MEMOIRE préseté e vue d obteir LE DIPLOME D INGENIEUR I.I.E. Rapport Fial Cédric BENTZ CONCEPTION DES ROULEMENTS POUR LE PERSONNEL DE L ESCALE Directeur de stage : M. Daiel GAUYACQ, Resposable de l uité de recherche Géie Décisioel Appliqué à la Directio de la Recherche et de la Techologie de la SNCF
Table des matières 1 CADRE DE LA RECHERCHE...4 1.1 ACCUEIL ET ENCADREMENT...4 1.2 REMERCIEMENTS...5 1. PRÉSENTATION DU SUJET...6 1..1 Notios élémetaires de plaificatio de roulemet...6 1..2 Descriptio détaillée de la coceptio d'u roulemet *8...8 1..2.1 Cadre de travail Hypothèses...8 1..2.2 Cotraites imposées par la législatio ou l expériece...8 1..2. Objectifs visés lors de la coceptio des roulemets...9 1.4 INTÉRÊT DU TRAVAIL...10 1.4.1 Etat actuel des coaissaces...10 1.4.2 Utilité du travail...10 2 TRAVAIL RÉALISÉ...11 2.1 REPRÉSENTATION DU PROBLÈME : DONNÉES ET VARIABLES UTILISÉES...11 2.1.1 Représetatio du tableau de roulemet...11 2.1.2 Doées du problème...12 2.1. Représetatio des variables du problème...1 2.1..1 Variables etières...1 2.1..2 Variables cotiues...1 2.1.. Variables bivaletes...1 2.1...1 Périodes de travail...1 2.1...2 Périodes de repos...14 2.2 EXPRESSION FORMELLE DES CONTRAINTES ET OBJECTIFS DU PROBLÈME...16 2.2.1 Expressio des cotraites...16 2.2.1.1 Cotraite d uicité...16 2.2.1.2 Cotraites itra-gpt...17 2.2.1. Cotraites iter-gpt...17 2.2.1.4 Cotraites sur les repos...20 2.2.1.5 Cotraite de charge...2 2.2.1.6 Cotraites liées aux variables additioelles...24 2.2.2 Expressio des préféreces et des objectifs du problème...26 2.2.2.1 Préféreces liées à l utilisatio de la réserve...26 2.2.2.2 Préféreces liées à l attributio des repos...26 2.2. Remarques...27 2.2..1 Réductio du ombre de critères...27 2.2..2 Résultat importat...27 2. VOLUMÉTRIE...28 2..1 Nombre de variables (avec exemple pour u *8 moté avec 4 agets sur 4 semaies)...28 2..2 Nombre de cotraites (avec exemple pour u *8, avec 4 agets sur 4 semaies)...29 2.4 IMPLANTATION DU MODÈLE ET EXPÉRIMENTATIONS...0 2.4.1 Présetatio du logiciel OPL Studio de la société ILOG...0 2.4.1.1 Le fichier «.mod»...0 2.4.1.2 Le fichier «.dat»...0 2.4.2 Validatio prélimiaire et erichissemet du modèle...1 2.4.2.1 Hiérarchisatio des critères : utilisatio de coefficiets o-compesatoires...1 2.4.2.1.1 Présetatio de la méthode...1 2.4.2.1.2 Applicatio au problème de la coceptio de roulemet...2 2.4.2.2 Ajout de cotraites supplémetaires... 2.4.2.2.1 Cotraite de type 1, sur l utilisatio quotidiee de réserve... 2.4.2.2.2 Cotraite de type 2, sur la réserve globale... 2.4.2.2. Cotraite de type, sur le ombre de jours de travail... 2.4.2.2.4 Cotraite de type 4, sur la différece etre soirées et matiées de réserve...4 2.4.2.2.5 Bila de l apport des cotraites supplémetaires...5 2.4.2. Défiitio de priorités das l arbre de recherche...6 2.4. Etude de cas cocrets...7 Page 2 sur 62
2.4..1 Roulemet de type «*8» sur 2 semaies...7 2.4..2 Roulemet de type «*8» sur semaies...9 2.4.. Roulemet de type «*8» sur 4 semaies...42 2.4..4 Roulemet à besois variables sur 2 semaies...45 2.4..5 Bila...46 2.5 EVOLUTION DU MODÈLE...47 2.5.1 Coceptio de roulemets «quelcoques»...47 2.5.2 Groupes de roulemets...47 2.5. Prise e compte des remarques des experts...48 CONCLUSION...49 4 BIBLIOGRAPHIE...50 5 ANNEXES...52 5.1 CALCUL DU NOMBRE D AGENTS NÉCESSAIRES POUR TENIR UN *8...52 5.2 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES CONTRAINTES ET CRITÈRES D UN ROULEMENT DE TYPE «*8»...5 5. TABLEAU ILLUSTRATIF DES DONNÉES...54 5.4 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES PLAGES HORAIRES COUVERTES PAR UNE VARIABLE QK...54 5.5 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES PLAGES HORAIRES COUVERTES PAR UNE VARIABLE CK...55 5.6 TABLEAU ILLUSTRANT LE PHÉNOMÈNE DE CYCLICITÉ DES ROULEMENTS...55 5.7 ILLUSTRATION D UN CAS DE NON RESPECT DE LA PROPRIÉTÉ PROP1...56 5.8 TABLEAU ILLUSTRANT LES GPT COUVRANT UNE PLAGE HORAIRE DONNÉE...57 5.9 CALCUL DU RÉSULTAT IMPORTANT DU 2.2..2...57 5.10 LISTING DU FICHIER «ROULEMENTS.MOD»...58 5.11 LISTING DU FICHIER «ROULEMENTS.DAT»...62 Page sur 62
1 Cadre de la recherche 1.1 Accueil et ecadremet Directeur de stage : M. Daiel Gauyacq, resposable de l uité de recherche «Géie Décisioel Appliqué». Bureau 166 (téléphoe : 01 5 42 92 74). Lieu de déroulemet du stage : Bureau 278 (téléphoe : 01 5 42 92 46), das les locaux de la Directio de la Recherche et de la Techologie, à Paris S t -Lazare. Etablissemet et service d accueil : Le stage s est effectué à la Société Natioale des Chemis de Fer Fraçais (SNCF), et plus précisémet au sei de l uité de recherche «Géie Décisioel Appliqué» de la Directio de la Recherche et de la Techologie (DRT). La SNCF est u Etablissemet Public Idustriel et Commercial au service des cliets, employat 175 000 persoes et réalisat u chiffre d affaires auel de 77 milliards de fracs. Elle est chargée du trasport ferroviaire de voyageurs et de fret sur le réseau atioal aisi que de l exploitatio et de la gestio de l ifrastructure (voies, sigaux ). Elle répod aux besois des cliets e proposat des produits et des services de qualité à des prix compétitifs. Elle assure sa missio das les meilleures coditios de sécurité, de cofort et de poctualité et réalise des performaces techiques remarquables (TGV, record du mode de vitesse ). Afi d assurer so développemet et la recoquête de ses cliets, la SNCF s est egagée das u projet idustriel, qui repose sur trois thèmes : le cliet, l etreprise et les hommes. Il prévoit u certai ombre d actios à meer et propose à chaque chemiot de participer à leur mise e œuvre. Ces derières doivet garatir le développemet de l activité ferroviaire et u redressemet fiacier durable de la SNCF «pour être, e 2002, l etreprise de service public de référece e Frace et e Europe». La recherche est l u des grads axes de ce projet idustriel. La SNCF compte 240 chercheurs et igéieurs de recherche, dot 70 à la DRT. Défiie par le présidet Louis Gallois comme essetielle au reouveau de la SNCF, la DRT se voit cofortée das so rôle trasversal au sei de l etreprise. La recherche foctioe désormais e réseau. Toute l etreprise est doc cocerée par la recherche. E particulier das le cadre du projet idustriel, u projet élaboré par l etreprise à partir de 1996, dot l idée maîtresse est de tourer la SNCF vers le cliet. La missio de la Directio de la Recherche et de la Techologie cosiste à : Gérer la politique de recherche das l etreprise et aimer le réseau ; Elaborer avec l esemble des domaies de l etreprise, la politique, le programme, le budget de recherche et développemet de la SNCF et les proposer au Comité Exécutif ; Coordoer pour la SNCF les coopératios et parteariats aux iveaux atioal et iteratioal ; Assurer la diffusio de l iformatio issue de la veille techologique ; Cotribuer à la mise e œuvre de la politique d'iovatio de l'etreprise. La DRT est orgaisée e ciq Uités de Recherche : l uité «Géie Décisioel Appliqué» a pour missio de développer des techiques de simulatio, de géie décisioel, d'aide à la décisio et de traitemet des doées pour améliorer l'esemble du système ferroviaire et gérer le trafic e temps réel e teat compte des situatios perturbées. Persoes présetes lors des réuios d avacemet hebdomadaires : Mme Véroique Labouisse : Techiques mathématiques de la prise de décisio - Débit et Capacité du réseau ferroviaire Systèmes d aide à la décisio pour l opératioel ; M. David De Almeida : Techiques mathématiques de la prise de décisio - Systèmes d aide à la décisio pour l opératioel. Eviroemet techique : Widows 9x/NT, Office 97, CPLEX. E outre, des serveurs tourat sous Uix sot dispoibles au Cetre De Calculs. Page 4 sur 62
1.2 Remerciemets Je ties tout d abord à remercier mo directeur de stage, Daiel Gauyacq, pour m avoir permis d effectuer ce stage au sei de la DRT de la SNCF à la gare Paris Sait-Lazare, sur u sujet qui s est révélé très erichissat et grâce auquel j ai pu approfodir mes coaissaces e recherche opératioelle. Je ties égalemet à adresser u grad merci à Véroique Labouisse qui m a coseillé et guidé tout au log de mo stage, et grâce à qui le travail avec les experts de la Directio des Ressources Humaies a été facilité. Je ties évidemmet à remercier David De Almeida qui m a été d u grad secours pour toutes les questios d ordre techique. J adresse aussi u grad merci à tous les experts de la Directio des Ressources Humaies qui ot bie voulu ous éclairer sur les otios pas toujours évidetes et parfois u peu obscures utilisées das la coceptio des roulemets de persoel, et dot l aide, que ce soit e amot ou e aval de l étude, a été détermiate. Das cette optique, je ties doc à remercier Cécile Gourdo, de la DRH de Paris Sait-Lazare, et so adjoit, Loïc Vallée. E ce qui cocere la DRH de la gare de Paris Motparasse, je remercie vivemet Alai Cormier et Virgiie Molière. Je ties aussi à remercier ceux qui ot égalemet participé à la boe humeur ambiate, et otammet les autres stagiaires : Samuel, Lioel et Michel, avec qui je partageais mo bureau, César, Delphie et Lauret. De la même faço, je remercie les prestataires qui m ot fait, aisi qu aux autres stagiaires, u excellet accueil : Nicolas, Moktar, Serge, Vicet, Lauret, Deis, et tous ceux dot j ai oublié les oms mais pas la sympathie. Je voudrais égalemet remercier Adré Cassa qui m a accueilli à bras ouverts das so bureau, et je lui souhaite boe cotiuatio. Efi, je ties à remercier tous ceux de la DRT que je ai pas ecore cité, Gisèle, Jea-Charles, Pascal Tariel et les autres. Page 5 sur 62
1. Présetatio du sujet 1..1 Notios élémetaires de plaificatio de roulemet Les services offerts par la SNCF le sot quasimet sas iterruptio au cours d ue jourée (24h) et au cours de l aée. Cela implique de mobiliser du persoel durat des plages horaires très variées pour permettre la réalisatio des tâches de productio et la prise des repos et cogés. Afi d assurer ue gestio efficace des moyes, il faut plaifier l utilisatio du persoel de telle sorte qu à tout momet du persoel suffisat e ombre et e compétece soit dispoible pour effectuer les tâches. Par ailleurs, il faut itégrer das la plaificatio le fait que le persoel toure périodiquemet sur les diverses traches horaires (matiée, soirée et uit, couvrat typiquemet les itervalles respectifs 6h-14h, 14h-22h et 22h-6h) et pred des repos. La charge de travail d u aget est limitée sur ue aée et aussi quotidieemet (8 heures). La successio des périodes de travail et de repos est aussi soumise à des règles strictes otammet pour predre e compte les week-eds. Efi, le roulemet est cyclique, c est-à-dire qu au terme d u itervalle doé (1 mois ou plus), la successio tâche/repos se répète, formellemet, à l idetique. Le cadre de l étude est le suivat : il existe u certai ombre de postes prédéfiis, et chacu d eux écessite des compéteces particulières. Avat d élaborer les grilles de roulemet du persoel, o détermie doc les grilles de besoi : pour chaque poste, o détermie le ombre d agets dot o aura besoi pour chaque plage horaire de la jourée (c est-à-dire Matiée, Soirée ou Nuit). Par exemple, pour chaque guichet d ue gare et pour chaque jour, o détermie s il a besoi d être ouvert (et doc d être teu par u employé) le Mati (M) et/ou le Soir (S) et/ou la Nuit (N). O sait aussi quels sot les agets susceptibles d être associés à chaque poste (aisi, o e pourra pas affecter importe quel employé à importe quel poste). Par exemple, ue grille de besois d u roulemet de type «*8» se présete comme suit (tableau T1) : Ludi Mardi Mercredi Jeudi Vedredi Samedi Dimache M M M M M M M S S S S S S S N N N N N N N Cette grille sigifie que, pour chacu des 7 jours de la semaie, ce poste écessite u aget le mati (M), u aget le soir (S) et u la uit (N). E fait, la grille des besois e doe doc les besois que sur ue semaie : ils sot esuite idetiquemet répétés d ue semaie à l autre. Chaque jour, u aget de roulemet e peut être affecté qu à u poste et à ue plage horaire. E outre, chaque aget a droit à des jours de repos réguliers (appelés repos périodiques), mais il doit travailler u miimum etre ces repos. L itervalle etre deux repos périodiques successifs (par la suite, o otera RP u repos périodique) est appelé «Grade Période de Travail», ou GPT. La législatio exige que la logueur d ue GPT se situe etre et 6 jours : autremet dit, u aget doit travailler au mois jours etre 2 RP successifs, mais il e peut pas travailler plus de 6 jours d affilée. D autre part, e plus des jours de repos périodique, u aget a droit à u certai ombre de repos supplémetaires (otés RU), dot les coditios d attributio diffèret quelque peu des RP. L élaboratio des roulemets cosiste doc e la plaificatio de la suite des tâches et des repos que doit assurer u aget affecté à u poste de travail à horaires décalés, das le respect de la réglemetatio du travail, mais égalemet de faço à ce que la grille des besois soit couverte au mieux. Le ombre d agets (ou «rouleurs») écessaires pour teir u roulemet est obteu par u calcul simple (voir aexe 5.1, p. 52), et l objectif, ue fois ce calcul effectué, est alors de répartir au mieux le travail etre les agets, suivat différets critères. Il faut oter qu il arrive que, certais jours, les «rouleurs» soiet e ombre isuffisat pour couvrir la totalité de la charge de travail. Ces situatios peuvet se produire à cause du mode de calcul du ombre d agets de roulemet écessaires : si le calcule doe 4.69 agets et qu o e affecte que 4 au roulemet, alors il y aura forcémet, à certais momets, des péuries de ressources. Das ces cas-là, o fait appel aux agets de Page 6 sur 62
réserve : ce sot des agets possédat plusieurs compéteces, et qui sot doc susceptibles d être affectés sur différets types de roulemets. L objectif est bie etedu de miimiser l appel à la réserve, qui doit rester exceptioel. Aisi, la cotraite de charge s exprime, pour chaque plage horaire de chaque jourée, de la faço suivate : ombre d agets présets pedat cette plage horaire + ombre d agets de réserve affectés au roulemet pedat cette plage horaire = besoi e agets pedat cette plage horaire. Efi, il coviet de remarquer que les roulemets de persoel sot orgaisés e cycles, chaque cycle état composé d u certai ombre de semaies. Il y a e fait autat de cycles qu il y a de «rouleurs» : aisi, u roulemet auquel 4 agets sot affectés sera composé de 4 cycles. Chaque cycle possède le même ombre de semaies, qui varie souvet etre 1 et 6. Les deux paramètres importats du tableau de roulemet sot doc : le ombre de semaies d u cycle, que l o otera s, et le ombre de cycles du roulemet, que l o otera. Le tableau de roulemet est parcouru de la faço suivate : o parcourt, pour chaque cycle, l esemble de ses semaies, puis o passe au cycle suivat, etc. Lorsque tous les cycles ot été parcourus, o reviet au 1 er qu o a parcouru, et o recommece. Le ombre de jours d u cycle, qui est le ombre de jours par semaie multiplié par le ombre de semaies par cycle, soit 7*s, correspod e fait au ombre de coloes du tableau, alors que le ombre de cycles correspod au ombre de liges. Le ombre total de jours est doc le ombre de jours par cycle multiplié par le ombre de cycles du roulemet, soit 7*s*. Le tableau de roulemet est doc u tableau de 7*s* élémets, ou cases : das chaque case, o ote le service que doit teir l aget pour cette jourée. U aget travaillat e matiée sera oté «M», e soirée «S», et la uit «N». Efi, si ce jour est u jour de repos périodique pour l aget, o le otera «RP», et si c est u jour de repos supplémetaire, o le otera «RU». Voici u exemple de tableau de roulemet (tableau T2) : Semaie 1 Semaie 2 Semaie s Lu Ma Me Je Ve Sa Di Lu Ma Me Je Ve Sa Di Lu Ma Me Je Ve Sa Di Cycle 1 S S S RP RP M M M M RP RP RP N N M M M M M RP RP Cycle 2 N N N N RP RP S S S S RP M M M RP S S S RP RP RU Cycle RP RP M M M M RP RP RP N N N RP RP M RP RU N N N RP Itéressos-ous à la faço dot ce tableau est parcouru : e fait, l aget 1 effectue le cycle 1, puis le cycle 2, et cotiue jusqu au cycle. Lorsqu il a fiit de parcourir l esemble des cycles, il recommece. L aget 2 effectue le cycle 2, puis le cycle, cotiue jusqu au cycle, puis echaîe Page 7 sur 62
sur le cycle 1. De même, l aget effectue le cycle, puis le cycle 1, et cotiue jusqu au cycle -1. Aisi, pedat que l aget 1 parcourt le cycle 1, l aget 2 parcourt le cycle 2. De faço plus géérale, état doé u cycle c, 1 c -1, pedat que l aget 1 effectue le cycle c, l aget 2 effectue le cycle c+1. Aisi, avec 4 agets, les echaîemets effectués sot doés par (tableau T) : Aget 1 Cycle 1 Cycle 2 Cycle Cycle 4 Aget 2 Cycle 2 Cycle Cycle 4 Cycle 1 Aget Cycle Cycle 4 Cycle 1 Cycle 2 Aget 4 Cycle 4 Cycle 1 Cycle 2 Cycle Les agets effectuet doc tous les mêmes services, mais avec u décalage par rapport aux autres agets. O peut doc exprimer la cotraite de charge e coloe (c est-à-dire e faisat iterveir les cycles). O peut l écrire, pour chaque plage horaire : ombre de fois où l aget 1 est préset pedat cette plage horaire sur l esemble des cycles + ombre d agets de réserve affectés au roulemet pedat cette plage horaire = besoi e agets pedat cette plage horaire. O e va pour l istat s itéresser qu aux roulemets de type «*8», c est-à-dire pour lesquels la grille des besois stipule que, tous les jours, u aget doit être préset le Mati, le Soir et la Nuit. 1..2 Descriptio détaillée de la coceptio d'u roulemet *8 Les cotraites et critères listés ci-dessous sot récapitulés das le tableau de l aexe 5.2, p. 5. 1..2.1 Cadre de travail Hypothèses. Pour l istat, l étude va être restreite à u cadre de travail précis. Voici la liste des hypothèses de travail qui serot utilisées das toute la suite de l étude : O e cosidère que des roulemets de type «*8», sauf précisio cotraire ; O suppose que le mode de calcul du ombre d agets affectés est le mode par défaut (voir aexe 5.1, p. 52) : aisi, il y a forcémet u déficit de ressources, et l appel à la réserve est iévitable ; O e s occupe pas des jours otés «d» (dispoibles), qui imposet à u aget de veir travailler u jour doé sas poste prédéfii : il est alors affecté suivat les besois costatés e temps réel ; Les «grades soirées», qui couvret typiquemet l itervalle 17h-2h, e sot pas traitées ; O e pred pas e compte les GPT de 6 jours : autremet dit, o e cosidère que les GPT qui cotieet etre et 5 jours. 1..2.2 Cotraites imposées par la législatio ou l expériece La coceptio des roulemets doit se faire das le respect de certaies cotraites, qui sot éumérées ci-dessous. Cotraites à respecter à l itérieur d ue grade période de travail (ou GPT) : - (C1a) Ue GPT cotiet etre et 5 jours ; - (C1b) Ue GPT est associée qu à u seul type de plage horaire : Matiée, Soirée, ou Nuit. Aisi, ue GPT sera costituée uiquemet de matis ou uiquemet de soirées ou uiquemet de uits, selo le type de sa plage horaire de début. Page 8 sur 62
Cotraites liées à l echaîemet des GPT : - (C2a) 2 GPT cosécutives doivet être séparées par ue période de repos d au mois u jour, et même de 2 jours lorsque la première GPT dure 6 jours ; - (C2b) Les GPT s echaîet suivat le motif «Soirée Matiée Nuit» (cotraite spécifique aux roulemets de type «*8»). Cotraites liées aux jours de repos des agets : - (Ca) Ue période de repos e peut pas être composée de plus de jours : autremet dit, aucu aget e peut avoir plus de jours de repos cosécutifs ; - (Cb) U aget doit recevoir 12 jours de repos das l aée ; - (Cc) U aget doit recevoir 118 jours de repos périodique (RP) das l aée ; - (Cd) Chaque aget a droit à au mois 52 repos doubles das l aée (c est-à-dire ue période de repos d au mois 2 jours comptés comme des RP) ; - (Ce) Chaque aget a droit à au mois 22 week-eds das l aée, c est-à-dire ue période de repos d au mois 2 jours coteat u dimache, compté comme u RP, et u jour accolé (samedi ou ludi), compté comme u RP ou u RU ; - (Cf) Chaque aget a droit à au mois 12 samedi/dimache das l aée (les 2 jours état comptés comme des RP et itégrés das les 52 repos doubles obligatoires). Cotraite de charge : - (C4) A chaque plage horaire de chaque jourée, le persoel doit être e ombre suffisat pour satisfaire la grille des besois, qui s exprime comme le ombre d agets devat travailler pedat cette plage horaire. Par exemple, si la grille des besois stipule que agets devrot être présets chaque jeudi soir, alors le roulemet doit être fait de telle sorte que cette cotraite soit satisfaite. Chaque poste qui est pas assuré par u aget de roulemet est systématiquemet pris e charge par les agets dits «de réserve». 1..2. Objectifs visés lors de la coceptio des roulemets La coceptio des roulemets coduit aussi à predre e compte, das la mesure du possible, u certai ombre de critères. Ils e costituet pas des cotraites absolues, mais plutôt des préféreces. Préféreces liées à l utilisatio de la réserve : - (P1a) Réduire le plus possible l appel à la réserve ; - (P1b) Eviter de faire trop souvet appel à la réserve pour les postes de uit ; - (P1c) Equilibrer le plus possible l appel à la réserve etre les jours de la semaie ; - (P1d) Equilibrer le plus possible l'appel à la réserve etre les soirées et les matiées. Préféreces liées à l attributio des repos : - (P2a) Arriver à ue répartitio la plus équilibrée possible des Samedi/Dimache sur l aée ; - (P2b) Arriver à ue répartitio la plus équilibrée possible des Week-eds sur l aée ; - (P2c) Réduire le plus possible le ombre de jours de repos isolés (c est-à-dire o iclus das ue période de repos au mois double). Page 9 sur 62
1.4 Itérêt du travail 1.4.1 Etat actuel des coaissaces Le problème de la plaificatio des emplois du temps de salariés est u problème qui se pose das de ombreux domaies, et qui a été étudié de faço spécifique : il existe pas de modèle géérique pour u tel problème. Chaque domaie a ses cotraites, et la taille du problème elle-même est liée au ombre de cotraites. Aisi, l affectatio de persoel a fait l objet d études : das le domaie hospitalier (des chercheurs daois se sot itéressés à la gestio des emplois du temps d ifirmières [Kragelud Mayoh 99]) ; das le domaie du persoel volat (des chercheurs américais [Vace Barhart Johso Nemhauser 95] et autrichies [Dawid Köig Strauss 00] ot étudié ce problème) ; au sei de la RATP (élaboratio des tableaux de roulemet des coducteurs de la RATP [Bertocchi Chouvaeff Lemoie 91]) ; pour le cas des coducteurs de bus [Fores 96] ; das le domaie ferroviaire (des chercheurs ot étudié ce problème pour les cas du persoel roulat (c est-à-dire o sédetaire) italie [Caprara Fischetti Toth Vigo 97] et holladais [Kroo Fischetti 00]). Les spécificités du persoel sédetaire, par cotre (réserves, etc.), e semblet pas avoir fait l objet de recherches approfodies. Les méthodes de résolutio ot dû être adaptées aux modèles proposés : pour résoudre les programmes liéaires obteus, des méthodes de géératio de coloes ot été utilisées (e Allemage [Fahle Juker Karisch Kohl Sellma Vaabe 99], et au Royaume-Ui [Fores 96]), aisi que des méthodes heuristiques basées sur ue relaxatio lagragiee du problème [Saders Takkula Wedeli 99], pour des tailles importates. O otera aussi l utilisatio de la méthode de recherche tabou [Chiaradii Schaerf Tiozzo 99]. Sigalos aussi l existece de certais logiciels, développés par des sociétés de service e iformatique, qui se sot itéressées aux problèmes d optimisatio et de prise de décisio ihérets à la coceptio de roulemets de persoel. La société Eurodécisio a otammet réalisé LP-Roster, u logiciel de plaificatio de roulemets, dot les méthodes de résolutio sot basées sur la programmatio par cotraites. 1.4.2 Utilité du travail Le premier apport est évidemmet de proposer u modèle réaliste du problème de la coceptio des roulemets du persoel sédetaire de la SNCF, et d acquérir ue boe maîtrise des otios écessaires à la formalisatio de ce problème. Le modèle implaté, ue fois doté d ue iterface graphique agréable, pourra ameer à la créatio d u véritable outil de plaificatio automatique. L objectif est, pour la Directio des Ressources Humaies, d automatiser la coceptio des roulemets de persoel. Aisi, le travail de l expert e serait modifié : il e s agirait plus de maipuler à la mai ue combiatoire importate, mais d utiliser u outil qui pourrait permettre de comparer rapidemet plusieurs des solutios proposées. So expertise serait de toute faço détermiate das le choix de ces solutios et das la boe paramétrisatio de l outil. Page 10 sur 62
2 Travail réalisé 2.1 Représetatio du problème : doées et variables utilisées 2.1.1 Représetatio du tableau de roulemet Das le tableau, o décide de découper chaque jour e plages horaires : la première correspod à la matiée, la secode à la soirée, et la derière à la uit. Aisi, chaque semaie compred *7=21 coloes (au lieu de 7), u jour s étalat sur coloes (ue pour chaque plage horaire). Pour costruire le tableau de roulemet, o idiquera alors pour chaque plage horaire de chaque jourée si l'aget travaille (cas que l o otera 1) ou o (cas que l o otera 0). Aisi, si o repred le tableau de roulemet T2 et qu o examie la 2 e semaie du 1 er cycle (dot o rappelle que l echaîemet des jours de travail et de repos est doé par M-M-RP-RP-RP-N-N), o pourrait la représeter sous la ouvelle forme suivate (tableau T4) : Cycle 1 Semaie 2 Ludi Mardi Mercredi Jeudi Vedredi Samedi Dimache M S N M S N M S N M S N M S N M S N M S N 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Le tableau de roulemet aisi obteu cotiet doc *(7*s*) = 21*s* élémets, au lieu de 7*s*. O décide de uméroter les plages horaires, das l ordre chroologique, de 1 à 21*s*. Chaque élémet du tableau de roulemet est doc associé à ue et ue seule plage horaire, parmi ces 21*s*. Le tableau T5 ci-dessous illustre cette umérotatio : les cases de ce tableau sot remplies avec l idice de la plage horaire correspodate. Aisi, le ludi mati de la première semaie du premier cycle sera désigé par la plage horaire uméro 1 (e rouge das le tableau), alors que le mercredi soir de la s e semaie du e cycle sera désigé par la plage horaire uméro 8+21*(*s-1) (e bleu). O remarque que l idice k de la première plage horaire d ue jourée (qui correspod à la matiée de cette jourée) est toujours tel que k 1[]. Par exemple, le premier ludi mati est idicé 1, le premier mardi mati est idicé 4, le premier mercredi mati 7, etc. De même, l idice k de la deuxième plage horaire d ue jourée (c est-à-dire l idice d ue soirée quelcoque) est toujours tel que k 2[], et l idice k de importe quelle uit est tel que k 0[]. O peut doc parcourir le tableau avec ue seule dimesio, e ayat cosciece qu avacer das le tableau de 21 plages horaires équivaut à avacer d ue semaie, alors qu avacer das le tableau de 21*s plages horaires équivaut à cosidérer l élémet situé sur la même coloe, mais à la lige suivate (et doc, das le cycle suivat). Par exemple, le vedredi mati de la première semaie du premier cycle (e jaue das le tableau ci-dessus) correspod à la plage horaire uméro 1, alors que le vedredi mati de la 1 ère semaie du 2 e cycle (e vert das le tableau ci-dessus) correspod à la plage horaire uméro 1+21*s. D'autre part, o sera ameé par la suite à uméroter les jours e foctio des plages horaires, et il faut oter, à cet effet, que le p e jour du roulemet est composé des plages horaires *(p-1)+1, *(p-1)+2 et *p. Page 11 sur 62
Semaie 1 Lu Mar Mer Jeu Ve Sam Dim M S N M S N M S N M S N M S N M S N M S Semaie s Cycle 2 1+21*s 2+21*s +21*s 4+21*s 5+21*s 6+21*s 7+21*s 8+21*s 9+21*s 10+21*s 11+21*s 12+21*s 1+21*s 14+21*s 15+21*s 16+21*s 17+21*s 18+21*s 19+21*s 20+21*s Cycle 1 10 11 12 1 14 15 16 17 18 19 20 1 2 4 5 6 7 8 9 Lu Mar Mer Jeu Ve Sam Dim M S N M S N M S N M S N M S N M S N M S N Cycle 1+21*s*(-1) 2+21*s*(-1) +21*s*(-1) 4+21*s*(-1) 5+21*s*(-1) 6+21*s*(-1) 7+21*s*(-1) 8+21*s*(-1) 9+21*s*(-1) 10+21*s*(-1) 11+21*s*(-1) 12+21*s*(-1) 1+21*s*(-1) 14+21*s*(-1) 15+21*s*(-1) 16+21*s*(-1) 17+21*s*(-1) 18+21*s*(-1) 19+21*s*(-1) 20+21*s*(-1) 21+21*s*(-1) 1+21*(*s-1) 2+21*(*s-1) +21*(*s-1) 4+21*(*s-1) 5+21*(*s-1) 6+21*(*s-1) 7+21*(*s-1) 8+21*(*s-1) 9+21*(*s-1) 10+21*(*s-1) 11+21*(*s-1) 12+21*(*s-1) 1+21*(*s-1) 14+21*(*s-1) 15+21*(*s-1) 16+21*(*s-1) 17+21*(*s-1) 18+21*(*s-1) 19+21*(*s-1) 20+21*(*s-1) 21**s 1+21*(2*s-1) 2+21*(2*s-1) +21*(2*s-1) 4+21*(2*s-1) 5+21*(2*s-1) 6+21*(2*s-1) 7+21*(2*s-1) 8+21*(2*s-1) 9+21*(2*s-1) 10+21*(2*s-1) 11+21*(2*s-1) 12+21*(2*s-1) 1+21*(2*s-1) 14+21*(2*s-1) 15+21*(2*s-1) 16+21*(2*s-1) 17+21*(2*s-1) 18+21*(2*s-1) 19+21*(2*s-1) 20+21*(2*s-1) 21*2*s 1+21*(s-1) 2+21*(s-1) +21*(s-1) 4+21*(s-1) 5+21*(s-1) 6+21*(s-1) 7+21*(s-1) 8+21*(s-1) 9+21*(s-1) 10+21*(s-1) 11+21*(s-1) 12+21*(s-1) 1+21*(s-1) 14+21*(s-1) 15+21*(s-1) 16+21*(s-1) 17+21*(s-1) 18+21*(s-1) 19+21*(s-1) 20+21*(s-1) 21*s E outre, idépedammet du découpage e temps, les semaies peuvet être umérotées e foctio des cycles. Par exemple, au lieu de parler de la j e semaie du i e cycle, o peut parler de la (j+ (i-1)*s) e semaie. 2.1.2 Doées du problème Le découpage temporel état explicité, o peut itroduire les otatios qui serot utilisées pour désiger les doées du problème : k {1,..,21*s}, w k = besoi e agets pedat la plage horaire k. Cette doée est établie à partir de la grille des besois. E outre, k {1,..,21*s}, w k est u etier. Comme o l a vu précédemmet, chaque lige du tableau de roulemet correspod e fait à u aget. La cotraite de besoi va doc être exprimée par coloe, ce qui explique que l o utilise que 21*s (et o 21*s*) quatités w k, c est-à-dire suffisammet pour couvrir u cycle (chaque cycle possédat 21*s plages horaires). A ce sujet, il faut se souveir que la grille des besois e doe les besois que sur ue semaie : ils sot esuite idetiquemet répétés d ue semaie à l autre. O a doc : k {1,..,21*s-1}, w (k+21) = w k. Aisi, si les besois e agets sot de pour la uit du jeudi de la première semaie, ils serot égalemet de pour la uit du jeudi de la deuxième semaie et pour la uit du jeudi de la s e semaie. Le tableau e aexe 5., p. 54, illustre cette propriété. s et : le ombre de semaies s et le ombre de cycle sot cosidérés comme des doées das cette étude. Le ombre de semaies fait e réalité partie des paramètres à détermier, et sur lequel o peut jouer pour proposer différetes solutios à l expert : o doit procéder par tâtoemet et résoudre le problème d optimisatio pour différetes valeurs de s. Pour détermier le ombre de cycles c (et doc de rouleurs), o décide simplemet si l o veut travailler avec u excédet ou u déficit de ressources (rappelos que, pour l istat, o se place systématiquemet e déficit). Page 12 sur 62
2.1. Représetatio des variables du problème 2.1..1 Variables etières k {1,..,21*s}, rs k = le ombre d agets de réserve affectés sur le roulemet à la plage horaire k. Seules 21*s variables sot écessaires, car la cotraite de charge s établit e coloe. e = la valeur absolue de l écart etre le ombre de matiées de réserve et le ombre de soirées de réserve. Cette variable sert lors de l'expressio du critère (P1d). La valeur de la variable e sera doée par les cotraites (C5a) et (C5b). p {1,..,}, sa p = le ombre de samedi/dimache du cycle p. p {1,..,}, we p = le ombre de week-eds du cycle p. 2.1..2 Variables cotiues p {1,..,7*s}, ej p = la valeur absolue de la différece etre l'appel à la réserve au jour p et l'appel à la réserve quotidie moye sur u cycle. Ces variables servet lors de l'expressio du critère (P1c). La valeur de chaque ej p sera doée par les cotraites (C5c) et (C5d). p {1,..,}, ec1 p = la valeur absolue de la différece etre le ombre de samedi/dimache du cycle p et le ombre moye de samedi/dimache par cycle sur l'esemble du roulemet. Ces variables servet lors de l'expressio du critère (P2a). La valeur de chaque ec1 p sera fixée par les cotraites (C5f) et (C5g). p {1,..,}, ec2 p = la valeur absolue de la différece etre le ombre de week-eds du cycle p et le ombre moye de week-eds par cycle sur l'esemble du roulemet. Ces variables servet à exprimer le critère (P2b). La valeur de chaque ec2 p sera fixée par les cotraites (C5i) et (C5j). 2.1.. Variables bivaletes Elles vot servir à représeter les GPT et les périodes de repos. Néamois, au lieu de cosidérer chaque jour idépedammet de ses voisis, o va se servir de la cotraite forte qui impose que les GPT aiet etre et 5 jours (C1a), et utiliser aisi trois sortes de variables pour différecier les GPT de, 4 et 5 jours. E effet, das ue modélisatio où l o utilise ue ou plusieurs variable(s) biaire(s) par jour, les cotraites portat sur les echaîemets de jours e peuvet s exprimer qu à l aide de multiplicatios de variables, ce qui red ces cotraites o liéaires. Das la mesure du possible, o essaye doc de s orieter vers u programme liéaire, sas avoir à liéariser os cotraites, ce qui serait u processus coûteux. O fait de même pour différecier les périodes de repos de 1, 2 ou jours (car la cotraite (Ca) ous oblige à e cosidérer que des périodes de repos d'au plus jours). De cette faço, u certai ombre des cotraites citées das la première partie serot implicitemet exprimées par l itermédiaire du choix des variables, comme c est déjà le cas pour (C1a) et (Ca). Das tous les cas, le choix effectué sera explicitemet idiqué. 2.1...1 Périodes de travail k {1,..,21*s*}, t si ue période de jours de travail commece à la plage horaire k, 0 sio. Page 1 sur 62
Aisi, ue GPT de jours qui commece à la plage horaire k couvre les plages horaires k, k+, et k+6. E d autres termes, ue GPT de jours commeçat ue matiée (ce qui correspod à k 1[]), couvrira les plages horaires k+ (qui est aussi ue matiée, puisque k 1[] k+ 1[]) et k+6 (qui est égalemet ue matiée, car k 1[] k+6 1[]). Il e est de même si la GPT commece u soir ou ue uit : elle e se déroulera que sur u seul type de plage horaire. La cotraite (C1b) est doc implicitemet exprimée pour les GPT de jours par ce choix de variable. Le tableau T6 ci-dessous résume ces propos. Les cases de même couleur correspodet aux plages horaires couvertes par ue GPT de jours, suivat le type de la plage horaire de départ. Ue GPT de jours couvre les plages horaires de couleur jaue si elle commece e k, celles de couleur rouge si elle commece e k+1 et celles de couleur bleue si elle commece e k+2. Numéro de plage Type de plage k 1 Jour uméro + 1 k 1 Jour uméro + 2 k 1 Jour uméro + k k+1 k+2 k+ k+4 k+5 k+6 k+7 k+8 M S N M S N M S N k {1,..,21*s*}, q si ue période de 4 jours de travail commece à la plage horaire k, 0 sio. Aisi, ue GPT de 4 jours qui commece à la plage horaire k couvre les plages horaires k, k+, k+6 et k+9. E d autres termes, ue GPT de 4 jours commeçat ue matiée (ce qui correspod à k 1[]), couvrira les plages horaires de matiées d idice k+, k+6 et k+9. Il e est de même si la GPT commece u soir ou ue uit : elle e se déroulera que sur u seul type de plage horaire. La cotraite (C1b) est doc implicitemet exprimée pour les GPT de 4 jours par ce choix de variable. Le tableau e aexe 5.4, p. 54, résume ces propos. k {1,..,21*s*}, c si ue période de 5 jours de travail commece à la plage horaire k, 0 sio. Aisi, ue GPT de 5 jours qui commece à ue plage horaire k couvre les plages horaires k, k+, k+6, k+9 et k+12. E d autres termes, ue GPT de 5 jours commeçat ue matiée (ce qui correspod à k 1[]), couvrira les plages horaires de matiée d idice k+, k+6, k+9 et k+12. Il e est de même si la GPT commece u soir ou ue uit : elle e se déroulera que sur u seul type de plage horaire. La cotraite (C1b) est doc implicitemet exprimée pour les GPT de 5 jours par ce choix de variable. Le tableau e aexe 5.5, p. 55, résume ces propos. 2.1...2 Périodes de repos k {1,..,7*s*}, r si ue période de 1 jour de repos de type RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si le k ème jour du roulemet est u RP), 0 sio. Seules 7*s* variables r k sot écessaires, et o 21*s*, car il y a qu ue variable par jour, et qu il y a que 7*s* jours das le roulemet. Le tableau T7 ci-dessous illustre les plages horaires couvertes par ue variable r k (e jaue). Jour uméro k Numéro de plage *(k-1)+1 *(k-1)+2 *k Type de plage M S N Page 14 sur 62
k {1,..,7*s*}, rr si ue période de 2 jours de repos de type RP-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k et k+1 du roulemet sot des RP), 0 sio. Comme pour les variables r k, seules 7*s* variables rr k sot écessaires. Le tableau T8 ci-dessous illustre les plages horaires couvertes par ue variable rr k (e jaue), et par toute variable représetat ue période de repos de 2 jours composée de RP et de RU. Jour uméro k Jour uméro k+1 Numéro de plage *(k-1)+1 *(k-1)+2 *k *k+1 *k+2 *(k+1) Type de plage M S N M S N k {1,..,7*s*}, ru si ue période de 2 jours de repos de type RP-RU commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si le k ème jour du roulemet est u RP et le k+1 ème u RU), 0 sio. k {1,..,7*s*}, ur si ue période de 2 jours de repos de type RU-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si le k ème jour du roulemet est u RU et le k+1 ème u RP), 0 sio. k {1,..,7*s*}, rrr si ue période de jours de repos de type RP-RP-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k, k+1 et k+2 du roulemet sot des RP), 0 sio. Comme pour les variables r k et rr k, seules 7*s* variables rrr k sot écessaires. Le tableau T9 cidessous illustre les plages horaires couvertes par ue variable rrr k (e jaue), et par toute variable représetat ue période de repos de jours composée de RP et de RU. Jour uméro k Jour uméro k+1 Jour uméro k+2 Numéro de plage *(k-1)+1 *(k-1)+2 *k *k+1 *k+2 *(k+1) *k+4 *k+5 *(k+2) Type de plage M S N M S N M S N k {1,..,7*s*}, rru si ue période de jours de repos de type RP-RP-RU commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k et k+1 du roulemet sot des RP et le jour k+2 u RU), 0 sio. k {1,..,7*s*}, ruu si ue période de jours de repos de type RP-RU-RU commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si le k ème jour du roulemet est u RP et les jours k+1 et k+2 des RU), 0 sio. k {1,..,7*s*}, rur si ue période de jours de repos de type RP-RU-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k et k+2 du roulemet sot des RP et le jour k+1 u RU), 0 sio. k {1,..,7*s*}, uru si ue période de jours de repos de type RU-RP-RU commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k et k+2 du roulemet sot des RU et le jour k+1 u RP), 0 sio. k {1,..,7*s*}, uur si ue période de jours de repos de type RU-RU-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k et k+1 du roulemet sot des RU et le jour k+2 u RP), 0 sio. k {1,..,7*s*}, urr si ue période de jours de repos de type RU-RP-RP commece à la plage horaire *(k-1)+1 (c est-à-dire si les jours k+1 et k+2 du roulemet sot des RP et le jour k u RU), 0 sio. Page 15 sur 62
2.2 Expressio formelle des cotraites et objectifs du problème Par la suite, état doé u réel a positif, o utilisera les otatios a et a pour désiger respectivemet la partie etière de a et la partie etière supérieure de a (qui vaut a si a est u etier, a +1 sio). 2.2.1 Expressio des cotraites 2.2.1.1 Cotraite d uicité Cette cotraite est ue cotraite implicite mais fodametale du problème. Elle peut s exprimer aisi : u aget e peut et e doit faire qu ue seule chose à la fois. E d autres termes, elle sigifie que, état doé u jour quelcoque du roulemet, u aget doit être e trai d effectuer : soit ue GPT de jours, soit ue GPT de 4 jours, soit ue GPT de 5 jours, soit ue période de repos de 1 jour, soit ue période de repos de 2 jours, soit ue période de repos de jours. Pour exprimer cette cotraite, o s itéresse à u jour quelcoque parmi les 7*s* du tableau de roulemet, et o utilise le fait que ce jour doit être occupé par ue et ue seule «tâche» (otio regroupat les GPT et les périodes de repos). Pour cela, il coviet d abord de receser l esemble de toutes les «tâches» auxquelles ce jour est susceptible d apparteir. Soit doc u jour d idice p+1 (p+1 {1,..,7*s*} p {0,..,7*s*-1}), composé des plages horaires *p+1, *p+2 et *(p+1). Il peut faire partie de toute GPT commeçat pedat ue de ces plages horaires : e d autres termes, il peut apparteir aux GPT associées aux variables t (*p+1) à t (*(p+1)), q (*p+1) à q (*(p+1)) et c (*p+1) à c (*(p+1)). Mais aussi à toute GPT de jours ayat débuté il y a 2 jours ou mois ou à toute GPT de 4 jours ayat débuté il y a jours ou mois, etc. O peut raisoer de la même faço pour les périodes de repos. Au fial, l esemble des variables associées aux «tâches» dot le jour p+1 peut faire partie est oté E. Le tableau T10 ci-dessous récapitule l esemble de ces élémets. Pour chaque type d élémets de E (GPT de, 4 ou 5 jours ; repos de 1, 2 ou jours), o représete deux élémets : d abord, l élémet dot la plage de départ (symbolisée par ue étoile) est la plus éloigée du jour p+1 (cet élémet coteat le jour p+1 puisque, par défiitio, tout élémet de E le cotiet) ; puis l élémet dot la plage de départ est la plus proche de la derière plage horaire du jour p+1 (ie la plage *(p+1)). Aisi, pour chaque type d élémet, toutes les variables associées aux élémets compris chroologiquemet etre ces deux bores appartieet à E. GPT j. GPT 4 j. GPT 5 j. Jour p- Jour p-2 Jour p-1 Jour p Jour p+1 M S N M S N M S N M S N M S N *p-11 *p-10 *p-9 *p-8 *p-7 *p-6 *p-5 *p-4 *p- *p-2 *p-1 *p *p+1 *p+2 *p+ * * * * * * RP 1 j. * RP 2 j. RP j. * * * * Page 16 sur 62
O ote : r2 k = {rr k, ru k, ur k } et r k = {rrr k, rru k, rur k, ruu k, urr k, uur k, uru k }). L esemble E est doc défii par : E = {t k / k {*p-5,..,*(p+1)}} {q k / k {*p-8,..,*(p+1)}} {c k / k {*p-11,..,*(p+1)}} {r (p+1) } r2 p r2 (p+1) r (p-1) r p r (p+1). Il reste à exprimer le fait qu u et u seul élémet de E peut et doit valoir 1 (c est-à-dire que la «tâche» associée est active) : pour cela, o impose que la somme des variables associées aux élémets de E soit 1. Aisi, o aura bie à la fois exclusio mutuelle etre les GPT d ue part, etre les périodes de repos d autre part, et, pour fiir, uicité de la «tâche» accomplie par u aget à u momet doé. Efi, il e faut pas oublier qu e partat d u jour p+1 quelcoque, o peut, e cosidérat les jours p-1, p-2, etc., être e fait ameé à cosidérer des jours qui précèdet p+1, à cycles près (puisque le roulemet est cyclique), c est-à-dire à u roulemet complet près. Par exemple, si le jour p+1 est le jour 1, alors le jour précédet sera e fait le jour d idice 7*s*, à cause de la cyclicité du tableau (voir illustratio à l aexe 5.6, p. 55). Il faut doc predre e compte ce phéomèe das la cotraite. O utilise doc les idices du tableau représetat les élémets de l esemble E, mais avec la précautio supplémetaire d'ue expressio par cogruace 21*s* ou 7*s* (c est-à-dire e les cosidérat modulo le ombre de plages horaires d u roulemet complet). Au fial, cette cotraite, que l o otera (C0), s exprime doc : *( p 1) ( ) (C0) : p {0,..,7*s*-1}, t k[ 21* s* ] + q k[ 21* s* ] + c k[ 21* s* ] + r ( p+ 1) + 1 k = 0 2 k = 0 2 k = 0 ( ( p + 1 k )[ 7* s* ] ) 1 = + k * p 5 ( ) *( p 1) = + k * p 8 1 ( ) *( p + 1) k = * p 11 ( ) rr + ru ( p+ 1 k )[ 7* s* ] + ur ( p+ 1 k )[ 7* s* ] + rrr ( p+ 1 k )[ 7* s* ] + ( ( p+ 1 k )[ 7* s* ] ) k = 0 2 ( ) k = 0 ( ) 2 k = 0 ( ) rru + ruu ( p+ 1 k )[ 7* s* ] + rur ( p+ 1 k )[ 7* s* ] + uru ( p + 1 k )[ 7* s* ] + ( ( p+ 1 k )[ 7* s* ] ) k = 0 2 ( ) 2 k = 0 uur + urr ( p+ 1 k )[ 7* s* ] = 1 k = 0 ( ) 2 k = 0 ( ) 2.2.1.2 Cotraites itra-gpt (C1a) Ue GPT cotiet etre et 5 jours : comme ous l avos vu das la sectio précédete, cette cotraite est exprimée par le choix des variables t k, q k et c k qui représetet les périodes de travail, d ue part, et d autre part par la cotraite (C0). (C1b) Ue GPT est associée qu à u seul type de plage horaire : comme ous l avos vu das la sectio précédete, cette cotraite est elle aussi exprimée par le choix des variables t k, q k et c k qui représetet les périodes de travail, d ue part, et d autre part par la cotraite (C0). 2.2.1. Cotraites iter-gpt (C2a) 2 GPT doivet être séparées par ue période de repos d au mois u jour : e fait, cette cotraite peut se réécrire «2 GPT sot séparées par ue seule période de repos, qui cotiet soit 1, soit 2, soit jours de repos». Pour exprimer cette cotraite, o va s itéresser à u jour quelcoque parmi les 7*s* du tableau de roulemet, et o va simplemet se servir du fait qu il est u jour de début de période de repos si, et seulemet si, il est précédé par le derier jour d ue GPT de, 4 ou 5 jours. Or, si l o ote p+1 l idice de ce jour quelcoque (p+1 {1,..,7*s*} p {0,..,7*s*-1}), ue GPT de jours se termiat le jour p (c est-à-dire la veille de p+1) commece forcémet le jour p-2, c est-à-dire soit pedat la plage horaire *p-8, soit pedat la plage horaire *p-7, soit pedat la plage horaire Page 17 sur 62
*p-6. De même, ue GPT de 4 jours se termiat le jour p commece forcémet le jour p-, et ue GPT de 5 jours se termiat le jour p commece forcémet le jour p-4. Le tableau T11 ci-dessous résume l esemble des plages horaires susceptibles de coveir : les plages de la même couleur et placées sur la même lige sot les plages apparteat à ue même GPT et les plages marquées d u «*» sot les plages horaires de début de GPT. Jour p-4 Jour p- Jour p-2 Jour p-1 Jour p Jour p+1 M S N M S N M S N M S N M S N M S N *p-1 4 *p-1 *p-1 2 *p-1 1 *p-1 0 *p-9 *p-8 *p-7 *p-6 *p-5 *p-4 *p- *p-2 *p-1 *p *p+1 *p+2 *p+ GPT j. * * * GPT 4 j. * * * GPT 5 j. * * * Si l ue des variables associées à ces GPT vaut 1, alors il y a forcémet ue période de repos qui commece au jour p+1. C est soit ue période de repos de 1 jour, soit ue période de repos de 2 jours, soit ue période de repos de jours. E outre, il est importat de se rappeler qu il e peut y avoir aucu autre cas das lequel ue période de repos commecerait le jour p+1. E effet, tels que les variables sot défiies das le modèle, o a pas le droit de cosidérer des echaîemets de la forme (RP-RU)-(RP), c est-à-dire ue période de repos de 2 jours de type RP-RU suivie d u RP. U tel echaîemet de jours e peut être vu que sous la forme (RP-RU-RP), c est-à-dire ue période de repos de jours de type RP-RU-RP. E d autres termes, les variables représetat les périodes de repos de (resp. 2) jours ot été défiies de telle sorte qu elles couvret toutes les combiaisos possibles de périodes de repos de logueur iférieure, soit 1 jour ou 2 jours (resp. 1 jour), qui sot autorisées. C est doc ue coditio écessaire et suffisate : ue GPT se termie le jour p ue période de repos commece le jour p+1. O va tout aturellemet traduire cette équivalece par ue égalité. Le membre de gauche est vrai si et seulemet si l ue parmi les 6 GPT doées das le tableau T11 est active, et le membre de gauche est vrai si et seulemet si ue période de repos d u des types existats est active à partir du jour p+1. Il y a doc égalité de ces 2 coditios. Remarquos que chacu des 2 membres vaut soit 0, soit 1, mais e aucu cas il e peut valoir plus de 1 : la cotraite d uicité (C0) impose qu ue et ue seule «tâche» soit active à u momet doé. Efi, il faut remarquer que, pour les mêmes raisos que celles évoquées das l expressio de la cotraite (C0), les idices i tels que i<*p+1 doivet être cosidérés modulo 21*s*, c est-à-dire modulo u roulemet complet. La cotraite (C2a) peut doc s écrire : (C2a) : p {0,..,7*s*-1}, t ( ( * p 9+ k )[ 21* s* ] ) + q( ( * p 12+ k )[ 21* s* ] ) + c( ( * p 15+ k )[ 21* s* ] ) = ( r ( p+ 1) + rr ( p+ 1) + ru ( p + 1) + ( p + 1) rru ( p+ 1) + ruu ( p + 1) + rur ( p+ 1) + rrr ( p+ 1) + uru ( p + 1) + uur ( p + 1) + urr ( p + 1) ) ur + (C2b) Les GPT s echaîet suivat le motif «Soirée Matiée Nuit». Pour exprimer cette cotraite, o la divise e trois sous-cotraites : (C2b.1), (C2b.2) et (C2b.), qui sigifiet respectivemet qu ue GPT de soirées est toujours suivie d ue GPT de matiées, Page 18 sur 62
qu ue GPT de matiées est toujours suivie d ue GPT de uits, et efi qu ue GPT de uits est toujours suivie d ue GPT de soirées. Cepedat, compte teu des ressemblaces etre ces trois cotraites, le raisoemet 'est préseté qu ue seule fois. L équivalece que l o a à traduire est : la m e GPT est ue GPT de soirées (resp. de matiées et de uits) la (m+1) e GPT est ue GPT de matiées (resp. de uits et de soirées). Le problème, ici, est que les GPT e sot pas umérotées. Pour résoudre ce problème, il suffit de s ispirer à ouveau de la cotraite précédete. O va s itéresser à l esemble des GPT de, 4 et 5 jours qui sot susceptibles de se termier u jour doé. La GPT active parmi cet esemble costitue celle que l o a désigée cidessus comme état la m e GPT. La cotraite (C2b.1) traite le cas où cette GPT est ue GPT de soirées, la cotraite (C2b.2) traite le cas où il s'agit d'ue GPT de matiées, et efi la cotraite (C2b.) traite le cas d'ue GPT de uits. Esuite, il coviet de s itéresser à la GPT placée juste après cette «m e GPT», désigée précédemmet par (m+1) e GPT. Cepedat, o e coaît pas la plage horaire exacte à laquelle doit commecer cette (m+1) e GPT. Par cotre, o peut détermier u esemble de jours qui cotiet à coup sûr la première plage horaire de la (m+1) e GPT. E effet, lorsque la m e GPT se termie, elle est immédiatemet suivie d ue période de repos de 1, 2 ou jours, elle-même immédiatemet suivie d ue ouvelle GPT : la (m+1) e GPT. Doc, si la m e GPT se termie le jour p+5, la (m+1) e GPT commecera forcémet etre le (p+7) e jour et le (p+9) e jour, comme le motre le tableau T12 ci-dessous (ce tableau motre seulemet les jours et est doc valide pour les cas (C2b.1), (C2b.2) et (C2b.)). La m e GPT est représetée e jaue, rouge ou bleu selo qu elle dure respectivemet, 4 ou 5 jours. Le jour de début de la (m+1) e GPT est idiquée das tous les cas e vert, et les périodes de repos e gris. GPT j. GPT 4 j. GPT 5 j. Jour p+1 Jour p+2 Jour p+ Jour p+4 Jour p+5 Jour p+6 Jour p+7 Jour p+8 Jour p+9 RP 1 j. RP 2 j. RP j. RP 1 j. RP 2 j. RP j. RP 1 j. RP 2 j. RP j. E résumé, si l o traduit ce tableau e plages horaires et o plus e jours, ue GPT fiissat le jour p+5 doit : - commecer le jour p+ soit à la plage horaire *p+7 (matiée), soit à la plage horaire *p+8 (soirée), soit à la plage horaire *p+9 (uit) si c est ue GPT de jours ; - commecer le jour p+2 soit à la plage horaire *p+4 (matiée), soit à la plage horaire *p+5 (soirée), soit à la plage horaire *p+6 (uit) si c est ue GPT de 4 jours ; - commecer le jour p+1 soit à la plage horaire *p+1 (matiée), soit à la plage horaire *p+2 (soirée), soit à la plage horaire *p+ (uit) si c est ue GPT de 5 jours. Ecore ue fois, c est la cotraite (C0) qui ous assure qu il e peut y avoir qu ue seule GPT qui se termie le jour p+1. E outre, il est importat de oter que, si l o est sûr de e trouver qu ue seule GPT débutat etre les jours p+7 et p+9, c est grâce, d abord, à la cotraite (C0), puis à ue propriété essetielle qui doit être vérifiée par les logueurs des GPT et des périodes de repos. Si l'o ote migpt la logueur miimale d'ue GPT, mirp la logueur miimale d'ue période de repos et maxrp la logueur maximale d'ue période de repos, cette propriété Prop1 s'écrit : 2*miRP + migpt > maxrp. Le o-respect de cette propriété etraîerait l ivalidité des expressios doées Page 19 sur 62
ci-dessous pour les cotraites (C2b.1), (C2b.2) et (C2b.), car o e pourrait alors plus garatir qu ue seule GPT est recotrée lors de la recherche (voir aexe 5.7, p. 56). A préset, o est e mesure d éocer les cotraites (C2b.1), (C2b.2) et (C2b.) de la faço suivate : ue GPT de soirées (resp. de matiées et de uits) se termie au jour p+5 ue GPT de matiées (resp. de uits et de soirées) commece etre le jour d idice p+7 et le jour d idice p+9, c est-à-dire etre la plage horaire d idice *p+19 et la plage horaire d idice *p+27. Efi, il faut de ouveau remarquer que les idices i tels que i>*(p+1) doivet être cosidérés modulo 21*s*, c est-à-dire modulo u roulemet complet. Les cotraites (C2b.1), (C2b.2) et (C2b.) peuvet doc s écrire : - (C2b.1 : ue GPT de soirées est toujours suivie d ue GPT de matiées) : p {0,..,7*s*-1}, t( ( * p+ 8) [ 21* s* ] ) + q( ( * p + 5) [ 21* s* ] ) + c( * p + 2) 2 ( t( ) ( ( + + )[ ] ) + ( ( + + )[ ] ) ) + + q * p 19 l* 21* s* c * p 19 l* 21* s* ( * p 19+ l* )[ 21* s* ] l = 0 - (C2b.2 : ue GPT de matiées est toujours suivie d ue GPT de uits) : p {0,..,7*s*-1}, t( ( * p+ 7 ) [ 21* s* ] ) + q( ( * p+ 4 ) [ 21* s* ] ) + c( * p+ 1) 2 ( t( ) ( ( + + )[ ] ) + ( ( + + )[ ] ) ) + + q * p 21 l* 21* s* c * p 21 l* 21* s* ( * p 21+ l*)[ 21* s* ] l = 0 - (C2b. : ue GPT de uits est toujours suivie d ue GPT de soirées) : p {0,..,7*s*-1}, t( ( * p+ 9 ) [ 21* s* ] ) + q( ( * p + 6 ) [ 21* s* ] ) + c( * p + ) 2 ( t( ) ( ( + + )[ ] ) + ( ( + + )[ ] ) ) + + q * p 20 l* 21* s* c * p 20 l* 21* s* ( * p 20+ l* )[ 21* s* ] l = 0 2.2.1.4 Cotraites sur les repos (Ca) Ue période de repos e peut pas être composée de plus de jours : autremet dit, aucu aget e peut avoir plus de jours de repos cosécutifs : comme ous l avos vu das la sectio précédete, cette cotraite est exprimée par le choix des variables r k, rr k, ru k, ur k, rru k, ruu k, rur k, rrr k, uru k, uur k, et urr k qui représetet les périodes de repos. Rappelos égalemet que c est la cotraite (C2a) qui ous assure qu o e recotrera jamais, das u roulemet, deux périodes de repos cosécutives. (Cb) U aget doit recevoir 12 jours de repos das l aée. Comme l o travaille sur s* semaies et o sur 52, cela reviet, par proportioalité, à octroyer 12* s * à chaque aget u ombre de jours de repos égal à 52 sur l esemble du roulemet (les experts e roulemet préférat attribuer mois de repos que trop). Or, pour compter le ombre de repos que l o a accordé, il suffit de compter pour deux toute variable représetat ue période de repos de 2 jours et pour trois toute variable représetat ue période de repos de jours. Chaque période de repos de 1 jour e sera évidemmet comptée que pour u. Page 20 sur 62