Corrigé Exercice 1
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES Série S Candidas ayan suivi l enseignemen de spécialié Durée de l épreuve : 4 heures Coefficien : 9 SPÉCIALITÉ Ce suje compore 6 pages numéroées de 1/6 à 6/6. Les calcularices élecroniques de poche son auorisées conformémen à la circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999. Le suje es composé de 4 exercices indépendans. Le candida doi raier ous les exercices. Dans chaque exercice, le candida peu admere un résula précédemmen donné dans le exe pour aborder les quesions suivanes, à condiion de l indiquer clairemen sur la copie. Le candida es invié à faire figurer sur la copie oue race de recherche, même incomplèe ou non frucueuse, qu il aura développée. Il es rappelé que la qualié de la rédacion, la claré e la précision des raisonnemens seron prises en compe dans l appréciaion de la copie. 16 MASCSPO1 Page 1/6
EXERCICE 1 (7 poins) Commun à ous les candidas Parie A Voici deux courbes C 1 e C 2 qui donnen pour deux personnes P 1 e P 2 de corpulences différenes la concenraion C d alcool dans le sang (aux d alcoolémie) en foncion du emps après ingesion de la même quanié d alcool. L insan = 0 correspond au momen où les deux individus ingèren l alcool. C es exprimée en gramme par lire e en heure. Définiion : La corpulence es le nom scienifique correspondan au volume du corps. 1. La foncion C es définie sur l inervalle [0 ;+ [ e on noe C sa foncion dérivée. À un insan posiif ou nul, la viesse d appariion d alcool dans le sang es donnée par C (). À quel insan cee viesse es-elle maximale? On di souven qu une personne de faible corpulence subi plus vie les effes de l alcool. 2. Sur le graphique précéden, idenifier la courbe correspondan à la personne la plus corpulene. Jusifier le choix effecué. 3. Une personne à jeûn absorbe de l alcool. On adme que la concenraion C d alcool dans son sang peu êre modélisée par la foncion f définie sur [0 ;+ [ par f () = A e où A es une consane posiive qui dépend de la corpulence e de la quanié d alcool absorbée. a) On noe f la foncion dérivée de la foncion f. Déerminer f (0). b) L affirmaion suivane es-elle vraie? «À quanié d alcool absorbée égale, plus A es grand, plus la personne es corpulene.» Parie B - Un cas pariculier Paul, éudian de 19 ans de corpulence moyenne e jeune conduceur, boi deux verres de rhum. La concenraion C d alcool dans son sang es modélisée en foncion du emps, exprimé en heure, par la foncion f définie sur [0 ;+ [ par f () = 2 e. 1. Éudier les variaions de la foncion f sur l inervalle [0 ;+ [. 2. À quel insan la concenraion d alcool dans le sang de Paul es-elle maximale? Quelle es alors sa valeur? Arrondir à 10 2 près. 16 MASCSPO1 Page 2/6
3. Rappeler la limie de e lorsque end vers + e en déduire celle de f () en +. Inerpréer le résula dans le conexe de l exercice. 4. Paul veu savoir au bou de combien de emps il peu prendre sa voiure. On rappelle que la législaion auorise une concenraion maximale d alcool dans le sang de 0, 2 g.l 1 pour un jeune conduceur. a) Démonrer qu il exise deux nombres réels 1 e 2 els que f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0,2. b) Quelle durée minimale Paul doi-il aendre avan de pouvoir prendre le volan en oue légalié? Donner le résula arrondi à la minue la plus proche. 5. La concenraion minimale d alcool déecable dans le sang es esimée à 5 10 3 g.l 1. a) Jusifier qu il exise un insan T à parir duquel la concenraion d alcool dans le sang n es plus déecable. b) On donne l algorihme suivan où f es la foncion définie par f () = 2 e. Iniialisaion : prend la valeur 3,5 p prend la valeur 0,25 C prend la valeur 0,21 Traiemen : Tan que C > 5 10 3 faire : prend la valeur + p C prend la valeur f () Fin Tan que Sorie : Afficher Recopier e compléer le ableau de valeurs suivan en exécuan ce algorihme. Arrondir les valeurs à 10 2 près. Iniialisaion Éape 1 Éape 2 p 0,25 3,5 C 0,21 Que représene la valeur affichée par ce algorihme? 16 MASCSPO1 Page 3/6
1 EXERCICE 1 [ Polynésie 2016 ] Parie A: Éude de foncion 1. Déerminons à quel insan la viesse es maximale: D après l énoncé, à un insan 0, la viesse d appariion d alcool dans le sang es C ( ). Or, C ( ) correspond à la pene de la angene aux courbes C 1 e C 2, en un poin donné d abscisse. Graphiquemen, cee dernière es maximale quand: = 0, pour C 1 = 0, pour C 2. En définiive, dans les 2 cas, la viesse es maximale quand: = 0. 2. Déerminons la courbe correspondane à la personne la plus corpulene: Une personne de fore corpulence subi moins vie les effes de l alcool, donc: la courbe C 2 correspond à la personne la plus corpulene. 3. a. Déerminons ƒ ( 0 ): Ici: ƒ ( ) = A e D ƒ = [ 0 ; + [.
Posons: ƒ = ƒ x ƒ, avec: ƒ ( ) = A. e ƒ ( ) = e. 1 2 1 2 2 ƒ es dérivable sur ª comme foncion polynôme, donc dérivable sur [ 0 ; + [. 1 ƒ es dérivable sur ª comme foncion " exponenielle ", donc dérivable sur [ 0 ; + [. 2 Par conséquen, ƒ es dérivable sur [ 0 ; + [ comme produi de 2 foncions dérivables sur [ 0 ; + [. Ainsi, nous pouvons calculer ƒ pour ou [ 0 ; + [. Pour ou [ 0 ; + [: ƒ ( ) = ( A x e ) + ( A x x ( e ) ) => ƒ ( ) = A e (1 ). Dans ces condiions: ƒ ( 0 ) = A. Au oal: ƒ ( 0 ) = A. 3. b. L affirmaion es-elle vraie? FAUX: d après la quesion 2. Parie B: Un cas pariculier 1. Éudions les variaions de ƒ sur [ 0 ; + [: Ici: A = 2, car: ƒ ( ) = 2 e ƒ ( ) = 2 e (1 ). Nous allons disinguer 3 cas, pour ou de [ 0 ; + [.
1 er cas: ƒ ( ) = 0. 3 ƒ ( ) = 0 <=> 2 e (1 ) = 0 <=> 1 = 0, car 2 e > 0 => = 1. 2 eme cas: ƒ ( ) < 0. ƒ ( ) < 0 <=> 2 e (1 ) < 0 <=> 1 < 0, car 2 e > 0 => > 1 ou ]1; + [. 3 eme cas: ƒ ( ) > 0. ƒ ( ) > 0 <=> 2 e (1 ) > 0 <=> 1 > 0, car 2 e > 0 => < 1 ou [ 0 ;1[. Au oal: ƒ es décroissane sur [1; + [, ( car sur [1; + [, ƒ ( ) 0 ) ƒ es croissane sur [ 0 ;1]. ( car sur [ 0 ;1], ƒ ( ) 0 ) Nous pouvons dresser alors le ableau de variaion suivan: 0 1 + ƒ + 0 b ƒ a c
Avec: a = ƒ ( 0 ) => a = 0, 4 b = ƒ (1 ) => b = 2 e 1, c = ƒ ( + ) => c = 0. 2 ( lim = 0, d après le cours ) e g + 2. Déerminons l insan où la concenraion d alcool dans le sang es maximale: D après le ableau de variaion, la concenraion d alcool dans le sang es maximale quand: = 1. En conclusion: la concenraion es maximale quand = 1, elle es alors égale à ƒ (1 ) = 2 e g / L, la concenraion maximale, à 10 2 près, es alors égale à ƒ (1 ) 0, 74 g / L. 3. Rappelons la limie de e lorsque end vers +, e déduisons-en celle de ƒ ( ) en + : e D après le cours: lim g + Dans ces condiions: lim e = 0. g + = +, d après le héorème des croissances comparées. E donc: lim ƒ ( ) = lim 2 e g + g + = lim 2 g + = 2 x 0 = 0. ( ) e
Cela signifie que: quand es rès grand, cad au bou d un cerain emps, il n y aura plus aucune race d alcool dans le sang. 5 4. a. Monrons qu il exise 2 réels 1 e 2 avec ƒ ( 1 ) = ƒ ( 2 ) = 0: Nous allons appliquer le héorème des valeurs inermédiaires pour répondre à cee quesion. Soi ƒ une foncion coninue sur [ a ; b ]. Pour ou réel " K " compris enre ƒ ( a ) e ƒ ( b ), il exise au moins un réel " c " de [ a ; b ] el que: ƒ ( c ) = K. Cela signifie que: l équaion ƒ ( ) = K adme au moins une soluion apparenan à [ a ; b ]. Si de plus, la foncion ƒ es sricemen " croissane " ou " décroissane " sur [ a ; b ], l équaion ƒ ( ) = K adme une unique soluion apparenan à [ a ; b ]. Ici: ƒ es coninue sur [ 0 ;1 [ e es sricemen croissane sur [ 0 ;1 [. ƒ es coninue sur [1 ; + [ e es sricemen décroissane sur ]1 ; + [. De plus: sur [ 0 ;1[, " K = 0, 2 " es compris enre ƒ ( a ) e ƒ ( b ). En effe: 0 0, 2 2 e 1. sur ]1; + [, " K = 0, 2 " es compris enre ƒ ( c ) e ƒ ( b ). En effe: 0 0, 2 2 e 1. Ainsi, d après le héorème des valeurs inermédiaires, nous pouvons affirmer que l équaion ƒ ( ) = 0, 2 ( K = 0, 2 ) adme une soluion unique apparenan
à [ 0 ;1 [ e une soluion unique apparenan à ]1 ; + [. 6 Au oal: il exise bien 2 nombres 1 ( 1 [ 0;1 [ ) e 2 ( 2 ]1; + [ ) qui son els que: ƒ ( 1 ) = ƒ ( 2 ) = 0, 2. 4. b. Déerminons la durée minimale avan de pouvoir prendre le volan: Pour répondre à cee quesion, nous avons le choix enre 1 e 2. Nous reiendrons 2 car enre 1 e 2, le aux d alcoolémie es en phase croissane puis décroissane mais dépasse oujours " 0, 2 ". À l aide d une machine à calculer e par âonnemen, on rouve: 2 3, 578 heures. Au oal, la durée minimale que Paul doi aendre avan de pouvoir prendre le volan es de: 3, 578 heures cad: 3 heures e 35 minues. 5. a. Jusifions qu il exise un insan T: Ici, il s agi de déerminer " T " el que: ƒ ( T ) = 5 x 10 3. Or: 5 x 10 3 ]1; + [*. * car: c es dans l inervalle ]1; + [ que le aux d alcoolémie diminue. Or sur ]1; + [: ƒ es coninue ƒ es sricemen décroissane " K = 5. 10 3 " es compris enre ƒ ( c ) e ƒ ( b ), car: 0 5. 10 3 2 e 1.
Donc, d après le héorème des valeurs inermédiaires, oui, il exise un insan " T " à parir duquel la concenraion d alcool dans le sang n es plus déecable. 7 5. b. Recopions e compléons le ableau en exécuan l algorihme: Le ableau compléé es le suivan: Iniialisaion Éape 1 Éape 2 p 0, 25 0, 25 0, 25 3, 5 3, 75 4 C 0, 21 0, 18 0, 15 Noons que: la valeur affichée par l algorihme correspond au emps nécessaire, en heure, pour que l alcool ne soi plus déecable dans le sang.