UN MODÈLE DE ROJECTION OUR DES CONTRATS DE RETRAITE DANS LE CADRE DE L ORSA Version 1 1.4 du 15/11/014 François Bonnin Floren Combes 3 Frédéric lanche 4 Monassar Tammar 5 ISFA - Laboraoire SAF Universié de Lyon - Universié Claude Bernard Lyon 1 RÉSUMÉ Le présen aricle propose un modèle de proecion de la disribuion du bilan économique d un organisme assureur poran des engagemens de reraie. Ce modèle, basé sur une approximaion analyique de l évaluaion des engagemens, perme de répondre aux exigences quaniaives de l ORSA. 1. INTRODUCTION.... LE CONTRAT DE RETRAITE CONSIDÉRÉ... 3 3. DESCRITION DE L ENVIRONNEMENT FINANCIER... 3 3.1. Risque de aux... 3 3.. Inflaion... 4 3.3. Risque de spread... 5 3.4. Risque «acions»... 6 4. LE MODÈLE DE ROJECTION... 6 4.1. Calcul des provisions echniques... 6 4.1.1. Calcul avan prise en compe des rachas cononcurels... 7 4.1.. rise en compe des rachas cononcurels... 9 4.1.3. Synhèse... 10 4.. Calcul de la valeur de l acif... 11 4.3. roecion du bilan économique... 1 5. ILLUSTRATION NUMÉRIQUE... 13 6. CONCLUSION ET DISCUSSION... 15 7. BIBLIOGRAHIE... 16 8. ANNEXES... 17 8.1. Cohérence des représenaions du aux sans risque... 17 8.. Récapiulaif des paramères... 18 8..1. aramères du généraeur de scénarios économiques... 18 8... aramères de calcul des coefficiens d acualisaion... 19 8..3. aramère de calcul du correcif de rachas cononcurels... 19 1 Ce ravail a bénéficié du souien de la chaire Managemen de la Modélisaion (hp://isfa.univ-lyon1.fr/ma). Les aueurs remercien le releceur anonyme don les observaions on permis d améliorer subsaniellemen ce ravail. François Bonnin es acuaire, consulan chez Hiram Finance 3 Floren Combes es acuaire, responsable de la gesion des risques à la MNRA. 4 Frédéric lanche es rofesseur à l'isfa e acuaire associé chez rim Ac. Conac : frederic@planche.ne. 5 Monassar Tammar es consulan chez rim Ac Universié de Lyon, universié Lyon 1, Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) - 50 avenue Tony Garnier - 69366 Lyon Cedex 07 - France. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 1
1. Inroducion Dans le cadre de la mise en place du vole quaniaif de l ORSA (Own Risks Solvency Assessmen), un organisme assureur doi mere en place des ouils lui fournissan une vision prospecive de sa solvabilié e, en pariculier, des indicaions sur l inceriude associée au niveau de la couverure des engagemens réglemenaires (en premier lieu du SCR). Une présenaion déaillée du cadre de l ORSA es effecuée dans GUIBERT e al. [014]. De manière plus précise, il s agi de fournir des informaions sur la disribuion de probabilié d indicaeurs clé associés au bilan économique, els que la valeur de l acif, du passif, du surplus, du SCR, ec. Cee disribuion doi êre calculée pour chaque année de proecion sur un horizon de l ordre de celui du plan sraégique, disons de 3 à 5 ans (cf. GUIBERT e al. [01]). En présence de disposiif de paricipaion aux bénéfices qui créen des ineracions fores enre l acif e le passif, la modélisaion de ces disribuions s avère pariculièremen délicae. En effe, le calcul des provisions echniques dans le cadre du pilier 1 s effecue le plus souven par simulaions, ce qui condui à une imbricaion de simulaions pour uiliser ces ouils dans le cadre de l ORSA (cf. BONNIN e al. [014]). Dès lors, il convien de proposer des approches plus efficaces d un poin de vue numérique, comme par exemple dans BONNIN e al. [014] pour le cas des conras d épargne en euros. Au-delà des srics aspecs numériques, les éudes menées sur les erreurs de modèle en finance suggèren qu un modèle complexe, précis pour calculer un prix, n es pas le plus efficace en ermes de gesion des risques (en l espèce de gesion d une couverure) du fai de son manque de robusesse (voir par exemple l éude fondarice de BAKSHI e al. [1997]). Dans le présen ravail on s inéresse plus pariculièremen au cas d un conra de reraie. Les conraines réglemenaires e en pariculier les règles de déerminaion de la revalorisaion des presaions son analogues à ce qui prévau pour les conras d épargne. Touefois, l obecif de revalorisaion d un conra de reraie es le plus souven direcemen relié à l inflaion (cf. LANCHET e THÉROND [007]). On exploie ici cee caracérisique pour proposer un modèle permean une évaluaion explicie de la valeur de la clause de revalorisaion e, dans un second emps, de l opion de racha. L évaluaion des engagemens peu alors êre effecuée sur la base d un déflaeur spécifique ne nécessian pas la proecion des compes sociaux. L approche proposée s inscri dans le prolongemen de BONNIN e al. [014] (pour le calcul des provisions bes esimae) e BONNIN e al. [010] (pour la modélisaion de l acif) don on reprend les principes de modélisaion en les adapan au conexe d un régime de reraie. Il devien alors possible de proeer les bilans économiques e de consruire des esimaeurs des disribuions de probabilié ciées supra. Il ne s agi pas ici d avoir une informaion sur l ensemble de la disribuion mais uniquemen dans le «cœur» de celle-ci, ypiquemen enre les quaniles 5 % e 95 %. Le fai de ne pas s inéresser aux queues des disribuions perme d uiliser un cerain nombre de simplificaions (approximaions gaussiennes, dépendance simplifiée, ec.) qui seron précisées par la suie. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA
On se limie dans le présen aricle à la prise en compe des faceurs de risque financiers (aux, spread e acions) sans considérer le risque de longévié (cf. JUILLARD e al. [008]) ni le risque commercial (cf. GUIBERT e al. [01]), qui son deux aures risques maeurs pour ce ype de conra. Ces deux risques peuven par exemple êre considérés dans une logique de scénarios à dire d exper. Les coisaions fuures seron donc supposées connues e ceraines. Dans la suie de ce aricle, on présene d abord l environnemen financier uilisé puis le cadre de modélisaion pour la proecion des acifs e des passifs. Une illusraion numérique es proposée.. Le conra de reraie considéré On considère dans la présene éude un conra de reraie de ype «rene viagère différée» souscri dans le cadre des disposiions «Madelin». Les coisaions versées son converies en rene au momen du paiemen sur la base d un arif fixé à la dae du calcul en foncion d un aux echnique e d une able de moralié. L assureur suppore donc à parir de cee dae le risque de longévié e les risques financiers. endan la phase de consiuion, l assuré a la possibilié de racheer son conra dans un nombre limié de siuaions 6 (noammen la liquidaion de l acivié e l invalidié). Il peu aussi demander le ransfer de son épargne. Si le racha srico sensu es limié, le ransfer consiue quan à lui un risque maériel pour l assureur, don les déerminans son ideniques à ceux du racha pour des conras d épargne. On désignera dans la suie, par commodié, par le erme de «racha» la somme des rachas e des ransfers. Le conra es en praique composé d un sock de renes en cours de service e de renes en aene, avec différenes généraions de aux echniques. 3. Descripion de l environnemen financier On uilise un marché financier qui généralise celui proposé dans BONNIN e al. [010] e don la logique es de proeer direcemen des srucures de prix. Quare faceurs de risque son inégrés au modèle : les niveaux des aux, de l inflaion e des spread de crédi e le prix des acions. Les choix effecués pour chacun d eux son déaillés ci-après. 3.1. Risque de aux On reien comme modèle de référence le modèle à rois faceurs de forme e un faceur d échelle proposé par Nelson e Siegel (NELSON e SIEGEL [1987]). Le aux zéro-coupon R, se décompose par hypohèse en 7 : 6 Voir par exemple hp://www.loimadelin.com/les-conras-madelin/conra-reraie-madelin/racha-madelin 7 On noe T la maurié résiduelle d un flux d échéance T vu en dae. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 3
1 exp 1 exp 1 1 R, 1 3 exp. 1 1 1 Afin d'alléger les expressions, on pose x 1 e x e x x x e R, 1 3 1 1 x, de sore que : On suppose comme dans BONNIN e al. [010] que les paramères de forme dépenden du emps e que le paramère d échelle 1 es consan. On noe 1 l, s e 3 c pour faire référence à l inerpréaion de ces valeurs dans le modèle, soi respecivemen le aux long, le spread aux long / aux cour e la convexié. our choquer la courbe des aux on s appuie finalemen sur la représenaion : où r l s 0 R r0 l 1 c, 1 1 1 es le aux cour insanané. Cee équaion présene l avanage de faire apparaîre des faceurs de déerminaion du aux zéro-coupon facilemen inerpréables : le aux cour, le aux long e la convexié. Les dynamiques reenues pour ces faceurs son (cf. BONNIN e al. [010] pour la usificaion de ces choix) : l l l dr r r d dw 0 r r r dl l l d dw dc c c d dw c c c En ermes de srucure de dépendance enre les faceurs ci-dessus, les corrélaions consaées hisoriquemen son compaibles avec une hypohèse d indépendance, qui sera donc reenue ici. 3.. Inflaion Le modèle ci-dessus perme, à parir d une descripion de la srucure par ermes nominale, de proeer les déformaions de cee srucure en s appuyan sur 3 paramères indépendans. Dans une logique de parcimonie, on choisi d inégrer l inflaion (mesurée par l écar enre les srucures par ermes nominale e réelle) via un unique paramère supposé consan au cours du emps. De manière plus précise, en indiçan par n la srucure nominale e par r la srucure réelle, on reconsrui la srucure réelle à la dae à parir de la srucure nominale proeée à cee dae en uilisan : Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 4
, 1,, 1, R R R R r r n n avec un paramère fixé. La srucure réelle iniiale R 0 r, sera en praique consruie à parir du prix des OATi (cf. ROSSOOFF [01]). On uilise pour calculer les anicipaions d inflaion l approximaion de Fisher: n r 1 R, 1 R, 1 I, (cf. ROSSOOFF [01]) que l on uilise en praique avec 1 dans les proecions. En noan, 1 e i I 1 r R n,, la dynamique du aux d inflaion insanané es la suivane : i 1 r 1 R, 1 r 1 avec R 1 R 1 1 r r,,. L inflaion es donc direcemen déduie de la dynamique r r 1 du aux cour. 3.3. Risque de spread Le spread considéré ici es celui du porefeuille, don la composiion es donc supposée relaivemen sable sur l horizon de la proecion pour l ORSA. Il s agi donc d une vision agrégée des différens spreads par sous-acen composan effecivemen le porefeuille On reien pour ce risque une approche simplifiée consisan à appliquer un abaemen sur le prix issu du modèle pour les obligaions nominales sans risque de défau présené ci-dessus. Formellemen on uilise donc, pour une obligaion de aux coupon e de nominal N le prix (cf. LANCHET e al. [009]) : D,,,,,,, O D N T D O N T T,,,,,. i1 avec O N T N n i n T Le risque de spread es inrodui dans le faceur de dépréciaion D comme foncion du spread e de la sensibilié au risque de crédi du porefeuille (noée e calibrée sur la base du porefeuille réel). On pose plus précisémen : 0 0 0 D D s, s, D exp s s, le spread à la dae, s, suivan un processus d Ornsein-Uhlenbeck : Le mouvemen brownien s s ds k s s d dw. W s es supposé corrélé uniquemen au risque «acions» (cf. infra). Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 5
3.4. Risque «acions» On uilise pour sa simplicié e son caracère de référence le mouvemen brownien géomérique pour représener la dynamique du prix des acions du porefeuille : avec W A un mouvemen brownien. 4. Le modèle de proecion S S A AW A A 0exp Le poin esseniel de la modélisaion es en praique de produire une évaluaion économique des engagemens 8 à chaque dae de proecion, sur la base de la descripion du passif e de l éa des faceurs de risque de l acif. La seconde parie du modèle consise à proeer (en probabilié hisorique) les faceurs de risque pour recalculer, à chaque dae de proecion, les valeurs d inérê (valeur de l acif, des provisions, du SCR, ec.). Le modèle proposé s aache à valoriser les deux opions principales du conra considéré, à savoir : - une revalorisaion des renes (en cours e en aene) basée sur l inflaion e au moins égale au aux echnique ; - la possibilié de rachas anicipés, dans des condiions ouefois relaivemen resricives. Il repose sur un calcul adapé des provisions echniques économiques pour enir compe de ces deux élémens en suivan une logique proche de celle de BONNIN e al. [014]. 4.1. Calcul des provisions echniques Le calcul des provisions echniques s appuie sur les flux de résorerie F, 1 du régime (presaions maorées des frais, nees des coisaions e des chargemens) pour en déduire leur valeur acualisée à l aide de la courbe des aux sans risque ou d un déflaeur adapé. De manière plus précise, on a, en supposan les frais proporionnels aux presaions, F 1 C p où désigne les presaions e C les coisaions. En supposan par convenion que la dae 0 es la dae du calcul (dae iniiale ou dae de proecion), on a ainsi : en noan 1 r 1 k k 1 1 a f Q engagemens es alors définie par BE E F le faceur d acualisaion (aléaoire). La valeur économique des avec a la probabilié décrivan la disribuion 8 L évaluaion économique de l acif ne présene pas de difficulé ici. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 6
des aléas non financiers e Q f une probabilié risque neure décrivan, à la dae de l évaluaion, la disribuion (risque neure) des aléas financiers. Il es précisé que seuls les faceurs de risques non muualisables seron pris en compe dans les sources d aléas. En d aures ermes, les risques muualisables son supposés parfaiemen muualisés. Cela es usifié par le fai que pour un porefeuille de aille significaive 9, la variance des indicaeurs d inérê es expliquée rès maoriairemen par les risques sysémaiques. En l absence de revalorisaion, le calcul du bes esimae es simple e se ramène à avec 0 n 1 n 0 a BE, E F, le prix d un zéro-coupon nominal à la dae e F le flux echnique hors revalorisaion mais après prise en compe des décès, rachas, primes fuures, frais e chargemens. De manière plus précise, en décomposan les flux en presaions e coisaions on a l expression générale a f a Q 1 n 0,. BE E E C 1 1 On noe que le calcul de la valeur acuelle des coisaions fuures es immédia, alors que pour les presaions, dès qu une revalorisaion financière es inroduie, la simplificaion de l espérance n es plus possible direcemen. On propose ci-après un modèle de calcul de a f Q 4.1.1. Calcul avan prise en compe des rachas cononcurels E. Dans le conexe général d un conra incluan une clause de paricipaion aux bénéfices, le calcul cidessus es complexe à mere en œuvre e nécessie le plus souven un recours à la simulaion numérique (cf. LANCHET e al. [011]). Dans le cadre des conraines imposées par l ORSA, il es nécessaire d évier ce recours pour uiliser un calcul direc. En conséquence, il es nécessaire de développer un modèle qui évie la proecion des compes sociaux comme inermédiaire de calcul du résula. Dans le cas d un conra de reraie, les simplificaions envisageables peuven s appuyer sur le fai que l obecif de revalorisaion de presaions de reraie es en général rès foremen lié à l inflaion des prix. Les conras incluen un aux echnique e doiven donc êre revalorisés au moins à ce aux. Cela implique que le coefficien de revalorisaion des flux pour la période k associé à une généraion de conras de aux echnique i es de la forme 1 1 i i k k avec k la référence de revalorisaion globale. Compe enu du conexe, il es naurel de considérer que k ik désigne 9 E pour un pei porefeuille des considéraions de maérialié conduiraien à uiliser des approches plus simples que le modèle décri ici. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 7
une fracion de l inflaion consaée sur la période. On es donc amené à considérer des flux de presaion revalorisés de la forme 10 La valeur économique du flux ci-dessus es R k k k1 k1 1 1. i i i a f Q E R a E f Q E 1 k e il s agi donc de proposer un modèle dans lequel on puisse obenir une expression explicie pour k 1 f f Q Q 1 k 0, E 1 k E 1 r k1 k1 k avec r le aux sans risque insanané pour la période (qui es donc aléaoire vu de la dae iniiale). On obien en effe sous cee hypohèse une formule de la même forme que dans les deux cas précédens : 1 0, a a n 0, BE E E C 1 1 avec un déflaeur spécifique adapé au processus de revalorisaion en présence de aux echnique. On noera dans la suie de ce documen r 1 r la sous-performance insananée acualisée, de 1 sore que 1 mesure la performance relaive du conra par rappor au aux sans risque 1 e que : r Q 0, E f 1 k. k 1 On uilise la même logique qu à la secion 3, pour définir le lien enre inflaion e aux cour. Afin de facilier les calculs, on uilise un développemen limié à l ordre un qui condui à 1 1, 1 1, 1 i r R r R puis, par récurrence, à r r 1 0 1 i r r R,. 0 r L inflaion de cour erme es donc dans ce modèle approchée par une foncion affine du aux cour, ce qui perme d écrire : 10 our alléger les noaions, on suppose que l on se place dans une populaion homogène vis-à-vis du aux echnique, les résulas devan ensuie êre sommés pour chaque aux echnique. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 8
, 1 i 1 rk r0 Rr 0 1 i 1 k 1 r k. Dès lors, en se plaçan dans le cadre d un modèle de aux cour gaussien (en probabilié risque neure, voir par exemple LANCHET e al. [011]), on se ramène au calcul des inégrales suivanes : 0, E f Q, 1 i 1 rk r0 Rr 0 1 i. k 1 1 rk L inégrale définissan 0, se calcule numériquemen à parir du veceur m, espérance de r r1 r,, e de sa marice de variance-covariance : 1 1 0, exp f r r m r m dr1 dr avec f r, 1 i 1 rk r0 Rr 0 1 i. k 1 1 rk Remarque : Dans l approche décrie supra, la loi des coefficiens de revalorisaion doi inégrer à la fois la dynamique des faceurs de risque «brus» issus du marché e l effe d aénuaion des compes sociaux e du cadre réglemenaire qui consrui le aux servi par filrage du aux de marché. On souligne que les paramères de cee loi son conrains par le fai que le bes esimae issu du modèle doi coïncider avec celui issu des ouils «pilier 1» qui proeen effecivemen la mécanique des compes sociaux e donc le aux servi. De cee manière le coû de la conraine règlemenaire globale de paricipaion aux bénéfices es bien pris en compe dans le modèle. Le modèle proposé perme donc de prendre en compe oue poliique de paricipaion aux bénéfices équivalene en ermes de risques à garanir, oure le aux echnique, une foncion affine du aux sans risque. Cela peu couvrir par exemple un obecif de revalorisaion au moins égale à l inflaion ou bien la seule saisfacion de la conraine règlemenaire. 4.1.. rise en compe des rachas cononcurels La loi des coefficiens inroduis ci-dessus dépendan a priori de la loi conoine du couple, peu êre complexe en foncion des choix de modèle effecués. On fai ici l hypohèse que les variables aléaoires son, sous une probabilié risque neure, normales e indépendanes, ce qui condui à écrire avec un brui blanc gaussien. Cee hypohèse es usifiée par le fai qu il s agi de caper dans le modèle une variabilié de ce rendemen relaif pour en mesurer les conséquences dans la valorisaion des flux. En supposan alors que le aux de racha global se décompose en la somme d un aux de racha srucurel fixe e d un correcif lié au niveau de la sousperformance, on es condui à posuler que : r Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 9
où 0 es la sensibilié à la variaion de la sous-performance. On cherche alors à mesurer l impac de l exisence de ce mécanisme de rachas cononcurels sur le bes esimae d un flux uniaire payé sans limie (une rene perpéuelle). La valeur économique des flux racheés peu s écrire simplemen VR f Q E 1 k 1 k. 1 1 k1 En uilisan alors l indépendance des ermes des produis ci-dessus on en dédui que VR En observan que VR. 0 1 1 1 1 1 0 on peu réécrire cee égalié sous la forme : 1 1 1 VR 0 VR 1VR 0. Cee équaion exprime que la valeur des flux racheés en présence d une sensibilié du aux de racha au niveau de l écar de performance enre le aux servi e le aux sans risque (le raisonnemen es mené en probabilié risque neure) augmene, au premier ordre, d une proporion VR 0. ar ailleurs, dans ce exemple, la provision mahémaique du conra es simplemen 1 1 1 e le correcif obenu s enend donc «pour un de M». M 1 k1 4.1.3. Synhèse En s appuyan sur les élémens ci-dessus, on propose de corriger marginalemen le niveau de la provision bes esimae «hors rachas cononcurels» en posan BE e a avec BE 0 0, E F 1 1 1 BE 0 BE M 0 qui es supposé consan 11. Dans l approche cidessus, la srucure de l acif n es pas expliciemen proeée, elle n inervien que pour définir la dynamique du processus dans le cas où la revalorisaion serai définie à parir du rendemen 11 Cee simplificaion pourrai êre éviée au prix d un volume de calcul plus imporan en recalculan les M à chaque dae de proecion. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 10
économique de l acif. Enfin, la marge pour risque es aouée au bes esimae des presaions ; cee marge es supposée simplemen proporionnelle à 0 BE e on noe RM le coefficien de proporionnalié. Là encore, le paramère RM es issu des calculs menés dans le cadre du pilier 1 avec un modèle ALM comple. Au global, les provisions echniques s obiennen donc via l expression suivane : 1 1 0, a a n 0,. RM T E E C 1 1 1 Le calcul de la provision s effecue donc en deux emps 1, en supposan la déerminaion des flux hors a revalorisaion e hors rachas cononcurels E e a E F effecuée en amon : - Calcul numérique des coefficiens d acualisaion 0, puis de 0 BE ; - Ausemen ex-pos de la valeur acualisée ainsi obenue pour enir compe de l opion de racha lorsque celle-ci es présene (i.e. pour les coisans uniquemen). 4.. Calcul de la valeur de l acif L acif es décri de manière agrégée à parir des classes «acions», «aux nominaux», «aux indexés» e «crédi» qui composen un acif synhéique dans lequel la sociéé es supposée invesir. Les modèles proposés infra son des modèles de déformaion de srucures de prix (courbes de aux réelle e nominale, prix des acions e prix d une obligaion synhéique représenaive de la fracion du porefeuille présenan un risque de crédi). De manière plus précise, pour les obligaions nominale e indexée, on considère une obligaion synhéique de la forme : avec x r, n Ox N x i x i 1,,,. L obligaion corporae synhéique es de la forme O D O c,,. L acion synhéique es modélisée direcemen. La valeur globale de la par de l acif synhéique es déerminée à chaque dae par A px Ox, ps S avec les poids p posiifs. On suppose sans pere de généralié que x A 0 1 Les poids son ausés le cas échéan pour reser dans des bornes d allocaion prédéerminées. Tan que les bornes ne son pas aeines, p rese fixe. L acif oal es un muliple de cee valeur de référence, le nombre de pars de n 1 our une généraion de aux echnique donnée. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 11
l acif synhéique évoluan au cours du emps en foncion des enrées (coisaions) e des sories (presaions). 4.3. roecion du bilan économique Le calcul des engagemens (e, paran, la déerminaion du bilan), doi pouvoir êre effecué à chaque dae de proecion, sur un horizon de l ordre de 5 ans. Les faceurs de risque économiques doiven pour cela êre proeés en probabilié hisorique e dans le cadre des approches décries ci-dessus, il n es pas uile de consruire des proecions «risque neure» de ces faceurs. La logique du généraeur de scénarios économiques uilisé sera donc de proeer des déformaions de prix d acifs direcemen exploiables. Le modèle de proecion de flux ainsi consrui, l exigence de capial réglemenaire (SCR) doi êre déerminée. On uilise ici un calcul selon la formule sandard qui s appuie sur les spécificaions echniques du LTGA du 8/1/01. Le poin esseniel consise à recalculer conformémen à la formule sandard les SCR aux, spread e acions, de la manière suivane : - aux : pour chaque couple (année de proecion, scénario), on recalcule les coefficiens d acualisaion avec la courbe de aux nominaux choquée vers le hau puis vers le bas ; on en dédui aussi les srucures d'inflaion e réelles choquées (par souci de cohérence avec le cadre de modélisaion : un choc de aux enraîne donc un choc sur l'inflaion) ; - spread : c'es un simple choc sur la valeur de marché (VM) foncion de la noaion (qui ne bouge pas) e de la duraion : on calibre le choc en 0 e on l'applique à la valeur des obligaions. Il n'y a pas d'ineracion avec les coefficiens d acualisaion. - acions : on applique un abaemen de % sur la VM. Il n'y a pas d'ineracion avec les coefficiens d acualisaion. Les aures composanes du SCR son supposées exprimées en pourcenage du bes esimae de presaions. L'agrégaion es sandard. Une fois le SCR calculé pour chaque scénario, on obien une évaluaion du raio de couverure puis de sa disribuion. Le modèle décri ici repose sur des composans qui peuven êre décris e consruis de manière indépendane e qui s appuien sur des flux a E F consruis en amon : - Le modèle de calcul des coefficiens d acualisaion 0, (pour les presaions obe d une revalorisaion) e 0, (pour les coisaions) ; - Le correcif global pour les rachas cononcurels ; n - Le généraeur de scénarios économiques en probabilié hisorique pour la proecion des faceurs de risque financiers ; - Le calcul du SCR à chaque dae. Le foncionnemen du modèle peu êre synhéisé graphiquemen de la manière suivane : Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 1
Fig. 1 : Schéma d organisaion du modèle Flux probabilisés non revalorisés (hors rachas cononcurels) Généraion de scénarios économiques en probabilié hisorique Iéraions sur l horizon de proecion Calcul du bes esimae sur la base des coefficiens d acualisaion e du correcif «rachas cononcurels» Calcul de la valeur de l acif Calcul du SCR, de la NAV e du aux de couverure Iéraions sur les scénarios économiques Chocs de la formule sandard Disribuions empirique du aux de couverure e de la NAV (hors siuaions exrêmes) Il es précisé que les choix de modélisaion effecués à l inérieur de chacun des modules son usifiés par le souci de quanifier des effes réalises de manière robuse e que l on ne s impose pas une srice cohérence dans le déail des modèles enre les composans. ar exemple, la descripion de la loi des coefficiens es délibérémen plus grossière pour la mesure de l effe des rachas cononcurels que pour le calcul des coefficiens d acualisaion. Cee approche pragmaique perme de limier la complexié des composans e de préserver ainsi le caracère calculable des différens élémens. Le calibrage des paramères des différens composans doi en conséquence êre réalisé pour garanir la cohérence des ordres de grandeur des monans qui en son issus e, pour le calcul des coefficiens d acualisaion, avec les résulas des calculs de bes esimae issus des ouils «pilier 1» uilisés comme valeur de référence. 5. Illusraion numérique our illusrer le foncionnemen du modèle proposé, on uilise l exemple d un conra de reraie avec 5 généraions de aux garanis différenes, des reniers en cours e en aene 13. On dispose des flux espérés (hors revalorisaion pour les presaions) proeés sur un horizon de 80 ans. La poliique de revalorisaion es exprimée par les gesionnaires du régime en indiquan que le niveau recherché es de 85 % de l inflaion, en complémen (évenuellemen) du aux echnique. Les flux de passif son fournis par l assureur. Le calibrage iniial du modèle es validé en conrôlan que la valeur bes esimae des engagemens sur le groupe fermé en run-off issue du modèle es quasi-idenique à celle calculée par l assureur dans son ouil «pilier 1». La siuaion iniiale es la suivane : les provisions echniques son la somme d un bes esimae de l ordre de,5 Md e d une marge pour risque de 0,14 Md. La valeur de marché de l acif es de,9 Md, ce qui condui à un monan de fonds propres de 0,6 Md. Le SCR éan d environ 0,35 Md, le régime se rouve donc en siuaion de sous-couverure, les 3/4 de l exigence éan couvers. L inceriude auour de cee moyenne peu êre représenée d abord de manière globale au ravers de la déformaion avec le emps de la disribuion du aux de couverure : 13 Si le modèle es réel, les données uilisées son ficives. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 13
Fig. : Évoluion de la disribuion du aux de couverure 14 Foncion de répariion empirique du raio de couverure robabilié 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Année 1 Année Année 3 Année 4 Année 5 0 1 3 4 5 6 Raio de couverure Ainsi, on noe que dans le scénario illusraif uilisé, le régime collece un volume significaif de nouveaux engagemens souscris avec un aux echnique faible, qui concour à l amélioraion de la couverure au fil du emps, que les résulas suivans meen en évidence : Fig. 3 : Caracérisiques des disribuions du aux de couverure On observe une amélioraion lene mais régulière de la siuaion du régime. Enfin, la siuaion d une année de proecion pariculière peu êre analysée de manière déaillée, par exemple via l examen des disribuions des variables d inérê, représenée ci-dessous pour la cinquième année : 14 Les courbes son de plus en plus «aplaies» lorsque l année de proecion augmene. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 14
Fig. 4 : Disribuions empiriques des variables d inérê 15 l année 5 Année 5 Densiy 0.0000 0.0010 VA Densiy 0.0000 0.0010 0.000 BE 3000 3500 4000 4500 5000 000 00 400 600 800 3000 N = 1000 Bandwidh = 58.83 N = 1000 Bandwidh = 33.96 FE SCR Densiy 0.0000 0.0010 Densiy 0.000 0.010 0 500 1000 1500 000 500 300 350 400 N = 1000 Bandwidh = 66.11 N = 1000 Bandwidh = 4.807 Densiy 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 TC Densiy 0.0000 0.0006 0.001 Klibre 0 4 6 8-500 0 500 1000 1500 000 500 N = 1000 Bandwidh = 0.149 N = 1000 Bandwidh = 67.31 On dispose ainsi d une baerie d indicaeurs riche pour analyser les risques supporés par le régime e leurs ineracions dans une vision prospecive. 6. Conclusion e discussion Le modèle présené ici perme donc la proecion sochasique du bilan économique d un organisme assureur poran des engagemens de reraie. Le choix de la prise en compe des opions implicies des conras d assurance e des rachas cononcurels à l aide d approximaions analyiques compaibles avec des formules fermées condui à des performances compaibles avec les exigences opéraionnelles de l ORSA mais égalemen selon nous à évier des complicaions peu uiles e, paran, à une meilleure inelligibilié des calculs e des résulas. Ce modèle a éé mis en œuvre avec succès dans le cadre réel d un organisme de reraie, sur la base de données e de paramères fixés à la fin de l année 013. Son calibrage doi s appuyer, pour présener le niveau de précision e de robusesse indispensable à ou calcul conrain par le cadre règlemenaire el que ceux aendus par l ORSA, sur un bilan prudeniel éabli en amon. En d aures ermes, ce modèle ne préend pas se subsiuer aux modèles en vigueur pour esimer la use valeur (fair-value) des conras d épargne ou de reraie mais se caler sur leurs résulas pour esimer des risques bilanciels sur des horizons pluriannuels d une durée limiée (ici cinq années). Les évoluions les plus direces du modèle proposé son esseniellemen de deux ordres : la modélisaion des acifs pourrai êre enrichie par un processus de saus sur les acifs de crédis, présenan un faceur commun plus ou moins corrélés avec la poche acions, pour permere une prise en compe saisique du risque de concenraion «émeeurs» à l échelle de l ensemble du porefeuille. lus fondamenalemen, l adapaion du modèle à des conras d épargne en euros (dans la suie de BONNIN e al. [014]) es une voie de recherche promeeuse mais qui suppose d éablir une poliique de aux servi correcemen représenée par un nombre limié de variables ; dans un el cadre 15 Soi de gauche à droie e de hau en bas VA, BE, FE, SCR, TC e KLibre. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 15
le risque de comporemen des épargnans serai mesuré par un paramère unique représenaif de leur réacivié. Un enrichissemen plus complexe de ce modèle, qui fera l obe de ravaux ulérieurs, consise à inroduire le risque de longévié au ravers d une modélisaion sochasique de la moralié, en généralisan la démarche proposée dans GUIBERT e al. [010]. Il fau ouefois souligner que la consrucion de scénarios de longévié adverses, dans une logique d analyse de sensibilié, perme une première quanificaion de ce risque. 7. Bibliographie BAKSHI G., CAO C., CHEN Z. [1997] «Empirical erformance of Alernaive Opion ricing Models», Journal of Finance, Vol. 5, Issue 5. BONNIN F., JUILLARD M., LANCHET F. [014] «Bes Esimae Calculaions of Savings Conracs by Closed Formulas - Applicaion o he ORSA», European Acuarial Journal, Vol. 4, Issue 1, age 181-196. hp://dx.doi.org/10.1007/s13385-014-0086-z. BONNIN F., LANCHET F., JUILLARD M. [010] «Applicaions de echniques sochasiques pour l'analyse prospecive de l'impac compable du risque de aux.», Bullein Français d Acuaria, vol. 11, n 1. CHRISTENSEN J.H.E.; DIEBOLD F.X.; RUDEBUSH G.D. [010] «The Affine Arbirage-Free Class of Nelson-Siegel Term Srucure Models», Federal Reserve Bank of San Francisco, W n 007-0. GUIBERT Q., JUILLARD M., NTEUKAM T. O., LANCHET F. [014] Solvabilié rospecive en Assurance - Méhodes quaniaives pour l'orsa, aris : Economica. GUIBERT Q., JUILLARD M., LANCHET F. [01] «Measuring Uncerainy of Solvency Coverage Raio in ORSA for Non- Life Insurance», European Acuarial Journal, :05-6, doi: 10.1007/s13385-01-0051-7. GUIBERT Q., JUILLARD M., LANCHET F. [010] «Un cadre de référence pour un modèle inerne pariel en assurance de personnes», Bullein Français d Acuaria, vol. 10, n 0. JUILLARD M., LANCHET F., THÉROND.E. [008] «erurbaions exrêmes sur la dérive de moralié anicipée», Assurances e gesion des risques, Vol. 76 (3). NELSON C.R., SIEGEL A.F. [1987] «arsimonious modelling of yield curves», Journal of Business, 60, 473-489. LANCHET F., THÉROND.E., JUILLARD M. [011] Modèles financiers en assurance. Analyses de risques dynamiques - seconde édiion revue e augmenée, aris : Economica (première édiion : 005). LANCHET F., THÉROND.E., KAMEGA A. [009] Scénarios économiques en assurance - Modélisaion e simulaion, aris : Economica. LANCHET F., THÉROND.E. [007] iloage echnique d'un régime de renes viagères, aris : Economica. LANCHET F., TOMAS J. [013] «Uncerainy on Survival robabiliies and Solvency Capial Requiremen: Applicaion o LTC Insurance», Les cahiers de recherche de l ISFA, n 013.4. R DEVELOMENT CORE TEAM [013] «R: A Language and Environmen for Saisical Compuing», Vienna, Ausria, (R Foundaion for Saisical Compuing), ISBN : 3-900051-07-0. ROSSOOFF B. [01] Modèles de aux e d inflaion pour Solvabilié, Mémoire d acuaire, ISFA. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 16
8. Annexes 8.1. Cohérence des représenaions du aux sans risque La srucure par ermes nominale de l exercice R,, 0 es représenée dans le modèle proposé de différenes manières en foncion des besoins de la modélisaion : - L hypohèse de référence à la dae iniiale R 0,, 0 es une srucure donnée issue du modèle de Smih-Wilson, donc sans srucure paramérique simple ; - La déformaion de cee srucure s appuie sur la représenaion paramérique de Nelson- 0 ; 1 1 1 Siegel R, r l 1 c - Le calcul des coefficiens d acualisaion des presaions, repose quan à lui sur dr a r r d dw qui une représenaion de Vasicek basée sur le aux cour condui à la forme paramérique des aux (cf. LANCHET e al. [011]) :, R r a a r r a 4 a a. Les ineracions enre ces représenaions son les suivanes : - La courbe iniiale fournie par l EIOA es uilisée pour calibrer l ausemen de la forme paramérique de Nelson-Siegel ; - Cee forme paramérique es uilisée à chaque pas de proecion pour calibrer le modèle de Vasicek à parir duquel son proeés les aux cours uilisés pour le calcul des coefficiens d acualisaion. Dans ce conexe il es imporan d assurer une ceraine cohérence enre ces différenes représenaions. Le calibrage es ainsi déerminé pour minimiser les écars enre ces différenes courbes. Afin d assurer la cohérence du calcul des valeurs acuelles enre la courbe iniiale e la courbe a issue du modèle de Vasicek, on corrige cee dernière pour assurer ex-pos que 0, n E soi idenique avec les 0, n de la courbe EIOA e ces mêmes coefficiens issus du modèle de Vasicek ; pour cela on aoue un «spread d ausemen» aux aux ZC issus du modèle de Vasicek. Ce spread es déerminé en 0 e supposé consan au cours de la proecion 16. À ire d illusraion, avec la courbe EIOA au 31/1/01 comme courbe de référence, on obien les ausemens suivans : 1 16 D un poin de vue héorique on pourrai uiliser le modèle de Vasicek généralisé pour uiliser la courbe EIOA comme une donnée, mais en praique comme ce modèle repose sur le courbe des aux forward insananés e que celle-ci n es pas connue e devrai êre approximée à parir des aux annuels, le grain en ermes de précision serai modese au regard de la pere associée à l augmenaion de complexié du modèle. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 17
Fig. 5 : Représenaions du aux sans risque daataux[, ] -0.01 0.00 0.01 0.0 0.03 EIOA Nelson-Siegel Vasicek Vasicek ausé Taux réels 0 50 100 150 daataux[, 1] On peu noer que le spread d ausemen calibré sur des données réelles es en praique quasi nul e que donc l ausemen par le modèle de Vasicek fourni une représenaion de bonne qualié pour calculer des valeurs acuelles. 8.. Récapiulaif des paramères Les données du modèle son consiuées des données «ligne à ligne» du model poin pour le calcul des flux espérés (y compris rachas srucurels e hors revalorisaion), soi a a presaions e E C pour les coisaions. 8..1. aramères du généraeur de scénarios économiques E pour les Les paramères du généraeur de scénarios économiques se compose d une par de paramères associés aux définiions des srucures de prix (les paramères associés à l ausemen par le modèle de Nelson-Siegel de la srucure par ermes des aux d inérê) e de paramères associés au processus de déformaion de ces srucures de prix. On en dédui la lise suivane, présenée par classe d acifs : - Le modèle d ausemen e de décomposiion de la srucure par ermes es une version simplifiée du modèle proposé dans BONNIN e al. [010], qui décri les paramères e les procédures d esimaion associées. L esimaion des paramères se fai en deux emps, à parir d un hisorique de courbes de aux sans risque : o o On calcule d abord à chaque dae les paramères r, l e c qui minimisen une foncion d écar enre les valeurs modélisées des aux e les valeurs observés. On pourra fixer l 0 en référence à l UFR proposé par l EIOA par souci de cohérence enre la courbe ausée par Nelson-Siegel e la courbe fournie par l EIOA pour les mauriés longues. On uilise la chronique ainsi consruie des paramères r, l e c pour esimer les paramères des processus sochasiques d Ornsein-Uhlenbeck. En l absence de saus pour le processus de aux cours, la méhode d esimaion es sandard. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 18
- La déerminaion de l inflaion repose sur le aux cour réel iniial e sur le paramère de répariion des variaions de aux nominal enre aux réels e inflaion. Ce paramère peu êre esimé par une régression linéaire, sa valeur se rouve usuellemen enre 60 % e 70 %. - Le modèle pour le spread nécessie en premier lieu la déerminaion de l obligaion synhéique qui résume le porefeuille e la mesure de son écar de prix par rappor à une obligaion ZC «sans risque», D 0 puis de la valeur iniiale s 0 e des paramères de la diffusion du spread ds k s s d sdws. La valeur iniiale du spread es calibrée sur le spread moyen du porefeuille obligaaire, les paramères k e s e son calibrés sur une série hisorique de spreads de noaion comparable à celle du porefeuille obligaaire. - Enfin, le risque «acions» requier les paramères de dérive A e de volailié A. La prime de risque acions fera l obe d une hypohèse ou d une esimaion à dire d expers (par exemple issu d une référence Bloomberg). 8... aramères de calcul des coefficiens d acualisaion Ce module s appuie sur les paramères suivans : - Le aux echnique i de la rene ; - Le paramère définissan la par de l inflaion oale affecée en revalorisaion ; ce paramère peu êre calibré de manière à recaler la valeur du bes esimae de presaions issu du modèle avec les résulas du pilier1. -, le coefficien de répariion des variaions de aux nominal enre variaions de aux réel e variaions d inflaion ; R e r 0 ; - Les valeurs iniiales des aux cours réel e nominal, 01, - Les paramères de la dynamique la probabilié risque neure, soi a, r e. r dr a r r d dw du aux cour nominal sous Le calcul des coefficiens requier égalemen la spécificaion de l horizon maximal de proecion H e du nombre de simulaions pour le calcul par Mone-Carlo, N. 8..3. aramère de calcul du correcif de rachas cononcurels Ce module nécessie la déerminaion de quare paramères : -, le aux de racha srucurel de base, direcemen observé ; on uilise ici %. -, la sensibilié des rachas à la variaion de la sous-performance. Il s agi du paramère le plus délica à esimer. En présence de aux garanis significaifs, il pourrai êre esimé par la différence enre aux de rachas pour différens aux garanis ; on reien ici %. -, la volailié de la sous-performance ; en première approximaion ce paramère peu êre esimé comme une proporion de la volailié économique de l acif, dépendan du niveau de lissage compable. our un paramère de lissage de 0 %, ce raio peu êre esimé en ordre de grandeur à (0, / 0,8) 1/ soi 50 %. s Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 19
-, le rappor enre le bes esimae e la provision mahémaique, direcemen issu des calculs pilier I. Dans l exemple présené, 85 %. Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA 0