Algo 21 Mar 2011 Licence ST-A / S5 Info Françoi Lemaire DS Algo 1 Queion ur le DM (3p) Polycopié de cour auorié Suje à rendre Indiquez vore numéro ur le uje Voici une oluion du DM, où ceraine ligne on éé maquée. Le répone aux queion doiven appuyer ur le nom de variable donnée dan la oluion. Le uje du DM e fourni à la fin du uje. e VEGETALES; e ANIMALES; e HUILES := VEGETALES union ANIMALES; e MOIS; param prix_acha_huile {MOIS, HUILES} >= 0; # euro / onne param prix_vene_nourriure >= 0; # euro / onne param max_vegeale_raffinable >= 0; # onne param max_animale_raffinable >= 0; # onne /* quanié d huile acheée par moi, e par ype d huile */ var qe_acheee {MOIS, HUILES} >= 0; # onne /* quanié de nourriure vendue par moi */ var qe_vendue {MOIS} >= 0; # onne /* recee oale pour le moi m */ var recee {m in MOIS} >= 0; /* dépene oale pour le moi m */ var depene {m in MOIS} >= 0; maximize... /* lie de conraine */... daa; e VEGETALES := VEG1 VEG2; e ANIMALES := ANI1 ANI2 ANI3; e MOIS := janvier fevrier mar avril mai juin; param prix_acha_huile : VEG1 VEG2 ANI1 ANI2 ANI3 := janvier 110 120 130 110 115 fevrier 130 130 110 90 115 mar 110 140 130 100 95 avril 120 110 120 120 125 mai 100 120 150 110 105 juin 90 100 140 80 135; param prix_vene_nourriure := 150; param max_vegeale_raffinable := 200; param max_animale_raffinable := 250; 1
Q 1. On uppoe ici qu il n y a pa de geion de ock. Donner le deux conraine permean de calculer le variable recee e depene. Vore répone devra êre compace, e uilier au mieux le variable inroduie dan la oluion. Q 2. On voudrai ajouer une conraine upplémenaire : pour chaque moi, la quanié oale d huile animale e végéale acheée doi êre upérieure où égale à min_huile, où min_huile e une conane (indépendane de moi) exprimée en onne, e don la valeur era fixée dan la parie daa. On uppoe ici qu il n y a pa de geion de ock, aini l huile acheée doi obligaoiremen êre raffinée. Donnez la nouvelle conraine à ajouer. On e poe mainenan la queion de avoir i l ajou de la conraine de la queion précédene a un effe ou pa ur la oluion opimale du problème iniial. Q 3. Donner, en juifian, une valeur numérique de min_huile pour laquelle on e ûr que la oluion opimale ne change pa. Q 4. Donner, en juifian, une valeur numérique de min_huile pour laquelle on e ûr qu il n y a pa de oluion. 2 Complexié (5p) Soi G = S, A un graphe oriené acyclique. On noe n = S e m = A. On uppoe le graphe repréené par de lie de ucceeur. Définiion 1 Un omme x S e appelé une racine de G i ou le aure omme de G on acceible à parir de lui. Q 5. Monrer en une phrae ou deux que G adme au plu une racine. Q 6. Donner un exemple de graphe G qui n adme pa de racine. Q 7. Propoer, en au plu une demi-page, un algorihme de complexié en emp, dan le pire de ca, en O(n+m), prenan en enrée un graphe oriené acyclique G e qui déermine i G adme une racine. Juifier en une phrae ou deux que l algorihme e correc. Indicaion : vou pourrez vou aider d un algorihme vu en cour qui foncionne pour le graphe acyclique uniquemen. Q 8. Juifier en une phrae ou deux que la complexié en emp, dan le pire de ca, e bien en O(n + m). Q 9. On uppoe mainenan que G e implemen un graphe oriené. Donner un exemple de graphe poédan deux racine. Q 10. Bonu. Propoez un algorihme de complexié en O(n + m) prenan en enrée un graphe oriené G e qui déermine i G adme une racine. Remarque : pour informaion, une oluion conie à parcourir le graphe depui chaque omme, en uilian une variane de parcour en largeur. 3 Exercice programmaion linéaire (5p) Un poionier dipoe d un grand ock d huîre e d ourin. Il prépare deux ype de panier pour le vendre à e clien : un panier A (4 ourin, 1 huîre), e un panier B (2 ourin, 3 huîre). Pour rendre ervice à on ami qui n a plu d huîre ni d ourin, le poionier accepe de revendre à un prix d ami de panier de ype A e B. C e évidemmen pour rendre ervice, car le poionier gagnerai 3 euro de plu il vendai un panier A direcemen à un clien, au lieu de le vendre à on ami. Pour un panier B, il gagnerai 2 euro de plu. Son ami déire au moin 00 ourin 50 huîre, e le poionier ne veu pa vendre plu d00 panier. Q 11. En nomman x le nombre de panier A e y le nombre de panier B, monrez que l on e ramène au programme linéaire PL1 uivan (z indique le manque à gagner, que le poionier veu minimier). Vou compléerez le parie manquane. 2
... x +... y = z[min] PL1... 400... 450 x + y... Q 12. Vou devez répondre à cee queion ur la page quadrillée pag. Réoudre graphiquemen le problème, en faian apparaîre au moin deux droie d objecif ur vore dein. Vou merez obligaoiremen x en abcie e y en ordonnée. Q 13. Le programme linéaire PL1 e-il ou forme canonique? Si non, le mere ou forme canonique (avec minimiaion d objecif), e ce en n uilian que le variable x e y. Dan la uie, le programme linéaire mi ou forme canonique e noé PLC. Q 14. En une phrae, expliquez i oui ou non le programme linéaire PLC poe un problème de démarrage. Q 15. Ecrire le dual de PLC. Q 16. Réoudre le dual par l algorihme du ableau implicial (il n y a qu ou 3 iéraion). Q 17. Déduire du ableau implicial final du dual, la oluion opimale, e l objecif réalié à l opimum du primal. Q 18. Quelle e la valeur marginale de la conraine qui impoe que le nombre de panier e inférieur à 200? Quelle e la dimenion de cee valeur? Donnez-en une inerpréaion. 4 Flo maximal (7p) Une enreprie compore n employé (,,..., e n ). Ceux-ci on répari dan m corp de méier (,,..., c m ) e r caégorie ocio-profeionnelle (,,..., p r ). Un employé peu apparenir à pluieur corp de méier, mai un employé apparien à une e une eule caégorie ocio-profeionnelle. Lor d une élecion, chaque corp de méier doi déigner exacemen un employé (apparenan au corp de méier). De plu chaque caégorie ocio-profeionnelle j ne peu pa avoir plu de u[j] membre iégean (le ableau u e uppoé connu, chaque u[j] e un nombre enier). Di auremen, l élecion conie à rouver un enemble S d employé : l enemble S conien exacemen m employé pour chaque corp de méier c i, il doi exier un employé de S qui oi du corp de méier c i pour chaque caégorie ocio-profeionnelle p j, il doi y avoir dan S au plu u[j] employé de cee caégorie. Le bu de l exercice e de déerminer l enemble S en uilian l algorihme du flo maximal. Un exemple On raie le problème avec n = 5, m = 3 e r = 2, avec u[1] = 1 e u[2] = 2. On conrui un graphe oriené avec comme omme le c i, le e i, le p i plu une uper-ource e une uper-deinaion. On relie à chaque c i, chaque p i à, chaque c i aux employé du corp de méier c i, e chaque e i à a caégorie ocio-profeionnelle. On obien le graphe de la figur. Q 19. Suppoon que oue le capacié de arc on de enier poiif. Expliquer en une ou deux phrae pourquoi l algorihme de Ford-Fulkeron va calculer de flux à valeur enière. Q 20. Suppoon que chaque arc paran de ai une capacié d. On ne précie rien pour le capacié de aure arc. Aprè avoir appliqué l algorihme de Ford-Fulkeron, peu-il y avoir pluieur arc avec un flux d paran d un même omme c i? Juifier. Q 21. Expliquer commen, en aribuan la capacié 1 à la majorié de arc, on peu réoudre le problème du voe. Vou donnerez préciémen la valeur de chaque arc, quelle valeur le flo maximal doi avoir pour que le problème admee une oluion, e vou juifierez en une ou deux phrae commen le conraine du voe on aifaie grâce à vore choix de capacié. 3
Figur graphe oriené aocié à l exemple Q 22. De combien augmene le flo à chaque foi que l on raie une chaîne améliorane? Juifier. En déduire combien de chaîne améliorane au plu il fau raier pour rouver le flo maximal. Q 23. Appliquer l algorihme de Ford-Fulkeron en remplian le figure de la page 6. Appliquez bien le conigne demandée en hau de la page 6. Q 24. Quelle e la valeur du flo maximal? Faie clairemen apparaîre une coupe de capacié minimale. Q 25. Déduire du flo une oluion au problème du voe, en donnan le employé de l enemble S. Q 26. La oluion e-elle unique? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez une aure oluion. L algorihme général Q 27. Donner une condiion néceaire d exience d une oluion au problème, qui relie m e le valeur u[i]. Q 28. On code le problème par la rucure de donnée uivane : n, m, r on de enier u e un ableau d enier cp[i] e un enier, déignan le numéro de caégorie ocio-profeionnelle de l employé e i. Sur l exemple précéden, cp[3] vau 1, car l employé a pour caégorie ocio-profeionnelle cdm[i] e une lie d enier déignan le corp de méier auquel l employé e i apparien. Sur l exemple précéden, cdm[3] e la lie [2,3], car l employé apparien aux corp de méier e. Donner une foncion conruian un graphe oriené valué (c-à-d avec le capacié), à parir de paramère n, m, r, u, cp, cdm. Ce graphe era l analogue du graphe de l exemple précéden, ur lequel on appliquera plu ard l algorihme de Ford-Fulkeron. Q 29. Quelle e la complexié en emp e en epace de vore foncion? Vou donnerez vore répone en foncion de n, m e r. On uppoe que le opéraion claique ur le graphe (créaion d un omme, créaion d une arèe,...) on un coû conan. Q 30. Aurai-on pu coder le problème par une aure rucure de donnée, afin d obenir une complexié inférieure à celle rouvée dan la queion précédene? Si oui, propoer une meilleure rucure de donnée (en uivan le modèle donné précédemmen) aini que la complexié en emp e epace aociée pour conruire le graphe. Q 31. Ecrire une foncion prenan en paramère le graphe G conrui par vore foncion précédene, e qui renvoie l enemble vide i aucune oluion au problème du voe exie, ou bien l enemble S oluion i une oluion exie. 4
Réoluion graphique (programmaion linéaire) y 300 200 100 100 200 300 x 5
Répone pour l algorihme de Ford-Fulkeron Conigne : ur chacun de graphe, vou devez compléer oue le valeur de flux e de capacié. la chaîne améliorane era déerminée en uilian obligaoiremen la foncion chaîne_améliorane_? du polycopié. De plu, le voiin bleu (dan la boucle pour ou voiin bleu) eron raié dan l ordre uivan : le voiin de gauche pri de hau en ba, pui le voiin de droie pri de hau en ba. Aini, le voiin de on raié dan l ordre :, e. vou urlignerez la chaîne améliorane à chaque éape. Iniialiaion de l algorihme : indiquer ur ce graphe le capacié e le valeur de flux au démarrage de l algorihme, avan ou raiemen de chaîne améliorane Traiemen de la chaîne améliorane numéro 1 : 6
Traiemen de la chaîne améliorane numéro 2 : Traiemen de la chaîne améliorane numéro 3 : 7