ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES

Rapport JEFF 8 ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES F.H. Fröher Forshugszetrum Karlsruhe Istitut für Neutroephysik ud Reaktortehik D-760 Karlsruhe, Allemage Ave la otributio de Életriité de Frae et du Commissariat à l éergie atomique AGENCE POUR L ÉNERGIE NUCLÉAIRE ORGANISATION DE COOPÉRATION ET DE DÉVELOPPEMENT ÉCONOMIQUES

ORGANISATION DE COOPÉRATION ET DE DÉVELOPPEMENT ÉCONOMIQUES E vertu de l artile er de la Covetio sigée le 4 déembre 960, à Paris, et etrée e vigueur le 30 septembre 96, l Orgaisatio de oopératio et de développemet éoomiques (OCDE) a pour obetif de promouvoir des politiques visat : à réaliser la plus forte epasio de l éoomie et de l emploi et ue progressio du iveau de vie das les pays Membres, tout e maiteat la stabilité fiaière, et à otribuer aisi au développemet de l éoomie modiale ; à otribuer à ue saie epasio éoomique das les pays Membres, aisi que les pays o membres, e voie de développemet éoomique ; à otribuer à l epasio du ommere modial sur ue base multilatérale et o disrimiatoire oformémet au obligatios iteratioales. Les pays Membres origiaires de l OCDE sot : l Allemage, l Autrihe, la Belgique, le Caada, le Daemark, l Espage, les États-Uis, la Frae, la Grèe, l Irlade, l Islade, l Italie, le Luembourg, la Norvège, les Pays-Bas, le Portugal, le Royaume-Ui, la Suède, la Suisse et la Turquie. Les pays suivats sot ultérieuremet deveus Membres par adhésio au dates idiquées i-après : le Japo (8 avril 964), la Filade (8 avier 969), l Australie (7 ui 97), la Nouvelle-Zélade (9 mai 973), le Meique (8 mai 994), la République thèque ( déembre 995), la Hogrie (7 mai 996), la Pologe ( ovembre 996) et la Corée ( déembre 996). La Commissio des Commuautés européees partiipe au travau de l OCDE (artile 3 de la Covetio de l OCDE). L AGENCE DE L OCDE POUR L ÉNERGIE NUCLÉAIRE L Agee de l OCDE pour l éergie uléaire (AEN) a été réée le er février 958 sous le om d Agee européee pour l éergie uléaire de l OECE. Elle a pris sa déomiatio atuelle le 0 avril 97, lorsque le Japo est deveu so premier pays Membre de plei eerie o europée. L Agee ompte atuellemet 7 pays Membres de l OCDE : l Allemage, l Australie, l Autrihe, la Belgique, le Caada, le Daemark, l Espage, les États-Uis, la Filade, la Frae, la Grèe, la Hogrie, l Irlade, l Islade, l Italie, le Japo, le Luembourg, le Meique, la Norvège, les Pays-Bas, le Portugal, la République de Corée, la République thèque, le Royaume-Ui, la Suède, la Suisse et la Turquie. La Commissio des Commuautés européees partiipe égalemet à ses travau. La missio de l AEN est : d aider ses pays Membres à maiteir et à approfodir, par l itermédiaire de la oopératio iteratioale, les bases sietifiques, tehologiques et uridiques idispesables à ue utilisatio sûre, respetueuse de l eviroemet et éoomique de l éergie uléaire à des fis paifiques ; et de fourir des évaluatios faisat autorité et de dégager des overgees de vues sur des questios importates qui servirot au gouveremets à défiir leur politique uléaire, et otribuerot au aalyses plus géérales des politiques réalisées par l OCDE oerat des aspets tels que l éergie et le développemet durable. Les domaies de ompétee de l AEN ompreet la sûreté uléaire et le régime des autorisatios, la gestio des déhets radioatifs, la radioprotetio, les siees uléaires, les aspets éoomiques et tehologiques du yle du ombustible, le droit et la resposabilité uléaires et l iformatio du publi. La Baque de doées de l AEN proure au pays partiipats des servies sietifiques oerat les doées uléaires et les programmes de alul. Pour es ativités, aisi que pour d autres travau oees, l AEN ollabore étroitemet ave l Agee iteratioale de l éergie atomique à Viee, ave laquelle u Aord de oopératio est e vigueur, aisi qu ave d autres orgaisatios iteratioales opérat das le domaie de l éergie uléaire. OCDE 000 Les permissios de reprodutio partielle à usage o ommerial ou destiée à ue formatio doivet être adressées au Cetre fraçais d eploitatio du droit de opie (CFC), 0, rue des Grads-Augustis, 75006 Paris, Frae. Tél. (33-) 44 07 47 70. Fa (33-) 46 34 67 9, pour tous les pays à l eeptio des États-Uis. Au États-Uis, l autorisatio doit être obteue du Copyright Clearae Ceter, Servie Cliet, (508)750-8400, Rosewood Drive, Davers, MA 093 USA, ou CCC Olie : http://www.opyright.om/. Toute autre demade d autorisatio ou de tradutio totale ou partielle de ette publiatio doit être adressée au Éditios de l OCDE,, rue Adré-Pasal, 75775 Paris Cede 6, Frae.

AVANT-PROPOS Les doées uléaires sot essetielles au développemet et à l'appliatio des siees et tehiques uléaires. Les doées uléaires de base, qu'elles soiet mesurées ou alulées, sot soumises à u proessus omplee d'évaluatio de orretio et d'aalyse avat d'être dispoibles pour les appliatios. Ce rapport dérit e proessus das le as des doées d'iteratio eutromatière das le domaie des résoaes. Sahat qu'il 'eiste pas de théorie apable de prédire les doées uléaires das le domaie des résoaes, la mesure, auprès de mahies dédiées (aélérateur liéaire par eemple), reste la seule soure primaire d'iformatio. Les doées mesurées sot orrigées de divers effets epérimetau omme les impuretés, le bruit de fod et l'effiaité des déteteurs. Cei état, es résultats epérimetau e peuvet pas être utilisés e l'état das les aluls puisque l'iformatio reueillie est fragmetaire. Ue étape d'aalyse est éessaire pour ompléter les mesures et produire u eu de doées ohéret. Fritz Froher, l'auteur du préset rapport, dérit e détail les deu élémets éessaires pour meer à bie l'aalyse des doées : la théorie de l'iteratio eutro-oyau das le domaie des résoaes et les formalismes mathématiques d'iféree statistique. Coerat e derier poit, l'auteur eprime lairemet so pehat pour l'approhe Bayesiee qu'il osidère la plus appropriée. Ce rapport s'isrit das le adre d'u effort oordoé à l'éhelle iteratioale et auquel partiipet les orgaismes atioau de reherhe et l'idustrie uléaire. Il vise à sauvegarder les oaissaes e doées uléaires, domaie das lequel ue grade partie des spéialistes sot réemmet partis à la retraite. Il a été possible grâe à la ollaboratio du CEA Cadarahe, d'életriité de Frae et de l'agee de l'ocde pour l'éergie uléaire. Viet Greissier a assuré la tradutio fraçaise du rapport et Pierre Ribo a révisé à la fois la versio origiale et la tradutio. Lauret Carraro a passé e revue la partie mathématique du rapport. 3

TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS...3 ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES...7. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DE l ÉVALUATION DES DONNÉES...9.. La probabilité, ue mesure quatitative d ue prévisio ratioelle...9.. Le théorème de Bayes, la règle pour réatualiser la oaissae ave de ouvelles doées....3. Valeurs reommadées à partir de l estimatio par perte quadratique...4.4. Gééralisatio à plusieurs observatios et paramètres...5.5. Approhe plus détaillée des probabilités a priori, attributio par la théorie des groupes...6.6. Estimatio Bayesiee de paramètre pour ue Gaussiee à ue variable...8.7. Attributio de probabilités par maimisatio de l etropie...3.8. Ue approimatio : le maimum de vraisemblae...7.9. Ue approimatio : les moidres arrés...8. ÉVALUATION DES DONNÉES NUCLÉAIRES POUR DES APPLICATIONS...33.. Préparatio par étape des doées uléaires pour appliatios...33.. Austemet par moidres arrés ave itératio...40.3. Erreurs statistiques : statistique de Poisso...44.4. Erreurs systématiques : Iertitudes orrélées et leur propagatio...45.5. Qualité de l austemet...49.6. Doées iompatibles...5.7. Estimatio d erreurs systématiques ioues...56 3. THÉORIE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE RÉSOLU...59 3.. Le formalisme de Blatt-Biedehar...64 3.. Les epressios eates de la matrie-r...67 3.3. Les approimatios importates d u poit de vue pratique...7 3.3.. Epressios de Kapur-Peierls pour les setios effiaes...73 3.3.. Epressios des setios effiaes das le adre de SLWB...74 3.3.3. Epressios des setios effiaes das le adre de MLWB...76 3.3.4. Epressios de Reih-Moore des setios effiaes...78 3.3.5. Epressios d Adler-Adler des setios effiaes...79 3.3.6. Coversio des paramètres de Wiger-Eisebud e paramètres de Kapur-Peierls...80 5

3.4. Niveau eteres...8 3.4.. Représetatio statistique des iveau eteres...83 3.4.. Représetatios des termes de bord par deu larges résoaes...85 3.4.3 Niveau liés étroits pour imposer les setios effiaes thermiques presrites pour les iveau liés....88 3.5. Élargissemet Doppler...9 3.5.. Approimatio du gaz libre...9 3.5.. Cristal ubique...94 3.5.3. Élargissemet Gaussie ave profils de Voigt...94 3.5.4. Élargissemet Gaussie ave la méthode de Turig...95 3.5.5. Élargissemet de doées potuelles tabulées et liéairemet iterpôlables...96 3.6. Aalyse pratique des setios effiaes epérimetales das le domaie des résoaes...98 3.6.. Les observables...99 3.6.. Compliatios epérimetales...0 3.6.3. Attributio de spi et de parité...04 4. THÉORIE STATISTIQUE DES RÉSONANCES POUR LE DOMAINE NON RÉSOLU...07 4.. Statistique des iveau...07 4... Hypothèse de Porter et Thomas...07 4... Loi de Wiger et l Esemble Gaussie orthogoal...0 4..3. Coeffiiets de trasmissio...3 4..4. Desités uléaires de iveau...5 4..5. Iformatio proveat des résoaes résolues...3 4.. Setios effiaes résoates moyees...6 4... Setio effiae totale moyee...6 4... Setios effiaes partielles moyees : Formules heuristiques...7 4..3. Setios effiaes partielles moyees : moyee eate sur l EGO...9 4..4. Aalyse de doées moyees...3 4.3. Costates de groupes...37 4.3.. Fateurs de Bodareko...38 4.3.. Méthodes aalytiques et de Mote Carlo pour la géératio de ostates de groupe...39 5. CONCLUSIONS...4 ANNEXES...43 A. Distributios de probabilités d importae pratique...44 A.. Distributios biomiale et bêta...47 A.. Distributios gamma et de Poisso...45 A.3. Gaussiee à ue variable...46 A.4. Gaussiee à plusieurs variables...49 B. Propriétés mathématiques des profils de Voigt Voigt ψ et χ...53 6

ÉVALUATION ET ANALYSE DES DONNÉES RELATIVES AUX RÉSONANCES NUCLÉAIRES Résumé Les fodemets probabilistes de l évaluatio des doées sot eamiés ave u aet partiulier sur l estimatio de paramètres à l aide du théorème de Bayes et d ue fotio de perte quadratique, aisi que sur les méthodes moderes d attributio de probabilités a priori. Les grades liges du proessus de rédutio des doées, meat des doées epérimetales brutes au fihiers iformatiques d évaluatios des setios effiaes de réatio uléaire, sot eposées ave ue disussio sur les erreurs systématiques et statistiques, sur leur propagatio et sur le formalisme gééralisé des moidres arrés ompreat ue iformatio a priori et des modèles théoriques o-liéaires. Il est epliqué ommet des erreurs ommues peuvet iduire des orrélatios etre les doées, quelles sot leurs oséquees sur la propagatio des iertitudes et les études de sesibilité, et ommet les évaluateurs peuvet ostruire des matries de ovariae d après les iformatios sur les erreurs lassiques doées par les epérimetateurs. De ouvelles tehiques d évaluatio, à partir de doées iompatibles, sot égalemet présetées. Les priipes géérau sot esuite appliqués spéifiquemet à l aalyse et à l évaluatio des doées relatives au résoaes uléaires sous forme de modèles théoriques-théorie de la matrie-r (e partiulier ses variates Breit-Wiger multiiveau et Reih-Moore, d usage pratique) das le domaie résolu et théorie de la matrie-r appliquée au valeurs moyees (théorie d Hauser-Feshbah ave orretio des flutuatios des largeurs) das le domaie o-résolu. Des ompliatios apparaisset du fait que les valeurs mesurées de la trasmissio, du tau de apture ou de fissio, des rapports d auto-idiatio ou eore d autres observables e sot pas diretemet les setios effiaes reherhées. Celles-i e sot obteues qu au travers d ue paramétrisatio. Par oséquet, ue disussio est égalemet meée sur les effets affetat es valeurs : élargissemet Doppler, résolutio epérimetale, auto-protetio, diffusios multiples, bruit de fod, impuretés das les éhatillos, effiaités des déteteurs dépedat de l éergie, doées de référee impréises, et. 7

. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DE L ÉVALUATION DES DONNÉES Historiquemet, l évaluatio des doées, au ses atuel, débuta par les efforts de Duigto (939), de DuMod et Cohe (953) et de leurs ollaborateurs pour détermier u esemble de valeurs reommadées des ostates physiques fodametales (vitesse de la lumière, quatum d atio de Plak, ostate de struture fie, et...), et établir leurs iertitudes, grâe à u austemet global par moidres arrés de l esemble des doées epérimetales utiles. Comme les mesures sot ivariablemet affetées par des erreurs istrumetales iotrôlables, des étalos impréis, des statistiques de omptage fiies et d autres soures d iertitudes, l évaluatio des doées implique de raisoer à partir d ue iformatio iomplète, est-à-dire e terme de théorie des probabilités. C est pourquoi ous allos ommeer par ue brève revue des fodemets théoriques, basés sur les probabilités, de l évaluatio des doées. Cela ous aidera à relier etre elles diverses règles pour etraire des doées epérimetales les «meilleures» valeurs et les iertitudes, et des presriptios pour les austemets sur les doées. La plupart des sietifiques appreet es règles et formules durat des ours de laboratoire et au travail, e ostatat que la plupart des livres de probabilités sot remplis d itimidates termiologies de statistique et de osidératios «ad-ho» peu évidetes (Good 965) proveat de tetatives mal veues pour éviter le théorème de Bayes et ses très déigrées probabilités a priori. Le préset eposé qui (a) est fermemet basé sur le théorème de Bayes et (b) utilise les progrès réets sur les probabilités a priori, va meer à u traitemet ois et mathématiquemet simple de l estimatio des paramètres et de l austemet des doées das le adre gééral de la olusio par idutio, ou de l étude à partir d observatios réelles, touours affetées d ue erreur et iomplètes.. La probabilité, ue mesure quatitative d ue prévisio ratioelle Tous os résultats, das ette partie, serot lairemet des oséquees diretes des règles de somme et de multipliatio élémetaires de la théorie des probabilités, ( ) PAC ( ) PAC +, () où PABC ( ) PABCPBC ( ) ( ) PBACPAC ( ) ( ), () ABC,, propositios telles que «la pièe tombe sur fae» ou «la setio effiae est supérieure à b», AB A et B sot tous les deu vrais, A A est fau, PAC ( ) probabilité de A sahat C. 9

Nos otatios idiquet que toutes les attributios de probabilité sot oditioelles, basées sur des iformatios empiriques ou théoriques ou sur des hypothèses. D après J. Berouilli (73) et Laplae (8), ous iterprétos es probabilités omme des degrés de plausibilité ou de prévisio ratioelle sur ue éhelle umérique allat de 0 (impossibilité) à (ertitude), les valeurs itermédiaires idiquat des degrés de plausibilité itermédiaires. La règle de somme ous dit que, sous toute oditio C, plus A est probable et mois A l est, la somme égale à l uité des deu probabilités traduisat la ertitude que l ue de es alteratives est vraie. La règle de multipliatio eprime que, sous toute oditio C, la probabilité qu à la fois A et B soiet vrais est égale à la probabilité de A sahat B multipliée par la probabilité que B soit vraie. Puisque A et B itervieet de maière symétrique, il est égalemet possible de osidérer la probabilité de B sahat A et de la multiplier par la probabilité de A. L iterprétatio des P e tat que degrés de plausibilité (pas les équatios les reliat) a été ritiquée par les statistiies qui tieet à e que, par probabilité, o etede uiquemet «fréquee relative das ue epériee aléatoire» telle que laer de pièe, das la limite d u très grad ombre de répétitios, et que l o puisse assiger des probabilités «diretes» à des effets (observatios) si les auses (lois stohastiques et leurs paramètres) sot doées, mais pas des probabilités «iverses» à diverses auses possibles si les observatios sot doées. Ils affirmet que, puisque les ostates physiques e sot pas des variables aléatoires qui supposet des valeurs doées ave ue ertaie fréquee, il e faut assoier des probabilités qu ave les erreurs observées et pas ave les ostates physiques. Pour les sietifiques e gééral, et les évaluateurs de doées e partiulier, e poit de vue est trop restritif. Il e leur permettrait pas de dire que, d après les doées mesurées, ue ostate physique a telle ou telle probabilité d eister das des bores doées. La tâhe osistat à déduire les valeurs de ostates aturelles, de temps de demi-vie, de setios effiaes de réatio, et, à partir de doées affetées d erreurs systématiques, iertaies et iomplètes est pas ue epériee aléatoire qui peut être répétée à voloté, mais plutôt u eerie de olusio par idutio (raisoer fae à l iertitude). Le oept de probabilité de Laplae semble par oséquet plus approprié pour l évaluatio des doées sietifiques. Tous es doutes furet dissipés par R.T. Co (946). E utilisat l arithmétique de la logique, l algèbre de Boole, il prouva que tout système formel d iféree logique utilisat des degrés de plausibilité doit soit être équivalet à la théorie des probabilités telle que dérivée des règles de somme et de multipliatio de base, soit violer des oditios de osistee élémetaire. Das sa démostratio, les oditios de osistee les plus géérales s eprimet sous la forme de deu équatios fotioelles dot les solutios sot ustemet les règles de base. Le fait ritiquable que Co a supposé la différetiabilité de es fotios de probabilité fut résolu par A. Réyi (954) qui doa ue démostratio sas ette hypothèse. Il est itéressat que Shrödiger (947), l u des pères de la méaique quatique, arriva pratiquemet, et idépedammet, au même olusios que Co : les règles de base, lairemet valables pour les fréquees relatives, sot égalemet valable pour les probabilités de Laplae. Das la théorie quatique, il a touours été ompris que les probabilités quatifiet ue oaissae iomplète mais ue royae largemet répadue était que les probabilités des méaiques lassique et quatique différaiet d ue maière ou d ue autre. Auourd hui, il peut être motré que le formalisme des probabilités de la méaique quatique est parfaitemet ompatible ave le oept de probabilité de Laplae et les règles de somme et de multipliatio (Fröher, 998). D après la démostratio de Co, deu hoses devraiet être laires :. Les probabilités e sot pas des fréquees relatives. Elles peuvet s appliquer tout aussi bie à des situatios o-répétitives qu à des epériees répétées. 0

. Les shémas présumés supérieurs de l iféree logique, tels qu ue logique floue ou l itelligee artifiielle, sot équivalets à la théorie des probabilités das le meilleur des as sio, ils sot otraits de violer les obligatios de osistae élémetaires. Bie que les probabilités e soiet pas des fréquees, elles sot ertaiemet toutes deu reliées. Das les situatios répétitives, o osidère que les probabilités sot essetiellemet des valeurs attedues de fréquees relatives-voir par eemple Jayes (968) et Fröher (997).. Le théorème de Bayes, la règle pour réatualiser la oaissae ave de ouvelles doées Les epériees sietifiques sot d ordiaire dérites à l aide d u modèle statistique, des élémets statistiques état itroduit par des effets istrumetau iotrôlables, apparemmet aléatoires, par des erreurs ioues et souvet par la théorie elle-même (par eemple les méaismes statistiques, ou la théorie quatique, ou la théorie statistique des iveau, pour les réatios par oyau omposé). Le modèle statistique ous permet de aluler la probabilité «direte» d u eu queloque de doées observées («éhatillo»), pourvu que les quatités physiques et les paramètres statistiques du modèle soiet doés. E siee empirique, la situatio est ordiairemet iversée : u éhatillo de doées epérimetales est doé, et o désire trouver les probabilités «iverses» pour les différetes valeurs possibles des quatités physiques et des paramètres statistiques du modèle. Les probabilités diretes (des effets sahat les auses) et les probabilités iverses (des auses sahat les effets) sot reliées par le théorème de Bayes (763). Das sa forme la plus simple, ( ) PABC ( ) ( ) PBC ( ) PBACPAC, (3) est ue oséquee immédiate de la symétrie de la règle de multipliatio () appliquée à A et B. La situatio typique est que ous avos la doée B qui déped de la valeur d ue quatité physique ioue A et d autres oditios C. Si ous avos u modèle statistique, représeté par e qu o appelle fotio de vraisemblae pbac ( ), ous disat à quel poit serait probable l observatio de la doée B sous la oditio C si la quatité ioue était A, et si ous avos égalemet ue PAC (otée plus brièvemet «l a priori»), alors la probabilité réatualisée ou probabilité a priori ( ) a posteriori PABC ( )(«l a posteriori») est proportioelle au produit ( ) ( ) PBACPAC. Le a priori résume e que ous savos à propos de A avat que les doées e soiet dispoibles, la fotio de vraisemblae traduit l impat des doées, et le a posteriori otiet l iformatio omplète dispoible pour ue ouvelle iféree ou préditio. Laplae (8) doa la gééralisatio pour plusieurs alteratives A distites et mutuellemet elusive : ( ) PABC ( ) ( ) PBACPAC ( ) ( ) PBACPAC,,,..., (4) ormalisée à omme le demade la règle de somme. Pour des alteratives otiues A et B, ous PBAC, et., par des probabilités remplaços les probabilités disrètes fiies PAC ( ), ( )

ifiitésimales pacda, ( ) pbacdb, ( ) et., ave les desités de probabilités pac ( ), ( ) et., et la somme sur les alteratives par ue itégrale, ( ) ( ) ( ) ( ) pbacpacda pabcda ( ), Ami A Ama. (5) pbacpacda pbac, Ces formes du théorème de Bayes peuvet être osidérées omme la pierre agulaire de l évaluatio et de l austemet des doées. Elles motret ommet ue oaissae a priori (u fihier de doées eistat) peut être réatualisée ave ue ouvelle iformatio (ouvelles doées). Das toutes les formulatios, le déomiateur est qu ue ostate de ormalisatio, si bie que la règle formelle pour appredre à partir d observatios peut être résumée par a posteriori vraisemblae a priori Il faut ompredre que es epressios a priori et a posteriori ot ue sigifiatio logique plutôt que temporelle. Elles sigifiet simplemet que les ouvelles doées e sot pas ou sot prises e ompte. Comme illustratio bie réelle, osidéros la détermiatio des ostates de déroissae d u radio-isotope queloque de ourte durée de vie à partir de déroissaes eregistrées à des temps t, t,...t. Maifestemet, ous devos idetifier ave A, et les doées t,...t ave B, alors que C orrespod à toutes les autres iformatio sur la situatio telles que validité de la loi de déroissae epoetielle, pureté de l éhatillo, fiabilité des appareils d eregistremet, durée suffisate du temps d observatio pour l eregistremet de toutes les déroissaes observables, et. Le modèle statistique pour l epériee est représeté par e qu o appelle distributio d éhatilloage, est à dire par la probabilité ave laquelle ous pouvos «raisoablemet attedre» les différetes alteratives si ous éhatilloos ue seule fois, les paramètres du modèle état doées. Das otre eemple, est la probabilité que, pour doée, ue déroissae partiulière, disos la i-ème, soit eregistrée das l itervalle de temps dt i à t i, ( ) ( ) pt dt ep t dt, 0 < t i < (6) i i i i Nous allos érire sous ette forme la distributio des probabilités otiues, ave la desité de probabilité p multipliée par la différetielle orrespodate, soit e tat que probabilité ifiitésimale, et ave le domaie des valeurs possibles établie epliitemet. Cela aetue le fait qu e fi de ompte toutes les distributios de probabilités sot utilisées pour le alul des valeurs attedues, si bie qu elles fot partie des fotios à itégrer, suettes à de possibles hagemet de variables. Puisque ous utilisos gééralemet la lettre p pour les desités de probabilité sas se souier de leur forme fotioelle, u hagemet de variable se traduit par p(.) d p(.) d / dy dy p( y.) dy. (Nous avos simplifié ii la otatio e omettat ue référee epliite au iformatios oditioelles C).

D après la règle de multipliatio, la probabilité ooite d observer les doées mutuellemet idépedates t,...t, oaissat, est p( t,... t ) dt... dt ep t dt... dt. (7) Cela orrespod à l epressio pabdb ( ) préédete. E multipliat la fotio de vraisemblae ( t ) pt,... par l a priori p( ) d, ous obteos p( t,... t) d ep ti p( ) d, 0 < <. (8) i Notos que das otre problème la fotio de vraisemblae e déped pas de toutes les valeurs idividuelle de l éhatillo. Elles apparaisset seulemet sous la forme ti t, de telle faço que, pour u éhatillo doé de taille, la moyee t de l éhatillo omporte toute l iformatio oteue das les doées. Das le argo statistique, t est ue «statistique ehaustive», ue «statistique aillaire», où statistique s applique à toute fotio de l éhatillo, est à dire des doées. Si ous osidéros toutes les valeurs de etre 0 et omme a priori équiprobable, de p d d, ous obteos maière à e que ( ) ( ) t p t d e d, 0 < <. (9) Or la fotio gamma est défiie par Γ( + ) e d 0 (qui pour des etiers o égatifs est autre que la fatorielle!). Il s esuit que le résultat fial de otre estimatio Bayesiee, orretemet ormalisée, peut être érite omme ( ) ( ) i (0) p t d + Γ e d, 0 < t <. () Cet a posteriori, ue distributio gamma (aussi oue omme distributio du χ ave χ et ν + degrés de liberté) représete l iformatio omplète sur qui est oteue das les doées et l a priori osidéré. La figure représete la distributio du χ pour différetes valeurs de ν. À mesure que la taille de l éhatillo augmete, otre a posteriori deviet de plus e plus oetré : plus il y a de doées réupérées et meilleure est la oaissae de. 3

Figure. Distributios du χ pour différets degrés de liberté v (f. équatio 05 et Kor & Kor (968) pour la défiitio ormale et les propriétés priipales).3 Valeurs reommadées à partir de l estimatio par perte quadratique La plupart des utilisateurs de doées de déroissae radioative e désiret pas être euyés par les détails de la distributio a posteriori. Ce qu ils veulet gééralemet est ue ostate de déroissae reommadée et so iertitude, et rie d autre. Par oséquet, à l aide de l équatio, ous alulos la valeur attedue, p ( t ) d +, () t 0 et l éart quadratique moye (aussi appelé éart type, dispersio de l erreur ou iertitude à u sigma), 4

/ ( ) p( t) d 0 +, (3) t et établissos le résultat sommairemet omme ±. Ce hoi se ustifie de la maière suivate. La valeur attedue est elle estimée 0 qui miimise le arré de l erreur attedu, 0 ( ) ( t ) d mi p, (4) 0 omme ela peut être aisémet vérifié e dérivat par rapport à 0, et e égalat à 0. Ave ette valeur reommadée, le arré de l erreur moyee (sa valeur attedue) est autre que la variae, var ( ), e qui ustifie égalemet otre spéifiatio de l iertitude. Ce que ous veos uste de faire est appelée «estimatio par perte quadratique» das la théorie de la déisio. L idée de base est qu il y a habituellemet ue péalité pour les mauvaises estimatios, d autat plus dure que l estimatio diffère de la valeur réelle, et que ette péalité peut être dérite par ue «fotio de perte» qui disparaît pour la valeur réelle et est positive partout ailleurs. Au voisiage de la valeur réelle, ue fotio de perte raisoablemet lisse peut être prise omme quadratique e erreur ( 0 -), puisque so développemet de Taylor autour de 0 ommee par le terme au arré (f, par eemple, DeGroot 970, Berger 985). L équatio 4 est de e fait la oditio pour obteir la péalité miimale attedue das ette approimatio parabolique. Évidemmet, la reommadatio ± ted à aher l asymétrie de la distributio gamma qui, spéialemet pour les faibles de valeurs de, est assez importate (voir figure ). Si de tels détails importet, o doit retourer à la distributio a posteriori omplète. Jusqu ii os résultats apparaisset suffisammet raisoables, mais omme ous allos le voir, il y a u problème proveat de la maière quelque peu avalière ave laquelle ous avos attribué les probabilités a priori..4 Gééralisatio à plusieurs observatios et paramètres Avat de traiter les a priori ave plus de préautios, regardos l impat qu aura ue deuième mesure (ave u ouvel éhatillo radioatif) sur otre oaissae de la ostate de déroissae. E utilisat la distributio a posteriori de la première mesure omme elle a priori pour la seode, ous obteos pour la ouvelle distributio a posteriori (,...,,... ) (,... ) (,... ) p t t t t d p t t p t t d, (5) m m où t,... t m sot les ouvelles doées. Plus gééralemet, s il y a k mesures, ave des eu de doées assoiés D,...D k et des fotios de vraisemblaes L,... L k, o obtiet k p( D,... Dk) d L( D ) p( ) d, (6) qui motre de quelle belle faço le théorème de Bayes modélise le proessus d appretissage par l epériee : haque ouveau résultat epérimetal peut être formellemet iorporé das le orps eistat de la oaissae par multipliatio de sa fotio de vraisemblae ave les distributios de probabilité eistates (et reormalisatio). Il est e auue maière éessaire que toutes les 5

epériees soiet du même type. Das l aalyse des résoaes uléaires, par eemple, o ombie gééralemet les fotios de vraisemblae d epériees de trasmissio, apture, diffusio et fissio faisat iterveir tout type de déteteur et de géométrie d éhatillo afi d obteir les meilleures valeurs de l éergie et des largeurs partielles des résoaes. Ave haque eu de doées additioel, la distributio a posteriori deviet plus étroite, e qui sigifie que l iertitude sur le paramètre estimé deviet plus faible. Notre eemple le motre epliitemet : pour de grads, l iertitude relative sur teds vers 0 e /. Ue derière gééralisatio oere les paramètres estimés. Das l évaluatio et austemet de doées, ous e traitos pas seulemet de grades quatités de doées proveat de multiples epériees différetes, mais égalemet de ombreu paramètres, bie souvet orrélés, qui doivet être détermiés simultaémet. À la plae d u seul paramètre o a do u veteur de paramètres, au lieu de la différetielle d o a u élémet de volume d N das l espae des paramètres, et les distributios a priori et a posteriori représetet les probabilités ooites pour l esemble des N paramètres (les oordoées du veteur de paramètres), omplétées par les orrélatios. A ouveau, l aalyse des résoaes fourit des eemples. À l aide des programmes moderes d aalyse de forme, o peut estimer simultaémet l éergie et les largeurs de dizaies de résoaes e austat des epressios théoriques appropriées à des ombiaisos de doées proveat de plusieurs types de mesures de résoae, haque epériee fourissat des etaies ou milliers de poits epérimetau (voir Figure 4 e bas)..5 Approhe plus détaillée des probabilités a priori, attributio par la théorie des groupes Nous devos maiteat traiter plus rigoureusemet les probabilités a priori. Das otre eemple de tau de déroissae, ous avos utilisé l a priori p( ) d d, e qui e terme de temps de vie τ / peut être réérit omme p( / τ) dτ / τ p( τ) dτ dτ / τ. Évidemmet, ous pourrios avoir aussi bie pu estimer τ plutôt que, et osidérer tous les τ équiprobables, est-à-dire p( τ) dτ dτ. Cei, toutefois, aurait doé ue distributio a posteriori différete. Il est vrai que l a posteriori e déped que faiblemet de l a priori si les doées sot abodates, mais d u poit de vue fodametal e est que piètre osolatio. Il semble y avoir u aratère bassemet arbitraire oerat les a priori, e partiulier pour les paramètres otius. Durat plus d u sièle, e aratère arbitraire apparet a oduit de ombreu statistiies à répudier l estimatio Bayesiee des paramètres et à reherher d autres méthodes pour iroveir les a priori. D autres, e omparat ela à ue tetative de faire de l arithmétique sas le zéro, défediret le théorème de Bayes omme dérivable e quelques liges des règles de somme et de multipliatio. Ils utilisèret aisi des a priori «subetifs» ou, omme H. Jeffreys (939), ivoquèret des argumets d ivariae pour trouver des a priori qui évitaiet d être ambigus. Ue importate avaée fut ameée par A. Wald (950). Il avait ommeé par herher des méthodes plus fodées (théorie déisioelle) d iféree statistique, sas le théorème de Bayes, mais fiit par prouver que la stratégie optimale pour predre ue déisio (reommader ue valeur, par eemple) vis à vis de l iertitude était ustemet les lois Bayesiees. Eore plus importate fut l appliatio de la théorie des groupes et de la théorie de l iformatio au problème des a priori par E.T. Jayes (968, 973). Il démotra, pour u ombre de as simples mais ayat ue grade importae d u poit de vue pratique, que même si l o igore omplètemet les valeurs umériques des paramètres estimés, la symétrie du problème détermie sas 6

ambiguïté l a priori. Si e qu o appelle u paramètre de positio doit être détermié, par eemple la moyee µ d ue Gaussiee, la forme de l a priori doit être ivariate pour u déplaemet de la positio, p( µ ) dµ p( µ + ) d( µ + ). Autremet dit, les positios de la Gaussiee e serot pas toutes équiprobables a priori, otrairemet à e qu o attedrait d ue omplète igorae. L équatio fotioelle a pour solutio ( ) p µ dµ dµ, < µ <, (7) u résultat totalemet plausible. Mois évidet est le as d u paramètre d éhelle tel que l éart type d ue Gaussiee. S il y a pas d éhelle préférée, o s atted à ue ivariae par hagemet d éhelle, p( ) d p( ) d( ). La solutio de ette équatio fotioelle est d p( ) d, 0 < <, (8) omme le préoisait déà H. Jeffreys (939). Malgré so importae et sa simpliité, la démostratio de Jayes (968) semble si peu oue que ous allos la iter ii pratiquemet mot pour mot pour le as d ue ostate qui multiplie (hagemet d éhelle) tous les temps ou itervalles de temps das u problème (omme le fait das l équatio 6) : Supposos que deu observateurs, Messieurs X et X, veuillet estimer u rapport ostat à partir d u ombre d évéemets. Si leurs observatios sot effetuées pour différets rapports de telle maière que leurs mesures sot reliées par t t, leurs paramètres de rapport ou d éhelle serot reliés par. Ils attribuet les probabilités a priori p()d et q( )d, et si elles doivet représeter le même état d igorae, alors p et q doivet être la même fotio et do p()dp( )d. À partir des deu équatios pour et, o obtiet l équatio fotioelle p()p(). So uique solutio est l a priori de Jeffrey, d p( ) d, 0 < <. (9) Il est ertai que est l a priori approprié pour otre eemple de tau de déroissae, puisque la ostate de déroissae est autre qu u paramètre d éhelle das os équatios. Elle satisfait p( ) d d / dτ / τ qui élimie toute ambiguïté : que ous estimios le paramètre d éhelle ou le paramètre d éhelle τ, ous obteos touours le même a posteriori, ave e p( t) d Γ ( ) d, 0 < t <, (0) t, (). () Cela semble plus uste que otre résultat préédet, illustrat le priipe de parimoie d Okham (349) («le rasoir d Okham») : le résultat le plus simple est souvet le plus orret. Si e 7

est pas la ostate de déroissae, mais la vie moyee qui est à estimer, il est alors tout aussi faile de trouver t τ, (3) appliable si >. τ τ, (4) D autres eemples d a priori issus des ivariaes de la théorie des groupes peuvet être trouvés das les travau de Jayes (968, 973, 976,980). Das le lagage de la théorie des groupes, l a priori qui orrespod à l ivariae das u groupe de trasformatio est la mesure du bo ivariat de Haar de e groupe (voir Berger 985, hapitre 6.6). Le fait que de tels a priori «mois iformatifs» e puisset être ormalisés est parfois ritiqué, et ils sot appelés a priori «impropres». Maiteat, o peut employer à la plae u a priori omplètemet ormalisable de forme mathématique aeptable («ouguée»). Das otre eemple, ela serait ue distributio gamma. L a posteriori dépedrait alors, bie sûr, de la largeur de et a priori. Si o laisse la largeur augmeter idéfiimet, o trouvera touours que l a posteriori teds vers l a posteriori obteu bie plus failemet ave l a priori mois iformatif. Nos a priori mois iformatifs peuvet par oséquet être osidérés omme les limites de distributios etrêmemet large, ormalisable, sur l éhelle liéaire (dµ) et logarithmique (d/ d l ), tout omme la fotio delta de Dira est le as limite de distributios etrêmemet étroites et ormalisées. Il y a pas de diffiulté oeptuelle ou mathématique si l o garde e mémoire que les a priori les mois iformatifs et les fotios delta les «plus iformatives» e sot rie d autre que des otatios stéographiques pratiques pour des distributios etrêmemet larges ou etrêmemet fies, ayat u ses que das la ovolutio ave d autres distributios, mois etrêmes..6 Estimatio Bayesiee de paramètre pour ue Gaussiee à ue variable Appliquos égalemet les a priori les mois iformatifs sur la distributio Gaussiee à ue variable, importate tat sur le priipe que d u poit de vue pratique. Supposos qu ue mesure répétée de la même quatité physique m ait doé les résultats,..., ave des erreurs epérimetales qui peuvet être osidérées distribuées ormalemet. La distributio d éhatilloage est alors ( µ) p µ, d ep d, < π <, (5) ave ue dispersio de l erreur ioue, L a priori eprimat ue igorae omplète de la positio (moyee) et de l éhelle (largeur) de la Gaussiee est (voir Jayes 968) dµ d p( µ, ) dµ d, < µ <, 0 < <. (6) L a posteriori est alors 8

dµ d p( µ,,..., ) dµ d ep ( µ ). (7) E terme de moyee de l éhatillo et de variae de l éhatillo,, (8) s ( ) l eposat peut être érit omme, (9) s u + µ s ( µ ) + ( )v. (30) La probabilité ooite a posteriori pour µ et, orretemet ormalisée et e otatio simplifiée, peut alors être représetée sous les formes suivates qui orrespodet au deu fatorisatios de la règle fodametale de multipliatio (), p ( µ,,s,) p p dµ d ( u v,) du p( v ) ( v u,) dv p( u ) e dv e du vu v dv v du π Γ( ) v ( + u ) v / [( + u ) v] dv du Γ() v B(, )( + u ) e v ( ) / µ s < u <, 0 < v <, (3) s où B( ) () ( ) (), / Γ Γ Γ est ue fotio beta. Notos que u est essetiellemet µ, que v est essetiellemet -, et que das les deu fatorisatios l a posteriori déped de l éhatillo uiquemet au travers de la moyee de l éhatillo et de la variae s de l éhatillo (idépedammet de la taille de l éhatillo). C est pourquoi es quatités sot, das le argo des fréqueistes, des «statistiques ehaustives ooites». Das la première fatorisatio, la distributio de probabilité de µ sahat est Gaussiee alors que elle de - est ue distributio gamma. Das la seode, la distributio de probabilité de sahat µ est ue distributio gamma tadis que elle de µ est ue distributio t de Studet. Les deu alteratives motret epliitemet les deu distributios margiales pour µ et : Si le seul itérêt est µ, quoi que puisse valoir, ous itégros sur toutes les valeurs possibles du «paramètre dérageat» (ou v) afi d obteir la distributio margiale des valeurs possibles de µ, du µ p( µ, s ) dµ, < / u <. (3) B, + u s ( )( ) /, 9

C est la distributio t de Studet pour t u / ν ave ν - degrés de liberté. Voir figure et aee A. Sa moyee et sa variae sot u 0 et u ( 3) /, d où µ, (33) var µ s 3. (34) Nous reotros ii la formule (plausible) des fréqueistes pour utiliser la moyee de l éhatillo omme «estimateur» de la moyee de la populatio. Auue erreur type fiie et réelle e peut être établie tat que 3. D u autre ôté, la demi-largeur est touours bie défiie et peut être utilisée pour sigifier la largeur de la distributio t, omme ela est ommuémet pratiqué das le as, la distributio de Cauhy (oue des physiies sous le om de Loretziee ou profil symétrique de Breit et Wiger). Figure. Distributios t de Studet pour différets degrés de liberté (voir Kor & Kor 986). La distributio de Cauhy (Loretziee, ν ) et la Gaussiee ( ν ) sot des as limites Si seul représete u itérêt, sas osidératio sur µ, o obtiet e itégrat sur u la distributio gamma (ou du χ ) ( ) v / e v dv s p(, s ) d, < v <. (35) Γ v ( ) Sa moyee et sa variae sot égales, v var v ( ) / quadratique pour - est alors. L estimatio par perte s s ( ), (36). (37) 0

Cei étaye ue etesio de l autre (pas si plausible) formule des fréqueistes osistat à e pas predre la variae de l éhatillo s mais s omme estimateur de, malgré le fait que et estimateur soit «biaisé», est à dire que sa valeur attedue, la moyee sur tous les éhatillos possibles, est pas égale au paramètre estimé, s. Or, - / est égalemet appelé préisio (voir par eemple DeGroot 970) et ous devos do désormais reoaître que s - / est u estimateur o biaisé pour la préisio. L estimatio Bayesiee orrete de proviet toutefois de v / ( 3) et v 4 /[( 3)( 5) ]. Sas auu empirisme, o obtiet s, (38) 3 ( ). (39) 5 Notos qu u éhatillo de mois de si valeurs e otiet pas suffisammet d iformatio pour ue estimatio omplète de alors que - peut être estimée à partir d u éhatillo de deu. La ovariae etre u et v s aule du fait qu après itégratio sur v, l itégrad restat est ue fotio impaire de u. Par voie de oséquee, o a - ( ) ov µ, 0. (40) Le as ave ue seule doée,, doit être traitée différemmet ar s 0 empêhe de défiir u, mais ela est aisé. L a posteriori est simplemet µ dµ d p( µ, ) dµ d ep -, (4) π à partir duquel ous obteos les distributios margiales ( ) p µ dµ p ( ) dµ µ, (4) d d. (43) La distributio margiale de µ présete u maimum très marqué au iveau de la valeur observée mais elle de apparaît être touours égale à l a priori le mois iformatif-e qui a u ses, puisqu u éhatillo de taille peut apporter quelque hose sur la positio mais rie oerat la largeur de la distributio. C est toutefois u eemple motrat que la méthode Bayesiee s aorde ave le ses ommu même das des as etrêmes, e partiulier pour de très petits éhatillos, où les autres méthodes sot vouées à l éhe. Metioos que l a posteriori (3) pour > fut trouvé bie avat que l a priori (6) e soit dispoible, mais eu qui oaisset l approhe «fiduielle» de R.A. Fisher (935) appréierot à quel poit la dérivatio Bayesiee est plus simple et plus direte, et ave quelle failité elle peut être étedue au as (Jeffreys 939). E outre, la dérivatio peut être étedue de maière direte au distributios Gaussiees à plusieurs variables. Ave des gééralisatios appropriées des relatios salaires au formes matriielles, soit de la variae (erreur

quadratique moyee au arré) à la matrie de ovariae ( C ), d ue différetielle ave ue variable à u élémet de volume dépedat de plusieurs variables ( d d( ) νd, ν ( ) d d C ν k Cν, k ) et., o obtiet des epressios matriielles qui ressemblet beauoup au epressios salaires pour la Gaussiee ave ue variable (voir Aee et Fröher 990). Assez gééralemet, ue estimatio Bayesiee des paramètres est, d u poit de vue logique et mathématique, plus simple que d autres approhes et au mois aussi rigoureuse. Des oepts tels que biais, effiaité, suffisae, aeptabilité, ompressio de James-Stei (voir par eemple Berger 985), essetiels pour les méthodes d estimatio fréqueiste, ot ullemet besoi d être itroduits puisqu ils apparaisset e tat qu élémets plus ou mois fortuits de la distributio a posteriori, de sa moyee ou de sa variae. Il y a pas de risque que les meilleures estimatios soiet détermiés e dehors de l itervalle des valeurs autorisées, omme ela peut arriver parfois pour les autres méthodes. Bie que les tau de réatios ou les setios effiaes soiet des quatités fodametalemet positives, les doées mesurées peuvet très bie oteir des poits égatifs après soustratio du bruit de fod. Ce serait ue erreur que d éarter les poits égatifs. O peut se fier au fait que l a priori garatit u itervalle orret pour les quatités estimées, par eemple µ<0, idépedammet de la plage des valeurs observables admise par la fotio de vraisemblae, par eemple < <+. La fodametale simpliité et supériorité de l approhe Bayesiee omparativemet au autres méthodes d estimatio a été démotrée assez puissammet par Jayes (976) à l aide de toute ue série d eemples de la vie ourate. La distributio ooite a posteriori de la moyee µ et de la variae est l iformatio omplète sur les paramètres d ue Gaussiee qui peut être etraite des doées. À partir de l a posteriori, o peut obteir des valeurs reommadées et leurs iertitudes à partir de fotios de perte quadratique ou autre, omme ous l avos vu. Souvet, toutefois, ous e sommes pas seulemet itéressés par les paramètres du modèle statistique mais égalemet par les préditios de ouvelles mesures. Cei est peut être, e fait, la raiso pour laquelle u modèle statistique fut itroduit la première fois. Que pouvos-ous dire, après dédutio de l a posteriori (3) pour les paramètres du modèle Gaussie, à propos du résultat d ue ouvelle epériee,? O + pourrait soger à predre la Gaussiee ave l a posteriori le plus probable ou ave la valeur moyee des paramètres, ou bie à aluler la moyee de la Gaussiee sur la distributio a posteriori de ses paramètres. La derière solutio est la boe. Cela deviet lair si ous otos la probabilité ooite de, µ et pour des doées oues et s, puis utilisos la règle de multipliatio et efi itégros sur les paramètres dérageats µ et, e qui doe p (, s ) d d d dµ p( µ, ) p( µ,, s ) d 0 dv du e ( u w) v / v ( ) où u, v sot défiis omme préédemmet et w ( ) / s e v /. E itégrat d abord la Gaussiee (sur tous les u) puis la fotio gamma restate (sur tous les v) ous obteos, pour >, la distributio «préditive» (, ) ps dµ B dy (, )( + y ) /, (44), < y s + <. (45)

Bie que la distributio d éhatilloage soit Gaussiee, la distributio préditive pour le résultat d ue mesure additioelle est pas ue Gaussiee mais ue distributio t. Il est vrai qu ue distributio t s approhe d ue Gaussiee pour des élevés, mais pour des valeurs de fiies, elle est touours plus large (voir Figure ). La meilleure estimatio pour toute fotio f() des doées suivates est sa valeur attedue f selo la distributio préditive..7 Attributio de probabilités par maimisatio de l etropie Jayes (968, 973, 978, 980) osidéra égalemet le as où l o est pas totalemet a priori igorat des valeurs umériques. Il motra das quelle mesure les probabilités pouvaiet être attribuées d ue maière bie détermiée si l o dispose au mois d ue iformatio vague sur les quatités moyees, par eemple d estimatios des valeurs attedues telles que les premier et seod momets. Le oept lé est elle de l etropie d iformatio, itroduite par C.E. Shao (948) e tat qu uique mesure de l idétermiatio ou de l iformatio maquate impliite d ue distributio doée de probabilités. L etropie d iformatio d ue distributio disrète de probabilités p ave des alteratives mutuellemet elusives est (à ue ostate près) S p l p. (46) Shao prouva que est l uique mesure d idétermiatio qui satisfait les eigees suivates : (i) C est ue fotio lisse des p. (ii) S il y a N alteratives, toutes équiprobables, alors l idétermiatio et do S doivet roître de maière mootoe si N augmete. (iii) U simple regroupemet des alteratives egedre auue différee : si ous aoutos l etropie quatifiat l igorae du groupe réel, et les etropies oveablemet podérées quatifiat l igorae de haque membre réel à l itérieur de haque groupe, ous devos trouver la même etropie globale S que pour les alteratives o groupées. Pour des distributios otiues ayat ue desité de probabilité p(), ous preos l epressio apparemmet aalogue S dp( ) l p( ). (47) Supposos maiteat que ous e oaissos pas p() mais que ous e avos ue iformatio globale sous forme de valeurs attedues pour plusieurs fotios oues f k (), f dp( ) f ( ) k, k,,... K. (48) k Quelle est la desité de probabilité p() qui satisfait es K équatios sas impliquer d autres iformatios, faussées, ou des hypothèses ahées? La répose est fourie par le priipe du maimum d etropie : si ous désiros qu il y est ompatibilité etre l iformatio doée, tout e ayat u oteu d iformatio miimal, ous devos varier p() de telle maière à e que so 3

etropie soit maimale, S ma, sous les K otraites (48). La solutio bie oue de e problème variatioel, obteue par la méthode des multipliateurs de Lagrage, est K p ( ) ep - f ( ) k k Z k. (49) Cette desité de probabilité est maifestemet positive pour k réel, et orretemet ormalisée à u ave K Z dep - f ( ) k k. (50) k Les multipliateurs de Lagrage k doivet être détermiés à partir des K otraites (48) ou à partir des équatios équivaletes f k k l Z. (5) La derière maière est plus ommode si Z peut être eprimé sous forme d ue fotio aalytique des paramètres de Lagrage. À haque fois qu ue ouvelle doée «globale» est dispoible, o doit multiplier la distributio eistate par u fateur ep[- k f k ()] (et reormaliser). Cei motre ommet o peut gééraliser au as où ue distributio a priori doée m()d est réatualisée ave de ouvelles doées globales f k : la desité de probabilité réatualisée doit s eprimer sous la forme p ( ) K ( ) ep - f ( ) k k (5) m Z k ave K Z dm f ( ) ep - k k( ). (53) k Les multipliateurs de Lagrage peuvet être détermiés à partir des équatios (48) ou (5) omme i-dessus. Ce résultat peut être obteu par maimisatio de l etropie d iformatio orrespodate (etropie roisée) p ( ) S dp( ) l, (54) m ( ) suettes au otraites (48). L etropie roisée possède l ivariae requise par hagemet de variable, otrairemet à l équatio (47) que ous reoaissos maiteat être limitée au as spéifique d u a priori uiforme pour la variable d itégratio. 4

L algorithme de l etropie maimale (48)-(5) doit sembler familier au physiies : il e ostitue rie d autre que le ratioel maquat das l approhe aiomatique de Gibbs e thermodyamique. Sur e poit, l etropie d iformatio maimisée, multipliée par la ostate de Boltzma, est l etropie thermodyamique de Clausius, et la ostate de ormalisatio Z est la fotio de partitio à partir de laquelle tout esemble de moyees observables marosopiquemet ou otrôlables peut être obteu par ue dérivatio appropriée. Par eemple, si E est l éergie (o égative) des partiules d u système thermodyamique, à propos desquelles o e oaît rie hormis leur éergie moyee (détermiée par la température du système), o a la distributio aoique, pe ( E) ep ( E), est-à-dire u fateur de Boltzma ave l iverse de la température apparaissat e tat que paramètre de Lagrage. Si le ombre moye de partiules est égalemet ou, o obtiet l esemble grad-aoique, pen (, E, N) ep ( E µ N), le potetiel himique état le deuième paramètre de Lagrage, et aisi de suite. Les évaluateurs de doées sot la plupart du temps ofrotés à des doées eprimées sous la forme ±. Notre otatio idique que ous iterprétos es ombres omme la meilleure estimatio des epérimetateurs par perte quadratique. Les deu premiers momets, et, d ue distributio ioue sot aisi détermiés. (Rappelos que ( ) var l itervalle de défiitio est < < d iformatio p ( ) ep ( ).) Si, l algorithme de l etropie maimale doe pour e gere omme la desité de probabilité la mois restritive et mois iformative, et par oséquet la plus oservative et obetive. C est maifestemet ue Gaussiee qui e terme de doée d etrée doit s érire sous la forme (ofirmée, bie sûr, par l algorithme de l etropie maimale) (, ) p d π ( ) ep - d, < <. (55) Le as d ue variable stritemet positive, 0 < <, est rameé au as préédet e la remplaçat par y l, et aisi < y <. Ave des premier et seod momets ous sur l éhelle logarithmique e y, ous obteos ue Gaussiee sur l éhelle logarithmique, est à dire ue distributio logormale sur l éhelle liéaire e. Si ous oaissos uiquemet la moyee, et que est stritemet positif, ous obteos ue epoetielle déroissate. Nous reotros ii ue des raisos de l ubiquité de es distributios e statistique et das l aalyse des doées. Traditioellemet, la Gaussiee est osidérée orrete que si la variable est affetée par de très ombreuses erreurs idépedates de telle maière que le théorème de la limite etrale soit appliable, ou alors elle est simplemet ivoquée pour des raisos de ommodités mathématiques, ave de sombres avertissemets sur les terribles oséquees d ue distributio réelle o Gaussiee. Le priipe du maimum d etropie e peut élimier es oséquees, mais elle évite mauvaise osiee ou paralysie : si seules la meilleure valeur (la moyee) et l erreur quadratique moyee (l éart type) sot doées, la distributio de probabilités optimale pour ue ouvelle iféree est la gaussiee orrespodate, quoi que la distributio réelle ioue puisse être. Cotrairemet au théorème de la limite etrale, le priipe du maimum d etropie fotioe égalemet ave des doées orrélées. U autre mythe repose sur le fait que les erreurs systématiques doivet être dérites par des distributios de probabilité retagulaires. Si ous e oaissos pas leur sige mais possédos au 5