INFORMATIQUE ORIENTATION LOGICIELS ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES GRAPHES Pro.É.D.Tillr Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 1 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr DÉFINITIONS Un rp G s onsiué un nsml X somms ou nœus un mill U élémns pplés rs. Dux somms son ns s il xis un r nr ux. Cqu r s rérisé pr un oupl oronné (i, ) nœus. i s l xrémié iniil l xrémié rminl. nœu iniil i r nœu rminl Un min rlin ls somms s un rp somms = w 1, w 2,,w k = rs u 1, u 2,,u k 1 ls qu u i =(w i, w i+1 ). w 1 = w 2 w i+1 u 1 u 2 w 3 Cmin w i u i w k 1 u k 1 w k = Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 2 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
DÉFINITIONS (2) Si on ou un r nr w k w 1, on oin un irui (min rmé). w 1 w 2 w k Cirui w 3 w k 1 w i w i+1 Grp non oriné Dns rins s, on n s préoup ps l orinion s rs. On prl lors rê (= r non oriné), în (= min non oriné) yl (= irui non oriné) Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 3 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr DÉFINITIONS (3) Un rp s onnx s il xis un în nr ou pir somms. Un rp sns yl s un orê. Un rp onnx sns yl s un rr. Grp non onnx (3 omposns onnxs) Grp onnx Forê Arr Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 4 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
) Mri inin somm-r. REPRÉSENTATION D UN GRAPHE Soi G =(X, U), un rp à n somms m rs. On lui ssoi un mri A à n lins (orrsponn ux somms) m olonns (ssoiés ux rs). ik = 1si i s l'xrémié rminl u k 1si i s l'xrémié iniil u k 0 sinon Exmpl u 1 u 5 u 2 u 4 1 3 2 4 u 3 u 6 5 Somm Ar u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 1 5 1 1 Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 5 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr ) Liss n Un rp pu êr rprésné pr 2n liss : n liss sussurs n liss prééssurs. Exmpl Somm Liss s Liss s prééssurs sussurs 1 4 2, 3 2 1 4 3 1,5 4 2,5 1 5 3, 4 L uilision l un ou l ur s rprésnions épn u rp qu l on onsièr l uilision qu l on ésir n ir. Un ormulion mémiqu un prolèm sur un rp sr pr xmpl souvn rprésné pr un mri inin lors qu l rprésnion inrn ns un prormm un rp pu ns (qui pu rs) s r souvn à l i liss n. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 6 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
EXPLORATION D UN GRAPHE Qusion : Quls son ls somms qu l on pu inr puis un somm épr? Alorim xplorion Donné: G v liss S(n) s sussurs u; : un somm priulir Résul: G v somms inls à prir mrqués. Déu: Q = {} Répér Coisir u Q; Rirr u Q; Mrqur u; v S(u): Si v n s ps mrqué: inrouir v ns Q Tn qu Q Fin. L nsml Q pu êr éré n pil ou n quu. Dns l prmir s, on un xplorion n proonur (on v ussi loin qu possil vn rvnir n rrièr). Dns l son s, on un xplorion n lrur. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 7 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr Exmpl xplorion n proonur (pil) Q= {} Exmpl xplorion n lrur (quu) Q= {} Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 8 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 9 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr Exmpl xplorion n proonur (pil) Exmpl xplorion n lrur (quu) Q = {} {, } {,, } {,,,} {,} {,} {} Q = {} {, } {,, } {, } {, } {, } {} Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 10 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr COMPLEXITÉ D UN ALGORITHME Noion O(.) On i qu ls onions (m)(m) sison (m)=o((m)) s il xis un onsn > 0 ll qu pour ou m ssz rn on (m) (m). Exmpl : (m)=1/m + lo(m)+300m +5m 2 s n O(m 2 ) r pour = 6 (pr xmpl) pour m ssz rn on in 1/m +lo(m) + 300m +5m 2 6m 2 Moivion l noion O( ) Évlur l mps lul un lorim n onion l ill m s onnés Avoir un msur mps inépnn l min sur lqull l lorim s évlué Avoir un ié l umnion u mps lul si on r à résour
COMPLEXITÉ DE L EXPLORATION D UN GRAPHE On n nœus m rs. Cqu somm s mis un ois (u plus) ns Q. Il n s rssori un ois s mrqué un ois. O(n). Cqu r s élmn xminé un ois u plus (lin «v S(u)») O(m). L omplxié s on n O(n + m). Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 11 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr Ié : RECHERCHE D UN CHEMIN DE S À T Mrqur ls somms u nom lur prééssur (pour rrouvr l min). S rrêr ès qu s mrqué. Donnés: G v lis s sussurs, ux somms priulirs s. Résul: Cmin s à. Déu: Q = {s}; m(s) = 0; Tn qu Q m() non mrqué Rirr v Q; v S(v), si w s non mrqué: mrqur w: m(w) = v Inrouir w ns Q Si m() non mrqué, érir «Ps min s à» Sinon Érir «Cmin s à, ns l orr invrs:» v = ; Tn qu v 0 Érir v; v = m(v) Fin Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 12 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
Exmpl : Rr un min à ns : Explorion n lrur m()=0,q ={} m()=, m()=, Q ={, } m()=, Q ={, } m()=, m()= mrqué, sop! Cmin :. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 13 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr RECHERCHE D UN PLUS COURT CHEMIN Déiniion On ppll résu un rp G(X, U) ns lqul on riué un vlur numériqu pour qu r U. C sruur s noé R(X, U, C). C rprésn l mill lonuurs i ssoiés ux rs (i, ). Prolèm : Én onné un résu R(X, U, C), ux somms priulirs s, rouvr un plus our min s à. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 14 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
ALGORITHME DE DIJKSTRA Donnés: R = (X, U, C) v i 0 Somm priulir s. Résul: λ i (1 i n = X ): lonuurs s plus ours mins s à i. Déu: Q = {s}; λ s = 0 v X \ {s} posr λ v = sv Tn qu Q X Trouvr x l qu λ x = min(λ v v Q) Q = Q {x} v X \ Q posr λ v = min(λ v, λ x + xv ) Fin. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 15 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr JUSTIFICATION DE L ALGORITHME DE DIJKSTRA Q rprésn l nsml s somms pour lsquls on onnî éà ls plus ours mins On ou ls somms ns Q pr orr roissn s lonuurs s plus ours mins, puisqu on oisi l somm x on l λ x s l plus pi qu i 0. x λ x minimum, on oisi pour nrr ns Q Vlurs λ miss à our s Q X\Q Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 16 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
Donnés: R=(X, U, C); somm 1. ALGORITHME DE BELLMAN Résul: λ i lonuur un plus our min 1 à i ou Iniion l xisn un irui lonuur néiv. Déu: λ 1 = 0; λ 2,, λ n = Compur = 0 Répér Fini = vri Compur = Compur + 1 Pour k = 1,, m Soin i, ls xrémiés u k Si λ > λ i + i Posr λ = λ i + i Fini = ux Jusqu à qu Compur > n ou Fini Si Compur > n, il xis un irui lonuur néiv Fin. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 17 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr FONCTIONNEMENT DE L ALGORITHME À qu iérion on pss n rvu ous ls rs. On s s il s plus our pssr pr i pour llr à. On s rrê ès qu on n rouv plus méliorions L plus our min, s il xis, u plus n 1rs.SiCompur in l vlur n, s qu il y un irui lonuur néiv, on qu il n xis ps plus our min. Complxié l lorim L lorim i u plus n iérions (Répér Tn qu ). Cqu iérion pu s ur n O(m) Complxié lol : O(nm) Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 18 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
FORMALISATION MATHÉMATIQUE DU PCC Donnés ( i ), mri s isns. Vrils éision : x i, vln 1 si on uilis l r (i, )pourllrs à, 0 sinon. minimisr sous onrins ( i, ) U i P( s) i P() i P() i x i Somm s isns s rs oisis x is x i x i = 1 On sor un ois s (sns y nrr) k S( s) k S() x sk = 1 On nr un ois ns (sns n sorir) k S() x k = 0 s, On nr on sor l mêm nomr ois pour x k x i {, 01} ous ls urs somms Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 19 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr APPLICATIONS UTILISANT UN PLUS «COURT» CHEMIN Cmin à éi mximum à prir un somm s. Plniiion âs. L â i oi préér l â llprnunmps i pour êr rélisé. Moélision n rms rps : i i Déu Fin Résoluion u prolèm : rouvr un plus lon min éu à in. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 20 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
FLOT DE VALEUR MAXIMALE Soi un résu R =(X, U, C), un somm-sour s X un somm-puis. Pour qu r (i, ) U,on un pié i (éi mximum, pr xmpl s us pour un lin rnsmission). Prolèm : Trouvr l lo mximum qu l on pu ir rnsir s à. s 1 2 Cpié = 2 Cpié = 1 1 r ssi lorim Répér: Trouvr un min s à (n mprunn qu s rs non surés) Si un l min xis: Aumnr u mximum l lo sur min. Tn qu on réussi à umnr l lo. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 21 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr Appliion l lorim : On rouv n prmir l min s 1 2 on oin : s 1 2 Il n xis plus min s à pourn on n ps un lo mximum! Rmè : Consruir un résu inrméiir R* s umnions los possils n rmrqun qu il s possil umnr l lo i à pr l iminuion un lo xisn à i : Flo xisn ns R Dns R* i i Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 22 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
ALGORITHME DE FORD &FULKERSON Donnés: Résu R = (X, U, C), somms s. Résul: Flo vlur mximum s à Déu: Prir un lo nul ns ous ls rs Répér: Consruir l résu umnion R* Dns R Dns R* i i Crr un min s à ns R* Si un l min xis: umnr u mximum l lo l lon min (iminur l lo (i, ) ns ls rs R qui pprissn invrsés (, i) ns R*) Tn qu un l min xis Fin. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 23 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr JUSTIFICATION DE L ALGORITHME Déiniions L nsml s rs sorns un sous-nsml somms Y s pplé un oup Y à Y =X\Y L pié l oup s l somm s piés s rs l oup. On vérii qu l nsml s somms mrqués ns R* à l rnièr ép l lorim For & Fulkrson orm un oup séprn s ll qu s pié s él u lo qu l on rouvé (sinon, on uri pu mrqur urs somms). Comm il s impossil voir un lo supériur à l pié un oup s à, onélil Téorèm u lo mximum l oup minimum L vlur un lo mximum s à s él à l pié miniml un oup séprn s. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 24 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
COMPLEXITÉ DE L ALGORITHME : Déiniion L ill un xmpl prolèm s l nomr is qu il u pour l sokr n mémoir. Exmpl : Un résu à n somms pu êr rprésné v n 2 nomrs is (il sui mémorisr ls vlurs s piés i ns un mri). L ill u prolèm s on n 2 Si l on n ps n n ppliqun l lorim For & Fulkrson, on n umn l lo qu un unié à qu iérion l lorim. En umnn un i l ill u prolèm, pr xmpl pour oulr l vlur l pié l plus élvé, on pu oulr l mps xéuion l lorim. Pr onséqun, l lorim For & Fulkrson pu prnr un mps qui umn xponnillmn v l ill u prolèm! Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 25 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr AMÉLIORATION DE L ALGORITHME Pour rnir un nomr éps polynomil n l ill u prolèm, on pu proér omm sui : 1) Au liu rr un min ns R*, on v rr un min v l nomr minimum rs s à. (Explorion n lrur ou onsruion un résu n ous R ) 2) On sur min on rommn. C lorim s polynomil r : Crr un l min s polynomil O(n 2 ) D un ép à l suivn, l nomr rs u min n pu éroîr On u plus n éps v un nomr onné rs s à On u minimum 1 r u mximum n On n éui qu l omplxié ol s O(n 4 ). Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 26 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
ALGORITHME MKM Donnés: Résu R = (X, U, C), somms s. Résul: Flo vlur mximum s à Déu: u U Flo(u) = 0; Coninur := vri Tn qu Coninur, répér: Consruir l résu umnion n ous R Si n s ps inl ns R Coninur := ux Sinon Répér, n qu s inl: Clulr rvrs(i), l qunié mximl lo pouvn rvrsr l somm i ns R ( rvrs() i = min i, ki ) S() i Éliminr ous ls somms i v rvrs(i) = 0 Trouvr un somm v rvrs() minimum Poussr un lo vlur rvrs() à Tirr un lo vlur rvrs() s à. Fin. Il s possil vériir qu lorim s n O(n 3 ). Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 27 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr k P() i Illusrion l lorim MKM Résu n iniil 1 r résu n ous s s 3 3 Cou 1 Cou 2 3 3 s 4 3 s 4 2 2 2 1 r lo ns l 1 r résu n ous 0 1 Mis à our s piés rsns Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 28 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
3 3 1 2 s 4 2 s 3 s s Flo mximl ns l 1 r résu n ous 2 résu n ous Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 29 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr FLOT À COÛT MINIMUM Prolèm : En plus un pié i pour qu r (i, ), on un oû uniir uilision p i. On r un lo mximum nr ux somms s oû ol minimum. Alorim : Donnés: Résu R = (X, U, C, P), 2 somms priulirs s. Résul: Flo mximum à oû minimum. Déu: Répér: Consruir R*, l résu umnion i Crr un plus our min s à Aumnr l lo u mximum l lon min Tn qu on rouv un min s à ns R* Dns R Dns R* i i p i { i { i i i pi p i Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 30 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
Prolèm rnonré ns l implnion lorim : On s oûs néis ns R*. On n pu on ps uilisr l lorim rpi Diksr irmn. Rmès possils : 1) Uilisr l lorim Bllmn, u érimn u mps lul. 2) Uilisr Diksr, mis moiir l éiniion s oûs sor à n ps voir oûs néis. Moiiion l éiniion s oûs : À l prmièr iérion, on pu uilisr Diksr sns ur, puisqu R = R* (on suppos qu ous ls oûs réls son non néis). À qu iérion, Diksr onn l lonuur λ i u plus our min s à i ns R* Rmplr ous ls p i pr λ i + p i λ. Av s nouvux oûs, l plus our min s à n s ps moiié, à l xpion s lonuur qui vu 0 ; uun oû n s néi (r, pr éiniion u plus our min, on oi voir λ i + p i λ ) Don, n rnvrsn s rs ns R* n nn l sin lur oû (= 0), on n ré ps rs oû néi. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 31 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr APPLICATION DE LA NOTION DE FLOTS Prolèm l ion linéir Coupl un nsml A élémns à un ur nsml B Formulion mémiqu : minimisr sous onrins n n i x i i = 1 = 1 n x i 1 = 1 n x i 1 i = 1 i = Coû ol l'ion Un prsonn pu ir u plus un â Cqu â s rélisé x i {, 01} i, Exmpls : Ensml A : Prsonns, Mins, Prossurs Ensml B : Tâs, Piès, Clsss. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 32 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
EXERCICE Ls 4 éuins (A, B, C, D) un lss oivn oisir prmi 4 pros smsr (1, 2, 3, 4). Cqu éuin pronosiqu l no qu il pns onir pour un s pros : Éuin Pro 1 2 3 4 A 6 5 5,8 5,5 B 6 5,5 4,5 4,8 C 4,5 6 5,4 4 D 5,5 4,5 5 3,8 Quls oivn êr ls oix s éuins pour mximisr l moynn lss? Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 33 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr COMPLÉMENTS THÉORIQUES SUR LES GRAPHES Déiniions Un oupl ns un rp G s un sous-nsml C rs (ou rês, ns l s non oriné) on ous ls xrémiés son isins. L ini romiqu un rp G s l nomr minimum oulurs néssirs à riur ux rês u rp ll mnièr qu ous ls rês ns u mêm somm in s oulurs iérns. Un rp G s ipri si l nsml s somms pu êr priionné n ux sousnsmls isins X Y sor qu ou r i un xrémié ns X l ur ns Y. X Y On pu rouvr un oupl mximum ns un rp ipri n inrouisn un somm s v s rs (s, i) pié 1 pour ou i X un somm v s rs (, ) pié 1 pour ou Y. Ls rs (i, ) uilisés pr un lo mximum s à onnn l oupl mximum. Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 34 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
ÉTABLISSEMENT D HORAIRES Téorèms Dns un rp ipri, il xis un oupl C v C = X si, sulmn si ou sous-nsml Z X u moins un voisins ns Y qu Z. (Köni II) Pour ou mulirp ipri, l ini romiqu s él u mximum s rés s somms. Appliion s éorèms : olorion s rês un rp ipri n un nomr minimum oulurs. Comin urs u minimum u-il prévoir à l rill orir pour sisir ls nomrs urs nsinmns spéiiés ns l lu suivn : Prossurs 1 2 3 4 A 1 1 1 B 1 2 C 1 1 1 Clsss Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 35 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr DÉMONSTRATION KÖNIG II ; SOLUTION DU PROBLÈME Complér l rp sor qu il y i l mêm nomr somms qu ôé qu ous ls somms in l mêm ré (= ré mximum un somm ns l rp iniil). Tn qu il rs s rês, répér Crr un oupl mximum ns l rp (ls rês uilisés ns oupl orrsponron ux ours à onnr à un ur onné) Supprimr ls rê u oupl rouvé A B C 1 2 3 4 Grp iniil Grp ompléé Prmièr pério Duxièm pério Troisièm pério Soluion Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 36 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr
A B C Grp iniil 1 2 3 4 Grp ompléé SOLUTION Prmir lo mximum (pério 1) Duxièm pério Soluion : Troisièm pério Élémns l éori s rps Pro. E. Tillr 37 EIVD, Inormiqu loiil, 4 smsr