad Probability, Hafer, Darie, Co. (970). J.O. Berger, Statistial Deisio Theory ad Bayesia Aalysis, Spriger, New York (985). J. Beroulli, Ars Coetadi, Thurisiorum, Basel (73) ; reprited i Die Werke vo Jakob Beroulli, Birkhäuser, Basel (975). K. Berthold, C. Nazareth, G. Rohr ad H. Weigma, Pro. It. Cof. o Nul. Data for Si. ad Tehol., J.K. Dikes (ed.), ANS, La Grage Park (994) p. 8. H.A. Bethe, Rev. Mod. Phys. 9 (937) 69. M.R. Bhat, Pro. Cof. Nul. Data Eval. Mth. ad Pro., B.A. Maguro ad S. Pearlstei (eds.), Brookhave report BNL-NCS-5363, (98) vol. I, p. 9. M.R. Bhat ad G.E. Lee-Whitig, Nul. Istr. Meth. 47 (967) 77. L.C. Biedehar, Oak Ridge report ORNL-50 (953). J.M. Blatt ad L.C. Biedehar, Rev. Mod. Phys. 4 (95) 58. Bloh, Nul. Phys. A (968) 57, 73. Å. Bohr, Cof. o Peaeful Uses of Atomi Eergy, Geeva (955) vol., p. 5. M.V. Bokhovko, V.N. Kooov, G.N. Maturov, E.D. Poletaev, V.V. Siitsa, A.A. Voevodski, Yad. Kost. 3 (988) ; Egl. trasl. : IAEA report INDC(CCP)-3 (990) p. 5. L.M. Bolliger ad G.E. Thomas, Phys. Rev. 7 (968) 93. I.I. Bodareko et al., Group Costats for Nulear Reator Calulatios, Cosultat Bureau Eterprises I., New York (964). 55

O. Boulad, Private Commuiatio, C. E. Cadarahe (999). M. Bor, Optik, Spriger, Berli (933). T.A. Brody, J. Flores, J.B. Freh, P.A. Mello, A. Padey ad S.S. Wog, Rev. Mod. Phys. 53 (98) 385. Brusega et al., IRMM Geel, Private Commuiatio (99). Broeders ad B. Krieg, Karlsruhe report KfK 388 (977). A.G.W. Camero ad R.M. Elgi, Ca. J. Phys. 43 (965) 88. M. Caé ad G. Greier, Nul. Si. Eg. 68 (978) 97. E.R. Cohe, K.M. Crowe, J.W.M. DuMod, Fudametal Costats of Physis, Itersiee, New York (957) ; see also E.R. Cohe ad B.N. Taylor, Phys. Today BG9 (Aug. 99). R.T. Co, Am. J. Physis 4 (946). C.E. Culle ad C.R. Weisbi, Nul. Si. Eg. 60 (976) 99. C.E. Culle, Nul. Si. Eg. 55 (974) 387. M.H. DeGroot, Optimal Statistial Deisios, MGraw-Hill, New York (970). H. Derrie, G. de Saussure, N.M. Larso, L.C. Leal ad R.B. Perez, Nul. Data for Si. ad Tehol., S. Igarasi (ed.), JAERI (988) p. 83. G. de Saussure ad R.B. Perez, Oak Ridge report ORNL-TM-599 (969). de-shalit ad I. Talmi, Nulear Shell Theory, Aad. Press, New York-Lodo (963) h. 5 ad Appedi. L. Dreser, Pro. It. Cof. o Neutro Reatios with the Nuleus, Columbia U. 957, Report CU-57 (957) p. 7. L. Dreser, Resoae Absorptio i Nulear Reators, Pergamo, Oford (960). F.G. Duigto, Rev. Mod. Phys. (939) 65. Efro ad C. Morris, J. Roy. Statist. So. B 35 (973) 379. C.A. Egelbreht ad H.A. Weidemüller, Phys. Rev. C8 (973) 859; N. Nishioka ad H.A. Weidemüller, Phys. Letters 57B (985) 0. T. Eriso, Adv. Phys. 9 (960) 45. U. Fao ad G. Raah, Irreduible Tesor Sets, Aad. Press, New York (959). 56

R.A. Fisher, Aals of Eugeis 6 (935) 39; reprited i R.A. Fisher, Cotributios to Mathematial Statistis, J. Tukey (ed.), J. Wiley & Sos, New York (950). R. Frölih, Karlsruhe report KfK 367 (965). F.H. Fröher, upublished (970). F.H. Fröher, Karlsruhe report KfK 45 (977). F.H. Fröher, Cof. o Neutro Phys. ad Nul. Data, Harwell (978) p. 306. F.H. Fröher, Karlsruhe Report KfK-669 (978); reprited i Nulear Theory for Appliatios, Report IAEA-SMR-43, ICTP Trieste (980) p. 59. F.H. Fröher, B. Goel, U. Fisher, Pro. Meet. o Fast-Neutro Capture Cross Setios, Argoe, ANL-83-4 (98) p. 6. F.H. Fröher, Nul. Data for Si. ad Tehol., K.H. Bökhoff (ed.), Reidel, Dordreht (983) p. 63; f. also Karlsruhe report KfK 3553 (983). F.H. Fröher, Pro It. Cof. Nul. Data for Basi ad Appl. Si., Sata Fe 985, New York (986) p. 54; reprited i Rad. Effets 96 (986) 99. F.H. Fröher, Nul. Si. Eg. 03 (989) 9. F.H. Fröher, Applied Nulear Theory ad Nulear Model Calulatios for Nulear Tehology Appliatios, M.K. Mehta ad J.J. Shmidt (eds.), World Sietifi, Sigapore et. (989a) p. 70. F.H. Fröher, Nulear Physis, Neutro Physis ad Nulear Eergy, W. Adretsheff ad D. Elekov (eds.), World Sietifi, Sigapore (990) p. 333; separately available as Karlsruhe report KfK 4655 (990). F.H. Fröher, Karlsruhe report KfK 49 (99) ; Nul. Si. Eg. (99) 404. F.H. Fröher, i Maimum Etropy ad Bayesia Methods, W.T. Grady Jr. ad L.H. Shik (eds.), Kluwer, Dordreht (99a) p. 93. F.H. Fröher, Karlsruhe report KfK 5073 (99). F.H. Fröher, Pro. It. Cof. o Nul. Data for Si. ad Tehol., J.K. Dikes (ed.), ANS, La Grage Park (994) p. 597. F.H. Fröher, Nul. Si. Eg. 6 (997). F.H. Fröher, Z. Naturforsh. 53 a (998) 637. F.H. Fröher, Nul. Reatio Data ad Nulear Reators, A. Gadii ad G. Reffo (eds.), World Siet., Sigapore et. (998a), vol., p. 54. M. Gaudi, Nul. Phys. 5 (96) 447 ; reprited i Porter (965). 57

Gilbert ad A.G.W. Camero, Ca. J. Phys. 43 (965) 446. I.J. Good, The Estimatio of Probabilities, Cambridge, Mass. (965). S.M. Grimes, Cof. o Momet Methods i May Fermio Systems, B.J. Dalto et al. (eds.), Pleum Press, New York (980), p. 7. H. Gruppelaar ad G. Reffo, Nul. Si. Eg. 6 (977) 756. J.A. Harvey, Private Commuiatio, Oak Ridge Natioal Laboratory (995). H.M. Hofma, J. Rihert, J.W. Tepel, H.A. Weidemüller, A. Phys. 90 (975) 403. L.K. Hua, Harmoi Aalysis of Futios of Several Comple Variables i the Classial Domais, Am. Math. So., Providee, R.I. (963). H.H. Hummel ad D. Okret, Reativity Coeffiiets i Large Fast Power Reators, Moogr. Ser. Nul. Si. Tehol., Am. Nul. So., Hidsdale, Ill. (970). R.N. Hwag, Nul. Si. Eg. (965) 53; 5 (973) 57. N. Jaeva, N. Koyumdieva, A. Lukyaov, S. Toshkov, Pro. It. Cof. Nul. Data for Basi ad Appl. Si., Sata Fe 985, New York (986) p. 65. N. Koyumdieva, N. Savova, N. Jaeva, A.A. Lukyaov, Bulg. J. Phys. 6 (989). E.T. Jayes, IEEE Tras. Syst. Cyber. SSC-4 (968) 7 ; reprited i Jayes (983) p. 4. E.T. Jayes, Foud. Phys. 3 (973) 477 ; reprited i Jayes (983) p. 3. E.T. Jayes, Statistial Iferee ad Statistial Theories of Siee, W.L. Harper ad C.A. Hooker (eds.), Reidel, Dordreht (976) ; reprited i Jayes (983) p. 5. E.T. Jayes, The Maimum Etropy Formalism, R.D. Levie ad M. Tribus (eds.), M.I.T. Press, Cambridge, Mass. (978) ; reprited i Jayes (983) p. 0. E.T. Jayes, Bayesia Aalysis i Eoometris ad Statistis, A. Zeller (ed.), North-Hollad, Amsterdam (980) ; reprited i Jayes (983) p. 337. E.T. Jayes, Papers o Probability, Statistis ad Statistial Physis, R.D. Rosekratz (ed.), Reidel, Dordreht (983). H. Jeffreys, Theory of Probability, Claredo Press, Oford (939). J.H.D. Jese ad J.M. Luttiger. Phys. Rev. 86 (95) 907. K. Kari, Karlsruhe report KfK 673 (978). P.L. Kapur ad R.E. Peierls, Pro. Roy. So. (Lodo) A66 (938) 77. R.A. Kief, Nulear Eergy Tehology, MGraw-Hill, New York (98). 58

G.A. Kor ad T.M. Kor, Math. Hadbook for Sietists ad Egieers, MGraw-Hill, New York (968). W.E. Lamb, Phys. Rev. 55 (939) 750. A.M. Lae ad J.E. Ly, Pro. Phys. So. A70 (957) 557. A.M. Lae ad R.G. Thomas, Rev. Mod. Phys. 30 (958) 57. K. Lage, Numerial Aalysis for Statistiias, New York (999). P.S. Laplae, Théorie aalytique des probabilités, Courier, Paris (8) ; reprited i Œuvres omplètes, Gauthiers-Villars, Paris (878-9). N.M. Larso, Cof. o Nul. Data for Basi ad Appl. Si., Gordo & Breah, New York (986) p. 593. N.M. Larso ad F.G. Perey, Oak Ridge report ORNL/TM-7485 (980). N.M. Larso, ORNL/TM-979 (984) with revisios ORNL/TM-979/R (985), /R (989), /R3 (996), /R4 (998). C.M. Lederer, V.S. Shirley (eds.), Table of Isotopes, 7th ed., Wiley, New York (978). H.D. Lemmel, Cof. o Nul. Cross Setios ad Tehol., NBS SP 45, Washigto (975) vol., p. 86. L.B. Levitt, Nul. Si. Eg. 49 (97) 450. Li Jigwe et al., Cof. o Nul. Data for Si. ad Tehol., K.H. Bökhoff (ed.), Reidel, Dordreht (98) p. 55. J.E. Ly, The Theory of Neutro Resoae Reatios, Claredo Press, Oford (968). J.E. Ly, Harwell report AERE-R7468 (974). R.E. MaFarlae, D.W. Muir, R.M. Boiourt, Los Alamos report LA-9303-MS, vols. I ad II (98). R.E. MaFarlae ad D.W. Muir, vol. III (987). D.W. Muir ad R.E. MaFarlae, vol. IV (985). M. Mahdawi ad G.F. Koll, Cof. o Nul. Data for Si. ad Tehol., K.H. Bökhoff (ed.), Reidel, Dordreht (98) p. 58. M.L. Mehta, Nul. Phys. 8 (960) 395; reprited i Porter (965). M.L. Mehta, Radom Matries, d ed., Aad. Press, Bosto (99) P.A. Mello, Phys. Lett. B8 (979) 03 ; f. also P.A. Mello ad T.H. Seligma, Nul. Phys. A344 (980) 489. P.A. Mello, P. Pereyra, T.H. Seligma, A. Phys. 6 (985) 54. 59

P.A. Moldauer, Phys. Rev. C (975) 46; C (975) 744. P.A. Moldauer, Nul. Phys. A344 (980) 85. S.F. Mughabghab, M. Divadeeam, N.E. Holde, Neutro Cross Setios, Neutro Resoae Parameters ad Thermal Cross Setios, Vol. A : Z -60, Aad. Press, New York (98). S.F. Mughabghab, Neutro Cross Setios, Neutro Resoae Parameters ad Thermal Cross Setios, Vol. B : Z 6-00, Aad. Press, New York (984). Müller ad H.L. Harey, Phys. Rev. C35 (987) 3. M.N. Nikolaev et al., At. Eergiya 9 (970). William of Okham (Oam, 85-349) propouded the priiple of parsimoy «etia o multipliada praeter eessitatem'» (do ot itrodue more etities tha eessary). F.G. Perey, It. Cof. o Neutro Physis ad Nul. Data, Harwell (978) p. 04. C.M. Perey, F.G. Perey, J.A. Harvey, N.W. Hill, N.M. Larso, 56 Fe Resoae Parameters for Neutro Eergies up to 850 kev, Oak Ridge Natioal Laboratory, ORNL/TM-74 (990). W.P. Poeitz, Pro. Cof. Nul. Data Eval. Mth. ad Pro., B.A. Maguro ad S. Pearlstei (eds.), Brookhave report BNL-NCS-5363, (98) vol. I, p. 49. W.P. Poeitz, J.F. Whale, A.B. Smith, Nul. Si. Eg. 78 (98) 333. C.E. Porter ad R.G. Thomas, Phys. Rev. 04 (956) 483 ; reprited i Porter (965). C.E. Porter (ed.) Statistial Theory of Spetra: Flutuatios, Aad. Press, New York-Lodo (965). C.E. Porter ad N. Rosezweig, Suomal. Tiedeakad. Toimit. (A. Aad. Si. Fe.) AVI 44 (960); reprited i Porter (965). C.W. Reih ad M.S. Moore, Phys. Rev. (958) 99. A. Réyi, Valosziüsegszamitas ( Probability Calulus), Budapest (954); slightly geeralised proof by J. Azel, Letures o Futioal Equatios ad Their Appliatios, Aademi Press, New York (978) p. 04. P. Ribo ad J.M. Maillard, Pro. ANS Meetig o Adv. i Reator Physis ad Safety, Saratoga Sprigs 986, NUREG/CP-0080 (986) vol., p. 80. P.F. Rose ad C.L. Duford (eds.), Report ENDF-0, NNDC Brookhave (990). G.R. Sathler, Phys. Letters 7 (963) 55. R.E. Sheter, J.L. Baker, R.B. Kidma, Batelle North West report BNWL-00 (969). E. Shrödiger, Pro. R. Irish Aad. 5 A (947) 5, 5 A (947) 4 ; reprited i Gesammelte Abhadluge, Wie (984) vol., p. 463 ad p. 479. 60

C.E. Shao, Bell Syst. Teh. J. 7 (948) 379 ad 63 ; f. also C.E. Shao ad W. Weaver, The Mathematial Theory of Commuiatio, U. of Illiois Press, Urbaa (949). V.V. Siitsa, Yad. Kost. 5(54) (983) ; Egl. trasl. IAEA report INDC(CCP)-5/G (985). A.B. Smith, D.L. Smith, R.J. Howerto, Argoe report ARNL/NDM-88 (985). A.W. Solbrig, Nul. Si. Eg. 0 (96) 67. Stei, Third Berkeley Symp. o Math. Statistis ad Probab., U. of Calif. Press, vol. I, p. 97 (956); see also W. James ad E. Stei, Fourth Berkeley Symp. o Math. Statistis ad Probab., U. of Calif. Press, vol. I, p. 36 (96). H. Takao, Y. Ishiguro, Y. Matsui, report JAERI-67 (980). R.G. Thomas, Phys. Rev. 97 (955) 4. A.M. Turig, Pro. Lodo Math. So., Ser., 48 (943) 80. R. Vadebosh ad J.R. Huizega, Nulear Fissio, Aad. Press, New York (973). J.M. Verbaarshot, H.A. Weidemüller, M.R. Zirbauer, Phys. Reports 9 (985) 367. J.M. Verbaarshot, A. Phys. 68 (986) 368. E. Voigt, Sitz.-Ber. Bayer. Akad. Wiss. (9) p. 603. Wald, Statistial Deisio Futios, Wiley, New York (950). A.E. Waltar ad A.B. Reyolds, Fast Breeder Reators, Pergamo, New York (98). C.H. Westott, K. Ekberg, G.C. Haa, N.S. Pattede ad S. Saatai, At. E. Rev. 3 (965), Issue, p. 3. E.P. Wiger ad L. Eisebud, Phys. Rev.7 (947) 9 ; E.P. Wiger, J. Am. Phys. So. 7 (947) 99. E.P. Wiger, Ca. Math. Cogr. Pro., Toroto (957) p. 74; A. Math. 67 (958) 35; both reprited i Porter (965). E.P. Wiger, Cof. o Neutro Phys. by Time-of-Flight, Gatliburg 956, Oak Ridge report ORNL-309 (957) p. 59; reprited i Porter (965). 6

ÉGALEMENT DISPONIBLE Publiatios de l AEN d itérêt gééral Rapport auel 999 (000) Dispoible sur le Web. AEN Ifos ISSN 605-959X Aboemet auel : FF 40 US$ 45 DM 75 6 4 800 Le Poit sur les rayoemets Appliatios, risques et protetio (997) ISBN 9-64-5483-8 Pri : FF 35 US$ 7 DM 40 7 850 Le Poit sur la gestio des déhets radioatifs (996) ISBN 9-64-469-4 Pri : FF 30 US$ 63 DM 89 44 Programmes de gestio des déhets radioatifs des pays Membres de l AEN/OCDE (998) ISBN 9-64-6033- Pri : FF 95 US$ 33 DM 58 0 4 50 Baque de doées Light Water Reator (LWR) Pi Cell Behmark Iteromparisos JEFF Report 5 (999) Gratuit sur demade Iteromparisos of Calulatios Made for GODIVA ad JEZEBEL JEFF Report 6 (999) Gratuit sur demade The JEF-. Nulear Data Library JEFF Report 7 (000) Gratuit sur demade Bo de ommade au dos.

BON DE COMMANDE Agee de l OCDE pour l éergie uléaire, boulevard des Iles, F-930 Issy-les-Moulieau, Frae Tel. 33 (0) 45 4 0 5, Fa 33 (0) 45 4 0, E-mail: ea@ea.fr, Iteret:www.ea.fr Qté Titre ISBN Pri Total Frais d evoi* Total *Uio européee : FF 5 Autres pays : FF 0 Paiemet ilus (hèque ou madat à l ordre des Éditios de l OCDE). Débitez ma arte de rédit VISA Masterard Euroard Ameria Epress (N.B.: Vou serez débité(e) e fras fraçais). Numéro de arte Date d epiratio Sigature Nom Adresse Téléphoe Pays Fa Mél