NOMBRES COMPLEXES I Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent l addition et la multiplication des nombres réels, dans lequel l équation x 2 = -1 a au moins une solution Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal direct ( O;u; v) 1- L ensemble Soit M un point du plan (ou V un vecteur du plan) de coordonnées notées y On dit que est un nombre «complexe» (au sens de «composé») y On peut désigner un nombre complexe par une lettre, par exemple z On pourra donc dire : soit le nombre complexe z = y Vu les propriétés des coordonnées, à un point M du plan (ou à un vecteur V du plan) on associe un et un seul nombre complexe z ; et réciproquement On dit que le nombre complexe z est l affixe du point M (ou du vecteur V ) L ensemble des nombres complexes est noté Il se représente par l ensemble des points du plan muni d un repère orthonormal direct On veut que contienne On décide d identifier le nombre complexe x au nombre réel x 0 Cela consiste à représenter dans le plan, l ensemble des nombres réels par l axe des abscisses 2- Addition des nombres complexes Soit M et M d affixes respectives y et x ' y ' x + x ' En remarquant que le vecteur OM + OM ' a pour coordonnées, on définit l addition de deux nombres y + y ' complexes en posant : x ' x + x ' + = y y ' y + y ' Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 1
Cas particulier : Si l on considère des nombres réels, avec l identification faite, on a : x + x = 0 + x ' 0 = x + x ' 0, ce qui montre que l addition dans prolonge l addition dans Propriétés : On peut vérifier que l opération que l on vient de définir a les mêmes propriétés que l addition dans En particulier, un nombre complexe a un opposé : l opposé de z = y est x y que l on écrit z 3- Multiplication des nombres complexes On veut que la multiplication des nombres complexes prolonge la multiplication des nombres réels 1 En particulier on veut que : = 1 = y y 0 y En conséquence on ne peut pas prendre comme définition du produit de deux nombres complexes : x ' xx ' = y y ' yy ' Revenons à l égalité 1 = y 0 y, et regardons la comme le produit de 1 0 par y Géométriquement, passer du point A d affixe 1 0 au point M d affixe x y correspond à la composée de l homothétie de centre O et de rapport OM, et de la rotation de centre O et d angle ( u; OM) On généralise en considérant les coordonnées polaires Soit M (M O) d affixe z = x r cos( θ ) = y r sin( θ) et M (M O) d affixe z = x ' r 'cos( θ') = y' r 'sin( θ') x ' On définit en considérant l affixe du point M, image de M par la composée y y' de l homothétie de centre O et de rapport r, et de la rotation de centre O et d angle θ, ce qui donne le point M d affixe : rr 'cos( θ + θ') rr 'sin( θ + θ') Or à partir de l égalité : cos(θ + θ ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ), on a : r r cos(θ + θ ) = x x y y ; A partir de l égalité : sin(θ + θ ) = sin(θ) cos(θ ) + cos(θ) sin(θ ), on a : r r sin(θ + θ ) = x y + y x x ' r cos( θ) r 'cos( θ') rr 'cos( θ + θ') xx ' yy' On donne alors la définition : = = = y y' r sin( θ) r 'sin( θ') rr 'sin( θ + θ ') xy' + yx ', et quel que soit le nombre complexe z : z 0 = 0 x ' x ' Remarque : On a immédiatement : = y y' y' y Géométriquement, cela signifie que dans la démarche exposée plus haut, on arrive au même point M en permutant les rôles de M et de M v u Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 2
Cas particuliers : 1) Si on considère les nombres réels x et x, avec l identification faite on a : xx = x ' xx ' =, ce qui montre 0 0 0 que la multiplication dans prolonge celle de 2) On a également : k kx k = = y 0 y ky, ou encore kx k = y ky Propriétés : Hormis la question de l inverse et du quotient (voir II), on peut vérifier facilement que les opérations dans ont les mêmes propriétés de calcul que les opérations dans 4- Nouvelle écriture des nombres complexes a) Un cas particulier extraordinaire : Avec la définition donnée, on a : 0 0 1 = = 1 On a donc un nombre complexe dont le «carré» est égal à 1 1 1 0 On note i le nombre complexe 0 1 On a donc i2 = 1 L équation z 2 = -1 a donc au moins une solution dans (Voir IV pour la résolution complète de cette question) b) Cas général : z = x x 0 x 0 = + = + y y 0 y 0 1 = x + i y, en notant dorénavant, comme dans, i y le produit i y Un nombre complexe z peut s écrire sous la forme : z = x + i y = x + y i, avec x et y réels Les opérations s écrivent alors : (x + i y) + (x + iy ) = (x + x ) + i (y + y ) (x + i y) (x + iy ) = (x x y y ) + i (x y + y x ) Remarque pratique : En pratique, on retrouve les égalités définissant les opérations en utilisant les règles usuelles d algèbre et l égalité «extraordinaire» : i 2 = -1 5- Conclusion Définition 1 : On désigne par l ensemble des nombres complexes z qui s écrivent sous la forme z = x + i y, où x et y sont des nombres réels où i est un nombre complexe tel que : i 2 = 1 Cet ensemble est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent l addition et la multiplication des réels Définition 2 : Lorsque z = x + iy, x s appelle la partie réelle de z, notée Re(z) ; y s appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z) Si Re(z) = 0, on dit que le nombre complexe z est imaginaire pur Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 3
Définition 3 : Etant donné un nombre complexe z = x + iy, le point M (ou le vecteur V ) de coordonnées affixe z, et est appelé image ponctuelle (ou vectorielle) du nombre complexe z y a pour Si le point M a pour coordonnées polaires [r ; θ], on dit que r est le module de z, noté z, θ est un argument de z, noté arg(z), il est défini à 2π-près L écriture z = x + iy est dite forme algébrique de z L écriture z = r cos(θ) + i r sin(θ) est dite forme trigonométrique de z II Inverse et quotient Soit z un nombre complexe non nul on veut définir son inverse, c est-à-dire un nombre z tel que z z = 1 Géométriquement, pour passer du point M (M O) au point A d affixe 1, on compose une homothétie de centre O, de rapport 1/OM, et une rotation de centre O, d angle ( OM;u) En notant [r; θ] les coordonnées polaires de M, cela revient à diviser la norme de OM par r, et à soustraire θ à son argument Donc si z = r (cos(θ) + sin(θ) i ) (avec r non nul ), le nombre complexe z = 1 r (cos(-θ) + sin(-θ) i ) vérifie: z z = r 1 r (cos(θ - θ) + sin (θ - θ) i) = 1 On dit que z est l inverse de z, on le note 1 z On a : 1 1 = et arg 1 z z z = arg(z) [2π] Cas particulier : si z est réel non nul, on retrouve la notion d inverse dans Avec la forme algébrique: Soit le complexe non nul z = x + iy = r (cos(θ) + sin(θ) i) On a : 1 z = 1 r (cos(-θ) + sin(-θ) i) = 1 r (cos(θ) sin(θ) i ) = 1 x y x yi i = 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y x + y x + y x + y Définition 4 : On appelle conjugué de z, et on note z, le nombre complexe x y i z ' 1 On définit la division de z par z en multipliant z par l inverse de z : = z ' z z Technique : Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : x ' + iy ' (x ' + iy ')(x iy) xx ' yy ' + i(xy ' x ' y) = = 2 2 x + iy (x + iy)(x iy) x + y Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 4
III Propriétés 1- Du conjugué 1 Les points du plan associés à deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l axe des abscisses 2 Soit z = x + yi un nombre complexe z + z = 2x; z z = 2yi 3 z z = z ; z est un imaginaire pur z = - z z 4 z + z' = z + z' ; z z' = z z' ; z' = z z' 2- Des modules et des arguments Soient z = x + yi, et z = x + y i deux nombres complexes 5 z = 0 z = 0 6 -z = z = z ; si z est non nul: arg(-z) = arg(z) + π [2π] ; arg( z) = - arg(z) [2π] 7 z ² = x² + y² = z z ( Attention : z ² n est pas z²!!) 8 z z = z z ; si z est non nul, arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π] 9 z z = ; si z est non nul, arg z z ' z ' z ' 10 Inégalité triangulaire: z + z z + z = arg(z) - arg(z ) [2π] 3- Notation exponentielle Considérons la fonction f définie sur par f(θ) = cos(θ) + sin(θ) i On a f(θ + θ ) = f(θ) f(θ ) Ainsi f vérifie l équation fonctionnelle des exponentielles D autre part, en considérant i comme une constante, et en dérivant comme dans, on a: f (θ) = i f(θ) f vérifie donc l équation différentielle y = iy, avec f(0) = 1 On convient alors de noter f(θ) = e iθ Ainsi tout nombre complexe z se met sous la forme z = r e iθ, où r = z, et θ = arg(z) [2π] Définition 5 : Cette forme s appelle forme exponentielle de z Avec cette notation les règles de calcul sur les complexes se traduisent comme les règles de calcul sur les puissances: soient z = r e iθ et z = r e iθ deux nombres complexes : z z = i( ') rr 'e θ+θ ; Remarque : De z = r z = r e θ ; n n in 1 1 e z r iθ = ; z ' r ' e i( θ θ') = ; z r i e θ, on déduit les formules d Euler: z i = re θ 1 cos( θ ) = e + e 2 1 sin( θ ) = e e 2i iθ iθ ( ) iθ iθ ( ) Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 5
IV Applications des nombres complexes 1- En géométrie a) Si M est d affixe z M et M d affixe z M alors le vecteur MM ' est d affixe zm z M b) Equation paramétrique d un cercle Soit r un nombre réel positif L ensemble des points M d affixe z tel que z = cercle de centre Ω d affixe ω et de rayon r i ω + r e θ lorsque θ décrit [ 0;2π [ est le c) Transformations Soit f une transformation du plan qui à tout point d affixe z associe le point d affixe z f est la translation de vecteur V d affixe β, si et seulement si z = z + β f est la rotation de centre Ω d affixe ω et d angle θ si et seulement si z - ω = e iθ ( z - ω ) f est l homothétie de centre Ω d affixe ω et de rapport k si et seulement si z ω = k ( z ω), 2- Résolution des équations du second degré Théorème 1 : Toute équation du second degré az² + bz + c = 0, à coefficients a, b et c réels ( a 0 ), admet dans des solutions Soit = b² 4 a c, appelé disciminant de l équation Si = 0 : l équation admet une solution réelle z = Si > 0 : l équation admet deux solutions réelles b ; 2a b + b et ; 2a 2a Si < 0 : l équation admet deux solutions complexes conjuguées b + i b i et 2a 2a Sophie Touzet - Nombres complexes - Page 6